基本初等函数证明

对数及其运算第2课时积、商、幂对数课堂导学三点剖析一、利用对数运算法那么计算问题85+lg 21; (2)log a n a +log a n a 1+log a n a1(a>0且a≠1); (3)2log 510+log 50.25;(4)2log 525+3log 264;(5)log 2(log 216).思路分析：要注意灵活运用对数运算法那么,要会正用法那么,也要会逆用法那么,更要会变形用法那么. 解：85+lg 21 =(lg12.5+lg 21)-lg 85 =lg(12.5×21)+lg 58 =lg(12.5×21×58) =lg10=1.(2)log a n a +log a n a 1+log a n a1 =n 1log a a-nlog a a n1-log a a =-n 1n n 1-=-n. (3)2log 510+log 50.25=log 5102+log 50.25=log 5(102×0.25)=log 552=2.(4)2log 525+3log 264=2log 552+3log 226=4log 55+18log 22=4+18=22.(5)log 2(log 216)=log 2(log 224)=log 24=log 222=2.温馨提示计算时要将式子中真数积、商、幂、方根运用对数运算法那么将它们化为对数和、差、积、商,然后化简求值;另一方面就是将式子中对数和、差、积、商运用对数运算法那么将它们化为真数积、商、幂、方根,然后化简求值.总之,要根据解题具体需要正用及逆用法那么,灵活地运用法那么.二、对数式条件求值问题【例2】lg2=0.3010,lg3=0.4771,求lg 45.思路分析：运用对数运算法那么变形lg 45,最后变为仅含lg2和lg3式子.解：lg 45=21lg45=21lg5×9 =21(lg5+lg9)=21lg 210+21lg32 =21(lg10-lg2)+lg3 =21(1-0.3010)+0.4771=0.8266. 温馨提示条件求值问题,关键是如何利用条件,条件直接用不上时,要变形后再用,或条件与所求值式子同时变形,找到共同点.三、对数运算法那么综合应用问题【例3】(1)化简27lg 81lg 3lg 27lg 539lg 523lg -+++; (2)lgx+lgy=2lg(x-2y),求证:logyx 2=4. (1)解法一:先采用“分〞方法. 原式=3lg 33lg 43lg 213lg 1093lg 543lg --++ ==511. 解法二:采用“合〞方法. 原式=2781lg )32793lg(21532152-⨯⨯⨯⨯==511. (2)证明:∵lgx+lgy=2lg(x -2y),∴lgxy=lg(x -2y)2.∴xy=(x -2y)2,即x 2-5xy+4y 2=0.∴x=4y 或x=y(舍去). ∴yx =4. ∴log 2y x =log 24=log 2(2)4=4.对数式化简两种方法.一是把真数分解质数,然后把对数分成假设干个对数代数和,最后进展化简;二是把同底对数之和合并成一个对数,对真数进展化简.这两种解题思路,便是我们解决对数式化简问题重要方法,在碰到这类问题时,要善于灵活地选用上面所讲方法. 各个击破类题演练1计算:(1); (2)21lg 493243-lg 8+lg 245. 解析：(1)= ==12lg 12lg =1. (2)21lg 493243-lg 8+lg 245 =21(5lg2-2lg7)43-×23lg2+21(2lg7+lg5) =25lg2-lg7-2lg2+lg7+21lg5 =21lg2+21lg5=21(lg2+lg5) =21lg10=21. 变式提升1计算:(1)lg52+32lg8+lg5lg20+(lg2)2; (2)解析：(1)lg52+32lg8+lg5lg20+(lg2)2 =2lg5+2lg2+lg5(2lg2+lg5)+(lg2)2=2lg10+(lg5+lg2)2=2+(lg10)2=3.(2)= ==21. 类题演练2lgx=m,lgy=n,求lg x -lg(10y )2值. 解析：lg x -lg(10y )2=21lgx-2lg 10y =21lgx-2(lgy-lg10)=21m-2n+2.3n =2,求log 38-log 336(用n 表示).解析：由3n =2,得n=log 32.∴log 38-log 336=log 323-log 362=3log 32-2log 36=3log 32-2log 32×3=3log 32-2(log 32+log 33)=log 32-2=n-2.类题演练3化简log 2487+log 21221-log 242. 解法一:把48、12、42分解质因数,再利用对数运算法那么,把log 2487,log 212,log 242拆成假设干个对数代数和,然后再化简.原式=21log 2+log 2(3×22)21-log 2(7×2×3) =21log 27-21log 23-2log 22+log 23+2log 2221-log 2721-log 2221-log 23 =21-log 22=21-. 解法二:由于所给对数底数一样,可以把各对数合并成一个对数,然后再化简计算. 原式=log 2=log 221=21-. 变式提升3证明(lg2)3+(lg5)3+3lg2·lg5=1.证明:(lg2)3+(lg5)3+3lg2·lg5=(lg2+lg5)［(lg2)2-lg2·lg5+(lg5)2］+3lg2·lg5=(lg2)2+2lg2lg5+(lg5)2=(lg2+lg5)2=(lg10)2=1.。

基本初等函数包括以下几种：（1）常数函数y = c（c 为常数）（2）幂函数y = x^a（a 为非0 常数）（3）指数函数y = a^x（a＞0, a≠1）（4）对数函数y =log(a) x（a＞0, a≠1）（5）三角函数：主要有以下6 个：正弦函数y =sin x余弦函数y =cos x正切函数y =tan x余切函数y =cot x正割函数y =sec x余割函数y =csc x此外，还有正矢、余矢等罕用的三角函数。

（6）反三角函数：主要有以下6 个：反正弦函数y = arcsin x反余弦函数y = arccos x反正切函数y = arctan x反余切函数y = arccot x反正割函数y = arcsec x反余割函数y = arccsc x初等函数是由基本初等函数经过有限次的有理运算和复合而成的函数。

基本初等函数和初等函数在其定义区间内均为连续函数幂函数简介形如y=x^a(a为常数）的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。

当a取非零的有理数时是比较容易理解的，而对于a取无理数时，初学者则不大容易理解了。

因此，在初等函数里，我们不要求掌握指数为无理数的问题，只需接受它作为一个已知事实即可，因为这涉及到实数连续统的极为深刻的知识。

特性对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：首先我们知道如果a=p/q，且p/q为既约分数（即p、q互质），q和p都是整数，则x^(p/q)=q 次根号下（x的p次方），如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0,＋∞）。

当指数a是负整数时，设a=-k，则y=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是（－∞，0)∪(0,＋∞)。

因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数；排除了为0这种可能，即对于x<0或x>0的所有实数，q不能是偶数；排除了为负数这种可能，即对于x为大于或等于0的所有实数，a就不能是负数。

基本初等函数16个公式1.幂函数公式：a^m*a^n=a^(m+n)幂函数指的是形如f(x)=a^x的函数，其中a是常数。

2.幂函数公式：(a^m)^n=a^(m*n)该公式表示对一个幂函数求幂。

3.倒数公式：1/a*a=1任何数的倒数乘以它本身等于14. 对数公式：log(a^n) = n * log(a)对数函数是幂函数的逆函数，将指数与底数互换。

5. 对数公式：log(a*b) = log(a) + log(b)对数函数在乘法上的性质。

6. 对数公式：log(a/b) = log(a) - log(b)对数函数在除法上的性质。

7. 对数公式：log(1) = 0对数函数中底数为1时，其结果为0。

8.指数函数公式：a^0=1任何常数的0次方等于19.指数函数公式：a^(-n)=1/(a^n)任何常数的负指数等于其正指数的倒数。

10. 三角函数公式：sin(-x) = -sin(x)正弦函数对称的性质。

11. 三角函数公式：cos(-x) = cos(x)余弦函数对称的性质。

12. 三角函数公式：tan(x) = sin(x)/cos(x)正切函数定义。

13. 三角函数公式：sec(x) = 1/cos(x), csc(x) = 1/sin(x),cot(x) = 1/tan(x)余切、正割和余割函数的定义。

14. 双曲函数公式：cosh(x) = (e^x + e^(-x))/2双曲余弦函数的定义。

15. 双曲函数公式：sinh(x) = (e^x - e^(-x))/2双曲正弦函数的定义。

16. 双曲函数公式：tanh(x) = sinh(x)/cosh(x)双曲正切函数的定义。

这些基本初等函数的公式是数学中非常重要的，它们在计算和应用中经常被使用。

通过理解并熟练掌握这些公式，我们可以更好地解决各种数学问题。

基本初等函数知识点总结基本初等函数是数学中常见的一类函数，包括多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。

它们在数学和实际问题中具有广泛的应用，因此掌握基本初等函数的性质和特点对于学习和理解数学非常重要。

下面将对基本初等函数的知识点进行总结。

一、多项式函数多项式函数是由常数乘以各个整数幂的变量构成的函数。

它的一般形式为：$$f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x+a_0$$其中，$a_n, a_{n-1},\dots,a_1,a_0$为常数，$n$为正整数，$a_n \neq 0$。

