人教B版高中数学必修一二次函数的性质与图象同步练习二

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）第二章第二单元一次函数和二次函数1．一次函数（1）一次函数的概念函数叫做一次函数，它的定义域是R，值域为R.一次函数的图象是，其中k叫做该直线的，b叫做该直线在y轴上的．一次函数又叫．（2）一次函数的性质①函数的改变量Δy＝与自变量改变量Δx＝的比值等于，k的大小表示直线与x轴的．②当k>0时，一次函数是；当k<0时，一次函数是．③当b＝0时，一次函数为，是；当b≠0时，它．④直线y＝kx＋b与x轴的交点为，与y轴的交点为。

2．二次函数（1）函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)叫做，它的定义域为R.（2）二次函数的性质与图象图象函数性质a＞0 a＜0 定义域x∈R值域a>0 a<024[,)4ac bya-∈+∞24(,]4ac bya-∈-∞奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时既非奇函数也非偶函数单调性a>0 a<0(,],2bxa∈-∞-时递增[,)2bxa∈-+∞时递减(,],2bxa∈-∞-时递减[,)2bxa∈-+∞时递增图象特点()()241:;2:(,)224b b ac b x a a a-=--对称轴顶点 最值抛物线有最低点， 当2bx a=-时，y 有最小值2min44ac b y a-=抛物线有最高点， 当2bx a=-时，y 有最大值2max44ac b y a-=(3) 配方法将二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 配成顶点式y ＝x (a(－)h)2＋k 来求抛物线的顶点和函数y 的最值问题．配方法是研究二次函数的主要方法，熟练地掌握配方法是掌握二次函数性质的关键，对一个具体的二次函数，通过配方就能知道这个二次函数的主要性质．（4）二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f （x ）= ax 2+bx+c(a ≠0) .②顶点式：f(x)= f(x)=a(x-h)2+k (a ≠0) ，(k ，h)为顶点坐标． ③两根式：f(x)=a(x-x 1)(x-x 2)(a ≠0) ， x 1、x 2为两实根． 3．待定系数法一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数. 这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法。

4.2.2 二次函数的性质与图象1．二次函数的概念函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)叫做二次函数，其定义域为R . 2．二次函数的性质与图象思考：由函数y＝ax2(a≠0)的图象作怎样的变换就能得到函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的图象？[提示]y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的图象可以看作由y＝ax2的图象平移得到的，h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”．1．二次函数y＝4x2－mx＋5的图象的对称轴为直线x＝－2，则当x＝1时，y的值为()A．－7B．1C．17D．25D[因为函数y＝4x2－mx＋5的图象的对称轴为直线x＝－2，所以m8＝－2，即m＝－16，所以y＝4x2＋16x＋5，所以当x＝1时，y＝25.] 2．函数y＝－2(x＋1)2＋8的最值情况是()A．最小值是8，无最大值B．最大值是－2，无最小值C．最大值是8，无最小值D．最小值是－2，无最大值C[y＝－2(x＋1)2＋8的图象开口向下，所以当x＝－1时取最大值8，无最小值．]3．把函数y＝x2－2x的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位所得图象对应的函数解析式为________．y＝x2－6x＋5[将函数y＝x2－2x的图象平移后，得到的解析式为y＝(x－2)2－2(x－2)－3＝x2－6x＋5.]4．已知函数f(x)＝(m－1)x2－2mx＋3是偶函数，则f(x)在(－∞，0)上________(填“单调递增”或“单调递减”)．单调递增[因为f(x)＝(m－1)x2－2mx＋3是偶函数，所以2m＝0，即m＝0，所以f(x)＝－x2＋3，因为二次函数对应的抛物线开口向下，所以f(x)＝－x2＋3在(－∞，0)上单调递增．]【例1】()A B C D(2)函数y＝x2＋m的图象向下平移2个单位，得到函数y＝x2－1的图象，则实数m＝________.(3)当m为何值时，函数y＝(2－m)xm2＋m－4＋(m＋8)x是二次函数？(1)D(2)1[(1)A图，a＜0，c＜0，－b2a＜0，∴b＜0，∴abc＜0，不合题意．B图，a＜0，c＞0，－b2a＞0，∴b＞0，∴abc＜0，不合题意．C图，a＞0，c＜0，－b2a＜0，∴b＞0，∴abc ＜0，不合题意．D 图，a ＞0，c ＜0，－b2a ＞0，∴b ＜0，此时abc ＞0满足题意，故选D. (2)y ＝x 2－1的图象向上平移2个单位，得到函数y ＝x 2＋1的图象，则m ＝1.](3)解：由二次函数的定义知⎩⎨⎧2－m ≠0，m 2＋m －4＝2，即⎩⎨⎧m ≠2，m 2＋m －6＝0，解得⎩⎨⎧m ≠2，m ＝－3或m ＝2，所以m ＝－3.所以当m ＝－3时，函数y ＝(2－m )xm 2＋m －4＋(m ＋8)x 为二次函数．观察图象主要是把握其本质特征：开口方向决定a 的符号，在y 轴上的交点决定c 的符号(值)，对称轴的位置决定－b2a 的符号.另外，还要注意与x 轴的交点，函数的单调性等，从而解决其他问题.1．在同一直角坐标系中，函数y ＝mx ＋m 和函数y ＝－mx 2＋2x ＋2(m 是常数，且m ≠0)的图象可能是( )A BC DD [当m ＞0时，函数y ＝mx ＋m 递增，且在y 轴上的截距为正，函数y ＝－mx 2＋2x ＋2的图象开口向下，对称轴在y 轴右侧．当m ＜0时，函数y ＝mx ＋m 递减，且在y 轴上的截距为负，函数y ＝－mx 2＋2x ＋2的图象开口向上，对称轴在y 轴左侧．满足上述条件的只有D 选项．]【例a 的取值范围是________．(2)若函数y ＝x 2＋(a ＋2)x ＋3，x ∈[a ，b ]的图象关于直线x ＝2对称，则b ＝________.(3)已知函数f (x )＝－12x 2－3x －52.①求这个函数图象的顶点坐标和对称轴； ②已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－72＝158，不计算函数值求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52；③不直接计算函数值，试比较f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154的大小．[思路探究] (1)f (x )的单调性⇒对称轴与区间关系． (2)图象对称⇒对称轴⇒定义域关于对称轴对称．(3)二次函数配方法⇒顶点、对称轴⇒利用对称性求值比较大小． (1)(－∞，－4]∪[1，＋∞) (2)10 [(1)f (x )的对称轴方程为x ＝－(a ＋1)， 又因为f (x )在区间[－2,3]上是单调函数， 所以－(a ＋1)≤－2或－(a ＋1)≥3. 