2023届高三年级期末考试数学试卷(1)

2023-2024学年江苏省苏州市高三（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合U ＝R ，集合M ＝{x |log 2x ＜1}，N ＝{x |x ＞1}，则集合{x |0＜x ≤1}＝（ ） A ．M ∪NB ．M ∩NC ．（∁U M ）∩ND ．（∁U N ）∩M2．设i 为虚数单位，复数z 满足（3﹣i ）z ＝4+2i ，则|z |＝（ ） A ．√2B ．√3C ．2D ．43．2023年9月28日，沪宁沿江高速铁路开通运营，形成上海至南京间的第二条城际高速铁路，沪宁沿江高速铁路共设8座车站（如图）．为体验高铁速度，游览各地风光，甲乙两人准备同时从南京南站出发，甲随机选择金坛、武进、江阴、张家港中的一站下车，乙随机选择金坛、武进、江阴、张家港、常熟中的一站下车．已知两人不在同一站下车，则甲比乙晚下车的概率为（ ）A ．320B ．14C ．120D ．384．已知函数f （x ）＝cos （ωx +π3）+1（ω＞0）的最小正周期为π，则f （x ）在区间[0，π2]上的最大值为（ ） A ．12B ．1C ．32D ．25．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =π2，BC ＝2AD ＝2AB ＝2，以下底BC 所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的体积为（ ） A ．2π3B ．4π3C ．5π3D ．2π6．在平面直角坐标系xOy 中，已知A 是圆C 1：x 2+（y ﹣3）2＝1上的一点，B ，C 是圆C 2：（x ﹣4）2+y 2＝4上的两点，则∠BAC 的最大值为（ ） A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π37．已知正实数a ，b ，c 满足2a+1a=2a ﹣a ，3b+1b =3b ﹣b ，4c+1c=4c ﹣c ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c ＜b ＜aB ．a ＜b ＜cC ．a ＜c ＜bD ．b ＜a ＜c8．若sin π10是函数f （x ）＝ax 3﹣bx +1（a ，b ∈N *）的一个零点，则f （1）＝（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023-2024学年山东省德州市高三（上）期末数学试卷一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）1．设集合U＝R，集合M＝{x||x|＜2}，N＝{x|y＝lg（1﹣x）}，则（∁U M）∩N＝（）A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣∞，﹣2]C．（﹣∞，1）∪[2，+∞）D．（2，+∞）2．已知复数z=2i，则|z﹣2i|＝（）1+iA．√2B．2C．√5D．53．按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：30，31，37，m，42，60；乙组：28，n，33，44，48，70，若这两组数据的第30百分位数，第50百分位数都分别对应相等，则m+n＝（）A．60B．65C．70D．714．设点P是直线3x﹣4y+7＝0上的动点，过点P引圆C：（x﹣1）2+y2＝3的切线P A，PB（切点为A，B），则当∠APB取最大值时，|PC|＝（）A．1B．2C．3D．45．米斗是古代官仓、米行等用来称量粮食的器具，鉴于其储物功能和吉祥富足的寓意，现今多在超市、粮店等广泛使用．如图为一个正四棱台形米斗（忽略其厚度），其上、下底面边长分别为30√2cm，20√2cm，侧棱长为2√61cm，若将该米斗盛满大米（沿着上底面刮平后不溢出），设每立方分米的大米重0.8千克，则该米斗盛装大米约（）A．6.08千克B．10.16千克C．12.16千克D．11.16千克6．已知函数f（x）＝2sin x﹣2x，若对任意m∈[﹣2，2]，f（ma﹣8）+f（a2）＞0恒成立，则a的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．（﹣1，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）7．设函数f(x)=sin(ωx−π)(ω＞0)在[﹣π，π]的图象大致如图，则f（x）的最小正周期为（）3A ．10π9B ．32π27C ．4π3D ．25π188．在三棱锥P ﹣ABC 中，△ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，△P AC 是边长为2的正三角形，二面角P ﹣AC ﹣B 的大小为150°，则三棱锥P ﹣ABC 外接球的表面积为（ ） A ．28π3B ．52π9C ．28√21π27D ．52√13π81二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．下列四个表述中，正确的是（ ）A ．设有一个回归直线方程y =3−5x ，变量x 增加1个单位时，y 平均增加5个单位B ．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高C ．在一个2×2列联表中，根据表中数据计算得到K 2的观测值k ，若k 的值越大，则认为两个变量间有关的把握就越大D ．具有相关关系的两个变量x ，y 的相关系数为r ，那么|r |越接近于0，则x ，y 之间的线性相关程度越高10．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，下列结论正确的是（ ） A ．点A 1到DC 1的距离为√62B ．面BC 1D 与面AB 1D 1的距离为√33C ．直线A 1C 1与平面ABC 1D 1所成的角为π3 D ．点A 1到平面BC 1D 的距离为√2211．双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 23−y 2=1的左，右焦点，过C 右支上一点A (x 0，y 0)(x 0＞√3)作双曲线的切线交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，则（ ） A ．平面上点B （4，1），|AF 2|+|AB |的最小值为√37−2√3B ．直线MN 的方程为xx 0﹣3yy 0＝3C ．过点F 1作F 1H ⊥AM ，垂足为H ，则|OH |＝2（O 为坐标原点）D ．四边形AF 1NF 2面积的最小值为412．已知定义域为（0，+∞）的函数f （x ）满足f （x ）+xf '（x ）＝e x ，f '（1）＝1，数列{a n }的首项为1，且f(a n+1)=f(a n )−1a n+1，则（ ） A ．f （ln 2）＝log 2e B ．f （x ）≥1 C ．a 2023＜a 2024D ．0＜a n ≤1三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．在(1−√2x)6的二项展开式中任取一项，则该项系数为有理数的概率为 ．14．已知平行四边形ABCD 中，DE →=12DC →，若AE →=λAC →+μBD →，则λ﹣μ＝ ．15．若直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 且与抛物线交于A 、B 两点，AB 的中垂线交对称轴于点D ，则|AB||DF|= ．16．已知函数f （x ）＝e x +alnx ﹣x a ﹣x （a ＞0），若f （x ）≥0对∀x ∈（1，+∞）恒成立，则实数a 的取值范围为 ．四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝3，S 5＝20，数列{b n }的前n 项和T n 满足关系式T n =1−b n (n ∈N ∗)．（1）求数列{a n }、{b n }的通项公式； （2）求数列{a n •b n }的前n 项和R n ．18．（12分）在△ABC 中，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，a ＝c •cos B 且cosB =c−a2a． （1）求B 的大小；（2）若c ＝3，D 为AB 边上一点，且AD ＝1，求sin ∠BCD ．19．（12分）如图，在四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠DAB =π3，A 1D ＝A 1B ，A 1B 1＝CC 1＝1，AA 1＝2，点E 分别为BC 的中点． （1）证明：直线B 1E ∥面A 1AC ； （2）求二面角C 1﹣BB 1﹣A 的余弦值．20．（12分）已知椭圆方程x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√32，且过焦点垂直于x 轴的弦长为1．左顶点为B ，定点C （4，0），过点C 作与x 轴不重合的直线l 交椭圆于P 、Q 两点，直线BP 、BQ 分别与y 轴交于M 、N 两点． （1）求椭圆方程；（2）试探究|OM |•|ON |是否为定值，若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由．21．（12分）某市号召市民尽量减少开车出行，以绿色低碳的出行方式支持节能减排．原来天天开车上班的王先生积极响应政府号召，准备每天在骑自行车和开车两种出行方式中随机选择一种方式出行．从即日起出行方式选择规则如下：第一天选择骑自行车方式上班，随后每天用“一次性抛掷4枚均匀硬币”的方法确定出行方式，若得到的正面朝上的枚数小于3，则该天出行方式与前一天相同，否则选择另一种出行方式．（1）设P n(n∈N∗)表示事件“第n天王先生上班选择的是骑自行车出行方式”的概率．①求P3；②用P n﹣1表示P n（n≥2）；（2）依据P n值，阐述说明王先生的这种随机选择出行方式是否积极响应市政府的号召．22．（12分）已知常数a＞0，函数f(x)=ln(2+ax)−2x．x+2（1）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，且f（x1）+f（x2）＞0，求a的取值范围．2023-2024学年山东省德州市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）1．设集合U＝R，集合M＝{x||x|＜2}，N＝{x|y＝lg（1﹣x）}，则（∁U M）∩N＝（）A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣∞，﹣2]C．（﹣∞，1）∪[2，+∞）D．（2，+∞）解：集合M＝{x||x|＜2}＝{x|﹣2＜x＜2}，∴∁U M＝{x|x≤﹣2或x≥2}，又∵N＝{x|y＝lg（1﹣x）}＝{x|x＜1}，∴（∁U M）∩N＝{x|x≤﹣2}．故选：B．2．已知复数z=2i1+i，则|z﹣2i|＝（）A．√2B．2C．√5D．5解：z=2i1+i=2i(1−i)(1+i)(1−i)=1+i，则|z﹣2i|＝|1+i﹣2i|=√2．故选：A．3．按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：30，31，37，m，42，60；乙组：28，n，33，44，48，70，若这两组数据的第30百分位数，第50百分位数都分别对应相等，则m+n＝（）A．60B．65C．70D．71解：因为6×30%＝1.8，6×50%＝3，则由题意甲组数据的第30百分位数为31，乙组数据的第30百分位数为n，所以n＝31；甲组数据的第50百分位数为37+m2，乙组数据的第50百分位数为33+442=772，所以37+m2=772，解得m＝40，则m+n＝40+31＝71．故选：D．4．设点P是直线3x﹣4y+7＝0上的动点，过点P引圆C：（x﹣1）2+y2＝3的切线P A，PB（切点为A，B），则当∠APB取最大值时，|PC|＝（）A．1B．2C．3D．4解：若∠APB取最大值，则∠APC=12∠APB亦取最大，又P A与圆C相切，故P A⊥AC，故sin∠APC=|AC||PC|，由|AC|＝r，故需|PC|取最小，又点P是直线3x﹣4y+7＝0上的动点，故|PC|最小为点C到直线3x﹣4y+7＝0的距离，由C：（x﹣1）2+y2＝3，可得C（1，0），故d=√3+4=105=2，即|PC|＝2．故选：B．5．米斗是古代官仓、米行等用来称量粮食的器具，鉴于其储物功能和吉祥富足的寓意，现今多在超市、粮店等广泛使用．如图为一个正四棱台形米斗（忽略其厚度），其上、下底面边长分别为30√2cm，20√2cm，侧棱长为2√61cm，若将该米斗盛满大米（沿着上底面刮平后不溢出），设每立方分米的大米重0.8千克，则该米斗盛装大米约（）A．6.08千克B．10.16千克C．12.16千克D．11.16千克解：设该正棱台为ABCD﹣A1B1C1D1，其中上底面为ABCD，取对角面为AA1C1C，由题意得四边形AA1C1C为等腰梯形，如图，∵上、下底面边长分别为30√2cm，20√2cm，侧棱长为2√61cm，且AC＝60，A1C1＝40，AA1＝CC1＝2√61，分别过点A1，C1作A1E⊥AC，C1F⊥AC，垂足分别为E，F，可得EF＝A1C1＝40，由等腰梯形的几何性质，可得AA1＝CC1，∵∠A1AE＝∠C1CF，∠AEA1＝∠CFC1＝90°，∴Rt△AA1E≌Rt△CC1F，∴AE＝CF=AC−EF2=10，∴A1E=√AA12−AE2=12，即棱台的高为12cm，∴该米斗的体积为V=13×[（20√2）2+（30√2）2+√(20√2)2+(30√2)2]×12＝15200cm3＝15.2（立方分米），∴该米斗所成大米的质量为15.2×0.8＝12.16（千克）．故选：C．6．已知函数f（x）＝2sin x﹣2x，若对任意m∈[﹣2，2]，f（ma﹣8）+f（a2）＞0恒成立，则a的取值范围是（）A ．（﹣2，2）B ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C ．（﹣1，1）D ．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）解：由题意得函数定义域为R ，f （﹣x ）＝2sin （﹣x ）+2x ＝﹣2（sin x ﹣x ）＝﹣f （x ），即f （x ）是奇函数， f '（x ）＝2（cos x ﹣1）≤0，即f （x ）在R 上单调递减，对任意m ∈[﹣2，2]，f （ma ﹣8）+f （a 2）＞0恒成立，即f （ma ﹣8）＞﹣f （a 2）＝f （﹣a 2）， ∴ma ﹣8＜﹣a 2对任意m ∈[﹣2，2]恒成立，即ma ﹣8+a 2＜0， 令g （m ）＝ma ﹣8+a 2，m ∈[﹣2，2]，∴{g(−2)＜0g(2)＜0，即{−2a −8+a 2＜02a −8+a 2＜0，解得﹣2＜a ＜2，∴a 的取值范围是（﹣2，2）． 故选：A ．7．设函数f(x)=sin(ωx −π3)(ω＞0)在[﹣π，π]的图象大致如图，则f （x ）的最小正周期为（ ）A ．10π9B ．32π27C ．4π3D ．25π18解：根据f(x)=sin(ωx −π3)(ω＞0)在[﹣π，π]的图象，∵图象过点（−4π9，0）， ∴ω×（−4π9）−π3=k π（k ∈Z ），解得ω=−9k+34（k ∈Z ）， 设函数的最小正周期为T ，由函数的图象得12T ＞−4π9−（﹣π）=5π9，T ＜π﹣（−4π9）=13π9，即10π9＜T ＜13π9，∴10π9＜2πω＜13π9，∴1813＜ω＜95，当且仅当k ＝﹣1时，符合题意，此时ω=32，故f （x ）的最小正周期为2πω=4π3．故选：C ．8．在三棱锥P ﹣ABC 中，△ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，△P AC 是边长为2的正三角形，二面角P ﹣AC ﹣B 的大小为150°，则三棱锥P ﹣ABC 外接球的表面积为（ ）A．28π3B．52π9C．28√21π27D．52√13π81解：如图，取AC的中点H，连接BH，PH，由题意，AB=BC=√22AC=√2，PA=PC=2，所以BH⊥AC，PH⊥AC，所以∠BHP为二面角P﹣AC﹣B的平面角，所以∠BHP＝150°，因为△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，且AC＝2，所以AH＝BH＝CH＝1，H为△ABC外接圆的圆心，又△P AC是边长为2的等边三角形，所以HP=√3，过点H作与平面ABC垂直的直线，则球心O在该直线上，设球的半径为R，连接OB，OP，可得OH2＝OB2﹣BH2＝R2﹣1，在△OPH中，∠OHP＝60°，利用余弦定理可得OP2＝OH2+HP2﹣2HO•HP•cos60°，所以R2=R2−1+3−2×√R2−1×√3×12，解得R2=73，所以外接球的表面积为4πR2=28π3．故选：A．二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．下列四个表述中，正确的是（）A．设有一个回归直线方程y=3−5x，变量x增加1个单位时，y平均增加5个单位B．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高C．在一个2×2列联表中，根据表中数据计算得到K2的观测值k，若k的值越大，则认为两个变量间有关的把握就越大D．具有相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，那么|r|越接近于0，则x，y之间的线性相关程度越高解：对于A，因为y=3−5x，所以变量x增加一个单位时，y平均减少5个单位，故A错误；对于B，在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明波动越小，即模型的拟合精度越高，故B 正确；对于C，观测值越大，则认为两个变量间有关的把握就越大，故C正确；对于D ，|r |越接近于1，则x ，y 之间的线性相关程度越高，故D 错误． 故选：BC ．10．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，下列结论正确的是（ ） A ．点A 1到DC 1的距离为√62B ．面BC 1D 与面AB 1D 1的距离为√33C ．直线A 1C 1与平面ABC 1D 1所成的角为π3 D ．点A 1到平面BC 1D 的距离为√22解：以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在的直线分别为x 、y 、z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 对于A ：A 1（1，0，1），C 1（0，1，1），D （0，0，0）， C 1D →=（0，﹣1，﹣1），C 1A 1→=（1，﹣1，0），所以点A 1到DC 1的距离d =√|C 1A 1→|2−|C 1A 1→|cos 2＜C 1A 1→，C 1D →＞=√|C 1A 1→|2−|C 1A 1→⋅C 1D →|2|C 1D →|2=√62，故A 正确；对于B ：B （1，1，0），C 1（0，1，1），A （1，0，0），B 1（1，1，1），D 1（0，0，1）， AD 1→=（﹣1，0，1），AB 1→=（0，1，1），DC 1→=（0，1，1），DB →=（1，1，0）， 设n 1→=（x 1，y 1，z 1），n 2→=（x 2，y 2，z 2）分别为平面AB 1D 1，平面BC 1D 的一个法向量， 所以{AD 1→⋅n 1→=−x 1+z 1=0AB 1→⋅n 1→=y 1+z 1=0，令x 1＝1，可得y 1＝﹣1，z 1＝1，所以n 1→=(1，−1，1)，{DC 1→⋅n 2→=y 2+z 2=0DB →⋅n 2→=x 2+y 2=0，令x 2＝1，可得y 2＝﹣1，z 2＝1，所以n 2→=(1，−1，1)， 所以n 1→=n 2→，所以平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，可得B 1点到平面BC 1D 的距离即为所求， BB 1→=（0，0，1），所以B 1点到平面BC 1D 的距离为：|BB 1→|•|cos ＜BB 1→，n 2→＞|=|BB 1→⋅n 2→||n 2→|=13=√33，故B 正确； 对于C ：B （1，1，0），C 1（0，1，1），A （1，0，0），A 1（1，0，1）， A 1C 1→=（﹣1，1，0），AB →=（0，1，0），BC 1→=（﹣1，0，1）， 设n 3→=(x 3，y 3，z 3)为平面ABC 1D 1的一个法向量， 所以{BC 1→⋅n 3→=−x 3+z 3=0AB →⋅n 3→=y 3=0，令x 3＝1，可得y 3＝0，z 3＝1，所以n 3→=(1，0，1)，设直线A 1C 1与平面ABC 1D 1所成的角为θ(θ∈[0，π2])，所以sin θ＝|cos ＜A 1C 1→，n 3→＞|=|A 1C 1→⋅n 3→||A 1C 1→|⋅|n 3→|=1√2×√2=12， 因为θ∈[0，π2]，所以θ=π6，故C 错误；对于D ，因为平面BC 1D的一个法向量为n 2→=(1，−1，1)，A 1C 1→=（﹣1，1，0），所以点A 1到平面BC 1D 的距离为|A 1C 1→|•|cos ＜A 1C 1→，n 2→＞|=|A 1C 1→⋅n 2→||n 2→|=√3×√2=√63，故D 错误． 故选：AB ．11．双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 23−y 2=1的左，右焦点，过C 右支上一点A (x 0，y 0)(x 0＞√3)作双曲线的切线交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，则（ ） A ．平面上点B （4，1），|AF 2|+|AB |的最小值为√37−2√3B ．直线MN 的方程为xx 0﹣3yy 0＝3C ．过点F 1作F 1H ⊥AM ，垂足为H ，则|OH |＝2（O 为坐标原点）D ．四边形AF 1NF 2面积的最小值为4解：对于A ，由双曲线定义得|AF 1|−|AF 2|=2a =2√3，且F 1（﹣2，0）， 则|AF 2|+|AB |＝|AF 1|+|AB |﹣2√3≥|BF 1|﹣2√3=√(4+2)2+1=√37−2√3， 所以|AF 2|+|AB |的最小值为√37−2√3，故A 正确； 对于B ，设直线MN 的方程为y ﹣y 0＝k （x ﹣x 0），k ≠±√33，联立方程组{y −y 0=k(x −x 0)x 2−3y 2=3，消去y 整理得(1−3k 2)x 2+(6k 2x 0−6ky 0)x −3k 2x 02+6kx 0y 0−3y 02−3=0，∴Δ＝0，化简整理得9y0k2−6x0y0k+x02=0，解得k=x03y0，可得直线MN的方程为y−y0=x03y0(x−x0)，即x0x﹣3y0y＝3，故B正确；对于C，由双曲线的光学性质可知，AM平分∠F1AF2延长F1H与AF2的延长线交于点E，则AH垂直平分F1E，即|AF1|＝|AE|，H为F1E的中点，又O是F1F2中点，所以|OH|=12|F2E|=12(|AE|−|AF2|)=12(|AF1|−|AF2|)=a=√3，故C错误；对于D，由直线MN的方程为x0x﹣3y0y＝3，令x＝0，得y=−1y0，则N(0，−1y0)，S AF1NF2=S△AF1F2+S△NF1F2=12|F1F2|×（|y0|+1|y0|≥12×4×2√|y0|×1|y0|=4，当且仅当|y0|=1|y0|，即y0＝±1时等号成立，所以四边形AF1NF2面积的最小值为4，故D项正确．故选：ABD．12．已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足f（x）+xf'（x）＝e x，f'（1）＝1，数列{a n}的首项为1，且f(a n+1)=f(a n)−1a n+1，则（）A．f（ln2）＝log2e B．f（x）≥1 C．a2023＜a2024D．0＜a n≤1解：∵[xf（x）]′＝f（x）+xf′（x）＝e x，则xf（x）＝e x+c，取x＝1可得f（1）＝e+c，由f（x）+xf'（x）＝e x，令x＝1，得f（1）+f'（1）＝e，∵f′（1）＝1，∴c＝﹣1，f(x)=e x−1 x，则f（ln2）＝log2e，故A正确；令φ（x）＝e x﹣x﹣1，则φ′（x）＝e x﹣1，当x ＜0时，φ'（x ）＜0，当x ＞0时，φ′（x ）＞0，所以φ（x ）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，故φ（x ）≥φ（0）＝0，即e x ≥x +1，当且仅当x ＝0时，等号成立，故f （x ）＞1，故B 正确． 由f(a n+1)=f(a n )−1a n+1=e a n+1−1a n+1，得e a n+1=f （a n ），所以e a n+1=e a n −1a n， 即a n ⋅e a n+1=e a n −1≥1+a n ﹣1＝a n ，即a n (e a n+1−1)≥0．因为函数f （x ）定义域为（0，+∞），所以a n ＞0，e a n+1−1≥0，即a n +1≥0， 下证数列{a n }单调递减，即证e a n+1＜e a n，即证e a n −1a n＜e a n ，即证e a n −1＜a n e a n ，即证（1﹣a n ）e a n −1＜0，令g （x ）＝（1﹣x ）e x ﹣1，则g ′（x ）＝﹣xe x ，当x ＞0时，g '（x ）＜0，所以g （x ）在（0，+∞）上单调递减， 因为a n ＞0，g （a n ）＜g （0）＝0，所以a n +1＜a n ，即数列{a n }单调递减， 所以0＜a n ≤a 1＝1，故D 正确，C 错误． 故选：ABD ．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．在(1−√2x)6的二项展开式中任取一项，则该项系数为有理数的概率为47． 解：(1−√2x)6的二项展开式中，通项公式为T r +1=C 6r •(−√2x)r =(−√2)r •C 6r •x r ，当且仅当r 为偶数时，该项系数为有理数，而r ∈[0，6]（r ∈N ），所以r ＝0，2，4，6满足题意， 又因为展开式共有7项，所以所求的概率为P =47．故答案为：47．14．已知平行四边形ABCD 中，DE →=12DC →，若AE →=λAC →+μBD →，则λ﹣μ＝ 12．解：已知平行四边形ABCD 中，DE →=12DC →，如图所示：故AE →=12(AD →+AC →)=12AD →+12AD →+12AB →=AD →+12AB →，由于AE →=λAC →+μBD →=λ(AD →+AB →)+μ(AD →−AB →)=(λ+μ)AD →+(λ−μ)AB →， 故{λ+μ=1λ−μ=12，解得λ−μ=12．故答案为：12．15．若直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 且与抛物线交于A 、B 两点，AB 的中垂线交对称轴于点D ，则|AB||DF|=2 ．解：由抛物线的方程可得焦点F （1，0），准线方程x ＝﹣1， 显然直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为x ＝my +1，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 联立{x =my +1y 2=4x，整理可得：y 2﹣4my ﹣4＝0， 可得y 1+y 2＝4m ，x 1+x 2＝m （y 1+y 2）+2＝4m 2+2， 所以AB 的中点M （2m 2+1，2m ），所以AB 的中垂线的方程为y ﹣2m ＝﹣m （x ﹣2m 2﹣1）， 令y ＝0，可得x D ＝2m 2+3， 所以|DF |＝2m 2+3﹣1＝2m 2+2，由抛物线的性质可得：|AB |＝x 1+x 2+2＝4m 2+2+2＝4m 2+4， 所以|AB||DF|=4m 2+42m 2+2．故答案为：2．16．已知函数f （x ）＝e x +alnx ﹣x a ﹣x （a ＞0），若f （x ）≥0对∀x ∈（1，+∞）恒成立，则实数a 的取值范围为 （0，e ] ．解：因为e x +alnx ﹣x a ﹣x ≥0对∀x ∈（1，+∞）恒成立， 所以lnx a ﹣x a ≥lne x ﹣e x 对∀x ∈（1，+∞）恒成立， 令m （t ）＝lnt ﹣t （t ＞1），则m ′(t)=1t −1=1−tt＜0，所以m （t ）＝lnt ﹣t （t ＞1）在（1，+∞）单调递减， 因为m （x a ）≥m （e x ）对∀x ∈（1，+∞）恒成立，a ＞0， 所以x a ≤e x ，两边取对数得：alnx ≤x （x ＞1），即a ≤xlnx（x ＞1）， 令g(x)=x lnx （x ＞1），则g ′(x)=lnx−1(lnx)2(x ＞1)， 所以当x ∈（1，e ）时，g '（x ）＜0，g(x)=xlnx在（1，e ）单调递减； 当x ∈（e ，+∞）时，g '（x ）＞0，g(x)=xlnx在（e ，+∞）单调递增； 所以g(x)=xlnx（x ＞1）的最小值为g （e ）＝e ， 故0＜a ≤e ． 故答案为：（0，e ]．四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝3，S 5＝20，数列{b n }的前n 项和T n 满足关系式T n =1−b n (n ∈N ∗)．（1）求数列{a n }、{b n }的通项公式； （2）求数列{a n •b n }的前n 项和R n ． 解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可知{a 1+d =35a 1+5×42×d =20，解得{a 1=2d =1， ∴a n =n +1(n ∈N ∗)，当n ≥2时，b n ＝T n ﹣T n ﹣1＝1﹣b n ﹣1+b n ﹣1，∴b n b n−1=12，又T 1＝1﹣b 1，∴b 1=12，∴{b n }是以12为首项，12为公比的等比数列，∴b n =12n ； （2）由（1）知a n ⋅b n =(n +1)12n ，n ∈N ∗， R n =2×12+3×122+⋯+(n +1)12n ①，12R n =2×122+⋯+n ⋅12n+(n +1)12n+1②，①﹣②得12R n =12+12+122+⋯+12n −n+12n+1=12+1−12n −n+12n+1，∴R n=3−n+3 2n．18．（12分）在△ABC中，AB＝c，AC＝b，BC＝a，a＝c•cos B且cosB=c−a2a．（1）求B的大小；（2）若c＝3，D为AB边上一点，且AD＝1，求sin∠BCD．解：（1）由a＝c•cos B得cosB=ac，又cosB=c−a2a，所以c−a2a=ac，整理可得：2a2﹣c2+ac＝0，即（2a﹣c）（a+c）＝0，可得c＝2a，可得cosB=1 2，又B∈（0，π），所以B=π3；（2）由a＝c cos B及正弦定理，得sin A＝sin C•cos B，即sin（B+C）＝sin C•cos B，即sin B cos C＝0，因为sin B≠0，所以cos C＝0，解得C=π2；由已知，c＝3，AD＝1，所以BD＝2，BC=3 2，△BCD中，由余弦定理得CD2=BC2+BD2−2BC⋅BD⋅cosB=134，解得CD=√134=√132，在△BCD中，由正弦定理得：BDsin∠BCD=CDsinB，B=π3，所以sin∠BCD=BD⋅sinBCD=2√3913．19．（12分）如图，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB=π3，A1D＝A1B，A1B1＝CC1＝1，AA1＝2，点E分别为BC的中点．（1）证明：直线B1E∥面A1AC；（2）求二面角C1﹣BB1﹣A的余弦值．解：（1）证明：如图，设AC与BD相交于点O，连接A1O，OE，∵O 、E 分别为AC 、BC 中点， ∴OE =12AB ，又 A 1B 1=12AB ，∵OE ＝A 1B 1，∴四边形A 1B 1EO 为平行四边形， ∴B 1E ∥OA 1，∵OA 1⊂平面AA 1C ，B 1 E ⊄面 AA 1C ，∴直线B 1E ∥面 AA 1C ． （2）∵A 1D ＝A 1B ，O 为BD 中点，∴A 1O ⊥BD ， 连接A 1C 1，则A 1C 1∥OC ，且A 1C 1＝OC ， ∴四边形A 1OCC 1 为平行四边形，∴C 1C ＝A 1O ＝1，等边△ABD 中，AO =√3，∴A 1O 2+AO 2=4=AA 12，从而AO ⊥AC ，∵A 1O ⊥BD ，AC ∩BD ＝O ，AC ，BD ⊂平面ABCD ，∴A 1O ⊥平面ABCD ，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则C 1(−√3，0，1)，B 1(−√32，12，1)，B （0，1，0），A(√3，0，0)，设平面C 1B 1B 的法向量为m →=（x ，y ，z ），C 1B 1→=(√32，12，0)，B 1B →=(√32，12，−1)，则{m →⋅C 1B 1→=√32x +12y =0m →⋅B 1B →=√32x +12y −z =0，取x ＝1，得m →=（1，−√3，0）， 设平面ABB 1的法向量为n →=（a ，b ，c ），AB →=(−√3，1，0)， 则{n →⋅AB →=−√3a +b =0n →⋅B 1B →=√32a +12b −c =0，取a ＝1，得n →=（1，√3，√3）， ∴cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=−22×√7=−√77，由图可知，二面角 C 1﹣BB 1﹣A 为钝角， ∴二面角C 1﹣BB 1﹣A 的余弦值为−√77．20．（12分）已知椭圆方程x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√32，且过焦点垂直于x 轴的弦长为1．左顶点为B ，定点C （4，0），过点C 作与x 轴不重合的直线l 交椭圆于P 、Q 两点，直线BP 、BQ 分别与y轴交于M、N两点．（1）求椭圆方程；（2）试探究|OM|•|ON|是否为定值，若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由．解：（1）由已知：ca=√32，即c2a2=34，即a2−b2a2=34⇒a＝2b，在x2a2+y2b2=1中，令x＝c，解得y=±b2a，所以2b2a=1，即2b22b=b=1，所以a＝2，b＝1，所以椭圆方程为：x24+y2=1；（2）由题意设PQ：x＝my+4，P（x1，y1），Q（x2，y2），联立方程{x=my+4 x24+y2=1，消去x化简得：（m2+4）y2+8my+12＝0，Δ＝（8m）2﹣4（m2+4）×12＝16m2﹣192＞0，即m2＞12，所以y1+y2=−8mm2+4，y1y2=12m2+4，又B（﹣2，0），所以直线BP的方程：y=y1x1+2(x+2)，令x＝0得：y M=2y1x1+2，同理y N=2y2x2+2=2y2x2+2，所以|OM|⋅|ON|=|y M⋅y N|=|2y1x1+2⋅2y2x2+2|=|4y1y2(my1+6)(my2+6)|=|4y1y2m2y1y2+6m(y1+y2)+36|=|4×12m2+4m2×12m2+4+6m×(−8mm2+4)+36|=|4812m2−48m2+36(m2+4)|=|48144|=13，即|OM|⋅|ON|为定值1 3．21．（12分）某市号召市民尽量减少开车出行，以绿色低碳的出行方式支持节能减排．原来天天开车上班的王先生积极响应政府号召，准备每天在骑自行车和开车两种出行方式中随机选择一种方式出行．从即日起出行方式选择规则如下：第一天选择骑自行车方式上班，随后每天用“一次性抛掷4枚均匀硬币”的方法确定出行方式，若得到的正面朝上的枚数小于3，则该天出行方式与前一天相同，否则选择另一种出行方式．（1）设P n (n ∈N ∗)表示事件“第n 天王先生上班选择的是骑自行车出行方式”的概率． ①求P 3；②用P n ﹣1表示P n （n ≥2）；（2）依据P n 值，阐述说明王先生的这种随机选择出行方式是否积极响应市政府的号召． 解：（1）根据题意，设一次性抛掷4枚均匀的硬币得到正面向上的枚数为ξ，则ξ～（4，12），则P （ξ≥3）=C 43（12）3（1−12）=C 44（12）4=516，P （ξ＜3）＝1﹣P （ξ≥3）＝1−516=1116， ①第一天选择骑自行车方式上班，易得P 2=1116， 则P 3＝P 2P （ξ＜3）+（1﹣P 2）P （ξ≥3）=1116×1116+516×516=146256=73128， ②根据题意，易得P n ＝P n ﹣1P （ξ＜3）+（1﹣P n ﹣1）P （ξ≥3）＝P n ﹣1×1116+（1﹣P n ﹣1）×516=38P n ﹣1+516， 故P n =38P n ﹣1+516；（2）根据题意，由（1）的结论，P n =38P n ﹣1+516，变形可得P n −12=38（P n ﹣1−12），又由P 1−12=12，故数列{P n −12}是以12为首项，公比为38的等比数列，故P n −12=（P 1−12）×（38）n ﹣1=12×（38）n ﹣1，变形可得P n =12+12×（38）n ﹣1＞12； 故王先生每天选择骑自行车出行的概率始终大于选择开车出行的概率，积极响应市政府的号召． 22．（12分）已知常数a ＞0，函数f(x)=ln(2+ax)−2xx+2． （1）讨论f （x ）在区间（0，+∞）上的单调性；（2）若f （x ）存在两个极值点x 1，x 2，且f （x 1）+f （x 2）＞0，求a 的取值范围． 解：（1）∵f(x)=ln(2+ax)−2x x+2，f ′(x)=a 2+ax −4(x+2)2=ax 2+4(a−2)(2+ax)(x+2)2，∴当a ≥2时，f '（x ）≥0恒成立，则函数f （x ）在（0，+∞）单调递增， 当0＜a ＜2时，由f '（x ）＝0得x =±2√a(2−a)a，则函数f（x）在(0，2√a(2−a)a)单调递减，在(2√a(2−a)a，+∞)单调递增．（2）由（1）知，当a≥2时，f'（x）≥0，此时f（x）不存在极值点．因此要使f（x）存在两个极值点x1，x2，则必有0＜a＜2，又f（x）的极值点值是x1=2√a(2−a)a，x2=−2√a(2−a)a，且由f（x）的定义域可知x＞−1a且x≠﹣2，∴−2√a(2−a)a＞−2a且−2√a(2−a)a≠−2，解得a≠1，则x1，x2分别为函数f（x）的极小值点和极大值点，x1+x2＝0，x1x2=4(a−2)a，∴f（x1）+f（x2）=ln[2+ax1]−2x1x1+2+ln(2+ax2)−2x2x2+2=ln[4+2a(x1+x2)+a2x1x2]−4x1x2+4(x1+x2) x1x2+2(x1+x2)+4=ln(2a−2)2−4(a−2)2a−2=ln(2a−2)2+42a−2−2．令2a﹣2＝x，由0＜a＜2且a≠1得，当0＜a＜1时，﹣2＜x＜0；当1＜a＜2时，0＜x＜2，令g(x)=lnx2+4x−2．①当﹣2＜x＜0时，g(x)=2ln(−x)+4x−2，g′(x)=2x−4x2=2x−4x2＜0，则g（x）在（﹣2，0）上单调递减，g（x）＜g（﹣2）＝2（ln2﹣2）＜0，∴当0＜a＜1时，f（x1）+f（x2）＜0；②当0＜x＜2时，g（x）＝2lnx+4x−2，g′(x)=2x−4x2=2x−4x2＜0，则g（x）在（0，2）上单调递减，g（x）＞g（2）＝0，∴当1＜a＜2时，f（x1）+f（x2）＞0；综上所述，a的取值范围是（1，2）．。