多项式函数的特点包括：定义域为实数集，值域为实数集，可导且导函数为次数比原来次数低一的多项式函数。

二、指数函数指数函数的一般形式为：$$f(x) = a^x$$其中，$a$为正实数且不等于1。

指数函数的特点包括：定义域为实数集，值域为正实数集，可导且导函数为$a^x\ln a$。

三、对数函数对数函数的一般形式为：$$f(x) = \log_a x$$其中，$a$为正实数且不等于1，$x$为正实数。

对数函数的特点包括：定义域为正实数集，值域为实数集，可导且导函数为$\frac{1}{x\ln a}$。

四、三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

它们的一般形式为：$$\sin x, \cos x, \tan x$$其中，$x$为实数。

三角函数的特点包括：定义域为实数集，值域为闭区间[-1, 1]，具有周期性，可导且导函数是相关三角函数的倍数。

五、反三角函数反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数、反正切函数等。

它们的一般形式为：$$\arcsin x, \arccos x, \arctan x$$其中，$x$在相应的定义域内。

反三角函数的特点包括：定义域为闭区间[-1, 1]，值域为实数集，可导且导函数是相关函数的倒数。

基本初等函数的性质还包括：1. 奇偶性对于函数$f(x)$，如果对于定义域内的任意$x$，有$f(-x)=-f(x)$，则称函数为奇函数；如果对于定义域内的任意$x$，有$f(-x)=f(x)$，则称函数为偶函数。

五、基本初等函数及其性质和图形1.幂函数函数称为幂函数。

如，，，都是幂函数。

没有统一的定义域，定义域由值确定。

如,。

但在内总是有定义的，且都经过（1,1）点。

当时，函数在上是单调增加的，当时，函数在内是单调减少的。

下面给出几个常用的幂函数：的图形，如图1-1-2、图1-1-3。

图1-1-2图1-1-32.指数函数函数称为指数函数，定义域，值域；当时函数为单调增加的；当时为单调减少的，曲线过点。

高等数学中常用的指数函数是时，即。

以与为例绘出图形，如图1-1-4。

图1-1-43.对数函数函数称为对数函数，其定义域，值域。

当时单调增加，当时单调减少，曲线过（1，0）点，都在右半平面内。

与互为反函数。

当时的对数函数称为自然对数，当时，称为常用对数。

以为例绘出图形，如图1-1-5。

图1-1-54.三角函数有，它们都是周期函数。

对三角函数作简要的叙述：（１）正弦函数与余弦函数：与定义域都是，值域都是。

它们都是有界函数，周期都是，为奇函数，为偶函数。

图形为图1-1-6、图1-1-7。

图1-1-6 正弦函数图形图1-1-7 余弦函数图形（２）正切函数，定义域，值域为。

周期，在其定义域内单调增加的奇函数，图形为图1-1-8图1-1-8（３）余切函数，定义域，值域为，周期。

在定义域内是单调减少的奇函数，图形如图1-1-9。

图1-1-9（４）正割函数，定义域，值域为，为无界函数，周期的偶函数，图形如图1-1-10。

图1-1-10（５）余割函数，定义域，值域为，为无界函数，周期在定义域为奇函数，图形如图1-1-11。

图1-1-115.反三角函数反正弦函数，定义域，值域，为有界函数，在其定义域内是单调增加的奇函数，图形如图1-1-12；图1-1-12，为有界函数，在其定义域内为单调减少的非奇非偶函数，图形如图1-1-13；图1-1-13反正切函数，定义域，值域为，为有界函数，在定义域内是单调增加的奇函数，图形如图1-1-14；图1-1-14为有界函数，在其定义域内单调减少的非奇非偶函数。

一、一次函数之阳早格格创做二、二次函数（1）二次函数剖析式的三种形式 ①普遍式：2()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶面式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠ ③二根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠ （2）供二次函数剖析式的要领 ①已知三个面坐标时，宜用普遍式．②已知扔物线的顶面坐标或者与对付称轴有关或者与最大（小）值有关时，常使用顶面式．③若已知扔物线与x 轴有二个接面，且横线坐标已知时，采用二根式供()f x 更便当．（3）二次函数图象的本量①.二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条扔物线，对付称轴圆程为,2bx a =-顶面坐标是24(,)24b ac b a a-- ②当0a >时，扔物线启心进与，函数正在(,]2ba-∞-上递减，正在[,)2b a-+∞上递加，当2bx a =-时，2min 4()4ac b f x a-=；当0a <时，扔物线启心背下，函数正在(,]2b a -∞-上递加，正在[,)2ba-+∞上递减，当2bx a=-时，2max 4()4ac b f x a-=．三、幂函数（1）幂函数的定义普遍天，函数y x α=喊干幂函数，其中x 为自变量，α是常数．（2）幂函数的图象过定面：所有的幂函数正在(0,)+∞皆有定义，而且图象皆通过面(1,1)． 四、指数函数（1）根式的观念：如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 喊干a 的n 次圆根．（2）分数指数幂的观念①正数的正分数指数幂的意思是：0,,,mnaa m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的背分数指数幂的意思是：1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的背分数指数幂不意思．（3）运算本量①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r r=>>∈ab a b a b r R （4）指数函数五、对付数函数（1）对付数的定义①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 喊干以a 为底N 的对付数，记做log a x N =，其中a 喊干底数，N喊干真数．②背数战整不对付数． ③对付数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个要害的对付数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）时常使用对付数与自然对付数时常使用对付数：lg N ，即10log N ；自然对付数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（4）对付数的运算本量 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN +=②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈④log aNa N =⑤log log (0,)bn a anM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a=>≠且（5）对付数函数(6)反函数的观念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对付于y 正在C 中的所有一个值，通过式子()x y ϕ=，x 正在A 中皆有唯一决定的值战它对付应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=喊干函数()y f x =的反函数，记做1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=．（7）反函数的供法①决定反函数的定义域，即本函数的值域；②从本函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；③将1()x f y -=改写成1()y f x -=，并证明反函数的定义域． （8）反函数的本量 ①本函数()y f x =与反函数1()y f x -=的图象关于曲线y x =对付称． ②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域．③若(,)P a b 正在本函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 正在反函数1()y f x -=的图象上．④普遍天，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．例题一、供二次函数的剖析式244y x x =--的顶面坐标是（）A ．（2，0）B ．（2，-2）C ．（2，-8）D ．（-2，-8）例2．已知扔物线的顶面为（-1，-2），且通过（1，10），则那条扔物线的表白式为（）A ．()2312y x =-- B ．()2312y x =-+C.()2312y x =+- D.()2312y x =-+-例3.扔物线y=222xmx m -++的顶面正在第三象限，试决定m的与值范畴是（）A ．m ＜－1或者m ＞2B ．m ＜0或者m ＞－1C ．－1＜m ＜0D ．m ＜－1()f x 共时谦脚条件：（1）()()11f x f x +=-；（2）()f x 的最大值为15；（3）()0f x =的二根坐圆战等于17供()f x 的剖析式 二、二次函数正在特定区间上的最值问题例5. 当22x -≤≤时，供函数223y x x =--的最大值战最小值． 例6．当0x ≥时，供函数(2)y x x =--的与值范畴．例7．当1t x t ≤≤+时，供函数21522y x x =--的最小值(其中t 为常数)．三、幂函数(),0-∞上为减函数的是（）Ａ．13y x = Ｂ．2y x = Ｃ．3y x = Ｄ．2y x -={}0x x >的是（）Ａ．23y x = Ｂ．32y x = Ｃ．23y x -= Ｄ．32y x-=例10.计划函数y ＝52x 的定义域、值域、奇奇性、单调性，并绘出图象的示企图． 例10．已知函数y ＝42215x x －－．（1）供函数的定义域、值域； （2）推断函数的奇奇性； （3）供函数的单调区间． 四、指数函数的运算122(2)-⎡⎤-⎣⎦的截止是（）A、12C 、— D 、—12例12.44等于（）A 、16a B 、8a C 、4a D 、2a53,83==ba，则b a233-＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿五、指数函数的本量例14.{|2},{|xM y y P y y ====，则M∩P （）A.{|1}y y >B. {|1}y y ≥C. {|0}y y >D. {|0}y y ≥ 例15.供下列函数的定义域与值域：（1）442x y -=（2）||2()3x y =()2301x y a a a -=+>≠且的图像必通过面 ()A ．(0，1)B ．(1，1)C ．(2，3)D ．(2，4) 例17供函数y=2121x x -+的定义域战值域，并计划函数的单调性、奇奇性.五、对付数函数的运算32a =，那么33log 82log 6-用a 表示是（）A 、2a -B 、52a -C 、23(1)a a -+ D 、23a a - 例19.2log (2)log log a a a M N M N -=+，则NM 的值为（）A 、41B 、4 C 、1 D 、4或者1732log [log (log )]0x =，那么12x-等于（）A 、13B C D 例21.2log 13a <，则a 的与值范畴是（）A 、()20,1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B 、2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C 、2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D 、220,,33⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭五、对付数函数的本量例22.下列函数中，正在()0,2上为删函数的是（）A 、12log (1)y x =+B 、2log y =C 、21log y x=D 、2log (45)y x x =-+2lg 11y x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭的图像关于（）A 、x 轴对付称B 、y 轴对付称C 、本面对付称D 、曲线y x =对付称)()lgf x x=是（奇、奇）函数.课下做业1.已知二次函数y=ax2+bx+c,如果a>b>c,且a+b+c=0,则它的图象大概是图所示的( )2.对付扔物线y=22(2)x -－3与y=－22(2)x -＋4的道法不精确的是（）A ．扔物线的形状相共B ．扔物线的顶面相共C ．扔物线对付称轴相共D ．扔物线的启心目标差异3. 二次函数y=221xx --+图像的顶面正在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4. 如图所示，谦脚a ＞0,b ＜0的函数y=2ax bx +的图像是（）5．如果扔物线y=26x x c ++的顶面正在x 轴上，那么c 的值为（）A ．0B ．6C ．3D ．96.一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 正在共一坐标系中的图象大概是( )7.正在下列图象中，二次函数y=ax2＋bx ＋c 与函数y=(ab )x 的图象大概是 （）8．若函数f(x)＝(a －1)x2＋(a2－1)x ＋1是奇函数，则正在区间[0，＋∞)上f(x)是( )A ．减函数B ．删函数C ．常函数D ．大概是减函数，也大概是常函数9．已知函数y ＝x2－2x ＋3正在关区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m 的与值范畴是( )A ．[1，＋∞)B ．[0,2]C ．[1,2]D ．(－∞，2]10、使x2＞x3创造的x 的与值范畴是（ ）A 、x ＜1且x≠0B 、0＜x ＜1C 、x ＞1D 、x ＜111、若四个幂函数y ＝ax ，y＝bx ，y ＝c x ，y ＝d x 正在共一坐标系中的图象如左图，则a 、b 、c 、d 的大小关系是（ ） A 、d ＞c ＞b ＞a B 、a ＞b ＞c ＞d C 、d ＞c ＞a ＞b D 、a ＞b ＞d ＞c12．若幂函数()1m f x x -=正在(0，+∞)上是减函数，则 ( )A ．m >1B ．m <1C ．m =lD ．不克不迭决定 13．若面(),A a b 正在幂函数()n y x n Q =∈的图象上，那么下列论断中不克不迭创造的是A ．00a b >⎧⎨>⎩B ．00a b >⎧⎨<⎩Ｃ．00a b <⎧⎨<⎩ D ．00a b <⎧⎨>⎩14．若函数f(x)＝log 12(x2－6x ＋5)正在(a ，＋∞)上是减函数，则a 的与值范畴是( )A ．(－∞，1]B ．(3，＋∞)C ．(－∞，3)D ．[5，＋∞)15、设集中2{|3,},{|1,}x S y y x R T y y x x R ==∈==-∈，则S T 是（） A 、∅ B 、T C 、S D 、有限集16、函数22log (1)y x x =+≥的值域为（）A 、()2,+∞B 、(),2-∞C 、[)2,+∞D 、[)3,+∞17、设1.50.90.4812314,8,2y y y -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（）A 、312y y y >>B 、213y y y >>C 、132y y y >>D 、123y y y >>18、正在(2)log (5)a b a -=-中，真数a 的与值范畴是（）A 、52a a ><或B 、2335a a <<<<或C 、25a <<D 、34a <<19、估计lg52lg2)lg5()lg2(22•++等于（） A 、0 B 、1 C 、2 D 、320、已知3log 2a =，那么33log 82log 6-用a 表示是（） A 、52a - B 、2a - C 、23(1)a a -+ D 、231a a --21、已知幂函数f(x)过面（2，），则f(4)的值为（）A 、12B 、 1C 、2D 、81.扔物线y ＝8x2－(m －1)x ＋m －7的顶面正在x 轴上，则m ＝________.23-=xy 的定义域为___________.()()12m f x m x +=-，如果()f x 是正比率函数，则m=____ ,如果()f x 是反比率函数，则m=______,如果f(x)是幂函数，则m=____．14(1)x --蓄意思，则x ∈___________．35x y <=___________．25525x x y ⋅=，则y 的最小值为___________．7、若2log 2,log 3,m n a a m n a +===. 8、函数(-1)log (3-)x y x =的定义域是. 9、2lg 25lg 2lg50(lg 2)++=.1622<-+x x的解集是__________________________.282133x x --⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集是__________________________.103,104x y ==，则10x y -=__________________________.13、已知函数3xlog x (x 0)1f (x),f[f ()]2(x 0)9>⎧=⎨≤⎩，则，的值为 14、函数2)23x (lg )x (f +-=恒过定面2、已知幂函数f （x ）＝23221++-p p x（p ∈Z ）正在（0，＋∞）上是删函数，且正在其定义域内是奇函数，供p 的值，并写出相映的函数f （x ）、222(3)lg 6x f x x -=-，(1)供()f x 的定义域；(2)推断()f x 的奇奇性.a R ∈，22()()21xx a a f x x R ⋅+-=∈+，试决定a 的值，使()f x 为奇函数.5. 已知函数x 121f (x)log[()1]2=-，（1）供f(x)的定义域；（2）计划函数f(x)的删减性.。