解得a ≥1或a ≤－4，所以a 的取值范围是(－∞，－4]∪[1，＋∞)．(2)由题意可知函数对称轴为2，且a ，b 关于x ＝2对称，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋22＝2，a ＋b ＝2×2，解得⎩⎨⎧a ＝－6，b ＝10，所以b 的值为10.](3)解：f (x )＝－12x 2－3x －52＝－12(x 2＋6x ＋5) ＝－12(x ＋3)2＋2.①顶点坐标为(－3,2)，对称轴为x ＝－3.②f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－72＝f (－3.5)＝f (－3－0.5)＝f (－3＋0.5)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝158. ③f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3－34＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋34＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－94. ∵－14，－94∈[－3，＋∞)，而f (x )在[－3，＋∞)上是减函数， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－94，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154.1．利用二次函数的单调性求参数的取值范围的方法已知函数的单调性，求函数解析式中参数的范围，是函数单调性的逆向思维问题．解答此类问题的关键在于借助函数的对称轴，通过集合间的关系来建立变量间的关系．2．比较二次函数函数值的大小的方法(1)若抛物线开口向上，则离对称轴越近，函数值越小． (2)若抛物线开口向下，则离对称轴越近，函数值越大． 3．二次函数图象的对称轴的三种求法(1)利用配方法求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴为x ＝－b 2a . (2)若二次函数f (x )对任意x 1，x 2∈R 都有f (x 1)＝f (x 2)，则对称轴为x ＝x 1＋x 22.(3)若二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x 都有f (a ＋x )＝f (a －x )，则对称轴为x ＝a (a 为常数)．2．(1)设函数f (x )＝x 2＋(a －1)x ＋1.若对任意x 1，x 2∈[3，＋∞)，x 1≠x 2，不等式f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0恒成立，则实数a 的取值范围是________．(2)如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意实数t 都有f (2＋t )＝f (2－t )，比较f (1)，f (2)，f (4)的大小．(1)[－5，＋∞) [二次函数f (x )＝x 2＋(a －1)x ＋1对任意x 1，x 2∈[3，＋∞)，x 1≠x 2，不等式f(x1)－f(x2)x1－x2>0恒成立，说明f(x)在[3，＋∞)上为增函数．又f(x)开口向上，所以－a－12≤3，解得a≥－5，所以a的取值范围是[－5，＋∞)．](2)解：函数f(x)对任意实数t，都有f(2＋t)＝f(2－t)，所以二次函数的对称轴为x＝2，又开口向上并且|1－2|<|4－2|，所以f(2)<f(1)<f(4).[探究问题1．如果一个二次函数的对称轴在一个定区间内，如何求其最值？提示：函数在对称轴处取得最值．2．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a(x∈[0,1])，若f(x)有最小值－2，求f(x)的最大值．提示：∵f(x)＝－x2＋4x＋a开口向下，对称轴x＝2，∴f(x)在[0,1]上单调递增，最小值为f(0)＝a＝－2，最大值为f(1)＝－1＋4＋a＝1.【例3】已知二次函数f(x)＝x2－2x＋2.(1)当x∈[0,4]时，求f(x)的最值；(2)当x∈[2,3]时，求f(x)的最值．[思路探究]首先用配方法确定抛物线的顶点坐标或对称轴，再看各区间内是否包含对称轴(数值)，从而确定各区间的性质后求其最值．[解]f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1.∴抛物线的对称轴为x＝1.(1)∵x＝1∈[0,4]，∴当x＝1时，f(x)有最小值，f(x)min＝f(1)＝1.∵f(0)＝2<f(4)＝10，∴当x＝4时，f(x)有最大值，f(x)max＝f(4)＝10.(2)∵x＝1∉[2,3]．∴f(x)在[2,3]上是单调增函数．∴当x＝2时，f(x)有最小值，f(x)min＝f(2)＝2，当x ＝3时，f (x )有最大值，f (x )max ＝f (3)＝5.(变条件)本题中解析式不变，求“当x ∈[t ，t ＋1]时，f (x )的最小值g (t )”． [解] f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，顶点坐标为(1,1)，当t ＋1<1，即t <0时，函数在[t ，t ＋1]上为减函数，g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋1；当t ＋1≥1且t <1，即0≤t <1时，g (t )＝f (1)＝1； 当t ≥1时，函数在[t ，t ＋1]上为增函数， g (t )＝f (t )＝t 2－2t ＋2.∴g (t )＝⎩⎨⎧t 2＋1(t <0)，1(0≤t <1)，t 2－2t ＋2(t ≥1).求二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)在[m ，n ]上的最值的步骤： (1)配方，找对称轴； (2)判断对称轴与区间的关系；(3)求最值.若对称轴在区间[m ，n ]外，则f (x )在[m ，n ]上单调，利用单调性求最值；若对称轴在区间[m ，n ]内，则在对称轴处取得最小值，最大值在[m ，n ]端点处取得.1．本节课的重点是二次函数的图象与性质，难点是二次函数性质的应用． 2．本节课要掌握的规律(1)根据函数的解析式确定函数图象． (2)利用函数的性质求参数的范围． (3)求二次函数的最值问题．3．本节课的易混点是当二次函数的对称轴不确定时求函数的区间最值问题.1．思考辨析(1)若函数y ＝ax 2＋bx ＋c 为奇函数，则a ＝c ＝0.( )(2)二次函数y ＝ax 2＋c 在y 轴左侧是减函数，在右侧是增函数．( ) [解析] (1)因为y ＝ax 2＋bx ＋c 是奇函数，对任意的x 都有2ax 2＋2c ＝0，故函数y ＝ax 2＋bx ＋c 为奇函数的条件是a ＝c ＝0.(2)当a ＞0时，函数在y 轴左侧是减函数，在右侧是增函数；当a ＜0时，函数在y 轴左侧是增函数，在右侧是减函数．[答案] (1)√ (2)×2．若一次函数y ＝ax ＋b 的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象只可能是( )A B C DC [由y ＝ax ＋b 的图象经过第二、三、四象限可知a ＜0，b ＜0，所以y ＝ax 2＋bx 的图象开口向下、对称轴方程x ＝－b2a ＜0，结合图选项可知，选C.]3．