最优化方法-单纯形法

线性规划的解与最优解知识点总结在现实生活和工作中，我们经常会遇到需要最优化某个目标函数的问题。

线性规划作为一种常见的数学优化方法，在各个领域中得到了广泛应用。

它能够帮助我们在一定的约束条件下，找到目标函数的最佳解。

本文将对线性规划的解与最优解的相关知识点进行总结。

1. 基本概念线性规划问题由目标函数和一组线性约束条件组成。

目标函数的形式通常是最大化或最小化一些变量的线性组合，而约束条件则给出了这些变量的取值范围。

线性规划问题的一般形式如下：```max/min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙsubject to:a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0```其中，Z表示目标函数的值，c₁, c₂, ..., cₙ为目标函数的系数，aᵢₙ为约束条件中的系数，b₁, b₂, ..., bₙ为约束条件的右边常数，x₁,x₂, ..., xₙ为决策变量。

2. 解的存在性线性规划问题存在三种解的情况：无解、有界解和无界解。

如果约束条件与目标函数之间存在矛盾，例如出现一个约束条件为 a₁₁x₁ +a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁，而目标函数的系数为 c₁ > a₁₁，那么这个线性规划问题就没有解。

有界解指的是线性规划问题在满足所有约束条件的情况下，能够找到目标函数的最大值或最小值。

无界解意味着目标函数可以无限制地增大或减小。

3. 最优解的性质线性规划问题的最优解具有以下性质：- 最优解必然出现在可行域的顶点上。

可行域是指所有满足约束条件的解的集合，而顶点则指可行域的边界上的点。

- 如果最优解存在，那么至少存在一个顶点是最优解。

- 如果可行域是有限的，则一定存在一个顶点是最优解。

- 如果最优解存在，那么一定有一条或多条约束条件在最优解上取等号。

分布式单纯形法
分布式单纯形法是一种求解线性规划问题的算法，其基本思想是将一个大规模的线性规划问题分解为若干个较小的子问题，然后利用单纯形法分别求解这些子问题，最后将这些子问题的解进行合并，得到原问题的最优解。

具体来说，分布式单纯形法将原问题分解为若干个子问题，每个子问题对应原问题的一个约束条件或一个变量。

然后，每个子问题在一个独立的计算节点上使用单纯形法进行求解。

在每个迭代步骤中，每个计算节点更新自己的变量值，并与其他计算节点交换信息，以便在全局范围内找到最优解。

分布式单纯形法的优点是可以将大规模问题分解为较小的子问题，从而在分布式计算环境中实现高效的求解。

此外，该算法还可以利用并行计算的优势，提高求解速度。

然而，分布式单纯形法也存在一些挑战，例如如何有效地分解问题、如何管理通信和同步等。

总之，分布式单纯形法是一种求解大规模线性规划问题
的有效方法，适用于分布式计算环境。

单纯形法的原理是：先找到一个初始的基可行解，判定其是否为最优解，如为否，则转换到相邻的基可行解，并使目标函数值不断增大，一直找到最优解为止。

单纯形法是一种求解线性规划问题的算法，其基本思想是将一个复杂的线性规划问题转化为一系列简单的线性规划问题，通过不断迭代和变换，最终找到最优解。

线性规划知识点一、什么是线性规划线性规划是一种数学优化方法，用于解决在给定约束条件下的线性目标函数的最优化问题。

线性规划的目标函数和约束条件都是线性的，因此可以通过线性代数的方法进行求解。

线性规划在实际问题中有广泛的应用，如生产计划、资源分配、运输问题等。

二、线性规划的基本要素1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，通常表示为Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ，其中 Z 为目标函数值，c₁, c₂, ..., cₙ 为系数，x₁,x₂, ..., xₙ 为决策变量。

2. 决策变量：决策变量是问题中需要决策的变量，通常表示为x₁, x₂, ..., xₙ。

决策变量的取值决定了目标函数的值。

3. 约束条件：约束条件限制了决策变量的取值范围。

约束条件可以是等式约束或不等式约束，通常表示为 a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁，a₂₁x₁ +a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂，...，aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙ，其中 a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ 为系数，b₁, b₂, ..., bₙ 为常数。