基本初等函数知识梳理二次函数（1）二次函数解析式的三种形式①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠（2）求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便． （3）二次函数图象的性质【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a--． ②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2ba-+∞上递增，当2b x a =-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递增，在[,)2ba -+∞上递减，当2b x a =-时，2max 4()4ac b f x a-=．③二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠当240b ac ∆=->时，图象与x 轴有两个交点11221212(,0),(,0),||||||M x M x M M x x a =-=． （4）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=- ③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2⇔②x 1≤x 2＜k⇔③x 1＜k＜x 2⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2⇔（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2bm f a=- ③若2b q a ->，则()m f q =①)xxxxx(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2bM f a=- ③若2b q a ->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．指数函数（1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次方根n 是偶数时，正数a 的正的n n 次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：n a =；当n 为奇数时，a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,mnaa m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．xfxfxfxx②正数的负分数指数幂的意义是：1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈（4）指数函数对数函数 （1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)xa x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()na a n M M n R =∈ ④log a NaN =⑤log log (0,)b na a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a =>≠且 （5）对数函数(6)反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；③将1()x fy -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y fx -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y fx -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数． 幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．（2）幂函数的图象（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)． ③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当qpα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则qpy x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则qpy x =是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．三. 典型例题考点6 二次函数题型十一 二次函数的图像及应用例 函数y ax b =+与2y ax bx c =++如图所示，则下列选项中正确的是（ ）A ．ab >0，c>0B ．ab <0，c>0C ．ab >0，c<0D ．ab <0，c<0函数21(1)73y x =--的图象可以通过213y x =的图象向____移动______个单位，再向______移动____个单位后得到．题型十二 二次函数在给定区间上的最值轴定区间定；轴定区间变；轴变区间定；轴变区间变 例 设f x a x b xc a ()()=++≠20，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。

基本初等函数知识点一、引言在数学中，初等函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）以及复合运算得到的函数。

基本初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数以及反三角函数。

本文将详细介绍这些基本初等函数的定义、性质和图像。

二、常数函数定义：常数函数 \( f(x) = c \)，其中 \( c \) 是一个实数常数。

性质：常数函数的图像是一条平行于 \( x \) 轴的直线，其所有点的函数值都等于常数 \( c \)。

图像：见附录图1。

三、幂函数定义：幂函数 \( f(x) = x^n \)，其中 \( n \) 是实数。

性质：幂函数的性质取决于指数 \( n \) 的值。

当 \( n \) 为正整数时，函数图像是 \( n \) 次幂的曲线；当 \( n \) 为负整数时，函数图像是倒数的幂函数曲线。

图像：见附录图2。

四、指数函数定义：指数函数 \( f(x) = a^x \)，其中 \( a > 0 \) 且 \( a\neq 1 \)。

性质：指数函数的底数 \( a \) 决定了函数图像的形状。

当 \( a > 1 \) 时，函数是增长的；当 \( 0 < a < 1 \) 时，函数是衰减的。

图像：见附录图3。

五、对数函数定义：对数函数 \( f(x) = \log_a(x) \)，其中 \( a > 0 \) 且\( a \neq 1 \)。

性质：对数函数是指数函数的逆函数。

当 \( a > 1 \) 时，函数是单调增加的；当 \( 0 < a < 1 \) 时，函数是单调减少的。

图像：见附录图4。

六、三角函数1. 正弦函数 \( \sin(x) \)2. 余弦函数 \( \cos(x) \)3. 正切函数 \( \tan(x) \)定义：这些函数与单位圆上的点的坐标有关。

