§1 常数项级数的概念和性质【目的要求】1、能区分无穷项相加与有限项相加的区别；2、了解无穷级数部分和与级数收敛及发散的关系、和的定义；3、掌握用部分和的极限、收敛级数的必要条件来判别级数的敛散性． 【重点难点】数项级数的概念与性质． 【教学内容】一、常数项级数的概念定义1.1 给定一个无穷实数列{}n u ：12,,,,n u u u则由这数列构成的表达式12n u u u ++++叫做常数项无穷级数, 简称常数项级数, 记为∑∞=1n n u , 即1231nn n uu u u u ∞==+++++∑,其中第n 项n u 叫做级数的一般项(或通项). 级数∑∞=1n n u 的前n 项和1231nn i n i s u u u u u ===++++∑称为级数∑∞=1n n u 的前n 项部分和. 部分和构成的数列12{}:,,,n n s s s s称为部分和数列.定义 1.2 如果级数∑∞=1n n u 的部分和数列}{n s 收敛, 即s s n n =∞→lim , (s 为一实数)则称无穷级数∑∞=1n n u 收敛, 并称s 为级数∑∞=1n n u 的和, 并写成1231n n n s u u u u u ∞===+++++∑;如果}{n s 发散, 则称无穷级数∑∞=1n n u 发散. 级数的收敛和发散统称为敛散性.当级数∑∞=1n n u 收敛时, 其部分和n s 是级数∑∞=1n n u 的和s 的近似值, 它们之间的差n n r s s =-称为级数∑∞=1n n u 的余项. n s 和s 之间的误差可由||n r 去衡量, 由于s s n n =∞→lim , 所以lim ||0n n r →∞= 例1 讨论等比级数(几何级数)20nn n aqa aq aq aq ∞==+++++∑, (0a ≠)的敛散性.解 如果1q ≠, 则部分和21111n n n n a aq a aq s a aq aq aqq q q--=++++==----. 当||1q <时, 因为q a s n n -=∞→1lim , 所以此时级数n n aq ∑∞=0收敛, 其和为q a-1. 当||1q >时, 因为lim n n s →∞不存在, 所以此时级数n n aq ∑∞=0发散. 如果||1q =, 则当1q =时, 因为lim n n s →∞不存在, 因此此时级数n n aq ∑∞=0发散;当1q =-时, 级数n n aq ∑∞=0成为a a a a -+-+,因为lim n n s →∞不存在, 因此此时级数n n aq ∑∞=0发散. 综上所述, 如果||1q <, 则级数n n aq ∑∞=0收敛, 其和为q a-1;如果||1q ≥, 则级数n n aq ∑∞=0发散.例2 证明级数0123n n n ∞==+++++∑是发散的.证 此级数的部分和为2)1( 321+=+⋅⋅⋅+++=n n n s n . 显然, ∞=∞→n n s lim , 因此该级数是发散的. 例3 判别无穷级数 011111(1)122334(1)n n n n n ∞==++++++⋅⋅⋅+∑ 的收敛性.解 部分和111)1(1+-=+=n n n n u n ,由于)1(1431321211++⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=n n s n111)111( )3121()211(+-=+-+⋅⋅⋅+-+-=n n n从而1)111(lim lim =+-=∞→∞→n s n n n ,所以该级数收敛, 其和是1.以上几个例题, 都是先将部分和n s 的表达式算出, 然后讨论lim n n s →∞是否存在, 从而判断级数的敛散性. 然而对绝大多数级数来说, n s 的表达式难以计算, 而且实际问题中往往只需知道一个级数是收敛还是发散, 并不奢望对每个级数都求出其和, 因此我们有必要研究某些直接从一般项n u 的形式就可以判断∑∞=1n n u 敛散性的简明法则. 为此, 先对级数的基本性质展开一些讨论.二、收敛级数的基本性质性质 1 如果级数∑∞=1n n u 收敛于和s , k 为任意常数, 则级数∑∞=1n n ku 也收敛,且其和为ks .证 设∑∞=1n n u 与∑∞=1n n ku 的部分和分别为s n 与σn , 则) (lim lim 21n n n n ku ku ku ⋅⋅⋅++=∞→∞→σks s k u u u k n n n n ==⋅⋅⋅++=∞→∞→lim ) (lim 21. 所以级数∑∞=1n n ku 收敛, 且和为ks .性质2 如果级数∑∞=1n n u 、∑∞=1n n v 分别收敛于和s 、σ, 则级数)(1n n n v u ±∑∞=也收敛, 且其和为s σ±.证 设∑∞=1n n u 、∑∞=1n n v 、)(1n n n v u ±∑∞=的部分和分别为s n 、σn 、τn , 则)]( )()[(lim lim 2211n n n n n v u v u v u ±+⋅⋅⋅+±+±=∞→∞→τ )] () [(lim 2121n n nv v v u u u +⋅⋅⋅++±+⋅⋅⋅++=∞→ σσ±=±=∞→s s n n n )(lim . 所以级数)(1n n n v u ±∑∞=收敛, 且和为s σ±.性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项, 不会改变级数的收敛性. 比如, 级数11111122334(1)n n u n n ∞==+++++⋅⋅⋅+∑是收敛的, 级数110000 n n u ∞=+∑也是收敛的, 级数3n n u ∞=∑也是收敛的.