文科高等数学第三版教材答案

高等数学第三版教材高等数学是大学数学的一门重要课程，对于理工科学生而言尤为重要。

《高等数学第三版》正是为了满足这一需求而编写的一本教材，本文将全面介绍该教材的内容和特点。

第一章：函数与极限在第一章中，介绍了函数的概念和性质，以及各种重要函数的定义和图像特征。

通过理论推导和实例分析，帮助学生掌握函数的基本概念和性质，为后续学习打下坚实基础。

同时，该章还重点介绍了极限的概念和性质，通过极限的运算法则和计算方法，培养学生分析问题和解决问题的能力。

第二章：导数与微分导数与微分是高等数学中一个重要且基础的概念。

在第二章中，深入介绍了导数的定义和性质，包括导数的计算方法和常见函数的导数公式。

并在此基础上，引入了微分的概念和微分中值定理，通过理论和实例的讲解，帮助学生理解导数和微分的意义与应用，并能够熟练运用导数和微分解决实际问题。

第三章：不定积分不定积分是高等数学中另一个重要的概念和工具。

在第三章中，系统介绍了不定积分的定义和性质，以及常见函数的不定积分公式。

通过大量的例子和习题，培养学生对于不定积分的计算能力，并引入牛顿-莱布尼茨公式的概念，使学生深入理解积分与导数的关系。

第四章：定积分定积分是高等数学中与面积、弧长等相关联的一个概念。

在第四章中，系统讲解了定积分的定义和性质，包括定积分的计算方法和常见函数的定积分公式。

并通过实际问题的应用，引导学生理解定积分与几何问题之间的关系，并培养学生的计算和应用能力。

第五章：定积分的应用第五章主要介绍了定积分在工程、物理等实际问题中的应用。

包括计算曲线长度、曲线旋转体的体积、质心以及物理中的功、能量等问题。

通过具体的应用案例，帮助学生掌握定积分在实际问题中的灵活运用，并培养学生的应用能力。

第六章：无穷级数无穷级数是高等数学中一个重要的数学对象，在第六章中系统讲解了无穷级数的概念、性质和收敛准则。

通过大量的例题和习题，培养学生对于无穷级数的分析和求和能力，并引导学生掌握级数求和的基本方法和技巧。

文科高等数学第三版教材高等数学是一门广泛应用于文学、社会科学和经济学等文科领域的数学学科。

其第三版教材，是国内一套经典的教材，以其全面、系统地介绍了文科领域所需的数学知识，备受学生和教师的喜爱。

本文将对文科高等数学第三版教材进行详细的分析和评价。

首先，文科高等数学第三版教材注重理论与实践的结合。

该教材在内容编排上，将理论和实例有机地结合起来，使学生能够通过解题思路和实例推导，更好地理解数学概念和方法的应用。

例如，在微分学的部分，教材既介绍了导数的定义和性质，又给出了大量的实例，如在社会科学中利用导数求解最优问题的应用。

其次，文科高等数学第三版教材注重核心概念的讲解和扩展。

在教材的编写中，作者们明确了文科领域数学教学的目标，注重对于核心概念的逐步讲解和拓展。

教材中的每一个概念都有详细的解释和定义，并通过实例和习题巩固和应用。

这种编排方式有助于学生深入理解数学的本质和应用方法。

此外，文科高等数学第三版教材注重知识的层次性和系统性。

教材的知识结构是按照逻辑层次进行编排的，从基础概念到高级应用，逐步展开。

这种逐层深入的结构让学生能够系统地学习和掌握数学的基本原理和方法，提高数学思维的连贯性和逻辑性。

此外，文科高等数学第三版教材注重思维能力的培养。

教材中的习题设计旨在启发学生的思维，培养其解决问题的能力。

这些习题既注重基本概念的演练，也注重创新性思维的培养。

通过解答这些习题，学生可以逐渐提升自己的数学思维能力以及解题的灵活性。

综上所述，文科高等数学第三版教材在内容编排、概念讲解、核心知识和思维能力的培养等方面都表现出优秀的特点。