函数f (x )＝－x 2＋2x －3在闭区间[0,3]上的最大值、最小值分别为( ) A ．0，－2 B ．－2，－6 C ．－2，－3D ．－3，－6B [∵f (x )＝－(x －1)2－2，∴当x ＝1时有最大值－2，当x ＝3时有最小值－6.]4．已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1.(1)求这个函数图象的顶点坐标和对称轴； (2)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝1，不计算函数值求f (0)；(3)不直接计算函数值，试比较f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫154的大小． [解] f (x )＝3x 2＋2x ＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋132＋23.(1)顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23，对称轴是直线x ＝－13.(2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝1，又⎪⎪⎪⎪⎪⎪0－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝13，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－23－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝13，所以结合二次函数的对称性可知f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝1.(3)由f (x )＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋132＋23知二次函数图象开口向上，且对称轴为x ＝－13，所以离对称轴越近，函数值越小．又⎪⎪⎪⎪⎪⎪－34－⎝⎛⎭⎪⎫－13<⎪⎪⎪⎪⎪⎪154－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫154.。

2.2.2 二次函数的性质与图象5分钟训练1.抛物线y=x 2-2x+1的对称轴是( )A.直线x=1B.直线x=-1C.直线x=2D.直线x=-2 答案：A解析一：因为抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴方程是y=ab2-,将已知抛物线中的a=1,b=-2代入,求得x=1.解析二：可将抛物线配方为y=a(x-h)2+k 的形式,对称轴为x=h,已知抛物线可配方为y=(x-1)2,所以对称轴x=1.2.设集合A={x||x-2|≤2,x ∈R },B={y|y=-x 2,-1≤x≤2},则(A∩B)等于( ) A.R B.{x|x ∈R ,x≠0} C.{0} D.∅ 答案：B解析：A=［0,2］,B=［-4,0］, 所以(A∩B)={x|x ∈R ,x≠0}.3.函数y=ax 2+bx+c 的图象与函数y=3x 2+2x-1的图象关于原点对称，则a=_____________，b=_____________，c=_____________. 答案：-3 2 1解析：设点（x ，y ）在y=3x 2+2x-1的图象上，那么点（-x ，-y ）在y=ax 2+bx+c 的图象上.所以-y=a （-x ）2+b （-x ）+c ，即y=-ax 2+bx-c.从而a=-3，b=2，c=1. 4.下列四个函数中：A.y=x 2-3x+2B.y=5-x 2C.y=-x 2+2xD.y=x 2-4x+4 (1)图象经过坐标原点的函数是_____________; (2)图象的顶点在x 轴上的函数是_____________; (3)图象的顶点在y 轴上的函数是_____________. 答案：(1)C (2)D (3)B 10分钟训练1.函数y=-ax+1与y=ax 2在同一坐标系的图象大致是图中的( )答案：D解析：因为函数y=ax 2一定经过坐标原点，所以先排除答案A 、B.对a ＞0、a ＜0两种情况进行讨论、分析、验证.2.当a 、b 为实数，二次函数y=a （x-2）2+b 有最小值-1时，则有( )A.a ＜bB.a=bC.a ＞bD.a 与b 的大小无法确定 答案：C解析：二次函数有最小值-1，所以a ＞0，b=-1.所以a ＞b. 3.已知函数f （x ）=x 2+2（a-1）x+2在区间（-∞，4］上是减函数，则实数a 的取值范围是( ) A.a≤-3 B.a≥-3 C.a≤5 D.a≥3 答案：A解析：二次函数的对称轴x=1-a 在x=4的右侧，即1-a≥4.∴a≤-3. 4.若0<x<21,则函数y=x(1-2x)的最大值为____________. 答案：81 解析：y=-2(x 41-)2+81. ∵41∈(0, 21),∴y max =81.5.已知二次函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x)(x ∈R ),且f(x)在(2,+∞)上是减函数,则f(5),f(-2),f(3)的大小关系为____________.答案：)2()5()3(-<<f f f解析：依题意,二次函数f(x)的对称轴是x=2,且在(-∞,2)上是增函数. ∵f(5)=f(-1),且312<-<-,∴)2()1()3(->->f f f .6.某省两相近重要城市之间人员交流频繁,为了缓解交通压力,特修一条专用铁路,用一列火车作为交通车,已知该车每次拖4节车厢,一日能来回16次,如果每次拖7节车厢,则每日能来回10次,每日来回的次数是车头每次拖挂车厢个数的一次函数,每节车厢能载乘客110人.问这列火车每天来回多少次,每次应拖挂多少车厢才能使运营人数最多?并求出每天最多运营人数.解：设每日来回y 次,每次挂x 节车厢, 由题意,得y=kx+b.当x=4时y=16,当x=7时y=10,得下列方程组⎩⎨⎧+=+=,710,416b k b k 解得k=-2,b=24.∴y=-2x+24.由题意,知每日挂车厢最多时,营运人数最多,设每日营运S 节车厢, 则S=xy=x(-2x+24)=-2x 2+24x=-2(x-6)2+72. 所以当x=6时,S max =72,此时y=12. 则每日最多运营人数为110×6×12=7 920(人). 30分钟训练1.（2006陕西高考,文2）函数f(x)=211x +(x ∈R )的值域是( ) A.(0,1) B.(0,1］ C.［0,1) D.［0,1］ 答案：B 解析：函数f(x)=211x +(x ∈R ), ∴1+x 2≥1.∴原函数的值域是(0,1］.2.设b>0,二次函数y=ax 2+bx+a 2-1的图象为下图之一,则a 的值为( )A.1B.-1C.251--D.251+- 答案：B解析：∵b>0,∴不是前两个图形,从后两个图形看ab2->0,∴a<0. 故应是第3个图形. ∵过原点,∴a 2-1=0. 结合a<0.∴a=-1.3.若函数y=x 2-3x-4的定义域为［0,m ］,值域为［425-,-4］,则m 的取值范围是( ) A.(0,4］ B.［23,4］ C.［23,3］ D.［23,+∞)答案：C解析：∵y=(x 23-)2425-, ∴当x=23时,y min =425-.∴m≥23. 令x 2-3x-4=-4,得x=0或x=3. ∴23≤m≤3. 4.