性质 4 设级数∑∞=1n n u 收敛, 其和为s , 则保持级数原有顺序对其任意加括号后所成的级数仍收敛, 且其和不变.注意 如果加括号后所成的级数收敛, 则不能断定去括号后原来的级数也收敛. 例如, 级数(11)(11) -+-+收敛于0, 但级数1111-+-+却是发散的.推论 如果保持原有顺序添加括号后所成的级数发散, 则原来级数也发散. 性质5(级数收敛的必要条件) 如果∑∞=1n n u 收敛, 则它的一般项n u 趋于零,即0lim 0=→n n u . 证 设级数∑∞=1n n u 的部分和为n s , 且s s n n =∞→lim , 则 0lim lim )(lim lim 110=-=-=-=-∞→∞→-∞→→s s s s s s u n n n n n n n n n . 注意 性质5只是级数收敛的必要条件, 而不是充分条件, 即一般项趋于零的级数不一定收敛. 但可以用性质5的逆否命题来判断一个级数的发散.推论 若0lim 0n n u →≠，则级数∑∞=1n n u 发散. 由此结论, 我们马上可知下列级数:1(0)n a ∞=>, 11(1)n n ∞=-∑, 11(1)nn n ∞=+∑, 1(1)n n ∞=-∑是发散的.应当注意, 尽管有些级数的一般项趋向于零, 但仍是发散的. 例4 证明调和级数 11111123n nn∞==+++++∑是发散的.证 假若级数∑∞=11n n收敛且其和为s , n s 是它的部分和.显然有s s n n =∞→lim 及s s n n =∞→2lim . 于是0)(lim 2=-∞→n n n s s .但另一方面, 2121 212121 21112=+⋅⋅⋅++>+⋅⋅⋅++++=-n n n n n n s s n n ,故0)(lim 2≠-∞→n n ns s , 矛盾. 这矛盾说明级数∑∞=11n n 必定发散.§2 常数项级数的审敛法【目的要求】1、理解正项级数的定义、性质、收敛的充分必要条件；2、掌握三种判别法使用区别．3、了解绝对收敛与条件收敛等概念；4、熟练掌握交错级数收敛的判别法；5、熟练掌握绝对收敛与条件收敛的判别法． 【重点难点】正项级数的特有性质及判别法． 区分绝对收敛与条件收敛． 【教学内容】一般的常数项级数, 它的各项可以是正数、负数或者零. 现在我们先讨论各项都是非负的级数——正项级数. 这种级数特别重要, 以后将看到许多级数的敛散性问题可归结为正项级数的收敛性问题.一、 正项级数及其审敛法定义 2.1 若级数∑∞=1n n u 的各项均非负, 即0n u ≥, 则称该级数为正项级数.设级数1231nn n uu u u u ∞==+++++∑ (1)是一个正项级数, 它的部分和为n s . 显然, 数列{}n s 是一个单调递增数列. 如果数列{}n s 有界, 根据单调有界的数列必有极限的准则, 级数(1)必收敛于s . 反之,如果正项级数(1)收敛于s , 即s s n n=∞→lim , 根据有极限的数列是有界数列的性质可知, 数列{}n s 有界. 因此, 我们得到如下重要的结论.定理2.1 正项级数∑∞=1n n u 收敛的充分必要条件是它的部分和数列{}n s 有界.由定理 2.1 可知, 如果正项级数∑∞=1n n u 发散, 则它的部分和数列n s →∞(n →∞), 即1n n u ∞==+∞∑由此, 可得关于正项级数的一个基本的审敛法. 定理 2.2 (比较审敛法) 设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都是正项级数, 且n n u v ≤(1,2,n =). 若级数∑∞=1n n v 收敛, 则级数∑∞=1n n u 收敛; 反之, 若级数∑∞=1n n u 发散, 则级数∑∞=1n n v 发散.证 设级数∑∞=1n n v 收敛于和σ, 则级数∑∞=1n n u 的部分和1212(1,2,)n nns u u u v v v n σ=+++≤+++≤= 即部分和数列{}n s 有界, 由定理2.1 知级数∑∞=1n n u 收敛.反之, 设级数∑∞=1n n u 发散, 则级数∑∞=1n n v 必发散. 因为若级数∑∞=1n n v 收敛, 由上已证明的结论, 将有级数∑∞=1n n u 也收敛, 与假设矛盾.推论 设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都是正项级数, 如果级数∑∞=1n n v 收敛, 且存在自然数N , 使当n N ≥时, 有n n u kv ≤ (0k >)成立, 则级数∑∞=1n n u 收敛; 如果级数∑∞=1n n v 发散, 且当n N ≥时, 有n n u kv ≥ (0k >)成立, 则级数∑∞=1n n u 发散.例1 讨论p -级数1111111234p p p p pn n n ∞==++++++∑的收敛性, 其中常数0p >.解 设1p ≤. 这时n n p 11≥, 而调和级数∑∞=11n n发散, 由比较审敛法知, 当1p ≤时级数pn n 11∑∞=发散. 设1p >, 且1n x n -≤≤时. 有1111111111d d []1(1)n n p p p p p n n x x n n x p n n ----=≤=---⎰⎰(2,3,n =).对于级数]1)1(1[112--∞=--∑p p n n n , 其部分和111111)1(11])1(11[ ]3121[]211[------+-=+-+⋅⋅⋅+-+-=p p p p p p n n n n s .因为1])1(11[lim lim 1=+-=-∞→∞→p n n n n s . 