第六章向量代数与空间解析几何
习题6—3
1、已知)3,2,1(A，)4,1,2(B，求线段AB的垂直平分面的方程.
解：设),,(zyxM
是所求平面上任一点，据题意有|,|||MBMA
222
321zyx,412222
zyx
化简得所求方程26270xyz.这就是所求平面上的点的坐标所满足的方程, 而不在此
平面上的点的坐标都不满足这个方程，所以这个方程就是所求平面的方程.
2、一动点移动时，与)0,0,4(A及xOy平面等距离，求该动点的轨迹方程.
解：设在给定的坐标系下，动点),,(zyxM，所求的轨迹为C，则
(,,)MxyzCMAzuuur
亦即zzyx222
)4(0)4(22
yx
从而所求的轨迹方程为0)4(22
yx
.
3、求下列各球面的方程：
（1）圆心)3,1,2(
，半径为6R
；（2）圆心在原点，且经过点)3,2,6(
；
（3）一条直径的两端点是)3,1,4()5,32(与
；（4）通过原点与)4,0,0(),0,3,1(),0,0,4(
解：（1）所求的球面方程为：36)3()1()2(222
zyx
（2）由已知，半径73)2(6222
R
，所以球面方程为49222
zyx
（3）由已知，球面的球心坐标1
235
,1
213
,3
242
cba
，
球的半径21)35()31()24(
21
222
R
，所以球面方程为：
21)1()1()3(222
zyx
（4）设所求的球面方程为：0222222
lkzhygxzyx
因该球面经过点)4,0,0(),0,3,1(),0,0,4(),0,0,0(
，所以
08160621008160
khggl
解之得
2210
kghl
所求的球面方程为0424222
zyxzyx
.
4、将yOz坐标面上的抛物线2
2yz绕z
旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程．
解：22
2xyz(旋转抛物面) .
5、将zOx坐标面上的双曲线1
22
22
cz
ax
分别绕x
轴和z
轴旋转一周，求所生成的旋转
曲面的方程．
解：绕x轴旋转得1
222
新高考数学大一轮复习专题：
第6讲 定点问题 母题 已知椭圆C：x24＋y2＝1，点P(0,1)，设直线l不经过P点且与C相交于A，B两点，若直线PA与直线PB的斜率的和为－1，求证：l过定点．
思路分析
❶l斜率k存在时写出l的方程
↓
❷联立l，C的方程，设而不求
↓
❸计算kPA，kPB并代入kPA＋kPB＝－1
↓
❹分析直线方程，找出定点
证明 设直线PA与直线PB的斜率分别为k1，k2.如果l与x轴垂直，设l：x＝t，由题设知t≠0，且|t|<2，可得A，B的坐标分别为t，4－t22，t，－4－t22，
则k1＋k2＝4－t2－22t－4－t2＋22t＝－1，得t＝2，不符合题设．
从而可设l：y＝kx＋m(m≠1)．将y＝kx＋m代入x24＋y2＝1得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
由题设可知Δ＝16(4k2－m2＋1)>0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－8km4k2＋1，x1x2＝4m2－44k2＋1.
而k1＋k2＝y1－1x1＋y2－1x2
＝kx1＋m－1x1＋kx2＋m－1x2
＝2kx1x2＋m－1x1＋x2x1x2.
由题设k1＋k2＝－1，
故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0， 即(2k＋1)·4m2－44k2＋1＋(m－1)·－8km4k2＋1＝0，
解得k＝－m＋12.
