集合的概念课件

４、集合的分类
（1）有限集： 含有有限个元素的集合 （2）无限集： 含有无限个元素的集合
不含任何元素的集合
叫做空集记作 。
自然数（非负整数）即用以计量事物的件数
５、常用数集及其或表记示事法物次序的数，是用数字0，1，2，3，
4，……所表示的数 有理数是整数和分数的统称或除无
由数组成的集合叫数集
限不循环小数以外的实数。
表示方法：
一般采用大写英文字母A，B，C，…表示集合 小写英文字母a，b，c,… 表示集合的元素.
２、元素与集合的关系
元素与集合
元素a是集合A 的元素，
.
记作aA，
读作a属于A.
元素a不是集合A 的元素，
记作a A，
读作a不属于A.
议一议
小组合作探究——集合元素的特征：
任意一组对象是否都能组成一个集合？集合中的元素有什么特征？
食品筐
面包 面粉 汉堡 果冻 薯片
文具筐
彩笔 水笔 橡皮 裁纸刀 尺子
讨论
以上哪些是整体？哪些是个体？ 整体
食品筐
文具筐
面包 面粉 汉堡 果冻 薯片
个体
彩笔 水笔 橡皮 裁纸刀 尺子
１、 集合与元素的定义
由某些确定的对象组成的整体叫做集合（简称集） 组成集合的对象叫做这个集合的元素．
说出由我们班的同学组成的集合是由哪些元素组成？
➢3、集合中元素的特征；
谢谢观看欢迎指导
(1)你所在班级中的全体同学；班级中的全体同学是确定的，所以可以构成一个集合
(2)班级中比较高的同学；因为“比较高”无法衡量，所以对象不确定，所以不能构成一个集合 (3)班级中身高超过178 cm的同学；因为“身高超过178 cm”是确定的，所以可以构成一个

数学（基础模块）
第1章 集 合
1.1 • 集合的概念 1.2 • 集合之间的关系 1.3 • 集合的基本运算 1.4 • 充要条件
内容简介：本章主要讲述集合的有关概念及集合的表 示方法、集合之间的关系、集合的运算、充要条件，主要通 过集合语言的学习与运用，培养学生的数学思维能力。
学习目标：理解集合的有关概念，并掌握集合的表示 方法，掌握集合之间的关系和集合的运算，了解充要条件。
1.2.1 子集与真子集
1．子集 一般地，如果集合B中的每一个元素都是集合A的元素， 那么集合B称为集合A的子集，记作B A（或 A B ），读作 “B包含于A”（或“A包含B”）．
显然，任何一个集合A的所有元素都属于它本身，所以任 何一个集合都是它自身的子集，即A A ．
我们规定，空集是任何集合的子集．也就是说，对于任 何一个集合A，都有 A ．
例2 用符号“∈”或“∉”填空： （1） 5_____N， －2_____N， 3.7_____N； （2） 0_____Z， 2.3_____Z， －5_____Z； （3） π_____Q， －1.6_____Q， 9.21_____Q； （4） 3 _____R， －2_____R， 4.7_____R．
给定一个集合A，如果a是集合A的元素，就说a属于A，记 作a A ；如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a A ．
一个集合可以包含有限个元素，也可以包含无限个元素．我 们把含有有限个元素的集合称为有限集，如方程x2 9 0 的解 集；含有无限个元素的集合称为无限集，如N，N， Z，Q，R等．
g ，o ，d．
（2）解方程x2 2x 3 0 得
所以该方程的解集为
x1 3，x2 1，
3，1 ．

