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第2章控制系统的数学模型§1 系统数学模型的基本概念一. 系统模型系统的模型包括实物模型、物理模型、和数学模型等等。
物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型，从而可以抛开系统的物理属性，用同一方法进行具有普遍意义的分析研究(信息方法)。
从动态性能看，在相同形式的输入作用下，数学模型相同而物理本质不同的系统其输出响应相似。
相似系统是控制理论中进行实验模拟的基础。
二. 系统数学模型1. 系统数学模型系统的数学模型是系统动态特性的数学描述。
数学模型是描述系统输入、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。
2. 系统数学模型的分类数学模型又包括静态模型和动态模型。
(1) 静态数学模型静态条件(变量各阶导数为零)下描述变量之间关系的代数方程。
反映系统处于稳态时，系统状态有关属性变量之间关系的数学模型。
(2) 动态数学模型描述变量各阶导数之间关系的微分方程。
描述动态系统瞬态与过渡态特性的模型。
也可定义为描述实际系统各物理量随时间演化的数学表达式。
动态系统的输出信号不仅取决于同时刻的激励信号，而且与它过去的工作状态有关。
微分方程或差分方程常用作动态数学模型。
动态模型在一定的条件下可以转换成静态模型。
在控制理论或控制工程中，一般关心的是系统的动态特性，因此，往往需要采用动态数学模型。
即，一般所指的系统的数学模型是描述系统动态特性的数学表达式。
三. 系统数学模型的形式对于给定的同一动态系统，数学模型的表达不唯一。
如微分方程、传递函数、状态方程、单位脉冲响应函数及频率特性等等。
对于线性系统，它们之间是等价的。
但系统是否线性这一特性，不会随模型形式的不同而改变。
线性与非线性是系统的固有特性，完全由系统的结构与参数确定。
经典控制理论采用的数学模型主要以传递函数为基础。
而现代控制理论采用的数学模型主要以状态空间方程状态空间方程为基础。
而以物理定律及实验规律为依据的微分方程微分方程又是最基本的数学模型，是列写传递函数和状态空间方程的基础。
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第2章控制系统的数学模型 控制系统的数学模型（2章补充） 描述变量之间关系的代数方程叫静态数学模型； 描述变量各阶导数之间关系的微分方程叫动态数学模型。 同一系统可用不同的数学模型形式描述， 输入输出型，外部描述，经典控制理论的主要研究方法。 状态变量型，内部描述，适用于多输入多输出系统、时变、非线性和随机控制系统。本课略 方框图模型，描述系统结构比较直观。 传递函数：按0初始态进行拉氏变换，将微分方程转换成数学方程以方便分析和计算。 时域响应：信号按时间变化的规律。微分方程形式 频域响应：信号按频率变化的规律。将传递函数中的S 用j ω代换 两者之间有确定的对应关系。 数学模型的建立方法有分析法和实验法两类。 分析法是依据物理和化学定律，列写出各变量之间的数学关系式。也称为解析法。 实验法是对系统施加某种典型输入信号，记录其输出响应，比对已知关系得到系统的数学模型。 时域数学模型举例
在如图无源电路网络系统中，1R 和2R 为电阻，C 为电容， )(t u i 为输入电压；)(t u o 为输出电压。根据基尔霍夫定律和欧 姆定律，有 （2-1） 整理后输入输出模型为 （2-2） 有源电路网络系统如图，R 为电阻， C 为电容，)(t u i 为输入电压；)(t u o 为输出电压，0K 为理想运算放大器。 运算放大器的反相输入端A 点为虚地点，则 )()(21t i t i ≈ ) () ()()(12211t u dt t du C R t u R R R dt t du C R i i o o +=++2 1) ()]()([)()(R t u dt t u t u d C R t u t u o o i o i =-+- )() (t u dt t du RC i o -=据此，可列出)(t u i 和)(t u o 的关系： dt t du C R t u o i ) ()(-= （2-3） 经整理， （2-4） 图2-3中水箱的流入流量为Q i ，流出流量Q O ，它们都受相应的阀门控制。 设该系统的输入量为Q i ，输出量为液面高度H ， 则它们之间的微分方程式可列写如下： 设液体是不可压缩的，根据物质守恒定律，可得： ()dt Qo Qi AdH -= (2-5) 式中 A —水箱截面积(米2)；H —液面高度(米)；Qi 、Q O —流入、流出液体流量(米3 /秒)。 