(探究题)二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示,则abc,b 2-4ac,2a+b,a+b+c 这四个式子中,值为正数的有( )A.4个B.3个C.2个D.1个 答案：B解析：∵二次函数的图象开口向上, ∴a>0.又∵图象与x 轴有两个交点,∴方程ax 2+bx+c=0有两个相异实根, 即Δ=b 2-4ac>0.二次函数图象的对称轴在原点右侧、直线x=1的左侧, 故0<ab2<1,即-b<2a,2a+b>0. 观察图象可知f(1)=a+b+c<0.5.如图,在同一直角坐标系中,二次函数的图象与两坐标轴分别交于点A(-1,0)、点B(3,0)和点C(0,-3),一次函数的图象与抛物线交于B 、C 两点.(1)二次函数的解析式为______________.(2)当自变量______________时,两函数的函数值都随x 增大而增大. (3)当自变量______________时,一次函数值大于二次函数值. (4)当自变量______________时,两函数的函数值的积小于0. 答案：(1)y=x 2-2x-3 (2)x≥1 (3)0<x<3(4)x<-1 解析：(1)设二次函数的解析式为y=a(x+1)(x-3)(a>0). ∵图象过(0,-3), ∴-3=a×1×(-3),a=1.∴函数解析式为y=x 2-2x-3.(2)函数的对称轴方程为x=1,当x≥1时,两函数的函数值都随x 增大而增大. (3)当0<x<3时,一次函数的图象在二次函数图象的上方. (4)当x<-1时,两函数的函数值的积小于0.6.设函数f(x)=⎩⎨⎧≤++>,0,,0,22x c bx x x 若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则f(x)的解析式为f(x)= _________.答案：⎩⎨⎧≤++>0,240,22x x x x 解析：由题意,得⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧-=+-=+-.2,4224416c b c b c c b ∴f(x)=⎩⎨⎧≤++>.0,24,0,22x x x x7.(创新题)有一个二次函数的图象,三位学生分别说出了它的一些特点： 甲:对称轴是直线x=4;乙:与x 轴两个交点的横坐标都是整数;丙:与y 轴交点的纵坐标也是整数,且以这三个交点为顶点的三角形面积为3. 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式:.______________________. 答案：y=178712+-x x 或y=178712-+-x x 或y=358512+-x x ,或y=358512-+-x x . 解法一：设所求解析式为y=a(x-x 1)(x-x 2),且设x 1<x 2,则其图象与y 轴两交点分别是A(x 1,0),B(x 2,0),与y 轴交点坐标是(0,ax 1x 2). ∵抛物线的对称轴是直线x=4,∴x 2-4=4-x 1,即x 1+x 2=8. ① ∵S △ABC =3,∴21(x 2-x 1)·|ax 1x 2|=3,即x 2-x 1=||621x ax .②①②两式相加减,可得x 2=||34,||3421121x ax x x ax -=+. ∵x 1、x 2是整数,ax 1x 2也是整数,∴ax 1x 2是3的约数,共可取值为±1,±3.当ax 1x 2=±1时,x 2=7,x 1=1,a=±71;当ax 1x 2=±3时,x 2=5,x 1=3,a=±51.因此,所求解析式为y=±71(x-7)(x-1)或y=±51(x-5)(x-3),即y=178712+-x x 或y=178712-+-x x 或y=358512+-x x 或y=358512+--x x . 解法二:用猜测验证法.例如:猜测与x 轴交点为A(5,0),B(3,0).再由题设条件求出a,看c 是否是整数.若是,则猜测得以验证,填上即可. 8.已知二次函数的对称轴为x=2-,截x 轴上的弦长为4,且过点(0,-1),求函数的解析式. 解：∵二次函数的对称轴为x=2-,可设所求函数为f(x)=a(x+2)2+b, 又∵f(x)截x 轴上的弦长为4, ∴f(x)过点(2-+2,0)和(2--2,0),f(x)又过点(0,-1).∴⎪⎩⎪⎨⎧-==⎩⎨⎧-=+=+.2,21,12,04b a b a b a ∴f(x)=21(x+2)2-2. 9.心理学家发现,学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x(单位:分)之间满足函数关系:y=-0.1x 2+2.6x+43(0<x<30).y 值越大,表示接受能力越强.(1)x 在什么范围内,学生的接受能力逐步增强?x 在什么范围内,学生的接受能力逐步降低? (2)第10分时,学生的接受能力是什么? (3)第几分时,学生的接受能力最强?解：(1)y=-0.1x 2+2.6x+43=-0.1(x-13)2+59.9, 所以当0≤x≤13时,学生的接受能力逐步增强; 当13<x≤30时,学生的接受能力逐步下降. (2)当x=10时,y=-0.1×(10-13)2+59.9=59. 第10分时,学生的接受能力为59. (3)当x=13时,y 取得最大值.所以在第13分时,学生的接受能力最强.10.（2006上海春季高考,21）设函数f(x)=|x 2-4x-5|. (1)在区间［-2,6］上画出函数f(x)的图象;(2)设集合A={x|f(x)≥5},B=(-∞,-2］∪［0,4］∪［6,+∞).试判断集合A 和B 之间的关系,并给出证明. 解：(1)(2)方程f(x)=5的解分别是142-,0,4和142+,由于f(x)在(-∞,-1］和［2,5］上单调递减,在［-1,2］和［5,+∞)上单调递增,因此A=(-∞,142-］∪［0,4］∪［142+,+∞). 故B A.。

2.2.2 二次函数的性质与图象自我小测1．函数y＝x2－2x＋m的单调增区间为( )A.(－∞，＋∞) B．[1，＋∞) C．(－∞，1] D．[－2，＋∞)2．函数f(x)＝x2－mx＋4(m＞0)在(－∞，0]上的最小值是( )A.4 B．－4 C．与m的取值有关 D．不存在3．已知二次函数y＝6x－2x2－m的值恒小于零，那么实数m的取值范围为( )A.92⎧⎫⎨⎬⎩⎭B.9,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C．{9} D．(－∞，9)4．已知一次函数y＝ax＋c(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，它们在同一平面直角坐标系中的大致图象是( )5．已知定义在R上的二次函数f(x)，对任意x∈R，有f(4－x)＝f(x)，且函数在区间(2，＋∞)上是增函数，则( )A.f(－25)＜f(11)＜f(80) B．f(80)＜f(11)＜f(－25)C．f(11)＜f(－25)＜f(80) D．f(－25)＜f(80)＜f(11)6．若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为25,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，则m的取值范围是( )A.(0,4]B.3,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭7．抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴的两个交点为A，B，顶点为C，则△ABC的面积为__________．