ch6三大统计分布实验6

概率论第六章习题解答习题6.11． 求下列总体分布中参数的矩估计：（1）21,01,(;)0,,x x f x θθθ+−≤≤⎧=⎨⎩其他 其中θ < 1；（2）f (x ; p ) = p (1 − p ) x − 1，x = 1, 2, …；其中0 < p < 1；（3）1211221e ,,(;,)0,,x x f x θθθθθθ−−⎧⎪≥=⎨⎪⎩其他 其中−∞ < θ 1 < +∞，θ 2 > 0． 解：（1）因11320021211E()(21)d ()323226X x x x x x θθθθθθθ−−=+−=+=+=+∫，有θ = 6 E (X ) − 3，故θ 的矩估计为ˆ63X θ=−； （2）因1121111d d d 11E()(1)d d d 1(1)x x x x x x x x q X x p p p x qp q p q p p q q q q p q ∞∞∞∞−−====⎛⎞=⋅−=⋅=====⎜⎟−−⎝⎠∑∑∑∑， 故1E()p X =，p 的矩估计为1ˆpX=； （3）因∫∫∫∞+−−+∞−−∞+−−∞+−−+−=−⋅=⋅=121121121121d eede)1(d e1)(E 2θθθθθθθθθθθθθx x x x x X x x x x212121121eeθθθθθθθθθ+=−−=+∞−−+∞−−x x x ，且∫∫∫∞+−−+∞−−∞+−−∞+−−⋅+−=−⋅=⋅=121121121121d 2eede)1(d e1)(E 22222θθθθθθθθθθθθθx x x x x x X x x x x22212122122222)(E 2d e12e121121θθθθθθθθθθθθθθ++=+=⋅+−=∫∞+−−+∞−−X x x x x x ， 则2222122212122)(22)](E [)(E )(D θθθθθθθ=+−++=−=X X X ，即)(D 2X =θ，)(D )(E 1X X −=θ，故θ 1和θ 2的矩估计为n S X −=1ˆθ，nS =2ˆθ． 2． 求下列总体分布中参数的极大似然估计：（1）f (x ; θ ) = θ (1 − θ ) x − 1，x = 1, 2, …；其中0 < θ < 1； （2）λλλ−=e !);(x x f x，x = 0, 1, 2, …；其中λ > 0；（3）222)(ln 2eπ21),;(σµσσµ−−=x xx f ，x = 0；其中−∞ < µ < +∞，σ > 0．解：（1）nx nx x x n ni i n x f x f x f L −−−−∑−=−−⋅−===121)1()1()1()1();();();()(11121θθθθθθθθθθθθ""，即)1ln()(ln )(ln 1θθθ−−∑+==n x n L ni i ，令011)(1d )(ln d 1=−−⋅−∑+⋅==θθθθn x n L n i i ，得xx nni i11==∑=θ， 故θ 的极大似然估计为X1ˆ=θ； （2）λλλλλλλλλλλλn n x n x x x n x x x x x x x f x f x f L ni in−−−−∑=⋅===e !!!e !e !e !);();();()(212121121"""，即λλλn x x x x L n ni i −−⋅∑==)!!!ln(ln )(ln 211"，令01d )(ln d 1=−⋅∑==n x L n i i λλλ，得x x n ni i ==∑=11λ， 故λ 的极大似然估计为X =λˆ； （3）),;(),;(),;(),(222212σµσµσµσµn x f x f x f L "=212222222212)(ln 212)(ln 2)(ln 22)(ln 1e)π2(1eπ21eπ21eπ21σµσµσµσµσσσσ∑===−−−−−−−−ni i n x nnx nx x x x x x x x ""，即21221222)(ln )ln()ln π2(ln 2),(ln σµσσµ∑−−−+−==ni i n x x x x nL "，令0ln 2)1()(ln 2),(ln 21212=−∑=∑−⋅−−=∂∂==σµσµµσµn x x L ni i ni i ，得∑==ni i x n 1ln 1µ，再令02)(ln 12),(ln 412222=∑−+⋅−=∂∂=σµσσσµni i x n L ，得∑−==n i i x n 122)(ln 1µσ， 故µ和σ 2的极大似然估计为∑==n i i X n 1ln 1ˆµ，∑−===∧∑n i n i i i X n X n 1212)ln 1(ln 1σ． 3． 设总体X 的密度函数为⎩⎨⎧<<+=,,0,10,)1();(其他x x x f θθθ求参数θ 的极大似然估计与矩法估计，并看看它们是否一致？