它不仅为文科学生提供了全面系统的数学学习材料，同时也为教师提供了优秀的教学辅助工具。

相信随着这套教材的广泛使用，文科领域的数学教学将会得到更大的提升和发展。

高等数学典型题第三版课后练习题含答案前言高等数学作为一门重要的学科，在各行各业都扮演着重要的角色。

对于数学这个学科而言，典型题是很好的一个学习工具。

本文提供的高等数学典型题第三版课后习题，也是这样一个很好的学习资源。

课后练习题第一章函数与极限1.已知函数f(x)=x−1，求$$\\lim \\limits_{x \\to 1} \\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$$答：$\\lim \\limits_{x \\to 1} \\frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \\lim\\limits_{x \\to 1} \\frac{x-1}{x-1} = 1$2.已知函数$f(x)=\\sin(\\frac{\\pi}{2}x)$，证明f(x)在x=1处连续。

答：由于$f(1)=\\sin(\\frac{\\pi}{2})=1$，因此我们只需证明$$\\lim \\limits_{x \\to 1}f(x) =f(1)$$由于$\\sin(\\frac{\\pi}{2}x)$在$x \\to 1$时趋于$\\sin(\\frac{\\pi}{2})=1$，因此$\\lim \\limits_{x \\to 1}f(x) = 1$。

因此，f(x)在x=1处连续。

……（此处省略部分题目）第二章导数与微分1.求曲线y=x3−3x+2在(1,0)处的切线方程。

答：首先，我们求出该曲线在点(1,0)处的导数：f′(x)=3x2−3代入x=1，有f′(1)=0。

因此，该曲线在点(1,0)处的切线斜率为0。

又因为在点(1,0)处的曲线的切线方程的系数k为0，因此得到该曲线在点(1,0)处的切线方程为y=02.求函数$f(x)=\\frac{1}{1+x}$在x=0处的导数。

答：$$\\begin{aligned} f'(x)&=\\lim \\limits_{\\Delta x \\to 0}\\frac{f(x+\\Delta x)-f(0)}{\\Delta x }\\\\ &=\\lim \\limits_{\\Delta x \\to 0} \\frac{\\frac{1}{1+\\Delta x}-1}{\\Delta x }\\\\ &=\\lim\\limits_{\\Delta x \\to 0} \\frac{1}{(1+\\Delta x)(1+\\Delta x)}\\\\ &=1 \\end{aligned}$$因此，f(x)在x=0处的导数为1。

习题十一1.一门高射炮向敌机连发三炮，每炮击中敌机的概率为0.9.设X 表示击中敌机的炮弹数，求EX ，DX .解：依题得：33()0.90.1,0,1,2,3k k k p x k C k -=== 所以X 的分布律为：所以：()22222200.00110.02720.24330.729 2.7()00.00110.02720.24330.729 2.70.27EX DX E X EX EX EX =⨯+⨯+⨯+⨯==-=-=⨯+⨯+⨯+⨯-=2．设随机变量X 具有分布律1{}(0,1,2,)!k P X k p k ek ==== ，求EX解：00001111111!(1)!!k k k k k k EX x p k e ek e k e k e +∞+∞+∞+∞======⋅===⋅=-∑∑∑∑ 注：从题看出，X 服从1λ=的泊松分布（P327）。