8．设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上是减函数，且f(m)≤f(0)，则实数m 的取值范围是__________．9．若二次函数f(x)满足下列性质：(1)定义域为R，值域为[1，＋∞)；(2)图象关于x＝2对称；(3)对任意x1，x2∈(－∞，0)，若x1＜x2，都有f(x1)＞f(x2)．请写出函数f(x)的一个解析式__________(只要写出一个即可)．10．已知二次函数y＝x2－2kx＋k2＋k－2.(1)当k＝1时，写出函数图象的对称轴方程、单调区间；(2)当实数k为何值时，图象经过原点？(3)当实数k在什么范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？11．定义在R上的函数y＝f(x)是偶函数，当x≥0时，f(x)＝－4x2＋8x－3.(1)当x＜0时，求f(x)的解析式．(2)求y＝f(x)的最大值，并写出f(x)在R上的单调区间(不必证明)．参考答案1. 解析：此二次函数的图象开口向上，且对称轴为x ＝1，所以其单调增区间为[1，＋∞)．答案：B2. 解析：∵函数f (x )的图象开口向上，且对称轴x ＝2m＞0， ∴f (x )在(－∞，0]上为减函数， ∴f (x )min ＝f (0)＝4. 答案：A3. 解析：由题意，得Δ＝36－4×2m ＜0，则m ＞92. 答案：B 4. 答案：D5. 解析：因为对任意x ∈R ，有f (4－x )＝f (x )，所以二次函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝2.因为函数在(2，＋∞)上是增函数，所以抛物线开口向上．又因为11离2最近，80离2最远，所以f (11)最小，f (80)最大． 所以f (11)＜f (－25)＜f (80)． 答案：C6. 解析：函数y ＝x 2－3x －4＝32x ⎛⎫-⎪⎝⎭2－254，作出图象如图所示：由图象知对称轴为x ＝32，f (0)＝－4，f 32⎛⎫⎪⎝⎭＝－254，f (3)＝－4， 若函数在[0，m ]上有最小值－254， 所以m ≥32. 若函数在[0，m ]上有最大值－4， 因为f (0)＝f (3)＝－4，所以m≤3.综上可知，32≤m≤3.答案：C7.解析：由y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，得点A(－3,0)，B(1,0)，C(－1,4)，所以|AB|＝|1－(－3)|＝4，点C到边AB的距离为4，所以S△ABC＝12×4×4＝8.答案：88.解析：二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c图象的对称轴为x＝1.由f(x)在[0,1]上是减函数，可知a＞0，所以f(m)≤f(0)可化为am2－2am＋c≤c，即m2－2m≤0，得0≤m≤2.答案：[0,2]9.解析：二次函数的最小值为1，图象关于x＝2对称，在(－∞，0)上为减函数，所以f(x)＝(x－2)2＋1(f(x)＝a(x－2)2＋1(a＞0)均可)．答案：f(x)＝(x－2)2＋1(f(x)＝a(x－2)2＋1(a＞0)均可)10. 解：(1)当k＝1时，函数y＝x2－2x，函数图象的对称轴方程为x＝1，函数的单调减区间为(－∞，1]，单调增区间为[1，＋∞)．(2)当k2＋k－2＝0，即k＝－2或k＝1时，函数y＝x2－2kx＋k2＋k－2的图象经过原点．(3)因为函数y＝x2－2kx＋k2＋k－2图象的顶点坐标为(k，k－2)，若函数图象的顶点在第四象限内，则20kk>⎧⎨<⎩，－，解得0＜k＜2.11. 解：(1)设x＜0，则－x＞0，f(－x)＝－4(－x)2＋8(－x)－3＝－4x2－8x－3，∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴x＜0时，f(x)＝－4x2－8x－3.(2)由(1)知f(x)＝224(1)104(1)10x xx x⎧≥⎪⎨<⎪⎩－－＋，，－＋＋，，∴y＝f(x)有最大值f(1)＝f(－1)＝1.函数y＝f(x)的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]；单调减区间是[－1,0)和[1，＋∞)．。

1．若抛物线y ＝x 2＋6x ＋c 的顶点恰好在x 轴上，则c 的值为( )．A ．0B ．3C ．6D ．92．如图所示，坐标系中抛物线是函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，则下列式子能成立的是( )．A ．abc ＞0B ．b ＜a ＋cC ．a ＋b ＋c ＜0D ．2c ＜3b3．函数f (x )＝x 2＋4ax ＋2在(－∞，6)内是减函数，则实数a 的取值范围是( )． A ．[3，＋∞) B ．(－∞，3] C ．[－3，＋∞) D ．(－∞，－3]4．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝2，且经过点(1,4)和点(5,0)，则该抛物线的解析式为________．5．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的部分对应值如下表：则不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集是________．6．已知f (x )＝ax 2＋bx (ab ≠0)，若f (m )＝f (n )，且m ≠n ，则f (m ＋n )＝________. 7．已知函数215()322f x x x =---. (1)求这个函数的顶点坐标和对称轴方程； (2)已知715()28f -=，不计算函数值，求5()2f -的值； (3)不直接计算函数值，试比较1()4f -与15()4f -的大小． 8．已知函数f (x )＝x 2＋2(a ＋1)x ＋2，x ∈[－2,3]． (1)当a ＝－2时，求函数f (x )的最大值和最小值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－2,3]上是单调函数．参考答案1.答案：D解析：∵y ＝x 2＋6x ＋c ＝(x ＋3)2＋c －9， ∴c －9＝0，c ＝9. 2.答案：D解析：观察图象开口向下，∴a ＜0. 又∵对称轴12bx a=-=，∴b ＝－2a ＞0.由图象观察与y 轴交点(0，c )在x 轴上方 ∴c ＞0，∴abc ＜0； 又∵f (1)＞0，∴a ＋b ＋c ＞0； 又∵f (－1)＜0，∴a －b ＋c ＜0； 又∵f (3)＜0，∴9a ＋3b ＋c ＜0. 又∵12b a -=，∴2ba =-代入9a ＋3b ＋c ＜0， ∴302b c -+<，∴32c b <.即2c ＜3b . 3.答案：D解析：f (x )＝x 2＋4ax ＋2＝(x ＋2a )2＋2－4a 2， ∵f (x )在(－∞，6)内是减函数，∴－2a ≥6，∴a ≤－3. 4.答案：215222y x x =-++ 解析：由题意知：2242550b a a b c a b c ⎧-=⎪⎪++=⎨⎪++=⎪⎩解得12252a b c ⎧=-⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩∴抛物线的解析式为215222y x x =-++. 5.