性质：三角函数具有周期性，它们的周期为 \( 2\pi \)。

基本初等函数一、知识梳理1.指数与对数的概念b a ＝N N b a log =⇔（a ＞0，a ≠1）2.指数与对数的性质 指数运算性质①r a a a a sr sr,0(>=⋅+、∈s Q ），②r a aa sr s r ,0()(>=⋅、∈s Q ），③∈>>⋅=⋅r b a b a b a rrr ,0,0()( Q ） （注）上述性质对r 、∈s R 均适用. 对数运算性质①log MN a ＝log N M a a log + ②log N M NMa a alog log -= ③M n M a na log log =（M 、N ＞0, a ＞0, a ≠1）推广：M mnMa na m log log =④换底公式：aNN b b a log log log =（a ，b ＞0，a ≠1，b ≠1）3.指数函数、对数函数的概念形如y ＝x a （a ＞0且a ≠1，x ＞0）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R . 形如y ＝x a log （a ＞0且a ≠1，x ＞0）的函数，叫做对数函数.（1） 指数函数、对数函数的定义是一个形式定义，注意指数函数与幂函数的区别； （2） 注意底数的取值范围.4.指数函数、对数函数的图像和性质（略）.5.幂函数（1）幂函数定义：一般地，形如αx y =()R α∈的函数称为幂函数，其中α为常数.（2）幂函数性质：① 所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；②0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数.特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸；③0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数.在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴.二、方法归纳1.解决与对数函数有关的问题，要特别重视定义域；2.指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于1还是小于1，要注意对底数的讨论；3.比较几个数（幂或对数值）的大小的常用方法有：①以0和1为桥梁；②利用函数的单调性；③作差.4.指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题，讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径.三、典型例题精讲【例1】比较下列各数的大小：3312122,15lg ,53,25lg ,53,35.0log ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛ 解析：∵35.0log 2＜0 ，其他各数都大于零，故35.0log 2最小；又∵10lg ＝1，100lg ＝2， ∴ 1＜15lg ＜25lg ＜2＜32＝8，对于2153⎪⎭⎫⎝⎛与3153⎪⎭⎫ ⎝⎛ ，首先，它们都属于区间（0,1），且是同底的幂，考虑函数y ＝x⎪⎭⎫ ⎝⎛53 为减函数，∴2153⎪⎭⎫ ⎝⎛＜3153⎪⎭⎫ ⎝⎛.于是有331212225lg 15lg 535335.0log <<<⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫⎝⎛<.又例:比较下列各组数的大小：（1）7.06，67.0，6log 7.0；（2）7.0log 1.1，7.0log 2.1 解析：（1）∵7.06＞1， 0＜67.0＜1，6log 7.0＜0 ，∴6log 7.0＜67.0＜7.06.（2）∵1.1log 17.0log 7.01.1=，2.1log 17.0log 7.02.1=.又函数y ＝x 7.0log 为减函数，∴ 0＞1.1log 7.0＞2.1log 7.0.∴7.0log 1.1＜7.0log 2.1.再例：当０＜a ＜b ＜1，下列不等式正确的有（ ） A.()()bba a ->-111 B.()()bab a +>+11C.()()211b ba a ->- D.()()bab a ->-11解析：∵0＜()b -1＜()a -1＜1，又函数y ＝xb )1(- 为减函数，y ＝a x 在（0,1）上为增函数， ∴()bb -1＜()ab -1＜()aa -1，故选D.技巧提示：利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性，同时充分利用0和1为桥梁，能使比较大小的问题得到解决.【例2】已知函数y ＝122-+x x a a （a ＞0，a ≠1）在区间[－1，1]上的最大值为14，求a 的值.解析：∵y ＝2)1(2-+x a ＝2)1(2-+u ，又11≤≤-x ，当a ＞1时，],1[a au ∈，1-≥u ，2)1(2-+u 为u 的增函数. ∴函数的最大值为)(5312142舍或-==⇒-+=a a a a 当0＜a ＜1时，]1,[aa u ∈，1-≥u ，2)1(2-+u 为u 的增函数.∴函数的最大值为舍）或(51311121142-==⇒-⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a a综上得，331==a a 或. 技巧提示：指数函数与二次函数的复合函数，讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径 又例：已知)(x f ＝)32(log 24x x -+.求 （1）)(x f 的单调区间；（2）求函数)(x f 的最大值及对应的x 的值.解析：（1）由0322>-+x x ，得)(x f 的定义域为)3,1(-， 记u ＝232x x -+＝－（x －1）2＋4，对称轴为x ＝1.∴)(x f 的增区间为（－1，1】，减为区间【1，3）.（2）∵u ＝－（x －1）2＋4≤4，∴当x ＝1 时有最大值y ＝1.【例3】函数12311-⎪⎭⎫⎝⎛-=x y 的定义域是（ ）A.),21[+∞B.]21,(-∞ C.),(+∞-∞ D.]1,(-∞解析：由 031112≥⎪⎭⎫⎝⎛--x ，得13112≤⎪⎭⎫⎝⎛-x ，即012)31(31≤⎪⎭⎫⎝⎛-x ， 由x)31( 为减函数，∴012≥-x .故所求定义域为21≥x .选A. 技巧提示：这里充分利用指数函数的单调性，通过解简单的指数不等式得到所求定义域.同样，可以充分利用对数函数的单调性，通过解简单的对数不等式得到某些问题的解.又例：若132log <a，则a 的取值范围是 . 解析：由 132log <a，即 a a a log 32log <， 当a ＞１时，x a log 是增函数，于是 32>a ，∴a ＞１. 当０＜a ＜１时，x a log 是减函数，于是 32<a ，∴０＜a ＜32. 综上可知a 的取值范围是a ＞１或０＜a ＜32. 再例：解不等式 0)1)(2(log 2221<+--x x xb ab a（a ＞0，b ＞0）.解析：由0)1)(2(log 2221<+--x x xb ab a，得xxxb ab a22)(2--＞0，即0122>-⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛xxb a b a . ∴21+>⎪⎭⎫ ⎝⎛xb a 或21-<⎪⎭⎫⎝⎛xb a （舍去）. 当a ＞b 时, )21(log +>ba x ； 当a ＜b 时，)21(log +<ba x ；当a ＝b 时，不等式无解.【例4】函数)2(log 221x x y +-=的单调递增区间是 .解析：由022>+-x x ，得20<<x ，而函数22)1(12--=+-=x x x u ， 即u 在)1,0(上是增函数，在)2,1(上是减函数.又u y 21log =是减函数，∴)2(log 221x x y +-=单调递增区间是)2,1(.技巧提示：对于复合函数的单调性，一要注意在定义域内研究问题；二是对组成复合函数的每一个函数的单调性作出判断；最后根据复合函数的单调性原则做出结论.又例：求函数93221-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x y 的单调递减区间.解析：显然93221-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x y 的定义域是R .设932-+-=x x u ，则427)23(2---=x u . ∴932-+-=x x u 的单调递增区间为)23,(-∞有93221-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x y ＝u⎪⎭⎫⎝⎛21是u 的减函数， ∴93221-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x y 的单调递减区间为)23,(-∞.再例：已知a ＞0且a ≠1,函数x x f a log )(=在定义域[2,3]上的最大值比最小值大1 ,则a 的值为 .解析：由题意，有12log 3log =-a a ，即 123log ±=a，∴a ＝32，23.【例5】当a ＞1时，证明函数)(x f ＝11-+x x a a 是奇函数.解析：由x a －1≠0得x ≠0.故函数定义域｛x ｜x ≠0｝是关于原点对称的点集.又)(x f -＝1111)1()1(11-+-=-+=-+=-+----xx xx x x x x x x a a a a a a a a a a ，=-)(x f －11-+x x a a ， ∴)(x f -＝－)(x f .所以函数)(x f ＝11-+x x a a 是奇函数.技巧提示：对于指数形式的复合函数的奇偶性的证明，在判定)(x f -与)(x f 关系时，也可采用如下等价证法.1)()()()(=-⇔=-x f x f x f x f （)(x f ≠０），1)()()()(-=-⇔-=-x f x f x f x f （)(x f ≠０）. 如本题可另证如下：∵=-)()(x f x f 11111x x x x x x x xa a a a a a a a ----+--⋅==--+-，即)(x f -＝－)(x f ， ∴所以函数)(x f ＝11-+x x a a 是奇函数.又例：设a 是实数，)(x f ＝a －122+x （x ∈R ） （1）试证明对于任意a ，)(x f 为增函数； （2）试确定a 值，使)(x f 为奇函数. 解析：（1）设1x ，2x ∈R ，且1x ＜2x ，则)()(21x f x f -＝（)122()12221+--+-x x a a )12)(12()22(2122122212112++-=+-+=x x x x x x 由于指数函数x y 2=在R 上是增函数，且1x ＜2x ，所以12x ＜22x ，即12x －22x＜0， 又由2x ＞0得12x＋1＞0，22x＋1＞0，所以)()(21x f x f -＜0.即)()(21x f x f <. 因为此结论与a 取值无关，所以对于a 取任意实数，)(x f 为增函数. （2）若)(x f 为奇函数，则)(x f -＝－)(x f ，即22()2121x xa a --=--++， 变形得：12)12(21222)12(222++=++⋅+⋅=-xx x x x x a ，解得a ＝1. 所以当a ＝1时，)(x f 为奇函数.【例6】已知0＜x ＜1，a ＞0，a ≠1，比较)1(log x a -和)1(log x a +的大小.解析：方法一：当a ＞1时，)1(log x a -－)1(log x a +＝－)1(log x a -－)1(log x a +＝－)1(log 2x a -＞0，∴)1(log x a -＞)1(log x a +.当0＜a ＜1时，)1(log x a -－)1(log x a +＝)1(log x a -+)1(log x a +＝)1(log 2x a -＞0，∴)1(log x a -＞)1(log x a +.综上所述，在题设条件下，总有)1(log x a -＞)1(log x a +.方法二：∵)1(log )1(log x x a a +-＝)1(log )1(x x -+＝)1(log )1(x x --+＝xx -+11log )1( ＝2)1(11log xxx -++＞)1(log )1(x x ++＝1. ∴)1(log x a -＞)1(log x a +.技巧提示：比较大小通常采取作差－变形－判定符号.如果比较两个正数的大小时，亦可采取作商－变形－与“1”比较的办法.又例：解不等式)1(log )3(log 238+>++x x x解析：原不等式可化为⎪⎩⎪⎨⎧+>++>+>++333)1(30103x x x x x x ， 即等价于⎩⎨⎧<-+>+0223012x x x ，即⎪⎩⎪⎨⎧+-<<--->3713711x x ，解得：3711+-<<-x ， 所以原不等式的解集为｛x ︱3711+-<<-x ｝. 【例7】（1）已知a =3log 2，b =7log 3，用a ，b 表示56log 42；（2）已知,6log ,3log ,2log ===c b a x x x 求x abc log 的值. 解析：（1）56log 42＝42lg 56lg ＝,3lg 2lg 7lg 2lg 37lg +++又 ∵,3lg 2lg ,3lg 7lg 3lg 7lg ,2lg 3lg ab b a ==⇒== ∴56log 42＝131133lg 3lg 3lg 3lg 33lg +++=+++=+++a ab ab ab a b a b a b . （2）∵a ＝2x ，b ＝63,x c x =，∴111log log 11==x x x abc . 技巧提示：掌握对数与指数的运算性质，是本部分的基本要求.尽管近几年高考中很少直接考查对数与指数的运算，但由于指数函数与对数函数几乎是必考内容，不能熟练的进行对数与指数的运算，会影响解题技巧的把握，至少会影响解题速度.又例：判断下列函数的奇偶性（1）)(x f ＝1212+-x x ；（2）)(x g ＝x1－)1ln(2++x x . 解析:（1）)(121221212)12(2)12(1212)(x f x f x x xx x x x x x x -=+--=+-=+-=++=-----，∴)(x f 为奇函数. （2）--=+-x x g x g 1)()()1ln(2++-x x ＋x1－)1ln(2++x x ＝－)]1)(1ln[(22++++-x x x x ＝－1ln ＝0.∴)(x g 为奇函数.四、课后训练1.已知732log [log (log )]0x =，那么12x -等于（ ）A.132.函数2lg 11y x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图像关于（ ） A.x 轴对称 B.y 轴对称 C.原点对称 D.直线y x =对称 3.函数(21)log x y -= ）A.()2,11,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭U B.()1,11,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U C.2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭ D.1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭4.函数212log (617)y x x =-+的值域是（ ） A.R B.[)8,+∞ C.(],3-∞- D.[)3,+∞5.下列函数中，在()0,2上为增函数的是（ ）A.12log (1)y x =+ B.2log y =C.21log y x = D.2log (45)y x x =-+ 6.已知|1|log )(+=x x g a )1,0(≠>a a 在()10-，上有()0g x >，则1()x f x a +=是（ ）A.在(),0-∞上是增加的B.在(),0-∞上是减少的C.在(),1-∞-上是增加的D.在(),1-∞-上是减少的 7.函数xa x f )1()(2-=是减函数，则实数a 的取值范围是 . 8.计算=+⋅+3log 22450lg 2lg 5lg .9.已知11log )(--=x mxx f a 是奇函数 （其中)1,0≠>a a ， （1）求m 的值；（2）讨论)(x f 的单调性； （3）求)(x f 的反函数)(1x f-；（4）当)(x f 定义域区间为)2,1(-a 时，)(x f 的值域为),1(+∞，求a 的值. 10.对于函数)32(log )(221+-=ax x x f ，解答下述问题：（1）若函数的定义域为R ，求实数a 的取值范围； （2）若函数的值域为R ，求实数a 的取值范围； （3）若函数在),1[+∞-内有意义，求实数a 的取值范围； （4）若函数的定义域为),3()1,(+∞-∞Y ，求实数a 的值； （5）若函数的值域为]1,(--∞，求实数a 的值；（6）若函数在]1,(-∞内为增函数，求实数a 的取值范围.五、参考答案1.C.2.C.3.A.4.C.5.D.6.C.7.)2,1()1,2(Y --8.109.解析：（1）011log 11log 11log )()(222=--=--+--+=+-xx m x mx x mx x f x f a a aΘ 对定义域内的任意x 恒成立，∴10)1(11122222±=⇒=-⇒=--m x m xx m ， 当1m =，()f x 无意义，舍去， 1-=∴m ，（2）∵11log )(-+=x x x f a， ∴ 定义域为),1()1,(+∞--∞Y ， 而)121(log 11log )(-+=-+=x x x x f a a， ①当1>a 时，)(x f 在),1()1,(+∞--∞与上都是减函数； ②当10<<a 时，)(x f 在),1()1,(+∞--∞与上都是增函数；（3）111)1(1111log -+=⇒+=-⇒-+=⇒-+=y y y y y a a a x a x a x x a x x y ， ∵ 001≠≠-y a y，，∴ )10,0(11)(1≠>≠-+=-a a x a a x f xx 且. （4）)2,1()(,3,21->∴-<<a x f a a x 在Θ上为减函数，∴命题等价于1)2(=-a f ，即014131log 2=+-⇒=--a a a a a ， 解得32+=a .10.解析：记2223)(32)(a a x ax x x g u -+-=+-==，（1）R x u ∈>对0Θ恒成立，33032min <<-⇒>-=∴a a u ，∴a 的取值范围是)3,3(-；第 11 页 共 11 页 （2）这是一个较难理解的问题。

