例1 用单纯形法解下列问题：
解：将原问题化成标准形：
x 4与添加的松弛变量x 5，x 6在约束方程组中其系数列正好构成一个3阶单位阵，它们可以作为初始基变量，初始基可行解为X =（0, 0, 0,10, 8, 4）T
列出初始单纯形表，见表1。
表1
由于只有σ2> 0，说明表中基可行解不是最优解，所以确定x 2为换入非基变量；以x 2的系数列的正分量对应去除常数列，最小比值所在行对应的基变量作为换出的基变量。
2
4
2)24,110(
min ===θ 因此确定2为主元素（表1中以防括号[]括起），意味着将以非基变量x 2去置换基变量x 6，采取的做法是对约束方程组的系数增广矩阵实施初等行变换，将x 2的系数列(1, -1, 2)T 变换成x 6的系数列(0, 0, 1)T ，变换之后重新计算检验数。变换结果见表2。
表2
检验数σ3=3>0，当前基可行解仍然不是最优解。继续“换基”，确定2为主元素，即以非基变量x 3置换基变量x 5。变换结果见表3。
表3
123
1234123
123min 2..210,
248,
244,0,1,,4.
j x x x s t x x x x x x x x x x x j -++-+=-+≤-+-≤≥= 1231234
1235
1236max 2..210,248,244,
0,1,,6.
j x x x s t x x x x x x x x x x x x x j -+-+-+=-++=-+-+=≥=
此时，3个非基变量的检验数都小于0，σ1= -9/4，σ5= -3/2，σ5= -7/4，表明已求得最优解：T
)0,0,8,5,12,0(=*X 。
去除添加的松弛变量，原问题的最优解为：T
)8,5,12,0(=*X ,最小值为-19
例2 用大M 法求解下列问题：
123
1231231
3min 3..211,
243,21,
0,1,,3.
j x x x s t x x x x x x x x x j +--+≤+-≥-=≥=
解 引进松弛变量x 4、、剩余变量x 5和人工变量x 6、x 7，解下列问题：
12345671234
12356
1
37min 300()..211243
21
0,1,2,,7
j x x x x x M x x s t x x x x x x x x x x x x x j +-++++-++=+--+=-+=≥=
用单纯形法计算如下：
由于σ1<σ2< 0，说明表中基可行解不是最优解，所以确定x 1为换入非基变量；以x 1的系数列的正分量对应去除常数列，最小比值所在行对应的基变量作为换出的基变量。
1
1
1)11,23,111(
min ===θ 因此确定1为主元素（表1中以防括号[]括起），意味着将以非基变量x 1去置换基变量x 7，采取的做法是对约束方程组的系数增广矩阵实施初等行变换，将x 1的系数列(1, 2, 1)T 变换成x 7的系数列(0, 0, 1)T ，变换之后重新计算检验数。变换结果见表2。
由于σ2<σ3< 0，说明表中当前基可行解仍不是最优解，所以确定x 2为换入非基变量；以x 2的系数列的正分量对应去除常数列，最小比值所在行对应的基变量作为换出的基变量。因此确定1为主元素，意味着将以非基变量x 2去置换基变量x 6，采取的做法是对约束方程组的系数增广矩阵实施初等行变换，将x 2的系数列(-2, 1, 0)T 变换成x 7的系数列(0, 1, 0)T ，变换之后重新计算检验数。变换结果见表3。
由于只有σ3< 0，表中当前基可行解仍不是最优解，所以确定x 3为换入非基变量；又由于x 3的系数列的正分量只有3，所以确定3为主元素，意味着将以非基变量x 3去置换基变量x 4，对约束方程组的系数增广矩阵实施初等行变换，将x 3的系数列(3, 0, -2)T 变换成x 4的系数列(1, 0, 0)T ，变换之后重新计算检验数。变换结果见表4。
表4
至此，无负的检验数且基变量中不含人工变量（即人工变量在基可行解中取0值），求得原问题的最优解：9*
1=x ，
1*2=x ，4*
3
=x ，最小目标函数值为-2。
例3 用两阶段法求解下列问题：
1212121
12max 2..2,
1,3,,0.
x x s t x x x x x x x -+≥-≥≤≥
解 将原问题化成标准形为：
12123
124
1
5125max 2..213
,,0
x x s t x x x x x x x x x x x -+-=--=+=≥
第一阶段 用单纯形法求解第一阶段的线性规划问题：
67123
6
124
71
5
127min ..21
3
,,0
x x s t x x x x x x x x x x x x x ω=++-+=--+=+=≥
求解过程见表1。
表1
因此，第一阶段求得最优解为12345313(,,,)(,,0,0,)222
T T
x x x x x =，，基变量为x 1、x 2和x 5，不包含人工变量。
第二阶段 以第一阶段的最终单纯形表为基础，除去人工变量x 6、x 7及其系数列，恢复目标价值向量为C =（2, -1, 0, 0, 0）T ，重新计算检验数，继续迭代，见表2。
表2