答案：{x |x ＜－2或x ＞3}解析：由表中的二次函数对应值可得，二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为－2和3，又根据f (0)＜f (－2)且f (0)＜f (3)可知a ＞0.∴不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |x <－2或x >3}． 6.答案：0解析：f (m )－f (n )＝am 2＋bm －an 2－bn ＝a (m ＋n )(m －n )＋b (m －n )＝(m －n )[a (m ＋n )＋b ]＝0. 由于m ≠n ，所以a (m ＋n )＋b ＝0.从而f (m ＋n )＝(m ＋n )[a (m ＋n )＋b ]＝0.7.解：22151()3(3)2222f x x x x =---=-++. (1)这个二次函数的顶点坐标和对称轴方程分别为(－3,2)和x ＝－3. (2)∵7115()(3)(3)()2222f f f f -=--=-+=-， ∴515()28f -=. (3)∵15339()(3)(3)()4444f f f f -=--=-+=-． 又∵14-，94-∈[－3，＋∞)， ∵102a =-<，∴y ＝f (x )在[－3，＋∞)上是单调递减的． ∵1944->-，∴19()()44f f -<-．即115()()44f f -<-． 8.解：(1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－2x －2＝(x －1)2＋1， ∴f (x )的图象的对称轴是x ＝1.∴f (x )在[－2,1]上递减，在(1,3]上递增． ∴当x ＝1时，y min ＝1. ∵f (－2)＝10，f (3)＝5， ∴f (－2)＞f (3)＞f (1)． ∴当x ＝－2时，y m ax ＝10.(2)∵f (x )＝[x ＋(a ＋1)]2＋2－(a ＋1)2， ∴函数f (x )的图象对称轴为x ＝－(a ＋1)．当f (x )在[－2,3]上单调递减时，有－(a ＋1)≥3，即a ≤－4； 当f (x )在[－2,3]上单调递增时，有－(a ＋1)≤－2，即a ≥1.综上所述，当a ≤－4或a ≥1时，函数f (x )在[－2,3]上是单调函数．。

2.2.2 二次函数的性质与图象1．二次函数)(x f ＝12++x x 的对称轴是（ ）A ．x ＝21B ．x ＝－21C ．y ＝21D ．没有对称轴2．已知二次函数的顶点是（2，1）且与x 轴交与（3，0），则此二次函数（ ） A ．1142-+=x x y B ．2142+--=x x y C ．342-+-=x x y D ．342+-=x x y3．已知二次函数)(x f ＝a ax x 322-+在区间()3,∞-递增，在[)+∞,3递减，则a的值为（ ）A ．3B ．－3C ．23 D ．－23 4．函数)(x f ＝322++-x x 的定义域是（ ）A ．(][)+∞⋃-∞-,31,B ．(][)+∞⋃-∞-,13,C ．[]1,3-D ．[]3,1- 5．若函数6)1(2)(2+--=x a x x f 在区间(]4,∞-上递减，那么实数a 的取值范围 是（ ）A ．[)+∞,3B ．(]3,-∞-C ．(]5,∞-D ．[)+∞-,3 6．若二次函数b x a ax x f +-=2242)(对任意的实数ｘ都满足)3()3(x f x f -=+，则实数a 的值为（ ） A ．23 B ．－23C ．－3D ．3 7．已知函数b ax x x f ++=2)(满足0)2()1(==f f ，则)1(-f ＝（ ） A ．3 B ．－3 C ．6 D ．－68．已知二次函数开口向上且对称轴为x ＝2，则)21(f 与)3(f 的大小关系为（ ）A ．)21(f ＜)3(fB ．)21(f ＞)3(fC ．)21(f ＝)3(f D ．不确定9．函数322+-=x x y 在区间[]m ,0上最小值是2最大值是3，则m 的取值范围是（ ）A ．[)+∞,1B ．[]2,0C ．(]2,∞-D ．[]2,1 10．函数c bx ax y ++=2与ab b ax y (+=≠0）的图象只可能是（ ）A B C D11．若函数)(x f ＝962+-mx mx 的定义域是R ，则实数m 的取值范围（ ）A ．(][)+∞⋃∞-,10,B ．[)+∞,1C ．[]1,0D ．(]1,012．设βα,是关于x 的方程622++-a ax x 的两个实根，则()()2211-+-βα的最小值是（ ）A ．4112-B ．18C ．8D ．4313．已知：二次函数)(x f 满足)2(f ＝－1，)1(-f ＝－1且)(x f 的最大值是8，试求此二次函数．14．已知函数)(x f ＝222++ax x ，x []5,5-∈． （1）当a ＝－1时，求函数)(x f 的最大值与最小值．（2）求实数a 的取值范围，使y ＝)(x f 在区间［－5，5］上是单调函数． 15．设)(x f ＝222+-ax x ，当x [)+∞-∈,1时，)(x f ≥a 恒成立，求a 的取值范围． 16．设a ＞0，x []1,1-∈时，函数b ax x y +--=2有最小值－1，最大值1，求使函数取得最小值和最大值时相应的x 值．参考答案13．（解法1）利用二次函数的一般式 设)(x f ＝c bx ax ++2（a ≠0），由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=+--=++84411242bb ac c b a c b a ，解之得⎪⎩⎪⎨⎧==-=744c b a 所以所求二次函数是y ＝－4x ２＋4x ＋7 （解法2）利用二次函数顶点式设)(x f ＝n m x a +-2)(，因为)1()2(-=f f ，所以抛物线对称轴是x ＝2)1(2-+ ＝21，所以ｍ＝21，又根据题意函数有最大值为n ＝8，所以)(x f y =＝8)21(2+-x a ．因为)2(f ＝－１，所以1)212(2-=-a ，解之得a ＝－4．所以)(x f ＝8)21(42+--x ＝7442++-x x ．14．（1）a ＝－1时，)(x f ＝222+-x x ＝1)1(2+-x ，ｘ[]5,5-∈，所以x ＝1时，)(x f 的最小值是1，x ＝－5时，)(x f 的最大值是37．（2）函数)(x f ＝222)(a a x -++图象对称轴是x ＝－a ，因为)(x f 在区间［－5，5］上是单调函数，所以－a ≤－5或－a ≥5，故a 的取值范围是a ≤－5或a ≥5． 15．由题意，222+-ax x ≥a 在[)+∞-,1恒成立，)(x f ＝222+-ax x ＝222)(a a x -+-，当a (]1,-∞-∈时，)(x f 得最小值是32)1(+=-a f ，所以a 32+≤a ，解得13-≤≤-a ，当a [)+∞-∈,1时，)(x f 的最小值是22a -，所以a 22a -≤，解得11≤≤-a ，由以上知，13≤≤-a ．16．y ＝)(x f ＝－（x ＋2a ）2＋42a ＋b由a ＞0，抛物线对称轴x ＝02<-a ，)1(min -=f y ＝－１所以a －b ＝0，对y 取得最大值的情况，可有（1）若12-<-a，即a ＞2，则)1(max -=f y ，由)1(-f ＝１得a ＋b ＝2，联立a －b ＝0得a ＝b ＝1与a ＞2矛盾，应舍去．（2）若021<-≤-a ，即20≤<a ，则m ax y ＝ｆ（－2a）＝１得0142=-+b a 与a－b ＝0联立得a ＝b －2＋22，所以x ＝1时，y 最取小值，x ＝1－2时，y 取最大值．。