唐山市2023-2024学年度高三年级第一学期期末考试数学本试卷共4页，22小题，满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色钢笔或签字笔将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在笞题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用0.5毫米黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，()()12i 2i -+对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知集合M ，N 满足M N N ⋂=，则（）A.M N = B.M =∅ C.M N ⊇ D.M N⊆3.已知直线:2l y x b =+与圆()()22:235C x y ++-=有公共点，则b 的取值范围为（）A.[]2,12 B.(][),212,-∞⋃+∞C.[]4,6- D.(][),46,-∞-⋃+∞4.已知函数()sin ,0π,02x x f x m f x x ≤⎧⎪=⎨⎛⎫-+> ⎪⎪⎝⎭⎩.满足()π1f =，则实数m 的值为（）A.14 B.12 C.1 D.25.在正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点中任取4个点，能构成正三棱锥的个数为（）A.16个 B.12个 C.10个 D.8个6.已知函数()lg3x x f x m x +=-是偶函数，则m =（）A.3 B.0 C.-1 D.27.已知函数()()()sin π0,2f x x x =∈的图象与直线()1y a x =-有3个交点，则实数a 的取值范围为（）A.(),0-∞B.()1,0-C.(),π-∞-D.()π,0-8.已知双曲线：()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点为1F ，2F ，1222F F a =+，P 为双曲线右支上一点，212PF F F ⊥，12PF F 的内切圆圆心为M ，1MF P 与2MF P 的面积的差为1，则双曲线的离心率e =（）A.2B.3二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.如图，正三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都为2，M ，N 分别是AB ，11A C 的中点，则（）A.MN AC⊥ B.1MN BC ∥C.MN =D.MN ∥平面11BCC B 10.已知m ，n 都是正整数，且m n <，下列有关组合数的计算，正确的是（）A.m n m n n C C -= B.1111m m m n n nC C C -+--+=C.11m m n n mC nC --= D.()()()222012n n n n n nC C C C ++⋅⋅⋅+=11.已知函数()f x 的定义域为R ，则以下选项正确的是（）A.若()()1f x f x +=-，则()()2f x f x +=B.若()()2f x f x +=，则()()1f x x f +=-C.若()()2f x f x +=-，且()f x 为奇函数，则()()4f x f x +=D.若()()2f x f x +=-，且()()4f x f x +=，则()f x 为奇函数12.数列{}n a 的通项公式为11n n a n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，下列命题正确的为（）A.{}n a 先递增后递减B.{}n a 为递增数列C.*n ∃∈N ，n a e >D.*n ∀∈N ，n a e<三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量(),3a x = ，()2,6b = ，若a 与b 共线，则实数x =______.14.已知圆锥的侧面展开图是半径为8的直角扇形，则此圆锥的表面积为______.15.已知抛物线2:4E y x =，圆()22:11M x y -+=，过点M 的直线l 与E 交于A ，B 两点，与圆M 交于C ，D 两点（A ，C 都在x 轴上方），若AC BD -=l 的斜率为______.16.已知函数()()()cos 0f x x ωϕω=+>，A ，B 是直线12y =与曲线()f x 的两个交点，若AB 的最小值为π6，2π03f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()00f <，则π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______.四､解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（10分）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c sin cos B a B b c+=+（1）求A ；（2）设AC 边的中线BD =，且2228a c +=，求ABC 的面积S .18.（12分）目前，国际上常用身体质量指数（Body Mass Index ，缩写BMI ）来测量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是()()22:kg BMI :m =体重单位身高单位.中国成人的BMI 数值标如下表所示：BMI <18.5[)18.5,24[)24,28≥28体重情况过轻正常超重肥胖为了解某单位职工的身体情况，研究人员从单位职工体检数据中，采用分层随机抽样方法抽取了90名男职工､50名女职工的身高和体重数据，计算得到他们的BMI 值，并进行分类统计，如下表所示：性别BMI 合计过轻正常超重肥胖男106011990女15255550合计25851614140（1）参照附表，对小概率值α逐一进行独立性检验，依据检验，指出能认为职工体重是否正常与性别有关联的α的一个值；（2）在该单位随机抽取一位职工的BMI 值，发现其BMI 值不低于28.由上表可知男女职工的肥胖率都为0.1，视频率为概率，能否认为该职工的性别是男还是女的可能性相同？若认为相同则说明理由，若认为不相同，则需要比较可能性的大小.α0.10.050.010.0050.001x α 2.706 3.841 6.6357.87910.828附：()()()()()22d n ad bc a b c a c b d χ++-=++19.（12分）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，当2n ≥时111,,2,.n n n a n a a n --+⎧=⎨⎩为奇数为偶数.且31S =.（1）求1a ，2a ；（2）（i ）当n 为偶数时，求{}n a 的通项公式；（ii ）求2024S .20.（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，BC AD ∥，222AD AB BC ===，3PC =，()01PE PD λλ=<< .（1）求证：CD PA ⊥；（2）若平面PAC 与平面EAC 夹角的余弦值为31717，求三棱锥P ACE -的体积.21.（12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为()2,0F ，点)M 在椭圆上.（1）求椭圆C 的方程；（2）直线:l y kx m =+与C 相交于A ，B 两点，若直线AF ，BF 的倾斜角互补，求ABF 面积的最大值.22.（12分）已知函数()()()ln xf x e x m m m R =-+-∈.（1）若1m =，求函数()f x 的极值；f x有两个零点，求m的取值范围.（2）若()唐山市2023—2024学年度第一学期高三年级期末考试数学参考答案一､选择题（单选）：1-4DCAB5-8CADA 二､选择题（多选）：9.CD 10.ACD 11.AC 12.BD 三､填空题：13.114.20π16.2四､解答题：17.解：（1sin cos B a B b c +=+，sin sin cos sin sin A B A B B C +=+，()sin sin cos sin sin A B A B B A B +=++，sin sin cos sin A B B A B =+，因为sin 0B ≠cos 1A A -=，即π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以ππ66A -=或5π6（舍），所以π3A =.（2）在ABD 中，由余弦定理得：222cos 2BD AD AB ADB BD AD∠+-=⨯⨯，即2224cos 22b c ADB b ∠+-=，在BDC中，同理可得：2224cos 22b a BDC b ∠+-=，由cos cos 0ADB BDC ∠∠+=，得222b =，解得2b =.在ABD 中，2222cos BD AB AD AB AD A =+-⨯⨯⨯，即221132422b b c c =+-⨯⨯⨯，整理得：2120c c --=，解得：4c =.所以ABC的面积1sin 2S bc A ==.18.解：（1）零假设为0H ：职工体重是否正常与性别相互独立，即二者没有关联.性别BMI合计不正常正常男306090女252550合计5585140将分类统计表简化整理成22⨯列联表，如下表所示.根据列联表中的数据，经计算得到22140(30256025)700 3.74390505585187χ⨯-⨯==≈⨯⨯⨯.0.13.743 2.706;x >=0.050.010.0050.0013.743 3.841x x x x <=<<<.经过对附表所给的小概率值α逐一进行独立性检验，发现0.1α=时，拒绝了零假设0H ，而附表α的其余取值都不能拒绝零假设0H .因此，能认为职工体重是否正常与性别有关联，则α的一个值可以为0.1.（2）可能性不相同.设事件A ：职工为男职工，事件:B 职工为女职工，事件:C 职工体重情况为肥胖.()()()()()()9595140140,14141414140140P AC P BC P A C P B C P C P C ======∣∣，()()P A C P B C >∣∣.因此，该职工为男职工的可能性要大.19.解：（1）由31S =得1231a a a ++=，又213212,121a a a a a ==+=+，则120,0a a ==.（2）（i ）当n 为偶数时，1n -为奇数，则12n n a a -=，且121n n a a --=+，则()221n n a a -=+故()2222n n a a -+=+，则当n 为偶数时，{}2n a +是一个等比数列，公比为2，首项为22a +，特别要注意，2n a +是第2n 项，则()122222n n a a -+=+，则222nn a =-.（ii ）设S 奇132023242024,a a a S a a a =+++=+++偶，则202413,22S S S S S S ==+=奇奇偶偶偶.S 偶21012101324202422221012221013a a a =+++=+++-⨯=-⨯，则()1012202433210132S S ==-偶.20.解：（1）因为PC ⊥平面,ABCD CD ⊂平面ABCD ，所以PC CD ⊥.取AD 中点M ，连接CM ，因为1,AM BC AM ==∥BC ，所以ABCM 是平行四边形，从而112CM AB AD ===，于是CD AC ⊥.又PC AC C ⋂=，所以CD ⊥平面PAC ，因为PA ⊂平面PAC ，所以CD PA ⊥.（2）如图，以C 为原点，,,CM CB CP分别为x 轴，y 轴，z 轴正向，建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(1,1,0),(1,1,0),(0,0,3),(1,1,0),(0,0,3)C A D P CA CP -== ，(),,3PE PD λλλλ==-- ，(),,33CE CP PE λλλ=+=-- ，由（1）可知，()1,1,0CD =- 为面PAC 的一个法向量.设(),,n x y z = 为面EAC 的法向量，则0n CA n CE ⋅=⋅=，即()0,330,x y x y z λλλ+=⎧⎨-+-=⎩取33,33,2x y z λλλ=-=-=，则()33,33,2n λλλ=--，依题意，317cos ,17CD n CD n CD n ⋅== ，得23λ=或2λ=（舍去）.因为23PE PD = ，所以2233P ACE P ACD V V --==.所以三棱锥P ACE -的体积为23.21.解：（1）由已知可得2222611,4a b a b+==+，解得228,4a b ==，所以椭圆C 的方程为22184x y +=.（2）将y kx m =+代入22184x y +=，整理得()()222124280,*k x kmx m +++-=设()()1122,,,A x y B x y ，则2121222428,1212km m x x x x k k--+==++，因为直线,AF BF 的倾斜角互补，所以1212022AF BF y y k k x x +=+=--，即()()12122240kx x m k x x m +-+-=，()22228422401412m km k m k m k k--⨯+-⨯-=++，整理得4m k =-，（*）式可化简为()222212163280k x k x k +-+-=，2212122216328,1212k k x x x x k k -+==++，由()2Δ32120k =->，得212k <，点F 到直线:4l y kx k =-的距离d =，则ABF的面积12121122S AB d x k x x ==-=⋅-=当且仅当22412k k =-，即21,66k k==±时等号成立.所以ABF 面积的最大值为.22.解：（1）因为1m =，所以()()e ln 11(1)x f x x x =-+->-.()()1e ,1x f x f x x -+'='在()1,∞-+上单调递增，且()00f '=.当()1,0x ∈-时，()()0,f x f x '<单调递减；当()0,x ∞∈+时，()()0,f x f x '>单调递增.所以当0x =时，()f x 有极小值为()()00,f f x =无极大值.（2）由（1）知若1m =，则()f x 有最小值()()00,f f x =有唯一零点0x =.若1m <，则1x m x +<+，()()()e ln e ln 110x x f x x m m x =-+->-+- ，此时，()f x 没有零点.若1m >，则()1e ()x f x x m x m=->-+'，令()()g x f x ='，则()g x 在(),m ∞-+上单调递增，由e 0m m m --<-+<，得()e ee e 0m m m m g m ---+-+=-<，又()1010g m=->，所以()0,0x m ∃∈-，使得()00g x =，当()0,x m x ∈-时，()0g x <，即()()0,f x f x '<单调递减；当()0,x x ∞∈+时，()0g x >，即()()0,f x f x '>单调递增，所以()()001ln 0f x f m m <=--<.取()e 11e 0,e 0m m m x m f x ---+=-+=<>，取()e e ln 222e 0,e 2e e mm m m m m x m f x m -+-+=-+>=-=-.设()e ln2(1)x t x x x x =-+->，()1e 1x t x x=--'，在()1,∞+上单调递增，所以()()1e 20t x t '>=->'，所以()()1e 1ln20t x t >=-->，所以()20f x >.所以()0e ,m m x α-∃∈-+，使()0f α=，()0,e m x m β∃∈-+，使()0f β=，所以()f x 有两个零点时，m 的取值范围为1m >.。

2023-2024学年河北省保定市唐县一中高三（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，则A∩B＝（）A．B．C．D．2．已知复数z满足z（2+i7）＝3i27+4i28，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知向量满足，，，则＝（）A．B．C．5D．204．（2x2﹣3x+a）5的展开式的各项系数之和为1，则该展开式中含x7项的系数是（）A．﹣600B．﹣840C．﹣1080D．﹣20405．“碳达峰”是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后开始下降；而“碳中和”是指企业、团体或个人通过植树造林、节能减排等形式，实现二氧化碳“零排放”．某地区二氧化碳的排放量达到峰值a（亿吨）（a＞0）后开始下降（亿吨）与时间t（年）满足函数关系式S＝a•b t，若经过7年，二氧化碳的排放量为（亿吨）．已知该地区近过植树造林、节能减排等形式（亿吨），则该地区要能实现“碳中和”，至少需要经过（）（参考数据：lg2≈0.3）A．38年B．42年C．46年D．48年6．我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量．概率论中有一个重要的结论：若随机变量Y∼B（n，p），当n充分大时，且正态随机变量X的期望和方差与二项随机变量Y的期望和方差相同．法国数学家棣莫弗（1667﹣1754）在1733年证明了，法国数学家、物理学家拉普拉斯（1749﹣1827）在1812年证明了这个结论对任意的实数p∈（0，因此人们把这个结论称为棣莫弗—拉普拉斯极限定理．现抛掷一枚质地均匀的硬币2500次，利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于1200次的概率为（）（附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ），P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）≈0.9973）A．0.99865B．0.97725C．0.84135D．0.658657．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，M，N是C上的两点，满足2N＝F2M，则C的离心率为（）A．B．C．D．8．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，|P A|＝|AD|＝1，|AB|＝（）A．B．C．D．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．若圆O：x2+y2＝r2（r＞0）上恰有两点到直线3x﹣4y﹣10＝0的距离等于1，则r的取值可以是（）A．B．C．D．10．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是棱B1C1，BB1的中点，则下列说法正确的是（）A．A，B，E，D1四点共面B．DF⊥BEC．直线AF与BE所成角的余弦值为D．点E到直线D1F的距离为111．已知函数f（x）＝2（|sin x|+cos x）cos x﹣1（）A．f（x）的图像关于y轴对称B．f（x）是周期为π的周期函数C．f（x）的值域为D．不等式的解集为12．已知a＞0，且e a+lnb＝1，则下列说法正确的是（）A．lna+e b＜0B．a+lnb＜0C．e a+b＞2D．a+b＞1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若tanθ＝3，则sin2θ﹣3cos2θ＝．14．定义在R上的函数f（x）满足以下两个性质：①f（﹣x）+f（x），②f（x）＝f（4﹣x）．15．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，C的准线与x轴交于点G的直线与C交于A，B两点（点A在x轴的上方），则＝．16．已知a＞0，若对任意的，不等式，则a的最小值为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知各项均为正数的数列{a n}满足，且a1a2a3＝8．（1）求{a n}的通项公式；（2）若，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c（sin2B﹣sin A cos C）＝c sin2A．（1）求角B的大小；（2）若点D是线段AC上的一点，且BD＝3，∠BDC＝，求△ABC的周长．19．（12分）在如图所示的空间几何体中，△ACD与△ACB均是等边三角形，直线ED⊥平面ACD，DE⊥BE，点F是线段AB的中点．（1）求证：平面ABC⊥平面ADC；（2）求直线DF与平面ACE所成角的正弦值．20．（12分）神舟十七号（ShenzhouXVII，简称：神十七），为中国载人航天工程的第十七艘飞船．神舟十七号飞船，是中国研制神舟飞船系列的新一型号，技术状态基本一致，根据任务和产品研制需要，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号F遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射．约10分钟后，种舟十七号载人飞船与火箭成功分离，航天员乘组状态良好，发射取得圆满成功．为了宣传航空科普知识，小胡正确完成每道题的概率都是，且每道题正确完成与否互不影响（1）求小胡至少正确完成其中2道题的概率；（2）设随机变量X表示小张正确完成题目的个数，求X的分布列及数学期望；（3）现规定至少正确完成其中2道题才能进入决赛，请你根据所学概率知识，判断小胡和小张两人中选择谁去参加比赛会更好？并说明理由．21．（12分）已知椭圆过点．（1）求E的方程；（2）过x轴上一点P且不与坐标轴平行的直线与E交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点C，且22．（12分）已知函数f（x）＝alnx+cos x（a∈R）．（1）若a＝1，求证：；（2）若，试判断函数f（x）在区间（0，π），并说明理由．（参考数据：lnπ≈1.14）2023-2024学年河北省保定市唐县一中高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，则A∩B＝（）A．B．C．D．解：集合，则．故选：C．2．已知复数z满足z（2+i7）＝3i27+4i28，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：由z（2+i7）＝7i27+4i28，得z（2﹣i）＝2﹣3i，所以，所以，所以在复平面内对应的点为．故选：A．3．已知向量满足，，，则＝（）A．B．C．5D．20解：因为，所以，所以，所以．故选：B．4．（2x2﹣3x+a）5的展开式的各项系数之和为1，则该展开式中含x7项的系数是（）A．﹣600B．﹣840C．﹣1080D．﹣2040解：因为（2x2﹣2x+a）5的展开式的各项系数之和为1，令x＝4，得（﹣1+a）5＝3，解得a＝2，所以（2x2﹣3x+2）5的展开式中含x7项为，所以该展开式中含x2项的系数是﹣2040．故选：D．5．“碳达峰”是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后开始下降；而“碳中和”是指企业、团体或个人通过植树造林、节能减排等形式，实现二氧化碳“零排放”．某地区二氧化碳的排放量达到峰值a（亿吨）（a＞0）后开始下降（亿吨）与时间t（年）满足函数关系式S＝a•b t，若经过7年，二氧化碳的排放量为（亿吨）．已知该地区近过植树造林、节能减排等形式（亿吨），则该地区要能实现“碳中和”，至少需要经过（）（参考数据：lg2≈0.3）A．38年B．42年C．46年D．48年解：由题意，即，解得，令，即，故，即t，可得，即，即该地区要能实现“碳中和”，至少需要经过42年．故选：B．6．我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量．概率论中有一个重要的结论：若随机变量Y∼B（n，p），当n充分大时，且正态随机变量X的期望和方差与二项随机变量Y的期望和方差相同．法国数学家棣莫弗（1667﹣1754）在1733年证明了，法国数学家、物理学家拉普拉斯（1749﹣1827）在1812年证明了这个结论对任意的实数p∈（0，因此人们把这个结论称为棣莫弗—拉普拉斯极限定理．现抛掷一枚质地均匀的硬币2500次，利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于1200次的概率为（）（附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ），P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）≈0.9973）A．0.99865B．0.97725C．0.84135D．0.65865解：抛掷一枚质地均匀的硬币2500次，设硬币正面向上的次数为X，则．由题意X～N（μ，σ2），且μ＝E（X）＝1250，σ7＝D（X）＝625＝252，因为P（μ﹣2σ≤X≤μ+5σ）≈0.9545，即P（1250﹣2×25≤X≤1250+4×25）≈0.9545，所以利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于1200次的概率为．故选：B．7．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，M，N是C上的两点，满足2N＝F2M，则C的离心率为（）A．B．C．D．解：如图，延长NF2与C交于点P，∵，根据对称性可知|F1M|＝|F2P|．设|F2P|＝|F1M|＝t，则|F7M|＝|F2N|＝3t，可得|F5M|﹣|F1M|＝2t＝6a，即t＝a，∴|PN|＝4t＝4a，则|NF3|＝|NF2|+2a＝6a，|F1P|＝|F2M|＝2a，即，可知∠F6PN＝90°，在△PF1F2中，由勾股定理得2+（3a）5＝4c2，解得．故选：A．8．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，|P A|＝|AD|＝1，|AB|＝（）A．B．C．D．解：设外接球的半径为R，因为，所以|PB|2＝|P A|2+|AB|8，所以P A⊥AB，又AB⊥AD，P A∩AD＝A，AD⊂平面P AD，由于AB⊂平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面P AD．由于CD∥AB，所以CD⊥平面P AD，所以CD⊥PD，所以，所以△P AD是等边三角形．设其外心为O6，设E是AD的中点，连接PE，由于平面ABCD⊥平面P AD，平面ABCD∩平面P AD＝AD，所以PE⊥平面ABCD，设AC∩BD＝O1，则O1是矩形ABCD的外接圆的圆心．连接O5E，如图所示1E⊂平面ABCD，所以PE⊥O1E，球心O在O2的正上方也在O2的正上方，故四边形O1OO3E是矩形，因为，所以，所以外接球的表面积为．故选：C．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．若圆O：x2+y2＝r2（r＞0）上恰有两点到直线3x﹣4y﹣10＝0的距离等于1，则r的取值可以是（）A．B．C．D．解：圆心（0，0）到直线7x﹣4y﹣10＝0的距离，因为圆O：x2+y5＝r2（r＞0）上恰有两点到直线5x﹣4y﹣10＝0的距离等于2，所以|d﹣r|＜1，即|2﹣r|＜6．故选：BC．10．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是棱B1C1，BB1的中点，则下列说法正确的是（）A．A，B，E，D1四点共面B．DF⊥BEC．直线AF与BE所成角的余弦值为D．点E到直线D1F的距离为1解：选项A，假设A，B，E，D1四点共面，在正方体ABCD﹣A1B8C1D1中，平面BCC5B1∥平面ADD1A8，又平面BCC1B1∩平面ABED2＝BE，平面ADD1A1∩平面ABED2＝AD1，所以BE∥AD1，又BC5∥AD1，所以BE∥BC1，与BE与BC4不平行矛盾，故假设不成立，即A，B，E，D1四点不共面，故A错误；选项B，以D为坐标原点，DC1所在的直线分别为x轴，y轴，建立空间直角坐标系，如图所示，所以D（7，0，0），3，1），2，8），2，2），所以，所以＝﹣5+2＝0，故B正确；选项C，又A（5，0，所以，又，所以，所以直线AF与BE所成角的余弦值为，故C正确；选项D，因为D8（0，0，6），所以＝＝，又，所以点E到直线D1F的距离为：＝＝1．故选：BCD．11．已知函数f（x）＝2（|sin x|+cos x）cos x﹣1（）A．f（x）的图像关于y轴对称B．f（x）是周期为π的周期函数C．f（x）的值域为D．不等式的解集为解：对于A，因为f（x）＝2（|sin x|+cos x）cos x﹣1的定义域为R，又f（﹣x）＝2[|sin（﹣x）|+cos（﹣x）]cos（﹣x）﹣1＝2（|sin x|+cos x）cos x﹣2＝f（x），所以f（x）是偶函数，所以f（x）的图象关于y轴对称；对于B，因为，，所以，故B错误；对于C，因为f（x）＝2（|sin x|+cos x）cos x﹣1，所以f（x+6π）＝2[|sin（x+2π）|+cos（x+8π）]cos（x+2π）﹣1＝5（|sin x|+cos x）cos x﹣1＝f（x），所以f（x）是周期为2π的周期函数，所以f（x）在[﹣π，π]上的值域即f（x）的值域．当5≤x≤π时，f（x）＝2（|sin x|+cos x）cos x﹣1＝3（sin x+cos x）cos x﹣1＝2sin x cos x+8cos2x﹣1＝sin5x+cos2x＝，又当0≤x≤π时，，所以，又f（x）为偶函数，故f（x）在[﹣π，0]上的值域也为；对于D，因此f（x）的值域为，当4≤x≤π时，，，即，所以，则，又f（x）为偶函数，所以不等式在[﹣π，所以不等式的解集为．故选：AC．12．已知a＞0，且e a+lnb＝1，则下列说法正确的是（）A．lna+e b＜0B．a+lnb＜0C．e a+b＞2D．a+b＞1解：由e a+lnb＝1，可得e a＝1﹣lnb，又a＞7，解得0＜b＜1．当时，e a﹣1＝1，则a＝ln6，又，所以此时lna+e b＞﹣2+e b＞﹣1+1＝7，故A错误；令f（x）＝e x﹣x﹣1，则f′（x）＝e x﹣1，当x＞3时，f′（x）＞0；当x＜0时，f′（x）＜5，所以f（x）≥f（0），即e x≥x+1，由a＞0知，e a＞a+4，所以1＝e a+lnb＞a+1+lnb，所以a+lnb＜6；由e x≥x+1，可得x≥ln（x+1），因为4＜b＜1，所以lnb＜b﹣1a+lnb＜e a+b﹣6，所以e a+b＞2，故C正确；因为e a＝1，所以．令，则b＝e7﹣x，x＞1，a+b＝lnx+e1﹣x，令h（x）＝lnx+e3﹣x，x＞1，则，令u（x）＝e x﹣ex，x＞1x﹣e＞3，所以u（x）在（1，+∞）上单调递增，所以h′（x）＞0，所以h（x）在（8，所以h（x）＞h（1）＝1，所以a+b＞1．故选：BCD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若tanθ＝3，则sin2θ﹣3cos2θ＝．解：因为tanθ＝3，又．故答案为：．14．定义在R上的函数f（x）满足以下两个性质：①f（﹣x）+f（x），②f（x）＝f（4﹣x）．解：当时，，，所以．故答案为：．15．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，C的准线与x轴交于点G的直线与C交于A，B两点（点A在x轴的上方），则＝4．解：由抛物线C：y2＝2px（p＞2），得，则直线AB的方程为，由，消去y得8x6﹣17px+2p2＝5，解得，则有，所以，，可得．故答案为：4．16．已知a＞0，若对任意的，不等式，则a的最小值为．解：恒成立．令g（x）＝xlnx，则，g′（x）＝4+lnx，当时都有g′（x）≥0上单调递增．所以不等式转化为4e ax≥x，即，得，即在上恒成立．令，，则．当，h′（x）＞8；当x∈（4e，h′（x）＜0．所以，得，即a的最小值为．故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知各项均为正数的数列{a n}满足，且a1a2a3＝8．（1）求{a n}的通项公式；（2）若，求数列{b n}的前n项和T n．解：（1）依题意，由，可得（a n+1+a n）（a n+6﹣2a n）＝0，∵a n＞2，n∈N*，∴a n+1+a n＞0，∴a n+7﹣2a n＝0，即a n+4＝2a n，∴＝6，∴数列{a n}是以2为公比的等比数列，又∵a1a3a3＝8，∴，解得a1＝1，∴，n∈N*．（2）由（1）可得，，∴，，两式相减，可得＝＝，∴．18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c（sin2B﹣sin A cos C）＝c sin2A．（1）求角B的大小；（2）若点D是线段AC上的一点，且BD＝3，∠BDC＝，求△ABC的周长．解：（1）因为2a（sin2B﹣sin A cos C）＝c sin3A，由正弦定理得2sin A（sin2B﹣sin A cos C）＝sin C sin6A＝2sin C sin A cos A，又A∈（0，π），所以sin3B﹣sin A cos C＝sin C cos A，所以sin2B＝sin C cos A+sin A cos C＝sin（A+C）＝sin B＝2sin B cos B，又B∈（7，π），所以sin B＞0，所以，所以．（2）因为△ABC的面积为，所以，得ac＝12．因为S△ABC＝S△ABD+S△CBD，所以，所以DC+AD＝4，所以CA＝7．在△ABC中，由余弦定理得CA2＝BA2+BC2﹣2BA•BC cos∠ABC，所以16＝a2+c5﹣ac＝（a+c）2﹣3ac＝（a+c）4﹣3×12，所以，所以△ABC的周长．19．（12分）在如图所示的空间几何体中，△ACD与△ACB均是等边三角形，直线ED⊥平面ACD，DE⊥BE，点F是线段AB的中点．（1）求证：平面ABC⊥平面ADC；（2）求直线DF与平面ACE所成角的正弦值．（1）证明：设平面BDE与直线AC的交点为O，连接BO，因为ED⊥平面ACD，EB⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，所以DE⊥AC，BE⊥AC，又DE∩BE＝E，DE，所以AC⊥平面BDE，因为BO⊂平面BDE，DO⊂平面BDE，DO⊥AC，又△ACD与△ACB均是等边三角形，所以O为AC的中点，且二面角B﹣AC﹣D的平面角为∠BOD，在平面四边形BODE中，因为∠BED＝∠EDO＝∠EBO＝90°，所以∠BOD＝90°，所以平面ABC⊥平面ADC．（2）解：由（1）知，平面ABC⊥平面ADC，因为OD⊥AC，OD⊂平面ADC，又EB⊥平面ABC，所以OD∥EB，同理可得OB∥DE，所以四边形BODE为平行四边形，又DE⊥BE，所以四边形BODE为矩形，以O为坐标原点，OA，OD所在直线分别为x轴，z轴，如图所示，设AC＝2，则，所以，，所以，，设平面ACE的一个法向量为，则，即，令y＝1，则x＝6，所以，设直线DF与平面ACE所成角为θ，则，所以直线DF与平面ACE所成角的正弦值为．20．（12分）神舟十七号（ShenzhouXVII，简称：神十七），为中国载人航天工程的第十七艘飞船．神舟十七号飞船，是中国研制神舟飞船系列的新一型号，技术状态基本一致，根据任务和产品研制需要，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号F遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射．约10分钟后，种舟十七号载人飞船与火箭成功分离，航天员乘组状态良好，发射取得圆满成功．为了宣传航空科普知识，小胡正确完成每道题的概率都是，且每道题正确完成与否互不影响（1）求小胡至少正确完成其中2道题的概率；（2）设随机变量X表示小张正确完成题目的个数，求X的分布列及数学期望；（3）现规定至少正确完成其中2道题才能进入决赛，请你根据所学概率知识，判断小胡和小张两人中选择谁去参加比赛会更好？并说明理由．解：（1）记“小胡至少正确完成其中2道题”为事件A，则，即小胡至少正确完成其中2道题的概率为；（2）由题意可知X的所有可能取值为7，2，3，，，所以X的分布列为：所以；（3）由（1）知，小胡进入决赛的概率为，记“小张至少正确完成其中2道题”为事件B，则，因为P（B）＞P（A），故小张进决赛的可能性更大．21．（12分）已知椭圆过点．（1）求E的方程；（2）过x轴上一点P且不与坐标轴平行的直线与E交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点C，且解：（1）因为椭圆E经过点，所以，解得，则椭圆E的方程为；（2）不妨设P（n，3），A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去x并整理得（2m2+5）y2+4mny+5n2﹣12＝0，当Δ＝（5mn）2﹣4（7m2+3）（7n2﹣12）＝24（4m3﹣n2+6）＞3时，由韦达定理得，所以＝，因为线段AB的中点为，即，所以线段AB的垂直平分线的方程为，令y＝0，解得，所以，因为，所以，整理得，即（4﹣2n2）（2m6+3）＝0，因为5m2+3≠6，所以4﹣2n7＝0，解得，故点P的坐标为或．22．（12分）已知函数f（x）＝alnx+cos x（a∈R）．（1）若a＝1，求证：；（2）若，试判断函数f（x）在区间（0，π），并说明理由．（参考数据：lnπ≈1.14）解：（1）证明：若a＝1，则f（x）＝lnx+cos x，所以，令，所以g′（x）＝，由g′（x）＞0⇒x＞1，g′（x）＜2⇒0＜x＜1，则g（x）在（8，1）上单调递减，+∞）上单调递增，所以g（x）≥g（1）＝0，所以，当x＝8时，cos x＞﹣1，即．（2）解：由题知f′（x）＝，令h（x）＝a﹣x sin x，π），所以h′（x）＝﹣x cos x﹣sin x，当时，显然h′（x）＜0．令，所以u′（x）＝﹣5cos x+x sin x＞0，所以u（x）在上单调递增，又u（）＝﹣1＜0，所以存在0）＝5，所以当时，u（x）＜20，π）时，u（x）＞0，所以当x∈（6，x0）时，h′（x）＜02，π）时，h′（x）＞0，所以h（x）在（0，x4）上单调递减，在（x0，π）上单调递增，又，所以存在，使得h（x1）＝3，存在x2∈（x0，π），使得h（x7）＝0．所以当0＜x＜x4时，h（x）＞0，当x1＜x＜x2时，h（x）＜0，当x2＜x＜π时，h（x）＞2，所以f（x）在（0，x1）上单调递增，在（x3，x2）上单调递减，在（x2，π）上单调递增，所以，当5＜x＜x1且时，，所以f（x）在区间（0，x4）上有一个零点，在区间（x1，x2）上有一个零点．综上，函数f（x）在区间（0，π）有两个零点．。

2022-2023学年度第一学期期末考试高三数学试题第Ⅰ卷选择题（60分）一、单项选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}2,1,0,1,2A =--，52x B x x ∈⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭R 且，则A B ⋂=（）A ．{}0,1,2,3B ．{}1,2C ．{}0,1,2D ．{}2,1,0,1,2--2．若复数1a iz i+=+的实部与虚部相等，则实数a 的值为（）A ．0B ．-1C ．1D ．23．若2:01xp x -≤+，则p 成立的一个必要不充分条件是（）A ．12x -≤≤B ．1x >C ．2x >D ．25x <≤4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1010S =，2030S =，则40S =（）A ．60B ．70C ．80D ．1505．已知函数()2lg 1y x ax =-+在()2,+∞上单调递增，则a 的取值范围为（）A ．5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．[)4,+∞C ．(],4-∞D ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦6．设圆C ：()()22230x y r r -+=>上恰好有三个点到直线4x -3y -2=0的距离等于1，则圆半径r 的值为（）A ．2B ．4C D ．37．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为36寸，盆底直径为12寸，盆深18寸．若某次下雨盆中积水恰好刚刚满盆，则平均降雨量是（注：平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积）（）A ．223寸B ．8寸C ．263寸D ．9寸8．已知函数()sin 03y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间()0,π恰有3个零点，4个极值点，则ω的取值范围是（）A ．1911,63⎛⎤⎥⎝⎦B ．1911,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．811,33⎛⎤⎥⎝⎦D ．811,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、多項选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知双曲线C 的渐近线方程为13y x =±，焦距为，则满足条件的双曲线C 可以是（）A ．2219x y -=B ．2219y x -=C ．2219y x -=D ．2219x y -=10．某城市100户居民月平均用电量（单位：度），以[160，180）、[180，200）、[200，200），[220，240）、[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图所示，则（）A ．0.0075x =B ．月平均用电量的众数为210和230C ．月平均用电量的中位数为224D ．月平均用电量的75%分位数位于区间[240，260）内11．若a >b >1，则下列不等式中成立的是（）A ．aba b>B ．b aa b>C ．1a b ea b +->+D ．ln ba e<12．正方体ABCD -1111A B C D 的棱长为2，O 为底面ABCD 的中心．P 为线段11A D 上的动点（不包括两个端点），则（）A ．不存在点P ，使得1BC ∥平面APOB ．正方体ABCD -1111A BCD 的外接球表面积为12πC ．存在P 点，使得PO ⊥AOD ．当P 为线段11A D 中点时，过A ，P ，O 三点的平面截此正方体ABCD -1111A B C D 外接球所得的截面的面积为269π第Ⅱ卷非选择题（90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量()2,1a =-r ，()1,b t =r ，若()()a b a b +⊥-r r r r，则t 的值为______．14．设椭圆C ：22221x y a b+=（a >b >0）的左，右焦点分别为1F ，2F ，P 是C 上的点，12PF PF ⊥，1245PF F ∠=︒，则C 的离心率为______．15．写出一个数列{}n a 的通项公式，使得这个数列的前n 项积当且仅当n =4时取最大值，则n a =______．（写出一个即可）16．已知函数f （x ）及其导函数()f x '的定义域均为R ，若()1f x '+和f （x +2）+2均为奇函数，则()()()()1232023f f f f +++⋅⋅⋅+=______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数()3213g x x x ax =-+-在()0,+∞上单调递减，设实数a 的取值集合为M ．（1）求M ；（2）若函数lg 2m y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间M 上单调递增，求实数m 的取值范围．18．（12分）已知等差数列{}n a 的通项公式为()22n a n c c =-<，记数列{}n a 的前n 项和为()*n S n ∈N，且数列为等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列14n n n S a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为()*n T n ∈N ，求{}n T 的通项公式．19．（12分）如图，在四棱维P -ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧面PAD 是正三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PE PD λ=uur uu u r（0<λ<1）．（1）若12λ=，求证：PD ⊥平面ABE ；（2）若平面ABE 与平面PAC 的夹角为θ，且5cos 7θ=，求λ的值．20．（12分）在①1sin sin tan 22cos C C B B π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；②32S AB CA =⋅uu u r uu r ；③()tan 2tan c A c b C =-+．三个条件中选一个，补充在下面的横线处，并解答问题．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC △的面积为S ．且满足______．（1）求A 的大小；（2）设ABC △的面积为6，点D 为边BC 的中点，求2AD 的最小值．21．（12分）已知点F （0，1）和直线1l ：y =-1，直线2l 过直线1l 上的动点M 且与直线1l 垂直，线段MF 的垂直平分线l 与直线2l 相交于点P ．（1）求点P 轨迹C 的方程；（2）过点F 的直线l 与C 交于A ，B 两点．若C 上恰好存在三个点()1,2,3i D i =，使得i ABD △的面积等于274，求l 的方程．22．（12分）已知函数()()()1ln 1xf x a e x x x =---++，0a ≥．（1）证明：f （x ）存在唯一零点；（2）设()xg x ae x =+，若存在1x ，()21,x ∈-+∞，使得()()()112f x g x g x =-，证明：12212ln 2x x -≥-．高三数学试题参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．C2．A 3．B 4．D 5．D 6．D 7．C8．A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．AD10．ACD11．AC12．ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．-2或214．215． 4.112n -⎛⎫ ⎪⎝⎭（答案不唯一）16．-4046四、解答题：本题共6小题，共70分．17．（10分）解：（1）因为()3213g x x x ax =-+-，所以()22g x x x a '=-+-．又据题意知，当函数g （x ）在区间()0,+∞上单调递减时，220x x a -++≤对()0,x ∀∈+∞成立，所以()22211a x x x ≥-+=--+对()0,x ∀∈+∞成立，所以1a ≥，即所求实数a 的取值集合为[)1,M =+∞；（2）函数lg 2m y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[)1,+∞上单调递增，由函数性质可得0,20,m m >⎧⎨->⎩所以0<m <2．18．（12分）解：（1）12S c =-，262S c =-，3123S c =-，所以=，解得c =1，所以21n a n =-；（2）由（1）得()21212n n n S n +-==，()()2221444111121214122121n n n S n n a a n n n n n +⎛⎫===+- ⎪-+--+⎝⎭，所以21111111111122111122121241412212122121n n n T n n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++⋅⋅⋅++-=+-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+-+-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦．19．（12分）解：（1）如图，因PAD △为正三角形，AE ⊥PD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD =AD ，AB ⊥AD ，所以AB ⊥平面PAD ．故AB ⊥PD ，AB AE A ⋂=，故PD ⊥平面ABE；（2）在平面PAD 内作Az PQ ∥，则Az ⊥平面ABCD ，即有射线AB ，AD ，Az 两两垂直，以A 为坐标原点，AB ，AD ，Az 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，如图，设AB =2，则A （0，0，0），B （2，0，0），C （2，2，0），D （0，2，0），(P，()0,1E λ+-，则()2,0,0AB =uu u r ，()2,2,0AC =uuu r，()0,1AE λ=+uu u r，(AP =uu u r．设平面ABE 的一个法向量(),,m x y z =u r ，则0,0,m AB m AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r uu u r u r uu u r所以())20,10,x y z λ=⎧⎪⎨++=⎪⎩令33z =，得130,,13m λλ⎛-= +⎝⎭u r ，同理可求得平面PAC的一个法向量为(3,3,n =-r，所以5cos cos 7m n m n m nθ⋅=⋅==u r r u r ru r r ，设11t λλ-=+（t <0），可解得12t =-或t =-3（舍去），即1112λλ-=-+，13λ=．20．（12分）解：（1）选①，由1sin sin tan 22cos C C B Bπ⎛⎫+-=⎪⎝⎭，化简得：1sin cos sin 2cos cos BC CB B-=，所以2cos cos 12sin sin B C C B -=，()1cos 2B C +=，ABC △中，()1cos cos 2B C A +=-=，1cos 2A =-，因为()0,A π∈，23A π=；选②，()331cos sin 222S AB CA A A π=⋅=-=uu u r uu r ，所以tan A =，因为()0,A π∈，23A π=；选③()tan 2tan c A c b C =--，由正弦定理和切化弦得()sin sin sin sin 2sin cos cos A CCC B A C =--，ABC △中，sin 0C ≠，所以2sin cos sin cos sin cos sin sin B A A C C A A C B -=+=+=，ABC △中，sin 0B ≠，因为()0,A π∈，所以1cos 2A =-，得23A π=；（2）由16sin 2ABC S bc A ==△，得bc =，由12AD AB BC =+uuu r uu u r uu u r ，有1122AD AB AC =+uuu r uu u r uuu r ，所以22222111111111424442244AD AB AB AC AC c b bc bc bc ⎛⎫=+⋅+=++-≥== ⎪⎝⎭uuu r uu u r uu u r uuu r uuu r ，当且仅当22b c ==时，等号成立，所以2AD的最小值为21．（12分）解：（1）连接PF ，因为MF 的垂直平分线l 交2l 于点P ，所以PF PM =，即点P 到定点F （0，1）的距离等于点P 到直线1l ：y =-1的距离，由抛物线的定义，点P 的轨迹为抛物线24x y =；（2）如图，作与l 平行且与C 相切的直线l '，切点为D ．由题知ABD △的面积等于274．设l 的方程为y =kx +1，方程24x y =可化为214y x =，则12y x '=，令y k '=，解得x =2k ，将x =2k 代入24x y =，得2y k =，故()22,D k k，所以D 到l的距离d ==，由24,1,x y y kx ⎧=⎨=+⎩消去y ，得2440x kx --=，从而124x x k +=，124x x =-，所以()241AB k =+，故ABD △的面积(21212AB d k ⋅=+，从而(227214k +=，解得=2k=或2k =-．所以l 的方程为12y x =+或12y x =-+．22．（12分）（1）证明：()()()1ln 1xf x a e x x x =---++，0a ≥．()()1111x f x a e x '=--++，()()211x f x ae x ''=++，因为0a ≥时，()0f x ''>恒成立，所以()f x '在()1,-+∞上单调递增，因为()00f '=，所以()f x '在（-1，0）上恒小于0，在()0,+∞上恒大于0，所以f （x ）在（-1，0）上单调递减，在()0,+∞上单调递增，因为()00f '=，所以()f x 有唯一零点0．（2）证明：因为()()()112f x g x g x =-，所以()()2112ln 11xx a x ae x +++=+，若1x 是方程()()11ln 11x a x b +++=的根，则()1ln 1x +是方程22xae x b +=的根．因为()()()11ln 11m x x a x =+++，()22xn x ae x =+都单调递增，所以()21ln 1x x =+，所以()121122ln 1x x x x -=-+，设()()1112ln 1h x x x =-+，()111112111x h x x x -'=-=++，所以()0h x '>的解为()1,+∞，()0h x '<的解为（-1，1），所以h （x ）在（-1，1）上递减，在()1,+∞上递增，所以h （x ）的最小值为h （1）=1-2ln2，即122x x -的最小值为1-2ln2．。