描述法
总结词
通过描述集合中元素的共同特征来展 示集合的方法。
详细描述
描述法适用于集合元素数量较多，无 法一一列举的情况。例如，集合 B={x|x>2}，可以通过描述法表示为 {x|x>2}。
韦恩图法
总结词
通过图形表示集合及其关系的方法。
详细描述
韦恩图法是一种直观的表示方法，通过圆圈、椭圆等图形来 表示不同的集合，以及它们之间的关系。这种方法有助于理 解集合的并、交、差等运算。
总结词
表示两个或多个集合中共有的元 素
详细描述
交集是指两个或多个集合中共有 的元素组成的集合。可以用符号 "∩"表示交集，例如A∩B表示集合 A和集合B的交集。
并集
总结词
表示两个或多个集合中所有的元素， 不考虑重复
详细描述
并集是指两个或多个集合中所有的元 素组成的集合，不考虑重复。可以用 符号"∪"表示并集，例如A∪B表示集 合A和集合B的并集。
互异性
• 互异性是指集合中的元素互不相同，即集合中不会有重复的元素。例如，集合 {1,2,3}中没有重复的元素，而集合{1,2,2,3,3}中有重复的元素2和3。
05
集合的应用
在数学中的应用
1 2
3
集合论
集合论是数学的基础理论之一，它为数学概念提供了一种抽 象的描述方式。通过集合，数学中的许多概念，如函数、数 列、平面几何等都可以被统一地表达和描述。
在经济学中，集合的概念也经常被使 用。例如，可以将一组商品看作一个 集合，然后对这组商品进行分析和比 较。
计算机科学
在计算机科学中，集合的概念被广泛 应用于数据结构和算法的设计。例如 ，数组、链表、栈、队列等数据结构 都是基于集合的。

（一）集合的概念：
各种各样的事物或一些抽象的符号，都可以看作对象。
一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就
说这个整体是有这些对象的全体构成的集合（或集）。 构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）
如：小于10的自然数 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 构成了一个集合
集合举例
3、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来 表示一个集合.
例1：用列举法表示下列集合
（1）A {x N | 0 x 5} A {1，2，3，4，5} （2）B={2，3}
例2：用描述法表示下列集合
（1）{1，1}； （2）大于3的全体偶数构成的集合；
（二）“元素”与“集合”：
1. 集合通常用大写英语字母A，B，C，…来表示，元 素通常用小写英语字母a，b，c，…来表示；
2、元素与集合的关系 （1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作 a∈A （2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A， 记作要注意“∈”的方向，不能把a∈A颠倒过来写.
问题：正偶数的集合怎么表示， 能否使用列举法？
{x R | x能被2整除，且大于0} 或{x R | x 2n, n N}
问题解决：用集合中元素的特征性 质来描述
2、描述法： 在集合I中，属于集合A的任意元素x都 具有性质p(x)，而不属于集合A的元 素都不具有性质p(x),则性质p(x)叫做 集合A的一个特征性质，于是集合A 可以表示如下：
3.空集
（1）考虑方程x+1=x+2的解的全体构成的集合.显然这 个集合不含任何元素.
（2）一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集， 记作Ф
知识探究
任意一组对象是否都能组成一个集合？集合中的元 素有什么特征？

值.
分析:1∈A→a=1或a2=1→验证互异性
解:因为1∈A,所以a=1或a2=1,即a=±1,当a=1时,a=a2,集合A中
只有一个元素,所以a≠1;当a=-1时,集合A中含有两个元素1,-1,
符合互异性,所以a=-1.
1.本例中若去掉条件“1∈A”,其他条件不变,则实数a的取值范
围是什么?
解:由题意a和a2组成含有两个元素的集合,则a≠a2,解得a≠0且
A.0∈A B.a∉A C.a∈A D.a=A
解析:∵集合A中只含有一个元素a,
∴a属于集合A,即a∈A.
答案:C
)
3.由x2,x3组成一个集合A,A中含有两个元素,则实数x的取值可
以是(
)
A.0 B.-1 C.1 D.-1或1
解析:验证法:若x=0,x2=0,x3=0,不合题意;
若x=1,x2=1,x3=1,不合题意;
(1)1
N+;(2)-3

(3)

(5)-
Q;(4)
N;
Q;
R.
答案:(1)∈ (2)∉ (3)∈ (4)∉ (5)∈
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“ ”,错
误的画“×”.
(1)如果小明的身高是1.78 m,那么他应该是由高个子学生组
成的集合中的一个元素.( × )
么是,要么不是,两者必居其一,且仅居其一,故“等边三角形的
全体”能组成集合;同理可得,(2)能组成集合;(3)能组成集合;
(4)“聪明的人”没有明确的判断标准,对于某个人算不算聪明
无法客观判断,因此“聪明的人”不能组成集合;同理可得,(5)不能 Nhomakorabea成集合.