2.2.3 一元二次不等式的解法(教师独具内容)课程标准:1.理解一元二次不等式和一元二次不等式的解集的概念.2.理解一元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数的关系.3.熟练掌握一元二次不等式的两种解法．教学重点:1.一元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数之间的关系.2.一元二次不等式的解法．教学难点:一元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数之间的关系.【情境导学】(教师独具内容)我国南宋数学家杨辉曾提出这样一个问题:“直田积(矩形面积),八百六十四(平方步),只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少12步),问阔及长各几步？”若将上述问题改为“阔(宽)不及长一十二步(宽比长少12步),直田积(矩形面积)不小于八百六十四(平方步)”,你能求出阔和长的取值范围吗？【知识导学】知识点一元二次不等式的概念01一元二次不等式,其中a,b,c是常数,而且□02a≠0.一元二次一般地,形如ax2＋bx＋c>0的不等式称为□03“<”“≥”“≤”等．不等式中的不等号也可以是□【新知拓展】1．代数法将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方法求解．当m<n时,若(x－m)(x－n)>0,则可得x>n或x<m；若(x－m)(x－n)<0,则可得m<x<n.有口诀如下:大于取两边,小于取中间．2．含有参数的一元二次型的不等式在解含有参数的一元二次型的不等式时,往往要对参数进行分类讨论,为了做到分类“不重不漏”,讨论需从如下三个方面进行考虑:①关于不等式类型的讨论:二次项系数a>0,a<0,a＝0.②关于不等式对应的方程根的讨论:两个不同的实根(Δ>0),两个相同的实根(Δ＝0),无实根(Δ<0)．③关于不等式对应的方程根的大小的讨论:x1>x2,x1＝x2,x1<x2.1．判一判(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)x(x－2)>0的解集为(0,2)．( )(2)(x＋a)(x＋a＋1)<0(a是常数)是一元二次不等式．( )(3)不论实数a 取什么值,不等式ax 2＋bx ＋c≥0的解集一定与相应方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解有关．( )(4)设二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两解为x 1,x 2(x 1<x 2),则一元二次不等式ax 2＋bx ＋c>0的解集不可能为{x|x 1<x<x 2}．( )答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)不等式x 2－2x ＋3>0的解集为________． (2)不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(3)已知不等式ax 2－bx ＋2<0的解集为{x|1<x<2},则a ＋b ＝________. 答案 (1)R (2){x|－4<x<1} (3)4题型一 不含参数的一元二次不等式的解法 例1 求下列不等式的解集:(1)2x 2＋7x ＋3>0；(2)x 2－4x －5≤0； (3)－4x 2＋18x －814≥0；(4)－12x 2＋3x －5>0；(5)－2x 2＋3x －2<0.[解] (1)方程可变为(2x ＋1)(x ＋3)>0,从而转化为两个不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1>0，x ＋3>0或⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1<0，x ＋3<0.因此原不等式的解集为(－∞,－3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.(2)原不等式可化为(x －5)(x ＋1)≤0, 因此原不等式的解集为[－1,5]．(3)原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －922≤0,所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝94. (4)原不等式可化为x 2－6x ＋10<0,即(x －3)2＋1<0,因此原不等式的解集为∅.(5)原不等式可化为2x 2－3x ＋2>0,即2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋78>0,因此原不等式的解集为R.金版点睛解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)通过对不等式的变形,使不等式右侧为0,使二次项系数为正． (2)对不等式左侧因式分解,若不易分解,则用配方法求解．[跟踪训练1] 求下列不等式的解集: (1)3x 2＋5x －2>0；(2)－9x 2＋6x －1<0； (3)x 2－4x ＋5>0；(4)2x 2＋x ＋1<0.解 (1)原不等式可化为(3x －1)(x ＋2)>0,所以原不等式的解集为(－∞,－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞. (2)原不等式可化为(3x －1)2>0,所以原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞.(3)原不等式可化为(x －2)2＋1>0,所以原不等式的解集为R.(4)原不等式可化为2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋142＋78<0,所以原不等式的解集为∅.题型二 含参数的一元二次不等式的解法例2 求不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a ∈R)的解集． [解] 若a ＝0,原不等式为－x ＋1<0,解集为(1,＋∞)；若a<0,原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)>0,解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1a ∪(1,＋∞)； 若a>0,原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0,(*)其解的情况应由1a 与1的大小关系决定,故①当a ＝1时,由(*)式可得解集为∅；②当a>1时,由(*)式可得解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，1； ③当0<a<1时,由(*)式可得解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1a . 综上所述,当a<0时,解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1a ∪(1,＋∞)；当a ＝0时,解集为(1,＋∞)；当0<a<1时,解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1a ；当a ＝1时,解集为∅；当a>1时,解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，1.