4. 非负约束：线性规划中通常要求决策变量的取值非负，即 x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0, ...,xₙ ≥ 0。

三、线性规划的解法线性规划可以通过不同的方法进行求解，常见的方法包括图形法、单纯形法和内点法。

1. 图形法：图形法适用于二维或三维的线性规划问题。

首先将目标函数和约束条件转化为几何形式，然后在坐标系中绘制约束条件的图形，最后通过图形的分析找到最优解点。

2. 单纯形法：单纯形法是一种通过迭代寻找最优解的方法。

该方法从一个可行解开始，通过不断移动到相邻的可行解来逐步接近最优解。

单纯形法的核心是单纯形表，通过表格的变换和计算来确定下一个迭代点，直到找到最优解。

3. 内点法：内点法是一种通过迭代寻找最优解的方法。

线性规划知识点总结一、概述线性规划是一种数学优化方法，用于解决一类特定的最优化问题。

它的目标是在一组线性约束条件下，找到一个线性目标函数的最大值或最小值。

二、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，该函数称为目标函数。

2. 约束条件：线性规划问题通常有一组线性约束条件，这些约束条件限制了决策变量的取值范围。

3. 决策变量：决策变量是问题中需要决策的变量，它们的取值会影响目标函数的值。

4. 可行解：满足所有约束条件的决策变量取值称为可行解。

三、标准形式线性规划问题可以转化为标准形式，其标准形式如下：最小化：Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ约束条件：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≥ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≥ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≥ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0其中，Z为目标函数值，c₁, c₂, ..., cₙ为目标函数的系数，a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ为约束条件的系数，b₁, b₂, ..., bₙ为约束条件的右侧常数，x₁, x₂, ..., xₙ为决策变量。