今获得样本观测值为0.4, 0.7, 0.27, 0.55,0.68, 0.31, 0.45, 0.83．试分别求θ 的极大似然估计值与矩估计值．解：因121212()(;)(;)(;)(1)(1)(1)(1)()n n n n L f x f x f x x x x x x x θθθθθθθθθθθθ==+⋅++=+"""，即ln L (θ ) = n ln (θ + 1) + θ ln (x 1 x 2 … x n )，令12d ln ()1ln()0d 1n L n x x x θθθ=⋅+=+"， 则12111ln()ln nn ii nnx x x x θ==−−=−−∑"，故θ 的极大似然估计为1ˆ1ln nii nX θ==−−∑；因1211E()(1)d (1)22xX x x x θθθθθθθ++=⋅+=+⋅=++∫，有2E()11E()X X θ−=−，故θ 的矩法估计为21ˆ1X Xθ−=−； 显然参数θ 的极大似然估计与矩法估计不一致；又因样本观测值为0.4, 0.7, 0.27, 0.55, 0.68, 0.31, 0.45, 0.83，有1(0.40.70.83)0.523758x =+++="，故θ 的极大似然估计值为8ˆ10.3982ln 0.4ln 0.7ln 0.83θ=−−=+++"，θ 的矩估计值为20.523751ˆ0.099710.52375θ×−==−． 习题6.21． 设容量为3的随机样本X 1 , X 2 , X 3取自概率密度函数为1,0,(;)0,,x f x θθθ−⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他的总体．证明1(1)ˆ4X θ=和2(3)ˆ43X θ=都是θ 的无偏估计量． 证：总体X 的分布函数为0,0,(;),0,1,,x x F x x x θθθθ<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩则容量为3的样本的最小顺序统计量X (1) 的分布函数和密度函数为33(1)0,0,(;)1[1(;)]11,0,1,,x x F x F x x x θθθθθ<⎧⎪⎪⎛⎞=−−=−−≤<⎨⎜⎟⎝⎠⎪⎪≥⎩23(1)(1)3(),0,(;)(;)0,x x f x F x θθθθθ⎧−<<⎪′==⎨⎪⎩其他且最大顺序统计量X (3) 的分布函数和密度函数为33(3)0,0,(;)[(;)],0,1,,x x F x F x x x θθθθθ<⎧⎪⎪⎛⎞==≤<⎨⎜⎟⎝⎠⎪⎪≥⎩23(3)(3)3,0,(;)(;)0,x x f x F x θθθθ⎧<<⎪′==⎨⎪⎩其他得234222321(1)33300031212ˆE()4E()4()d (2+)d 2+234x x x X x x x x x x x θθθθθθθθθθθθθ⎛⎞==⋅−=−=−=⎜⎟⎝⎠∫∫，2432(3)33300044344ˆE()E()d d 334x x X x x x x θθθθθθθ==⋅==⋅=∫∫，故1(1)ˆ4X θ=和2(3)ˆ43X θ=都是θ 的无偏估计量． 2． 设总体X 服从伯努利分布B (1, p )，p 为未知参数（0 < p < 1）．样本X 1 , …, X n 来自于X ．（1）证明：当n = 1时，p 2不存在无偏估计；（2）若n ≥ 2，求p 2的一个无偏估计量． 解：（1）当n = 1时，样本X 1的概率分布为101~1X p p ⎛⎞⎜⎟−⎝⎠， 则任何统计量T = T (X 1)的数学期望为E (T ) = T (0) ⋅ (1 − p ) + T (1) ⋅ p = T (0) + [T (1) − T (0)] ⋅ p ≠ p 2， 故当n = 1时，p 2不存在无偏估计；（2）若n ≥ 2，有样本均值11n i i X X n ==∑，样本方差2211()1n i i S X X n ==−−∑， 则E()E()X X p ==，22E()D()(1)S X p p p p ==−=−，即222E()E()E()X S X S p −=−=， 故2X S −是p 2的一个无偏估计量．3． 设从均值为µ ，方差为σ 2（> 0）的总体X 中分别抽取容量为n 1 , n 2的两个独立样本，样本均值分别为1X 和2X ．试证：对于任意满足条件a + b = 1的常数a 和b ，12ˆaX bX µ=+都是µ 的无偏估计，并确定a 、b 使方差ˆD()µ达到最小． 