2023-2024学年山东省潍坊市高三（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合P ＝{x |x ＜2}，Q ＝{y |y ＝（12）x }，则P ∩Q ＝（ ）A ．(−∞，14)B ．(0，14)C ．（0，2）D ．∅ 2．已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为（﹣3，4），则z4+3i=（ ）A ．iB ．﹣iC ．1+iD ．1﹣i3．已知角φ的终边落在y =√3x(x ＞0)上，下列区间中，函数f （x ）＝2sin （x +φ）单调递增的区间是（ ） A ．(−π2，0)B ．(0，π2)C ．(π2，π)D ．(π，3π2) 4．已知圆锥的侧面展开图是半径为2√3的半圆，则该圆锥的体积为（ ） A ．√3πB ．2√3πC ．3πD ．9π5．如图，谢尔宾斯基地毯是一种无限分形结构，由波兰数学家谢尔宾斯基于1916年发明．它的美妙之处在于，无论将其放大多少次，它总是保持着相同的结构．它的构造方法是：首先将一个边长为1的正方形等分成9个小正方形，把中间的小正方形抠除，称为第一次操作；然后将剩余的8个小正方形均重复以上步骤，称为第二次操作；依次进行就得到了谢尔宾斯基地毯．则前n 次操作共抠除图形的面积为（ ）A ．18(89)nB ．1−(89)nC ．1−8(19)nD ．18−18(19)n6．若函数f （x ）＝ln |e x ﹣1|﹣mx 为偶函数，则实数m ＝（ ） A ．1B ．﹣1C ．12D ．−127．已知甲：x ≥1，乙：关于x 的不等式x−ax−a−1＜0(a ∈R)，若甲是乙的必要不充分条件，则a 的取值范围是（ ） A ．a ≥1 B ．a ＞1C ．a ＜0D ．a ≤08．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，左顶点为A ，点P 在C 上，且|PF 1|＝2|AF 1|，∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为（ ） A ．√22B ．√32C ．√33D ．12二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分. 9．某校举行演讲比赛，6位评委对甲、乙两位选手的评分如下： 甲：7.5 7.5 7.8 7.8 8.0 8.0 乙：7.5 7.8 7.8 7.8 8.0 8.0 则下列说法正确的是（ ）A ．评委对甲评分的平均数低于对乙评分的平均数B ．评委对甲评分的方差小于对乙评分的方差C ．评委对甲评分的40%分位数为7.8D ．评委对乙评分的众数为7.810．双曲线E ：mx 2+ny 2＝1（m ＞0，n ＜0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在E 上，则（ ） A ．||PF 1|﹣|PF 2||＝2√1m B ．|F 1F 2|＝2√n−mmnC ．E 的离心率为√|mm+n |D ．E 的渐近线方程为y =±√−m nx 11．如图，棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为棱D 1C 1的中点，N 为棱CC 1上的动点，则（ ）A ．直线AM 与BN 为异面直线B ．存在点N ，使得MN ⊥平面BDNC ．当AM ∥平面BDN 时，CN =23D ．当N 为CC 1的中点时，点C 到平面BDN 的距离为√6312．已知函数f （x ）＝ax 2+2x +|x 2+ax +1|（a ∈R ），则（ ） A ．当a ＝﹣1时，f （x ）为增函数B ．若f （x ）有唯一的极值点，则a ＞0C ．当a ≤﹣2时，f （x ）的零点为±1D ．f （x ）最多有2个零点三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 13．已知向量a →，b →满足|a →|＝|b →|＝2，＜a →，b →＞=60°，则|a →−b →|＝ ． 14．已知函数f(x)={ln(−x +e)，x ≤02f(x −1)，x ＞0，则f （2）＝ ．15．无重复数字且各位数字之和为8的三位数的个数为 ．16．已知a n =1n ，若对任意的n （n ∈N *），都有(a 1+2)(a 2+2)⋯(a n +2)≥kn 2，则实数k 的最大值为 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知等比数列{a n }满足a 1=12，a 42=a 6． （1）求{a n }的通项公式； （2）求数列{na n }的前n 项和．18．（12分）如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，点E ，F 在边BC ，AD 上，且CE ＝DF ＝2．将矩形CDFE 沿EF 折起至C 'D 'FE ，使得∠C 'EB ＝60°，M ，N 分别为AB ，C 'D '的中点． （1）证明：EN ⊥平面MNF ；（2）求EN 与平面C ′AE 所成角的正弦值．19．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a +c ＝2√3b ，A −C =π3． （1）求cos B ；（2）若b =√5，求△ABC 的面积．20．（12分）已知函数f （x ）＝a （e x +a ）﹣2lnx （a ＞0），f （x ）的导函数为f '（x ）． （1）当a ＝1时，解不等式f （x ）＞e x ； （2）判断f ′（x ）的零点个数；（3）证明：f(x)≥4+a 2+ln a 24．21．（12分）某人从A 地到B 地有路程接近的2条路线可以选择，其中第一条路线上有n 个路口，第二条路线上有m 个路口．（1）若n ＝2，m ＝2，第一条路线的每个路口遇到红灯的概率均为23；第二条路线的第一个路口遇到红灯的概率为34，第二个路口遇到红灯的概率为35，从“遇到红灯次数的期望”考虑，哪条路线更好？请说明理由．（2）已知：随机变量X i 服从两点分布，且P （x i ＝1）＝1﹣P （x i ＝0）＝P ，则E （∑ n i=1X i ）=∑ n i=1p i ，且E[(∑ n i=1X i )2]=∑ n i=1p i +2∑ i≠j p i p j （i ，j ＝1，2，⋯，n ）．若第一条路线的第i 个路口遇到红灯的概率为12i ，当选择第一条路线时，求遇到红灯次数的方差．22．（12分）在直角坐标系xOy 中，点P 到直线y =92的距离等于点P 到点（0，72）的距离，记动点P 的轨迹为C ．（1）求C 的方程；（2）设A ，B 是C 上位于y 轴两侧的两点，过A ，B 的C 的切线交于点Q ，直线QA ，QB 分别与x 轴交于点M ，N ，求△QMN 面积的最小值．2023-2024学年山东省潍坊市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合P ＝{x |x ＜2}，Q ＝{y |y ＝（12）x }，则P ∩Q ＝（ ）A ．(−∞，14)B ．(0，14)C ．（0，2）D ．∅解：P ＝{x |x ＜2}，Q ＝{y |y ＝（12）x }＝{y |y ＞0}，则P ∩Q ＝（0，2）． 故选：C ．2．已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为（﹣3，4），则z 4+3i=（ ）A ．iB ．﹣iC ．1+iD ．1﹣i解：∵复数z 在复平面内对应点的坐标为（﹣3，4），∴z ＝﹣3+4i ， ∴z 4+3i=−3+4i 4+3i=(−3+4i)(4−3i)(4+3i)(4−3i)=i ．故选：A ．3．已知角φ的终边落在y =√3x(x ＞0)上，下列区间中，函数f （x ）＝2sin （x +φ）单调递增的区间是（ ） A ．(−π2，0)B ．(0，π2)C ．(π2，π)D ．(π，3π2)解：角φ的终边落在y =√3x(x ＞0)上，则φ=π3+2kπ，k ∈Z ， 不妨取当k ＝0时，φ=π3，令−π2+2kπ≤x +π3≤π2+2kπ，k ∈Z ，解得−56π+2kπ≤x ≤π6+2kπ，k ∈Z ， 当k ＝0时，函数f （x ）的单调递增区间为（−56π，π6）， 由选项可知，(−π2，0)符合题意． 故选：A ．4．已知圆锥的侧面展开图是半径为2√3的半圆，则该圆锥的体积为（ ） A ．√3πB ．2√3πC ．3πD ．9π解：设圆锥的底面半径为r ，则2πr ＝π×2√3，解得r =√3， 所以圆锥的高为h =√(2√3)2−(√3)2=3， 所以圆锥的体积为V =13π×(√3)2×3＝3π．故选：C ．5．如图，谢尔宾斯基地毯是一种无限分形结构，由波兰数学家谢尔宾斯基于1916年发明．它的美妙之处在于，无论将其放大多少次，它总是保持着相同的结构．它的构造方法是：首先将一个边长为1的正方形等分成9个小正方形，把中间的小正方形抠除，称为第一次操作；然后将剩余的8个小正方形均重复以上步骤，称为第二次操作；依次进行就得到了谢尔宾斯基地毯．则前n 次操作共抠除图形的面积为（ ）A ．18(89)nB ．1−(89)nC ．1−8(19)nD ．18−18(19)n解：根据题意，设第n 次扣除的图形的面积为a n ， 最初正方形的边长为1，其面积为1，第一次操作中，扣除图形的面积为19，即a 1=19，从第二次操作开始，每次扣除图形的面积为上一次扣除图形面积的89，即a n =89a n ﹣1，故数列{a n }是首项a 1=19，公比为89的等比数列，其前n 项和S n =a 1(1−q n )1−q =19×[1−(89)n]1−89=1﹣（89）n ，即前n 次操作共抠除图形的面积为1﹣（89）n ．故选：B ．6．若函数f （x ）＝ln |e x ﹣1|﹣mx 为偶函数，则实数m ＝（ ） A ．1B ．﹣1C ．12D ．−12解：根据题意，函数f （x ）＝ln |e x ﹣1|﹣mx ， 则f （﹣x ）＝ln |e ﹣x ﹣1|+mx ＝ln |1e x−1|+mx ＝ln |e x ﹣1|﹣x +mx ，函数f （x ）＝ln |e x ﹣1|﹣mx 为偶函数，则f （﹣x ）＝f （x ），即ln |e x ﹣1|﹣x +mx ＝ln |e x ﹣1|﹣mx ， 变形可得：（2m ﹣1）x ＝0，必有m =12． 故选：C ．7．已知甲：x ≥1，乙：关于x 的不等式x−ax−a−1＜0(a ∈R)，若甲是乙的必要不充分条件，则a 的取值范围是（ ） A ．a ≥1B ．a ＞1C ．a ＜0D ．a ≤0解：关于x 的不等式x−a x−a−1＜0(a ∈R)，则a ＜x ＜a +1，甲是乙的必要不充分条件， 则{x |a ＜x ＜a +1}⫋{x |x ≥1}， 故a ≥1． 故选：A ．8．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，左顶点为A ，点P 在C 上，且|PF 1|＝2|AF 1|，∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为（ ） A ．√22B ．√32C ．√33D ．12解：如图，设|AF 1|＝a ﹣c ，则|PF 1|＝2（a ﹣c ），由椭圆的性质可得：|PF 2|＝2c ，所以在△PF 1F 2中，∠PF 2F 1＝60°，由余弦定理可得：cos ∠PF 2F 1=|PF 2|2+|F 1F 2|2−|PF 1|22|PF 2|⋅|F 1F 2|=12，化简得：a ＝2c ，所以e =12． 故选：D ．二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分. 9．某校举行演讲比赛，6位评委对甲、乙两位选手的评分如下： 甲：7.5 7.5 7.8 7.8 8.0 8.0 乙：7.5 7.8 7.8 7.8 8.0 8.0 则下列说法正确的是（ ）A．评委对甲评分的平均数低于对乙评分的平均数B．评委对甲评分的方差小于对乙评分的方差C．评委对甲评分的40%分位数为7.8D．评委对乙评分的众数为7.8解：甲的平均数为x=16×（7.5+7.5+7.8+7.8+8.0+8.0）=46.66，乙的平均数为y=16×（7.5+7.8+7.8+7.8+8.0+8.0）=46.96，所以甲评分的平均数低于乙评分的平均数，选项A正确；甲的平均数约为7.8，方差为s x2=16×[（﹣0.3）2+（﹣0.3）2+02+02+0.22+0.22]=0.266，乙的平均数约为7.8，方差为s y2=16×[（﹣0.3）2+02+02+02+0.22+0.22]=0.176，所以甲评分的方差大于乙评分的方差，选项B错误；因为6×40%＝2.4，所以甲评分的40%分位数是第3个数，为7.8，选项C正确；乙评分的众数为7.8，选项D正确．故选：ACD．10．双曲线E：mx2+ny2＝1（m＞0，n＜0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P在E上，则（）A．||PF1|﹣|PF2||＝2√1m B．|F1F2|＝2√n−mmnC．E的离心率为√|mm+n |D．E的渐近线方程为y=±√−mnx解：mx2+ny2＝1，则x21m−y2−1n=1，即a=√1m，b=√−1n，c=√a2−b2=√1m +(−1n)=√1m−1n=√n−mmn，||PF1|﹣|PF2||＝2a=2√1m，故A正确；|F1F2|＝2c＝2√n−mmn，故B正确；E的离心率为ca =√n−mn，故C错误；E的渐近线方程为y=±√−mnx，故D正确．故选：ABD．11．如图，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱D1C1的中点，N为棱CC1上的动点，则（）A ．直线AM 与BN 为异面直线B ．存在点N ，使得MN ⊥平面BDNC ．当AM ∥平面BDN 时，CN =23D ．当N 为CC 1的中点时，点C 到平面BDN 的距离为√63解：以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，对于A ：因为A ，B ，M 在平面ABC 1D 1内，N 在平面ABC 1D 1外，所以AM 与BN 是异面直线，故A 正确；对于B ：N(0，2，a)，NM →=(0，−1，2−a)，DB →⋅NM →=−2，所以DB 与MN 不垂直，故MN 与平面BDN 不垂直，故B 错误；对于C ：若CN =23，则B(2，2，0)，N(0，2，23)，DB →=(2，2，0)，DN →=(0，2，23)，设平面BDN 的法向量为n →1＝（x 1，y 1，z 1），则{2x 1+2y 1=02y 1+23z 1=0，令x 1=1，则n →1=(1，−1，3)，A(2，0，0)，M(0，1，2)，所以AM →=(−2，1，2)，AM →⋅n →1=−2−1+6≠0，故C 错误； 对于D ：N(0，2，1)，DN →=(0，2，1)，DB →=(2，2，0)， 设平面BDN 的法向量为n 2→=（x 2，y 2，z 2），则{2x 2+2y 2=02y 2+z 2=0，令x 2=1，n 2→=(1，−1，2)，又C(0，2，0)，CN →=(0，0，1)，所以点C 到平面BDN 的距离为|CN →⋅n 2→||n 2→|=√6=√63，故D 正确． 故选：AD ．12．已知函数f （x ）＝ax 2+2x +|x 2+ax +1|（a ∈R ），则（ ） A ．当a ＝﹣1时，f （x ）为增函数B ．若f （x ）有唯一的极值点，则a ＞0C ．当a ≤﹣2时，f （x ）的零点为±1D ．f （x ）最多有2个零点解：对于A 选项，当a ＝﹣1时，f （x ）＝﹣x 2+2x +|x 2﹣x +1|，因为x 2﹣x +1＝（x −12）2+34＞0，所以f （x ）＝﹣x 2+2x +x 2﹣x +1＝x +1，函数单调递增，故A 正确； 对于B 选项，当a ＝0时，f （x ）＝x 2+2x +1有一个极值点，故B 错误； 对于选项C ，当a ≤﹣2时，设x 2+ax +1＝0的两根分别为x 1，x 2且x 1≤x 2， 则x 1+x 2＝﹣a ≥2，x 1x 2＝1，所以0＜x 1≤1，x 2≥1，当x ＜x 1或x ＞x 2时，f （x ）＝（a +1）x 2+（a +2）x +1，图像开口向下，对称轴为x =−a+22(a+1)＜0，f （﹣1）＝0，当x 1＜x ＜x 2时，f （x ）＝（a ﹣1）x 2+（2﹣a ）x ﹣1，图像开口向下，对称轴为x =a−2a−1＞0，f （1）＝0，如下图所示，故C 正确；对于D 选项，由选项C 可知，当a ≤﹣2时，f （x ）有两个零点，当﹣2＜a ≤2时，Δ＝a 2﹣4＜0，所以f （x ）＝（a +1）x 2+（a +2）x +1至多有两个零点，当a ＞2时，设x 2+ax +1＝0的两根为x 1，x 2，且x 1≤x 2，则x 1+x 2＝﹣a ＜﹣2，x 1x 2＝1，所以x 1＜﹣2，﹣1＜x 2＜0，当x ＜x 1或x ＞x 2时，f （x ）＝（a +1）x 2+（a +2）x +1，图像开口向上，对称轴为x =−a+22(a+1)＜−12，f （0）＝1，f （﹣1）＝0，当x 1＜x ＜x 2时，f （x ）＝（a ﹣1）x 2+（2﹣a ）x ﹣1，图像开口上，对称轴为x ＝a ﹣2∈（0，1），f （1）＝0，f （0）＝﹣1，f （﹣1）＝2（a ﹣2）＞0，如下图所示，故D 正确．故选：ACD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13．已知向量a →，b →满足|a →|＝|b →|＝2，＜a →，b →＞=60°，则|a →−b →|＝ 2 ．解：因为|a →|＝|b →|＝2，＜a →，b →＞=60°，所以(a →−b →)2=a →2−2a →•b →+b →2=22﹣2×2×2×cos60°+22＝4， 所以|a →−b →|＝2．故答案为：2．14．已知函数f(x)={ln(−x +e)，x ≤02f(x −1)，x ＞0，则f （2）＝ 4 ． 解：因为f(x)={ln(−x +e)，x ≤02f(x −1)，x ＞0， 则f （2）＝2f （1）＝4f （0）＝4lne ＝4．故答案为：4．15．无重复数字且各位数字之和为8的三位数的个数为 24 ．解：无重复数字且之和为8的三个数有：0，1，7；0，2，6；0，3，5；1，2，5；1，3，4，当三个数为0，1，7时，组成三位数的个数为C 21⋅A 22=4个，当三个数为0，2，6时，组成三位数的个数为C 21⋅A 22=4个，当三个数为0，3，5时，组成三位数的个数为C 21⋅A 22=4个，当三个数为1，2，5时，组成三位数的个数为A 33=6个，当三个数为1，3，4时，组成三位数的个数为A 33=6个，所以一共有4+4+4+6+6＝24个．故答案为：24．16．已知a n =1n ，若对任意的n （n ∈N *），都有(a 1+2)(a 2+2)⋯(a n +2)≥kn 2，则实数k 的最大值为 158 ．解：a n =1n ，若对任意的n （n ∈N *），都有(a 1+2)(a 2+2)⋯(a n +2)≥kn 2，可得k ≤(1+2)(12+2)...(1n +2)n 2恒成立， 设b n =(1+2)(12+2)...(1n +2)n 2，则b n +1=(1+2)(12+2)...(1n +2)(1n+1+2)(n+1)2， b n+1b n =n 2(1n+1+2)(n+1)2=2n 3+3n 2(n+1)3，由2n 3+3n 2﹣（n +1）3＝2n 3+3n 2﹣n 3﹣3n 2﹣3n ﹣1＝n 3﹣3n ﹣1，当n ＝1时，2n 3+3n 2＜（n +1）3；当n ≥2时，2n 3+3n 2＞（n +1）3；即有b 1＞b 2＜b 3＜b 4＜...＜b n ，则b 2为b n 的最小值，且为158， 则k ≤158，即k 的最大值为158． 故答案为：158．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知等比数列{a n }满足a 1=12，a 42=a 6．（1）求{a n }的通项公式；（2）求数列{na n }的前n 项和．解：（1）因为等比数列{a n }满足a 1=12，a 42=a 6，所以（12q 3）2=12q 5， 解得，q ＝2，故a n =12×2n−1=2n ﹣2； （2）由（1）得na n ＝n •2n ﹣2，设数列{na n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1×2﹣1+2×20+3×2+•+n •2n ﹣2， 2S n ＝1×20+2×21+•+（n ﹣1）•2n ﹣2+n •2n ﹣1，两式相减得，﹣S n ＝2﹣1+20+•+2n ﹣2﹣n •2n ﹣1=12(1−2n )1−2−n •2n ﹣1＝（1﹣n ）•2n ﹣1−12， 所以S n ＝（n ﹣1）•2n ﹣1+12． 18．（12分）如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，点E ，F 在边BC ，AD 上，且CE ＝DF ＝2．将矩形CDFE 沿EF 折起至C 'D 'FE ，使得∠C 'EB ＝60°，M ，N 分别为AB ，C 'D '的中点．（1）证明：EN ⊥平面MNF ；（2）求EN 与平面C ′AE 所成角的正弦值．解：（1）证明：在矩形C 'D 'FE 中，C 'N ＝C 'E ＝2，∠C '＝90°，所以∠C 'NE ＝45°，同理∠D 'NF ＝45°，故EN ⊥NF ①，连结BC '、ME ，在△BEC ′中，由余弦定理知：BC ′2＝EB 2+EC ′2﹣2EB •EC ′•cos ∠C ′EB ＝16+4﹣8＝12，所以BC ′=2√3，MN =2√3，又因为NE =√C′N 2+C′E 2=√4+4=2√2，ME =√BM 2+BE 2=√4+16=2√5，所以ME 2＝MN 2+NE 2，所以∠ENM ＝90°，即 EN ⊥MN ②，由①，②及MN ∩NF ＝N 可得EN ⊥平面MNF ；（2）以E 为坐标原点，EF ，EB 所在直线为x ，y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 E ﹣xyz ． 则E （0，0，0），C ′(0，1，√3)，A （4，4，0），N(2，1，√3)，EC ′→=（0，1，√3），EA →=(4，4，0)，设平面C ′AE 的法向量n →=（x ，y ，z ），则{y +√3z =04x +4y =0， 令x =√3，则y =−√3，z =1，所以n →=（√3，−√3，1），因为EN →=(2，1，√3)，所以cos ＜n →，EN →＞=n⋅EN→|n|EN →|=2√3√7×√8=√4214， 所以EN 与平面C ′AE 所成角的正弦值为√4214． 19．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a +c ＝2√3b ，A −C =π3．（1）求cos B ；（2）若b =√5，求△ABC 的面积．解：（1）△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a +c ＝2√3b ，A −C =π3．所以由正弦定理可得：sin A +sin C ＝2√3sin B ，因为A ﹣C =π3，A +B +C ＝π，所以C =π3−B 2，A =2π3−B 2，所以sin （2π3−B 2）+sin （π3−B 2）＝2√3sin B ， 即sin 2π3cos B 2−cos 2π3sin B 2+sin π3cos B 2−cos π3sin B 2=2√3sin B ， √3cos B2=2√3sin B ，所以cos B 2=4sin B 2cos B 2， 因为0＜B 2＜π2，所以sin B 2=14， 所以cos B ＝1﹣2sin 2B2=78；（2）由余弦定理可得b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ，即5＝（a +c ）2﹣2ac −74ac ，5＝（2√3b ）2−154ac ， 得ac =443，因为cos B =78，所以sin B =√158，所以S △ABC =12ac sin B =11√1512． 20．（12分）已知函数f （x ）＝a （e x +a ）﹣2lnx （a ＞0），f （x ）的导函数为f '（x ）．（1）当a ＝1时，解不等式f （x ）＞e x ；（2）判断f ′（x ）的零点个数；（3）证明：f(x)≥4+a 2+ln a 24．解：（1）当a ＝1时，f （x ）＝e x +1﹣2lnx ＞e x ，所以lnx ＜12，所以0＜x ＜√e ，所以不等式的解集为(0，√e)．（2）函数f （x ）的定义域为(0，+∞)，f ′(x)=ae x −2x =axe x −2x ． 令g （x ）＝axe x ﹣2，则g ′（x ）＝a （x +1）e x ＞0，所以g （x ）在区间（0，+∞）上单调递增．又因为g(0)=−2＜0，g(2a )=2e 2a −2=2(e 2a −1)＞0，所以存在x 0∈(0，2a )使得g （x 0）＝0，所以f ′（x ）在区间（0，+∞）上有且只有一个零点x 0．（3）证明：由（2）知，当x ∈（0，x 0）时，f ′（x ）＜0，f （x ）在（0，x 0）上单调递减，当x ∈（x 0，+∞）时，f ′（x ）＞0，f （x ）在（x 0，+∞）上单调递增，所以f(x)⩾f(x 0)=a(e x 0+a)−2lnx 0．因为ax 0e x 0−2=0，所以ae x 0=2x 0，lna +x 0=ln2−lnx 0． 所以f(x 0)=a(e x 0+a)−2lnx 0=2x 0+a 2−2(ln2−lna −x 0) =2x 0+2x 0+a 2+ln a 24⩾4+a 2+ln a 24， 所以f(x)⩾4+a 2+ln a 24． 21．（12分）某人从A 地到B 地有路程接近的2条路线可以选择，其中第一条路线上有n 个路口，第二条路线上有m 个路口．（1）若n ＝2，m ＝2，第一条路线的每个路口遇到红灯的概率均为23；第二条路线的第一个路口遇到红灯的概率为34，第二个路口遇到红灯的概率为35，从“遇到红灯次数的期望”考虑，哪条路线更好？请说明理由．（2）已知：随机变量X i 服从两点分布，且P （x i ＝1）＝1﹣P （x i ＝0）＝P ，则E （∑ n i=1X i ）=∑ n i=1p i ，且E[(∑ n i=1X i )2]=∑ n i=1p i +2∑ i≠j p i p j （i ，j ＝1，2，⋯，n ）．若第一条路线的第i 个路口遇到红灯的概率为12i ，当选择第一条路线时，求遇到红灯次数的方差．解：（1）应选择第一条路线，理由如下：设走第一、二条路线遇到的红灯次数分别为随机变量X 1，X 2，则X 1＝0，1，2；X 2＝0，1，2；P （X 1＝0）=(13)2=19，P(X 1=1)=C 21×23×13=49，P(X 1=2)=C 22⋅(23)2=49， 所以E(X 1)=49+89=43； 又因为P(X 2=0)=14×25=110，P （X 2＝1）=34×25+14×35=920，P(X 2=2)=34×35=920；所以E(X 2)=920+2×920=2720； 因为43＜2720，所以应选择第一条路线．（2）设选择第一条路线时遇到的红灯次数为X ，所以E （X ）＝E （∑ n i=1X i ）=∑ n i=1p i ，E （X 2）=E[(∑ n i=1X i )2]=∑ n i=1p i +2∑ i≠j p i p j （i ，j ＝1，2，⋯，n ）． 设随机变量Y ，Y 取值为Y i （i ＝1，2，3，⋯，n ），其概率分别为q i ，且∑ n i=1q i ＝1，D （Y ）=∑ n i=1{[Y i −E(Y)]2q i }=∑ n i=1{Y i 2•q i ﹣2E （Y ）•Y i q i +[E （Y ）]2•q i }=∑ n i=1Y i 2q i ﹣2E （Y ）•∑n i=1（Y i q i ）+[E （Y ）]2•∑ n i=1q i ＝E （Y 2）﹣[E （Y ）]2，所以D （X ）＝E （X 2）﹣（E （X ））2=∑ n i=1pp i +2∑ i≠j pp i p j −(∑ n i=1p i )2=∑ n i=1pp i +2∑ i≠j pp i p j ﹣（∑ n i=1p i 2+2∑ i≠j p i p j ）=∑ n i=1（p i −p i 2）； 又因为p i =12i ，所以D （X ）=∑ n i=112i −∑ n i=114i =12×(1−12n )1−12−14×(1−14n )1−14=23+13×4n −12n ． 22．（12分）在直角坐标系xOy 中，点P 到直线y =92的距离等于点P 到点（0，72）的距离，记动点P 的轨迹为C ．（1）求C 的方程；（2）设A ，B 是C 上位于y 轴两侧的两点，过A ，B 的C 的切线交于点Q ，直线QA ，QB 分别与x 轴交于点M ，N ，求△QMN 面积的最小值．解：（1）设P （x ，y ），则√x 2+(y −72)2=|y −92|，整理得x 2＝8﹣2y ；（2）设A(a ，4−a 22)，B(b ，4−b 22)，不妨设a ＜0＜b ，因为y =4−x 22，所以y '＝﹣x ， 所以过点A 的切线方程为y −(4−a 22)=−a(x −a)，即y =−ax +4+a 22，同理可得过点B 的切线方程y =−bx +4+b 22，联立QA，QB方程，得Q(a+b2，8−ab2)，令y＝0，得M(4a+a2，0)，N(4b+b2，0)，所以|MN|=4(a−b)ab+b−a2，所以△QMN的面积S=12|MN|×(8−ab2)=12[4(a−b)ab+b−a2](8−ab2)，因为﹣a＞0，所以S=12|4[b+(−a)]−ab+b+(−a)2|(8−ab2)≥12（4×2√−ab−ab+2√−ab2）(8−ab2)≥（4√−ab−ab+√−ab2）(8−ab2)，令√−ab=t，得S min=(4t+t2)(8+t 22)=14(t3+16t+64t)，所以S′=14(3t2+16−64t2)，令S'＝0，得t2=83，经检验，满足题意，所以当t=2√63时，S min=64√69．。

