2018年高考数学总复习第十章计数原理、概率第6讲离散型随机变量及其分布列!

10．9 离散型随机变量的均值、方差和正态分布[重点保分 两级优选练]A 级一、选择题1．已知ξ的分布列为ξ －1 0 1 P121316则在下列式中：①E (ξ)＝－3；②D (ξ)＝27；③P (ξ＝0)＝13.正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C解析 E (ξ)＝(－1)×12＋1×16＝－13，故①正确．D (ξ)＝⎝⎛⎭⎪⎫－1＋132×12＋⎝⎛⎭⎪⎫0＋132×13＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋132×16＝59，故②不正确．由分布列知③正确．故选C.2．已知随机变量X ＋Y ＝8，若X ～B (10,0.6)，则E (Y )，D (Y )分别是( ) A ．6和2.4 B ．2和2.4 C ．2和5.6 D ．6和5.6 答案 B解析 由已知随机变量X ＋Y ＝8，所以Y ＝8－X .因此，求得E (Y )＝8－E (X )＝8－10×0.6＝2，D (Y )＝(－1)2D (X )＝10×0.6×0.4＝2.4.故选B.3．(2018·某某某某模拟)若离散型随机变量X 的分布列为X 01Pa2a 22则X 的数学期望E (X )＝( ) A ．2 B ．2或12 C.12 D ．1答案 C解析 因为分布列中概率和为1，所以a 2＋a 22＝1，即a 2＋a －2＝0，解得a ＝－2(舍去)或a ＝1，所以E (X )＝12.故选C.4．(2017·某某质检)设随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，则函数f (x )＝x 2＋2x ＋ξ不存在零点的概率为( )A.12B.23C.34D.45 答案 A解析 函数f (x )＝x 2＋2x ＋ξ不存在零点的条件是 Δ＝22－4×1×ξ<0，解得ξ>1.又ξ～N (1，σ2)，所以P (ξ>1)＝12，即所求事件的概率为12.故选A.5．(2018·某某聊城重点中学联考)已知服从正态分布N (μ，σ2)的随机变量在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)和(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率分别为68.3%,95.4%和99.7%.某校为高一年级1000名新生每人定制一套校服，经统计，学生的身高(单位：cm)服从正态分布(165,52)，则适合身高在155～175 cmX 围内的校服大约要定制( )A ．683套B ．954套C ．972套D ．997套 答案 B解析 P (155<ξ<175)＝P (165－5×2<ξ<165＋5×2)＝P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.4%.因此服装大约定制1000×95.4%＝954套．故选B.6．(2018·皖南十校联考)在某市1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N (98，100)．已知参加本次考试的全市理科学生约9450人．某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第多少名？( )A ．1500B ．1700C ．4500D ．8000 答案 A解析 因为学生的数学成绩X ～N (98,100)，所以P (X ≥108)＝12[1－P (88<X <108)]＝12[1－P (μ－σ<X <μ＋σ)]＝12(1－0.6826)＝0.1587，故该学生的数学成绩大约排在全市第0.1587×9450≈1500名，故选A.7．(2017·某某一中一模)一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c ，(a ，b ，c ∈(0,1))，已知他投篮得分的数学期望是2，则2a ＋13b的最小值为( )A.323B.283C.143D.163 答案 D解析 由数学期望的定义可知3a ＋2b ＝2，所以2a ＋13b ＝12(3a ＋2b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋13b ＝12( 6＋23＋4b a ＋a b )≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋23＋4＝163，当且仅当4b a ＝a b 即a ＝12，b ＝14时取得等号．故选D. 8．若X 是离散型随机变量，P (X ＝x 1)＝23，P (X ＝x 2)＝13，且x 1<x 2，又已知E (X )＝43，D (X )＝29，则x 1＋x 2的值为( ) A.53 B.73 C ．