3.解：()()00.410.320.230.1100.310.520.2300.9E E =⨯+⨯+⨯+⨯==⨯+⨯+⨯+⨯=甲乙4.设随机变量X 服从下列分布，求EX ，DX .（2）Γ分布10,0,()(0,0),0()p p bx x p x b p b x e x p --≤⎧⎪=>>⎨>⎪Γ⎩均为常数解：+0++100100()()()11()()11(1)()()()()p pp bxp bx pp p p t tp EX xp x dxb b x x e dx x e dxp p b t b bx t e dt t e dt p b b b p p p p p b p b p b∞∞∞---+∞+∞--+===ΓΓ⎛⎫=⋅=⋅ ⎪ΓΓ⎝⎭=⋅Γ+=⋅Γ=ΓΓ⎰⎰⎰⎰⎰伽马函数的性质同理得：22(1)p p EX b+=所以：()222p DX EX EX b=-=5.设随机变量X 的概率密度为(),,xp x Ae x -=-∞<<+∞求：（1）系数A ；（2）EX ；（3）DX 解：0(1)()21xx xxp x dx Ae dx Ae dx Ae Ae A +∞+∞--+∞-∞-∞-∞=+=-==⎰⎰⎰所以12A =000(2)()1111(11)02222x x x x EX xp x dxx e dx x e dx xe dx xe dx +∞-∞+∞+∞---∞-∞=⎡⎤=⋅+⋅=+=-+=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰22202220(3)()1()22x x DX EX EX EXx p x dx x e dx x e dx +∞+∞--∞-∞=-=⎡⎤==+=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ 7. 设随机变量X 服从几何分布，即分布律为：1{}(1,2,)(01,1),k k P X k p pq k p q p -====<<=-试求EX ，DX . 解：1121112222122222111(1)1111()k k k k k k k k k k p EX kp kpqp kq q pq q DX EX EX k p p k q p p p p p +∞+∞+∞--===+∞+∞-=======-+=-=-=-=-=∑∑∑∑∑8.设随机变量X 的概率密度为23,01,()0,.x x p x ⎧≤≤=⎨⎩其它 (1)4;(2)XY X Y e -==求的数学期望.解：1130(1)(4)44()433;EY E X EX xp x dx x dx =====⎰⎰1112210(2)(()33615Xxxx EY E e e p x dx x e dx x de e -----===-=-⎰⎰⎰)=10.设随机变量12X X ，的概率密度分别为1212,3,1212120,30,()()0,0,0,0.x x X X e x e x p x p x x x --⎧⎧>>==⎨⎨≤≤⎩⎩ 求21212(),(3)E X X E X X +-.解：123121211220014()3133x x E X X EX EX x e dx x e dx +∞+∞--+=+=+⋅=+=⎰⎰123222121211220(3)333211x x E X X EX EX x e dx x e dx +∞+∞---=-=-⋅=-=⎰⎰11. 设随机变量12X X ，相互独立，概率密度分别为2123211212214,01,0,()()20,0,0.x X X x x e x p x p x x -⎧⎧≤≤>⎪==⎨⎨⎩⎪≤⎩，其它求12()E X X解：21321212111220148()==42.255x E X X EX EX x x dx x e dx +∞-⋅⋅⋅=⨯=⎰⎰12.设随机向量(,)X Y 的概率密度为3,01,0,(,)0,x x y x p x y <<<<⎧=⎨⎩其它.求()E XY 解：()11240033()33210xE XY xy xdxdy x ydy dx x dx +∞+∞-∞-∞=⋅===⎰⎰⎰⎰⎰14.解：由题得，01EY DY EZ DZ σ====，，,222222242(538)5385520(538)259259EV E X Y Z EX EY EZ EX aDV D X Y Z DX DY DZ aσ∴=+-+=+-+=+=+=+-+=++=++15.设随机变量12,,n X X X 相互独立，且服从同一分布，数学期望为μ，方差为2σ，求这些变量的算术平均值11ni i X X n ==∑的数学期望及方差。