2023-2024学年河北省张家口市高三（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|x﹣2＞0}，B＝{x||x﹣1|≤3}，则A∩B＝（）A．{x|2＜x≤3}B．{x|2＜x≤4}C．{x|﹣2＜x≤4}D．{x|﹣2≤x＜2}2．已知复数，则＝（）A．8+i B．8﹣i C．1+i D．12+i3．我国周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例．在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和．在3，4，5，6，8，12，13这8个数中任取3个数（）A．B．C．D．4．已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线与下底面所成的角为（）A．5πB．6πC．11πD．12π5．（2+x）6的展开式中，x4的系数为（）A．30B．60C．120D．326．某工厂生产过程中产生的废水含有毒物质，需循环过滤后排放，过滤过程中有毒物质的含量W（mg/L）（h）之间的关系为，若循环过滤2h后消除了10%的有毒物质（）A．70%B．71%C．73%D．76%7．已知双曲线与椭圆有相同的焦点F1，F2，且双曲线C 与椭圆E在第一象限的交点为P，若△F1PF2的面积为，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．8．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝﹣f（3﹣x），f（x）（5﹣x），且f（4）＝2*，则＝（）A．0B．﹣2C．2D．﹣4二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知数列{a n}是公比为q的等比数列，数列{b n}是公差为d的等差数列，且a1＝b1＝1，a9＝b9，则下列选项正确的有（）A．若q＜0，则d＜0B．若q＞1，则d＞0C．若q＞1，则a5＜b5D．若d＝3，则a5＝±510．如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面P AB⊥平面ABC，AC＝CB，P A＝PB＝AB，E，M为EB的中点，F 是棱PC上的点，则下列选项正确的有（）A．平面AEF⊥平面P AB B．E为PB的中点C．PF＝3FC D．CM∥平面AEF11．已知ω＞0，函数，下列选项正确的有（）A．当ω＝2时，函数f（x）的图象向右平移个单位长度后得到函数y＝cos2x的图象B．将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后得到函数y＝sinωx的图象，则实数ω的最小值为C．若f（x）在区间上单调递增，则ω的取值范围是D．若f（x）在区间（0，π）上只有一个零点，则ω的取值范围是12．已知椭圆的离心率为，F1，F2为椭圆C的左、右焦点，P是椭圆C的上顶点，过F1的直线l交椭圆C于A，B两点，则下列选项正确的有（）A．△PF1F2为等边三角形B．直线AP，BP的斜率之积为C．|P A|≤2bD．当直线l与PF2垂直时，若△P AB的周长为16，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知，则＝．14．已知向量，的夹角为，||＝1，|，则|2+3．15．过圆M：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝9内一点P（2，2）作相互垂直的两条弦AB和CD，若，则|CD|＝．16．已知函数f（x）＝e x（2x﹣1）﹣a（x﹣1）在R上无零点，则实数a的取值范围是．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.17．（10分）某公司男女职工人数相等，该公司为了解职工是否接受去外地长时间出差，进行了如下调查：在男女职工中各随机抽取了100人，男职工和女职工接受去外地长时间出差的人数分别为40和20．（1）根据所给数据，完成下面2×2列联表，并依据小概率值α＝0.005的独立性检验单位：人．（2）若将频率视为概率，用样本估计总体，从该公司中随机抽取5人，求X的数学期望．附表：附：，其中n＝a+b+c+d．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，PC＝PD，∠CDA＝∠PBA．（1）证明：AD⊥平面P AC；（2）求平面PBC与平面P AB夹角的余弦值．19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c（1）若a＝3，，求△ABC的面积；（2）已知AD为边BC的中线，且，求a+c的最大值．20．（12分）已知数列{a n}满足a1＝﹣1，a n+1＝．（1）若b n＝a2n﹣1+2，证明：数列{b n}为等比数列；（2）求数列{a n}的前2n项和S2n．21．（12分）已知定点，点D是直线上一动点1，l1与线段DF的中垂线交于点M，动点M的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）不过点P（2，2）的直线l2：x＝my+b与曲线C交于A，B两点，以AB为直径的圆经过点P2过定点．22．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣ax+xlnx．（1）若函数f（x）在（1，f（1））处的切线经过点（2，1）；（2）若f（x）+e﹣x≥0恒成立，求a的取值范围．2023-2024学年河北省张家口市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|x﹣2＞0}，B＝{x||x﹣1|≤3}，则A∩B＝（）A．{x|2＜x≤3}B．{x|2＜x≤4}C．{x|﹣2＜x≤4}D．{x|﹣2≤x＜2}解：集合A＝{x|x﹣2＞0}＝{x|x＞3}，B＝{x||x﹣1|≤3}＝{x|﹣5≤x≤4}，则A∩B＝{x|2＜x≤8}．故选：B．2．已知复数，则＝（）A．8+i B．8﹣i C．1+i D．12+i解：复数＝＝＝＝4﹣i，则＝8+i．故选：A．3．我国周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例．在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和．在3，4，5，6，8，12，13这8个数中任取3个数（）A．B．C．D．解：在这8个数中任取3个数共有＝56种取法，能组成勾股定理关系的有（3，5，5），8，10），12，共4组，∴这3个数恰好可以组成勾股定理关系的概率为P＝．故选：D．4．已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线与下底面所成的角为（）A．5πB．6πC．11πD．12π解：根据题意，设圆台的上、R，母线长为l，则r＝1，R＝2，则l＝（R﹣r）÷cos，故该圆台的表面积S＝π+4π+π（R+r）l＝11π．故选：C．5．（2+x）6的展开式中，x4的系数为（）A．30B．60C．120D．32解：（2+x）6的展开式中含x6的项为，其系数为．故选：B．6．某工厂生产过程中产生的废水含有毒物质，需循环过滤后排放，过滤过程中有毒物质的含量W（mg/L）（h）之间的关系为，若循环过滤2h后消除了10%的有毒物质（）A．70%B．71%C．73%D．76%解：设W t为过滤过程中有毒物质的含量与时间t（h）的函数，由题意知，，又W2＝（1﹣10%）W5＝90%W0，故，所以e﹣2k＝90%＝3.9，设W6＝xW7，则．故选：C．7．已知双曲线与椭圆有相同的焦点F1，F2，且双曲线C 与椭圆E在第一象限的交点为P，若△F1PF2的面积为，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．解：根据题意，设P（m，，n）椭圆，则其焦点为（6，0）1、F8分别为（2，0）和（﹣5，则有c＝|F1F2|＝3，△F1PF2的面积为，则×n×|F8F2|＝，解可得n＝，又由P（m，n）在椭圆上，解可得m＝，即P（，）对于双曲线，有，解可得b2＝6，a2＝3，则双曲线C的离心率e＝＝＝．故选：A．8．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝﹣f（3﹣x），f（x）（5﹣x），且f（4）＝2*，则＝（）A．0B．﹣2C．2D．﹣4解：由f（x）＝﹣f（3﹣x），f（x）＝f（5﹣x），所以﹣f（8+x）＝f（4+x），所以f（x）＝f（4+x），故f（x）是以5为周期的周期函数，又f（x）＝f（5﹣x），所以f（1）＝f（4）＝2，又f（x）＝﹣f（3﹣x），所以f（1）＝﹣f（2）＝2，所以f（2）＝f（3）＝﹣2，故f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝7，所以f（i）＝2×3+f（1）+f（2）+f（3）＝2﹣2﹣3＝﹣2．故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知数列{a n}是公比为q的等比数列，数列{b n}是公差为d的等差数列，且a1＝b1＝1，a9＝b9，则下列选项正确的有（）A．若q＜0，则d＜0B．若q＞1，则d＞0C．若q＞1，则a5＜b5D．若d＝3，则a5＝±5解：由a9＝b9，得q3＝1+8d．A选项，，所以A错误；B选项，当q＞1时，q5＝1+8d＞3，所以d＞0；C选项，由B选项知，d＞0n＞6，b n＞0，，即a5＜b5，所以C正确；D选项，当d＝4时，a9＝q8＝2+8d＝25，所以q4＝8，a5＝a1q8＝5，所以D错误．故选：BC．10．如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面P AB⊥平面ABC，AC＝CB，P A＝PB＝AB，E，M为EB的中点，F 是棱PC上的点，则下列选项正确的有（）A．平面AEF⊥平面P AB B．E为PB的中点C．PF＝3FC D．CM∥平面AEF解：对于A选项，由PB⊥平面AEF，所以平面AEF⊥平面P AB；对于B选项，因为PB⊥平面AEF，又△P AB为等边三角形，故B正确；对于C选项，因为PB⊥平面AEF，设△P AB的边长为2，则BC＝2，AB＝BC＝2，取AB的中点O，连接CO，CO＝×2＝AB＝，所以PC＝＝＝2，在△BPC中，由余弦定理，在△PEF点，cos∠BPC＝＝＝，FC＝PC﹣PF＝2﹣＝，所以PF＝3FC；对于D选项，由上知，又M为EB的中点，所以CM∥FE，又FE⊂平面AEF，CM⊄平面AEF，故D正确．故选：ABD．11．已知ω＞0，函数，下列选项正确的有（）A．当ω＝2时，函数f（x）的图象向右平移个单位长度后得到函数y＝cos2x的图象B．将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后得到函数y＝sinωx的图象，则实数ω的最小值为C．若f（x）在区间上单调递增，则ω的取值范围是D．若f（x）在区间（0，π）上只有一个零点，则ω的取值范围是解，当ω＝2时，，所以函数f（x）的图象向右平移个单位长度后得；由题意，得，所以，得，又ω＞2，所以实数ω的最小值为；若f（x）在上单调递增，则，解得，又ω＞7，成立；若f（x）在（0，π）上只有一个零点，则，．故选：BCD．12．已知椭圆的离心率为，F1，F2为椭圆C的左、右焦点，P是椭圆C的上顶点，过F1的直线l交椭圆C于A，B两点，则下列选项正确的有（）A．△PF1F2为等边三角形B．直线AP，BP的斜率之积为C．|P A|≤2bD．当直线l与PF2垂直时，若△P AB的周长为16，则解：因为离心率e ＝＝，可得a ＝3c ＝c ，即＝，A 中，因为F 1，F 8为椭圆C 的左、右焦点，b ）1F 2为等腰三角形， 又b ＝•2c 6F 2为等边三角形，所以A 正确；B 中，当直线l 的斜率为0时，8），0）AP •k BP ＝•＝﹣＝﹣，当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为x ＝my ﹣c 1，y 3），B （x 2，y 2），联立，整理可得（4+3m 6）y 2﹣6mcy ﹣7c 2＝0，可得y 5+y 2＝，y 6y 2＝﹣，所以k AP •k BP ＝•＝＝＝＝＝，代数式随m 的变化而变化，所以B 不正确；C 中，当A 在下顶点时c ，当A 在长轴上时，|P A |＝a ＝2c ＜3c ，所以|P A |≤2b ，所以C 正确；D 中，l ⊥PF 4时，因为△PF 1F 2为等边三角形，所以l 为PF 3的中垂线， 所以直线l 的斜率为，且|P A |＝|AF 7|，|PB |＝|BF 2|，所以△P AB 的周长等于△ABF 2的周长6a ＝16，所以a ＝4，b ＝2，所以椭圆的方程为：+＝3，则直线AB 的方程为x ＝y ﹣26，y 1），B （x 2，y 4），联立，整理可得：13y 6﹣12y ﹣36＝0，可得y 3+y 2＝，y 8y 2＝﹣，所以|AB|＝•＝2＝．故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知，则＝﹣．解：，则＝cos2x＝2cos2x﹣6＝2×（）2﹣1＝﹣1＝﹣．故答案为：﹣．14．已知向量，的夹角为，||＝1，|，则|2+32．解：因为向量，的夹角为，|，||＝8，所以＝＝﹣1，所以|8+3＝＝＝．故答案为：．15．过圆M：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝9内一点P（2，2）作相互垂直的两条弦AB和CD，若，则|CD|＝．解：圆M的圆心为M（2，1），所以|PM|＝3，设圆心M到直线AB和CD的距离分别为d1，d2，所以，又因为，所以，解得，所以．又因为，解得．故答案为：．16．已知函数f（x）＝e x（2x﹣1）﹣a（x﹣1）在R上无零点，则实数a的取值范围是．解：当x＝1时，f（1）＝e≠0；当x≠2时，令f（x）＝e x（2x﹣1）﹣a（x﹣7）＝0，得，设，则，则g（x）在区间（﹣∞，3）上，函数g（x）单调递增；g（x）在区间（0，1）上，函数g（x）单调递减；g（x）在区间上，g′（x）＜4；g（x）在区间上，g′（x）＞5，又，则当x→﹣∞时，g（x）→0，g（x）→+∞，则函数g（x）的图象如图所示，所以当时，函数f（x）在R上无零点．故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.17．（10分）某公司男女职工人数相等，该公司为了解职工是否接受去外地长时间出差，进行了如下调查：在男女职工中各随机抽取了100人，男职工和女职工接受去外地长时间出差的人数分别为40和20．（1）根据所给数据，完成下面2×2列联表，并依据小概率值α＝0.005的独立性检验单位：人．（2）若将频率视为概率，用样本估计总体，从该公司中随机抽取5人，求X的数学期望．附表：附：，其中n＝a+b+c+d．解：（1）依题意，列出2×2列联表如下：零假设为H3：是否接受去外地长时间出差与性别相互独立，即是否接受去外地长时间出差与性别无关，所以，根据小概率值α＝7.005的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为是否接受去外地长时间出差与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005；（2）由题意，接受去外地长时间出差的频率为，所以接受去外地长时间出差的概率为．随机变量X的可能取值为0，7，2，3，2，5，由题意，得X～，所以X的数学期望．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，PC＝PD，∠CDA＝∠PBA．（1）证明：AD⊥平面P AC；（2）求平面PBC与平面P AB夹角的余弦值．（1）证明：因为P A⊥平面ABCD，所以P A⊥AB，P A⊥AC，又PC＝PD，P A＝P A，所以AC＝AD＝AB＝BC，又P A＝AB，所以∠PBA＝45°＝∠CDA．又AC＝AD，所以∠DAC＝90°，又P A⊥AD，AC∩P A＝A，所以AD⊥平面P AC；（2）解：由（1）可知AP，AC，以A为坐标原点，分别以，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，设AB＝2．因为AB＝BC＝AC，所以P A＝AB＝BC＝AD＝2，所以，则＝＝＝＝（2，0，设为平面PBC的一个法向量，则有，即，令，可得，设为平面P AB的一个法向量，则有，即，令，可得，所以，所以平面PBC与平面P AB夹角的余弦值为．19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c （1）若a＝3，，求△ABC的面积；（2）已知AD为边BC的中线，且，求a+c的最大值．解：（1）因为a cos C﹣2b cos B+c cos A＝0，由正弦定理可得sin A cos C+sin C cos A＝2sin B cos B，即sin（A+C）＝2sin B cos B，在三角形中，sin（A+C）＝sin B，可得cos B＝，B∈（0，所以B＝；又因为a＝5，，由余弦定理可得b2＝a2+c2﹣2ac cos B，即3c2＝9+c8﹣2×3c×，即2c3+c﹣3＝0，整理可得：c＝6，c＝﹣，所以S△ABC＝ac sin B＝＝；（2）在△ABD中，AB＝c，AD＝，由余弦定理可得AD2＝c7+（）2﹣5c•cos，即c2+﹣﹣3＝0，设t＝a+c＞2，可知a＝t﹣c，将a＝t﹣c代入整理可得：5c2﹣6tc+t2﹣12＝0，Δ＝16t4﹣4×5×（t4﹣12）≥0，解得t2≤60，解得t≤5，即a+c的最大值为2．20．（12分）已知数列{a n}满足a1＝﹣1，a n+1＝．（1）若b n＝a2n﹣1+2，证明：数列{b n}为等比数列；（2）求数列{a n}的前2n项和S2n．解：（1）证明：b n＝a2n﹣1+8＝+2＝2n﹣3﹣7）+2＝（a2n﹣3+7），可得数列{b n}是首项为1，公比为；（2）由（1）可得b n＝（）n﹣4，即a2n﹣1＝（）n﹣1﹣3，则a2n＝a2n﹣6﹣2＝（）n﹣1﹣4，可得S3n＝（a1+a3+...+a8n﹣1）+（a2+a5+...+a2n）＝（1+++...+++...+＝2×﹣5n＝4﹣6n﹣．21．（12分）已知定点，点D是直线上一动点1，l1与线段DF的中垂线交于点M，动点M的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）不过点P（2，2）的直线l2：x＝my+b与曲线C交于A，B两点，以AB为直径的圆经过点P2过定点．解：（1）设M（x，y），知，设N为DF的中点，得，又因为MN⊥DF，所以MN，即，化简得y2＝2x．（2）证明：设A（x8，y1），B（x2，y8），由，得y2﹣2my﹣2b＝2，则y1+y2＝8m，y1y2＝﹣4b，因为以AB为直径的圆经过点P，所以，所以（x1﹣3）（x2﹣2）+（y8﹣2）（y2﹣7）＝0，又，所以（x1﹣2）（x4﹣2）+（y1﹣2）（y2﹣2）＝＝＝b2﹣5b﹣4m2﹣4m+8＝（b﹣3）2﹣（2m+1）3＝（b﹣3﹣2m﹣3）（b﹣3+2m﹣2）＝0．故b＝2m+7或b＝﹣2m+2．若b＝﹣5m+2，则直线l过点P（2，与题意矛盾，故b＝7m+4，所以直线l2：x＝m（y+8）+4过定点（4，﹣6）．22．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣ax+xlnx．（1）若函数f（x）在（1，f（1））处的切线经过点（2，1）；（2）若f（x）+e﹣x≥0恒成立，求a的取值范围．解：（1）f（1）＝1﹣a，又f'（x）＝2x﹣a+2+lnx，故f'（1）＝3﹣a，所以函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y﹣（5﹣a）＝（3﹣a）（x﹣1），又切线方程过点（8，1），故；（2）f（x）的定义域为（0，+∞），由x2﹣ax+xlnx+e﹣x≥4得，设，则，又x＞0，所以，设h（x）＝xe x﹣1，当x＞5时，h'（x）＝（x+1）e x＞0，即函数h（x）单调递增，h（1）＝e﹣5＞0，所以在区间（0，5）上存在x0使，所以在区间（0，x0）上，g'（x）＜7，在区间（x0，+∞）上，g'（x）＞0，所以，又由，得，即，所以，即x0+lnx0＝3，所以，故a≤1，即a的取值范围为（﹣∞．1] ．。

2023-2024学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，5}，B＝{1，2，3}，则∁U（A∩B）＝（）A．{2，4，5，6}B．{4，6}C．{2，4，6}D．{2，5，6}2．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的点分别为Z1，Z2，则复数z1•z2的虚部为（）A．﹣i B．﹣1C．﹣3i D．﹣33．已知直线l1：x+y2=1，直线l2：2x﹣ay+2＝0，且l1∥l2，则a＝（）A．1B．﹣1C．4D．﹣44．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M在抛物线C上，且|MF|＝4，O为坐标原点，则|OM|＝（）A．4√2B．4C．5D．2√55．在正四棱锥P﹣ABCD中，AB＝2，二面角P﹣CD﹣A的大小为π4，则该四棱锥的体积为（）A．4B．2C．43D．236．已知⊙C：x2+2x+y2﹣1＝0，直线mx+n（y﹣1）＝0与⊙C交于A，B两点．若△ABC为直角三角形，则（）A．mn＝0B．m﹣n＝0C．m+n＝0D．m2﹣3n2＝07．若关于x的方程log a x−a x=0(a＞0且a≠1)有实数解，则a的值可以为（）A．10B．e C．2D．5 48．已知直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，倾斜角分别为α1，α2，则“cos（α1﹣α2）＞0”是“k1k2＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．已知{a n}是公比为q（q≠1）的等比数列，S n为其前n项和．若对任意的n∈N*，S n＜a11−q恒成立，则（）A ．{a n }是递增数列B ．{a n }是递减数列C ．{S n }是递增数列D ．{S n }是递减数列10．蜜蜂被誉为“天才的建筑师”．蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材面积最小的结构．右图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF 是正六边形，棱AG ，BH ，CI ，DJ ，EK ，FL 均垂直于底面ABCDEF ，上顶由三个全等的菱形PGHI ，PIJK ，PKLG 构成．设BC ＝1，∠GPI ＝∠IPK ＝∠KPG ＝θ≈109°28'，则上顶的面积为（ ）（参考数据：cosθ=−13，tan θ2=√2)A ．2√2B ．3√32C ．9√22D ．9√24二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

2023-2024学年浙江省杭州市高三（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣3≤0}，B ={x|3x−1≤1}，则A ∩B ＝（ ） A ．[1，3]B ．（1，3]C ．[﹣1，1]D ．[﹣1，1）2．已知复数z 满足z =−z i （i 为虚数单位），且|z |=√2，则z 2＝（ ） A ．2iB ．﹣2iC ．√2+√2iD ．√2−√2i3．已知随机变量X 1，X 2分别满足二项分布X 1～B （n 1，13），X 2～B （n 2，13），则“n 1＞n 2”是“D （X 1）＞D （X 2）”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若0＜x ＜12，则不等式1x +11−2x的最小值是（ ）A ．3+2√2B ．6C ．4√2D ．95．冬季是流行病的高发季节，大部分流行病是由病毒或细菌引起的，已知某细菌是以简单的二分裂法进行无性繁殖，在适宜的条件下分裂一次（1个变为2个）需要23分钟，那么适宜条件下1万个该细菌增长到1亿个该细菌大约需要（参考数据：lg 2≈0.3）（ ） A ．3小时B ．4小时C ．5小时D ．6小时6．已知定义在R 上的函数f （x ）满足sin xf （x ）+cos xf ′（x ）＞0，则（ ） A ．f(π3)＜√3f(π6)B ．f(π6)＜√3f(π3)C ．f(π3)＞√3f(π6)D ．f(π6)＞√3f(π3)7．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝b 1＝1，a n +1＝a n +b n ，b n +1＝a n ﹣b n ，则a n ＝（ ） A ．2n ﹣1B ．2n−12C ．2n+12D ．22n−1+(−1)n48．已知四面体ABCD ，△ABC 是边长为6的正三角形，DA ＝DB ＝2√3，二面角D ﹣AB ﹣C 的大小为23π，则四面体ABCD 的外接球的表面积为（ ） A ．40πB ．52πC ．72πD ．84π二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

全市2023届高三年级第一次教学质量监测统一考试理科数学试题第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}(1)(4)0A x x x =+-<，{}e 1x B x =>，则A B = （）A.(0,1)B.(0,4)C.(1,4)D.(4,)+∞2.已知z 为复数i(1i)z =-的共轭复数，则z z ⋅=（）A.1i- B.1i+ C.2- D.23.牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：0101ln t k θθθθ-=--（t 为时间，单位分钟，0θ为环境温度，1θ为物体初始温度，θ为冷却后温度），假设一杯开水温度1100θ=℃，环境温度020θ=℃，常数0.2k =，大约经过多少分钟水温降为40℃？（结果保留整数，参考数据：ln 20.7≈）（）A.9B.8C.7D.64.已知1，1a ，2a ，4成等差数列，1，1b ，2b ，3b ，4成等比数列，则122a ab +的值是A.52B.52-C.52或52- D.125.已知向量()2sin ,cos a θθ= ，()1sin ,2cos b θθ=- ，且[]0,πθ∈，则“a b ∥”是“π6θ=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.过直线5x y +=上的点作圆22:2410C x y x y +-+-=的切线，则切线长的最小值为（）A.B. C.D.7.将函数π2sin 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则m 的最小值是（）A.π12B.π6C.π3D.2π38.公元前5世纪下半叶开奥斯的希波克拉底解决了与“化圆为方”有关的化月牙为方问题．如图，OAB 为等腰直角三角形，AO BO ⊥，以O 为圆心、OA 为半径作大圆O ，以AB 为直径作小圆，则在整个图形中随机取一点，此点取自阴影部分的概率为（）A.π12π1-+ B.π22π1-+ C.2π25π2-+ D.3π25π2-+9.已知直线240(0,0)mx ny m n +-=>>过函数log (1)2a y x =-+（0a >，且1a ≠）的定点T ，则14m n+的最小值为（）A.4B.6C.3+D.3+10.已知20232022a =，20222023b =，2022log 2023c =，则,,a b c 的大小关系是（）A.a b c<< B.b a c<< C.c a b<< D.c b a<<11.已知双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是1F ，2F ，过右焦点2F 且不与x 轴垂直的直线交C 的右支于A ，B 两点，若1AF AB ⊥，且12AB AF =，则C 的离心率为（）A.B.1+C.D.1+12.已知函数2ln(1),0()e 1,0xx x f x x -+≥⎧=⎨-<⎩，若函数()()||()g x f x k x k =-∈R 恰有3个零点，则k 的取值范围是（）A.(1,2)B.[1,2]C.(0,2)D.(1,1)-二、填空题（每小题5分，共20分）13.5(2x +的展开式中，3x 的系数是___________.14.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =-，则5S =______________．15.已知过点(),0A a 作曲线()1e xy x =-的切线有且仅有1条，则a =___________.16.已知()sin cos f x x x =+，给出以下几个结论：①()f x 的最小正周期为2π；②()f x 是偶函数；③()f x 的最小值为；④()f x 在[]2π,2π-上有4个零点；⑤()f x 在区间3π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减；其中正确结论的序号为___________________________________．三、解答题：共70分解答写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.某校所在省市高考采用新高考模式，学生按“3+1+2”模式选科参加高考：“3”为全国统一高考的语文､数学､外语3门必考科目；“1”由考生在物理､历史2门中选考1门科目；“2”由考生在思想政治､地理､化学､生物学4门中选考2门科目，（1）为摸清该校本届考生的选科意愿，从本届750名学生中随机抽样调查了100名学生，得到如下部分数据分布：选物理方向选历史方向合计男生3040女生合计50100请在答题卡的本题表格中填好上表中余下的5个空，并判断是否有99.9%的把握认为该校“学生选科的方向”与“学生的性别”有关；（2）已选物理方向的甲､乙两名同学，在“4选2”的选科中，求他们恰有一门选择相同学科的概率.附：22(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++.()20P K k ≥0.100.050.0250.0100.0050.0010k 2.7063.8415.0246.6357.87910.82818.从①()cos 2cos 0b C a c B ++=；②222sin sin sin sin sin 0A B C A C -++=；③cos cos02BB +=，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若选______________________________．（1）求角B 的大小；（2）若点D 在AC 边上，满足4AC AD =，且4,3AB BD ==，求BC 边的长．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19.如图所示的多面体是由一个直四棱柱被平面AEFG 所截后得到的，其中45BAE GAD ∠=∠=︒，22AB AD ==，60BAD ∠=︒.（1）求证：BD ⊥平面ADG ；（2）求直线GB 与平面AEFG 所成角的正弦值.20.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1x yC a b+=（0a b >>）的右焦点为(1,0)F ，离心率为12.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若过点F 的直线l 交C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，分别过A ，B 作C 的切线1l ，2l ，且1l 与2l 交于点P ，证明：O ，P ，M 三点共线.21.已知函数()ln e xf x x x ax =+-，其中a ∈R ．（1）当0a =时，试判断函数()f x 的零点个数；（2）若()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为33x ty t=-⎧⎪⎨=⎪⎩(其中t 为参数).在以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系(两种坐标系的单位长度相同)中，曲线C 的极坐标方程为()1cos 1ρθ-=.（1）求直线l 的极坐标方程（2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求OA OB ⋅.23.设a ，b ，c 均为正数，且1a b c ++=．（1）求14a b c++的最小值；（2+参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【第1题】【答案】B【详解】因为{}{}(1)(4)014A x x x x x =+-<=-<<，{}{}e 10xB x x x =>=>，所以(0,4)A B =∩.故选：B 【第2题】【答案】D【详解】2i i 1i,1i,2z z z z =-=+=-⋅=．故选：D ．【第3题】【答案】C【详解】由题意知：140201ln 5ln 10ln 270.2100204t -=-=-=≈-分钟，故选：C.【第4题】【答案】A【详解】依题意可知21222145,144,2a a b b +=+==⨯==,所以12252a ab +=.【第5题】【答案】B【详解】若a b ∥，则满足()22cos sin cos 1sin θθθθ=-，进而得()()cos sin 12sin 10θθθ+-=，故cos 0θ=或sin 1=0θ+或2sin 1=0θ-，由于[]0,πθ∈，所以π2θ=或者π6θ=或者5π6=θ，因此“a b ∥”是“π6θ=”的必要不充分条件，故选：B【第6题】【答案】B【详解】圆22:(1)(2)6C x y -++=的圆心为(1,2)C -，因为圆心()1,2-到直线5x y +=的距离d ==，所以切线长最小值为l ==.故选：B 【第7题】【答案】C【详解】将π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移()0m m >个单位长度得：π2sin 223y x m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，π2sin 223y x m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 图象关于原点对称，()π2π3m k k ∴+=∈Z ，解得：()ππ62k m k =-+∈Z ，又0m >，∴当=1k 时，m 取得最小值π3.故选：C.【第8题】【答案】A【详解】设1OA =，则AB =，∴大圆O 的面积21π1πS =⨯=，以AB 为直径的小圆的面积为2S =22ππ22⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，大圆中弓形AB 的面积为3 11π2π11424AOB AOB S S S -=-=-⨯⨯=扇形，∴整个图形的面积为1231ππ22π1π2442S S S S -+=+-=+-=，阴影部分的面积为23 1ππ2π12442S S S --=+=+=阴，∴在整个图形中随机取一点，此点取自阴影部分的概率为π1 π122π12π12S P S--===++阴,故选：A 【第9题】【答案】C【详解】函数()log 12a y x =-+过定点()2,2，所以()2,2T ，将()2,2T 代入直线240mx ny +-=，得424m n +=，即12nm +=，因为0m >，0n >，所以14144123322n m n m m n m n n m ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当42m nn m=，即1m =，4n =-时“=”成立.故选：C.【第10题】【答案】D【详解】,a b 同取以e 对数，大小关系不变，则比较,a b 的大小，可比较2023ln 2022与2022ln 2023的大小，2023ln 20222023ln 2022=，2022ln 20232022ln 2023=，令()ln x f x x =，则()21ln xf x x-'=，则当e x >时，()0f x '<，则当e x >时，()f x 单调递减，则()()20232022f f <，即ln 2023ln 202220232022<，则2022ln 20232023ln 2022<，即20222023ln 2023ln 2022<，即b a <，202220232b => ，20222log 20231c >=>，c b ∴<，则c b a <<，故选：D.【第11题】【答案】C【详解】如图，设1AF m =，则22AF m a =-．又12AB AF =，所以22BF m a =+，所以14BF m a =+．又1AF AB ⊥，所以1BF =，由4m a +=，得)11m a AF =+=，则)221AF m a a =-=-，而122F F c =，则))22222411c a a =+，化简得223c a =，所以==ce a【第12题】【答案】A【详解】令()0g x =，可得()f x k x =，若函数()()g x f x k x =-恰有3个零点，则曲线()y f x =与y k x =恰有3个交点，函数()f x 的图象如图所示，易知0k >，由题意可知，(0)0g =，当0x ≥时，若函数||y k x kx ==与()2ln 1y x =+相切，且此时原点为切点，由'21y x =+可知，'|02x k y ===，当0x <时，若函数||y k x kx ==-与e 1x y -=-在0x =处相切，由'e x y -=-可知，'|011x k y k =-==-⇒=，因为曲线()y f x =与y k x =恰有3个交点，所以结合图象可知，12k <<．故选：A .第II 卷（非选择题共90分）二、填空题（每小题5分，共20分）【第13题】【答案】10【详解】由题意得，二项展开式的通项为5552155C (2))2C r r rr rr r T x x x---+==⋅⋅，令532r-=，可得4r =，所以3x 的系数为452C 10⋅=．故答案为：10．【第14题】【答案】31【详解】当1n =时，1121S a =-，解得11a =，当2n ≥时，1121n n S a --=-，则11121(21)22n n n n n n n S S a a a a a -------===-，所以12n n a a -=，即12nn a a -=，所以数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，所以12n n a -=，当1n =时，符合通项公式.则55123112S -==-.故答案为：31【第15题】【答案】1或3-【详解】过(,0)A a 作切线，设切点为00(,)P x y ，e (1)e e x x x y x x '=-+-=-，00e x PA k x =-，所以0000(1)e e x x x x x a-=--，整理为200(1)10x a x -++=，由题意此方程有两个相等的实数根，所以2(1)40a ∆=+-=，1a =或3a =-．故答案为：1或3-．【第16题】【答案】②④⑤【详解】对①：∵πππππ3π3π3π3πsin cos sin cos 1,sin cos sin 1222222222f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-=+==+==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即π3ππ2π222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≠=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故()f x 不是以2π为最小正周期的周期函数，①错误；对②：()()()sin cos sin cos f x x x x x f x -=-+-=+=，故()f x 是偶函数，②正确；对③：当π3π0,,2π22x ⎡⎤⎡⎤∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦U 时，可得()πsin cos sin cos4f x x x x x x ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，∵π3π0,,2π22x ⎡⎤⎡⎤∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦U ，则ππ3π7π9π,,44444x ⎡⎤⎡⎤+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦U ，∴π2sin ,142x ⎛⎫ ⎪⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎝⎦⎭，故()f x ∈-⎡⎣；当π3π,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，可得()πsin cos sin cos 4f x x x x x x ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭，∵π3π,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，则ππ5π,444x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，∴πsin ,142x ⎛⎤⎛⎫-∈- ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，故()(f x ∈-；综上所述：当[]0,2πx ∈，()f x 的值域为⎡-⎣.当0x ≥时，则()sin cos f x x x =+，可得()()()()2πsin 2πcos 2πsin cos f x x x x x f x +=+++=+=，故0x ≥时，()f x 的值域为⎡-⎣，又∵()f x 是偶函数，∴()f x 的值域为⎡-⎣，即()f x 的最小值为1-，③错误；对④：由③可得：当π3π0,,2π22x ⎡⎤⎡⎤∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦U 时，令()π04f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即πsin 04x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∵π3π0,,2π22x ⎡⎤⎡⎤∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦U ，则ππ3π7π9π,,44444x ⎡⎤⎡⎤+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦U ，∴当π2π4x +=，即7π4x =时，()0f x =；当π3π,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，可得()π04f x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，即πsin 04x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵π3π,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，则ππ5π,444x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，∴当ππ4x -=，即5π4x =时，()0f x =；综上所述：()f x 在[]0,2π上有2个零点5π7π,44.∵()f x 是偶函数，∴()f x 在[]2π,2π-上有4个零点7π5π5π7π,,,4444--，④正确；对⑤：当3π5π,44x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，则ππ,π42x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，可得()π4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间3π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，⑤正确.故答案为：②④⑤.三、解答题：共70分解答写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．【第17题】【答案】（1）填表答案见解析，有99.9%的把握认为该校“学生选科的方向”与“学生的性别”有关（2）23(1)根据题意可得，列联表如下：选物理方向选历史方向合计男生301040女生204060合计5050100由于2K 的观测值2100(30402010)5016.66710.828406050503k ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以有99.9%的把握认为该校“学生选科的方向”与“学生的性别”有关.(2)已选物理方向的甲､乙两名同学，在“4选2”的选科中，所有的基本事件（记为事件Ω）列举如下：（政，地；政，地），（政，地；政，化），（政，地；政，生），（政，地；化，地），（政，地；生，地），（政，地；生，化），（政，化；政，地），（政，化；政，化），（政，化；政，生），（政，化；化，地），（政，化；生，地），（政，化；生，化），（政，生；政，地），（政，生；政，化），（政，生；政，生），（政，生；化，地），（政，生；生，地），（政，生；生，化），（地，化；政，地），（地，化；政，化），（地，化；政，生），（地，化；化，地），（地，化；生，地），（地，化；生，化），（地，生；政，地），（地，生；政，化），（地，生；政，生），（地，生；化，地），（地，生；生，地），（地，生；生，化），（化，生；政，地），（化，生；政，化），（化，生；政，生），（化，生；化，地），（化，生；生，地），（化，生；生，化），共36种，设事件{A =在“4选2”的选科中，他们恰有一门选择相同学科}，有24种，则()242()(Ω)363n A P A n ===.【第18题】【答案】（1）2π3（2）12(1)选①：∵()cos 2cos 0b C a c B ++=，由正弦定理可得()sin cos 2sin sin cos 0B C A C B ++=，则()sin cos cos sin 2sin cos sin 2sin cos sin 2sin cos 0B C B C A B B C A B A A B ++=++=+=，∵()0,πA ∈，则sin 0A ≠，∴12cos 0B +=，即1cos 2B =-，又∵()0,πB ∈，故2π3B =；选②：∵222sin sin sin sin sin 0A B C A C -++=，由正弦定理可得：2220a b c ac -++=，即222a c b ac +-=-，∴2221cos 22a cb B ac +-==-，又∵()0,πB ∈，故2π3B =；选③：∵cos cos 02B B +=，则22cos 1cos 022B B -+=，解得cos 12B =-或1cos 22B =，又∵()0,πB ∈，则π0,22B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得cos 02B >，即1cos 22B =，∴π23B =，故2π3B =.(2)由题意可得：()11314444BD BA AD BA AC BA BC BA BA BC =+=+=+-=+uu u r uu r uuu r uu r uuu r uu r uu u r uu r uu r uu u r，则2222319314416816BD BA BC BA BA BC BC ⎛⎫=+=+⋅+ ⎪⎝⎭uu u r uu r uu u r uu r uu r uu u r uu u r ，即23199416BC BC =-+uu ur uu u r ，解得12BC =uu u r 或0BC =uu u r（舍去），故BC 边的长12.【第19题】【答案】（1）证明见解析；（2）217.【详解】（1）证明：在BAD 中，因为22AB AD ==，60BAD ∠=︒，所以由余弦定理得，2222cos 603BD AD AB AB AD =+-︒=⋅，所以BD =，所以222AB AD DB =+，即BD AD ⊥，在直四棱柱中，GD ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD GD ⊥，因为AD ⊂平面ADG ，GD ⊂平面ADG ，AD GD D ⋂=，所以BD ⊥平面ADG .（2）因为DA ，DB ，DG 两两相互垂直，所以以D 为坐标原点，分别以DA ，DB ，DF 为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由45BAE GAD ∠=∠=︒，得2BE BA ==，1DA DG ==，所以有()1,0,0A，()B，()2E ，()0,0,1G，()2AE =- ，()1,0,1AG =-，()1GB =- ，设(),,m x y z =为平面AEFG 的一个法向量，则00m AE m AG ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即200x z x z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，令x =m =-，因为()1GB =-，m =- ，设直线GB 与平面AEFG 所成角为θ，且0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin cos ,GB m GB m GB mθ⋅==7==，所以直线GB与平面AEFG所成角的正弦值为7.【第20题】【答案】（1）22143x y+=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据离心率及焦点求出,a c即可得椭圆标准方程；（2）设直线l的方程为：1x my=+，联立方程后结合根与系数的关系计算OM OPk k=即可证明三点共线.【详解】（1）2221212caca ba b c=⎧⎪=⎧⎪⎪=⇒⎨⎨=⎪⎩⎪=+⎪⎩22143x y+=.（2）由题意知斜率不为0，设直线l的方程为：1x my=+，()11,A x y，()22,B x y，()00,M x y，()33,P x y，由()2222213214123412x mym y my yx y=+⎧⇒+++=⎨+=⎩，即()2234690m y my++-=.12023234y y mym+-∴==+，02434xm=+，34OMk m∴=-.直线1l的方程为：11143x x y y+=①，直线2l的方程为22143x x y y+=②，()()211234y xy y x x-⇒-=-②①，12213344x x y m x y y -⇒=⋅=--，3334OP y m k x ∴=-=，OM OP k k ∴=，即O ，P ，M 三点共线.【第21题】【答案】（1）1（2）1,e∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭(1)当0a =时，则()ln f x x x =+在定义域()0,∞+上单调递增，∵()11110,10e ef f ⎛⎫=>=-< ⎪⎝⎭，∴函数()f x 的零点个数为1.(2)由（1）可知：ln y x x =+在定义域()0,∞+上单调递增，则ln y x x =+的值域为R ，由()()ln ln e =ln exx xf x x x ax x x a +=+-+-，令ln t x x =+∈R ，若()0f x ≤恒成立，等价于e 0t t a -≤当t ∈R 时恒成立，即e tta ≤当t ∈R 时恒成立，令()e t t g t =，则()1e ttg t -=令()0g t '>，则1t <，故()g t 在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减，则()()11eg t g ≤=，故实数a 的取值范围为1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.【第22题】【答案】（1）56πθ=()R ρ∈；（2）4【详解】解：（1）将3x t y =-⎧⎪⎨=⎪⎩(其中t 为参数)消去参数t 得33y x =-，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入得sin cos 3ρθρθ=-，所以tan 3θ=-，即56πθ=()R ρ∈（2）因为56πθ=()R ρ∈等价于56πθ=和6πθ=-()0ρ>不妨设56πθ=与曲线C 交于点A ，6πθ=-与曲线C 交于点B ；由()561cos 1πθρθ⎧=⎪⎨⎪-=⎩，则151cos 6A ρπ==-由()61cos 1πθρθ⎧=-⎪⎨⎪-=⎩，则11cos 6Bρπ==⎛⎫-- ⎪⎝⎭所以4A B OA OB ρρ=⋅==【选修4-5：不等式选讲】【第23题】【答案】（1）9（2）证明见解析(1)解：a ，b ，c 都是正数，且1a b c ++=，∴10b c a +=->，∴()141414141559111a a a a a b c a a a a a a -⎛⎫+=+=+-+=++≥+=⎡⎤ ⎪⎣⎦+---⎝⎭当且仅当141a aa a -=-即13a =时等号，即14ab c++的最小值为9；(2)证明：由柯西不等式得()()()()2111111a b c -+-+-++≥⎡⎤⎣⎦即26≥++，成立，当且仅当13a b c===时等号成立；。