所以级数]1)1(1[112--∞=--∑p p n n n 收敛. 从而根据比较审敛法的推论可知, 级数p n n11∑∞=当1p >时收敛.综上所述, p -级数p n n11∑∞=当1p >时收敛, 当1p ≤时发散.例2 证明级数∑∞=+1)1(1n n n 是发散的. 证 因为11)1(1)1(12+=+>+n n n n ,而级数11 3121111⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++=+∑∞=n n n 是发散的,根据比较审敛法可知所给级数也是发散的.定理 2.3 (比较审敛法的极限形式) 设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都是正项级数, 0n v ≠,且l v u nnn =∞→lim, 则(1) 当0l ≤<+∞时, 级数∑∞=1n n v 与∑∞=1n n u 同时收敛或同时发散;(2) 当0l =时, 若级数∑∞=1n n v 收敛, 则级数∑∞=1n n u 收敛; 若∑∞=1n n u 发散, 则∑∞=1n nv 发散.(3) 当l =+∞时, 若级数∑∞=1n n v 发散, 则级数∑∞=1n n u 发散; 若∑∞=1n n u 收敛, 则∑∞=1n nv 收敛.例3 判别级数∑∞=11sin n n 的收敛性.解 因为111sin lim=∞→nn n , 而级数∑∞=11n n发散, 根据比较审敛法的极限形式, 级数∑∞=11sin n n 发散.例4 判别级数∑∞=+12)11ln(n n 的收敛性. 解 因为11)11ln(lim22=+∞→nn n , 而级数211n n ∑∞=收敛, 根据比较审敛法的极限形式, 级数∑∞=+12)11ln(n n 收敛. 定理 2.4 (比值审敛法, 达朗贝尔判别法) 设∑∞=1n n u 为正项级数, 对任意1n ≥, 有ρ=+∞→nn n u u 1lim, 则(1) 当01ρ≤<时, 级数∑∞=1n n u 收敛;(2) 当1ρ>时, 级数∑∞=1n n u 发散;(3) 当1ρ=时, 级数∑∞=1n n u 可能收敛也可能发散.例5 证明级数 )1( 3211 3211211111⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅++n 是收敛的. 解 因为101lim 321)1( 321lim lim 1<==⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅=∞→∞→+∞→nn n u u n n n n n , 根据比值审敛法可知所给级数收敛.例6 判别级数10! 10321102110132⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅+nn 的收敛性.解 因为∞=+=⋅+=∞→+∞→+∞→101lim ! 1010)!1(lim lim11n n n u u n nn n n n n ,根据比值审敛法可知所给级数发散. 例7 判别级数∑∞∞→⋅-n n n 2)12(1的收敛性.解 1)22()12(2)12(lim lim1=+⋅+⋅-=∞→+∞→n n nn u u n n n n .这时1ρ=, 比值审敛法失效, 必须用其它方法来判别级数的收敛性.因为212)12(1n n n <⋅-, 而级数211nn ∑∞=收敛, 因此由比较审敛法可知所给级数收敛.定理 2.5 (根值审敛法, 柯西判别法) 设∑∞=1n n u 是正项级数, 且ρ=∞→n n n u l i m , 则(1) 当01ρ≤<时, 级数∑∞=1n n u 收敛;(2) 当1ρ>时, 级数∑∞=1n n u 发散;(3) 当1ρ=时, 级数∑∞=1n n u 可能收敛也可能发散.例8 证明级数1 3121132⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nn 是收敛的, 并估计以级数的部分和n s 近似代替和s 所产生的误差.解 因为01lim 1lim lim ===∞→∞→∞→n n u n n n n n n n , 所以根据根值审敛法可知所给级数收敛.以这级数的部分和n s 近似代替和s 所产生的误差为)3(1)2(1)1(1||321⋅⋅⋅++++++=+++n n n n n n n r )1(1)1(1)1(1321⋅⋅⋅++++++<+++n n n n n n + n n n )1(1+=.例9 判定级数∑∞=-+12)1(2n n n的收敛性.解 因为21)1(221lim lim =-+=∞→∞→n n n n n n u ,所以, 根据根值审敛法知所给级数收敛.定理 2.6 (极限审敛法) 设∑∞=1n n u 为正项级数,(1) 当lim 0(lim )n n n n nu l nu →∞→∞=>=+∞包括时, 则级数∑∞=1n n u 发散; (2) 当1ρ>, 而)0( lim +∞<≤=∞→l l u n n pn时, 则级数∑∞=1n n u 收敛. 例10 判定级数∑∞=+12)11ln(n n 的收敛性. 解 因为)(1~)11ln(22∞→+n n n , 故11lim )11ln(lim lim 22222=⋅=+=∞→∞→∞→n n n n u n n n n n ,根据极限审敛法, 知所给级数收敛.例11 判定级数)cos 1(11n n n π-+∑∞=的收敛性.解 因为222232321)(211lim )cos 1(1limlimπππ=⋅+=-+=∞→∞→∞→n n n n n n n u n n n nn ,根据极限审敛法, 知所给级数收敛.