高等数学习题答案第三版高等数学学习题答案第三版是一本备受学生喜爱的参考书籍。

它为学生提供了高等数学学习过程中的习题答案，帮助他们更好地理解和掌握数学知识。

本文将从不同角度探讨这本书的特点和价值。

首先，高等数学学习题答案第三版的特点之一是全面性。

无论是微积分、线性代数还是概率论，这本书都涵盖了高等数学各个分支的习题答案。

它的全面性使得学生能够在一个书本中找到各个章节的习题答案，方便他们进行查阅和学习。

同时，这也帮助学生更好地理解和应用不同数学概念之间的联系，提高他们的综合运用能力。

其次，高等数学学习题答案第三版的特点之二是详细性。

书中的每个习题答案都给出了详细的解题步骤和推导过程，帮助学生了解解题的思路和方法。

这对于那些初学者来说尤为重要，他们可以通过参考书中的答案，逐步理解和掌握解题的方法，提高他们的数学水平。

同时，这也有助于学生巩固已学知识，加深对数学概念的理解。

此外，高等数学学习题答案第三版的特点之三是实用性。

书中的习题答案不仅仅是简单地给出答案，还提供了详细的解题思路和方法，帮助学生更好地理解和掌握数学知识。

这对于那些自学数学的学生来说尤为重要，他们可以通过参考书中的答案，自主学习和解决问题。

同时，这也为教师提供了一个很好的辅助教材，可以引导学生进行自主学习和思考。

最后，高等数学学习题答案第三版的特点之四是灵活性。

书中的习题答案不仅仅是给出标准答案，还提供了不同解题方法和思路的讨论。

这有助于学生培养灵活的思维和解决问题的能力。

学生可以通过比较不同的解题方法，选择最适合自己的方法，提高解题的效率和准确性。

同时，这也有助于培养学生的创新意识和独立思考能力。

综上所述，高等数学学习题答案第三版是一本具有全面性、详细性、实用性和灵活性的参考书籍。

它为学生提供了高等数学学习过程中的习题答案，帮助他们更好地理解和掌握数学知识。

无论是初学者还是自学者，都可以通过参考这本书，提高数学水平，培养解决问题的能力。

同济高等数学第三版上册答案详解同济大学高等数学第三版上册是比较有名的一本数学教材，最新出版的三版包含了更多的知识和技能。

下面是同济高等数学第三版上册答案详解：第一章：实数和函数1.练习题：1、设x与y为实数，请计算：（1）（2x-3)/(x+2y) = 2x/ (x+2y) - 3/ (x+2y)（2）x+|y|-2y = x-y+2（|y|-|y|）=x-y2、如果a>0,b>0，那么：（1）1/a +1/b = 1/a + 1/b =(ab)/ab=1（2）(a-b)/ab = a/ab - b/ab = (a/b) -13、D=(a +b )2 /4，那么，D/(ab)= (a+b)2/4(ab) =(a+b)/2 2.定理：1、对任何实数x，均有：x-x=02、若a＞b，则a-b＞03、若a＞0，b＞0，则a/b＞1第二章：多项式、函数和系数1.练习题：1、如果a+b=3,且a*b=2，那么：（1）a2 +b2 = 9+4=13（2）a3 + b3 = 8+1=92、若多项式P(x)=2x3+7x2-3x+20，则：（1）P（1）= 2*1^3+7*1^2-3*1+20=26（2）P（-2）=2*(-2)^3+7*(-2)^2-3*(-2)+20=-182.定理：1、若系数a+b=3，则a*b=3-a2、若多项式P(x)=ax3 +bx2 +cx +d，则P(x+h)=a(x+h)3 +b(x+h)2 +c(x+h) +d第三章：极坐标与向量1.练习题：1、如果向量m=(-2,4)，则（1）|m|=根号(-2)^2+4^2=根号20=4.47213（2）m方向的极坐标r=4.47213，O=45°2、若向量m=(3,-3)，则（1）向量m的极坐标r=根号3^2 +(-3)^2 =根号18 =4.24264，\theta=135°（2）向量m在极坐标中的表示法为(4.24264,135°)2.定理：1、若向量a=(a1,a2)和向量b=(b1,b2)，则向量a+b=(a1+b1,a2+b2)2、若向量a=(a1,a2)，则|a|=根号a1^2 +a2^2。