四、线性规划的解法1. 图形法：对于二维线性规划问题，可以使用图形法找到最优解。

通过绘制约束条件的直线，找到可行解区域，并通过目标函数的等高线找到最优解。

2. 单纯形法：单纯形法是一种常用的求解线性规划问题的算法。

它通过迭代计算，逐步改进解的质量，直到找到最优解。

3. 整数规划法：当决策变量需要取整数值时，可以使用整数规划方法求解。

整数规划问题通常更难求解，需要使用特定的算法。

五、线性规划的应用线性规划在实际生活和工作中有广泛的应用，例如：1. 产能规划：通过线性规划方法，可以确定最优的产能配置，以满足市场需求和最大化利润。

2. 运输优化：线性规划可以用于优化物流配送路线，降低运输成本。

数学建模中的最优化算法数学建模是一项综合性强、难度较大的学科，涉及到数学和实际问题的结合。

在数学建模中，最常见的问题是优化问题，即在给定的约束条件下，求出最优解。

最优化算法是解决优化问题的重要手段，包括线性规划、非线性规划、动态规划等。

这些算法在不同的问题中有不同的应用，下面我们将分别介绍。

一、线性规划线性规划是一种数学工具，它可以在一系列线性约束条件下最大化或最小化具有线性关系的目标函数。

在数学建模中，线性规划被广泛应用于资源分配问题、制造流程优化等方面。

线性规划的求解方法主要有单纯形法、对偶理论、内点法等。

其中单纯形法是最常用的方法之一，它通过迭代搜索寻找最优解。

但是对于规模较大的问题，单纯形法的效率会降低，因此近年来对于线性规划的求解，研究者们也开始关注内点法这种算法。

内点法通过可行路径寻找最优解，因此在理论和实际的问题中都有广泛的应用。

二、非线性规划非线性规划主要是解决一些非线性问题，这种问题在实际问题中很常见。

与线性规划不同的是，非线性规划的目标函数往往是非线性的。

非线性规划的求解方法主要有牛顿法、梯度法、共轭梯度法等。

其中，牛顿法是一种迭代法，通过利用函数的一、二阶导数进行求解。

梯度法则是利用函数的一阶导数进行搜索最优解。

共轭梯度法是一种联合使用前两种方法的算法，比前两种算法更加高效。

三、动态规划动态规划是一个将一个问题分解为相互重叠的子问题的技巧，并将子问题的解决方法组合成原问题的解决方法。

动态规划的优势在于能够处理具有重叠子问题和最优子结构等性质的问题。

在数学建模中，动态规划通常被用来处理具有最优子结构的优化问题。

动态规划的求解方法主要有记忆化搜索、状态转移方程等。

其中，记忆化搜索是一种保存结果以便后续使用的技术。

状态转移方程则是一种寻找题目的最优子结构的方法，它通过减小问题规模寻找最优解。

总之，数学建模中的最优化算法是解决现实问题的有效手段。

通过学习和掌握这些算法，我们可以更加深入地理解和解决实际问题。

单纯形法求解线性规划的步骤1>初始化将给定的线性规划问题化成标准形式,并建立一个初始表格,它最右边的单元格都是非负的(否则无解),接下来的m列组成一个m*m的单元矩阵(目标行的单元格则不必满足这一条件),这m列确定了初始的基本可行解的基本变量,而表格中行用基本变量来表示2>最优化测试如果目标行的所有单元格都是非负的(除了最右列中代表目标函数值的那个单元格),就可以停止了,该表格代表了一个最优解,它的基本变量的值在最右列中,而剩下的非基本变量都为03>确定输入变量从目标行的前n个单元格中选择一个负的单元格(选择绝对值最大的那个)该单元格所在的列确定的输入变量及主元列4>确定分离变量对于主元列的每个正单元格,求出θ比率(如果主元格的单元格为负或为0,说明该问题是无解的,算法终止),找出θ比率最小的列,改行确定了分离变量和主元行5>建立下一张表格将主元行的所有单元格除以主元得到新的主元行,包括主元行在内的每一行,要减去改行主元列单元格和新主元行的成绩(除主元行为1外,这一步将主元列的所有单元格变成0).把主元列的变量名进行代换,得到新的单纯形表,返回第一步为求简单在本程序中,需要自己建立标准矩阵(比如加入松弛变量等工作需要用户自己完成),程序的输入有两种方式:1:指定行和列,由用户自行输入每一个元素SimpleMatrix(introw=0,int col=0);2:直接在主程序中初始化一个二维数组,然后利用构造函数SimpleMatrix(introw,int col,double **M) 来初始化和处理(本程序所用的实例用的是这种方法)程序中主要的函数以及说明~SimpleMatrix();销毁动态分配的数组.用于很难预先估计矩阵的行和列,所以在程序中才了动态的内存分配.需要重载析构函数bool Is_objectLine_All_Positive();其中row2为主元所在的行,col为主元所在的列,row1为要处理的行void PrintAnswer();数不合法"<<endl;}SimpleMatrix::SimpleMatrix(int row,int col){init(row,col);for(int i=0;i<rowLen;i++)cout<<"请输入矩阵中第"<<i+1<<"行的系数"<<endl; for(int j=0;j<colLen;j++)cin>>data[i][j];}？}SimpleMatrix::SimpleMatrix(int row,int col,double **M) {rowLen=row;colLen=col;init(row,col);for (int i=0;i<row;i++)for(int j=0;j<col;j++){data[i][j]=*((double*)M+col*i+j); ;}}SimpleMatrix::~SimpleMatrix(){if(colLen*rowLen != 0 ){for(int i=rowLen-1;i>=0;i--){if (data[i]!=NULL)delete[] data[i];}if (data!=NULL)delete[] data;}？}bool SimpleMatrix::Is_objectLine_All_Positive(){for(int i=0;i<colLen-1;i++)if(data[rowLen-1][i]<0)return false;return true;}bool SimpleMatrix::Is_MainCol_All_Negative(int col) {for(int i=0;i<rowLen;i++)if(data[i][col]>0)return false;return true;}bool SimpleMatrix::Is_column_all_Positive(int col){for(int i=0;i<rowLen-1;i++){return false;}return true;}int SimpleMatrix::InColumn(){int count=0;for(int i=0;i<colLen-1;i++){int temp=GetItem(rowLen-1,i);if(temp>=0){count++;}elsebreak;}double maxItem=fabs(GetItem(rowLen-1,count));int index_col;for(i=0;i<colLen-1;i++){double temp=GetItem(rowLen-1,i);if(temp<0){if(maxItem<=fabs(temp)){maxItem=fabs(temp);index_col=i;}}}return index_col;}int SimpleMatrix::DepartRow(int col){int index_row;int count=0;for(int i=0;i<rowLen;i++){if(data[i][col]<0)count++;elsebreak;}double minItem=data[count][colLen-1]/data[count][col]; index_row=count;double temp;for(i=0;i<rowLen-1;i++)temp=data[i][col];if(temp>0){temp=data[i][colLen-1]/temp;if(temp<minItem){minItem=temp;index_row=i;}}}return index_row;}void SimpleMatrix::MainItem_To_1(int row,int col){double temp=GetItem(row,col);pp#include <iostream>#include ""using namespace std;int main(){double M[4][7]={{5,3,1,1,0,0,9},{-5,6,15,0,1,0,15},{2,-1,1,0,0,-1,5},{-10,-15,-12,0,0,0,}}; SimpleMatrix Matrix(4,7,(double **)M);if(5))//判断是否存在最优解{bool p=();//判断主元列是否全部为正,确定是否已经取得最优解while(!p){int col=();//确定主元所在的行if(col))//确定线性规划的解是否为无解的{cout<<"线性规划问题是无界的,没有最优解"<<endl;exit(EXIT_FAILURE);}else{int mainRow=(col);//确定主元所在的行(mainRow,col);//将主元所在的行做变换,使主元变成1int i=0;while(i<()){if(i!=mainRow){(i,mainRow,col);//处理矩阵中其他的行,使主元列的元素为0i++;}elsei++;}}}for(int i=0;i<();i++)//输出变换以后的矩阵,判断是否正确处理{for (int j=0;j<();j++){cout<<(i,j)<<" ";}cout<<endl;}p=();}();}elsecout<<"线性规划无解"<<endl;return0;}。