2023-2024学年湖南省常德市高三（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={x|x≤2}，B={x|−2≤x≤2}，则A∩B=( )A. [0,2]B. [1,2]C. [−2,2]D. ⌀2.已知复数z满足z(1+i)=3+i，则|z|=( )A. 5B. 5C. 2D. 13.已知向量a=(cosθ,sinθ)，b=(3,−1)，若a⊥b，则cosθsinθ+cosθ的值为( )A. 34B. 23C. 13D. 144.党的二十大会议确定“高质量发展是全面建设社会主义现代化国家的首要任务”的新部署.某企业落实该举措后因地制宜，发展经济，预计2023年人均将增加1000元收入，以后每年将在此基础上以10%的增长率增长，则该企业每年人均增加收入开始超过3000元的年份大约是(参考数据：ln3=1.10，ln10=2.30，lnl1=2.40)( )A. 2030年B. 2032年C. 2033年D. 2035年5.某校高三年级800名学生在高三的一次考试中数学成绩近似服从正态分布N(89,132)，若某学生数学成绩为102分，则该学生数学成绩的年级排名大约是(附：P(μ−σ≤X≤μ+σ)=0.6827，P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)=0.9545，P(μ−3σ≤X≤μ+3σ)=0.973)( )A. 第18名B. 第127名C. 第245名D. 第546名6.已知等差数列{a n}与各项为正的等比数列{a n+b n}满足：a1=b1=1，a3=3，b2+b3=19，则( )A. b3=14B. b3=17C. b4=50D. b4=547.我国有着丰富悠久的“印章文化”，古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵，也被作为装饰物来使用.图1是明清时期的一个金属印章摆件，除去顶部的环可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体；如图2，已知正四棱柱和正四棱锥的体积之比为3：1，且该几何体的顶点均在体积为36π的球的表面上，则该几何体的表面积为( )A. 48+162B. 64+162C. 48+322D. 64+3228.已知函数f(x)=23sinxcosx−2sin2x，若f(x)在区间[θ,π3]上是单调函数，则实数θ的取值范围是( )A. [π6,π3)B. [π12,π3)C. [−π12,π3)D. [−π6,π3)二、多选题：本题共4小题，共20分。

2023-2024学年广东省高三（上）期末数学试卷一、单选题1．设复数，则|z|＝（）A．B．C．D．2．设全集U＝R，集合M＝{x|x2+2x﹣8≤0}，N＝{x|﹣1＜x＜3}，则∁R M∩N＝（）A．{x|﹣1＜x≤2}B．{x|2＜x＜3}C．{x|﹣4≤x＜﹣1}D．{x|2≤x＜3}3．中国古代的五音，一般指五声音阶，依次为：宫、商、角、徵、羽，排成一个5个音阶的音序．在所有的这些音序中随机抽出一个音序，则这个音序中宫、羽两音阶在角音阶的同侧的概率为（）A．B．C．D．4．已知平面向量，，，则＝（）A．B．C．D．5．为了研究不同性别在处理多任务时的表现差异，召集了男女志愿者各200名，要求他们同时完成多个任务，对志愿者完成任务所需的时间分布图表理解正确的是（）①总体看女性处理多任务平均用时更短；②所有女性处理多任务的能力都要优于男性；③男性的时间分布更接近正态分布；④女性处理多任务的用时为正数，男性处理多任务的用时为负数．A．①④B．②③C．①③D．②④6．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，若a9＝4，S15＝30，则a15＝（）A．6B．15C．16D．187．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，面积最大的面的面积为（）A．6B．C．D．48．已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x＞0时，（x）＝f（x）﹣a （x）存在3个零点，则a的取值范围是（）A．B．C．D．9．记不等式（x﹣1）2+（y﹣2）2≤4表示的平面区域为D．命题p：∀（x，y）∈D，2x+y≤8（x，y）∈D，2x+y≤﹣1①p∨q②￢p∨q③p∧￢q④￢p∧￢q这四个命题中，所有真命题的编号是（）A．①③B．②④C．②③D．①④10．设函数f（x）＝cosωx（ω＞0），已知f（x）在，则ω的取值范围是（）A．[3，5）B．[6，8）C．D．[6，10）11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c2+c2＝b2+2ac cos C且a＝2b sin A，则A＝（）A．B．C．D．12．已知双曲线C：的左，右焦点分别为F1、F2，以F1F2为直径的圆与C的一条渐近线交于点P，∠PF1F2＝2∠PF2F1，则该双曲线的离心率为（）A．2B．3C．D．二、填空题13．cos1275°＝．14．已知f（x）＝xln（x﹣1），则曲线y＝f（x），f（2））处的切线方程是．15．已知直线l：y＝kx+1（k＞0）经过抛物线C：x2＝2py的焦点F，且l与C交于A、B两点，l与C的准线交于点E，若，k＝．16．已知三棱锥P ﹣ABC 中，P A ＝PB ＝PC ＝，当三棱锥P ﹣ABC 体积最大值时 ．三、问答题17．（12分）如表是我国2012年至2018年国内生产总值（单位：万亿美元）的数据：（1）从表中数据可知x 和y 线性相关性较强，求出以x 为解释变量y 为预报变量的线性回归方程； （2）已知美国2018年的国内生产总值约为20.5万亿美元，用（1）的结论，求出我国最早在哪个年份才能赶上美国2018年的国内生产总值？ 参考数据：，，参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．18．（12分）已知等比数列{a n }的各项均为正数，S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若，a 3a 4＝2a 6．（1）S n ＜t 恒成立，求t 的最小值； （2）设，求数列{b n }的前n 项和T n ．19．（12分）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2，以EB 为折痕把△CEB 折起，使点C 到达点P 的位置（1）证明：PB ⊥平面PEA ； （2）求点E 到平面P AD 的距离．20．（12分）已知函数，a 为常数．（1）讨论函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．21．（12分）已知圆M：的圆心为M，圆N：，一动圆与圆M内切，与圆N外切．（1）求动圆圆心C的轨迹方程；（2）过点P（2，0）的直线l与曲线C交于A，B两点，直线QA，QP1，k2，k3，试探求k1，k2，k3的关系，并给出证明．22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为（m为参数），设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C1．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ．（1）写出C1的普通方程；（2）求曲线C1和曲线C2交点的极坐标．23．已知a＞b＞0，函数．（1）若b＝1，a＝2，求函数f（x）；（2）证明：f（x）≥4．2023-2024学年广东省高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题1．设复数，则|z|＝（）A．B．C．D．解：＝i﹣+i．则|z|＝．故选：D．2．设全集U＝R，集合M＝{x|x2+2x﹣8≤0}，N＝{x|﹣1＜x＜3}，则∁R M∩N＝（）A．{x|﹣1＜x≤2}B．{x|2＜x＜3}C．{x|﹣4≤x＜﹣1}D．{x|2≤x＜3}解：全集U＝R，集合M＝{x|x2+2x﹣2≤0}＝{x|﹣4≤x≤6}，N＝{x|﹣1＜x＜3}，则∁R M＝{xx|＜﹣8或x＞2}，所以∁R M∩N＝{x|2＜x＜8}．故选：B．3．中国古代的五音，一般指五声音阶，依次为：宫、商、角、徵、羽，排成一个5个音阶的音序．在所有的这些音序中随机抽出一个音序，则这个音序中宫、羽两音阶在角音阶的同侧的概率为（）A．B．C．D．解：中国古代的五音，一般指五声音阶、商、角、徵、羽，如果把这五个音阶全用上，排成一个5个音阶的音序．在所有的这些音序中随机抽出一个音序，基本事件总数n＝，要使得音序中宫、羽两音阶在角音阶的同侧，先考虑音序中宫、羽两音阶在角音阶的左侧、羽两音阶间也有顺序，则通过除序法得到＝40，∴这个音序中宫、羽两音阶在角音阶的同侧包含的基本事件个数为m＝2×，则这个音序中宫、羽两音阶在角音阶的同侧的概率为p＝．故选：C．4．已知平面向量，，，则＝（）A．B．C．D．解：∵平面向量，，，∴||＝2；∴2＝﹣6×＝24﹣4×2+3×22＝12；∴＝2；故选：A．5．为了研究不同性别在处理多任务时的表现差异，召集了男女志愿者各200名，要求他们同时完成多个任务，对志愿者完成任务所需的时间分布图表理解正确的是（）①总体看女性处理多任务平均用时更短；②所有女性处理多任务的能力都要优于男性；③男性的时间分布更接近正态分布；④女性处理多任务的用时为正数，男性处理多任务的用时为负数．A．①④B．②③C．①③D．②④解：①女性处理多任务平均用时集中在2﹣3分钟，男性的集中在6﹣4.5分钟；②从图中可以看到男性与女性处理任务所需的时间有交叉，所以并不是“所有女性都优于男性”；③根据正态分布的性质可知③正确；④女性和男性处理多任务的用时均为正数，即④错误．故选：C．6．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，若a9＝4，S15＝30，则a15＝（）A．6B．15C．16D．18解：因为a9＝4，S15＝30，，解可得，d＝2，a1＝﹣12，则a15＝a8+14d＝﹣12+28＝16．故选：C．7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，面积最大的面的面积为（）A．6B．C．D．4解：由三视图可得在长方体中，多面体为三棱锥，AC＝2，则可得BC＝2，AB＝2，S△ABC＝＝＝2，S△BCD＝＝＝4，S△ACD＝＝＝1，S△ABD＝＝＝4，由以上可得，三角形ABD的面积最大，故选：B．8．已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x＞0时，（x）＝f（x）﹣a （x）存在3个零点，则a的取值范围是（）A．B．C．D．解：根据函数f（x）为奇函数，则可得f（x）＝，作出函数的图象如图：根据图象可知，要想函数f（x）图象与直线y＝a有2个交点，），故选：A．9．记不等式（x﹣1）2+（y﹣2）2≤4表示的平面区域为D．命题p：∀（x，y）∈D，2x+y≤8（x，y）∈D，2x+y≤﹣1①p∨q②￢p∨q③p∧￢q④￢p∧￢q这四个命题中，所有真命题的编号是（）A．①③B．②④C．②③D．①④解：不等式（x﹣1）2+（y﹣3）2≤4表示的平面区域为D．该区域为以（4，2）为圆心，令z＝2x+y，（y＝﹣8x+z）当直线y＝﹣2x+z与圆（x﹣1）7+（y﹣2）2＝6相切时，所以＝2，解得z min＝8﹣2＞﹣4，z max＝4+2＞8，所以命题p，q均为假命题．所以①p∨q为假命题，②￢p∨q为真命题，④￢p∧￢q为真命题．故选：B．10．设函数f（x）＝cosωx（ω＞0），已知f（x）在，则ω的取值范围是（）A．[3，5）B．[6，8）C．D．[6，10）解：∵函数f（x）＝cosωx（ω＞0），已知f（x）在，∴3π≤＜8π，故选：D．11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c2+c2＝b2+2ac cos C且a＝2b sin A，则A＝（）A．B．C．D．解：在△ABC中，内角A，B，b，c，已知a2+c2＝b8+2ac cos C，则：a2+c8＝a2+c2﹣8ac cos B+2ac cos C，整理得：2ac cos B＝3ac cos C，所以cos C＝cos B，则：B＝C．由于a＝2b sin A，所以sin A＝2sin B sin A，所以sin B＝．故：B＝．①当B＝时，，所以A＝．②当B＝时，与三角形内角和定理矛盾．故：A＝．故选：D．12．已知双曲线C：的左，右焦点分别为F1、F2，以F1F2为直径的圆与C的一条渐近线交于点P，∠PF1F2＝2∠PF2F1，则该双曲线的离心率为（）A．2B．3C．D．解：以F1F2为直径的圆与C的一条渐近线交于点P，如图所示：可得PF7⊥PF2，又∠PF1F6＝2∠PF2F3，可得∠PF2F1＝30°，∴PF5＝＝c2＝c，由于双曲线的对称性设P在x轴的上方，由题意可得以F1F2为直径的圆的方程为：x5+y2＝c2；由题意可得直线OP的方程为：y＝﹣x代入圆x5+y2＝c2中可得，（8+8＝c2，又a2+b5＝c2，解得x＝﹣a，y＝b，b），属于PF1＝，PF2＝，所以可得3[（c﹣a）5+b2]＝（c+a）2+b5，又b2＝c2﹣a3，整理可得c＝2a，所以离心率e＝＝2，故选：A．二、填空题13．cos1275°＝﹣．解：cos1275°＝cos（3×360°+195°）＝cos195°＝﹣cos15°，＝﹣cos（45°﹣30°）＝﹣cos45°cos30°﹣sin45°sin30°，＝＝﹣．故答案为：﹣14．已知f（x）＝xln（x﹣1），则曲线y＝f（x），f（2））处的切线方程是y＝2x﹣4．解：f（x）＝xln（x﹣1）的导数为f′（x）＝ln（x﹣1）+，可得曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率为k＝ln1+6＝2，切点为（2，8），即为y＝2x﹣4．故答案为：y＝8x﹣4．15．已知直线l：y＝kx+1（k＞0）经过抛物线C：x2＝2py的焦点F，且l与C交于A、B两点，l与C的准线交于点E，若2，k＝．解：抛物线C：x2＝2py的焦点F为（6，），直线l：y＝kx+1（k＞3）恒过点（0，1），由题意可得＝1，抛物线的方程为x2＝7y，焦点F（0，准线方程为y＝﹣1，l与C的准线交于点E，可得E（﹣，若，可得F为EB的中点B﹣，2＝﹣3+y B，可得B（，3）7＝4y，可得，解得k＝（负值舍去）．故答案为：6，．16．已知三棱锥P ﹣ABC 中，P A ＝PB ＝PC ＝，当三棱锥P ﹣ABC 体积最大值时 ．解：P A ＝PB ＝PC ＝，当P A ，PC 两两相互垂直时三棱锥P ﹣ABC 体积最大值， 如图所示，可得棱长为，由外接球的直径8R 是正方体的对角线可得，2R ＝；所以外接球的体积为V ＝＝．胡答案为：．三、问答题17．（12分）如表是我国2012年至2018年国内生产总值（单位：万亿美元）的数据：（1）从表中数据可知x 和y 线性相关性较强，求出以x 为解释变量y 为预报变量的线性回归方程； （2）已知美国2018年的国内生产总值约为20.5万亿美元，用（1）的结论，求出我国最早在哪个年份才能赶上美国2018年的国内生产总值？ 参考数据：，，参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．解：（1），＝10.8，＝，．∴回归方程为．（2）由（1）可知≥20.7，解得x≥16.8，即要在第17个年份才能超过20.5万亿．∴用线性回归分析我国最早也要在2028年才能赶上美国2018年的国内生产总值．18．（12分）已知等比数列{a n}的各项均为正数，S n为等比数列{a n}的前n项和，若，a3a4＝2a6．（1）S n＜t恒成立，求t的最小值；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．解：（1）a3a4＝a3a6＝2a2．所以a1＝2，又a7＝，所以q＝，所以S n＝＝5（1﹣，所以t的最小值是3．（2）由（1）可知a n＝，所以b n＝，故T n＝++…+①3T n＝++…++②①﹣②得：﹣2T n＝++…+﹣，化简T n＝（形式可以不唯一）19．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD＝2，以EB为折痕把△CEB折起，使点C到达点P的位置（1）证明：PB⊥平面PEA；（2）求点E到平面P AD的距离．（1）证明：由题意AE＝BE＝，又AB＝22+BE2＝AB2，则AE⊥BE，又平面PEB∩平面ABED＝EB，且平面PEB⊥平面ABED，故AE⊥PB，又PB⊥PE，且AE∩PE＝E；（2）过点P在平面PEB内向EB引垂线，垂足为O、AO，又O为EB的中点，∴PO＝，由平面PEB⊥平面ABED，可得PO⊥ABED，∴PO⊥OA，PO⊥OD，故PD＝P A＝，设F为AD的中点，连接FP，PF＝，设点E到平面P AD的距离为h，由V E﹣P AD＝V P﹣ADE，得，则，解得h＝．20．（12分）已知函数，a为常数．（1）讨论函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）由题意x＞0，＝，当a≤0时，f′（x）＞5，+∞）上单调递增，当a＞0时，在区间（0，区间（a，故当a＞5时，在区间（0，区间（a．（2）由（1）可知当a≤0时，函数f（x）在区间（2，又f（1）＝0，故当0＜x＜8时，当a＞0时，在区间（0，区间（a，所以函数f（x）≥f（a）＝8﹣a+lna≥0即可，设g（x）＝1﹣x+lnx，x＞3，在区间（0，1）上g′（x）＞8，+∞）上g′（x）＜0，故在区间（0，5）上函数g（x）单调递增，+∞）上函数g（x）单调递减，所以g（x）≤g（1）＝0，综上，当a＝1时，所以a＝3时．21．（12分）已知圆M：的圆心为M，圆N：，一动圆与圆M内切，与圆N外切．（1）求动圆圆心C的轨迹方程；（2）过点P（2，0）的直线l与曲线C交于A，B两点，直线QA，QP1，k2，k3，试探求k1，k2，k3的关系，并给出证明．解：（1）设动圆C的半径为r，则|CM|＝．两式相加得|CM|+|CN|＝2＞|MN|，点C&nbsp;、N为焦点，长轴长为5&nbsp;，∴动圆圆心C的轨迹方程为；（2）设A（x1，y1），B（x6，y2），Q（3，若l斜率为4，则A（﹣，B（，得，，，所以k3+k3＝2k7，故猜想k1，k2，k6&nbsp;成等差数列，设直线l的方程设为x＝my+2，由，消去y得（m2+5）y2+4my﹣8＝0，则有，，，，，，又x1＝my1+6，x2＝my2+6，所以3﹣x1＝7﹣my1，3﹣x2＝1﹣my2，∴＝，∴＝，∴k1+k3＝2t＝2k2，故k3，k2，k3&nbsp;成等差数列．22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为（m为参数），设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C1．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ．（1）写出C1的普通方程；（2）求曲线C1和曲线C2交点的极坐标．解：（1）直线l1的参数方程为（t为参数）．直线l7的参数方程为（m为参数）（5+x）．联立y＝k（2﹣x），y＝．消去参数k3+y2＝4（y≠6）．即为P的轨迹曲线C1．（2）由（1）可得曲线C1的极坐标方程为：ρ＝8（θ≠0，π）．由，解得sinθ＝，或．∴曲线C6和曲线C2交点的极坐标为（2，），或（2，）．23．已知a＞b＞0，函数．（1）若b＝1，a＝2，求函数f（x）；（2）证明：f（x）≥4．（1）解：由题意，当b＝1，f（x）＝|x+1|+|x﹣2|＝．函数f（x）图象如下：结合图象，可知函数f（x）的最小值为5．（2）证明：由题意，≥|（x+2）|＝|a5+|．∵a＞b＞0，∴a4＞0，＞7．∴f（x）≥a2+．∵a＝b+（a﹣b）≥2，当且仅当b＝a﹣b，等号成立．∴b（a﹣b）≤，即≥．∴f（x）≥a8+≥a2+≥2，当且仅当a8＝，即a＝时．∴f（x）≥4，当且仅当a＝时，等号成立．。

