§3 机械能守恒定律及其应用
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1 §3 机械能守恒定律及其应用 教学目标： 理解和掌握机械能守恒定律，能熟练地运用机械能守恒定律解决实际问题 教学重点：机械能守恒定律的应用 教学难点：判断被研究对象在经历的研究过程中机械能是否守恒，在应用时要找准始末状态的机械能
教学方法：复习、讨论、总结、巩固练习、计算机辅助教学 教学过程： 一、机械能守恒定律 1．机械能守恒定律的两种表述 （1）在只有重力做功的情形下，物体的动能和重力势能发生相互转化，但机械能的总量保持不变。
（2）如果没有摩擦和介质阻力，物体只发生动能和重力势能的相互转化时，机械能的总量保持不变。
2．对机械能守恒定律的理解： （1）机械能守恒定律的研究对象一定是系统，至少包括地球在内。通常我们说“小球的机械能守恒”其实一定也就包括地球在内，因为重力势能就是小球和地球所共有的。另外小球的动能中所用的v，也是相对于地面的速度。
（2）当研究对象（除地球以外）只有一个物体时，往往根据是否“只有重力做功”来判定机械能是否守恒；当研究对象（除地球以外）由多个物体组成时，往往根据是否“没有摩擦和介质阻力”来判定机械能是否守恒。
（3）“只有重力做功”不等于“只受重力作用”。在该过程中，物体可以受其它力的作用，只要这些力不做功，或所做功的代数和为零，就可以认为是“只有重力做功”。
3．对机械能守恒条件的认识 如果没有摩擦和介质阻力，物体只发生动能和势能的相互转化时，机械能的总量保持不变，这就是机械能守恒定律．没有摩擦和介质阻力，这是守恒条件． 2
具体的讲，如果一个物理过程只有重力做功，是重力势能和动能之间发生相互转化，没有与其它形式的能发生转化，物体的动能和重力势能总和保持不变．如果只有弹簧的弹力做功，弹簧与物体这一系统，弹性势能与动能之间发生相互转化，不与其它形式的能发生转化，所以弹性势能和动能总和保持不变．分析一个物理过程是不是满足机械能守恒，关键是分析这一过程中有哪些力参与了做功，这一力做功是什么形式的能转化成什么形式的能．如果只是动能和势能的相互转化，而没有与其它形式的能发生转化，则机械能总和不变．如果没有力做功，不发生能的转化，机械能当然也不发生变化．
【例1】 如图物块和斜面都是光滑的，物块从静止沿斜面下滑过程中，物块机械能是否守恒？系统机械能是否守恒？
解：以物块和斜面系统为研究对象，很明显物块下滑过程中系统不受摩擦和介质阻力，故系统机械能守恒。又由水平方向系统动量守恒可以得知：斜面将向左运动，即斜面的机械能将增大，故物块的机械能一定将减少。
点评：有些同学一看本题说的是光滑斜面，容易错认为物块本身机械能就守恒。这里要提醒两条：⑴由于斜面本身要向左滑动，所以斜面对物块的弹力N和物块的实际位移s的方向已经不再垂直，弹力要对物块做负功，对物块来说已经不再满足“只有重力做功”的条件。⑵由于水平方向系统动量守恒，斜面一定会向右运动，其动能也只能是由物块的机械能转移而来，所以物块的机械能必然减少。
4．机械能守恒定律的各种表达形式 （1）222121vmhmgmvmgh，即kpkpEEEE；
（2）0kPEE；021EE；KPEE 点评：用（1）时，需要规定重力势能的参考平面。用（2）时则不必规定重力势能的参考平面，因为重力势能的改变量与参考平面的选取没有关系。尤其是用KPEE，只要把
增加的机械能和减少的机械能都写出来，方程自然就列出来了。 3
5．解题步骤 ⑴确定研究对象和研究过程。 ⑵判断机械能是否守恒。 ⑶选定一种表达式，列式求解。 4．应用举例 【例2】如图所示，质量分别为2 m和3m的两个小球固定在一根直角尺的两端A、B，直角尺的顶点O处有光滑的固定转动轴。AO、BO的长分别为2L和L。开始时直角尺的AO部分处于水平位置而B在O的正下方。让该系统由静止开始自由转动，求：⑴当A到达最低点时，A小球的速度大小v；⑵ B球能上升的最大高度h；⑶开始转动后B球可能达到的最大速度vm。
解析：以直角尺和两小球组成的系统为对象，由于转动过程不受摩擦和介质阻力，所以该系统的机械能守恒。
⑴过程中A的重力势能减少， A、B的动能和B的重力势能增加，A的即时速度总是B的2倍。222321221322vmvmLmgLmg，解得118gLv
⑵B球不可能到达O的正上方，它到达最大高度时速度一定为零，设该位置比OA竖直位
置向左偏了α角。2mg2Lcosα=3mgL（1+sinα），此式可化简为4cosα-3sinα=3，利用三角公式可解得sin（53°-α）=sin37°，α=16°
⑶B球速度最大时就是系统动能最大时，而系统动能增大等于系统重力做的功WG。设OA从开始转过θ角时B球速度最大，
