2014届高考数学一轮轻松突破复习 1.3.1任意角和弧度制及任意角的三角函数 文

高效测试15：任意角和弧度制及任意角的三角函数一、选择题1．－885°化成2k π＋α(0≤α≤2π，k ∈Z )的形式是( )A ．－ 4π－1112πB ．－6π＋1312π C ．－4π＋13π12 D ．－6π＋1112π 解析：－885°＝－1080°＋195°.答案：B2．已知角α的终边上一点的坐标为(sin 2π3，cos 2π3)，则角α值为( ) A.5π6 B.2π3C.5π3D.11π6解析：由题意得，角α的终边上的点的坐标为(32，－12)，在第四象限，且tan α＝－33，故角α的值为11π6. 答案： D3．已知α为第二象限角，则α2所在的象限是( ) A ．第一或第二象限 B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限解析：∵α为第二象限角， ∴π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z . 即π4＋k π＜α2＜π2＋k π，k ∈Z . 当k ＝2m 时，α2为第一象限角；当k ＝2m ＋1时，α2为第三象限角． 答案：C4．若α为第三象限角，则y ＝|sin α2|sin α2＋|cos α2|cos α2的值为( ) A ．0 B ．2C ．－2D ．2或－2解析：∵α为第三象限角，∴α2为二、四象限角 当α2为第二象限角时，y ＝1－1＝0， 当α2为第四象限角时，y ＝－1＋1＝0. 答案：A5．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1顺时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫－12，32 B.⎝⎛⎭⎫－32，－12C.⎝⎛⎭⎫－12，－32 D.⎝⎛⎭⎫－32，12解析：根据题意得Q ⎝⎛⎭⎫cos ⎝⎛⎭⎫－2π3，sin ⎝⎛⎭⎫－2π3，即Q ⎝⎛⎭⎫－12，－32.答案：C6．已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在[0,2π]内α的取值范围是() A.⎝⎛⎭⎫π4，π2 B.⎝⎛⎭⎫π，54π C.⎝⎛⎭⎫3π4，54π D.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，54π解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ sin α－cos α>0，tan α>0.解得α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，54π.答案：D二、填空题7．满足－12≤sin θ＜32的θ的取值范围是__________．解析：∵sin π3＝sin 2π3＝32，sin 7π6＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12，且－12≤sin θ＜32，故θ的取值范围是⎣⎡⎭⎫2k π－π6，2k π＋π3∪⎝⎛⎦⎤2k π＋2π3，2k π＋7π6(k ∈Z )．答案：⎣⎡⎭⎫2k π－π6，2k π＋π3∪⎝⎛⎭⎫2k π＋2π3，2k π＋7π6(k ∈Z ) 8．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________. 解析：P (4，y )是角θ终边上一点，由三角函数的定义知sin θ＝y 16＋y 2，又sin θ＝－255，∴y 16＋y 2＝－255，解得y ＝－8. 答案：－89．若角α的终边落在直线y ＝－x 上，则sin α1－sin 2α＋1－cos 2αcos α的值等于________． 解析：因为角α的终边落在直线y ＝－x 上，α＝k π＋3π4，k ∈Z ，sin α， cos α的符号相反，当α＝2k π＋3π4， 即角α的终边在第二象限时，sin α>0，cos α<0；当α＝2k π＋7π4，即α的终边在第四象限时， sin α<0，cos α>0. 所以有sin α1－sin 2α＋1－cos 2αcos α＝sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝0. 答案：0三、解答题10．设α为第四象限角，其终边上的一个点是P (x ，－5)，且cos α＝24x ，求sin α和tan α. 解析：∵α为第四象限角，∴x >0∴r ＝x 2＋5.∴cos α＝x r ＝x x 2＋5＝24x . ∴x ＝ 3.∴r ＝x 2＋5＝2 2.∴sin α＝y r ＝－522＝－104， tan α＝y x ＝－53＝－153.11．