第四章 力系的平衡

同样，有且只有三个独立的平衡方程
例1： 简支梁受力如图，已知F＝300N, q=100N/m,
求A, B处的约束反力。
∑ 解：简支梁受力如图所示：
Fx = 0 ⇒ FAx = 0
F q
FAx A
CD
FAy 2m 2m
4m
∑ Fy = 0
FAy + FB − F − q ⋅ 4 = 0 (1)
B
∑MA =0
M
力的平移定理: 可以将作用于刚体上A点上的
力 F 平行移动到任一点O ，但必须附加一个力偶,
附加力偶的力偶矩等于原力 F 对 O 点之矩。
力的平移的逆过程
M
－F
F
F
r F
图中：
d = MO F
一个力偶矩和一个作用于同一平面的
力 F，可以进一步简化为一个力 。
二、平面任意力系向作用面内一点简化
y
刚体系平衡
系统满足刚体的平衡条件
3. 注意一些临界的力学条件：
刚好拉过台阶FNA = 0
FNA
F
翻倒的临界条件：FN 集中于角点。
FN
§4.3 刚体系的平衡
一、刚化原理
变形体在某一力系作用下处于平衡，若将处于平衡状
态时的变形体换成刚体（刚化），则平衡状态不变。
F
F
（a）
F
F
（b）
刚体的平衡条件是变形体平衡的必要条件
二、刚体系的平衡问题
y
F1 O F3
F1/ M1 M2 F2/
= F2
O M3 F3/
x=
Mo FR/
O
x
( ) ( ) ( ) r
r
r
M1 = M o F1 M 2 = M o F2 M 3 = M o F3

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-专业资料-
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课时
教 学 容、方 法、步 骤
附
分配
记
(2)空载时 W＝0，Q＝Qmax，机架可能绕 A 点左翻，在临界平衡状态， B 处悬空，NB＝0，受力图如图 3-10c 所示。则
故 平衡锤的范围应满足不等式
例 4-5 一简易起重机如图 4-11 所示。横梁 AB 的 A 端为固定铰支座，B 端用 拉杆 BC 与立柱相连。已知梁的重力 G1＝4kN,载荷 G2＝12kN，横梁长 L＝6m， α＝30°，求当载荷距 A 端距离 x＝4m 时，拉杆 BC 的受力和铰支座 A 的约束 反力。
其中 A、B、C 三点不能在一条直线上。
20 二. 平面平行力系的平衡方程
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-专业资料-
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课时
教 学 容、方 法、步 骤
附
分配
记
在基本式中，坐标轴是任选的。现取 y 轴平行各力，则平面平行力系中 各力在 x 轴上的投影均为零，即∑Fx ≡0。于是平面平行力系只有两独立的平 衡方程，即
∑Fy＝0 ∑MO(F)＝0
和投影轴，合理的选用方程组的形式，尽量避免联立解方程组
的麻烦。另外，平面平行力系是平面任意力系的一种特殊情形。
复习思考题、 作业题
1、思考平面汇交力系的平衡方程中，可否取两个力矩方程，或 一个力矩方程和一个投影方程？这时，其矩心和投影轴的选 择有什么限制？
2、课本习题 4-7、4-6。
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-专、方 法、步 骤
附
分配
记
40
§4.3 平面任意力系的平衡方程
一. 平面一般力系的平衡方程
1. 基本形式

MB 0: NC cos 2a P a 0
mC 0 : YB 2a Pa 0
NC

P
2 c os

P 2 cos450

20 2
14.14
kN
YB

Pa 2a

P 2
10
kN
X B NC sin
20 2
2 10 kN 2
2、取AB梁为研究对象
[例4－1] 结构如图，已知P=2kN 求杆CD的受力及A处的反力 解：①研究AB杆
②画出受力图
③列平衡方程
X 0 RAcos SCDcos4500 （1）
Y 0 PRA sin SCD sin450 0 （2）
④解平衡方程 由EB=BC=0.4m，
解得：tg

EB AB
柄O2A在铅垂位置时，F＝6kN，略去各处摩擦和各构件的重量。
求： ①克服工作阻力所需要的Mmin=？
②轴承O1 、 O2的约束反力？ ③连杆AB内力？
解：1、分析： （1）整体 有六个未知量N ，
XO2 ， YO2 ， XO1 ， YO1 ， M，
整体无法解。
（2）从未知量到已知量：从轮1
轮2 连杆
可动铰链支座。已知：P=20kN,q=5kN/m, a=1m， 450 。
求：支座A、C处、中间铰链B的约束反力。
mA
XA
YA
2a
分析： 整体：四个反力

a a NC
→不可直接解出 拆开： AB杆五个反力
mA

X A YA
2a
X B
YB
XB
YB a
NC

未知量个数 <= 独立平衡方程数 静定
（全部未知量可以由平衡方程完全求解）
未知量个数 > 独立平衡方程数 静不定或超静定
（未知量不能全部由平衡方程求解）
物体系的平衡·静定和超静定问题
未知量个数 <= 独立平衡方程数 静定
（全部未知量可以由平衡方程完全求解）
未知量个数 > 独立平衡方程数 静不定或超静定
∑ M B = 0 −8FAy + 5*8 +10*6 +10* 4 +10* 2 = 0
得 FAy = 20kN ∑ Fiy = 0 FAy + FBy − 40 = 0
得 FBy = 20kN
求各杆内力
取节点A
⎧⎪∑ ⎨⎪⎩∑
Fiy Fix
= =
0 0
→ →
FAD FAC
取节点C
⎧⎪∑ ⎨⎪⎩∑
解得 P3max=350kN
22mm 22mm
所以，平衡载重P3取值范围为：
75kN ≤ P3 ≤ 350kN
（2）P3=180kN时：
∑ M A = 0 4P3 − 2P2 −14P1 + 4FB = 0
解得 FB=870kN
∑ Fy = 0 FA + FB − P1 − P2 − P3 = 0
∑M =0
FA'
⋅r
sinθ
− M2
=
0
解得 M 2 = 8kN ⋅m
FB = FA = 8kN
例
已知：OA=R，AB=
l,
r F
,
不计物体自重与摩擦,系统在图示位置平衡；
求: 力偶矩M 的大小，轴承O处的约 束力，连杆AB受力，滑块给导 轨的侧压力.