（2）由1~15以内的所有质数组成的集合.
课堂练习：教材第7页练习第1题.
师生互动：生：自主完成例1，及练习题然后探讨.
师：演示答案，并引导学生归纳注意的问题.
设计意图：进一步掌握用列举法表示集合.
典例剖析
例2、用描述法表示下列集合：
（1）大于1的所有偶数组成的集合；
（2）不等式 − > 的解集.
设计意图：培养学生的归纳和数学抽象的能力.
明确元素的特征，培养学生抽象概括的能力.
探究新知
三、集合表示方法及常用的数集通常用大写拉丁字母表示集合，如集合A、集合B、集
合C等.
特别地，全体自然数组成的集合，叫作自然数集，记作N；
全体正整数组成的集合，叫作正整数集，记作 ∗ 或+ ；
全体整数组成的集合，叫作整数集，记作Z；
合 ∈ ∣ = 2 − 1, ∈ 是同一集合.
（3）描述法是最基本、应用最广的表示集合的方法，用具体的例子，去理解应如何用
数学语言、符号来描述性质.
师生互动：生：思考、探究、讨论.
师：解决问题，演示课件，总结描述法表示集合注意的问题.
设计意图：激起学生探究问题的兴趣，激发学习的热情.
问题：（1） = {1,3}，问3，5哪个是A的元素？
（2） ={所有素养好的人}，能否表示为集合？ ={身材较高的人}呢？
（3） ={2，2，4}，表示是否准确？
（4） ={太平洋，大西洋}， ={大西洋，太平洋}，是否表示为同一集合？
生：尝试总结，师生共同归纳.
设计意图：培养学生的视察归纳能力，到达培养逻辑推理核心素养的目的.
课堂练习：教材第8页练习第3题
师生互动：生：板演例2和练习题.

思考3:我们用符号“ A B”表示集合A与B的 并集，并读作“A并B”，那么如何用描述法 表示集合A B？ A B { x |x A ,或 x B }
思考4:如何用venn图表示 A B ？
A
B
思考5:集合A、B与集合A B的关系如何？ A B与B A的关系如何？
AA B BA B ABBA
理论迁移
例1 写出满足 { 1 ,2 } A { 1 ,2 ,3 ,4 }的所有集 合A.
{1，2},{1，2，3},{1,2,4},{1，2，3，4}
例2 已知集合 A{y|y(x1 )2,x0 }， B {y|yx2x 1 ,x R },试确定集合A与 B的关系.
A B
例3 设集合 A {2, a2} ，B{1,2,a},若 A B ， 求实数 a 的值. -1或0
1.1.1 集合的含义与表示
第二课时 集合的表示
问题提出
1.集合中的元素有哪些特征？
确定性、无序性、互异性
2.元素与集合有哪几种关系？ 属于、不属于
3.用自然语言描述一个集合往往是不简明的， 如“在平面直角坐标系中以原点为圆心，2 为半 径的圆周上的点”组成的集合，那么，我们可以 用什么方式表示集合呢？
称集合A是集合B的真子集.
思考4:如果集合A是集合B的真子集，我们怎 样用符号表示？
AB或 B A
思考5:若集合A是集合B的子集，则集合A一 定是集合B的真子集吗？若集合A是集合B的 真子集，则集合A一定是集合B的子集吗？
知识探究（二）
考察下列集合： （1）{x|x是边长相等的直角三角形}； （2）{xR|x210} ； （3）{xR||x|20}.
思考1:上述三个集合有何共同特点？ 集合中没有元素