1．对二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a 为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是( )A ．－1是f (x )的零点B ．1是f (x )的极值点C ．3是f (x )的极值D ．点(2,8)在曲线y ＝f (x )上 答案 A解析 由A 知a －b ＋c ＝0；由B 知f ′(x )＝2ax ＋b,2a ＋b ＝0；由C 知f ′(x )＝2ax ＋b ，令f ′(x )＝0可得x ＝－b 2a ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ＝3，则4ac －b 24a ＝3；由D 知4a ＋2b ＋c ＝8.假设A 选项错误，则⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ≠0，2a ＋b ＝0，4ac －b24a ＝3，4a ＋2b ＋c ＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－10，c ＝8，满足题意，故A 结论错误．同理易知当B 或C 或D 选项错误时不符合题意，故选A.2．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d (b ，c ，d 为常数)，当x ∈(0,1)时，f (x )取得极大值，当x ∈(1,2)时，f (x )取得极小值，则⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋122＋(c －3)2的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫372，5 B ．(5，5) C.⎝⎛⎭⎪⎫374，25D ．(5,25)答案 D解析 因为f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，f ′(x )的两个根分别在(0,1)和(1,2)内，所以f ′(0)>0，f ′(1)<0，f ′(2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧c >0，3＋2b ＋c <0，12＋4b ＋c >0，作出可行域如图中阴影部分所示(不包括b 轴)，⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋122＋(c －3)2表示可行域内一点到点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3的距离的平方，由图象可知，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3到直线3＋2b ＋c ＝0的距离最小，即⎝⎛⎭⎪⎫b ＋122＋(c －3)2的最小值为⎝⎛⎭⎪⎫|3－1＋3|52＝5，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3到点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，6的距离最大，此时⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋122＋(c －3)2＝25，因为可行域的临界线为虚线，所以所求范围为(5,25)，故选D.3．若函数f (x )＝x 3－3x 在(a,6－a 2)上有最小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－5，1)B ．时，h (x )<0，又h (2)＝3ln 2－4e 2＝ln 8－4e 2>1－1＝0，所以存在x 0∈(1,2)，使得h (x 0)＝0. 因为h ′(x )＝ln x ＋1x＋1＋xx －2ex，所以当x ∈(1,2)时，h ′(x )>1－1e >0，当x ∈时，若x ∈(0,1]，m (x )≤0； 若x ∈(1，x 0]，由m ′(x )＝ln x ＋1x＋1>0.可知0<m (x )≤m (x 0)．故m (x )≤m (x 0)． 当x ∈(x 0，＋∞)时，由m ′(x )＝x 2－xex，可得x ∈(x 0,2)时，m ′(x )>0，m (x )单调递增；x ∈(2，＋∞)时，m ′(x )<0，m (x )单调递减．可知m (x )≤m (2)＝4e 2，且m (x 0)<m (2)．综上可得，函数m (x )的最大值为4e2.8.设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a >0.点击观看解答视频(1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(2)当x ∈时，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值． 解 (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2. 令f ′(x )＝0，得x 1＝－1－4＋3a3，x 2＝－1＋4＋3a3，x 1<x 2，所以f ′(x )＝－3(x －x 1)(x －x 2)． 当x <x 1或x >x 2时，f ′(x )<0； 当x 1<x <x 2时，f ′(x )>0.故f (x )在(－∞，x 1)和(x 2，＋∞)内单调递减，在(x 1，x 2)内单调递增． (2)因为a >0，所以x 1<0，x 2>0. ①当a ≥4时，x 2≥1.由(1)知，f (x )在上单调递增．所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值． ②当0<a <4时，x 2<1.