已知扇形OAB 的圆心角α为120°，半径长为6，(1)求的弧长；(2)求弓形OAB 的面积．解析：(1)∵α＝120°＝2π3，r ＝6， ∴的弧长为l ＝2π3×6＝4π. (2)∵S 扇形OAB ＝12lr ＝12×4π×6＝12π， S △ABO ＝12r 2·sin π3＝12×62×32＝93， ∴S 弓形OAB ＝S 扇形OAB －S △ABO ＝12π－9 3.12．已知A 、B 是单位圆O 上的动点，且A 、B 分别在第一、二象限．C 是圆O 与x 轴正半轴的交点，△AOB 为正三角形．记∠AOC ＝α.(1)若A 点的坐标为⎝⎛⎭⎫35，45，求sin 2α＋sin2αcos 2α＋cos2α的值； (2)求|BC |2的取值范围．解析：(1)∵A 点坐标为⎝⎛⎭⎫35，45，∴tan α＝43. ∴sin 2α＋sin2αcos 2α＋cos2α＝sin 2α＋2sin αcos α2cos 2α－sin 2α＝sin 2αcos 2α＋2×sin αcos α2－sin 2αcos 2α＝tan 2α＋2tan α2－tan 2α＝169＋832－169＝20. (2)设A 点的坐标为(x ， y )，∵△AOB 为正三角形，∴B 点坐标为⎝⎛⎭⎫cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3，且C (1, 0)． ∴|BC |2＝⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3－12＋sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π3＝2－2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3. 而A 、B 分别在第一、二象限，∴α∈⎝⎛⎭⎫π6，π2.∴α＋π3∈⎝⎛⎭⎫π2，5π6. ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3∈⎝⎛⎭⎫－32，0. ∴|BC |2的取值范围是(2,2＋3)．。

第四章三角函数、解三角形4.1任意角和弧度制及任意角的三角函数考纲要求1．了解任意角的概念．2．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化．3．理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．1．任意角(1)角的分类任意角可按旋转方向分为____、____、____.(2)象限角2．弧度制(1)弧度制长度等于__________长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，以__________作为单位来度量角的制度叫做弧度制．(2)角度与弧度之间的换算360°＝__________rad,180°＝__________rad,1°＝π180rad，1 rad＝__________.(3)弧长、扇形面积公式设扇形的弧长为l，圆心角为α(弧度)，半径为r，则l＝__________；S扇形＝__________＝__________.有向线段MP叫做1．终边与坐标轴重合的角α的集合为( )． A ．{α|α＝k ·360°，k ∈Z } B ．{α|α＝k ·180°，k ∈Z } C ．{α|α＝k ·90°，k ∈Z } D ．{α|α＝k ·180°＋90°，k ∈Z }2．设角α终边上一点P (－4a,3a )(a ＜0)，则sin α的值为( )．A ．35B ．－35C ．45D ．－453．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是( )． A ．2 B ．sin 2C ．2sin 1D ．2sin 14．已知sin θ＜0，tan θ＞0，那么θ是( )． A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角5．若点P 在角23π的终边上，且|OP |＝2，则点P 的坐标为__________．一、象限角及终边相同的角【例1－1】若α是第三象限的角，则π－12α是( )．A ．第一或第二象限的角B ．第一或第三象限的角C ．第二或第三象限的角D ．第二或第四象限的角【例1－2】已知角α是第一象限角，确定2α，α2的终边所在的位置．方法提炼1．对与角α终边相同的角的一般形式α＋k ·360°的理解． (1)k ∈Z ；(2)α是任意角；(3)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无穷多个，它们相差360°的整数倍．2．