定理 2.7 (积分审敛法) 设∑∞=1n n u 为正项级数, ()f x 是[1,)+∞上的单调递减连续函数, 且对任意自然数1n ≥有,()n f n u =则级数∑∞=1n n u 收敛的充分必要条件是广义积分1()d f x x +∞⎰收敛.例12 判定级数21ln n n n ∞=∑的收敛性. 解 设1(),[2,)ln f x x x x=∈+∞,在此定义区间中, ()f x 单调递减连续, 且1(),(2,3,)ln n f n u n n n===, 由于221d ln |ln |ln ln 2ln x x x x+∞+∞==+∞-=+∞⎰,即广义积分21d ln x x x +∞⎰发散, 所以原级数21ln n n n∞=∑发散.二、交错级数及其审敛法定义 2.2 常数项级数的各项依次正负相间, 就称该级数为交错级数. 它的一般形式如下:∑∞=--11)1(n n n u , 其中0>n u .例如,1)1(11∑∞=--n n n 是交错级数, 但 cos 1)1(11∑∞=---n n n n π不是交错级数.下面给出关于交错级数的一个审敛法.定理 2.8 (莱布尼茨定理) 如果交错级数∑∞=--11)1(n n n u 满足条件:(1) 1n n u u +≥, (,1,2,n =);(2) 0lim =∞→n n u , 则级数收敛, 且其和1s u ≤, 其余项满足1||n n r u +≤.例13 证明级数 1)1(11∑∞=--n n n 收敛, 并估计其和及余项.证 这是一个交错级数. 而且该级数满足(1)1111+=+>=n n un n u (,1,2,n =), (2)01limlim ==∞→∞→nu n n n ,由莱布尼茨定理, 该级数是收敛的, 且其和s <u 1=1, 余项11||1+=≤+n u r n n .三、绝对收敛与条件收敛现在我们讨论一般的级数121nn n uu u u ∞==++++∑,它的各项为任意实数.定义 2.3 若级数1n n u ∞=∑各项的绝对值所构成的级数∑∞=1||n n u 收敛, 则称级数∑∞=1n n u 绝对收敛; 若级数∑∞=1n n u 收敛, 而级数∑∞=1||n n u 发散, 则称级∑∞=1n n u 条件收敛.例14 级数∑∞=--1211)1(n n n 是绝对收敛的,而级数∑∞=--111)1(n n n 是条件收敛的. 定理 2.9 如果级数∑∞=1n n u 绝对收敛, 则级数∑∞=1n n u 必定收敛.注意 如果级数∑∞=1||n n u 发散, 我们不能断定级数∑∞=1n n u 也发散. 但是, 如果我们用比值法或根值法判定级数∑∞=1||n n u 发散, 则我们可以断定级数∑∞=1n n u 必定发散. 这是因为, 此时|u n |不趋向于零, 从而u n 也不趋向于零, 因此级数∑∞=1n n u 也是发散的.例15 判别级数∑∞=12sin n n na的收敛性. 解 因为|221|sin n n na ≤, 而级数211n n ∑∞=是收敛的, 所以级数∑∞=12|sin |n n na 收敛, 从而级数∑∞=12sin n n na绝对收敛. 例16 判别级数∑∞=+-12)11(21)1(n n nnn 的收敛性. 解 由2)11(21||n n n n u +=,有11lim(1)122n n n e n →∞=+=>, 可知0lim ≠∞→n n u , 因此级数∑∞=+-12)11(21)1(n n nnn 发散.§3 幂级数【目的要求】1、了解幂级数的基本概念；收敛域的定义；2、理解 Abel 定理、会求（缺项与不缺项）幂级数收敛半径、收敛区间、收敛域．【重点难点】缺项与不缺项幂级数收敛半径的求法． 【教学内容】一、函数项级数的概念前面讨论的是数项级数, 它的每一项都是常数, 当级数的通项是在某一区间I 上的函数时, 就称为函数项级数, 即121()()()()nn n u x u x u x u x ∞==++++∑其中()n u x , 1,2,n =是定义在区间I 上的函数.定义 3.1 对于区间I 内的一定点0x , 若常数项级数∑∞=10)(n n x u 收敛, 则称点0x 是函数项级数∑∞=1)(n n x u 的收敛点; 若常数项级数∑∞=10)(n n x u 发散, 则称点0x 是级数∑∞=1)(n n x u 的发散点. 函数项级数∑∞=1)(n n x u 的所有收敛点的全体称为它的收敛域,所有发散点的全体称为它的发散域.定义 3.2 在函数项级数∑∞=1)(n n x u 的收敛域上, 其和是关于x 的函数()s x ,把()s x 称为函数项级数∑∞=1)(n n x u 的和函数, 并写成1()()n n s x u x ∞==∑.定义 3.3 把函数项级数∑∞=1)(n n x u 的前n 项的部分和记作()n s x , 即12()()()()n n s x u x u x u x =+++.在收敛域上有)()(lim x s x s n n =∞→. 函数项级数∑∞=1)(n n x u 的和函数()s x 与部分和()n s x 的差()()()n n r x s x s x =-叫做函数项级数∑∞=1)(n n x u 的余项. 在函数项级数∑∞=1)(n n x u 的收敛域上有0)(lim =∞→x r n n . 例如, 幂级数1211n n n xx x x ∞-==+++++∑可以看成是公比为x 的几何级数.当||1x <时, 该级数是收敛的; 当||1x ≥时, 该级数是发散的. 