由此能总结出集合元素有什么特性？
互异性 一个集合中的任何两个元素都互不相同。
也就是说，集合中的元素互不相同
探究3： 将某学校高一（1）班全体学生组成的集合记为集合A， 改变这个班同学的座次，集合A是否发生改变？
集合A不发生改变，即不管班里的学生怎么改变座次，学生改 变座次后的集合仍然还是学生改变座次之前的集合.
描述法 通过描述元素满足的条件表示集合的方法叫作描述法。
一般地可将集合表示为{x及x的范围|x满足的条件}
例如，集合 D={x∈R|x<10}也可表示为D={x|x<10}； 集合E={x∈Z|x=2k+1,k∈Z}也可表示为E={x|x=2k+1,k∈Z}.
思考：你能用列举法表示不等式 x-7<3的解集吗?
如上述思考中不等式x-7<3的解是x<10，因为满足x<10的实数 有无数个，所以x-7<3的解集无法用列举法表示，
但是，我们可以利用解集中元素的共同特征，即：x是实数， 且x<10，因此把解集表示为{x|x<10}.
整数集Z可以分为奇数集和偶数集。 对于每一个x∈Z，如果它能表示为x=2k+1(k∈Z)的形式，那么它 是一个奇数;反之，如果x是一个奇数，那么它能表示为x=2k+1(k∈Z) 的形式。 所以，x=2k+1(k∈Z)是所有奇数的一个共同特征，于是奇数集可 以表示为：{x|x=2k+1,k∈Z}.
5、集合的表示方法
思考：从上面的例子看到，我们可以用自然语言描述一个集合。 除此之外，还可以用什么方式表示集合呢? 列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来 表示集合的方法叫做列举法。
“地球上的四大洋”组成的集合可以表示为{太平洋，大西洋， 印度洋，北冰洋}； “方程x2-3x+2=0的所有实数根”组成的集合可以表示为{1，2}.

提示 ①这是用自然语言法表示的集合； ②我们可以把所有男生的名字写出来，或者把所有男生的学号一一写出.
知识梳理
列举法：将集合的元素 一一列举 出来，并置于花括号“{ }”内的表示 集合的方法叫做 列举法 .
注意点：
(1)集合中的元素之间用逗号分隔，元素不重复，元素无顺序. (2)元素个数较少时，把元素一一列举并用“{ }”括起来即可；元 素个数较多且有明显规律，可用列举法，但必须把规律显示清楚， 然后加省略号.
1234
课时对点练
基础巩固
1.(多选)下列选项中能构成集合的是 A.高一年级跑得快的同学 B.中国的大河
√的倍数 √D.大于6的有理数
选项A，B都不具备确定性，不能构成集合.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2.若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是
A.3.14
B.－5
3 C.7
√D. 7
由题意知 a 应为无理数，故 a 可以为 7.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1的注意点 ①把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次. ②这里“{ }”已包含所有的意思，不能出现“全体”“所有”等. (2)利用描述法表示集合的注意点 ①写清楚该集合代表元素的符号. ②所有描述的内容都要写在花括号内. (3)一个集合可以用不同的方法表示.若两个集合相等，则这两个 集合的元素相同，要注意其中的元素不一定按顺序对应相等，应 注意检验元素是否满足互异性.
随堂演练
1.(多选)下列各组对象能构成集合的有
A.接近于1的所有正整数
√B.小于0的实数
√C.点(2 022，1)与点(1，2 022)
D.某班级里身高较高的学生

∴(∁uA)∩B={x|x≤-2，或x≥3}∩{x|2＜x≤6}={x|3≤x≤6}
专题一 集合的概念及基本运算
设全集U=R，集合A={x|-2＜x＜3}，集合B={x|m-1＜x≤2m}。
①若m=3，求集合A∪B、A∩B、(∁uA)∩B；
②若m=2，求集合A∪B、A∩B、A∩(∁uB)。
②解：
∵A={x|-2＜x＜3}，B={x|m-1＜x≤2m}
②若m=2，求集合A∪B、A∩B、A∩(∁uB)。
①解：
∵A={x|-2＜x＜3}，
∴∁uA={x|x≤-2，或x≥3}，
∵集合B={x|m-1＜x≤2m}，
∴当m=3时，集合B={x|2＜x≤6}，
∴A∪B={x|-2＜x＜3}∪{x|2＜x≤6}={x|-2＜x≤6}
∴A∩B={x|-2＜x＜3}∩{x|2＜x≤6}={x|2＜x＜3}
命题q：关于x的二次函数y=2x2+ax+4在区间[3，+∞）上单调递增，
若p,q都是真命题，求实数a的取值范围。
解：
∵关于x的方程x2-4x+a=0有实根
∴∆≥0，解得a≤4
∵关于x的二次函数y=2x2+ax+4