已知α的终边位置，确定kα，αk(k ∈N *)的终边的方法：先用终边相同角的形式表示出角α的范围，再写出kα或αk 的范围，然后就k 的可能取值讨论kα或αk的终边所在位置．提醒：不少同学往往容易把“小于90°的角”等同于“锐角”，把“0°～90°的角”等同于“第一象限的角”．其实锐角的集合是{α|0°＜α＜90°}，第一象限角的集合为{α|k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z }．请做演练巩固提升1二、扇形的弧长、面积公式的应用【例2】已知一扇形的圆心角为α(α＞0)，所在圆的半径为R . (1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2)若扇形的周长是一定值C (C ＞0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？ 方法提炼(1)在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．(2)从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值．(3)记住下列公式：①l ＝αR ；②S ＝12lR ；③S ＝12αR 2.其中R 是扇形的半径，l 是弧长，α (0＜α＜2π)为圆心角，S 是扇形面积．请做演练巩固提升2不理解三角函数的定义而致误【典例】已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．若P (4，y )是角θ终边上的一点，且sin θ＝－255，则y ＝__________.错解：因P (4，y )是角θ终边上的一点，且sin θ＝－255.∴sin θ＝y ＝－255.错因：题中P 点不在单位圆上，不能直接用定义表示sin θ，而应利用下列方法求解，若角α终边上任意一点P (x ，y )，|OP |＝r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx这两个定义是等价的．正解：P (4，y )是角θ终边上的一点，由三角函数的定义知sin θ＝y16＋y 2，又sin θ＝－255，∴y 16＋y 2＝－255，解得y ＝－8. 答案：－8答题指导：对于三角函数的定义要牢固记忆，并且与单位圆中的要区分开，要知道只有在单位圆中点的纵坐标才是角θ的正弦，而本题的错因恰是对三角函数的定义理解不清而导致．1．若α＝k ·180°＋45°(k ∈Z )，则α在( )． A ．第一或第三象限 B ．第一或第二象限 C ．第二或第四象限 D ．第三或第四象限2．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( )． A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．2或43．(2012大纲全国高考)正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE ＝BF ＝13.动点P 从E 出发沿直线向F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为( )．A ．8B ．6C ．4D ．34．角α的终边上有一点P (3t,4t )(t ∈R 且t ≠0)，则sin α的值是__________． 5．已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．参考答案基础梳理自测 知识梳理1．(1)正角 负角 零角 (2){α|2k π＜α＜2k π＋π2，k ∈Z } {α|2k π＋π2＜α＜2k π＋π，k ∈Z }{α|2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z } {α|2k π＋3π2＜α＜2k π＋2π，k ∈Z }2．(1)半径 弧度 (2)2π π ⎝⎛⎭⎫180π° (3)|α|r 12lr 12|α|r 23．y x yx正 正 正 正 负 负负 负 正 负 正 负 sin α cos α tan α 基础自测1．C 解析：当角α的终边在x 轴上时，可表示为k ·180°，k ∈Z .当角α的终边在y 轴上时，可表示为k ·180°＋90°，k ∈Z .∴当角α的终边在坐标轴上时，可表示为k ·90°，k ∈Z . 2．B 解析：设P 与原点的距离为r ， ∵P (－4a,3a )，a ＜0，∴r ＝(－4a )2＋(3a )2＝|5a |＝－5a .∴sin α＝3a r ＝－35.3．C 解析：由已知可得该圆的半径为1sin 1.∴2弧度的圆心角所对的弧长为2×1sin 1＝2sin 1.4．