因此, 该级数的收敛域为(1,1)-, 在收敛域内有和函数11132⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++++=-n x x x x x.二、幂级数及其收敛域我们不讨论一般的函数项级数, 而是就()n u x 为0()n n a x x -的情形, 即下面要定义的幂级数来展开讨论. 幂级数在函数逼近理论及数值计算中有广泛的应用. 定义 3.4 形如01001()()()n nn n n a x xa a x x a x x∞=-=+-++-+∑ (1)的级数称为0()x x -的幂级数, 其中0x R ∈为常数, 012,,,,,n a a a a 均为实常数,称为幂级数的系数.注意 当00x =时, 幂级数的一般形式(1)就称为011()nn nn n a x x a a x a x ∞=-=++++∑, (2)式(2)称为x 的幂级数. 因为只要令0t x x =-, 就可把式(1)化为式(2), 所以不失一般性, 我们讨论幂级数(2)的收敛性问题.定理 3.1 (阿贝尔定理) 若幂级数∑∞=0n n n x a 在0(0)x x =≠处收敛, 则对满足不等式0||||x x <的任何x , 该幂级数绝对收敛. 反之, 若幂级数∑∞=0n n n x a 在0x x =处发散, 则对满足不等式0||||x x >的任何x , 该幂级数发散.定理 3.1 告诉我们, 如果幂级数在0x x =处收敛, 则它在开区间00(||,||)x x -内都收敛, 且绝对收敛; 如果幂级数在0x x =处发散, 则它在区间0(,||)x -∞-和0(||,)x +∞上都发散. 这表明, 幂级数在收敛域中除了零点外, 还有非零的收敛点时,发散点不可能处在零点和非零收敛点之间. 也就是说, 幂级数的收敛域一定是个包含0x =的连续区间, 且除了端点之外, 这个区间是关于原点对称的. 从而, 我们得到如下重要的推论: 推论 如果幂级数∑∞=0n n n x a 不是仅在点0x =一点收敛, 也不是在(,)-∞+∞上都收敛, 则必存在一个完全确定的正数R , 使得 (1) 当||x R <时, 幂级数绝对收敛; (2) 当||x R >时, 幂级数发散;(3) 当||x R =时, 幂级数可能收敛, 也可能发散. 正数R 通常叫做幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径. 开区间(,)R R -叫做幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛区间. 再由幂级数在x R =±处的敛散性就可以决定它的收敛域.幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛域为(,)R R -, [,)R R -, (,]R R -, [,]R R -四种形式之一.注意 若幂级数∑∞=0n n n x a 仅在0x =处收敛, 此时收敛域中只有一点0x =, 规定此时幂级数的收敛半径0R =, 若幂级数∑∞=0n n n x a 对一切x 都收敛, 则规定收敛半径R =+∞, 收敛域为(,)-∞+∞.关于幂级数收敛半径的求法, 有如下定理:定理 3.2 如果幂级数0(0)nn n n a x a ∞=≠∑相邻两项的系数满足ρ=+∞→||lim 1nn n a a , 则该幂级数的收敛半径⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞=≠=∞+=ρρρρ 00 10 R .证 考察幂级数的各项绝对值所构成的级数0||nn n a x ∞=∑, 因为 || ||||lim ||lim 111x x a a x a x a n n n nn n n n ρ=⋅=+∞→++∞→. 所以由正项级数比值审敛法, 可知(1) 若0ρ<<+∞, 则当||1x ρ<时, 幂级数∑∞=0n n n x a 绝对收敛; 当||1x ρ>时,幂级数∑∞=0n nn x a 发散, 所以幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径ρ1=R .(2) 若0ρ=, 则对任何0x ≠, 有||01x ρ=<,幂级数∑∞=0n n n x a 在(,)-∞+∞绝对收敛, 所以幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径R =+∞.(3) 若ρ=+∞, 则对除0x =外的其它一切x , ||1x ρ=+∞>,幂级数∑∞=0n nn x a 都发散,所以幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径0R =.例1 求幂级数)1( 32)1(13211⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅-+-=--∞=-∑n x x x x n x n n n nn 的收敛半径与收敛域.解 因为1111lim ||lim 1=+==∞→+∞→nn a a n n n n ρ, 所以收敛半径为11==ρR .当1x =时, 幂级数成为∑∞=--111)1(n n n , 是收敛的;当1x =-时, 幂级数成为∑∞=-1)1(n n , 是发散的.因此, 该幂级数的收敛域为(1,1]-. 例2 求幂级数23011111!2!3!!n nn x x x x x n n ∞==++++++∑的收敛域.解 因为11!(1)!lim || lim lim 01(1)!!n n n n n a n n a n n ρ+→∞→∞→∞+====+,所以收敛半径为R =+∞, 从而收敛域为(,)-∞+∞. 