A B O
v1/2 A B O
v1
O A B α B
O θ α θ
A
⑴ ⑵ ⑶ 4
22
3212221vmvm=2mg2Lsinθ-3mgL（1-cosθ）
=mgL（4sinθ+3cosθ-3）≤2mgL，解得114gLvm 点评：本题如果用EP+EK= EP＇+EK＇这种表达形式，就需要规定重力势能的参考平面，显然比较烦琐。用KPEE就要简洁得多。下面再看一道例题。
【例3】 如图所示，半径为R的光滑半圆上有两个小球BA、，质量分别为Mm和，由细线挂着，今由静止开始无初速度自由释放，求小球A升至最高点C时BA、两球的速度？
解析：A球沿半圆弧运动，绳长不变，BA、两球通过的路程相等，A上升的高度为Rh；B球下降的高度为242RRH；对于系统，由机械能守恒定律得：
KPEE ；
2)(212vmMmgRRMgEP
mMmgRRMgvc2 【例4】如图所示，均匀铁链长为L，平放在距离地面高为L2的光滑水平面上，其长度的51悬垂于桌面下，从静止开始释放铁链，求铁链下端刚要着地时的速度？ 5
方法1、选取地面为零势能面：2212)102(51254mvLmgLLmgLmg 方法2、桌面为零势能面：221)2(1051mvLLmgLmg 解得：gLv7451 点评：零势能面选取不同，所列出的表达式不同，虽然最后解得的结果是一样的，但解方程时的简易程度是不同的，从本例可以看出，方法二较为简捷。因此，灵活、准确地选取零势能面，往往会给题目的求解带来方便。
本题用KPEE也可以求解，但不如用EP+EK= EP＇+EK＇简便，同学们可以自己试一下。因此，选用哪一种表达形式，要具体题目具体分析。 二、机械能守恒定律的综合应用 【例5】 如图所示，粗细均匀的U形管内装有总长为4L的水。开始时阀门K闭合，左右支管内水面高度差为L。打开阀门K后，左右水面刚好相平时左管液面的速度是多大？（管的内部横截面很小，摩擦阻力忽略不计）
解析：由于不考虑摩擦阻力，故整个水柱的机械能守恒。从初始状态到左右支管水面相平为止，相当于有长L/2的水柱由左管移到右管。系统的重力势能减少，动能增加。该过程中，整个水柱势能的减少量等效于高L/2的水柱降低L/2重力势能的减
少。不妨设水柱总质量为8m，则28212vmLmg，得8gLv。
点评：本题在应用机械能守恒定律时仍然是用KPEE 建立方程，在计算系统重力势能变化时用了等效方法。需要注意的是：研究对象仍然是整个水柱，到两个支管水面相平时，整个水柱中的每一小部分的速率都是相同的。
【例6】如图所示，游乐列车由许多节车厢组成。列车全长为L，圆形轨道半径为R，（R远大于一节车厢的高度h和长度l，但L>2πR）.已知列车的车轮是卡在导轨上的光滑槽中只能使列车沿着圆周运动，在轨道的任何地方都不能脱轨。试问：在没有任何动力的情况下，列车在水平轨道上应具有多大初速度v0，才能使列车通过圆形轨道而运动到右边的水平轨道上？
K 6
解析：当游乐车灌满整个圆形轨道时，游乐车的速度最小，设此时速度为v，游乐车的质量为m，则据机械能守恒定律得：
22021221mvgRL
mRmv
要游乐车能通过圆形轨道，则必有v>0，所以有LgRv20 【例7】 质量为0.02 kg的小球，用细线拴着吊在沿直线行驶着的汽车顶棚上，在汽车 距车站15 m处开始刹车，在刹车过程中，拴球的细线与竖直方向夹角θ＝37°保持不变，如图所示，汽车到车站恰好停住.求：
（1）开始刹车时汽车的速度； （2）汽车在到站停住以后，拴小球细线的最大拉力。（取g＝10 m／s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）
解析：（1）小球受力分析如图
因为F合=mgtanθ=ma 7
所以a=gtanθ=10×8.06.0 m/s2=7.5 m/s2 对汽车，由 v02=2as 得v0=as2=155.72 m/s=15 （m/s） （2）小球摆到最低点时，拉力最大，设为T，绳长设为l 根据机械能守恒定律，有mg（l-lcosθ）=21mv2
在最低点，有T-mg=mlv2， T = mg+2mg（1一cosθ）， 代人数值解得T＝0.28 N 【例8】 如图所示，一根长为m1，可绕O轴在竖直平面内无摩擦转动的细杆AB，已知mOBmOA4.0;6.0，质量相等的两个球分别固定在杆的BA、端，由水平位置自由释放，
求轻杆转到竖直位置时两球的速度？
解析：BA、球在同一杆上具有相同的角速度，2:3::BABARRvv，BA、组成一个系统，系统重力势能的改变量等于动能的增加量，选取水平位置为零势能面，则： mgRRmgmgRmgREEEPBPAP2.0)(2121
2222122)(212121RRmmvmvEEEBAKBKAK