3 D.113 答案 C 解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 1·23＋x 2·13＝43，⎝⎛⎭⎪⎫x 1－432·23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－432·13＝29，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝53，x 2＝23或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝2.又∵x 1<x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝2，∴x 1＋x 2＝3.故选C.9．(2018·某某调研)已知随机变量x 服从正态分布N (μ，σ2)，且P (μ－2σ<x ≤μ＋2σ)＝0.9544，P (μ－σ<x ≤μ＋σ)＝0.6826，若μ＝4，σ＝1，则P (5<x <6)等于( )A ．0.1358B ．0.1359C ．0.2716D ．0.2718 答案 B解析 由题知x ～N (4,1)，作出相应的正态曲线，如图，依题意P (2<x ≤6)＝0.9544，P (3<x ≤5)＝0.6826，即曲边梯形ABCD 的面积为0.9544，曲边梯形EFGH 的面积为0.6826，其中A ，E ，F ，B 的横坐标分别是2,3,5,6，由曲线关于直线x ＝4对称，可知曲边梯形FBCG 的面积为0.9544－0.68262＝0.1359，即P (5<x <6)＝0.1359，故选B.10．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设某学生一次发球成功的概率为p (p ≠0)，发球次数为X ，若X 的数学期望E (X )>1.75，则p 的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，712B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫712，1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 答案 B解析 根据题意，学生一次发球成功的概率为p ，即P (X ＝1)＝p ，发球二次的概率P (X ＝2)＝p (1－p )，发球三次的概率P (X ＝3)＝(1－p )2，则E (X )＝p ＋2p (1－p )＋3(1－p )2＝p2－3p ＋3，依题意有E (X )>1.75，则p 2－3p ＋3>1.75，解得p >52或p <12，结合p 的实际意义，可得0<p <12，即p ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.故选B.二、填空题11．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若P (X ＝0)＝112，则随机变量X的数学期望E (X )＝______.答案 53解析 ∵P (X ＝0)＝13×(1－p )2＝112，∴p ＝12.则P (X ＝1)＝23×12×12＋13×12×12×2＝412＝13，P (X ＝2)＝23×12×12×2＋13×12×12＝512， P (X ＝3)＝23×12×12＝16.则E (X )＝0×112＋1×13＋2×512＋3×16＝53.12．某省实验中学高三共有学生600人，一次数学考试的成绩(试卷满分150分)服从正态分布N (100，σ2)，统计结果显示学生考试成绩在80分到100分之间的人数约占总人数的13，则此次考试成绩不低于120分的学生约有________人． 答案 100解析 ∵数学考试成绩ξ～N (100，σ2)，作出正态分布图象，可能看出，图象关于直线x ＝100对称．显然P (80≤ξ≤100)＝P (100≤ξ≤120)＝13；∴P (ξ≤80)＝P (ξ≥120)．又∵P (ξ≤80)＋P (ξ≥120)＝1－P (80≤ξ≤100)－P (100≤ξ≤120)＝13，∴P (ξ≥120)＝12×13＝16. ∴成绩不低于120分的学生约为600×16＝100人．13．(2018·某某七校联考)2017年中国汽车销售量达到1700万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况，共抽查了1200名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8.0升，并且汽车的耗油量ξ服从正态分布N (8，σ2)，已知耗油量ξ∈[7,9]的概率为0.7，那么耗油量大于9升的汽车大约有________辆．答案 180解析 由题意可知ξ～N (8，σ2)，故正态分布曲线以μ＝8为对称轴．又因为P (7≤ξ≤9)＝0.7，故P (7≤ξ≤9)＝2P (8≤ξ≤9)＝0.7，所以P (8≤ξ≤9)＝0.35.