例3 求幂级数0!nn n x ∞=∑的收敛半径.解 因为1(1)!lim || lim !n n n n a n a n ρ+→∞→∞+===+∞, 所以收敛半径为0R =, 即级数仅在0x =处收敛.例4 求幂级数220(2)!(!)nn n x n ∞=∑的收敛半径. 解 由于该级数缺少奇次幂的项, 定理3.2 不适用. 我们可直接根据比值审敛法来求收敛半径:幂级数的一般项记为22(2)!()(!)n n n u x x n =. 且21()lim 4||()n n n u x x u x +→∞=, 于是当24||1x <即21||<x 时, 原级数收敛; 当24||1x >即21||>x 时, 原级数发散, 所以收敛半径为21=R .例5 求幂级数∑∞=-12)1(n n nnx 的收敛域.解 令1t x =-, 原级数变为∑∞=12n n nnt . 因为 21)1(22 ||lim 11=+⋅⋅==++∞→n n a a n n n n nρ, 所以收敛半径2R =, 收敛区间(2,2)t ∈-.当2t =时, 原级数化为∑∞=11n n , 该级数发散; 当2t =-时, 原级数化为∑∞=-1)1(n n,该级数收敛. 因此级数∑∞=12n n nnt 的收敛域为[2,2)t ∈-. 所以原级数的收敛域为[1,3)x ∈-.三、幂级数的性质及运算设幂级数∑∞=0n nn xa 及∑∞=0n nn x b 分别在区间11(,)R R -及22(,)R R -内收敛, 且12'min(,)R R R =, 则有如下计算法则:(1) 加减法:0(),(',')nnn nnnn n n n a x b x ab x x R R ∞∞∞===±=±∈-∑∑∑;(2) 乘法: 01100()()(),(',')nnn n n n n n n n n a x b x a b a b a b x x R R ∞∞∞-===⋅=+++∈-∑∑∑.设幂级数∑∞=0n n n x a 在收敛域(,)R R -内的和函数为()s x , 则有如下性质:性质1 幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数()s x 在其收敛域(,)R R -内连续.性质2 幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数()s x 在其收敛域(,)R R -内可积, 并且有逐项积分公式∑∑⎰⎰∑⎰∞=+∞=∞=+===0100001)()(n n n n xnn xn nn x x n a dx x a dx x a dx x s (,)x R R ∈-, 逐项积分后所得到的幂级数和原幂级数有相同的收敛半径.性质3 幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数()s x 在其收敛域(,)R R -内可导, 并且有逐项求导公式∑∑∑∞=-∞=∞=='='='110)()()(n n n n nn n nn x na x a x a x s (,)x R R ∈-,逐项求导后所得到的幂级数和原幂级数有相同的收敛半径.注意 经过逐项可导或逐项积分后, 所得的幂级数的收敛半径虽然不变, 但端点的敛散性却会有所变化, 故需另作判断.利用我们已知的一些幂级数的和函数以及幂级数可以逐项求导和逐项积分的运算规则可以求出一些幂级数的和函数. 例6 求幂级数∑∞=+011n nx n 的和函数.解 求得幂级数∑∞=+011n nx n 的收敛域为[1,1)-. 设幂级数∑∞=+011n n x n 的和函数为()s x , 即∑∞=+=011)(n n x n x s , [1,1)x ∈-. 显然,(0)1s =.在∑∞=++=0111)(n n x n x xs 的两边求导得x x x n x xs n n n n -=='+='∑∑∞=∞=+11)11(])([001. 对上式从0到x 积分, 得)1l n (11)(0x dx x x xs x --=-=⎰. 于是, 当0x ≠时, 有)1ln(1)(x xx s --=. 从而⎪⎩⎪⎨⎧=<<--=0 11||0 )1ln(1)(x x x x x s .有幂级数的和函数的连续性可知, 这里和函数()s x 在0x =是连续的, 我们不难验证:00011lim ()lim ln(1)lim 1(0)1x x x s x x s x x →→→-⎡⎤⎛⎫=--=-== ⎪⎢⎥-⎣⎦⎝⎭注意: 幂级数0nn x ∞=∑在1x =-发散, 而∑∞=+011n n x n 在1x =-收敛.例7 求级数∑∞=+-01)1(n nn 的和.解 考虑幂级数∑∞=+011n nx n , 该级数在[1,1)-上收敛, 设其和函数为()s x , 则∑∞=+-=-01)1()1(n nn s .在例6中已得到1()ln(1)s x x x =-- , 于是(1)ln 2s -=, 即0(1)ln 21n n n ∞=-=+∑.§4 函数展开成幂级数【目的要求】1、了解函数的泰勒级数；2、熟练掌握用间接法展开函数为幂级数． 【重点难点】间接法展开函数为幂级数． 【教学内容】一、泰勒级数前面我们讨论了幂级数所确定的和函数的性质. 下面讨论相反的问题, 即给定函数()f x , 能否找到一个幂级数, 该幂级数在某区间内收敛, 且其和函数恰好就是给定的函数()f x . 如果能找到这样的幂级数, 我们就说, 函数()f x 在该区间内能展开成幂级数, 而该幂级数在收敛区间内就表达了函数f(x).