基本初等函数指数与指数函数一、知识要点梳理1．整数指数幂的概念及运算性质(1)整数指数幂的概念(2)运算法则①；②；③；④.2．根式的概念和运算法则(1)n次方根的定义：若x n=y(n∈N*，n>1，y∈R)，则x称为y的n次方根.n为奇数时，正数y的奇次方根有一个，是正数，记为；负数y的奇次方根有一个，是负数，记为；零的奇次方根为零，记为；n为偶数时，正数y的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为.(2)根式的意义与运算法则3．分数指数幂的概念和运算法则为避免讨论，我们约定a>0，n，m N*，且为既约分数，分数指数幂可如下定义：4．有理数指数幂的运算性质(1)(2)(3)当a>0，p为无理数时，a p是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用.注意：(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如；(3)幂指数不能随便约分.如.5．指数函数(1)定义：函数y=a x(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为R.(2)图象及性质：y=a x0<a<1时图象a>1时图象图象性质①定义域R，值域（0，+∞）②a0=1, 即x=0时，y=1，图象都经过(0，1)点③a x=a，即x=1时，y等于底数a④在定义域上是单调减函数④在定义域上是单调增函数⑤x<0时，a x>1x>0时，0<a x<1⑤x<0时，0<a x<1x>0时，a x>1⑥既不是奇函数，也不是偶函数1．指数幂的一般运算步骤：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：a2－b2＝（a－b）（a＋b），（a±b）2＝a2±2ab＋b2，（a±b）3＝a3±3a2b＋3ab2±b3，a3－b3＝（a－b）（a2＋ab＋b2），a3＋b3＝（a＋b）（a2－ab＋b2）的运用，能够简化运算.2．指数式大小比较方法(1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较.(2)中间量法(3)分类讨论法(4)比较法比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：①若；；；②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断，或即可．三、例题讲解知识点一根式与分数指数幂的互化1．下列说法：①16的4次方根是2；②416的运算结果是±2；③当n为大于1的奇数时，na对任意a∈R有意义；④当n为大于1的偶数时，na只有当a≥0时才有意义．其中正确的是()．A．①③④B．②③④C．②③D．③④2．下列根式和分数指数幂的互化中，正确的是()A．－x＝12()x-(x≠0) B．13x-＝－3x(x≠0)C.34xy⎛⎫⎪⎝⎭＝43⎪⎪⎭⎫⎝⎛yx(x，y≠0) D.6y2＝13y(y>0)3．设12a－12a-＝m，则a2＋1a等于()A．m2－2 B．2－m2 C．m2＋2 D．m24．在112-⎛⎫- ⎪⎝⎭、122-、1212-⎛⎫⎪⎝⎭、2－1中，最大的数是()A．112-⎛⎫- ⎪⎝⎭B．122-C．1212-⎛⎫⎪⎝⎭D．2－15．化简3a a的结果是()A ．aB ．12a C ．a 2D ．13a6．计算：(0.25)－0.5＋131()27-－6250.25＝________.7．式子a 2a ·3a 2(a >0)经过计算可得到( )．A ．AB ．－6a 5 C.5a 6 D.6a 5知识点二 幂的运算性质及n na 的化简8．下列各式正确的是( ) A ．a 0＝1 B.3(－2)3＝－2C.(－2)2＝－2D.4a 4＝a9．下列各式成立的是( )A.3m 2＋n 2＝()23m n +B ．(ba )2＝12a 12bC.6(－3)2＝13(3)-D.34＝13210．下列结论中，正确的个数是( )①当a <0时，()322a＝a 3；②na n＝|a |(n >0)；③函数y ＝()122x -－(3x －7)0的定义域是[2，＋∞)；④若100a ＝5,10b ＝2，则2a ＋b ＝1.A ．0B ．1C ．2D ．311．化简(1－2x )2(2x >1)的结果是( )．A ．1－2xB ．0C ．2x －1D ．(1－2x )2 12．若2<a <3，化简(2－a )2＋4(3－a )4的结果是( ) A ．5－2a B ．2a －5 C ．1D ．－113．化简－x 3x 的结果是________．14．求233(3)8--＋()120.002-－10(5－2)－1＋(2－3)0的值．15．5＋26＋7－43－6－4 2.16．若x >0，y >0，且x －xy －2y ＝0，求2x －xyy ＋2xy 的值．知识点三 指数函数的概念17．下列各函数中，是指数函数的是( )．A ．y ＝(－3)xB ．y ＝－3xC ．y ＝3x －1D ．y ＝⎝⎛⎭⎫13x18． 函数f (x )＝(a 2－3a ＋3)a x 是指数函数，则有( ) A ．a ＝1或a ＝2 B ．a ＝1C ．a ＝2D ．a >0且a ≠119．已知函数f (x )是指数函数，且f ⎝⎛⎭⎫－32＝525，则f (3)＝________. 20． 已知f (x )为R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝3x ，那么f (2)的值为知识点四 指数函数的图象与性质#下图是指数函数①y ＝a x ；②y ＝b x ；③y ＝c x ；④y ＝d x 的图象，则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是( )A ．a <b <1<c <dB ．b <a <1<d <cC ．1<a <b <c <dD ．a <b <1<d <c21．已知对不同的a 值，函数f (x )＝2＋a x －1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点P ，则P 点的坐标是( )．A ．(0,3)B ．(0,2)C ．(1,3)D ．(1,2)22．已知f (x )＝a x ＋b 的图象如图所示，则f (3)＝________.23．已知0<a <1，b <－1，则函数y ＝a x ＋b 的图象必定不经过( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限24．函数y ＝2－x 的图象是( )．25．函数y ＝e x ＋e －xe x －e－x 的图象大致为 ( )知识点五 指数函数的图象与性质的应用（比大小、解不等式、求定义域、值域、最值）26．函数f (x )＝1－2x 的定义域是( )．A ．(－∞，0]B ．[0，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，＋∞)27．若指数函数f (x )＝(a ＋1)x 是R 上的减函数，那么a 的取值范围为( )．A ．a <2B ．a >2C ．－1<a <0D ．0<a <128．函数y ＝a x －(b ＋1)(a >0且a ≠1)的图象在第一、三、四象限，则必有( )．A ．0<a <1，b >0B ．0<a <1，b <0C ．a >1，b <1D ．a >1，b >0 29．函数y ＝11()2x的单调递增区间为( )．A ．(－∞，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(0,1)A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．b >c >a 31．若⎝⎛⎭⎫122a ＋1<⎝⎛⎭⎫123－2a，则实数a 的取值范围是( )．A ．(1，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C ．(－∞，1) D.⎝⎛⎭⎫－∞，12 32．已知⎝⎛⎭⎫12x>1，则x 的取值范围为________． 33．函数y ＝a x －5＋1(a ≠0)的图象必经过点________．34．a ＝0.80.7，b ＝0.80.9，c ＝1.20.8，则a ，b ，c 的大小关系是________． 35．设23－2x<0.53x －4，则x 的取值范围是________．36． 函数y ＝8－32x - (x ≥0)的值域是________．37．函数y ＝a x 在[0,1]上的最大值与最小值之和为3，则a ＝________.38．若函数f (x )＝2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围是________． 39． 对于函数f (x )＝a x (0<a <1)定义域中任意x 1，x 2(x 1≠x 2)有如下结论： ①f (x 1＋x 2)＝f (x 1)f (x 2)；②f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)； ③f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0.上述结论中，正确结论的序号是________．40．求函数y ＝22212x x -+⎛⎫⎪⎝⎭(0≤x ≤3)的值域为 ．41．若函数f (x )＝e －(x －μ)2 (e 是自然对数的底数)的最大值是m ，且f (x )是偶函数，则m ＋μ＝________. 42．若函数f (x )＝a x －1(a >1)的定义域、值域都是[0,2]．则a= 43．已知函数f (x )＝32x 3＋32x ，求f ⎝⎛⎭⎫1101＋f ⎝⎛⎭⎫2101＋…＋f ⎝⎛⎭⎫100101的值．44．已知f (x )＝a a 2－1(a x －a －x ) (a >0且a ≠1)．(1)判断f (x )的奇偶性； (2)讨论f (x )的单调性；(3)当x ∈[－1,1]时，f (x )≥b 恒成立，求b 的取值范围．45．(1)k 为何值时，方程|3x －1|＝k 无解？有一解？有两解？(2)已知定义在R 上的函数f (x )＝2x －12|x |.①若f (x )＝32，求x 的值；②若2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围．46．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．对数与对数函数 一、知识要点1.对数（1）对数的定义：如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b .（2）指数式与对数式的关系：a b =N ⇔log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. （3）对数运算性质:①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log a NM =log a M －log a N .③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1） ④对数换底公式：log b N =bNa a log log （a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）. 2.对数函数1.对数函数的定义：一般地，函数log a y x =，(a>0且a≠1)叫做对数函数。