2023-2024学年山东省淄博市高三（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{x |log 0.5（x ﹣1）＞0}，B ＝{x |2x ＜4}，则（ ） A ．A ＝BB ．A ∩B ＝∅C ．A ∩B ＝BD ．A ∪B ＝B2．已知复数z 满足z ⋅z =4，则复数|z|=（ ） A ．2B ．4C ．8D ．163．设随机变量X ～N （μ，σ2），且P （X ＜a ）＝3P （X ≥a ），则P （X ≥a ）＝（ ） A ．0.75B ．0.5C ．0.3D ．0.254．已知正四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的上、下底面边长分别为2和4，若侧棱AA 1与底面ABCD 所成的角为60°，则该正四棱台的体积为（ ） A ．28√3B ．84√2C ．28√63D ．28√25．已知等边△ABC 的边长为√3，P 为△ABC 所在平面内的动点，且|PA →|=1，则PB →⋅PC →的取值范围是（ ） A ．[−32，92]B ．[−12，112]C ．[1，4]D ．[1，7]6．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则对∀n ∈N *，a n +1＞|a n |，是“nS n +1＞（n +1）S n ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知函数f （x ），g （x ）的定义域都为R ，g '（x ）为g （x ）的导函数，g '（x ）的定义域也为R ，且f （x ）+g '（x ）＝2，f （x ）﹣g '（4﹣x ）＝2，若g （x ）为偶函数，则下列结论中一定成立的个数为（ ） ①f （4）＝2 ②g '（2）＝0 ③f （1）＝f （3） ④f （﹣1）+f （﹣3）＝4 A ．1B ．2C ．3D ．48．已知函数f(x)=sin(2πx)+1x−2，则直线y ＝x ﹣2与f （x ）的图象的所有交点的横坐标之和为（ ） A ．0B ．8C ．12D ．16二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．函数f(x)=3sin(2x −π3+φ)+1，φ∈（0，π），且f （x ）为偶函数，则下列说法正确的是（ ）A．φ=5π6B．f（x）图象的对称中心为(π4+kπ2，1)，k∈ZC．f（x）图象的对称轴为x=π2+kπ，k∈ZD．f（x）的单调递减区间为[−π2+kπ，kπ]，k∈Z10．已知互不相同的30个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的28个样本数据的方差为s12，平均数为x1；去掉的两个数据的方差为s22，平均数为x2；原样本数据的方差为s2，平均数为x，若x=x2，则下列说法正确的是（）A．x=x1B．15s2=14s12+s22C．剩下28个数据的中位数大于原样本数据的中位数D．剩下28个数据的22%分位数不等于原样本数据的22%分位数11．如图，多面体ABCDEF，底面ABCD为正方形，BF⊥底面ABCD，DE∥BF，AB＝DE＝BF＝1，动点G在线段AF上，则下列说法正确的是（）A．多面体ABCDEF的外接球的表面积为3πB．△CGD的周长的最小值为√3−√61C．线段CG长度的取值范围为[√62，√2]D．CG与平面AEC所成的角的正弦值最大为2√2 312．已知函数f（x）＝xe x，g（x）＝xlnx，则下列说法正确的是（）A．函数f（x）与函数g（x）有相同的极小值B．若方程f（x）＝a有唯一实根，则a的取值范围为a≥0C．若方程g（x）＝a有两个不同的实根x1，x2，则x1x2＞a2D．当x＞0时，若f（x1）＝g（x2）＝t，则x1x2＝t成立三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．将序号分别为1，2，3，4，5，6的六张参观券全部分给甲、乙等5人，每人至少一张，如果分给甲的两张参观券是连号，则不同分法共有 种．14．已知圆C 1：x 2+y 2−2ax +4by +4=0，则直线ax ﹣2by +2＝0与圆C 2：x 2+y 2=1的位置关系是 ．15．已知函数f(x)=3sin(π4x +φ)(φ∈R)的部分图象如图所示，A ，B 分别为图象的最低点和最高点，过A ，B 作x 轴的垂线分别交x 轴于点A '，B '．将画有该图象的纸片沿着x 轴折成120°的二面角A ﹣A 'B '﹣B ，此时|AB |＝ ．16．已知实数x ，y 满足x 2﹣3lnx ﹣y ＝0，则√x 2+y 2−mx +my +m 22(m ∈R)的最小值为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）设函数f （x ）＝sin （ωx −π6）+sin （ωx −π2），其中0＜ω＜3，已知f （π6）＝0．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y ＝f （x ）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g （x ）的图象，求g （x ）在[−π4，3π4]上的最小值．18．（12分）如图，AB 是半球O 的直径，AB ＝4，M ，N 依次是底面AB ̂上的两个三等分点，P 是半球面上一点，且∠PON ＝60°． （1）证明：PB ⊥PM ；（2）若点P 在底面圆上的射影为ON 中点，求直线PM 与平面P AB 所成的角的正弦值．19．（12分）设锐角△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos A ﹣a cos B ． （1）求证：B ＝2A ； （2）求ba的取值范围；（3）若c＝1，求△ABC面积的取值范围．20．（12分）已知{a n}和{b n}均为等差数列，a1＝b1＝1，a3＝a1+a2，b5＝b4+a2，记c n＝max{b1﹣na1，b2﹣na2，…，b n﹣na n}（n＝1，2，3，…），其中max{x1，x2，…，x s}表示x1，x2，…，x s这s个数中最大的数．（1）计算c1，c2，c3，猜想数列{c n}的通项公式并证明；（2）设数列{1(3−c n)(2−c n)}的前n项和为S n，若S n＜−m2+4m对任意n∈N*恒成立，求偶数m的值．21．（12分）已知函数ℎ(x)=e x−1−x x2．（1）若x＞0时，恒有h（x）＞a，求a的取值范围；（2）证明：当x＞1时，e x（1+lnx）＞ex2．22．（12分）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，为弘扬奥林匹克和亚运精神，增强锻炼身体意识，某学校举办一场羽毛球比赛．已知羽毛球比赛的单打规则是：若发球方胜，则发球方得1分，且继续在下一回合发球；若接球方胜，则接球方得1分，且成为下一回合发球方．现甲、乙二人进行羽毛球单打比赛，根据以往甲、乙两名运动员对阵的比赛数据可知，若甲发球，甲得分的概率为35，乙得分的概率为25；若乙发球，乙得分的概率为45，甲得分的概率为15．规定第1回合是甲先发球．（1）求第3回合由甲发球的概率；（2）①设第i回合是甲发球的概率为p i，证明：{p i−13}是等比数列；②已知：若随机变量X i服从两点分布，且P（X i＝1）＝1﹣P（X i＝0）＝q i，i＝1，2，…，n，则E(∑n i=1X i)=∑n i=1q i．若第1回合是甲先发球，求甲、乙连续进行n个回合比赛后，甲的总得分的期望．2023-2024学年山东省淄博市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A＝{x|log0.5（x﹣1）＞0}，B＝{x|2x＜4}，则（）A．A＝B B．A∩B＝∅C．A∩B＝B D．A∪B＝B解：不等式log0.5（x﹣1）＞0，即为log0.5（x﹣1）＞log0.51，根据对数函数的单调性知，0＜x﹣1＜1，解得1＜x＜2，所以A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|2x＜22}＝{x|x＜2}，所以A⊆B，从而A∩B＝A，A∪B＝B．故选：D．2．已知复数z满足z⋅z=4，则复数|z|=（）A．2B．4C．8D．16解：由于zz=4，所以|z|2＝z z=4，故|z|＝2．故选：A．3．设随机变量X～N（μ，σ2），且P（X＜a）＝3P（X≥a），则P（X≥a）＝（）A．0.75B．0.5C．0.3D．0.25解：随机变量X～N（μ，σ2），显然P（X＜a）+P（X≥a）＝1，而P（X＜a）＝3P（X≥a），所以P（X≥a）＝0.25．故选：D．4．已知正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面边长分别为2和4，若侧棱AA1与底面ABCD所成的角为60°，则该正四棱台的体积为（）A．28√3B．84√2C．28√63D．28√2解：记正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面的中心为O，O1，连接OO1，在平面ACC1A1中过A1作A1E平行于OO1，交AC于E，如图所示：则由正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的性质可知OO1⊥底面ABCD，从而A1E⊥底面ABCD，所以∠A1AE为侧棱AA1与底面ABCD所成的角，即∠A1AE＝60°，因为正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面边长分别为2和4，所以A1C1=2√2，AC=4√2，则AE=12(4√2−2√2)=√2，故A1E=AE⋅tan60°=√2×√3=√6，即正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的高为√6，所以该正四棱台的体积为13×(22+√22×42+42)×√6=28√63．故选：C ．5．已知等边△ABC 的边长为√3，P 为△ABC 所在平面内的动点，且|PA →|=1，则PB →⋅PC →的取值范围是（ ） A ．[−32，92]B ．[−12，112]C ．[1，4]D ．[1，7]解：以A 为坐标原点，以AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则B （√3，0），C （√32，32），由题意设P （cos θ，sin θ），（0≤θ＜2π）， 则PB →=(√3−cosθ，−sinθ)，PC →=(√32−cosθ，32−sinθ)， ∴PB →⋅PC →=(√3−cosθ)(√32−cosθ)−sinθ(32−sinθ)=32−3√32cosθ+cos 2θ−32sinθ+sin 2θ =52−3sin(θ+π3)， ∵0≤θ＜2π，∴π3≤θ+π3＜7π3，可得52−3sin(θ+π3)∈[−12，112]．故选：B ．6．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则对∀n ∈N *，a n +1＞|a n |，是“nS n +1＞（n +1）S n ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：若对∀n ∈N *，都有a n +1＞|a n |，可得a 2＞|a 1|，a 3＞|a 2|，a 4＞|a 3|，⋯，a n +1＞|a n |， 因为|a n |≥a n 恒成立，所以a n +1＞a n ＞a n ﹣1＞⋯＞a 2＞a 1，即数列{a n }为递增数列，S n+1n+1=(n+1)(a 1+a n+1)2n+1=a 1+a n+1，S nn n(a 1+a n )2n+1=a 1+a n ，所以S n+1n+1＞S n n，即nS n +1＞（n +1）S n 成立，所以充分性成立；反之：若对∀n ∈N *，都有nS n +1＞（n +1）S n ，即S n+1n+1＞S n n，可得(n+1)(a 1+a n+1)2n+1＞n(a 1+a n )2n，解得a n +1＞a n ，所以d ＝a n +1﹣a n ＞0，即数列{a n }为递增数列，例如：数列a n ＝n ﹣7为递增数列，可得a 1＝﹣6，a 2＝﹣5， 此时a 2＞|a 1|不成立，即必要性不成立；所以对∀n ∈N *，a n +1＞|a n |，是“nS n +1＞（n +1）S n ”的充分不必要条件． 故选：A ．7．已知函数f （x ），g （x ）的定义域都为R ，g '（x ）为g （x ）的导函数，g '（x ）的定义域也为R ，且f （x ）+g '（x ）＝2，f （x ）﹣g '（4﹣x ）＝2，若g （x ）为偶函数，则下列结论中一定成立的个数为（ ） ①f （4）＝2 ②g '（2）＝0 ③f （1）＝f （3） ④f （﹣1）+f （﹣3）＝4 A ．1B ．2C ．3D ．4解：根据题意，依次分析4个命题：对于①，g （x ）为偶函数，即g （﹣x ）＝g （x ）， 两边同时求导数可得：﹣g ′（﹣x ）＝g ′（x ）， 则g ′（x ）是定义域为R 的奇函数，则有g ′（0）＝0，在f （x ）﹣g '（4﹣x ）＝2中，令x ＝4可得：f （4）﹣g ′（0）＝2，必有f （4）＝2，①正确； 对于②，又由f （x ）+g '（x ）＝2，则有f （x ）﹣g '（﹣x ）＝2， 同时，f （x ）﹣g '（4﹣x ）＝2，两式联立可得g ′（4﹣x ）＝g ′（﹣x ），变形可得g ′（x +4）＝g ′（x ），g ′（x ）是周期为4的周期函数，则有g ′（2）＝g ′（﹣2），又由g ′（x ）为奇函数，则g ′（2）＝﹣g ′（﹣2）， 必有g ′（2）＝g ′（﹣2）＝0，②正确；对于③，在f （x ）+g '（x ）＝2中，令x ＝1可得：f （1）+g '（1）＝2， 在f （x ）﹣g '（4﹣x ）＝2中，令x ＝3可得：f （3）﹣g ′（1）＝2， 有f （1）+f （3）＝4，③错误；对于④，在f（x）+g'（x）＝2中，令x＝﹣1可得：f（﹣1）+g'（﹣1）＝2，在f（x）﹣g'（4﹣x）＝2中，令x＝﹣3可得：f（﹣3）﹣g′（7）＝2，而g′（x）是周期为4的周期函数，则有g′（7）＝g′（﹣1），必有f（﹣1）+f（﹣3）＝4，④正确．有3个命题正确．故选：C．8．已知函数f(x)=sin(2πx)+1x−2，则直线y＝x﹣2与f（x）的图象的所有交点的横坐标之和为（）A．0B．8C．12D．16解：由f（x）＝x﹣2可得sin(2πx)=x−2−1x−2，令g（x）＝sin（2πx），ℎ(x)=x−2−1x−2，则函数g（x）＝sin（2πx）的定义域为R，其最小正周期为T=2π2π=1，g（4﹣x）＝sin[2π（4﹣x）]＝sin（8π﹣2πx）＝﹣sin（2πx）＝﹣g（x），所以，函数g（x）的图象关于点（2，0）对称，函数ℎ(x)=x−2−1x−2的定义域为{x|x≠2}，对任意的x∈{x|x≠2}，ℎ(4−x)=(4−x)−2−1(4−x)−2=2−x−12−x=−ℎ(x)，所以，函数h（x）的图象也关于点（2，0）对称，因为函数y＝x﹣2、y=−1x−2在（2，+∞）上均为增函数，则函数h（x）在（2，+∞）上也为增函数，如下图所示：由图可知，函数g（x）、f（x）的图象共有六个交点，其中这六个点满足三对点关于点（2，0）对称，因此，直线y＝x﹣2与f（x）的图象的所有交点的横坐标之和为4×3＝12．故选：C．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．函数f(x)=3sin(2x−π3+φ)+1，φ∈（0，π），且f（x）为偶函数，则下列说法正确的是（）A．φ=5π6B．f（x）图象的对称中心为(π4+kπ2，1)，k∈ZC．f（x）图象的对称轴为x=π2+kπ，k∈ZD．f（x）的单调递减区间为[−π2+kπ，kπ]，k∈Z解：∵f(x)=3sin(2x−π3+φ)+1为偶函数，∴φ−π3=kπ+π2（k∈Z），∴φ＝kπ+5π6（k∈Z），又φ∈（0，π），∴φ=5π6，A正确；∴f（x）＝3sin（2x+π2）+1＝3cos2x+1，令2x＝kπ+π2（k∈Z），得x=kπ2+π4（k∈Z），∴f（x）图象的对称中心为(π4+kπ2，1)（k∈Z），B正确；令2x＝kπ（k∈Z），得x=kπ2（k∈Z），∴f（x）图象的对称轴方程为x=kπ2（k∈Z），C错误；令2kπ≤2x≤2kπ+π（k∈Z），得kπ≤x≤kπ+π2（k∈Z），∴f（x）的单调递减区间为[kπ，kπ+π2]（k∈Z），D错误．故选：AB．10．已知互不相同的30个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的28个样本数据的方差为s12，平均数为x1；去掉的两个数据的方差为s22，平均数为x2；原样本数据的方差为s2，平均数为x，若x=x2，则下列说法正确的是（）A．x=x1B．15s2=14s12+s22C．剩下28个数据的中位数大于原样本数据的中位数D．剩下28个数据的22%分位数不等于原样本数据的22%分位数解：A．剩下的28个样本数据的和为28x1，去掉的两个数据和为2x2，原样本数据和为30x，所以28x1+ 2x2=30x，因为x=x2，所以x=x1，故A选项正确；B．设x1＜x2＜x3＜⋯＜x29＜x30，s12=128[(x2−x1)2+(x3−x1)2+⋯+(x29−x1)2]，因为x1=x2=x，所以s22=12[(x1−x1)2+(x30−x1)2]，所以28s12+2s22=[(x1−x1)2+(x2−x1)2+(x3−x1)2+⋯+(x29−x1)2+(x30−x1)2]=30s2，所以15s2=14s12+s22，故B选项正确；C．剩下28个数据的中位数等于原样本数据的中位数，故C选项错误；D．去掉2个数据，则剩下28个数据的22%分位数不等于原样本数据的22%分位数，故D正确．故选：ABD．11．如图，多面体ABCDEF，底面ABCD为正方形，BF⊥底面ABCD，DE∥BF，AB＝DE＝BF＝1，动点G在线段AF上，则下列说法正确的是（）A．多面体ABCDEF的外接球的表面积为3πB．△CGD的周长的最小值为√3−√61C．线段CG长度的取值范围为[√62，√2]D．CG与平面AEC所成的角的正弦值最大为2√2 3解：对于A：由题意可知，多面体ABCDEF可以放在如图所示的正方体当中，设DF 中点为O ，则O 为多面体ABCDEF 的外接球球心， 所以多面体ABCDEF 的外接球半径为√12+12+122=√32， 则多面体ABCDEF 的外接球的表面积为4π×（√32）2＝3π，故A 正确； 对于B ：△CGD 的周长为CG +GD +CD ＝CG +GD +1，将△ADF ，△AFC 如下图所示展开，当D ，G ，C 三点共线时，CG +GD 最小，由AD ＝1，AF =AC =CF =√2，DF =√3， 则AD 2+AF 2＝DF 2，所以∠DAF ＝90°，∠F AC ＝60°， 所以∠DAC ＝150°，在△ACD 中，由余弦定理得，CD 2＝AD 2+AC 2﹣2AC •AC cos ∠150°， 所以CD =√1+2−2×1×√2×(−√32)=√3+√6，则△CGD 的周长最小为√3+√6+1，故B 错误；对于C ，以D 为原点，DA ，DC ，DE 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系：则C （0，1，0），设G （1，m ，m ），0≤m ≤1，则CG =√1+(m −1)2+m 2=√2(m −12)2+32∈[√62，√2]，故C 正确；对于D ：由A （1，0，0），C （0，1，0），E （0，0，1），所以AC →=(−1，1，0)，AE →=(−1，0，1)，CG →=(1，m −1，m)，设平面AEC 法向量n →=（x ，y ，z ），由{n →⋅AC →=−x +y =0n →⋅AE →=−x +z =0，令x ＝1，则y ＝1，z ＝1，则n →=（1，1，1）， 则CG 与平面AEC 所成角的正弦值为|CG →⋅n →||CG →||n →|=√3×√2(m 2−m+1)=√2√3×√(m −2)2+4，因为0≤m ≤1，所以1m≥1，当1m=1，即m ＝1时，移动CG 与平面AEC 所成角的正弦值最大为√2√3×√(2)2+4=√63，故D 错误． 故选：AC ．12．已知函数f （x ）＝xe x ，g （x ）＝xlnx ，则下列说法正确的是（ ） A ．函数f （x ）与函数g （x ）有相同的极小值B ．若方程f （x ）＝a 有唯一实根，则a 的取值范围为a ≥0C ．若方程g （x ）＝a 有两个不同的实根x 1，x 2，则x 1x 2＞a 2D ．当x ＞0时，若f （x 1）＝g （x 2）＝t ，则x 1x 2＝t 成立 解：对于A ，f （x ）＝xe x ，f '（x ）＝（x +1）e x ，当x ＜﹣1时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减；当x ＞﹣1时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增， 所以f （x ）的极小值为f(−1)=−1e，g （x ）＝xlnx ，g ′（x ）＝lnx +1，当0＜x ＜1e 时，g ′（x ）＜0，g （x ）单调递减；当x ＞1e 时，g ′（x ）＞0，g （x ）单调递增，所以g （x ）的极小值为g(1e )=−1e，故A 正确；对于B ，若方程f （x ）＝xe x ＝a 有唯一实根， 由于当x →﹣∞时，f （x ）→0，且f （0）＝0，结合f （x ）的单调性和最值可知，a ≥0或a =−1e，故B 错误；对于C ，因为方程g （x ）＝a 有两个不同的实根x 1，x 2， 假设x 1＞x 2，则a ＜0，{x 1lnx 1=ax 2lnx 2=a ，即{lnx 1=ax 1lnx 2=a x 2， 两式相减得，x 1−x 2lnx 1−lnx 2=−1ax 1x 2，下面证对数均值不等式：x1−x2lnx1−lnx2＞√x1x2(x1＞x2)，即证x1x2−1ln x1x2＞√x1x2，设m=√x1x2(m＞1)，即证m2−12lnm＞m，即证m−1m−2lnm＞0，令φ(m)=m−1m−2lnm(m＞1)，则φ′(m)=1+1m2−2m=(m−1)2m2＞0，则φ（m）在（1，+∞）单调递增，当m＞1时，φ（m）＞φ（1）＝0，得证．所以x1−x2lnx1−lnx2=−1ax1x2＞√x1x2，则√x1x2＞−a＞0，即x1x2＞a2，故C正确；对于D，当x＞0时，若f（x1）＝g（x2）＝t，则x1e x1=lnx2e lnx2=t⇒f（x1）＝f（lnx2），显然x1＞0，lnx2＞0，则x1＝lnx2，则x1x2＝x2lnx2＝t，故D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．将序号分别为1，2，3，4，5，6的六张参观券全部分给甲、乙等5人，每人至少一张，如果分给甲的两张参观券是连号，则不同分法共有120种．解：由题意得，如果分给甲的两张参观券是连号，则有C51=5种分法，再将剩余的4张分给剩余4个人，有A44=24种分法，所以一共有5×24＝120种分法．故答案为：120．14．已知圆C1：x2+y2−2ax+4by+4=0，则直线ax﹣2by+2＝0与圆C2：x2+y2=1的位置关系是相交．解：因为（x﹣a）2+（y+2b）2＝a2+4b2﹣4表示圆C1的方程，所以a2+4b2﹣4＞0，即a2+4b2＞4．因为圆C2的圆心到直线ax﹣2by+2＝0的距离22=√a2+4b2＜22=1，所以直线ax﹣2by+2＝0与圆C2：x2+y2=1相交．故答案为：相交．15．已知函数f(x)=3sin(π4x+φ)(φ∈R)的部分图象如图所示，A，B分别为图象的最低点和最高点，过A，B作x轴的垂线分别交x轴于点A'，B'．将画有该图象的纸片沿着x轴折成120°的二面角A﹣A'B'﹣B，此时|AB|＝√43．解：函数f(x)=3sin(π4x +φ)(φ∈R)的部分图象如图所示，A ，B 分别为图象的最低点和最高点，过A ，B 作x 轴的垂线分别交x 轴于点A '，B '， ∴由题意得AA ′＝BB ′＝3，A ′B ′=12×2ππ4=4， ∴|AB |=√(BB′→+B′A′→+A′A →)2=√BB ′→2+B′A′→2+A′A →2+2|BB′→|⋅|A′A →|cos60°=√9+16+9+2×3×3×12=√43． 故答案为：√43．16．已知实数x ，y 满足x 2﹣3lnx ﹣y ＝0，则√x 2+y 2−mx +my +m 22(m ∈R)的最小值为 √2 ． 解：由题意得√x 2+y 2−mx +my +m 22=√(x −m 2)2+(y +m2)2，即求曲线y ＝x 2﹣3lnx 上一点到(m 2，−m2)距离的最小值，又因为(m 2，−m2)在直线y ＝﹣x 上，所以当曲线与直线y ＝﹣x 平行时，所求距离取得最小值， 因为x 2﹣3lnx ﹣y ＝0，所以y ＝x 2﹣3lnx ，y ′＝2x −3x ，令y ′＝2x −3x =−1，解得x ＝1或x =−32 （舍），当x ＝1时，点（1，1）到直线x +y ＝0距离为√2=√2，即所求曲线y ＝x 2﹣3lnx 上一点到 (m 2，−m2) 距离的最小值为√2．故答案为：√2．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）设函数f （x ）＝sin （ωx −π6）+sin （ωx −π2），其中0＜ω＜3，已知f （π6）＝0．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y ＝f （x ）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g （x ）的图象，求g （x ）在[−π4，3π4]上的最小值．解：（Ⅰ）函数f （x ）＝sin （ωx −π6）+sin （ωx −π2）＝sin ωx cos π6−cos ωx sin π6−sin （π2−ωx ）=√32sin ωx −32cos ωx=√3sin （ωx −π3），又f （π6）=√3sin （π6ω−π3）＝0，∴π6ω−π3=k π，k ∈Z ，解得ω＝6k +2， 又0＜ω＜3， ∴ω＝2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f （x ）=√3sin （2x −π3），将函数y ＝f （x ）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y =√3sin （x −π3）的图象；再将得到的图象向左平移π4个单位，得到y =√3sin （x +π4−π3）的图象，∴函数y ＝g （x ）=√3sin （x −π12）； 当x ∈[−π4，3π4]时，x −π12∈[−π3，2π3]，∴sin （x −π12）∈[−√32，1]， ∴当x =−π4时，g （x ）取得最小值是−√32×√3=−32．18．（12分）如图，AB 是半球O 的直径，AB ＝4，M ，N 依次是底面AB ̂上的两个三等分点，P 是半球面上一点，且∠PON ＝60°． （1）证明：PB ⊥PM ；（2）若点P 在底面圆上的射影为ON 中点，求直线PM 与平面P AB 所成的角的正弦值．解：（1）证明：连接AM ，OM ，MN ，PN ，∵M ，N 依次是底面AB̂的两个三等分点，∴四边形OMNB 为菱形， 设MB ∩ON ＝Q ，则Q 为ON 的中点，且ON ⊥MB ， 又∵OP ＝ON ，∠PON ＝60°，故△OPN 为等边三角形， 连接PQ ，则ON ⊥PQ ，又∵MB ∩PQ ＝Q ，∴ON ⊥面PMB ，∵PB ⊂面PMB ，∴ON ⊥PB ，∵M ，N 依次是底面AB̂的两个三等分点，∴ON ∥AM ， ∴AM ⊥PB ，又因为AB 是半球O 的直径，P 是半球面上一点，因此P A ⊥PB ， 又AM ∩P A ＝A ，∴PB ⊥面P AM ，∵PM ⊂面P AM ，∴PB ⊥PM ； （2）根据题意可知PQ ⊥面AMB ，如图建立空间直角坐标系，则P(0，0，√3)，M(√3，0，0)，B(−√3，0，0)，A(√3，−2，0)， PM →=（√3，0，−√3），PA →=（√3，﹣2，−√3），BA →=(2√3，−2，0)，则{n →⋅PA →=√3x −2y −√3z =0n →⋅BA →=2√3x −2y =0，令x ＝1，则y =√3，z ＝﹣1，因此n →=(1，√3，−1)， 设直线PM 与平面P AB 所成角为θ，sinθ=|n →⋅PM→|n →||PM →||=√35×6=√105，直线PM 与平面P AB 所成的角的正弦值为√105．19．（12分）设锐角△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos A ﹣a cos B ． （1）求证：B ＝2A ； （2）求ba的取值范围；（3）若c ＝1，求△ABC 面积的取值范围． （1）证明：因为a ＝b cos A ﹣a cos B ，由正弦定理得sin A ＝sin B cos A ﹣sin A cos B ，所以sin A ＝sin （B ﹣A ）， 又因为△ABC 为锐角三角形，可得A ，B ∈(0，π2)，所以B −A ∈(−π2，π2)，可得A ＝B ﹣A ，即B ＝2A ．（2）解：因为B ＝2A ，且△ABC 为锐角三角形，且C =π−(A +B)=π−32B ＜π2，可得B ＞π3，所以π3＜B ＜π2，又因为B ＝2A ，即π3＜2A ＜π2，可得π6＜A ＜π4，所以√22＜cosA ＜√32，则b a =sinB sinA =sin2A sinA =2cosA ∈(√2，√3)，即b a的取值范围是(√2，√3)．（3）解：由正弦定理得a=sinAsinC，b=sinBsinC，所以S=12absinC=12⋅sinA⋅sinBsinC=12⋅sinA⋅sin2Asin3A=12⋅sinA⋅sin2Asin2A⋅cosA+cos2A⋅sinA=sinA⋅cosA3cos2A−sin2A=13 tanA −tanA，又由π6＜A＜π4，可得√33＜tanA＜1，设f(x)=3x−x在(√33，1)为单调递减函数，可得3tanA−tanA∈(2，8√33)，所以S∈(√38，12)，故S的取值范围是(√38，12)．20．（12分）已知{a n}和{b n}均为等差数列，a1＝b1＝1，a3＝a1+a2，b5＝b4+a2，记c n＝max{b1﹣na1，b2﹣na2，…，b n﹣na n}（n＝1，2，3，…），其中max{x1，x2，…，x s}表示x1，x2，…，x s这s个数中最大的数．（1）计算c1，c2，c3，猜想数列{c n}的通项公式并证明；（2）设数列{1(3−c n)(2−c n)}的前n项和为S n，若S n＜−m2+4m对任意n∈N*恒成立，求偶数m的值．解：（1）设等差数列{a n}，{b n}的公差分别为d1，d2，∵a1＝b1＝1，a3＝a1+a2，b5＝b4+a2，∴1+2d1＝2+d1，d2＝1+d1，解得d1＝1，d2＝2，∴a n＝1+（n﹣1）＝n，b n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1．c n＝max{b1﹣na1，b2﹣na2，…，b n﹣na n}（n＝1，2，3，…），c1＝max{b1﹣a1}＝0，c2＝max{b1﹣2a1，b2﹣2a2}＝max{﹣1}＝﹣1，c3＝max{b1﹣3a1，b2﹣3a2，b3﹣3a3}＝max{﹣2，﹣3，﹣4}＝﹣2．猜想数列{c n}的通项公式c n＝1﹣n．证明：∵b k+1﹣na k+1﹣（b k﹣na k）＝b k+1﹣b k﹣n（a k+1﹣a k）＝2﹣n，∴数列{b k﹣na k}为单调递减数列，∴c n＝b1﹣na1＝1﹣n．（2）1(3−c n)(2−c n)=1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2，∴数列{1(3−c n)(2−c n)}的前n项和为S n＝（12−13）+（13−14）+…+（1n+1−1n+2）=12−1n+2，∵S n＜−m2+4m对任意n∈N*恒成立，∴12≤−m2+4m，化为：2m2﹣8m+1≤0，解得：4−√142≤m≤4+√142，∴偶数m的值为2．21．（12分）已知函数ℎ(x)=e x−1−x x2．（1）若x＞0时，恒有h（x）＞a，求a的取值范围；（2）证明：当x＞1时，e x（1+lnx）＞ex2．解：（1）若x＞0时，恒有h（x）＞a，所以当x＞0时，e x﹣1﹣x﹣ax2＞0恒成立，设f（x）＝e x﹣1﹣x﹣ax2（x≥0），令g（x）＝f'（x）＝e x﹣1﹣2ax（x≥0），则g（′x）＝e x﹣2a，显然g′（x）在（0，+∞）单调递增．故当x＞0时，g'（x）＞g'（0）＝1﹣2a，当a≤12时，1﹣2a≥0，则g'（x）＞0 对x＞0恒成立，则f'（x）在（0，+∞）单调递增，从而当x＞0时，f'（x）＞f'（0）＝0，即f（x）在（0，+∞）单调递增，所以当x＞0时，f（x）＞f（0）＝0，符合题意；当a＞12时，g（0）＝1﹣2a＜0，又因为g'[ln（1+2a）]＝e ln（1+2a）﹣2a＝1＞0，所以存在x0∈（0，ln（1+2a）），使得g'（x0）＝0，所以当0＜x＜x0时，g'（x0）＜0，即f'（x）单调递减，f'（x）＜f'（0）＝0，则f（x）单调递减，此时f（x）＜f（0）＝0，不符合题意，综上所述，a的取值范围为(−∞，12 ]；证明：（2）要证当x＞1时，e x（1+lnx）＞ex2，即证e x−1(1+lnx)x2−1＞0，设m（x）=e x−1(1+lnx)x2−1，x≥1，则m′（x）=(1+lnx)e x−1x2−(1+2lnx)e x−1x3=xlnx−2lnx+x−1x3⋅e x−1，令n（x）＝xlnx﹣2lnx+x﹣1（x≥1），则n′(x)=lnx+2−2x单调递增，所以当x＞1时，n′（x）＞n′（1）＝0，即m（x）单调递增，则当x＞1时，m′（x）＞0，即m（x）单调递增，所以当x＞1时，m(x)=e x−1(1+lnx)x2−1＞m(1)=0，原式得证．22．（12分）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，为弘扬奥林匹克和亚运精神，增强锻炼身体意识，某学校举办一场羽毛球比赛．已知羽毛球比赛的单打规则是：若发球方胜，则发球方得1分，且继续在下一回合发球；若接球方胜，则接球方得1分，且成为下一回合发球方．现甲、乙二人进行羽毛球单打比赛，根据以往甲、乙两名运动员对阵的比赛数据可知，若甲发球，甲得分的概率为35，乙得分的概率为25；若乙发球，乙得分的概率为45，甲得分的概率为15．规定第1回合是甲先发球．（1）求第3回合由甲发球的概率；（2）①设第i回合是甲发球的概率为p i，证明：{p i−13}是等比数列；②已知：若随机变量X i服从两点分布，且P（X i＝1）＝1﹣P（X i＝0）＝q i，i＝1，2，…，n，则E(∑n i=1X i)=∑n i=1q i．若第1回合是甲先发球，求甲、乙连续进行n个回合比赛后，甲的总得分的期望．解：（1）设“第3回合由甲发球”为事件A，则P(A)=35×35+25×15=1125，所以第3回合由甲发球的概率为11 25．（2）①证明：第i（i≥2）回合是甲发球分两种情况：第一种情况为第i﹣1回合是甲发球且甲得分，第二种情况为第i﹣1回合是乙发球且甲得分，则p i=35p i−1+15(1−p i−1)，即p i=25p i−1+15，所以p i−13=25(p i−1−13)，i≥2，又因为p1−13=1−13=23≠0，所以p i−13≠0，所以p i−13p i−1−13=25，i≥2，即{p i−13}是首项为23，公比为25的等比数列．②因为{p i−13}是首项为23，公比为25的等比数列，所以p i−13=23×(25)i−1，即p i=23×(25)i−1+13，记第i回合甲得分为X i，显然X i服从两点分布，且事件X i＝1等价于第i+1回合是甲发球，故P（X i＝1）＝p i+1，又因为甲、乙连续进行n个回合比赛后，甲的得分为X＝X1+X2+…+X n，所以E（X）＝E（∑n i=1X i）=∑n i=1p i+1=∑n i=1[23×(25)i+13]=23×25[1−(25)n]1−25+n3=n3+49[1−(25)n]，故甲的总得分的期望为n3+49[1−(25)n]．。

2023-2024学年广东省汕头市高三（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知2i是关于x的方程2x2+q＝0的一个根，则实数q的值为（）A．8B．﹣8C．4D．﹣42．设表示“向东走10km”，表示“向南走5km”，则（）A．向东南走B．向西南走C．向东南走D．向西南走3．已知全集U＝A∪B＝{x∈N|0≤x≤8}，A∩（∁U B）＝{1，3，5}，则集合B为（）A．{2，4，6，7}B．{0，2，4，6，8}C．{0，2，4，6，7，8}D．{0，1，2，3，4，5，6，7，8}4．已知直线l1：2x﹣ay+1＝0和l2：（a﹣1）x﹣y+a＝0平行，则实数a＝（）A．﹣1B．2C．﹣1或2D．15．已知，则tanθ＝（）A．B．C．D．6．关于椭圆与双曲线的关系（）A．焦点相同B．顶点相同C．焦距相等D．离心率相等7．已知函数，下列函数是奇函数的是（）A．f（x+1）+1B．f（x﹣1）+1C．f（x﹣1）﹣1D．f（x+1）﹣18．已知数列{a n}的前n项和、前2n项和、前3n项和分别为P、Q、R，则“{a n}为等比数列”的一个必要条件为（）A．（P+Q）﹣R＝Q2B．P2+Q2＝P（Q+R）C．P+Q＝R D．Q2＝PR二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．某科技攻关青年团队共有10人，其年龄（单位：岁）分布如表所示（）A．中位数是34B．众数是32C．第25百分位数是29D．平均数为34.310．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：∀x、y∈（0，+∞），f（x）（y）＝f（xy），且当0＜x＜1时，f（x），若f（2）＝1，则（）A．f（1）＝0B．f（x）在（0，+∞）上单调递减C．D．f（2）+f（22）+⋯+f（220）＝5511．某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）满足函数关系y＝e kx+b（e＝2.71828…，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是120小时，在20℃的保鲜时间是30小时，则（）A．k＜0且b＞0B．在10℃的保鲜时间是60小时C．要使得保鲜时间不少于15小时，则储存温度不低于30℃D．在零下2℃的保鲜时间将超过150小时12．在三棱锥P﹣ABC中，P A⊥平面ABC，，E是底面ABC上（含边界），F是三棱锥P﹣ABC的外接球O表面上的一个动点，则（）A．当E在线段AB上时，PE⊥BCB．EF的最大值为4C．当F A∥平面PBC时，点F的轨迹长度为2πD．存在点F，使得平面P AC与平面PFB夹角的余弦值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（1+x）n（n∈N*）的展开式中x2项的系数为15，则n＝．14．若正四棱台的上、下底边长分别为2、4，侧面积为，则该棱台体积为．15．已知函数在区间[0，π]上恰有三个零点．16．从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图①1，F2的椭圆C与双曲线S构成，现一光线从左焦点F1发出，依次经S与C反射，又回到了点F1，历时t1秒；若将装置中的S去掉，如图②1发出，经C两次反射后又回到了点F1，历时t2秒．若C与S的离心率之比为2：3，则＝．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a＝6，．（1）求角A的大小；（2）M为△ABC的重心，AM的延长线交BC于点D，且，求△ABC的面积．18．（12分）记等差数列{a n}的前n项和为S n，首项为a1，已知S4＝4S2，且a2n＝2a n+1，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{（﹣1）n•a n}的前n项和．19．（12分）如图，在边长为4的正三角形ABC中，E、F分别为边AB、AC的中点将△AEF沿EF翻折至△A1EF，得四棱锥A1﹣EFCB，设P为A1C的中点．（1）证明：FP∥平面A1BE；（2）若平面A1EF⊥平面EFCB，求平面BPF与平面BCF夹角的余弦值．20．（12分）《国家学生体质健康标准》是我国对学生体质健康方面的基本要求，是综合评价学生综合素质的重要依据．为促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某学校从全校学生中随机抽取200名学生进行“是否喜欢体育锻炼”的问卷调查．获得如下信息：①男生所占比例为60%；②不喜欢体育锻炼的学生所占比例为45%；③喜欢体育锻炼的男生比喜欢体育锻炼的女生多50人．（1）完成2×2列联表，依据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析喜欢体育锻炼与性别是否有关联？（2）（ⅰ）从这200名学生中采用按比例分配的分层随机抽样方法抽取20人，再从这20人中随机抽取3人．记事件A＝“至少有2名男生”、B＝“至少有2名喜欢体育锻炼的男生”、C＝“至多有1名喜欢体育锻炼的女生”．请计算P（B|A）（ABC）的值．（ⅱ）对于随机事件A、B、C，P（A）＞0，P（AB）＞0（ABC）与P（A）•P（B|A）（C|AB）的大小关系，并给予证明．参考公式及数据：，n＝a+b+c+d．21．（12分）已知圆心在y轴上移动的圆经过点A（0，﹣4），且与x轴、y轴分别交于B（x，0）、C（0，y），过点B垂直于x轴的直线与过点C垂直于y轴的直线交于点M．（1）求点M的轨迹T的方程；（2）点P、Q在曲线T上，以PQ为直径的圆经过原点O，作OH⊥PQ，使得|RH|为定值，若存在；若不存在，说明理由．22．（12分）已知函数f（x）＝xlnx﹣a（x﹣1），a∈R．（1）若f（x）≥0，求实数a的值；（2）当n∈N*时，证明：．2023-2024学年广东省汕头市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知2i是关于x的方程2x2+q＝0的一个根，则实数q的值为（）A．8B．﹣8C．4D．﹣4解：由题意，2×（2i）3+q＝0，解得q＝8．故选：A．2．设表示“向东走10km”，表示“向南走5km”，则（）A．向东南走B．向西南走C．向东南走D．向西南走解：表示“向东走10km”，，即2，根据向量加法的平行四边形法则可知，＝表示向东南走10．故选：A．3．已知全集U＝A∪B＝{x∈N|0≤x≤8}，A∩（∁U B）＝{1，3，5}，则集合B为（）A．{2，4，6，7}B．{0，2，4，6，8}C．{0，2，4，6，7，8}D．{0，1，2，3，4，5，6，7，8}解：全集U＝A∪B＝{x∈N|0≤x≤8}，A∩（∁U B）＝{4，3，5}，∴{8，3，5}⊆A，5，5}⊆∁U B∴集合B＝{0，2，4，6，4，8}．故选：C．4．已知直线l1：2x﹣ay+1＝0和l2：（a﹣1）x﹣y+a＝0平行，则实数a＝（）A．﹣1B．2C．﹣1或2D．1解：当l1：2x﹣ay+8＝0，l2：（a﹣7）x﹣y+a＝0不相交时，2×（﹣4）＝（﹣a）×（a﹣1），解得a＝﹣1或a＝3，当a＝﹣1时，l1：7x+y+1＝0，l8：﹣2x﹣y﹣1＝8，即2x+y+1＝6，不符合题意，当a＝2时，l1：3x﹣2y+1＝6，l2：x﹣y+2＝3，两直线平行．故选：B．5．已知，则tanθ＝（）A．B．C．D．解：由，解得，又由，解得，因为，所以，又因为，得，所以．故选：C．6．关于椭圆与双曲线的关系（）A．焦点相同B．顶点相同C．焦距相等D．离心率相等解：由椭圆，得，k＜9，25﹣k﹣（6﹣k）＝16，所以椭圆的焦点在x轴上，0），0），由双曲线，得焦点在y轴上，所以2c＝2；所以椭圆与双曲线有相同的焦距．故选：C．7．已知函数，下列函数是奇函数的是（）A．f（x+1）+1B．f（x﹣1）+1C．f（x﹣1）﹣1D．f（x+1）﹣1解：由于，定义域为（﹣∞，+∞），故，定义域为（﹣∞，+∞）+2＝8+ln，即f（x+6）+1不是奇函数，A错误；，定义域为（﹣∞，+∞），即f（x﹣1）+1不是奇函数；f（x﹣2）﹣1＝ln，定义域为（﹣∞，+∞），即f（x﹣1）﹣1不是奇函数，C错误；，定义域为（﹣∞，+∞），，即为奇函数．故选：D．8．已知数列{a n}的前n项和、前2n项和、前3n项和分别为P、Q、R，则“{a n}为等比数列”的一个必要条件为（）A．（P+Q）﹣R＝Q2B．P2+Q2＝P（Q+R）C．P+Q＝R D．Q2＝PR解：若{a n}为等比数列，则P、Q2＝P（R﹣Q），整理得P2+Q8＝P（Q+R），因此“{a n}为等比数列”的一个必要条件为“P2+Q2＝P（Q+R）”．故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．某科技攻关青年团队共有10人，其年龄（单位：岁）分布如表所示（）A．中位数是34B．众数是32C．第25百分位数是29D．平均数为34.3解：把10个人的年龄由小到大排列为28，29，32，32，40，45，这组数据的中位数为32，众数为32，选项B正确；由25%×10＝2.5，得这组数据的第25百分位数是第7个数，选项C正确；这组数据的平均数为，选项D正确．故选：BCD．10．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：∀x、y∈（0，+∞），f（x）（y）＝f（xy），且当0＜x＜1时，f（x），若f（2）＝1，则（）A．f（1）＝0B．f（x）在（0，+∞）上单调递减C．D．f（2）+f（22）+⋯+f（220）＝55解：∀x、y∈（0，f（x）+f（y）＝f（xy），令f（x）＝log a x（x＞0），∴3＜x＜1时，f（x）＜0，∴a＞3，又f（2）＝log a2＝1，∴a＝8，∴f（x）＝log2x（x＞0），∴f（1）＝4，A正确；f（x）在（0，+∞）上单调递增；又|f（x）|＝|log2x|＝|﹣log2x|＝||＝；f（2）+f（22）+⋯+f（720）＝log22++...+＝210≠55．故选：AC．11．某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）满足函数关系y＝e kx+b（e＝2.71828…，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是120小时，在20℃的保鲜时间是30小时，则（）A．k＜0且b＞0B．在10℃的保鲜时间是60小时C．要使得保鲜时间不少于15小时，则储存温度不低于30℃D．在零下2℃的保鲜时间将超过150小时解：因为该食品在0℃的保鲜时间是120小时，在20℃的保鲜时间是30小时，易得y＝e kx+b是减函数，结合复合函数的单调性可知k＜0，又120＝e b＞4，可知b＞0；又30＝e20k+b，即30＝e20k•e b，故，，则，故B正确；若e kx+b≥15，则，结合，不等式化为e kx≥e30k，即kx≥30k，又k＜2，故C错误；当x＝﹣2时，，故D错误．故选：AB．12．在三棱锥P﹣ABC中，P A⊥平面ABC，，E是底面ABC上（含边界），F是三棱锥P﹣ABC的外接球O表面上的一个动点，则（）A．当E在线段AB上时，PE⊥BCB．EF的最大值为4C．当F A∥平面PBC时，点F的轨迹长度为2πD．存在点F，使得平面P AC与平面PFB夹角的余弦值为解：对于A：由已知AB2+BC2＝AC7，即AB⊥BC，又P A⊥平面ABC，且BC⊂平面ABC，所以P A⊥BC，又P A，P A∩AB＝A，所以BC⊥面P AB，所以PE⊥BC，A正确：对于B：设三棱锥P﹣ABC的外接球O半径为R，将三棱锥P﹣ABC补成正方体ABCD﹣PGHI三棱锥P﹣ABC的外接球O即为正方体ABCD﹣PGHI的外接球，则，则EF的最大值为外接球的直径，即，B错误；对于C：当F A∥平面PBC时，点F的轨迹为过点A且与面PBC平行的平面与外接球的交线，产生的轨迹是一个圆，设其半径为r，设点A到面PBC的距离为h，因为V P﹣ABC＝V A﹣PBC，所以，解得，所以，所以点F的轨迹长度为2πr＝2π，C正确；对于D：取线段AC的中点M，连接BM，在正方体ABCD﹣PGHI中，明显有BM⊥面P AC，即点B到面P AC距离为线段BM的长，且，设平面P AC与平面PFB的交线为l，平面P AC与平面PFB的夹角为θ，过B作BN⊥l交l与N，连接MN，明显有BM⊥l，BN⊥l，BM，所以l⊥面BMN，则∠BNM为平面P AC与平面PFB夹角，则，又由图象可得，所以，所以，所以，又．所以存在点F，使得平面P AC与平面PFB夹角的余弦值为．故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（1+x）n（n∈N*）的展开式中x2项的系数为15，则n＝6．解：展开式中含x2的项为，则，解得n＝6，故答案为：2．14．若正四棱台的上、下底边长分别为2、4，侧面积为，则该棱台体积为．解：如图，设该正四棱台为ABCD﹣A1B1C5D1，在等腰梯形ABB1A5中，过A1作A1E⊥AB于E，则AE＝8．由该正四棱台的侧面积为4××（2+4）×A6E＝，得A1E＝，则A1A＝．连接AC，A1C7，则AC＝，A8C1＝，在等腰梯形ACC1A1中，过A8作A1F⊥AC于F，则AF＝．根据正四棱台的性质可知，A8F⊥平面ABCD．在Rt△AF A1中，．该正四棱台的体积V＝××（4+16+．故答案为：．15．已知函数在区间[0，π]上恰有三个零点．解：根据题意，可得f（x）＝0时，，即．分别取k＝3，2，3，3，…，f（x）在区间（0，，，，…，因为f（x）区间[0，π]上恰有三个零点，解得．故答案为：．16．从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图①1，F2的椭圆C与双曲线S构成，现一光线从左焦点F1发出，依次经S与C反射，又回到了点F1，历时t1秒；若将装置中的S去掉，如图②1发出，经C两次反射后又回到了点F1，历时t2秒．若C与S的离心率之比为2：3，则＝6．解：不妨设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，在图①中，由椭圆定义可得|BF3|+|BF2|＝2a2，由双曲线定义可得|AF2|﹣|AF1|＝4a2，由以上两式可得|AF1|+|AB|+|BF2|＝2a1﹣3a2，所以△ABF1的周长为5a1﹣2a7；在图②中，光线从椭圆的一个焦点发出，此时直线CD经过点F2，所以△CDF1的周长为4a1，又椭圆与双曲线焦点相同，C与S的离心率之比为2：7，可得3a2＝7a1，因为两次所用时间分别为t1，t3，而光线速度相同，则＝＝＝2．故答案为：6．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a＝6，．（1）求角A的大小；（2）M为△ABC的重心，AM的延长线交BC于点D，且，求△ABC的面积．解：（1）在△ABC中，∵，由正弦定理可得，∵5＜B＜π，∴sin B≠0，即，∴，∵0＜A＜π，∴，∴，故，即；（2）∵M为△ABC的重心，AM的延长线交BC于点D，且，∴点D为BC中点，且，在△ABC中，a＝8，2+c4﹣36，在△ABD和△ACD中，，化简得b4+c2＝72，∴bc＝b2+c7﹣36＝72﹣36＝36，故，∴△ABC的面积为．18．（12分）记等差数列{a n}的前n项和为S n，首项为a1，已知S4＝4S2，且a2n＝2a n+1，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{（﹣1）n•a n}的前n项和．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由S4＝4S7，可得4a1+6d＝4（2a4+d），即d＝2a1，由a2n＝2a n+1，n∈N*，可得a3＝a1+d＝2a6+1，即d＝a1+5，解得a1＝1，d＝3，则a n＝1+2（n﹣3）＝2n﹣1；（2）数列{（﹣7）n•a n}，即数列{（﹣1）n•（2n﹣3）}，设数列{（﹣1）n•a n}的前n项和为T n，当n为偶数时，T n＝﹣1+6﹣5+7﹣...﹣（2n﹣3）+（2n﹣8）＝2+2+...+8＝2•＝n；当n为奇数时，T n＝T n﹣5﹣（2n﹣1）＝n﹣5﹣2n+1＝﹣n，所以数列{（﹣5）n•a n}的前n项和为（﹣1）n n．19．（12分）如图，在边长为4的正三角形ABC中，E、F分别为边AB、AC的中点将△AEF沿EF翻折至△A1EF，得四棱锥A1﹣EFCB，设P为A1C的中点．（1）证明：FP∥平面A1BE；（2）若平面A1EF⊥平面EFCB，求平面BPF与平面BCF夹角的余弦值．解：（1）证明：取A1B的中点Q，连接PQ，则有PQ∥BC，且PQ＝，又EF∥BC BC，所以PQ∥EF，且PQ＝EF，则四边形EFPQ为平行四边形，则FP∥EQ，又FP⊄平面A8BE，EQ⊂平面A1BE，所以FP∥平面A1BE．（2）取EF中点O，BC中点G，因为平面A2EF⊥平面EFCB，且交线为EF1O⊥平面EFCB，所以OA1、OE、OG两两垂直，以O为坐标原点，OE、OA5所在直线分别为x，y，z轴，则，F（﹣1，7，B（2，，C（﹣8，，因为P是A1C的中点，所以P（﹣3，，），所以＝（﹣7，0，﹣），，，0），，），设平面BFP的法向量＝（x，y，则，取x＝1，得，﹣），由题知，平面BCF的一个法向量为，设平面BPF与平面BCF夹角为θ，则cosθ＝＝＝，所以平面BPF与平面BCF夹角的余弦值为．20．（12分）《国家学生体质健康标准》是我国对学生体质健康方面的基本要求，是综合评价学生综合素质的重要依据．为促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某学校从全校学生中随机抽取200名学生进行“是否喜欢体育锻炼”的问卷调查．获得如下信息：①男生所占比例为60%；②不喜欢体育锻炼的学生所占比例为45%；③喜欢体育锻炼的男生比喜欢体育锻炼的女生多50人．（1）完成2×2列联表，依据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析喜欢体育锻炼与性别是否有关联？（2）（ⅰ）从这200名学生中采用按比例分配的分层随机抽样方法抽取20人，再从这20人中随机抽取3人．记事件A＝“至少有2名男生”、B＝“至少有2名喜欢体育锻炼的男生”、C＝“至多有1名喜欢体育锻炼的女生”．请计算P（B|A）（ABC）的值．（ⅱ）对于随机事件A、B、C，P（A）＞0，P（AB）＞0（ABC）与P（A）•P（B|A）（C|AB）的大小关系，并给予证明．参考公式及数据：，n＝a+b+c+d．解：（1）∵男生所占比例为60%，∴男生有200×60%＝120人，∵不喜欢体育锻炼的学生所占比例为45%，∴不喜欢体育锻炼的学生有200×45%＝90人，∴喜欢体育锻炼的学生有200﹣90＝110人，∵喜欢体育锻炼的男生比喜欢体育锻炼的女生多50人，∴喜欢体育锻炼的男生有80人，喜欢体育锻炼的女生有30人，∴2×2列联表为：假设H8：是否喜欢体育锻炼与性质无关联，根据表中数据，计算得：＝≈16.498＞10.828，依据小概率值α＝0.001的独立性检验，推断H0不成立，∴喜欢体育锻炼与性别有关联．（2）（ⅰ）依题意随机抽取的20名学生中，喜欢体育锻炼的男生有6人，喜欢体育锻炼的女生有3人，不喜欢体育锻炼的女生有5人，事件B|A表示“在至少有7名男生喜欢体育锻炼的条件下，至少有2名男生喜欢体育锻炼”，事件ABC表示“2男生2女生都喜欢体育锻炼”和“3男生中至少2人喜欢体育锻炼”，∴P（B|A）＝＝，P（ABC）＝＝．（ii）对于随机事件A，B，C，P（A）＞3，则P（ABC）＝P（A）P（B|A）P（C|AB）．证明如下：P（A）P（B|A）P（C|AB）＝P（A）•＝P（ABC）．21．（12分）已知圆心在y轴上移动的圆经过点A（0，﹣4），且与x轴、y轴分别交于B（x，0）、C（0，y），过点B垂直于x轴的直线与过点C垂直于y轴的直线交于点M．（1）求点M的轨迹T的方程；（2）点P、Q在曲线T上，以PQ为直径的圆经过原点O，作OH⊥PQ，使得|RH|为定值，若存在；若不存在，说明理由．解：（1）因为圆心在y轴上移动的圆经过点A（0，﹣4）与C（3，所以AC为动圆的直径，又动圆经过点B（x，故AB⊥CB，于是，即x6＝4y，而过点B垂直于x轴的直线与过点C垂直于y轴的直线交于点M，则M（x，故点M的轨迹T的方程为x2＝4y．（2）存在，理由如下：如图，依题意，直线PQ的斜率存在且截距大于0，故设其方程为y＝kx+m（m＞0），P（x7，y1），Q（x2，y7），联立，消去y得，x6﹣4kx﹣4m＝2，故Δ＝16（k2+m）＞0，则x5x2＝﹣4m，故，因为以PQ为直径的圆经过原点O，所以OP⊥OQ，则，则﹣6m+m2＝0，解得m＝7或m＝0（舍去），故直线PQ为y＝kx+4，显然经过定点N（6，又因为OH⊥PQ，则点H在以ON为直径的圆上，取ON中点R（0，2），则，因此，存在定点R（7．22．（12分）已知函数f（x）＝xlnx﹣a（x﹣1），a∈R．（1）若f（x）≥0，求实数a的值；（2）当n∈N*时，证明：．解：（1）由f（x）≥0，得．令，则．注意到h（1）＝0，所以x＝4是函数h（x）的极小值点，所以，得a＝1．当a＝1时，，则函数h（x）在（0，在（6，所以h（x）≥h（1）＝0，满足条件．（2）证明：由（1）可得，．令，则，所以，即．令g（x）＝x﹣sin x（x＞2），则g′（x）＝1﹣cos x≥0，所以函数g（x）在（6，+∞）上单调递增，故g（x）＞g（0）＝0，则sin x＜x（x＞0），所以，＜[ln（n+2）﹣lnn]+[ln（n+2）﹣ln（n+1）]+⋯+[ln（7n）﹣ln（2n﹣1）]＝．故原不等式成立．。