∴对称轴为x=-
∵在区间[3，+∞）上单调递增

∴-≤3，解得a≥-12
∴综上所述-12≤a≤4
∵B⊆A
∵“x∈A”是“x∈B”必要条件
∴B⊆A
∴B⊆A，
∴当B＝∅时，m-1＞2m，得m＜-1
≥ −
−2 ≤ − 1
3
∴当B≠∅时，ቐ − 1＜2 ，解得൞＞ −31 ，即 − 1＜＜ 2
＜ 2
2＜3

问题2：咱班的全体同学组成一个集合，那你能在班上
找到一位与学生A一模一样的学生吗？由此说明什么？
不能、集合中的元素是不重复出现的
5
探索新知
无序性
任意一组对象是否都能组成一个集合？集合中的元素有什么特征？
问题3：咱班的全体同学组成一个集合，调整座位后这
个集合有没有变化？由此说明什么？
没有，集合中的元素是没有顺序的
因为5 ²≠4, 所以5不是方程 x ²=4的解，故5∉ A ．
11
探索新知
4.集合的分类
含有有限个元素的集合称为有限集.不含
任何元素的集合称为空集,记作
,空集
有限集.
含有无限个元素的集合称为无限集.
由数组成的集合称为数集.
也是
小于6的所有自然数组成
的集合,方程x2+3x−4=0
的所有实数解组成的集
如果a是集合A的元素，就说a属于A,记作a∈A, 读
作“a属于A”.如果a不是集合A的元素,就说a不属于A，
记作a∉A,读作“a不属于A”.
10
例题讲解
例2 方程x2=4的所有实数解组成的集合为A，则-2_____A，
5_____A（用符号“∈ ”或“∉”填空）．
Байду номын сангаас
解 因为(－2)²=4,所以－2是方程 x ²=4的解,故－2∈A ．
合都是有限集.
所有的平行四边形组
成的集合,不等式
x−3<０的所有解组
成的集合都是无限集.
12
例题讲解
3.判断下列集合是有限集还是无限集．
(1)你所在班级的所有同学组成的集合；
有限集
(2)方程 x+2=0的所有正整数解组成的集合；

如：（1）小于5的答自案然：数{1组，成－的1}集合可表示为____． （2）方程x2－1＝0的解集可表示为_{_x_∈__R_|_x_2-．1=0}
(4). Venn图
我们常常画一条封闭的曲线，用 它的内部表示一个集合．
例如，图1-1表示一个集合AA 图1-1
元素，称为空集，记为；
（4） 两个集合的元素若一样，则称它们相等。
4．几个常用数集：
(1) N: 自然数集(含0) 即非负整数集
(2) N＋* : 正整数集(不含0) (3) Z：整数集 (4) Q：有理数集 (5) R：实数集
5．集合的几种表示法
(1).自然语言法
(2).列举法：适用对象：有限、有规律
取值范围．a≠-2 (互异性应用）
知识点2 元素与集合的关系
1. 用符号“∈”或“ ”填空
(1) 3.14 Q (2)
Q
(3) 0 N+ (4) (-2)0 N+ (5) 2 3 Q (6) 2 3 R
书本P5:1
温馨提示：分类讨论+检验
3.已知x2∈{1, 0，x}，求实数x的值．
(3)无序性：集合中的元素是无
先后顺序的．
3．集合与元素的关系：
（1） 如果a是集合A的元素，就说a属于集 合A，记作a ∈ A；
如果a不是集合A的元素，就说a不属
于集合A，记作a A．
（2） 集合中的元素可以是数，点，式， 图，人，物……；
（3） 集合中的元素个数如果有限，称为有 限集；如果个数无限，称为无限集；如果没有
(5)小于10的所有自然数组成的集合； (6)1~20以内的所有素数组成的集合；
2、用描述法表示下列集合： (1)正偶数集； (2)被3除余2的正整数集合； (3)直角坐标平面内坐标轴上的点集．