高一（基本初等函数）答案解析第 1 题答案 A 第 1 题解析 对于①,当时,不一定成立;对于②,当 ,错误;故正确个数为 0.时,不成立;对于③,显然错误;对于④,第 2 题答案 C 第 2 题解析由题意可得:,解得且.第 3 题答案 C 第 3 题解析根据指对幂函数的性质可得:在上是增函数.第 4 题答案 C 第 4 题解析将和两点代入函数可得:,∴.第 5 题答案 D 第 5 题解析,,,∴第 6 题答案 B 第 6 题解析,∴.. ,第 7 题答案 D 第 7 题解析当时,函数;当时,函数是增函数,由在区间 上的最大值比最小值大 可得:,∴是减函数,由在区间 上的最大值比最小值大 可得:,∴;综上,或.第 8 题答案 D 第 8 题解析当时,是增函数,又∴时,不等式成立;当时, ,无解;综上,是减函数,又 .第 9 题答案 B 第 9 题解析由题意,有,即.,可得 ∴第 10 题答案 B 第 10 题解析,第 11 题答案 A 第 11 题解析,,第 12 题答案 A第 12 题解析 本题考查复合函数的单调性，转化和划归的数学思想，换元法可将指数函数转化为二次函数进行求 解。

令,则,则且由这两个函数复合而成。

由于在区间上是增函数,故两个函数单调性相同，需对 进行分类讨论。

当时,为增函数,且当时,,此时,函数上是增函数,则当时,在区间 ,∴ 为减函数,且当上是增函数等价于,∴;时,在 ,此时,函数减函数,则在区间上是增函数等价于,∴或,此时不合题意.综上,.在 上是第 13 题答案第 13 题解析由可得,,∴.第 14 题答案第 14 题解析 .第 15 题答案第 15 题解析设幂函数,将点代入可得,∴,∴,∴.第 16 题答案第 16 题解析当,由可得解得,由奇函数的性质可得当时,的解集为.,∴满足的 的取值范围是第 17 题答案 见解析 第 17 题解析(1)原式(2)原式第 18 题答案 见解析 第 18 题解析(1)∵,∴的定义域为.(2)证明:令,则∵,∴,,∴∴在定义域内是减函数.第 19 题答案见解析第 19 题解析(1)函数定义域为,,∴,所以函数为奇函数.(2)证明:不妨设,∴∵,∴,,又,,∴,∴,∴在上是减函数.∴∴,∴函数在 上的值域为.第 20 题答案 见解析 第 20 题解析幂函数在区间上是增函数,∴解得,又,∴或,当时,,此时符合当时,,此时为奇函数,∴幂函数的解析式为.易得 ∴时, 时,为增函数,∴的值域为.. ,第 21 题答案 见解析 第 21 题解析(1),,不合题意.由可得,∴函数的定义域为.(2),∴函数为奇函数.(3)由题可得,有,解得.∴不等式的解集为.第 22 题答案 见解析 第 22 题解析(1)令,则,∴,.(2)当时,,是增函数,也是增函数,∴是增函数;当时, ∴函数 (3)∵ 又,是减函数,在 上是增函数.,,∴也是减函数,∴是增函数,, ,∵在上是增函数,∴,∴,故 的取值范围是.。