2023-2024学年山东省济南市高三（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项 1．已知集合M ＝{x |1≤x ＜5}，N ＝{x |x 2﹣x ＜2}，则M ∩N ＝（ ） A ．{x |﹣1＜x ＜2} B ．{x |﹣1＜x ＜5}C ．{x |1≤x ＜2}D ．{x |1≤x ＜5}2．若z =1+i2+i，则其共轭复数z =（ ） A ．13+13iB ．13−13iC ．35+15iD ．35−15i3．已知曲线y ＝lnx 与曲线y =a(x −1x)在交点（1，0）处有相同的切线，则a ＝（ ）A ．1B ．12C ．−12D ．﹣14．已知直线l 经过点（2，4），则“直线l 的斜率为﹣1”是“直线l 与圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣3）2＝2相切”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．平行四边形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，∠BAD =π3，若BE →=EC →，CF →=2FD →，则AE →⋅AF →=（ ）A ．4B ．6C ．18D ．226．已知sin(x +π4)=45，则sin2x 的值为（ ）A ．1825B ．725C ．−725D ．−16257．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，坐标原点为O ，过点F 的直线与C 交于A ，B 两点，且点O 到直线AB 的距离为√2，则△OAB 的面积为（ ） A ．4√2B ．8√2C ．16√2D ．32√28．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a 2＝2，且a n +2＝（2+|cos nπ2|）a n ﹣|sin nπ2|，则S 2024＝（ ）A ．32024﹣1011B ．32024+1011C ．31012﹣1011D ．31012+1011二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023-2024学年江苏省无锡市高三（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A ＝{﹣1，0，1，2，3，4}，集合B ＝{x |x 2﹣2x ﹣3≤0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣1，0，1，2，3} B ．{﹣1，0，1}C ．{0，1，2}D ．{﹣1，0}2．复数1−2i3+i在复平面内对应的点所在的象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知a →，b →是两个不共线的向量，命题甲：向量t a →+b →与a →−2b →共线；命题乙：t =12，则甲是乙的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．从甲地到乙地的距离约为240km ，经多次实验得到一辆汽车每小时托油量Q （单位：L ）与速度v （单位：km /h （0≤v ≤120）的下列数据：为描述汽车每小时枆油量与速度的关系，则下列四个函数模型中，最符合实际情况的函数模型是（ ） A ．Q ＝av +b B ．Q ＝av 3+bv 2+cv C ．Q ＝0.5v +aD ．Q ＝k log a v +b5．已知a ＞b ＞0，设椭圆C 1：x 2a 2+y 2b 2=1与双曲线C 2：x 2a 2−y 2b2=1的离心率分别为e 1，e 2．若e 2＝3e 1，则双曲线C 2的渐近线方程为（ ） A ．y =±2√55x B ．y =±45xC ．y =±√52x D ．y =±√55x6．已知直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面是边长为2的菱形，且∠DAB ＝120°．若M ，N 分别是侧棱CC 1，BB 1上的点，且MC ＝2，NB ＝1，则四棱锥A ﹣BCMN 的体积为（ ） A ．√3B ．2C ．3√3D ．67．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，且存在k ∈N ，使得S k +3，S k +9，S k +6成等差数列．若对于任意的m ∈N ，满足a m +2+a m +5＝32，则a m +8＝（ ） A ．m +32B ．m +16C ．32D ．168．已知函数f （x ）的定义域为R ，且f （x ）+x 2为奇函数，f （x ）﹣2x 为偶函数．令函数g （x ）={f(x)，x ≥0，−f(x)，x ＜0.若存在唯一的整数x 0，使得不等式[g （x 0）]2+a •g （x 0）＜0成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[﹣8，﹣3）∪（1，3] B ．[﹣3，﹣1）∪（3，8]C ．[﹣3，0）∪（3，8]D ．[﹣8，﹣3）∪（0，3]二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．第一组样本数据x 1，x 2，…，x n ，第二组样本数据y 1，y 2，…，y n ，其中y i ＝2x i ﹣1（i ＝1，2，…，n ），则（ ）A ．第二组样本数据的样本平均数是第一组样本数据的样本平均数的2倍B ．第二组样本数据的中位数是第一组样本数据的中位数的2倍C ．第二组样本数据的样本标准差是第一组样本数据的样本标准差的2倍D ．第二组样本数据的样本极差是第一组样本数据的样本极差的2倍10．已知函数f(x)=sin(2x +π3)，g(x)=cos(2x +π6)，则下列说法正确的是（ ）A ．y ＝f （x ）的图象关于点(π12，0)对称B ．g （x ）在区间[π2，5π6]上单调递增C ．将g （x ）图象上的所有点向右平移π6个单位长度即可得到f （x ）的图象D ．函数h （x ）＝f （x ）+g （x ）的最大值为√311．已知过点（0，t ）的直线l 1与抛物线C ：x 2＝4y 相交于A 、B 两点，直线l 2：y ＝kx +4是线段AB 的中垂线，且l 1与l 2的交点为Q （m ，n ），则下列说法正确的是（ ） A ．m 为定值 B ．n 为定值C ．−√22＜k ＜√22且k ≠0D ．﹣2＜t ＜212．已知在伯努利试验中，事件A 发生的概率为p （0＜p ＜1），我们称将试验进行至事件A 发生r 次为止，试验进行的次数X 服从负二项分布，记作X ∼NB （r ，p ），则下列说法正确的是（ ） A ．若X ∼NB(1，12)，则P(X =k)=(12)k ，k ＝1，2，3，…B ．若X ∼NB （r ，p ），则P （X ＝k ）＝p r （1﹣p ）k ﹣r ，k ＝r ，r +1，r +2，… C ．若X ∼NB （r ，p ），Y ∼B （n ，p ），则P （X ≤n ）＝P （Y ≥r ）D ．若X ∼NB （r ，p ），则当k 取不小于r−1p的最小正整数时，P （X ＝k ）最大 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若直线l ：3x ﹣y ﹣6＝0与圆x 2+y 2﹣2x ﹣4y ＝0交于A ，B 两点，则|AB |＝ ．14．随着杭州亚运会的举办，吉祥物“琮琮”、莲莲”、宸宸”火遍全国．现有甲、乙、丙3位运动员要与“琮琮”、莲莲”、宸宸”站成一排拍照留念，则这3个吉祥物互不相邻的排队方法数为 ．（用数字作答）15．已知函数f （x ）＝sin （3x +φ）在区间[﹣φ，φ]上的值域为[−√22，1]，则φ的范围为 ．16．已知函数f(x)={e x ，x ≥0，−x 2，x ＜0.若函数f （x ）的图象在点A （x 1，f （x 1））（x 1＜0）和点B （x 2，f （x 2））（x 2＞0）处的两条切线相互平行且分别交y 轴于M ，N 两点，则|AM||BN|的取值范围为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）设数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n +2＝4a n +1﹣3a n +6n ﹣3． （1）证明：数列{a n +1﹣a n +3n }为等比数列； （2）求数列{a n }的通项公式．18．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为3√74(a 2+b 2−c 2)．（1）求sin C ； （2）若sin(B −A)=3√732，求tan A ． 19．（12分）如图，在四棱锥A ﹣BCDE 中，平面ABC ⊥平面BCDE ，CD ＝DE ＝2BE ，BC ⊥CD ，BE ∥CD ，F 是线段AD 的中点．（1）若BA ＝BC ，求证：EF ⊥平面ACD ；（2）若BE ＝1，∠ABC ＝60°，且平面ABC 与平面ADE 夹角的正切值为2√33，求线段AC 的长．20．（12分）为考察药物M 对预防疾病A 以及药物N 对治疗疾病A 的效果，科研团队进行了大量动物对照试验．根据100个简单随机样本的数据，得到如下列联表：（单位：只）（1）依据α＝0.1的独立性检验，分析药物M 对预防疾病A 的有效性；（2）用频率估计概率，现从患病的动物中用随机抽样的方法每次选取1只，用药物N 进行治疗．已知药物N 的治愈率如下：对未服用过药物M 的动物治愈率为12，对服用过药物M 的动物治愈率为34．若共选取3次，每次选取的结果是相互独立的．记选取的3只动物中被治愈的动物个数为X ，求X 的分布列和数学期望．附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +d ．21．（12分）在直角坐标系xOy 中，动点P （x ，y ）与定点F （1，0）的距离和P 到定直线l ：x ＝4的距离的比是常数12，记动点P 的轨迹为W ．（1）求W 的方程；（2）过动点T （0，t ）（t ＜0）的直线交x 轴于点H ，交W 于点A ，M （点M 在第一象限），且AT →=2TH →．作点A 关于x 轴的对称点B ，连接BT 并延长交W 于点N ．证明：直线MN 斜率不小于√6． 22．（12分）已知函数f （x ）＝x 4+axlnx （a ∈R ），f ′（x ）为f （x ）的导函数，g （x ）＝f ′（x ）． （1）若a ＝﹣12，求y ＝f （x ）在[1，√e 3]上的最大值；（2）设P （x 1，g （x 1）），Q （x 2，g （x 2）），其中1≤x 2＜x 1．若直线PQ 的斜率为k ，且k ＜g′(x 1)+g′(x 2)2，求实数a 的取值范围．2023-2024学年江苏省无锡市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

2023-2024学年山东省烟台市高三（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．设集合U ＝R ，集合M ＝{x |x ＜0}，N ＝{x ||x ﹣1|＜2}，则∁U （M ∪N ）＝（ ） A ．{x |x ≥3}B ．{x |x ＞3}C ．{x |x ≤﹣1或x ≥0}D ．{x |x ＜﹣1或x ＞0}2．“直线xsinθ+12y −1=0与x +y cos θ+1＝0平行”是“θ=π4”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知a ＞b ＞0，c ＞0且c ≠1，则（ ） A ．a b ＜a+cb+cB ．c a ＞cbC ．c a ＞c bD ．a c ＞b c4．已知|a →|=|b →|=1，(a →+b →)⋅(a →−3b →)=−3，则向量a →与b →夹角的大小为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π65．我国古代十进制数的算筹记数法是世界数学史上一个伟大的创造．算筹一般为小圆棍算筹计数法的表示方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式，以此类推；遇零则置空．纵式和横式对应数字的算筹表示如下表所示，例如：10记为“”，62记为“”．现从由4根算筹表示的两位数中任取一个数，则取到的数字为质数的概率为（ ）A ．25B ．35C ．38D ．310 6．已知f （x ）为定义在R 上的奇函数，当x ∈（0，+∞）时，f(x)={lnx +1，0＜x ≤12−x ，x ＞1，则方程f （x ）﹣1＝0实数根的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．已知F 是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，过点F 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为A ，与另一条渐近线交于B ，且满足3AF →=FB →，则双曲线的离心率为（ ） A ．√3B ．√62C ．2D ．√68．已知函数f（x）＝e x+x﹣2，g（x）＝lnx+x﹣2，若∃x1∈R，x2＞0，使得f（x1）＝g（x2），则x1x2的最小值为（）A．﹣e B．﹣1C．−1e D．−1e2二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知样本数据x1，x2，⋯，x n的平均数为x，则数据x1，x2，⋯，x n，x（）A．与原数据的极差相同B．与原数据的中位数相同C．与原数据的方差相同D．与原数据的平均数相同10．将函数f（x）的图象向右平移π6个单位长度，得到y＝sin2x的图象，则（）A．f（x）的最小正周期为πB．f（x）的图象关于直线x=5π6对称C．f（x）在(−π4，0)上单调递增D．当x∈[0，π4]时，f（x）的最小值为1211．如图，在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2A1B1＝2AA1＝4，P为棱CC1上一点，则（）A．不存在点P，使得直线BP∥平面AB1D1B．当点P与C1重合时，直线CC1⊥平面BPDC．当P为CC1中点时，直线BP与AD所成角的余弦值为7√13 26D．当P为CC1中点时，三棱锥A﹣A1B1D1与三棱锥P﹣BCD的体积之比为1：212．我国著名数学家华罗庚先生说：“就数学本身而言，是壮丽多彩、千姿百态、引人入胜的……认为数学枯燥乏味的人，只是看到了数学的严谨性，而没有体会出数学的内在美．”图形美是数学美的重要方面．如图，由抛物线y2＝2px（p＞0）分别逆时针旋转90°、180°、270°可围成“四角花瓣”图案（阴影区域），则（）A．开口向下的抛物线的方程为x2＝﹣2pyB．若|AB|＝8，则p＝2C．设p＝1，则t＝1时，直线x＝t截第一象限花瓣的弦长最大D．无论p为何值，过点B且与第二象限花瓣相切的两条直线的夹角为定值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（x﹣3）（2x+1）5的展开式中x3的系数为．14．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S5＝25且a8＝15，则a1的值为．15．若存在两个不相等正实数x，y，使得e x﹣e y＝a（y﹣x）（y+x），则实数a的取值范围为．16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝5，AA1＝2，则该三棱柱外接球的表面积为；若点P为线段AC的中点，点Q为线段AC1上一动点，则平面BPQ截三棱柱ABC﹣A1B1C1所得截面面积的最大值为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(2a−b)sinAcosB=atanC．（1）求C；（2）若a=3，c=√7，求△ABC的面积．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2+m，且S1，S3﹣2，S7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=a n2a n+1，求证：数列{b n}的前n项和T n＜59．19．（12分）如图，四棱锥V﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，平面VBD⊥底面ABCD．（1）求证：AC⊥VD；（2）若VB＝2，且四棱锥V﹣ABCD的体积为2，求直线VC与平面VAB所成角的正弦值．20．（12分）某学校计划举办趣味投篮比赛，比赛分若干局进行．每一局比赛规则如下：两人组成一个小组，每人各投篮3次；若某选手投中次数多于未投中次数，则称该选手为“好投手”；若两人均为“好投手”，则称该小组为本局比赛的“神投手组合”．假定每位参赛选手均参加每一局的比赛，每人每次投篮结果互不影响．若甲、乙两位同学组成一个小组参赛，且甲、乙同学的投篮命中率分别为23，12．（1）求在一局比赛中甲被称为“好投手”的概率；（2）若以“甲、乙同学组成的小组获得“神投手组合”的局数为3的概率最大”作为决策依据，试推断本次投篮比赛设置的总局数n （n ≥4）为多少时，对该小组更有利？ 21．（12分）已知函数f(x)=ln(x +1)−ax 2+xx+1(a ＜1)．（1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）求证：1n+1+1n+2+⋯+12n＜ln2(n ∈N ∗)．22．（12分）已知P 为曲线C ：x 24+y 2n=1(n ＞1)上任意一点，直线PM ，PN 与圆x 2+y 2＝1相切，且分别与C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点．（1）若OP →⋅OM →为定值，求n 的值，并说明理由； （2）若n =43，求△PMN 面积的取值范围．2023-2024学年山东省烟台市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．设集合U ＝R ，集合M ＝{x |x ＜0}，N ＝{x ||x ﹣1|＜2}，则∁U （M ∪N ）＝（ ） A ．{x |x ≥3}B ．{x |x ＞3}C ．{x |x ≤﹣1或x ≥0}D ．{x |x ＜﹣1或x ＞0}解：已知集合U ＝R ，集合M ＝{x |x ＜0}，N ＝{x ||x ﹣1|＜2}＝{x |﹣1＜x ＜3}， 则M ∪N ＝{x |x ＜3}，则∁U （M ∪N ）＝{x |x ≥3}． 故选：A ．2．“直线xsinθ+12y −1=0与x +y cos θ+1＝0平行”是“θ=π4”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：“直线xsinθ+12y −1=0与x +y cos θ+1＝0平行”则sinθ1=12cosθ≠−11，解得sinθcosθ=12，即sin2θ＝1且cos θ≠−12，即θ=π4+kπ，k ∈Z ，故“直线xsinθ+12y −1=0与x +y cos θ+1＝0平行”是“θ=π4”的必要不充分条件．故选：B ．3．已知a ＞b ＞0，c ＞0且c ≠1，则（ ） A ．a b ＜a+c b+cB ．c a ＞cbC ．c a ＞c bD ．a c ＞b c解：对于A ，不妨设a ＝4，b ＝3，c ＝2，则a b ＞a+cb+c ，故A 错误；对于B ，a ＞b ＞0，c ＞0，则1a ＜1b ，故c a ＜cb ，故B 错误；对于C ，设c =12，a ＝4，b ＝2，则c a ＜c b ，故C 错误；对于D ，y ＝x c （c ＞0且c ≠1），当a ＞b ＞0时，a c ＞b c ，故D 正确． 故选：D ．4．已知|a →|=|b →|=1，(a →+b →)⋅(a →−3b →)=−3，则向量a →与b →夹角的大小为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6解：|a →|=|b →|=1，(a →+b →)⋅(a →−3b →)=−3，则a →2−2a →⋅b →−3b →2=−3， 设向量a →与b →夹角的大小为θ，θ∈[0，π]，则1﹣2×1×1×cos θ﹣3＝﹣3，解得cos θ=12，故θ=π3．故选：B ．5．我国古代十进制数的算筹记数法是世界数学史上一个伟大的创造．算筹一般为小圆棍算筹计数法的表示方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式，以此类推；遇零则置空．纵式和横式对应数字的算筹表示如下表所示，例如：10记为“”，62记为“”．现从由4根算筹表示的两位数中任取一个数，则取到的数字为质数的概率为（ ）A ．25B ．35C ．38D ．310 解：根据题意，由4根算筹表示的两位数有13、17、22、26、31、40，62、66、71、80，共10个， 其中为质数的有13、17、31和71，则取到的数字为质数的概率为410=25． 故选：A ．6．已知f （x ）为定义在R 上的奇函数，当x ∈（0，+∞）时，f(x)={lnx +1，0＜x ≤12−x ，x ＞1，则方程f （x ）﹣1＝0实数根的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4 解：∵f （x ）为定义在R 上的奇函数，∴函数f （x ）的图象关于原点对称， 画出函数f （x ）的图象，如图所示：方程f （x ）﹣1＝0实数根的个数，等价于函数y ＝f （x ）与y ＝1的图象的交点个数，由图象可知，y ＝1与函数y ＝f （x ）的图象有3个交点， 即方程f （x ）﹣1＝0实数根的个数为3个． 故选：C ． 7．已知F 是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，过点F 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为A ，与另一条渐近线交于B ，且满足3AF →=FB →，则双曲线的离心率为（ ） A ．√3B ．√62C ．2D ．√6解：由题意知F （c ，0），设渐近线方程为y =ba x ，则F 到渐近线的距离d =bc√a 2+b =b ，所以|AF →|＝b ，则|BF →|＝3b ，在△AFO 中，|OA →|＝a ，|OF →|＝c ，tan ∠FOA =ba，∵∠AOB ＝2∠FOA∴tan ∠AOB =4b a =2×b a 1−(b a)2，解得a 2＝2b 2，∴e =√1+b 2a 2=√62， 故选：B ．8．已知函数f （x ）＝e x +x ﹣2，g （x ）＝lnx +x ﹣2，若∃x 1∈R ，x 2＞0，使得f （x 1）＝g （x 2），则x 1x 2的最小值为（ ） A ．﹣eB ．﹣1C ．−1eD ．−1e 2解：∵∃x 1∈R ，x 2＞0，使得f （x 1）＝g （x 2），∴e x 1+x 1﹣2＝lnx 2+x 2﹣2，即e x 1+x 1＝lnx 2+x 2=e lnx 2+lnx 2， 令h （x ）＝e x +x ，x ∈R ，则h ′（x ）＝e x +1＞0， ∴函数h （x ）在R 上单调递增， ∴x 1＝lnx 2，即x 2=e x 1， ∴x 1x 2＝x 1•e x 1， 令u （x ）＝xe x ，x ∈R ， 则u ′（x ）＝（x +1）e x ，可得x＝﹣1时，函数u（x）取得极小值即最小值，u（﹣1）=−1 e ．故选：C．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知样本数据x1，x2，⋯，x n的平均数为x，则数据x1，x2，⋯，x n，x（）A．与原数据的极差相同B．与原数据的中位数相同C．与原数据的方差相同D．与原数据的平均数相同解：根据题意，样本数据x1，x2，⋯，x n的平均数为x，则x=1n（x1+x2+⋯+x n），其方差S2=1n[（x1−x）2+（x2−x）2+（x3−x）2+……+（x n−x）2]，对于数据x1，x2，⋯，x n，x，其平均数x′=1n+1（x1+x2+⋯+x n+x）=1n+1（n x+x）=x，其方差S′2=1n+1[（x1−x）2+（x2−x）2+（x3−x）2+……+（x n−x）2+（x−x）2]，两组数据的平均数相同，方差不同；由极差的定义，两组数据的最大值和最小值不变，则两组数据的极差相同，对于中位数，两组数据的中位数不一定相同．故选：AD．10．将函数f（x）的图象向右平移π6个单位长度，得到y＝sin2x的图象，则（）A．f（x）的最小正周期为πB．f（x）的图象关于直线x=5π6对称C．f（x）在(−π4，0)上单调递增D．当x∈[0，π4]时，f（x）的最小值为12解：根据将函数f（x）的图象向右平移π6个单位长度，得到y＝sin2x的图象，可得把y＝sin2x的图象向左平移π6个单位长度，可得函数f（x）＝sin（2x+π3）的图象．可得f（x）的最小正周期为2π2=π，故A正确．令x=5π6，求得f（x）＝0，不是最值，故f（x）的图象不关于直线x=5π6对称，故B错误．在(−π4，0)上，2x+π3∈（−π6，π3），f（x）单调递增，故C正确．当x∈[0，π4]时，2x+π3∈[π3，5π6]，故当2x+π3=5π6时，f（x）取得最小值为12，故D正确．故选：ACD．11．如图，在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2A1B1＝2AA1＝4，P为棱CC1上一点，则（）A ．不存在点P ，使得直线BP ∥平面AB 1D 1B ．当点P 与C 1重合时，直线CC 1⊥平面BPDC ．当P 为CC 1中点时，直线BP 与AD 所成角的余弦值为7√1326D ．当P 为CC 1中点时，三棱锥A ﹣A 1B 1D 1与三棱锥P ﹣BCD 的体积之比为1：2 解：连接AC 交BD 于O ，因为正四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，所以以OA 为x 轴，OB 为y 轴，垂直于平面ABCD 为z 轴建立如图所示坐标系，设点A 1在底面投影为E ，则AE =OA −OE =√2，A 1E =√AA 12−AE 2=√2，即正四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1 的高为√2，则A(2√2，0，0)，B(0，2√2，0)，C(−2√2，0，0)，B 1(0，√2，√2)，C 1(−√2，0，√2)，D 1(0，−√2，√2)，所以AB 1→=(−2√2，√2，√2)，AD 1→=(−2√2，−√2，√2)，CC 1→=(√2，0，√2)，BC →=(−2√2，−2√2，0)，因为P 为棱CC 1上一点，所以CP →=λCC 1→=(√2λ，0，√2λ)(0≤λ≤1)， 所以BP →=BC →+CP →=(−2√2+√2λ，−2√2，√2λ)， 设平面AB 1D 1 的法向量n →=(x 1，y 1，z 1)，则{AB 1→⋅n →=−2√2x 1+√2y 1+√2z 1=0AD 1→⋅n →=−2√2x 1−√2y 1+√2z 1=0，令x 1＝1可得平面AB 1D 1 的一个法向量为n →=(1，0，2)， 令n →⋅BP →=−2√2+√2λ+2√2λ=0，解得λ=23，故存在点P ，使得直线BP ∥平面AB 1D 1，A 说法错误； 当点P 与C 1重合时即P(−√2，0，√2)，D(0，−2√2，0)， BP →=(−√2，−2√2，√2)，BD →=(0，−4√2，0)， 设平面BPD 的法向量m →=(x 2，y 2，z 2)，则{BP →⋅m →=−√2x 2−2√2y 2+2√2z 2=0BD →⋅m →=−4√2y 2=0，令x 2＝1可得平面BPD 的一个法向量为m →=(1，0，1)，因为CC 1→=√2m →，所以当点P 与C 1重合时，直线CC 1⊥平面BPD ，B 说法正确；当P 为CC 1中点时，即BP →=(−3√22，−2√2，√22)，AD →=(−2√2，−2√2，0)，所以cos〈BP →，AD →〉=BP →⋅AD →|BP →||AD →|=6+813×4=7√1326，所以直线BP 与AD 所成角的余弦值为|cos〈BP →，AD →〉|=7√1326，C 说法正确； 设正四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1 的高为h ，当P 为CC 1中点时， 三棱锥A ﹣A 1B 1D 1的体积V 1=13S △A 1B 2D 1ℎ=13×12×2×2×√2=2√23，三棱锥P ﹣BCD 的体积V 2=13S △BCD ℎ2=13×12×4×4×√22=4√23，所以三棱锥A ﹣A 1B 1D 1与三棱锥P ﹣BCD 的体积之比为1：2，D 说法正确． 故选：BCD ．12．我国著名数学家华罗庚先生说：“就数学本身而言，是壮丽多彩、千姿百态、引人入胜的……认为数学枯燥乏味的人，只是看到了数学的严谨性，而没有体会出数学的内在美．”图形美是数学美的重要方面．如图，由抛物线y 2＝2px （p ＞0）分别逆时针旋转90°、180°、270°可围成“四角花瓣”图案（阴影区域），则（ ）A ．开口向下的抛物线的方程为x 2＝﹣2pyB ．若|AB |＝8，则p ＝2C．设p＝1，则t＝1时，直线x＝t截第一象限花瓣的弦长最大D．无论p为何值，过点B且与第二象限花瓣相切的两条直线的夹角为定值解：对于A，4条抛物线形状一样，开口向右的抛物线方程y2＝2px，所以开口向下的抛物线的方程为x2＝﹣2py，故A正确；对于B，A，B关于x轴对称，|AB|＝8，所以y A＝4，点A在抛物线y2＝2px上，所以x A=8p，即A（8p，4），又点A在抛物线x2＝2py上，所以64p2=8p，解得p＝2，故B正确；对于C，p＝1，抛物线y2＝2x与x2＝2y的交点A（2，2），所以直线x＝t，（0＜t＜2），截第一象限花瓣的弦长可表示为y=√2t−t22，y′=√22×t−12−t，令y′＝0，解得t=√123，当0＜x＜√1 23，y′＞0，当√1 23＜x＜2，y′＜0，所以函数y=√2t−t22在（0，√123）上单调递增，在（√123，2）单调递减，所以当x=√1 23时，y取最大值，故C错误；对于D，B为抛物线y2＝2px与x2＝﹣2py的交点，由{y2=2pxx2=−2py，得{x=2py=−2p，即B（2p，﹣2p），过B与第二象限两抛物线y2＝﹣2px，x2＝2py相切，对于x2＝2py，设切点（m，n），y′=xp，k=mp，所以切线方程为y﹣n=mp（x﹣m），所以y−m22p=mp（x﹣m），即y=mpx−m22p，因为切线过点B，所以﹣2p＝2m−m22p，即m2﹣4mp﹣4p2＝0，（m＜0），解得m=4p−√16p2+16p22=2p﹣2√2p，所以切线的斜率为2﹣2√2，所以切线与直线y＝x的夹角不变，因为花瓣关于直线y＝x对称，所以无论p为何值，过点B且与第二象限花瓣相切的两条直线的夹角为定值，故D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（x﹣3）（2x+1）5的展开式中x3的系数为﹣200．解：根据（2x+1）5的二项展开式T r+1=C5r⋅25−r⋅x5−r，（r＝0，1，2，3，4，5）；与x配对时，x3的系数为C53⋅22=40，与﹣3配对时，x3的系数为−3C52⋅23=−240，故展开式中x3的系数为40﹣240＝﹣200．故答案为：﹣200．14．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S5＝25且a8＝15，则a1的值为1．解：设等差数列{a n}的公差为d，S5＝25，则5a3＝25，解得a3＝5，a8＝15，则5d＝a8﹣a3＝15﹣5＝10，解得d＝2，故a1＝a3﹣2d＝1．故答案为：1．15．若存在两个不相等正实数x，y，使得e x﹣e y＝a（y﹣x）（y+x），则实数a的取值范围为（﹣∞，−e2）．解：由e x﹣e y＝a（y﹣x）（y+x），可得e x+ax2＝e y+ay2，令h（m）＝e m+am2，要存在两个不相等正实数x，y，使得e x﹣e y＝a（y﹣x）（y+x），即h（m）＝e m+am2不是正实数集上的单调函数，则h′（m）＝e m+2am（m＞0），当a≥0时，h′（m）＝e m+2am＞0，此时h（m）＝e m+am2在（0，+∞）单调递增，不满足；当a＜0时，令g（m）＝e m+2am，则g′（m）＝e m+2a，令g′（m）＝e m+2a＝0，则m＝ln（﹣2a），当m∈（0，ln（﹣2a））时，g′（m）＜0，g（m）＝e m+2am在（0，ln（﹣2a））单调递减，当（ln（﹣2a），+∞）时，g′（m）＞0，g（m）＝e m+2am在（ln（﹣2a），+∞）单调递增，要使h（m）＝e m+am2不是正实数集上的单调函数，则h′（ln（﹣2a））＜0，即e ln（﹣2a）+2aln（﹣2a）＜0，解得a＜−e2．故答案为：（﹣∞，−e2）．16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝5，AA1＝2，则该三棱柱外接球的表面积为54π；若点P为线段AC的中点，点Q为线段AC1上一动点，则平面BPQ截三棱柱ABC﹣A1B1C1所得截面面积的最大值为3√6．解：由题意，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝5，AA1＝2，该直三棱柱ABC﹣A1B1C1可补充一个长方体，其中直三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球和补成的长方体的外接球是同一个球，又由长方体过同一顶点的三条棱长分别为5，5，2，可得对角线长为√52+52+22=√54，所以外接球的半径为R=√542，则该三棱柱外接球的表面积为4π×(√542)2=54π，如图所示，连接PQ，并延长PQ交A1C1于点E，取A1C1的中点M，连接B1M，PM，则B1M＝BP且B1M∥BP，在过点E作EF∥B1M，可得EF∥BP，连接BF，则四边形BPEF即为过点B，P，Q的截面，在△ABC中，因为AB＝BC，且P为AC的中点，所以BP⊥AC，又因为AA1⊥平面ABC，BP⊂平面ABC，所以BP⊥AA1，因为AC∩AA1＝A，且AC，AA1⊂平面ACC1A1，所以BP⊥平面ACC1A1，又因为PE⊂平面ACC1A1，所以BP⊥PE，所以四边形BPFF为直角梯形，在△ABC中，由AB＝BC＝5，且AB⊥BC，可得AC=5√2，所以BP=12AC=5√22，设ME＝x，在直角△PME中，可得PE=√PM2+ME2=√4+x2，又由C1E=C1M−ME=5√22−x，可得EF=C1E=5√22−x，所以直角梯形BPEF的面积为S(x)=12(BP+EF)×PE=12(5√22+5√22−x)×√4+x2=12(5√2−x)×√4+x2=12√(5√2−x)2⋅(4+x2)，其中0≤x≤5√22，设f(x)=(5√2−x)2⋅(4+x2)，0≤x≤5√2 2，可得f′(x)=[(5√2−x2)]′⋅(4+x2)+(5√2−x)2(4+x2)′=2(x−5√2)(x−√22)(x−2√2)，当x∈[0，√22)时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈(√22，2√2)时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈(2√2，5√22]时，f（x）＜0，f（x）单调递减，又由f（0）＝200，f(2√2)=216，可得f(0)＜f(2√2)，所以当x=2√2时，函数f（x）取得最大值，此时梯形的面积取得最大值S(2√2)=3√6．故答案为：54π，3√6．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(2a−b)sinAcosB=atanC．（1）求C；（2）若a=3，c=√7，求△ABC的面积．解：（1）由已知，有(2a−b)sinAcosB=atanC，由正弦定理，可得（2sin A﹣sin B）sin A＝sin A cos B tan C，又sin A≠0，则有2sin A cos C﹣sin B cos C＝cos B sin C，即2sin A cos C＝sin（B+C）＝sin A，即cos C=1 2，又C∈（0，π），所以C=π3；（2）由余弦定理，有c2＝a2+b2﹣2ab cos C，即7＝9+b2﹣3b，解得b＝1或b＝2，当b＝1时，S△ABC=12absinC=12×3×1×√32=3√34；当b＝2时，S△ABC=12absinC=12×3×2×√32=3√32；故△ABC的面积为3√34或3√32．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2+m，且S1，S3﹣2，S7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=a n2a n+1，求证：数列{b n}的前n项和T n＜59．（1）解：根据题意，可得（S3﹣2）2＝S1S7，即（7+m）2＝（1+m）（49+m），解得m＝0，所以S n＝n2，当n≥2时，a n=S n−S n−1=n2−(n−1)2=2n−1；当n＝1时，a1＝S1＝1＝2×1﹣1，也适合n≥2的式子，故a n＝2n﹣1；（2）证明：由（1）的结论，可得b n=2n−122n=2n−14n，所以T n=14+342+543+⋯+2n−14n，两边都乘以14，得14T n=142+343+544+⋯+2n−14n+1，以上两式相减，可得34T n=14+2(142+143+⋯+14n)−2n−14n+1=14+18−12×14n1−14−14×2n−14n=512−(23+2n−14)×14n，所以T n=59−6n+59×4n，结合6n+59×4n＞0，可知不等式T n＜59成立．19．（12分）如图，四棱锥V﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，平面VBD⊥底面ABCD．（1）求证：AC⊥VD；（2）若VB＝2，且四棱锥V﹣ABCD的体积为2，求直线VC与平面VAB所成角的正弦值．解：（1）证明：∵底面ABCD是边长为2的菱形，∴AC⊥BD，又AC⊂底面ABCD，且平面VBD⊥底面ABCD，平面VBD∩底面ABCD＝BD，∴AC⊥平面VBD，又VD⊂平面VBD，∴AC⊥VD；（2）设V在底面菱形ABCD内的射影为O，又根据题意可知四棱锥V﹣ABCD的体积为13×2×2×√32×VO=2，∴VO=√3，又VB＝2，∴OB=√VB2−VO2=√4−3=1，又平面VBD⊥底面ABCD，∴V在底面菱形ABCD内的射影点O落在BD上，又BD＝2，∴O为BD的中点，故以OA，OB，OV所在直线分别为x，y，z轴，建系如图，则V （0，0，√3），C （−√3，0，0），A （√3，0，0），B （0，1，0）， ∴CV →=(√3，0，√3)，VA →=(√3，0，−√3)，AB →=(−√3，1，0)，设平面VAB 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅VA →=√3x −√3z =0n →⋅AB →=−√3x +y =0，取n →=(1，√3，1)，∴直线VC 与平面VAB 所成角的正弦值为： |cos ＜CV →，n →＞|=|CV →⋅n →||CV →||n →|=2√3√6×√5=√105．20．（12分）某学校计划举办趣味投篮比赛，比赛分若干局进行．每一局比赛规则如下：两人组成一个小组，每人各投篮3次；若某选手投中次数多于未投中次数，则称该选手为“好投手”；若两人均为“好投手”，则称该小组为本局比赛的“神投手组合”．假定每位参赛选手均参加每一局的比赛，每人每次投篮结果互不影响．若甲、乙两位同学组成一个小组参赛，且甲、乙同学的投篮命中率分别为23，12．（1）求在一局比赛中甲被称为“好投手”的概率；（2）若以“甲、乙同学组成的小组获得“神投手组合”的局数为3的概率最大”作为决策依据，试推断本次投篮比赛设置的总局数n （n ≥4）为多少时，对该小组更有利？ 解：（1）设一局比赛中甲被称为好投手的事件为A ， 则P(A)=C 32⋅23⋅23⋅(1−23)+C 33⋅23⋅23 23=3•23 23⋅13+1⋅23•23⋅23=2027．（2）设一局比赛中乙被称为好投手的事件为B ，则P(B)=C 32⋅12⋅12⋅(1−12)+C 33⋅12⋅12⋅12=3⋅12⋅12⋅12+1⋅12⋅12⋅12=12， 甲、乙同学都获得好投手的概率为：P =2027×12=1027， 比赛设置n 局，甲、乙同学组成的小组获得“神投手组合”的局数为X ， 则X ～B(n ，1027)，且P(X =3)=C n 3(1027)3(1−1027)n−3， 设f(n)=C n 3(1027)3(1−1027)n−3，则{C n 3(1027)3(1−1027)n−3≥C n+13(1027)3(1−1027)n−2C n 3(1027)3(1−1027)n−3≥C n+13(1027)3(1−1027)n−4，即{n −2≥1727(n +1)1727n ≥n −3，即{n ≥7.1n ≤8.1，又n ∈N *，则n ＝8，所以本次投篮比赛设置的总局数8时，对该小组更有利．21．（12分）已知函数f(x)=ln(x +1)−ax 2+xx+1(a ＜1)．（1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）求证：1n+1+1n+2+⋯+12n＜ln2(n ∈N ∗)．（1）解：f ′(x)=1x+1−(2ax+1)(x+1)−(ax 2+x)(x+1)2=−ax 2+(1−2a)x(x+1)2， 当a ＝0时，f ′(x)=x(x+1)2，当x ∈（﹣1，0），f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减；当x ∈（0，+∞），f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增，故f （x ）在（﹣1，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增； 当a ≠0时，令g(x)=−ax 2+(1−2a)x =−ax(x −1−2aa)， 注意到，当0＜a ＜1时，1−2a a −(−1)=1−aa＞0，当0＜a ＜12时，1−2a a＞0，f(x)在（﹣1，0）上单调递减，在(0，1−2a a )上单调递增，在(1−2aa ，+∞)上单调递减；当12＜a ＜1时，−1＜1−2a a ＜0，f(x)在(−1，1−2a a )上单调递减，在(1−2aa ，0)上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，当a =12时，g(x)=−12x 2≤0，所以f （x ）在（﹣1，+∞）上单调递减；当a ＜0时，1−2a a −(−1)=1−aa＜0，f （x ）在（﹣1，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．综上，当a ≤0时，f （x ）在（﹣1，0）上单调递减，（0，+∞）上单调递增；当0＜a ＜12时，f （x ）在（﹣1，0）上单调递减，(0，1−2a a )上单调递增，(1−2aa )，+∞)上单调递减；当a =12时，f （x ）在（﹣1，+∞）上单调递减；当12＜a ＜1时，f （x ）在(−1，1−2a a )上单调递减，(1−2aa)，0)上单调递增，（0，+∞） 上单调递减． （2）证明：由（1）可知当a ＝0时，f （x ）在[0，+∞）上单调递增，所以f （x ）≥f （0）＝0， 即ln(x +1)≥xx+1（当且仅当x ＝0时等式成立），令x =1n ，可以得到ln(n+1n )＞1n+1，所以1n+1＜ln(n+1n)=ln(n +1)−lnn ，1n+2＜ln(n +2)−ln(n +1)，…… 1n+n＜ln(n +n)−ln(2n −1)，累加可得1n+1+1n+2+⋯+12n＜ln2n −lnn =ln2．22．（12分）已知P 为曲线C ：x 24+y 2n=1(n ＞1)上任意一点，直线PM ，PN 与圆x 2+y 2＝1相切，且分别与C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点．（1）若OP →⋅OM →为定值，求n 的值，并说明理由； （2）若n =43，求△PMN 面积的取值范围．解：（1）由题意，设P （x 1，y 1），M （x 2，y 2），当直线PM 斜率不为0时，直线PM ：x ＝my +t ，因为直线与圆x 2+y 2＝1相切， 所以√1+m 2=1，即t 2＝1+m 2，联立{x 24+y 2n =1x =my +t 得，（m 2n +4）y 2+2mnty +nt 2﹣4n ＝0，所以y 1+y 2=−2mnt m 2n+4，y 1y 2=nt 2−4nm 2n+4，x 1x 2＝（my 1+t ）（my 2+t ）＝m 2y 1y 2+mt （y 1+y 2）+t 2=4t 2−4m 2nm 2n+4，所以OP →⋅OM →=x 1x 2+y 1y 2=−4m 2n+(4+n)t 2−4nm 2n+4，因为t 2＝1+m 2， 所以x 1x 2+y 1y 2=(4−3n)m 2+4−3nm 2n+4，所以只需4−3n n=4−3n4，所以n ＝4或n =43；当直线PM 斜率为0时，x 1x 2+y 1y 2=−3+4n ，也符合上式．综上，n ＝4或n =43．（2）当n =43时，由（1）知，OP →⋅OM →=0，即OP ⊥OM ，同理OP ⊥ON ，即M ，O ，N 三点共线，所以S △PMN ＝2S △PMO ＝|PM |•r ＝|PM |，当直线PM 斜率不为0时，由（1）可知y 1+y 2=−2mt m 2+3，y 1y 2=t 2−4m 2+3，故S △PMN ＝|PM |=√1+m 2√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=•2√4m 2−3t 2+12m 2+3√1+m 2， 因为t 2＝1+m 2，S △PMN =√1+m 22√m 2+9m 2+3=2√(m 2+3−2)(m 2+3+6)m 2+3，令m 2+3＝k ≥3， 所以S △PMN=2√(k−2)(k+6)k =2√k 2+4k−12k 2=2√−12k2+4k +1， 所以当k ＝3时，S △PMN 的最小值为2， 当k ＝6时，S △PMN 的最大值为4√33， 当直线PM 斜率为0时，S △PMN =2∈[2，4√33]， 综上，S △PMN 的取值范围为[2，4√33]．。