最优化方法第二讲单纯形法在运筹学中，最优化问题是指在一组约束条件下，寻找使目标函数取得最大（或最小）值的决策变量值。

而最优化方法是解决这类问题的一种有效手段。

单纯形法是最优化方法中的一种重要算法，它是由乔治·丹齐格于1947年提出的，用于求解线性规划问题。

单纯形法的基本思想是通过逐步移动到目标函数最优解的方法来解空间。

它通过对线性规划问题进行逐步转换和简化，从而将复杂问题简化为简单问题的序列，从而找到最优解。

单纯形法的步骤如下：1.制定线性规划模型：确定决策变量、目标函数和约束条件。

2.将约束条件转化为标准形式：将所有约束条件都转化为等式形式。

3.初始化：选择一组基本可行解作为初始解，并计算初始目标函数值。

如果所有的目标函数系数都是非负的，则找到了初始基本可行解。

4.迭代过程：根据当前基本可行解，计算对应的单纯形表。

5.判断最优性：如果单纯形表没有负值，则当前基本可行解是最优解；否则，找到表中最小的负值所在的列，作为入基变量。

6.选出基变量：根据入基列，选出出基行。

7.更新单纯形表：通过行变换和列变换更新单纯形表。

8.重复迭代：如果目标函数在迭代过程中得到改善，则继续迭代；否则，停止迭代，当前基本可行解即为最优解。

9.输出最优解：输出最优解的决策变量值。

单纯形法作为最优化问题的常用方法，具有以下优点：1.简单易实现：单纯形法的算法步骤简单明了，可以利用计算机编程实现。

2.可靠性高：经过数十年的实践与应用，单纯形法已被广泛接受与使用，并且在许多实际问题中取得了良好的结果。

3.理论基础深厚：单纯形法是基于矩阵运算和线性代数理论的，具有坚实的理论基础。

然而，由于单纯形法存在着多个局限性，使得它在一些问题中的效率和实用性有所受限。

1.算法复杂度高：单纯形法的迭代过程需要进行大量的行变换和列变换，当问题规模较大时，计算量会非常庞大，运算时间会大大增加。

2.进入和离开基变量选择问题：单纯形法需要选择进入和离开基变量，而一次迭代只能选择一个基变量，这会导致算法的迭代次数较多。

例1 用单纯形法解下列问题：解：将原问题化成标准形：x 4与添加的松弛变量x 5，x 6在约束方程组中其系数列正好构成一个3阶单位阵，它们可以作为初始基变量，初始基可行解为X =（0, 0, 0,10, 8, 4）T列出初始单纯形表，见表1。