而P (ξ≥8)＝0.5，所以P (ξ>9)＝0.15.故耗油量大于9升的汽车大约有1200×0.15 ＝180辆．14．(2017·某某某某模拟)赌博有陷阱．某种赌博游戏每局的规则是：参与者从标有5,6,7,8,9的小球中随机摸取一个(除数字不同外，其余均相同)，将小球上的数字作为其赌金(单位：元)，然后放回该小球，再随机摸取两个小球，将两个小球上数字之差的绝对值的2倍作为其奖金(单位：元)．若随机变量ξ和η分别表示参与者在每一局赌博游戏中的赌金与奖金，则E (ξ)－E (η)＝________元．答案 3解析 ξ的分布列为E (ξ)＝15×(5＋6＋7＋8＋9)＝7(元)． η的分布列为E (η)＝2×25＋4×310＋6×5＋8×10＝4(元)，∴E (ξ)－E (η)＝7－4＝3(元)． 故答案为3.B 级三、解答题15．(2018·某某八校第二次联考)某手机卖场对市民进行国产手机认可度的调查，随机抽取100名市民，按年龄(单位：岁)进行统计的频数分布表和频率分布直方图如下：合计 100(1)求频率分布表中x 、y 的值，并补全频率分布直方图；(2)在抽取的这100名市民中，按年龄进行分层抽样，抽取20人参加国产手机用户体验问卷调查，现从这20人中随机选取2人各赠送精美礼品一份，设这2名市民中年龄在[35,40)内的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．解 (1)由题意知，[25,30)内的频率为0.01×5＝0.05，故x ＝100×0.05＝5.因[30,35)内的频率为1－(0.05＋0.35＋0.3＋0.1)＝1－0.8＝0.2，故y ＝100×0.2＝20，且[30,35)这组对应的频率组距＝0.25＝0.04.补全频率分布直方图略．(2)∵年龄从小到大的各层人数之间的比为5∶20∶35∶30∶10＝1∶4∶7∶6∶2，且共抽取20人，∴抽取的20人中，年龄在[35,40)内的人数为7. X 可取0,1,2，P (X ＝0)＝C 213C 220＝78190，P (X ＝1)＝C 113C 17C 220＝91190，P (X ＝2)＝C 27C 220＝21190，故X 的分布列为X 0 1 2 P781909119021190故E (X )＝91190×1＋21190×2＝133190.16．新生儿Apgar 评分，即阿氏评分，是对新生儿出生后总体状况的一个评估，主要从呼吸、心率、反射、肤色、肌X 力这几个方面评分， 评分在8～10分者为正常新生儿，评分在4～7分的新生儿考虑患有轻度窒息，评分在4分以下的新生儿考虑患有重度窒息，大部分新生儿的评分在7～10分之间．某医院妇产科从9月份出生的新生儿中随机抽取了16名，表格记录了他们的评分情况．分数段 [0,7) [7,8) [8,9) [9,10] 新生儿数 1384(1)现从这16名新生儿中随机抽取3名，求至多有1名新生儿的评分不低于9分的概率； (2)用这16名新生儿的Apgar 评分来估计本年度新生儿的总体状况，若从本年度新生儿中任选3名，记X 表示抽到评分不低于9分的新生儿数，求X 的分布列及数学期望．解 (1)设A i 表示所抽取的3名新生儿中有i 名的评分不低于9分， “至多有1名新生儿的评分不低于9分”记为事件A ， 则由表格中数据可知P (A )＝P (A 0)＋P (A 1)＝C 312C 316＋C 14C 212C 316＝121140.(2)由表格数据知，从本年度新生儿中任选1名，评分不低于9分的概率为416＝14，由题意知随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3，且P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫343＝2764；P (X ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫141⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝2764； P (X ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫142⎝ ⎛⎭⎪⎫341＝964； P (X ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫143＝164. 所以X 的分布列为X 0 1 2 3 P2764 2764964164E (X )＝0×2764＋1×2764＋2×964＋3×164＝0.75⎝ ⎛⎭⎪⎫或E X ＝3×14＝0.75. 17．(2015·某某高考)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中各随机摸出1个球．在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的数学期望和方差．