这里Q O 是个变量，所以须求出中间变量Q O 才能得到H 与Qi 的关系。 假设通过节流阀的流体是紊流，按流量公式可得 (2-6) 式中α为节流阀的流量系数，当H 变化不大时，α可近似认为只与节流阀的开度有关，若节流阀开度不变，则α为常数。 消去中间变量Q O ，就得输入输出关系式 i Q A H A dt dH 1 =+α (2-7) 这是个一阶非线性微分方程式。 对于较复杂的系统，列写输入输出系统微分方程可采用以下一般步骤： （1） 将系统划分为环节，确定各环节的输入及输出信号，每个环节可考虑列写一个方程。 （2） 根据定律或通过实验等方法得出的规律列写各环节的方程式，并考虑适当简化，线性化。 （3） 消去中间变量，最后得出只含输入变量、输出变量以及参量的系统方程式。 () R H H H H Q H H o = ≈==0 'ααA Q Q dt dH o i -= 单输入、单输出系统用微分方程表示的数学模型有如下的一般形式： )(0t c dt d a n n +)(111t c dt d a n n --+…+)()(1t c a t c dt d a n n +- =+)(0t r dt d b m m )(111t r dt d b m m --+…+)()(1t r b t r dt d b m m +- （2-8） 式中c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，a0，a1，…，an ，b0，b1，…，bm 是与系统结构参数有关的常系数。 令C(s)=L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，在初始条件为零时，对上式进行拉氏变换，可得到s 的代数方程 [n s a 0+1 1-n s a +…+s a n 1-+n a ])(s C =[m s b 0+1 1-m s b +…+s b m 1-+m b ])(s R （2-9） 于是，系统的传递函数为： n n n n m m m m a s a s a s a b s b s b s b s R s C s G ++++++++==----11 101110)()()( （2-10） 传递函数是在初始条件为零(或称零初始条件)时定义的。控制系统的零初始条件有两方面的含义，一是指输入作用是在t=0以后才作用于系统，因此，系统输入量及其各阶导数在t =0时的值均为零；二是指系统在输入作用加入前是相对静止的，因此，系统输出量及其各阶导数在t =0时的值也为零。现实的控制系统多属此类情况，这时，传递函数可以完全表征系统的动态性能。 传递函数的性质 传递函数是个非常重要的概念，它是分析线性定常系统的有利数学工具，它有以下特点： （1）传递函数只取决于系统和元件的结构和参数，与初始条件和输入无关。 （2）传递函数只适用于线性定常系统，因为它是由拉氏变换 而来的，而拉氏变换是一种线性变换。 （3）传递函数是复变量s 的有理真分式函数，具有复变函数的所有性质，m ≤n 且所有系数均为实数。 （4）传递函数与微分方程是一一对应的。传递函数分子多项式系数及分母多项式系数，分别与 相应的微分方程的右端及左端微分算符多项式系数相对应。故将微分方程的算符dt d 用复数s 置 换便得到传递函数；反之，将传递函数多项式中的变量s 用算符 dt d 置换便得到微分方程。 （5）一个传递函数只能表示一个输入与一个输出之间的关系，对于多输入-多输出系统，不能用一个传递函数去描述，而要用传递函数矩阵去表征系统输入与输出间的关系。 （6）传递函数)(s G 的拉氏反变换是脉冲响应)(t g 。脉冲响应)(t g 是系统在单位脉冲)(t δ输入 时的输出响应，此时1)]([)(==t L s R δ，故有 )]([)]()([)]([)(1 11s G L s R s G L s C L t g ---===。 （7）传递函数的零点和极点。传递函数用因式连乘的形式表示： )(s G )(s R )(s C 图2-4 传递函数的图示 ) ())(() ())(()()()(2121n m p s p s p s z s z s z s k s R s C s G ++++++= = ， m ≤n 式中k 为常数，-z1,…,-zm 为传递函数分子多项式方程的m 个根，称为传递函数的零点；-p1,…,-pn 为分母多项式方程的n 个根，称为传递函数的极点。显然，零、极点的数值完全取决于诸系数b0…bm 及a0…an ，亦即取决于系统的结构参数。一般zi,pi 可为实数，也可为复数，且若为复数，必共轭成对出现。将零、极点标在复平面上，则得传递函数的零极点分布图，如图2-8所示。图中零点用“ ”表示，极点用“ ”表示。