22x 2的系数列的正分量对应去除常数列，最小比值所在行对应的基变量作为换出的基变量。

242)24,110(m in ===θ 因此确定2为主元素（表1中以防括号[]括起），意味着将以非基变量x 2去置换基变量x 6，采取的做法是对约束方程组的系数增广矩阵实施初等行变换，将x 2的系数列(1, -1, 2)T 变换成x 6的系数列(0, 0, 1)T ，变换之后重新计算检验数。

变换结果见表2。

1231234123123min 2..210,248,244,0,1,,4.j x x x s t x x x x x x x x x x x j -++-+=-+≤-+-≤≥=123123412351236max 2..210,248,244,0,1,,6.j x x x s t x x x x x x x x x x x x x j -+-+-+=-++=-+-+=≥=检验数σ3=3>0，当前基可行解仍然不是最优解。

继续“换基”，确定2为主元素，即以非基变量x 3置换基变量x 5。

变换结果见表3。

此时，3个非基变量的检验数都小于0，σ1= -9/4，σ5= -3/2，σ5= -7/4，表明已求得最优解：T)0,0,8,5,12,0(=*X 。

去除添加的松弛变量，原问题的最优解为：T )8,5,12,0(=*X ,最小值为-19例2 用大M 法求解下列问题：12312312313min 3..211,243,21,0,1,,3.j x x x s t x x x x x x x x x j +--+≤+-≥-=≥=解 引进松弛变量x 4、、剩余变量x 5和人工变量x 6、x 7，解下列问题：1234567123412356137min 300()..211243210,1,2,,7j x x x x x M x x s t x x x x x x x x x x x x x j +-++++-++=+--+=-+=≥=用单纯形法计算如下：由于σ1<σ2< 0，说明表中基可行解不是最优解，所以确定x 1为换入非基变量；以x 1的系数列的正分量对应去除常数列，最小比值所在行对应的基变量作为换出的基变量。

最优化单纯形法最优化单纯形法是一种用于解决线性规划问题的算法。

线性规划问题是在给定一组线性约束条件下，寻找一个线性目标函数的最优解的问题。

最优化单纯形法通过不断迭代改进当前解，直到找到最优解。

最优化单纯形法的基本思想是从一个可行解出发，通过一系列的迭代计算，逐步接近最优解。

在每一次迭代中，通过选择一个合适的进入变量和离开变量来改善当前解。

进入变量是指在当前基本解中非基本变量中的某个变量，使得目标函数值增加。

离开变量是指在当前基本解中的基本变量中的某个变量，使得目标函数值减少。

最优化单纯形法的关键步骤包括初始化、选择进入变量、选择离开变量、更新基变量等。

首先，需要将线性规划问题转化为标准型，即目标函数是最小化的，并且约束条件都是等式形式。

然后，通过初始化得到一个可行解。

接下来，在每一次迭代中，选择进入变量和离开变量。

进入变量的选择通常是根据目标函数的系数，选择系数最小的非基本变量作为进入变量。

离开变量的选择是根据约束条件的限制，选择使得当前基变量中的某个变量离开基变量集合的变量。

更新基变量后，继续下一次迭代，直到找到最优解。

最优化单纯形法的优点是可以有效地解决线性规划问题，并且在实际应用中有广泛的应用。

然而，最优化单纯形法也存在一些限制。

首先，该方法只适用于线性规划问题，无法解决非线性规划问题。

其次，当问题的规模较大时，计算量会很大，需要耗费较多的时间和资源。

此外，该方法还需要满足一些前提条件，如可行解的存在性和有界性等。

最优化单纯形法是一种解决线性规划问题的有效算法。

通过选择进入变量和离开变量，不断迭代改进当前解，最终找到最优解。

尽管最优化单纯形法存在一些限制，但在实际应用中仍然具有广泛的应用前景。