高中数学第三章圆锥曲线与方程3.3.2双曲线的简单性质课件北师大版选修2-1

∴a＝2，b＝1，c＝ 5， 因此顶点为(0，－2)，(0,2)，焦点坐标为(0，－ (0， 5)， c 5 实半轴长为2，虚半轴长为1，离心率e＝ ＝ ， a 2 渐近线方程为y＝± 2x. 5双曲线 9 － 16＝1有共同的渐近线，且过点 (－3,2 3)的双曲线方程．
3．双曲线确定，渐近线确定吗？反过来呢？
双曲线的离心率e可用来表示双曲线“开口
【提示】
当双曲线的方程确定后，其渐近线方程也就
确定了；反过来，确定的渐近线却对应着无数条双曲线，所 x2 y2 以具有相同的渐近线的双曲线可设为 2 － 2 ＝λ(λ≠0，λ∈ a b R)，当λ＞0时，焦点在x轴上，当λ＜0时，焦点在y轴上．
●教学建议 1．本节课主要采用引导发现法，通过师(生)不断地设 (释)疑，揭示思维过程，将学生置于主体位置，发挥学生的 主观能动性，将知识的形成过程转化为学生亲自探索、归纳 的过程． 2．鼓励学生运用发现、探究、协作、讨论的学习方 法，联系所学知识，大胆、主动地分析问题和解决问题，进 一步提高自己的学习能力．
【自主解答】
2 2 2 y x y 将4x2－y2＝4变形为x2－ ＝1，即 2－ 2 4 1 2
＝1.∴a＝1，b＝2，c＝ 5. 因此顶点为A1(－1,0)，A2(1,0)；焦点为F1(－ F2( 5，0)； 实半轴长是a＝1，虚半轴长是b＝2； c 5 b 离心率e＝ ＝ ＝ 5；渐近线方程为y＝± x＝± 2x. a 1 a 5 ，0)，
二、教学重点与难点 重点：利用标准方程研究双曲线的几何性质． 难点：双曲线的性质在研究实际问题中的应用． 可类比椭圆的几何性质去发现双曲线的几何性质，在这 个过程中，充分发挥学生的主体作用，让学生参与知识的产 生和形成过程．引导学生将实际问题抽象为双曲线模型，并 通过双曲线模型的应用，培养学生的应用能力．

解析：(1)因为实轴长为 4 3，所以 a＝2 3，其渐近线方程为 y＝±bax，(2 3，0)为其一顶点，bx－2 3y＝0 为其一条渐近线，
则(2 3，0)到 bx－2 3y＝0 的距离为 |2 3b| ＝ 3，得 b2＝ b2＋12
4.故此双曲线的方程为1x22 －y42＝1. (2)设与双曲线1x62－y92＝1 共渐近线的双曲线方程为1x62 －y92＝ λ(λ≠0)．
a2＋b2＝ a
1＋ab22，故当ba的值越大，渐近线 y＝bax 的
斜率越大，双曲线的开口越大，e 也越大，所以 e 反映了双曲
线开口的大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大．
3．在双曲线方程xa22－yb22＝1(a＞0，b＞0)中，如果 a＝b，那么 方程可化为 x2－y2＝a2.此时，双曲线的实轴长和虚轴长都等 于 2a，且两条渐近线互相垂直．实轴和虚轴等长的双曲线叫 做等轴双曲线．等轴双曲线的渐近线方程是 y＝±x，离心率 e ＝ 2.
当焦点在 x 轴上时，设双曲线的标准方程为ax22－ya22＝1，把点(－
5，3)代入，得
a2＝16，所以所求双曲线的标准方程为1x62 －
y2 16
＝1； 当焦点在 y 轴上时，设双曲线的标准方程为ya22－ax22＝1，把点(－
5，3)代入，得 a2＝－16，1x62－1y62 ＝1.
以坐标轴为对称轴，以原点为对称中心的对称 图形
__(_±__a_，__0_) ____
__(0_，__±__a_)____
实轴A1A2，虚轴B1B2 ___e_>_1________
__y_＝__±_ba_x______
y＝±abx
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)双曲线 x2－y2＝m(m≠0)的离心率为 2，渐近线方程为 y ＝±x.( √ ) (2)平行于渐近线的直线与双曲线相交，且只有一个交 点．( √ ) (3)双曲线的弦的两个端点不一定在双曲线的同一支 上．( √ ) (4)若直线与双曲线xa22－yb22＝1 相离，则直线与 x 轴垂直或直线 与渐近线重合．( × )

c a 5 1
= 5,
b a
渐近线方程为 y=± x=± 2x,作草图如图.
-9-
3.2
双曲线的简单性质
首 页
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
知识拓展(1)等轴双曲线:
实轴长与虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线,其方程为 x2-y2=± a2. 等轴双曲线有两个非常明显的特征:①离心率 e= 2;②两条渐近线互 相垂直.这两个特征可用来作为判断双曲线是否为等轴双曲线的充要条件 . (2)共轭双曲线: 以已知双曲线的虚轴为实轴、实轴为虚轴的双曲线叫作原双曲线的 共轭双曲线. 如 2−
中的 1 改为 0 即为渐近线,1 改为-1 即为共轭双
曲线.
-3-
3.2
双曲线的简单性质
首 页
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
思考 1 如何正确理解双曲线的渐近线?
提示:双曲线的渐近线是两条直线.随着 x 和 y 趋向于无穷大,双曲线将 无限地与渐近线接近,但永远没有交点.由双曲线的渐近线方程只能确定 a 与 b 或 b 与 a 的比值,却无法确定双曲线的焦点在哪一坐标轴上.与双曲线
-4-
3.2
双曲线的简单性质
首 页
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI

考点类析
考点类析
考点三 双曲线的离心率问题
[导入]用a,b(a>0,b>0)表示双曲线的离心率为
.
[答案] (1)A
考点类析
考点类析
[答案] (1)B
考点类析
[答案] (2)C
考点类析
备课素材
1．定义法
在求双曲线的渐近线方程时，可以先求出a，b，再由渐近线方程的定义得出渐近线
的方程．
[例] 双曲线x42－y92＝1 的渐近线方程
就越开阔．由此可见，双曲线的离心率越大，它的开口就越大．
备课素材
(4)双曲线渐近线的理解． 双曲线的渐近线是两条直线，当 x，y 趋向于无穷大时，双曲线将无限地与渐近线接近，但永远 没有交点．因为焦点在 x 轴上和 y 轴上的渐近线方程分别为 y＝±bax 和 y＝±abx，容易混淆，所以 求渐近线方程时，常把双曲线标准方程右边的常数写成 0，分解因式即得渐近线方程．
[答案] 1x22 －y82＝1
[解析] 设双曲线方程为 x2 － y2 ＝1，将点 16－k 4＋k
(3 2，2)代入得 k＝4，故所求双曲线方程为1x22 －y82
＝1.
当堂自测
[答案] A
当堂自测
[答案] C
当堂自测
[答案] A
当堂自测
[答案] C
备课素材
[小结]
知识
方法
易错
1.求双曲线 1.求双曲线的顶点、焦点、轴长、离心率、
三维目标
3．情感、态度与价值观 在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互 动，实现共同探究，教学相长的教学活动情境．结合教学内容，培养学生 科学的探索精神、科学的审美观和世界观，激励学生创新．