定义 4.1 若函数()f x 在点0x 的某邻域内具有1n +阶导数, 则在该邻域内的任意一点x , 有200000()()()()()() 2!f x f x f x f x x x x x '''=+-+-+)()(!)(00)(x R x x n x f n n n +-+, (1)其中10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ(ξ介于x 与0x 之间). 式(1)称为()f x 在0x x =处的n 阶泰勒公式, ()n R x 称为泰勒公式的余项, 而()20000000()()()()()()()()2!!n n n f x f x P x f x f x x x x x x x n '''=+-+-++- (2)称为()f x 在0x x =处的n 阶泰勒多项式. 当n →∞时, ()f x 在0x x =处的n 阶泰勒多项式(2)就化为幂级数()200000000()()()()()()()!2!n n n f x f x x x f x f x x x x x n ∞='''-=+-+-+∑()00()()!n n f x x x n +-+(3)幂级数(3)称为函数()f x 在0x x =处的泰勒级数. 显然, 当0x x =时, ()f x 的泰勒级数收敛于0()f x .()f x 在00x =处的泰勒级数()()200()(0)(0)(0)(0) !2!!n n n nn f x f f x f f x x x n n ∞='''=+++++∑称为()f x 的麦克劳林级数.当()f x 在点0x 的某一领域具有任意阶导数时, ()f x 在点0x 处总可以写出对应的泰勒级数, 但该级数是否收敛? 若收敛,是否一定以()f x 为和函数? 为此, 我们不加证明的给出如下定理.定理 4.1 设函数()f x 在点0x 的某一邻域0()U x 内具有任意阶导数, 则()f x 在该邻域0()U x 内能展开成泰勒级数的充分必要条件是()f x 的泰勒公式(1)中的余项()n R x 满足:))(( 0)(lim 0x U x x R n n ∈=∞→.注意 函数的麦克劳林级数是x 的幂级数, 如果()f x 能展开成x 的幂级数, 那么这种展开式是唯一的, 它一定等于()f x 的麦克劳林级数. 但是, 反过来如果()f x 的麦克劳林级数在点00x =的某邻域内收敛, 它却不一定收敛于()f x . 因此, 如果()f x 在点00x =处具有各阶导数, 则()f x 的麦克劳林级数虽然能写出来, 但这个级数是否在某个区间内收敛, 以及是否收敛于()f x 却需要进一步考察.二、函数展开成幂级数把一个给定函数()f x 展开成x 的幂级数一般有直接法和间接法两种方法. 1. 直接展开法按下列步骤把给定函数()f x 展开成x 的幂级数的方法叫直接展开法: (1) 计算()f x 的各阶导数及其在0x =处的导数值: ()()()(0)n n f x f 和; (2) 写出麦克劳林级数()00()!n nn f x x n ∞=∑, 并求出收敛半径R . (3) 考察在收敛区间()f x 内, 余项的极限lim ()0n n R x →∞=是否成立. 如果成立, 则()f x 在(,)R R -内有展开式()2(0)(0)()(0)(0)2!!n n f f f x f f x x x n '''=+++++(,)x R R ∈-.例1 将函数()x f x e =展开成x 的幂级数. 解 因为()()n x f x e =, 因此()(0)1,1,2,n f n == . 于是得级数20111!2!!n nn x x x x n n ∞==++++∑,它的收敛半径R =+∞.对于任何有限的数x , ξ (ξ介于0与x 之间), 有11|||||()| (1)!(1)!n n x n e x R x x e n n ξ++=<⋅++, 由于||x e 有限, 且1||(1)!n x n ++时收敛级数10||(1)!n n x n +∞=+∑的一般项, 0)!1(||lim1=++∞→n x n n , 所以0|)(|lim =∞→x R n n , 从而有展开式2111 ()2!!x ne x x x x n =+++++-∞<<+∞.例2 将函数()sin f x x =展开成x 的幂级数.解 因为)2sin()()(π⋅+=n x x f n , 1,2,n =, 于是得级数⋅⋅⋅+--+⋅⋅⋅-+--- )!12()1( !5!312153n x x x x n n , 它的收敛半径为R =+∞.对于任何有限的数x , ξ (ξ介于0与x 之间), 有11(1)s i n []||2|()| 0,(0)(1)!(1)!n n n n x R x x n n n πξ++++=≤→→++.因此得展开式35211s i n(1)()3!5!(21)!n n x x x x x x n --=-+-+-+-∞<<+∞-. 我们还可以证明2(1)(1) (1)(1)1 (11)2!!n n x x x x x n ααααααα--⋅⋅⋅-++=+++++-<<.2. 间接展开法:例3 将函数()cos f x x =展开成x 的幂级数. 解 已知35211s i n(1)()3!5!(21)!n n x x x x x x n --=-+-+-+-∞<<+∞-.对上式两边求导得242c o s1 (1) ()2!4!(2)!n nx x x x x n =-+-+-+-∞<<+∞.例4 将函数211)(x x f +=展开成x 的幂级数.解 因为211 (11)1n x x x x x =+++++-<<-, 把x 换成2x -, 得242211 (1) (11)1n n x x x x x=-+-+-+-<<+.