第2讲函数概念与基本初等函数本讲分三小节，分别为函数的概念、基本初等函数、函数的值域，建议用时4.5课时．重点应当放在对函数三要素的基本求法与对基本初等函数的图象与性质的梳理上．对于函数的图象与性质，掌握了基本初等函数图象的作法，就把握了基本初等函数的性质，因此应以引导学生理解、记忆、应用基本初等函数的图象为主要教学目标．对于一次分式函数和对勾函数，由于这两类函数常见而易用，因此对其图象与性质也需要达到相当的要求．另外，我们在处理较为复杂的初等函数问题（其中）总是设法将其转化为基本初等函数问题，因此对这种转化能力的培养也是本讲的重点与难点．第一小节为函数的概念，共3道例题．其中例1主要讲解函数的定义域；例2主要讲解函数的对应法则；例3主要讲解函数的解析式；此外还安排了关于映射的一道拓展题，该题难度较大，教师可以根据情况选用．第二小节为基本初等函数，共7道例题．其中例4主要讲解幂与对数的运算；例5主要讲解指、对、幂函数的性质；例6主要讲解指数函数与对数函数的图象；例7主要讲解二次函数的性质；第三小节为函数的值域，共2道例题．其中例8主要讲解根式函数的值域问题；例9主要讲解二次函数、对勾函数、分式函数的值域问题．一、函数的概念 1、映射对于非空集合A 和非空集合B ，如果对于集合A 中的任意一个元素在B 中都有惟一元素按对应法则f 与之对应，那么所有的对应关系称为从A 到B 的一个映射，记为“:f A B →”．对每个对应关系而言，集合A 中的元素称为原象，集合B 中的元素称为象．需要注意：对于映射:f A B →而言，集合A 中的每个元素均是某个对应关系下的原象，而集合B 中并非每个元素均是某个对应关系下的象．2、函数的三要素如果映射:f A B →中，A 、B 均为数集，那么就称这个映射为函数．此时所有原象组成的集合称为定义域（即A ），所有象组成的集合称为值域（即(){}|f x x A ∈）．形成函数时所涉及到的定义域、对应法则、值域称为函数的三要素．【备注】可以将映射看为函数概念的拓展，也可以将函数看作特殊的映射．由于定义域与对应法则决定着值域，因此定义域和对应法则也称为函数的两个要素．二、函数的表示法 1、列表法当函数的定义域和值域均为离散的有限数集，且对应法则不便于解析表达时，我们采用可以用列表法表示函数．有时我们也借助列表法画函数的草图．知识梳理知识结构图2、图象法将每个对应关系的原象与象看作平面直角坐标系下的点的横坐标与纵坐标，就可以用图象来表示函数．函数的图象具有很强的直观性，是研究函数的重要工具． 3、解析式法用式子表示每个对应关系中的原象与象的数值之间的联系，这种方法称为解析式法．利用函数的解析式可以简明、全面地概括对应关系，同时可以方便的求函数值． 【备注】分段函数的表示法要注意各取值区间应该无交点； 注意复合函数的书写方法．三、基本初等函数 1、指数函数⑴ 幂的运算性质p q p qa a a +⋅=，()qp p q a a ⋅=，()pp p a b a b ⋅=⋅，其中,0a b >，,p q ∈R ．【备注】注意幂的运算次序，22n是指()22n而不是()22n．⑵ 指数函数：①定义：函数(0x y a a =>，且1)a ≠称指数函数；②指数函数的性质：定义域：R ；值域：(0)+∞，；过定点：(01)，；1a >时，增函数；01a <<时，减函数．2、对数函数⑴对数的概念①定义：如果b a N =(0a >，且1)a ≠，那么数b 称以a 为底N 的对数，记作log a N b =，其中a称对数的底，N 称真数． 常用对数，10log N 记作lg N ；自然对数：e log N 记作ln N ，其中e 为自然常数，e 2.71828≈． ②基本性质正数才有对数；1的对数是0；底数的对数是1． ③运算性质：如果0100a a M N >≠>>，，，，则 log ()log log a a a MN M N =+；log log log aa a MM N N=-；log log ()n a a M n M n =∈R ． ④换底公式：log log (01)log m a m NN m m a=>≠，． 【备注】可配合下面的题目复习对数的运算性质．已知()23409a a =>，则23log a = ． 【解析】 3；法一：333222233442993a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⇒=⇒= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以23log a =3232log 33⎛⎫= ⎪⎝⎭；法二：223322223333442log log log 2log 3993a a a a =⇒=⇒=⇒=．此题有多种解法，此处只给出其中两种解答．⑵对数函数①定义：函数log (0a y x a =>，且1)a ≠称对数函数，②对数函数的性质： 定义域：(0)+∞，；值域：R ；过定点：(10)，；1a >时，增函数；01a <<时，减函数． ③对数函数log a y x =与指数函数(0x y a a =>，且1)a ≠互为反函数．3、幂函数⑴幂函数的定义形如y x α=（α∈R ）的函数．需要掌握11,2,3,,12α=-时，幂函数的图象与性质； ⑵幂函数的性质① 所有的幂函数在(0)+∞，都有定义，且都过点(11)，；② 如果0α>，则幂函数过原点，且在[0)+∞，上单调递增； 如果0α<，则幂函数在(0)+∞，上单调递减．四、常见初等函数 1、二次函数形如()2f x ax bx c =++（0a ≠）的函数称为二次函数． 【备注】对于二次函数，我们需要掌握二次函数图象的作法．画二次函数图象时需要注意以下要素： ① 开口，由a 决定； ② 对称轴，由2bx a=-决定； ③ 判别式，由24b ac ∆=-决定．另外还需要注意一些特殊点，如与y 轴的交点()0,c ，与x 轴的交点，等等．2、分式函数 形如()()()g x f x h x =的函数称为分式函数，其中()g x 、()h x 均为多项式函数．若函数()g x 与()h x 均为一次函数，则称()f x 为一次分式函数；若函数()g x 与()h x 中至少有一个二次函数，而另一个为一次函数或二次函数，则称()f x 为二次分式函数． 【备注】对于分式函数，我们需要掌握⑴ 一次分式函数图象的作法（画渐近线后判断位置）； ⑵ 求定义域为R 的二次分式函数值域的判别式法； ⑶ 定义域受限的二次函数值域的求法．3、对勾函数 形如()bf x ax x=+（,0a b ≠）的函数称为对勾函数．（2011北京理）根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为 ()x A f x x A <=，≥（A c ，为常数），已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是（ ）A ．75，25B ．75，16C ．60，25D ．60，16【解析】 D ；当x A ≤时()f x 单减，x A ≥时()f x 恒为常数，30=15=，解得60c =，16A =．1、下列函数中，与函数y x =相同的函数是（ ）A ．2x y x= B．2y =C ．lg10x y =D ．2log 2x2、若函数()y f x =的定义域是[]0,2，则函数()()21f xg x x =-的定义域是（ ） A ．[]0,1 B ．[)0,1 C ．[)(]0,11,4 D ．()0,13、若函数()2443x f x mx mx -=++的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(),-∞+∞B ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭4、若实数,x y 满足()2lg 2lg lg x y x y -=+，则yx的值为（ ） A ．4 B ．1或14 C ．1或4 D ．145、“lg lg x y >”是>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6、若1x y >>，01a b <<<，则下列各式中一定成立的是（ ）A ．a b x y >B ．a b x y <C ．x y a b >D ．x y a b <7、已知函数()y f x =的图象与函数21log 1y x =+的图象关于y x =对称，则()1f 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．12D ．12-8、若函数()()log 1a f x x =+（0a >，1a ≠）的定义域和值域都是[]0,1，则a 的值为（ ）A ．13BC．2 D ．2小题热身真题再现9、已知函数()f x k =，且存在a 、b （a b <）使()f x 在[],a b 上的值域为[],a b ，则k 的取值范围是（ ）A ．9,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦C ．(]2,0-D ．9,04⎡⎫-⎪⎢⎣⎭10、设a 、b 分别为方程2log 30x x +-=和230x x +-=的根，则a b +的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4考点：函数的定义域 【例1】 ⑴函数()lg 21y x =+-的定义域为 ；⑵函数()2f x 的定义域为_______ ；⑶设()1f x -的定义域为[]2,3-，则12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的定义域为_______．【解析】 ⑴ 2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；⑵ [)3,+∞；⑶1,5⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦．考点：函数的对应法则【例2】 ⑴设函数()()2log 100a x x f x x ax b x ⎧+>⎪=⎨++⎪⎩，，≤，若()32f =，()20f -=，则a b += ；⑵设函数()246060x x x f x x x ⎧-+=⎨+<⎩，≥，，则不等式()()1f x f>的解集是；⑶已知函数()11f x x x =--+．如果()()()91f f a f =+，则实数a 等于 ．【解析】 ⑴ 2；⑵ ()()3,13,-+∞；⑶ 14-．考点：函数的解析式 【例3】 ⑴若)1f=，则()f x = ；⑵已知221111x x f x x --⎛⎫= ⎪++⎝⎭，则()f x = ； ⑶已知()f x 为二次函数，且()()131f f ==，()22f =，则函数()f x = ； ⑷已知定义在R 上的函数满足()()223f x f x x +-=，则函数()f x =___________．【解析】 ⑴()2213x x f x x -+=-，[)1,x ∈+∞．⑵ ()221xf x x =+，1x ≠-．2.1函数的概念与定义域⑶ ()242f x x x =-+-． ⑷()34f x x =-+；【备注】求函数解析式的常用方法有：配凑法、换元法、待定系数法、方程组法等．用配凑法或换元法时，要注意函数的定义域； 待定系数法在已知函数的形式时用．【拓1】 已知定义在R 上的函数满足()223f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则函数()f x = ．【解析】 ()4f x x x=-；考点：映射【拓2】 （2010海淀二模文14）给定集合{1,2,3,,}n A n =，n *∈N ．若f 是n n A A →的映射，且满足：①任取,n i j A ∈，若i j ≠，则()()f i f j ≠； ②任取n m A ∈，若2m ≥，则有{(1),(2),,()}m f f f m ∈．则称映射f 为n n A A →的一个“优映射”．例如：用表1表示的映射f ：33A A →是一个“优映射”．表1 表2⑴ 44”； ⑵ 若f ：20102010A A →是“优映射”，且(1004)1f =，则(1000)(1007)f f +的最大值为_____．【解析】⑴或⑵考点：幂运算与对数运算 【例4】 ⑴设25ab m ==，且112a b+=，则m = ； ⑵(2lg 5lg8000lg 11lg 600lg 0.036lg 0.122⋅+=-- ；⑶()()3948log 2log 2log 3log 3+⋅+= ．【解析】 ⑴本小题考查幂与对数形式的互换．2.2基本初等函数⑵34； 本小题考查对数运算的性质． ⑶54； 本小题考查换底公式．【拓3】 ⑴ 已知,0a b >，()91216log log log a b a b ==+，则ba= ； ⑵ 已知()234log 3233x f x =+，则()()()()82482f f f f ++++= ．【解析】 ⑵ 2008；考点：指、对、幂函数的性质 【例5】 ⑴下列四个数中最大的是（ ）A ．()2ln 2 B ．()ln ln 2 C ． D ．ln2 ⑵若{}2|228x A x -=∈<Z ≤，{}2|log 1B x x =∈>R ，则A B R ð的元素个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 ⑶当()0,x ∈+∞时，幂函数()2531m y m m x --=--⋅为减函数，则实数m 的值为（ ）A ．2m =B ．1m =-C ．1m =-或2m =D ．m ⑷若3727a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2737b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2727c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 按照从小到大的顺序排列为（ ）．A ． a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b a c << ⑸若log 3log 30a b >>，则（ ）A ．01a b <<<B ．1a b <<C ．01b a <<<D ．1b a <<⑹若102a b <<<，则（ ）A ．22ab a >B ．22ab b >C ．()2log 1ab >-D ．()2log 2ab <-【解析】 ⑴ D ；⑵ C ；⑶ A ；⑷ B ；⑸ B ；⑹ D ；考点：指数函数、对数函数的图象 【例6】 ⑴若1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，122a x =-，12log b x =，2log c x =，则（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b c a << ⑵下列4个命题()111:023xxp x ⎛⎫⎛⎫∃∈+∞< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， ()2:01p x ∃∈，，1123log log x x >()3121:0log 2x p x x ⎛⎫∀∈+∞> ⎪⎝⎭，， 41311:0log 32xp x x ⎛⎫⎛⎫∀∈< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，其中的真命题是（ ）Ａ．13p p ， B ．14p p ， C ．23p p ， D ．24p p ， ⑶设,,a b c 均为正数，且122log aa =，121log 2bb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭．则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c <<【解析】 ⑴ C ；⑵ D ； ⑶ A ．考点：二次函数的性质 【例7】 ⑴若函数()()()2f x x a bx a =++（常数a b ∈R ，）是偶函数，且其值域为(],4-∞，则该函数的解析式()f x = ； ⑵二次函数()21f x x ax =--在区间[]0,3上有最小值2-，则实数a = ； ⑶若对任意[]0,1a ∈，函数()22f x ax x a =+-恒正，则x 的取值范围是 ； ⑷已知函数()225f x x ax =-+在区间(],2-∞上是减函数，且对任意的[]12,1,1x x a ∈+，总有()()124f x f x -≤，则实数a 的取值范围是____________．【解析】 ⑴()224f x x =-+；⑵2； ⑶()1,+∞； ⑷23a ≤≤；【例8】求下列函数的值域： ⑴ ()f x ； ⑵ ()2f x x =-； ⑶ ()2f x x =+．【解析】 ⑴0,⎡⎣；⑵ 178⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，；⑶ [)2,-+∞．【拓4】 ()f x （0a <）的定义域为D ，点()(),s f t ，,s t D ∈构成正方形，则实数a的值为 ___．【解析】 4-．【例9】 ⑴已知二次函数()f x 满足()()11f x f x +=-，且()00f =，()11f =，()f x 在区间[],m n 2.2函数的值域上的值域是[],m n ，则m =________，n =____ ___； ⑵当[]3,5x ∈时，函数211x y x -=+的值域为 ； ⑶若函数()y f x =的值域是1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则函数()()()1F x f x f x =+的值域是 ；⑷已知52x ≥，则()22445x f x x x -=-+的值域是 ．【解析】 ⑴ 01，；⑵ 53,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦；⑶ 102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦；⑷ (]0,1；【拓5】 ⑴ 函数()2441x x f x x ++=+的值域是_________ _；⑵ 函数()221x f x x x =-+的值域是 ；⑶ 函数()2241x f x x x =-+，1,13x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域是____ ___．【解析】 ⑴ (][),04,-∞+∞；⑵ 40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦⑶11,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦；一、选择题 1、已知函数3log 0()2x x x f x x >⎧⎪=⎨⎪⎩≤0，，，，则19f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．4B ．14C ．4-D ．14-【解析】 B ； 2、552log 10log 0.25+=（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4【解析】 C ； 3、函数()()log 1x a f x a x =++在[]0,1上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为（ ）A ．14 B ．12C ．2D ．4 【解析】 B ． 4、设()()1232e ,2log 1,2x x f x x x -⎧<⎪=⎨-⎪⎩≥，则不等式()2f x >的解集为（ ） 课后习题A ．()()1,210,+∞B ．)+∞ C ．()()1,23,+∞ D ．()1,2【解析】 A ；5、设13log 2a =，121log 3b =，0.312c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<【解析】 B ；二、填空题 6、 若函数()()log 1a f x x =+的定义域和值域都是[]0,1，则a 的值为 ． 【解析】 2．7、 当()1,2x ∈时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是 ． 【解析】 (],5-∞-令()24f x x mx =++，则()10f ≤且()20f ≤，解得5m -≤．8、给出封闭函数的定义：若对于定义域D 内的任意一个自变量0x ，都有函数值()0f x D ∈，则称函数()y f x =在D 上封闭．若定义域()0,1D =，则下列函数中，在D 上封闭的是 ．① ()31f x x =-；② ()211122f x x x =--+；③ ()1f x x =-；④ 12y x =．【解析】 ②③④． 9、设1a >，若仅有一个常数c ，使得对于任意的[],2x a a ∈，都有2,y a a ⎡⎤∈⎣⎦满足方程log log a a x y c +=，这时a 的取值的集合为 ．【解析】 {}2．三、解答题10、 已知过原点O 的一条直线与函数8log y x =的图象交于A 、B 两点，分别过点A 、B 作y 轴的平行线与函数2log y x =的图象交于C 、D 两点． ⑴ 证明：点C 、D 和原点O 在同一条直线上；⑵ 当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标．【解析】 ⑴ 证明：设A 、B 的横坐标分别为1x 、2x ，由题意知，11x >，21x >，则A 、B 的纵坐标分别为81log x 、82log x ， 因为A 、B 在过点O 的直线上，所以818212log log x x x x =． 点C 、D 坐标分别为()121,log x x 、()222,log x x ， 容易证明OC OD k k =，于是命题得证． ⑵ 当BC 平行于x 轴时，312x x =，进而8log A ．11、求函数()2123x f x x x +=++，()0,3x ∈的值域．【解析】 2,9⎛ ⎝⎦．12、已知函数2281ax x by x ++=+的最大值为9，最小值为1，求实数a 、b 的值．【解析】 5a =，5b =．13、 已知函数()2f x x bx c =++（,b c ∈R ，0b <），⑴ 当()f x 的定义域为[]0,1时，值域也是[]0,1，求,b c 的值． ⑵ 当2b =-时，函数()()f x g x x=对于任意的[)3,x ∈+∞，()0g x >恒成立，试求实数c 的取值范围．【解析】 ⑴ 2,1b c =-=；⑵ 3c >-．。