解 (1)记事件A 1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}，A 2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}，B 1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，B 2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，C ＝{顾客抽奖1次能获奖}．由题意，A 1与A 2相互独立，A 1A －2与A －1A 2互斥，B 1与B 2互斥，且B 1＝A 1A 2，B 2＝A 1A －2＋A －1A 2，C ＝B 1＋B 2.因为P (A 1)＝410＝25，P (A 2)＝510＝12，所以P (B 1)＝P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝25×12＝15，P (B 2)＝P (A 1A －2＋A －1A 2)＝P (A 1A －2)＋P (A －1A 2)＝P (A 1)P (A －2)＋P (A －1)P (A 2)＝P (A 1)[1－P (A 2)]＋[1－P (A 1)]P (A 2)＝25×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25×12＝12.故所求概率为P (C )＝P (B 1＋B 2)＝P (B 1)＋P (B 2)＝15＋12＝710. (2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为15，所以X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，15.故X 的数学期望为E (X )＝3×15＝35， 方差为D (X )＝3×15×45＝1225.18．(2018·江淮十校联考)某市级教研室对辖区内高三年级10000名学生的数学一轮成绩统计分析发现其服从正态分布N (120,25)，该市一重点高中学校随机抽取了该校成绩介于85分到145分之间的50名学生的数学成绩进行分析，得到如图所示的频率分布直方图．(1)试估算该校高三年级数学的平均成绩；(2)从所抽取的50名学生中成绩在125分(含125分)以上的同学中任意抽取3人，该3人在全市前13名的人数记为X ，求X 的期望．附：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－3σ<X <μ＋3σ)＝0.9974. 解 (1)由频率分布直方图可知[125,135)的频率为 1－10×(0.01＋0.024＋0.03＋0.016＋0.008)＝0.12， 该校高三年级数学的平均成绩为90×0.1＋100×0.24＋110×0.3＋120×0.16＋130×0.12＋140×0.08＝112(分)． (2)由于1310000＝0.0013，由正态分布得P (120－3×5<X <120＋3×5)＝0.9974，故P (X ≥135)＝1－0.99742＝0.0013，即0.0013×10000＝13， 所以前13名的成绩全部在135分以上，由频率分布直方图可知这50人中成绩在135以上(包括135分)的有50×0.08＝4人，而在[125,145)的学生有50×(0.12＋0.08)＝10人，所以X 的取值为0,1,2,3，P (X ＝0)＝C 36C 310＝16，P (X ＝1)＝C 26C 14C 310＝12，P (X ＝2)＝C 16C 24C 310＝310，P (X ＝3)＝C 34C 310＝130，X 的分布列为数学期望值为E (X )＝0×6＋1×2＋2×10＋3×30＝1.2.。

P(ξ≥4)＝0.6.]
12/12/2021
第十四页，共六十页。
解析答案
5．随机变量 X 的分布列为 P(X＝k) 8 9
[由 P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)
＝kkC＋1，k＝1,2,3，C 为常数， ＝1，得1×C 2＋2×C 3＋3×C 4＝1，解
则 P(0.5＜X＜2.5)＝________.
12/12/2021
第十八页，共六十页。
解析答案
(1)A [依题意，X～B(100,0.02)，所以 D(X)＝100×0.02×(1－0.02)＝ 1.96.] (2)[解] 设 Ak，Bk 分别表示“甲、乙在第 k 次投篮投中”， 则 P(Ak)＝13，P(Bk)＝12，其中 k＝1,2,3.
；
③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝ 0.997 4
.
[常用结论]
1．均值与方差的关系：D(X)＝E(X2)－E2(X)．
2．超几何分布的均值：若 X 服从参数为 N，M，n 的超几何分布，则 E(X)＝nNM.