注: 收敛半径的确定: 由211x -<-<得11x -<<. 例5 将函数()ln(1)f x x =+展开成x 的幂级数.解 因为xx f +='11)(,而x +11是收敛的等比级数∑∞=-0)1(n n n x (11)x -<<的和函数:2311 (1) 1n n x x x x x=-+-++-++.所以将上式从0到x 逐项积分, 得 2341l n (1) (1)(11)2341n nx x x x x x x n ++=-+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅-<<+. 上述展开式对1x =也成立, 这是因为上式右端的幂级数当1x =时收敛, 而ln(1)x +在1x =处有定义且连续.所以, )11( 1)1( 432)1ln(1432≤<-⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅+-+-=++x n x x x x x x n n 例6 将函数341)(2++=x x x f 展开成(1)x -的幂级数.解 因为)411(81)211(41)3(21)1(21)3)(1(1341)(2-+--+=+-+=++=++=x x x x x x x x x f∑∑∞=∞=-----=004)1()1(812)1()1(41n n nn n n n n x x)31( )1)(2121()1(0322<<----=∑∞=++x x n n n n n . 常用展开式:)11( 1112<<-⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=-x x x x xn ,2111 ()2!!x n e x x x x n =+++++-∞<<+∞,)( )!12()1( !5!3sin 12153+∞<<-∞⋅⋅⋅+--+⋅⋅⋅-+-=--x n x x x x x n n , )( )!2()1( !4!21cos 242+∞<<-∞⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅-+-=x n x x x x n n , )11( 1)1( 432)1ln(1432≤<-⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅+-+-=++x n x x x x x x n n , 2(1)(1)12!x x x αααα-+=+++(1) (1)(11)!nn x x n ααα--+++-<<.三、函数的幂级数展开式的应用函数的幂级数展开式可用于某些函数的近似计算, 即在展开式的收敛域内, 利用这个级数按精确度要求计算出函数值的近似值. 例7 计算5240的近似值, 要求误差不超过0.0001.解 15413(1)3==-,所以在二项展开式中取15α=, 431-=x , 即得) 31!3594131!254131511(32401238245⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅-=.这个级数收敛很快. 取前两项的和作为5240的近似值, 其误差(也叫做截断误差)为)31!451494131!3594131!2541(3||164123822⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=r] )811(8111[31!25413282⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅⋅<200001402725181111312568<⋅⋅=-⋅⋅=. 于是取近似式为)31511(324045⋅-≈,为了使“四舍五入”引起的误差(叫做舍入误差)与截断误差之和不超过10-4, 计算时应取五位小数, 然后四舍五入. 因此最后得9926.22405≈. 例8 利用3!31sin x x x -≈ 求sin 9的近似值, 并估计误差.解 首先把角度化成弧度,91809⨯=π (弧度)20π=(弧度),从而()320!312020sin πππ-≈ . 其次, 估计这个近似值的精确度. 在sin x 的幂级数展开式中令20π=x , 得20!7120!5120!312020sin 753⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πππππ.等式右端是一个收敛的交错级数, 且各项的绝对值单调减少. 取它的前两项之和作为20sin π的近似值, 误差为3000001)2.0(120120!51||552<⋅<⎪⎭⎫ ⎝⎛≤πr . 因此取 157080.020≈π, 003876.0203≈⎪⎭⎫ ⎝⎛π于是得 s i n 90.156≈. 这时误差不超过510-.例9 计算积分10sin d xx x ⎰的近似值, 要求误差不超过0.0001. 解 由于1sin lim 0=→x x x , 因此所给积分不是广义积分. 如果定义被积函数在0x =处的值为1, 则它在积分区间[0,1]上连续. 展开被积函数, 有)( !7!5!31s i n 642+∞<<-∞⋅⋅⋅+-+-=x x x x x x .在区间[0,1]上逐项积分, 得!771!551!3311si n 10⋅⋅⋅+⋅-⋅+⋅-=⎰dx x x .因为第四项300001!771<⋅,所以取前三项的和作为积分的近似值: 9461.0!551!3311si n 10=⋅+⋅-≈⎰dx x x .。