指数函数及其性质一、指数与指数幂的运算 （一）根式的观点1、假如 x na, a R, x R, n 1，且 nN ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根．当 n 是奇数时， a的 n 次方根用符号 n a 表示；当 n 是偶数时，正数 a 的正的 n 次方根用符号 na 表示，负的 n 次方根用符号 na 表示； 0 的 n 次方根是 0；负数 a 没有 n 次方根．2、式子 n a 叫做根式，这里 n 叫做根指数， a 叫做被开方数．当n 为奇数时， a 为随意实数；当 n 为偶数时， a0 ．3 、 根 式 的 性 质 ： ( n a )na ； 当 n 为 奇 数 时 ， n a na ； 当 n 为 偶 数 时 ，na n|a |a (a 0) ． a (a 0)（二）分数指数幂的观点mna m (a 0,m, n1、正数的正分数指数幂的意义是：a n N , 且 n1) ．0 的正分数指数幂等于 0．mm1)m (a2、正数的负分数指数幂的意义是：a n( 1) nn ( 0, m, n N , 且 n 1)． 0 的负aa分数指数幂没存心义．注意口诀： 底数取倒数，指数取相反数． 3、a 0=1 ( a 0) a p1/a p ( a 0； p N )4、指数幂的运算性质a r a sa r s (a 0, r , s R)( a r )s a rs (a 0, r , s R)( ab) r a r b r (a 0, b0, r R)5 、 0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂无心义。

二、指数函数的观点一般地，函数 xy a ( a 0, 且a 1) 叫做指数函数，此中 x是自变量，函数的定义域为R．注意：○1 指数函数的定义是一个形式定义；○2 注意指数函数的底数的取值范围不可以是负数、零和 1．三、指数函数的图象和性质 函数名称指数函数定义函数 ya x ( a 0 且 a 1) 叫做指数函数a 10 a 1y图象y 1Oya xya xy(0,1) y 1(0,1)xOx定义域 R值域 （ 0,+ ∞）过定点 图象过定点（ 0,1 ），即当 x=0 时， y=1．奇偶性 非奇非偶单一性在 R 上是增函数在 R 上是减函数函数值的 y ＞ 1(x ＞ 0), y ＞ 1(x ＜ 0),y=1(x=0),y=1(x=0),变化状况0＜ y ＜ 1(x ＜ 0)0 ＜ y ＜ 1(x ＞ 0)a 变化对在第一象限内， a 越大图象越高， 越凑近 在第一象限内， a 越小图象越高， 越凑近y 轴； a 越大图象越低， 越凑近 y 轴；a 越小图象越低， 越凑近图象影响 在第二象限内， 在第二象限内， x 轴． x 轴．注意：利用函数的单一性，联合图象还能够看出：（ 1）在 [a ， b] 上， f (x )a x (a 0且 a 1) 值域是 [ f (a), f ( b)] 或 [ f (b), f (a)] （ 2）若 x 0，则 f (x ) 1； f ( x) 取遍全部正数当且仅当 x R （ 3）对于指数函数 f (x ) a x (a 0 a 1)，总有 f (1) a 且（ 4）当 a 1 时，若 x 1 x 2 ，则 f (x 1 ) f ( x 2 )四、底数的平移对于任何一个存心义的指数函数：在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。