12/12/2021
第八页，共六十页。
答案
[基础自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( ) (2)若 X～N(μ，σ2)，则 μ，σ2 分别表示正态分布的均值和方差．( ) (3)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量．( ) (4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程 度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小. ( )
12/12/2021
第二页，共六十页。
01
知识 全通 课前·
(zhī shi)

第6节离散型随机变量的分布列及均值和方差【选题明细表】知识点、方法题号离散型随机变量的分布列及其性质1,2,4,7,10离散型随机变量的均值、方差6,8,9,11,12超几何分布3,5,13基础巩固(时间:30分钟)1.(2017·茂名市二模)若离散型随机变量X的分布列为X 0 1P则X的数学期望E(X)等于( C )(A)2 (B)2或(C) (D)1解析:由题意, +=1,a>0,所以a=1,所以E(X)=0×+1×=.故选C.X 1 2 3 4P m(A)(B) (C)(D)解析:m=,P(|X-2|=1)= +=.故选C.3.有10张卡片,其中8张标有数字2,2张标有数字5,从中任意抽出3张卡片,设3张卡片上的数字之和为X,则X≥8的概率是( C )(A)(B)(C)(D)解析:X的取值为6,9,12,X≥8时,P(X=9)==,P(X=12)==,所以X≥8的概率为+=.故选C.4.设随机变量ξ的分布列为P(ξ=)=ak(k=1,2,3,4,5),则P(<ξ<)等于( C )(A) (B) (C) (D)ξ 1 2 3 4 5P a 2a 3a 4a 5a由分布列的性质可得a+2a+3a+4a+5a=1,解得a=.所以P(<ξ<)=P(ξ=)+P(ξ=)+P(ξ=)=++=.故选C.5.一个袋中有4个红球,3个黑球,小明从袋中随机取球,设取到一个红球得2分,取到一个黑球得1分,从袋中任取4个球,则小明得分大于6分的概率是( A )(A)(B)(C)(D)解析:记得分为X,则X=5,6,7,8.P(X=7)= =;P(X=8)==.所以P(X>6)=P(X=7)+P(X=8)=+=.6.(2017·合肥市二模)已知5件产品中有2件次品,现逐一检测,直至能确定所有次品为止,记检测的次数为ξ,则E(ξ)等于( C )(A)3 (B)(C)(D)4解析:由题意知ξ的可能取值为2,3,4,P(ξ=2)=×=,P(ξ=3)=(×+×)×=,P(ξ=4)=1-P(ξ=2)-P(ξ=3)=1--=,所以E(ξ)=2×+3×+4×=.故选C.7.设随机变量ξ等可能取1,2,3,…,n,若P(ξ<4) =0.3,则n= .解析:因为1,2,3,…,n每个值被取到的概率为,所以P(ξ<4)=P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)= ++=0.3,所以n=10.答案:108.某公司有5万元资金用于投资开发项目,如果成功,一年后可获利12%;如果失败,一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果:投资成功投资失败192例8例则该公司一年后估计可获收益的期望是元.解析:由题意知,一年后获利6 000元的概率为0.96,获利-25 000元的概率为0.04,故一年后收益的期望是6000×0.96+(-25000)×0.04=4 760(元).答案:4 760能力提升(时间:15分钟)9.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴在y轴的左侧,其中a,b,c∈{-3,-2,-1,0,1,2,3},在这些抛物线中,记随机变量ξ=|a-b|,则E(ξ)为( A )(A) (B) (C) (D)解析:因为抛物线的对称轴在y轴的左侧,所以-<0,即>0,即a,b同号.所以随机变量ξ的分布列为ξ0 1 2P所以E(ξ)=0×+1×+2×=.故选A.10.(2017·临汾联考)口袋中有5只球,编号为1,2,3,4,5,从中任意取3只球,以X表示取出的球的最大号码,则X的分布列为.解析:X的取值为3,4,5.又P(X=3)==,P(X=4)==,P(X=5)==.所以随机变量X的分布列为X 3 4 5P 0.1 0.3 0.6X 3 4 5P 0.1 0.3 0.6成绩得到如图所示的频率分布直方图:(1)根据频率分布直方图,估计该校高三学生本次数学考试的平均分;(2)若用分层抽样的方法从分数在[30,50)和[130,150]的学生中抽取6人,该6人中成绩在[130,150]的有几人?(3)在(2)抽取的6人中,随机抽取3人,设分数在[130,150]内的人数为ξ,求其数学期望E(ξ).解:(1)由频率分布直方图,得该校高三学生本次数学考试的平均分为0.005 0×20×40+0.007 5×20×60+0.007 5×20×80+0.015 0×20×100+0.012 5×20×120+0.002 5×20×140=92.