金版点睛解含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)讨论二次项系数:二次项若含有参数应讨论是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)若二次项系数为定值,则按不含参数的步骤解,再根据参数的取值确定解集范围．[跟踪训练2]解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0.解原不等式可化为(x－a)(x－a2)>0.方程x2－(a＋a2)x＋a3＝0的两根为x1＝a,x2＝a2.由a2－a＝a(a－1)可知:①当a<0或a>1时,a2>a.解原不等式得x>a2或x<a,不等式的解集为(－∞,a)∪(a2,＋∞)．②当0<a<1时,a2<a,解原不等式得x>a或x<a2,不等式的解集为(－∞,a2)∪(a,＋∞)．③当a＝0时,原不等式为x2>0,∴x≠0,不等式的解集为(－∞,0)∪(0,＋∞)．(4)当a＝1时,原不等式为(x－1)2>0,∴x≠1,不等式的解集为(－∞,1)∪(1,＋∞)．综上可知,当a<0或a>1时,原不等式的解集为(－∞,a)∪(a2,＋∞)；当0<a<1时,原不等式的解集为(－∞,a2)∪(a,＋∞)；当a＝0时,原不等式的解集为(－∞,0)∪(0,＋∞)；当a＝1时,原不等式的解集为(－∞,1)∪(1,＋∞)．1．在下列不等式中,解集是∅的是( )A．x2－3x＋5>0 B．x2＋4x＋4>0C．x2＋4x－4<0 D．－2＋3x－2x2>0答案 D解析A的解集为R；B的解集是(－∞,－2)∪(－2,＋∞)；方程x2＋4x－4＝0的Δ＝42＋4×4>0,故C的解集不为空集,用排除法应选D.2．在R上定义运算⊙:a⊙b＝ab＋2a＋b,则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为( )A．(0,2) B．(－2,1)C．(－∞,－2)∪(1,＋∞) D．(－1,2)答案 B解析∵x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2<0,∴x2＋x－2<0即(x－1)(x＋2)<0,解集为(－2,1)．∴选B.3．不等式－0.1x2－5x＋3000>0的解集为( )A．(－∞,－200) B．(150,＋∞)C．(150,200) D．(－200,150)答案 D解析原不等式可化为x2＋50x－30000<0,(x－150)·(x＋200)<0,所以不等式的解集为(－200,150)．4．若t>2,则关于x 的不等式(x －t)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1t <0的解集为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，t B ．(－∞,t)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1t ∪(t,＋∞)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，1t答案 A解析 ∵t>2,∴t>1t ,∴(x －t)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1t <0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，t .5．解不等式1<x 2－3x ＋1<9－x. 解 由x 2－3x ＋1>1得x 2－3x>0,x(x －3)>0,不等式的解集为(－∞,0)∪(3,＋∞)． 由x 2－3x ＋1<9－x,得x 2－2x －8<0, (x ＋2)(x －4)<0,不等式的解集为(－2,4)．(－∞,0)∪(3,＋∞)与(－2,4)的交集为(－2,0)∪(3,4),所以,原不等式的解集为(－2,0)∪(3,4)．。

描述：高中数学必修1(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案第二章 函数 2.1 函数一、学习任务1. 通过同一过程中的变量关系理解函数的概念；了解构成函数的要素（定义域、值域、对应法则），会求一些简单函数的定义域和值域；初步掌握换元法的简单应用．2. 了解映射的概念，能判断一些简单的对应是不是映射．3. 理解函数的三种表示方法（图象法、列表法、解析法），会选择恰当的方法表示简单情境中的函数．了解简单的分段函数，能写出简单情境中的分段函数，并能求出给定自变量所对应的函数值，会画函数的图象．4. 理解函数的单调性及其几何意义，会判断一些简单函数的单调性；理解函数最大（小）值的概念及其几何意义；了解函数奇偶性的含义．二、知识清单函数的相关概念函数的表示方法 映射函数的定义域的概念与求法函数的值域的概念与求法 函数的解析式的概念与求法分段函数复合函数 函数的单调性函数的最大（小）值 函数的奇偶性三、知识讲解1.函数的相关概念函数的概念设 ， 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于集合 中的任意一个数 ，在集合 中都有唯一确定的数 和它对应，那么就称 为从集合 到集合 的一个函数(function)．记作：其中， 叫做自变量，自变量取值的范围（数集 ）叫做这个函数的定义域． 叫做因变量，与 的值相对应的 值叫做函数在 处的函数值，所有函数值构成的集合叫做这个函数的值域．相同函数的概念A B f Ax B f (x )f :A →B A By =f (x ),x ∈A .x A y x y x {y | y =f (x ),x ∈A }N集合 的函数关系的有（ ）012．数轴表示为（2）{x | 2⩽x⩽8 且8]（3）函数 的图象是由 t 的映射的是（ ）N（2）函数图象如图所示：y的距离 与点y=f(x)如图为函数 的图象，试写出函数解： [1,2]2（5）（图象法）画出。

描述：例题：高中数学必修1(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案
第二章 函数 2.3 函数的应用（I）
一、学习任务
了解一次函数、二次函数模型的意义，并能进行简单应用．
二、知识清单
函数模型的应用
三、知识讲解
1.函数模型的应用
函数模型的概念
函数模型就是用函数知识对日常生活中普遍存在的成本最低、利润最高、产量最大、收益最好、用料最省等实际问题进行归纳加工，建立相应的目标函数，确定变量的取值范围，运用函数的方法进行求解，最后用其解决实际问题．
几种函数模型的增长速度比较
在区间 上，尽管函数 ， 和 都是增函数，但它们的增长速度不同，随着 的增大，指数函数 的增长速度会越来越快，会超过并远远大于幂函数 的增长速度，而 的增长则会越来越慢，因此总会存在一个 ，当 时，就有 ．
(0,+∞)y =(a >1)a x y =x (a >1)log a y =(a >0)x a x y =(a >1)a x y =(a >0)x a y =x (a >1)log a x 0x >x 0x <<log a x a a
x
向高 为的水瓶内注水，注满为止，如果注水量 与水深 的函数关系的图像如图所示，那
么水瓶的形状是（ ）
解：B
取 的中点 作 轴的垂线，由图可知，当水深 达到容量高度的一半时，体积大于一
H V
h OH E h h
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答案：A ． 分钟B ． 分钟C ． 分钟D ． 分钟B
3.50 3.75
4.00
4.25。