C 解析：∵sin θ＜0，∴θ在第三或第四象限或在y 轴的非正半轴上， 又tan θ＞0，∴θ在第一或第三象限， ∴θ在第三象限．5．(－1，3) 解析：根据三角函数的定义，x ＝|OP |cos 23π＝2×⎝⎛⎭⎫－12＝－1，y ＝|OP |sin 23π＝2×32＝ 3.∴P 点的坐标为(－1，3)． 考点探究突破【例1－1】B 解析：由已知，得2k π＋π＜α＜2k π＋32π(k ∈Z )，∴－k π＋π4＜π－α2＜－k π＋π2(k ∈Z )．∴π－α2是第一或第三象限的角．【例1－2】解：∵α是第一象限的角，∴k ·2π＜α＜k ·2π＋π2(k ∈Z )．(1)k ·4π＜2α＜k ·4π＋π(k ∈Z )． 即2k ·2π＜2α＜2k ·2π＋π(k ∈Z )．∴2α的终边在第一象限或第二象限或y 轴的非负半轴上．(2)k ·π＜α2＜k ·π＋π4(k ∈Z )，当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＜α2＜2n π＋π4(n ∈Z )．∴α2的终边在第一象限．当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，(2n ＋1)π＜α2＜(2n ＋1)π＋π4(n ∈Z )，即2n π＋π＜α2＜2n π＋5π4(n ∈Z )，∴α2的终边在第三象限． 综上，α2的终边在第一象限或第三象限．【例2】解：(1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓，则α＝60°＝π3，R ＝10，l ＝|α|R ＝π3×10＝10π3(cm)，S 弓＝S 扇－S △＝12×10π3×10－12×102×sin π3＝50π3－5032＝50⎝⎛⎭⎫π3－32(cm 2)．(2)扇形周长C ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ，∴R ＝C2＋α，∴S 扇＝12α·R 2＝12α·⎝⎛⎭⎫C 2＋α2＝C 22α·14＋4α＋α2 ＝C 22·14＋α＋4α≤C 216. 当且仅当α2＝4，即α＝2弧度时，扇形面积有最大值为C 216cm 2.演练巩固提升1．A 解析：当k 为奇数时，α在第三象限；当k 为偶数时，α在第一象限．2．C 解析：设扇形的半径为r ，弧长为l ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝6，12rl ＝2.解得r ＝1，l ＝4或r ＝2，l ＝2.3．B 解析：如图，由题意：tan ∠BEF ＝12，∴KX 21＝12，∴X 2为HD 中点， X 2D X 3D ＝12，∴X 3D ＝13， X 4C X 3C ＝12，∴X 4C ＝13， X 5H X 4H ＝12，∴X 5H ＝12，X 5A X 6A ＝12，∴X 6A ＝13，∴X 6与E 重合， 故选B.4．±45解析：∵P (3t,4t )，∴原点O 到P 点的距离|OP |＝5|t |，∴sin α＝4t 5|t |＝±45.5．解：∵角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，∴在角α的终边上任取一点P (4t ，－3t )(t ≠0)，设P 到原点的距离为r ， 则x ＝4t ，y ＝－3t .r ＝x 2＋y 2＝(4t )2＋(－3t )2＝5|t |，当t ＞0时，r ＝5t ，sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－35，cos α＝x r ＝4t 5t ＝45.tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34；当t ＜0时，r ＝－5t ，sin α＝y r ＝－3t －5t ＝35.cos α＝x r ＝4t －5t ＝－45.tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34.。

答案：－8
考点一
角的集合表示及象限角的判定
[例1]
(1)写出终边在直线y＝ 3x上的角的集合；
6π θ (2)若角θ的终边与 7 角的终边相同，求在[0,2π)内终边与 3 的终边相同的角； α (3)已知角α是第二象限角，试确定2α、2所在的象限．
π 解析：(1)在(0，π)内终边在直线y＝ 3x上的角是3， ∴终边在直线y＝ 3x上的角的集合为
π αα＝ ＋kπ，k∈Z 3 .
6π θ 2π 2kπ (2)∵θ＝ ＋2kπ(k∈Z)，∴ ＝ ＋ (k∈Z)． 7 3 7 3 2π 2kπ 3 18 依题意0≤ 7 ＋ 3 ＜2π⇒－7≤k＜ 7 ，k∈Z.