(2)样本中分数在[30,50)和[130,150]的人数分别为6人和3人,所以抽取的6人中分数在[130,150]的人有6×=2(人).(3)由(2)知:抽取的6人中分数在[130,150]的有2人,依题意ξ的所有取值为0,1,2,当ξ=0时,P(ξ=0)==;当ξ=1时,P(ξ=1)==;当ξ=2时,P(ξ=2)==;所以E(ξ)=0×+1×+2×=1.12.(2016·湖南郴州第四次质检)中学阶段是学生身体发育最重要的阶段,长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康,某校为了解甲、乙两班每周自我熬夜学习的总时长(单位:小时),分别从这两个班中随机抽取6名同学进行调查,将他们最近一周自我熬夜学习的总时长作为样本数据,绘制成茎叶图如图所示(图中的茎表示十位数字,叶表示个位数字),如果学生平均每周自我熬夜学习的总时长超过21小时,则称为“过度熬夜”.(1)请根据样本数据,估计甲、乙两班的学生平均每周自我熬夜学习时长的平均值;(2)从甲、乙两班的样本数据中各随机抽取2名学生的数据,记“过度熬夜”的学生人数为X,写出X的分布列和数学期望E(X).解:(1)甲班样本数据的平均值为 (9+11+13+20+24+37)=19,由此估计甲班学生每周平均熬夜时间为19小时;乙班样本数据的平均值为 (11+12+21+25+27+36)=22,由此估计乙班学生每周平均熬夜时间为22小时.(2)X的可能取值为0,1,2,3,4.P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2) ==,P(X=3)==,P(X=4)==.X 0 1 2 3 4PE(X)=0×+1×+2×+3×+4×=.13.调查表明,高三学生的幸福感与成绩、作业量、人际关系的满意度的指标有极强的相关性,现将这三项的满意度指标分别记为x,y,z,并对它们进行量化:0表示不满意,1表示基本满意,2表示满意.再用综合指标w=x+y+z的值评定高三学生的幸福感等级:若w≥4,则幸福感为一级;若2≤w≤3,则幸福感为二级;若0≤w≤1,则幸福感为三级.为了了解目前某高三学生人员编号A1A2A3A4A5 (x,y,z) (1,1,2) (2,1,1) (2,2,2) (0,1,1) (1,2,1) 人员编号A6A7A8A9A10 (x,y,z) (1,2,2) (1,1,1) (1,2,2) (1,0,0) (1,1,1)(2)从幸福感等级是一级的被采访者中任取一人,其综合指标为a,从幸福感等级不是一级的被采访者中任取一人,其综合指标为b,记随机变量X=a-b,求X的分布列及其数学期望. 解:(1)设事件A:在这10名被采访者中任取两人,这两人的成绩满意度指标x相同,成绩满意度指标为0的有1人;成绩满意度指标为1的有7人;成绩满意度指标为2的有2人.则P(A)==.(2)统计结果,幸福感等级是一级的被采访者共6人,幸福感等级不是一级的被采访者共4名,随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4,5P(X=1)==;P(X=2)==;P(X=3)==,P(X=4)==,P(X=5)==.所以X的分布列为X 1 2 3 4 5PE(X)=1×+2×+3×+4×+5×=.。

12/12/2021
第十一页，共四十九页。
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映射为实数． ( √ )
(2)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．
(√ )
(3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．
(√ )
12/12/2021
第七页，共四十九页。
二、教材衍化
1．设随机变量 X 的分布列如下：
X1 2 3 4 5
P
1 12
1 6
1 3
1 6
p
则 p＝________．
解析：由分布列的性质知，112＋16＋13＋16＋p＝1，
所以 p＝1－34＝14.
答案：14
12/12/2021
第八页，共四十九页。
2．有一批产品共 12 件，其中次品 3 件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的 次品数 X 的所有可能取值是________． 解析：因为次品共有 3 件，所以在取到合格品之前取到次品数为 0，1，2，3. 答案：0，1，2，3
12/12/2021
第十三页，共四十九页。
二、易错纠偏 常见误区 (1)随机变量的概念不清； (2)超几何分布类型掌握不准； (3)分布列的性质不清致误．
12/12/2021
第十四页，共四十九页。
1．袋中有 3 个白球、5 个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是
()
A．至少取到 1 个白球
B．至多取到 1 个白球
12/12/2021
第十七页，共四十九页。
离散型随机变量的分布列的性质(典例迁移)
设离散型随机变量 X 的分布列为