当且仅当m>－1时，Δ>0，于是l：y＝－m＋12x＋m，
即y＋1＝－m＋12(x－2)，所以l过定点(2，－1)．
[子题1] 已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l与抛物线C交于A，B两点，O是坐标原点．若点E(－2,0)，直线l不与坐标轴垂直，且∠AEO＝∠BEO，求证：直线l过定点．
证明 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意可设直线l的方程为x＝ny＋b(n≠0)，
由 x＝ny＋b，y2＝4x，得y2－4ny－4b＝0，
高二第六章数学知识点总结
本文旨在对高二学生在数学学科中学习的第六章内容进行总结和归纳，帮助学生复习巩固所学知识点，并提高解题能力。以下是第六章数学知识点的概要总结。
1. 平面向量
平面向量是高中数学中的重要概念，涉及向量的表示、向量的加减法、数量积和向量积等基本运算。在解决向量问题时，需要熟练掌握向量的坐标表示、模长和方向角计算方法以及向量的运算规则。特别需要注意的是，数量积和向量积的应用，如向量共线、垂直、面积计算等。
2. 三角函数
三角函数是解决三角形问题的重要工具，包括正弦、余弦和正切等常用三角函数。初步掌握三角函数的定义、性质和图像特点，能够熟练地计算角度的大小以及三角函数值。需要注重解三角方程、证三角恒等式，以及三角函数与平面几何和解析几何的应用。
3. 平面几何 平面几何主要包括直线、圆和曲线的性质与应用。对于直线和圆，需要掌握其标准方程和一般方程的求解方法，以及直线和圆的位置关系。在曲线的研究中，需要熟悉抛物线、椭圆和双曲线的特性与性质，并能应用相关知识解决曲线方程的求解和应用题。
4. 空间几何
空间几何主要涉及点、线、面等在三维空间中的性质与运算。学生需要掌握空间向量的坐标表示、模长和方向角计算方法，以及空间向量的加减法和数量积的运算规则。此外，还需熟悉空间直线和平面的方程与性质，并能解决与空间几何相关的实际问题。
5. 概率与统计
概率与统计是数学的重要分支，涉及随机事件、概率计算和统计分析等内容。在概率的学习中，需要了解随机事件的定义与性质，掌握概率的计算方法和概率模型的应用。在统计学的学习中，需要理解总体、样本和抽样方法，以及数据处理与统计分析的方法与应用。
以上是高二第六章数学知识点的简要总结。希望同学们能够认真复习巩固这些知识点，并能够灵活应用于解题中。通过不断练习和积累，提高数学解题的能力和水平，为高中数学学科的学习打下坚实的基础。祝愿同学们在数学学科中取得优异的成绩！
高中数学复习空间解析几何
高中数学复习：空间解析几何
空间解析几何是高中数学中的一个重要部分，涉及到点、直线、平面在空间中的位置关系和运动规律。通过研究空间解析几何，我们可以更好地理解和应用代数几何中的相关知识，为高考和数学学科的深入学习奠定基础。本文将系统地介绍空间解析几何的相关内容和重要概念，并提供题目进行巩固练习。
一、空间直角坐标系
在空间解析几何中，我们通常使用三维直角坐标系来描述点和几何对象的位置。三维直角坐标系由三条相互垂直的坐标轴构成，分别表示$x$轴、$y$轴和$z$轴。点的位置可以用有序三元组$(x, y, z)$来表示，其中$x$、$y$、$z$分别表示点在$x$轴、$y$轴和$z$轴上的坐标。在三维直角坐标系中，我们可以轻松确定点之间的距离及其他几何对象之间的位置关系。
二、空间向量
空间向量是空间解析几何中的重要概念。在三维直角坐标系中，我们可以用有向线段来表示空间向量。空间向量具有模和方向两个重要的属性。两个向量相等，当且仅当它们的模相等，且方向相同。对于两个向量$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$，它们的和向量$\mathbf{a} +
\mathbf{b}$等于将$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$的对应分量相加得到的向量，差向量$\mathbf{a} - \mathbf{b}$等于将$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$的对应分量相减得到的向量。
三、空间中的点和直线
在空间解析几何中，我们可以用向量表示点和直线。对于点$A$，我们可以通过向量$\overrightarrow{OA}$来表示，其中$O$是空间直角坐标系的原点。对于直线$l$，我们可以通过一个点$P$和一个平行于$l$的向量$\mathbf{v}$来表示，即$l: \overrightarrow{r} =
\overrightarrow{OP} + t\mathbf{v}$，其中$t$为参数。通过向量表示，我们可以轻松地求解点和直线之间的距离，计算点关于直线的投影等。