由(1)知，f (x )在上单调递增，在上单调递减． 所以f (x )在x ＝x 2＝－1＋4＋3a3处取得最大值．又f (0)＝1，f (1)＝a ，所以当0<a <1时，f (x )在x ＝1处取得最小值；当a ＝1时，f (x )在x ＝0处和x ＝1处同时取得最小值； 当1<a <4时，f (x )在x ＝0处取得最小值．9.设函数f (x )＝e xx2－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋ln x (k 为常数，e ＝2.71828…是自然对数的底数)．点击观看解答视频(1)当k ≤0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点，求k 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝e x ·x 2－2x e x x4－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2＋1x ＝x －2e x－kxx 3(x >0)，由k ≤0，知e x－kx >0，令f ′(x )＝0，则x ＝2， 当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数， 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数． 综上，f (x )的减区间为(0,2)，增区间为(2，＋∞)．(2)由题意知f ′(x )＝0，即e x－kx ＝0在(0,2)内存在两个不等实根． 令g (x )＝e x －kx ，g ′(x )＝e x－k ，令g ′(x )＝0，x ＝ln k ，则0<ln k <2，即1<k <e 2.当0<x <ln k 时，g ′(x )<0，g (x )为减函数．当ln k <x <2时，g (x )为增函数．∵g (0)＝1>0，只需⎩⎪⎨⎪⎧g2>0，g ln k<0，即⎩⎪⎨⎪⎧e 2－2k >0，e ln k－k ·ln k <0，得e<k <e22.综上可知，k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫e ，e 22 10．已知函数f (x )＝ln x －a (x 2－x )(a ∈R )． (1)当a ＝1时，求f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)求f (x )在上的最大值．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝ln x －x 2＋x ，f ′(x )＝1x－2x ＋1.∴f (1)＝0，f ′(1)＝0，即所求切线方程为：y ＝0. (2)∵f ′(x )＝1x －2ax ＋a ＝－2ax 2＋ax ＋1x，x >0.∴当a ＝0时，f ′(x )>0，f (x )在上单调递增． ∴f (x )max ＝f (2)＝ln 2.当a ≠0时，可令g (x )＝－2ax 2＋ax ＋1，x ∈，g (x )的对称轴x ＝14且过点(0,1)．∴当a <0时，f ′(x )>0在上恒成立，f (x )在上单调递增， ∴f (x )max ＝f (2)＝ln 2－2a .当a >0时，若g (1)≤0，即a ≥1时，f ′(x )<0在上恒成立．f (x )在上单调递减，∴f (x )max ＝f (1)＝0.若g (1)>0，g (2)<0，即16<a <1时，f ′(x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，a ＋a 2＋8a 4a 上大于零，在⎝ ⎛⎦⎥⎤a ＋a 2＋8a 4a ，2上小于零，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，a ＋a 2＋8a 4a 上单调递增，在⎝ ⎛⎦⎥⎤a ＋a 2＋8a 4a ，2上单调递减．∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2＋8a 4a ＝lna ＋a 2＋8a 4a ＋a 2＋8a ＋a －48. 若g (1)>0，g (2)≥0，即0<a ≤16时，11．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4(a ∈R )，f ′(x )是f (x )的导函数． (1)当a ＝2时，对于任意的m ∈，n ∈，求f (m )＋f ′(n )的最小值； (2)若存在x 0∈(0，＋∞)，使f (x 0)>0，求a 的取值范围． 解 (1)由题意得f (x )＝－x 3＋2x 2－4，f ′(x )＝－3x 2＋4x .令f ′(x )＝0，得x ＝0或43.当x 在上变化时，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：∴对于∵f ′(x )＝－3x 2＋4x 的对称轴为直线x ＝23，且抛物线开口向下，∴对于n ∈，f ′(n )的最小值为f ′(－1)＝－7. ∴f (m )＋f ′(n )的最小值为－11.(2)∵f ′(x )＝－3x ⎝⎛⎭⎪⎫x －2a 3.①若a ≤0，当x >0时，f ′(x )<0， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减． 又f (0)＝－4，则当x >0时，f (x )<－4. ∴当a ≤0时，不存在x 0>0，使f (x 0)>0. ②若a >0，则当0<x <2a3时，f ′(x )>0；当x >2a3时，f ′(x )<0.⎛⎥⎤，2a ⎢⎡⎫2a ，＋∞。