解：因12E()E()X X µ==，211D()X n σ=，222D()X n σ=，有12ˆE()E()E()()a X b X a b a b µµµµ=+=+=+，故当a + b = 1时，ˆE()µµ=，12ˆaX bX µ=+都是µ 的无偏估计； 又22222222222121112121212()2(1)ˆD()D()D()(1)n n a n a n a a a X b X a a n n n n n n σσµσ⎡⎤+−+−=+=⋅+−⋅=+=⎢⎥⎣⎦， 令212112ˆ2()2d D()0d n n a n a n n µσ+−==，得112n a n n =+，且2212212ˆ2()d D()0d n n n n a µσ+=>，故当112n a n n =+，2121n b a n n =−=+时，方差ˆD()µ达到最小． 4． 设X 1 , X 2 , X 3 , X 4是来自均值为θ 的指数分布的样本，其中θ 未知．证明下列三个估计量1123411()()36T X X X X =+++，212341(6543)10T X X X X =+−+，T 3 = 2 X 1 − X 2 + 3 X 3 − 3 X 4 ，均为θ的无偏估计量，并说明上述估计量中哪个最有效．证：因总体X 服从均值为θ 的指数分布，即X ~ e (1/θ )，有E (X ) = θ ，D (X ) = θ 2 ，则112341111E()[E()E()][E()E()]()()3636T X X X X θθθθθ=+++=+++=，2123411E()[6E()5E()4E()3E()](6543)1010T X X X X θθθθθ=+−+=+−+=，E (T 3) = 2 E (X 1) − E (X 2) + 3 E (X 3) − 3 E(X 4) = 2θ − θ + 3θ − 3θ = θ ， 故T 1 , T 2 , T 3均为θ 的无偏估计量；又222221123411115D()[D()D()][D()D()]()()93693618T X X X X θθθθθ=+++=+++=， 22222212341143D()[36D()25D()16D()9D()](3625169)10010050T X X X X θθθθθ=+++=+++=，D (T 3) = 4 D (X 1) + D (X 2) + 9 D (X 3) + 9 D (X 4) = 4θ 2 + θ 2 + 9θ 2 + 9θ 2 = 23θ 2 ， 显然D (T 1) < D (T 2) < D (T 3)， 故T 1最有效，T 2其次，T 3最差．5． 设ˆθ是参数θ 的无偏估计量，且ˆD()0θ>，试证：2ˆ()θ不是θ 2的无偏估计量． 证：因ˆθ是参数θ 的无偏估计量，即ˆE()θθ=，有2222ˆˆˆˆE[()]()[E()]()D D θθθθθθ=+=+>， 故2ˆ()θ不是θ 2的无偏估计量． 习题6.31． 随机地从一批零件中抽取10个，测得其长度（单位：cm ）为：2.13, 2.14, 2.12, 2.13, 2.11, 2.15, 2.14, 2.13, 2.12, 2.13．假设该批零件的长度服从正态分布N (µ , σ 2)，试求总体均值µ 的置信系数为95%的置信区间：（1）若已知σ = 0.01；（2）若σ 未知． 解：（1）单个正态总体，已知σ ，估计µ ，总体均值µ 的点估计为X，枢轴量为~(0,1)X U N =，置信系数1 − α = 0.95，置信区间为/2/2(X u u αα−+，因1(2.13 2.14 2.13) 2.1310x =+++="，σ = 0.01，n = 10，u 0.025 = 1.96， 故µ 的置信系数95%的置信区间为(2.13 1.96 2.13 1.96(2.1238,2.1362)−+=；（2）单个正态总体，未知σ ，估计µ ，总体均值µ 的点估计为X，枢轴量为~(1)X T t n =−，置信系数1 − α = 0.95，置信区间为/2/2((1)(1)X t n t n αα−−+−，因1(2.13 2.14 2.13) 2.1310x =+++="， 222221[(2.13 2.13)(2.14 2.13)(2.13 2.13)]0.01159s =−+−++−="，n = 10，t 0.025 (9) = 2.2622，故µ 的95%置信区间为(2.13 2.2622 2.13 2.2622(2.1217,2.1383)−+=．2． 为估计制造某件产品所需的单件平均工时（单位：小时），现制造了五件，记录所需工时为：10.5, 11, 11.2, 12.5, 12.8．设制造单件产品所需工时服从正态分布，试求单件平均工时的置信系数95%的置信区间．解：单个正态总体，未知σ ，估计µ ，总体均值µ 的点估计为X，枢轴量为~(1)X T t n =−，置信系数1 − α = 0.95，置信区间为/2/2((1)(1)X t n t n αα−−+−，因1(10.51112.8)11.65x =+++="，222221[(10.511.6)(1111.6)(12.811.6)]0.99754s =−+−++−="，n = 5，t 0.025 (4) = 2.7764，故µ 的95%置信区间为(11.6 2.7764 2.7764(10.3615,12.8385)−+=．