θ 2π 20π ∴k＝0,1,2即在[0,2π)内终边与 3 相同的角为 7 ， 21 ， 34π . 21 (3)∵α是第二象限角， ∴k· ＋90° 360° ＜α＜k· ＋180° 360° ，k∈Z. ∴2k· ＋180° 360° ＜2α＜2k· ＋360° 360° ，k∈Z. ∴2α是第三、第四象限角或角的终边在y轴非正半轴 上．
)
－1 解析：由三角函数的定义可知，r＝ 5，cosα＝ ＝－ 5 5 5.
答案：A
5．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴非负半轴， 2 5 若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－ ，则y＝_______. 5
解析：根据正弦值为负数且不为－1，判断角在第三、 四象限，再加上横坐标为正，断定该角为第四象限角， y 2 5 ∴y＜0，sinθ＝ 2＝－ 5 ⇒y＝－8. 16＋y
2 3 4 5 □负角 □零角 □象限角 □α
6 7 8 9 □ 半径 □ 正数 □ 负数 □ 零 1 16 □2

限时集训(十五) 任意角和弧度制及任意角的三角函数(限时：50分钟 满分：106分)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分) 1．若α＝k ·180°＋45°(k ∈Z)，则α在( ) A ．第一或第三象限 B ．在第一或第二象限 C ．第二或第四象限D ．在第三或第四象限2．已知tan α>0，且sin α＋cos α>0，那么角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．sin 2cos 3tan 4的值( ) A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0D ．不存在 4．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3]5．圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( ) A.π3B.2π3C. 3D ．26．若α是第三象限角，则y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2sinα2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2cosα2的值为( )A ．0B ．2C ．－2D ．2或－27．点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D.⎝⎛⎭⎪⎫－32，12 8．已知扇形的周长是4 cm ，则扇形面积最大时，扇形的中心角的弧度数是( ) A ．2B ．1C.12D ．3二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)9．已知角α的终边经过点(3，－1)，则角α的最小正值是________． 10．若点P (x ，y )是300°角终边上异于原点的一点，则yx的值为________． 11．若三角形的两个内角α，β满足sin αcos β＜0，则此三角形为________． 12．若θ角的终边与8π5的终边相同，则在[0,2π]内终边与θ4角的终边相同的角有________．13．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为________．14．(2013·菏泽模拟)已知函数f (x )＝x 2cos θ－ 2 x sin θ＋34，对于任意的实数x 恒有f (x )>0，且θ是三角形的一个锐角，则θ的取值范围是________．三、解答题(本大题共3个小题，每小题14分，共42分)15．已知角α的终边过点P (－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求α的三角函数值．16．一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB .17．角α终边上的点P 与A (a,2a )关于x 轴对称(a ＞0)，角β终边上的点Q 与A 关于直线y ＝x 对称，求sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β的值．答 案[限时集训(十五)]1．A 2.A 3.A 4.A 5.C 6.A 7.A 8.A 9.11π6 10.－ 3 11.钝角三角形 12.2π5，9π10，7π5 13.12 14.⎝⎛⎭⎪⎫0，π315．解：∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，∴－1<cos θ<0.∴r ＝9cos 2θ＋16cos 2θ＝－5cos θ， 故sin α＝－45，cos α＝35，tan α＝－43.16.解：设圆的半径为r cm ， 弧长为l cm ， 则⎩⎪⎨⎪⎧12lr ＝1，l ＋2r ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝2.则圆心角α＝lr＝2.如图，过O 作OH ⊥AB 于H ，则∠AOH ＝1， 故AH ＝1·sin 1＝sin 1 cm ，故AB ＝2sin 1 cm.17．解：由题意得，点P 的坐标为(a ，－2a )，点Q 的坐标为(2a ，a )． 所以sin α＝－2aa 2＋－2a 2＝－25，cos α＝aa 2＋－2a 2＝15，tan α＝－2aa＝－2， sin β＝a 2a 2＋a 2＝15， cos β＝2a 2a2＋a2＝25，tan β＝a2a ＝1 2，故有sin α·co s α＋sin β·cos β＋tan α·tan β＝－25·15＋15·25＋(－2)×12＝－1.。