（5）方程 x2 3x 2 0 的所有实数根；
（6）地球上的四大洋。 上述每个问题都由若干个对象组成，每组对象的全体分别形成一个集合，集合中 的每个对象都称为元素. 组成集合的元素所属对象是否有限制？集合中元素个数的多少是否有限制？
自主学习
一．元素与集合的相关概念 1.元素：一般地，把 研究对象 统称为元素，常用小写的拉丁字母 a，b，c… 表示． 2.集合：一些 元素 组成的总体，简称集，常用大写拉丁字母 A， B，C… 表示． 3.集合相等：指构成两个集合的元素是 一样 的． 4.集合中元素的特性： 确定性 、 互异性 和 无序性．
经典例题
总结
题型二 元素与集合的关系
判断元素和集合关系的两种方法 (1)直接法：集合中的元素是直接给出的． (2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否 满足集合中元素所具有的特征即可．
经典例题
题型二 元素与集合的关系
跟踪训练2 用符号“∈”或“ ”填空．
若 A 表示第一、三象限的角平分线上的点的集合，则点(0,0)________A，(1,1)______A， (－1,1)______A.
C 解析：由于 C 中 P、Q 元素完全相同，所以 P 与 Q 表示同一个集合，而 A、B、 D 中元素不相同，所以 P 与 Q 不能表示同一个集合．故选 C．
当堂达标
3．已知集合 A 含有三个元素 2,4,6，且当 a∈A，有 6－a∈A，则 a 为( )
A．2
B．2 或 4 C．4
D．0
B 解析：若 a＝2∈A，则 6－a＝4∈A；或 a＝4∈A，则 6－a＝2∈A；若 a＝6∈A，
自主学习
解读： (1)确定性：是指作为一个集合的元素必须是明确的，不能确定的对象不能构成集 合，也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素是确定的． (2)互异性：对于给定的集合，其中的元素一定是不同的，相同的对象归入同一个 集合时只能算作集合的一个元素． (3)无序性：对于给定的集合，其中的元素是不考虑顺序的．如 1，2，3 与 3，2，1 构成的集合是同一个集合．

核心素养
1.会用列举法表示有限集．
1.数学抽象：列举法、描述法表示
2.理解描述法的格式及其适用情况， 集合．
并会用描述法表示相关集合．
2.数学运算、直观想象：用描述法
3.学会在集合的不同表示法中作出选 表示的集合转化为用列举法表示的
择和转换．
集合．
【解】 若集合A只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0， 当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，x＝2.此时集合A＝{2}． 当k≠0时，则关于x的一元二次方程kx2－8x＋16＝0时方程解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}，满足．
综上所述，实数k的值为0或1.当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时，A＝{4}．
解：当 a＝0 时，方程 ax2＋2x＋1＝0，即 2x＋1＝0， 解得 x＝－12 .此时 A＝－12 ； 当 a≠0 时，若集合 A 中有且只有一个元素，则方程 ax2＋2x＋1＝0 有两 个相等的实数根， 所以Δa≠＝04，－4a＝0， 解得 a＝1，此时 A＝{－1}． 综上，当 a＝0 或 a＝1 时，集合 A 中有且只有一个元素， 所以 a 的值组成的集合 B＝{0，1}．
(2)方程组
2x＋y＝8， x－y＝1
的解组成的集合 B.
解：解方程组2xx－＋y＝y＝18，
x＝3， 得y＝2，
所以 B＝{(3，2)}．
新知探究：集合的表示方法
思考 (1)你能用自然语言描述集合{0,3,6,9}吗?
“10以内能被3整除的所有自然数”
(2)你能用列举法表示不等式 x-7<3的实数解集吗? 满足“x<10”的实数有无数个，无法一一列举.
(2)3和4的所有正的公倍数构成的集合； 解：3和4的最小公倍数是12，因此3和4的所有正的公倍数构成的集合是{x|x ＝12n，n∈N*}．