2023-2024学年安徽省亳州市高三（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |x 2≤4}，B ＝{x ||x ﹣1|＜2}，则A ∩B ＝（ ）A ．{x |2≤x ＜3|B ．{x |﹣2≤x ≤2}C ．{x |﹣1＜x ≤2}D ．{x |﹣2≤x ＜3}2．已知复数z ＝（1﹣i ）（a +i ）（a ∈R ），则“a ＜0”是“z 的实部小于0”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．如图所示为某企业员工年龄（岁）的频率分布直方图，从左到右依次为第一组、第二组……第五组，若第五组的员工有80人，则第二组的员工人数为（ ）A ．140B ．240C ．280D ．3204．在等差数列{a n }中，已知a 6＝2（a 2+a 4），则a 2＝（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．25．如图，正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面边长为1，高为3，已知F 为棱AA 1的中点，D ，E 分别在棱B 1B ，C 1C 上，BD ＝2，CE ＝1，记四棱锥A 1﹣B 1C 1ED 三棱锥F ﹣A 1DE 与三棱锥A ﹣DEF 的体积分别为V 1，V 2，V 3，则（ ）A ．V 1＜V 2B ．V 2＜V 3C ．2V 1＝3V 2D ．V 1＝V 2+V 36．已知直线l ：kx ﹣y +6k ﹣6＝0和曲线C ：y =√9−x 2，当23＜k ＜2时，直线l 与曲线C 的交点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．无法确定7．在三棱锥P ﹣ABC 中，已知AB ＝BC ＝2√2，AC ＝4，P A ＝PC ，平面P AC ⊥平面ABC ，二面角P ﹣AB ﹣C 的大小为π4，则三棱锥P ﹣ABC 的外接球的表面积为（ ） A ．18π B ．9√3π C ．9√2π D ．9π8．当a ≥e 时，函数f(x)=x(e x +x +ln x a)−a 在[1，+∞）上的零点的个数为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知向量a →，b →，c →满足c →=λa →+（1﹣λ）b →（0＜λ＜1），且c →=（1，2），则a →，b →的坐标可以为（ ）A ．a →=（1，0），b →=（0，2）B ．a →=（2，0），b →=（0，4）C ．a →=（3，1），b →=（﹣1，3）D ．a →=（2，1），b →=（4，﹣1） 10．已知函数f （x ）＝3sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则（ ）A ．ω＝3B ．φ=π4C ．f （x ）的图象关于点(7π12，0)对称D ．f （x ）在[−7π12，−π4]上单调递增 11．将正数x 用科学记数法表示为x ＝a ×10m ，a ∈[1，10），m ∈Z ，则lg x ＝m +lga ，我们把m ，lga 分别叫做lgx 的首数和尾数，若将lgx 的首数记为S （x ），尾数记为W （x ），则下列说法正确的是（ ）A ．W （x ）∈[0，1）B ．W （x ）（x ＞0）是周期函数C ．若x ，y ＞0，则S （xy ）≥S （x ）+S （y ）D ．若x ＞y ＞0，则W(x y)=W(x)−W(y) 12．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 到点G （0，p ）的距离为√5，直线l 经过点F ，且与C 交于点P ，Q （P 位于第一象限），R 为抛物线上P ，Q 之间的一点，S 为点P 关于x 轴的对称点，则下列说法正确的是（ ）A．p＝2B．若l的斜率为1，则当R到l的距离最大时，△ORF（O为坐标原点）为直角三角形C．若|PF|＝2|QF|，则l的斜率为3D．若Q，S不重合，则直线QS经过定点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知直线l的斜率为2，且与曲线y＝2e x相切，则l的方程为．14．已知随机变量X～N（μ，σ2），若P（X≤﹣2）≥P（X≥3），则μ的取值范围是．15．已知α，β∈(0，π2)，3sinβ−cosα=√3，sinα+3cosβ＝2，则α﹣β＝．16．已知椭圆C：x 25+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点P在C上，且∠F1PF2=2π3，则|PO|＝．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a+2b cos A﹣2c＝0．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b=72，点D在边BC上，AD⊥BC，且AD=2√3，求a．18．（12分）记正项等比数列{a n}、等差数列{b n}的前n项和分别为S n，T n，已知a1＝1，b4＝S3＝13，T3＝27．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设集合A＝{n|8＜T n＜56}，B＝{a i+a j|i，j∈A}，求B中元素的个数．19．（12分）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的棱长均为2，E为棱CC1的中点．（Ⅰ）求证：平面ACB1⊥平面BDD1B1；（Ⅱ）若∠BAD=π3，求二面角C﹣AB1﹣E的正弦值．20．（12分）小张参加某公司的招聘考试，题目按照难度不同分为A类题和B类题，小张需要通过“抽小球”的方式决定要答的题目难度类型：一个箱子里装有质地、大小一样的5个球，3个标有字母A，另外2个标有字母B，小张从中任取3个小球，若取出的A球比B球多，则答A类题，否则答B类题．（Ⅰ）设小张抽到A球的个数为X，求X的分布列及E（X）．（Ⅱ）已知A类题里有4道论述题和1道计算题，B类题里有3道论述题和2道计算题，小张确定题目的难度类型后需要从相应题目中任选一道题回答．（i）求小张回答论述题的概率；（ii）若已知小张回答的是论述题，求小张回答的是A类题的概率．21．（12分）已知函数f(x)=e x−aln xa．（Ⅰ）若a＝e，求f（x）的极小值；（Ⅱ）若对任意的x∈（0，+∞）和a∈（0，+∞），不等式f（x）≥ka恒成立，求k的最大值．22．（12分）已知双曲线C：4x2﹣y2＝λ（λ≠0）经过点A(√2，2)，直线y＝t（t≠±2）与C交于M，N两点，直线AM，AN分别与y轴相交于点P，Q．（Ⅰ）证明：以线段PQ为直径的圆恒过点R（2，0）；（Ⅱ）若|MN|＜2√2，且|AM||AN|=|AQ||AP|，求t．2023-2024学年安徽省亳州市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |x 2≤4}，B ＝{x ||x ﹣1|＜2}，则A ∩B ＝（ ）A ．{x |2≤x ＜3|B ．{x |﹣2≤x ≤2}C ．{x |﹣1＜x ≤2}D ．{x |﹣2≤x ＜3}解：集合A ＝{x |x 2≤4}＝{x |﹣2≤x ≤2}，B ＝{x ||x ﹣1|＜2}＝{x |﹣1＜x ＜3}，则A ∩B ＝{x |﹣1＜x ≤2}． 故选：C ．2．已知复数z ＝（1﹣i ）（a +i ）（a ∈R ），则“a ＜0”是“z 的实部小于0”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：z ＝（1﹣i ）（a +i ）＝（a +1）+（1﹣a ）i ，若a ＜0，则z 的实部不一定小于0，若z 的实部小于0，则a ＜﹣1，可得a ＜0．∴“a ＜0”是“z 的实部小于0”的必要不充分条件．故选：B ．3．如图所示为某企业员工年龄（岁）的频率分布直方图，从左到右依次为第一组、第二组……第五组，若第五组的员工有80人，则第二组的员工人数为（ ）A ．140B ．240C ．280D ．320解：由题意，（0.01+a +0.06+0.04+0.02）×5＝1，解得a ＝0.07，则第二组的员工人数为800.02×0.07＝280人．故选：C ．4．在等差数列{a n }中，已知a 6＝2（a 2+a 4），则a 2＝（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．2 解：设等差数列{a n }的公差为d ，a 6＝2（a 2+a 4），则a 1+5d ＝2（a 1+d +a 1+3d ），即a 1＝﹣d ，故a 2＝a 1+d ＝﹣d +d ＝0．故选：B ．5．如图，正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面边长为1，高为3，已知F 为棱AA 1的中点，D ，E 分别在棱B 1B ，C 1C 上，BD ＝2，CE ＝1，记四棱锥A 1﹣B 1C 1ED 三棱锥F ﹣A 1DE 与三棱锥A ﹣DEF 的体积分别为V 1，V 2，V 3，则（ ）A ．V 1＜V 2B ．V 2＜V 3C ．2V 1＝3V 2D ．V 1＝V 2+V 3解：根据题意易知S △AA 1E =S 直角梯形B 1C 1ED ，又易知D 到底面AA 1E 的距离等于B 1到底面AA 1E 的距离，而B 1到底面AA 1E 的距离等于A 1到平面B 1C 1ED 的距离，∴V A 1−B 1C 1ED =V D−AA 1E =V D−FA 1E +V D−AEF =V F−A 1DE +V A−DEF ，即V 1＝V 2+V 3，又S △FA 1E =S △AEF ，∴V D−FA 1E =V D−AEF ，∴V F−A 1DE =V A−DEF ，∴V 2＝V 3，∴V 1＝V 2+V 3＝2V 2＝2V 3，故只有D 选项正确．故选：D ．6．已知直线l ：kx ﹣y +6k ﹣6＝0和曲线C ：y =√9−x 2，当23＜k ＜2时，直线l 与曲线C 的交点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．无法确定解：直线l ：kx ﹣y +6k ﹣6＝k （x +6）﹣（y +6）＝0，所以直线l 恒过A （﹣6，﹣6），曲线C ：y =√9−x 2表示以原点为圆心，以3为半径的圆的上半部分，当k =23时，直线l ：y =23x −2与圆交于（3，0）， 当k ＝2时，直线l ：y ＝2x +6经过点（﹣3，0），结合图象可知，当23＜k ＜2时，直线l 与曲线C 的交点个数为1． 故选：B ．7．在三棱锥P ﹣ABC 中，已知AB ＝BC ＝2√2，AC ＝4，P A ＝PC ，平面P AC ⊥平面ABC ，二面角P ﹣AB ﹣C 的大小为π4，则三棱锥P ﹣ABC 的外接球的表面积为（ ） A ．18π B ．9√3π C ．9√2π D ．9π解：取AC 的中点为Q ，连接PQ ，BQ ，∵P A ＝PC ，∵PQ ⊥AC ，又∵平面P AC ⊥平面ABC ，且平面P AC ∩平面ABC ＝AC ，PQ ⊂平面P AC ，∴PQ ⊥平面ABC ，∵AB ＝BC ，∴BQ ⊥AC ，以点Q 为坐标原点，分别以QC →，QB →，QP →为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示：则A （﹣2，0，0），C （2，0，0），B （0，2，0），设P （0，0，m ）（m ＞0），∴AB →=（2，2，0），PA →=（﹣2，0，﹣m ），设平面P AB 的一个法向量为n →=（x ，y ，z ），则{AB →⋅n →=2x +2y =0PA →⋅n →=−2x −mz =0，取x ＝1，解得{y =−1z =−2m ，∴n →=（1，﹣1，−2m）， 易知平面ABC 的一个法向量为m →=（0，0，1），∴二面角P ﹣AB ﹣C 的大小为π4， ∴|cos ＜m →，n →＞|=|m →⋅n →||m →||n →|=|−2m |√1+1+4m 2=√22，解得m 2＝2， 又∵m ＞0，∴m =√2，即PQ =√2，∵AB ＝BC ＝2√2，AC ＝4，易知三棱锥P ﹣ABC 的外接球的球心在PQ 上，设球心为O ，连接OC ，则OC ＝R ，∴R 2=22+(√2−R)2，解得R =3√22， ∴三棱锥P ﹣ABC 外接球的表面积为4π(3√22)2=18π． 故选：A ．8．当a ≥e 时，函数f(x)=x(e x +x +ln x a )−a 在[1，+∞）上的零点的个数为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1解：当a ≥e 时，令f(x)=x(e x +x +ln x a)−a =0，x ∈[1，+∞）， 化为e x +x =e ln a x +ln a x， 令g （x ）＝e x +x ，g ′（x ）＝e x +1＞0在x ∈[1，+∞）上恒成立，∴函数g （x ）在x ∈[1，+∞）上单调递增，∴x ＝ln a x， 化为lna ＝x +lnx ，x +lnx ∈[1，+∞），a ≥e ，易知函数y ＝lna 与y ＝x +lnx 的图象在x ∈[1，+∞）上有且只有一个交点，即当a ≥e 时，函数f(x)=x(e x +x +ln x a)−a 在[1，+∞）上的零点的个数为1． 故选：D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知向量a →，b →，c →满足c →=λa →+（1﹣λ）b →（0＜λ＜1），且c →=（1，2），则a →，b →的坐标可以为（ ）A ．a →=（1，0），b →=（0，2）B ．a →=（2，0），b →=（0，4）C ．a →=（3，1），b →=（﹣1，3）D ．a →=（2，1），b →=（4，﹣1）解：根据题意，依次分析选项：对于A ，若a →=（1，0），b →=（0，2），而c →=λa →+（1﹣λ）b →，则有（1，2）＝λ（1，0）+（1﹣λ）（0，2），无解，不符合题意；对于B ，若a →=（2，0），b →=（0，4），而c →=λa →+（1﹣λ）b →，则有（1，2）＝λ（2，0）+（1﹣λ）（0，4），当λ=12时等号成立，符合题意； 对于C ，若a →=（3，1），b →=（﹣1，3），而c →=λa →+（1﹣λ）b →，则有（1，2）＝λ（3，1）+（1﹣λ）（﹣1，3），当λ=12时等号成立，符合题意； 对于D ，若a →=（2，1），b →=（4，﹣1），而c →=λa →+（1﹣λ）b →，则有（1，2）＝λ（2，1）+（1﹣λ）（4，﹣1），当λ=32时等号成立但不符合0＜λ＜1，不符合题意． 故选：BC ．10．已知函数f （x ）＝3sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则（ ）A ．ω＝3B ．φ=π4C ．f （x ）的图象关于点(7π12，0)对称D ．f （x ）在[−7π12，−π4]上单调递增 解：由图象可知，12T =π12−(−π4)=π3，解得T =2π3， ω＞0，则2πω=2π3，解得ω＝3，故A 正确；由图象可知，f(−π4)=3， 则f(−π4)=3sin(−3π4+φ)=3，即−3π4+φ=π2+2kπ，k ∈Z ，解得φ=5π4+2kπ，k ∈Z ， |φ|＜π，则φ=−3π4，故B 错误； f （x ）=3sin(3x −3π4)，则f(7π12)=3sin(3×7π12−3π4)=0，故f（x）的图象关于点(7π12，0)对称，故C正确；x∈[−7π12，−π4]，则t=3x−3π4∈[−5π2，−3π2]，y＝3sin t在[−5π2，−3π2]上单调递增，故D正确．故选：ACD．11．将正数x用科学记数法表示为x＝a×10m，a∈[1，10），m∈Z，则lg x＝m+lga，我们把m，lga分别叫做lgx的首数和尾数，若将lgx的首数记为S（x），尾数记为W（x），则下列说法正确的是（）A．W（x）∈[0，1）B．W（x）（x＞0）是周期函数C．若x，y＞0，则S（xy）≥S（x）+S（y）D．若x＞y＞0，则W(xy)=W(x)−W(y)解：对于A，因为a∈[1，10），所以W（x）＝lga∈[0，1），故A正确；对于B，若W（y）＝W（x），必有y＝x•10k（k∈Z），不符合周期函数的定义，故B错误；对于C，设x＝a×10m，y＝b×10n（a，b∈[1，10），m，n∈Z），则S（x）＝m，S（y）＝n，xy＝ab×10m+n，若1＜ab＜10，则S（xy）＝m+n，若10＜ab＜100，则xy=ab10×10m+n+1，S（xy）＝m+n+1，所以S（xy）≥S（x）+S（y），故C正确；对于D，设x，y同选项C，W（x）＝lga，W（y）＝lgb，xy =ab×10m−n，若1＜ab＜10，则W(xy)=lgab=lga−lgb，若110＜ab＜1则xy=10ab×10m−n−1，所以W(xy)=lg10ab=lga−lgb+1，所以W(xy)≥w（x）﹣W（y），故D错误．故选：AC．12．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到点G（0，p）的距离为√5，直线l经过点F，且与C交于点P，Q（P位于第一象限），R为抛物线上P，Q之间的一点，S为点P关于x轴的对称点，则下列说法正确的是（）A．p＝2B．若l的斜率为1，则当R到l的距离最大时，△ORF（O为坐标原点）为直角三角形C．若|PF|＝2|QF|，则l的斜率为3D．若Q，S不重合，则直线QS经过定点解：对于A，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F（p2，0），因为焦点F到点G（0，p）的距离为√5，所以p24+p2＝5，解得p＝2，故A正确；对于B，由A知，抛物线方程为y2＝4x，焦点F（1，0），因为l的斜率为1，当R到l的距离最大时，此时过点R与抛物线相切的切线的斜率为1，设切线方程为：y＝x+m，由{y=x+my2=4x，得y2﹣4y﹣4m＝0，Δ＝14+16m＝0，解得m＝﹣1，所以R（1，2），所以RF⊥OF，即，△ORF（O为坐标原点）为直角三角形，故B正确；对于C，如图：设C的准线为l′，过点P，Q分别作PP′⊥l′，QQ′⊥l′，过点Q作|QT⊥PP′于T，因为|PF|＝2|QF|，所以|PP′|＝2|QQ′|＝2|TP′|，所以|PT||PQ|=13，所以tan∠PFx＝tan∠QPT＝2√2，即直线l的斜率为2√2，故C错误；对于D，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则S（x1，﹣y1），设直线l的方程为x＝my+1，由{x=my+1y2=4x，得y2﹣4my﹣4＝0，y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，直线QS的方程为y+y1=y2+y1x2−x1（x﹣x1）=y1+y2y224−y124（x−y124）=4y2−y1（x−y124），整理得y=4y2−y1（x+1），所以直线QS经过定点（﹣1，0），故D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知直线l的斜率为2，且与曲线y＝2e x相切，则l的方程为y＝2x+2．解：因为y＝2e x，所以y′＝2e x，令y ′＝2e x ＝2，可得x ＝0，x ＝0时，y ＝2e 0＝2，即切点为（0，2），故直线l 的方程为：y ﹣2＝2×（x ﹣0），即y ＝2x +2．故答案为：y ＝2x +2．14．已知随机变量X ～N （μ，σ2），若P （X ≤﹣2）≥P （X ≥3），则μ的取值范围是 （﹣∞，12] ． 解：根据题意，随机变量X ～N （μ，σ2），若P （X ≤﹣2）≥P （X ≥3），则|μ﹣（﹣2）|≤|μ﹣3|，解可得：μ≤12，即μ的范围为（﹣∞，12]． 故答案为：（﹣∞，12]． 15．已知α，β∈(0，π2)，3sinβ−cosα=√3，sin α+3cos β＝2，则α﹣β＝ −π6． 解：已知3sinβ−cosα=√3，①sin α+3cos β＝2，②由①2+②2可得：10+6（sin αcos β﹣cos αsin β）＝7，则sin(α−β)=−12， 又α，β∈(0，π2)，则α﹣β∈(−π2，π2)，则α﹣β=−π6． 故答案为：−π6． 16．已知椭圆C ：x 25+y 2=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，点P 在C 上，且∠F 1PF 2=2π3，则|PO |＝ √2 ．解：根据题意可得a =√5，b ＝1，c ＝2，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m +n ＝2a =2√5，又∠F 1PF 2=2π3， ∴根据余弦定理可得cos ∠F 1PF 2=m 2+n 2−4c 22mn ， ∴−12=m 2+n 2−162mn，∴m 2+n 2+mn ＝16， ∴（m +n ）2﹣mn ＝16，∴20﹣mn ＝16，∴mn ＝4，又PF 1→=PO →+OF 1→，PF 2→=PO →+OF 2→=PO →−OF 1→，∴PF 1→⋅PF 2→=PO →2−OF 2→2，∴mncos 2π3=|PO→|2−|OF1→|2，∴4×(−12)=|PO|2−4，∴|PO|2＝2，∴|PO|=√2．故答案为：√2．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a+2b cos A﹣2c＝0．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b=72，点D在边BC上，AD⊥BC，且AD=2√3，求a．解：（Ⅰ）因为a+2b cos A﹣2c＝0，由正弦定理可得sin A+2sin B cos A＝2sin C，在三角形中，sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B，可得sin A＝2sin A cos B，又sin A≠0，所以cos B=1 2，而B∈（0，π），所以B=π3；（Ⅱ）因为AD⊥BC，且AD=2√3，B=π3，在△ABD中，可得c＝AB=ADsinB=2√332=4，在△ABC中，由余弦定理可得b2＝a2+c2﹣2a cos B，即（72）2＝a2+42﹣2a•4•12，整理可得4a2﹣16a+15＝0，解得a=32或52．经验证，符合锐角三角形的只有5 2．18．（12分）记正项等比数列{a n}、等差数列{b n}的前n项和分别为S n，T n，已知a1＝1，b4＝S3＝13，T3＝27．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设集合A＝{n|8＜T n＜56}，B＝{a i+a j|i，j∈A}，求B中元素的个数．解：（Ⅰ）正项等比数列{a n}、等差数列{b n}的前n项和分别为S n，T n，设等比数列{a n}的公比为q，等差数列{b n}的公差为d，则q＞0，又a1＝1，S3＝13，则1+q+q2＝13，即q2+q﹣12＝0，又q＞0，则q＝3，则a n=3n−1，又b4＝13，T3＝27，则{b1+3d=133b1+3d=27，即{b1=7 d=2，即b n＝7+2（n﹣1）＝2n+5．（Ⅱ）由（1）可得T n=n(7+2n+5)2=n(n+6)，又A＝{n|8＜T n＜56}，则A＝{n|8＜n（n+6）＜56}，则A＝{2，3，4，5}，又B＝{a i+a j|i，j∈A}，则B＝{a2+a2，a2+a3，a2+a4，a2+a5，a3+a3，a3+a4，a3+a5，a4+a4，a4+a5，a5+a5}，则B中元素的个数为10．19．（12分）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的棱长均为2，E为棱CC1的中点．（Ⅰ）求证：平面ACB1⊥平面BDD1B1；（Ⅱ）若∠BAD=π3，求二面角C﹣AB1﹣E的正弦值．解：（Ⅰ）证明：在直四棱柱中，BB 1⊥平面ABCD ，所以BB 1⊥AC ，因为四棱柱的各棱长均相等，故四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，又因为BB 1∩BD ＝B ，所以AC ⊥平面BDD 1B 1，因为AC ⊂平面ACB 1，所以平面ACB 1⊥平面BDD 1B 1；（Ⅱ）设AC 与BD 的交点为O ，以O 为坐标原点，OB ，OC 所在直线分别为x 轴、y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，−√3，0)，C(0，√3，0)，B 1（1，0，2），E(0，√3，1)，则AC →=(0，2√3，0)，AB 1→=(1，√3，2)，AE →=(0，2√3，1)，设平面AB 1C 的法向量为m →=（x ，y ，z ），则{m →⋅AC →=2√3y =0m →⋅AB 1→=x +√3y +2z =0，解得y ＝0，令x ＝2，得z ＝﹣1，所以m →=（2，0，﹣1），设平面AB 1E 的法向量为n →=(a ，b ，c)，则{n →⋅AB 1→=a +√3b +2c =0n →⋅AE →=2√3b +c =0，令b ＝1，得a =3√3，c =−2√3，所以n →=(3√3，1，−2√3)，因为cos〈m →，n →〉=m →⋅n →|m →||n →|=8√3√5×2√10=2√65， 所以二面角C ﹣AB 1﹣E 的正弦值为√1−(265)2=15． 20．（12分）小张参加某公司的招聘考试，题目按照难度不同分为A 类题和B 类题，小张需要通过“抽小球”的方式决定要答的题目难度类型：一个箱子里装有质地、大小一样的5个球，3个标有字母A ，另外2个标有字母B ，小张从中任取3个小球，若取出的A 球比B 球多，则答A 类题，否则答B 类题．（Ⅰ）设小张抽到A球的个数为X，求X的分布列及E（X）．（Ⅱ）已知A类题里有4道论述题和1道计算题，B类题里有3道论述题和2道计算题，小张确定题目的难度类型后需要从相应题目中任选一道题回答．（i）求小张回答论述题的概率；（ii）若已知小张回答的是论述题，求小张回答的是A类题的概率．解：（Ⅰ）根据题意，X可取的值为1、2、3，P（X＝1）=C31C22C53=310，P（X＝2）=C32C21C53=35，P（X＝3）=C33C20C53=110，故X的分布列为：E（X）＝1×310+2×35+3×110=95；（Ⅱ）（i）记事件A＝“小张回答A类题”，B＝“小张回答B类题”，C＝“小张回答论述题”，则P（A）＝P（X＝2）+P（X＝3）=710，P（B）＝1﹣P（A）=310，P（C|A）=45，P（C|B）=35，则P（C）＝P（A）P（C|A）+P（B）P（C|B）=45×710+35×310=3750，（ii）P（AC）＝P（A）P（C|A）=45×710=2850，故P（A|C）=P(AC)P(C)=2837．21．（12分）已知函数f(x)=e x−aln xa．（Ⅰ）若a＝e，求f（x）的极小值；（Ⅱ）若对任意的x∈（0，+∞）和a∈（0，+∞），不等式f（x）≥ka恒成立，求k的最大值．解：（I）函数f(x)=e x−aln x a ，若a＝e，则f（x）＝e x﹣elnx+e，x∈（0，+∞），f′（x）＝e x−e x ，可得函数f′（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，f′（1）＝0，而x∈（0，1）时，f′（x）＜0；x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0．∴函数f（x）在x∈（0，1）时单调递减，在x∈（1，+∞）时单调递增．∴x＝1时函数f（x）取得极小值，f（1）＝2e．（Ⅱ）函数f(x)=e x−aln xa，x∈（0，+∞），a∈（0，+∞），则f′（x）＝e x−ax在x∈（0，+∞）上单调递增，又x →0+时，f ′（x ）→﹣∞；x →+∞时，f ′（x ）→+∞．∴存在唯一x 0，使得f ′（x 0）＝0，即e x 0=a x 0，可得x 0＝lna ﹣lnx 0， ∴x ∈（0，x 0）时，f ′（x ）＜0；x ∈（x 0，+∞）时，f ′（x ）＞0．∴函数f （x ）在x ∈（0，x 0）时单调递减，在x ∈（x 0，+∞）时单调递增．∴x ＝x 0时函数f （x ）取得极小值即最小值，f （x 0）=e x 0−alnx 0+alna =a x 0−a （lna ﹣x 0）+alna =a x 0+ax 0≥a •2√1x 0⋅x 0=2a ， 当且仅当x 0＝1时取等号，因此函数f （x ）的最小值为2a ，由不等式f （x ）≥ka 恒成立，∴ka ≤2a ，即k ≤2，∴k 的最大值为2．22．（12分）已知双曲线C ：4x 2﹣y 2＝λ（λ≠0）经过点A(√2，2)，直线y ＝t （t ≠±2）与C 交于M ，N 两点，直线AM ，AN 分别与y 轴相交于点P ，Q ．（Ⅰ）证明：以线段PQ 为直径的圆恒过点R （2，0）；（Ⅱ）若|MN|＜2√2，且|AM||AN|=|AQ||AP|，求t ． （Ⅰ）证明：将点A 的坐标代入双曲线的方程可得：4×（√2）2﹣22＝λ，可得λ＝4，所以双曲线的方程为：x 2−y 24=1， 设M （m ，t ），可得N （﹣m ，t ），将y ＝t 代入双曲线的方程m 2−t 24=1，可得t 2＝4m 2﹣4， 直线AM 的方程为y ﹣2=2−t √2−m （x −√2），令x ＝0，可得y P =√2t−2m √2−m ，即P （0，√2t−2m √2−m）， 将m 换成﹣m ，可得Q （0，√2t+2m √2+m）， 所以RP →•RQ →=（﹣2，√2t−2m √2−m ）•（﹣2，√2t+2m √2+m ）＝（﹣2）•（﹣2）+（√2t−2m √2−m ）•（√2t+2m √2+m） ＝4+2t 2−4m 22−m 2， 因为t 2＝4m 2﹣4，所以RP →•RQ →=0，可证得以线段PQ 为直径的圆恒过点R （2，0）；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得|MN |=√4+t 2＜2√2，M （m ，t ），N （﹣m ，t ），|2m |＜2√2，即|m |＜√2， 因为|AM||AN|=|AQ||AP|，可得|AM |•|AP |＝|AN |•|AC |，记AM 的斜率为k =2−t √2−m， 所以|AM |=√1+k 2√(√2+m)2−4√2m =√1+k 2•（√2−m ）， |AP |=√1+k 2⋅√(√2−0)2−4√2×0=√2•√1+k 2， 所以|AM |•|AP |=√1+k 2•（√2−m ）•√2•√1+k 2=（1+k 2）•√2（√2−m ）＝[1+(2−t)2(√2−m)2]•√2（√2−m ）=√2•√2−m)22√2−m， 将m 换成﹣m ，可得 |AN|⋅|AQ|=√2(√2+m)2+(2−t)2√2+m ， 所以√2−m)22√2−m =√2+m)22√2+m ． 化简可得2﹣m 2＝（2﹣t ）2，又m 2=1+t 24， 所以5t 2﹣16t +12＝0，解得t =65或t ＝2（舍去）． 即t =65．。