3． 设有两台机床用来生产规格相同的铝合金薄板．随机选取每台机床轧制的产品若干张，测得它们的厚度（单位：cm ）如下：机器I ：0.243, 0.238, 0.248, 0.245, 0.236, 0.241, 0.239， 机器II ：0.261, 0.254, 0.255, 0.257, 0.253, 0.250，设两台机床所生产的薄板的厚度服从方差相等的正态分布．试给出两台机床生产的铝合金薄板平均厚度差的置信系数为95%的置信区间．解：两个正态总体，未知22,x y σσ（但22x yσσ=），估计µ x −µ y ，均值差µ x −µ y 的点估计为X Y −，枢轴量为()()~(2)X Y T t n m µµ−−−=+−， 置信系数1 − α = 0.95，置信区间为(， 因1(0.2430.2380.239)0.24147x =+++="，1(0.2610.2540.250)0.2556y =+++="， 222221[(0.2430.2414)(0.2380.2414)(0.2390.2414)]0.00426x s =−+−++−="，222221[(0.2610.255)(0.2540.255)(0.2500.255)]0.00375ys =−+−++−="， n = 7，m = 6，t 0.025 (11) = 2.2010， 故µ 的95%置信区间为(0.24140.255 2.2010(0.0185,0.0087)−±=−−．4． 由容量为15，取自正态总体N (µ , σ 2)的随机样本算得23.2, 4.24x s ==，确定σ 2和σ 的置信系数90%的置信区间．解：单个正态总体，估计σ 2，总体方差σ 2的点估计为S 2，枢轴量为2222(1)~(1)n S n χχσ−=−，置信系数1 − α = 0.90，置信区间为2222/21/2(1)(1)(,)(1)(1)n S n S n n ααχχ−−−−−，因s 2 = 4.24，n = 15，20.05(14)23.685χ=，20.95(14) 6.571χ=，故σ 2的90%置信区间为14 4.2414 4.24(,(2.5062,9.0336)23.685 6.571××=； σ 的90%置信区间为(1.5831,3.0056)=．5． 设有两个化验员A 和B 独立对某种聚合物中的含氯量用同一种方法各做了10次测定，其测定值的方差分别为220.512,0.665ABs s ==．假定各自的测定值均服从正态分布，方差分别为2Aσ和2Bσ，求22ABσσ的置信系数为0.90的置信区间．解：两个正态总体，估计22A B σσ，方差比22A Bσσ的点估计为22A B S S ，枢轴量为2222~(1,1)A AB B S F F n m S σσ=−−，置信系数1 − α = 0.90，置信区间为2222/22222/21/2/2111(,)(,(1,1))(1,1)(1,1)(1,1)A A A A B B B BS S S S F m n F n m F n m F n m S S S S αααα−⋅⋅=⋅⋅−−−−−−−−，因220.512,0.665A B s s ==，n = 10，m = 10，F 0.05 (9, 9) = 3.18，故22A Bσσ的置信系数为0.90的置信区间为0.51210.512(, 3.18)(0.2421,2.4484)0.665 3.180.665××=．6． 设枪弹的速度（单位：米/秒）服从正态分布．为了比较两种枪弹的速度，在相同的条件下进行了速度测定．算得数据如下：枪弹甲：m = 110，2810x =，s x = 121.41；枪弹乙：n = 100，2682y =，s x = 105.06．试求这两种枪弹的平均速度之差的置信系数近似为95%的置信区间．解：两个正态总体，未知22,x yσσ（大样本），估计µ x −µ y ，均值差µ x −µ y 的点估计为X Y −，大样本情形下枢轴量为()()~(0,1)X Y T N µµ−−−=，置信系数1 − α = 0.95，置信区间为(，因m = 110，2810x =，s x = 121.41，n = 100，2682y =，s x = 105.06，u 0.025 = 1.96，故µ x −µ y 的95%置信区间为(28102682 1.96(97.36,158.64)−±=．复习题六1． 设X 1 , …, X n 为来自总体X 的样本，X 的概率密度函数为22(),0,(;)0,,x x f x θθθθ⎧−<<⎪=⎨⎪⎩其他 其中θ（> 0）是未知参数．试求参数θ 的矩估计量． 解：因3323222002212E()()d ()()23233X x x x x x θθθθθθθθθθ=⋅−=−=−=∫，有θ = 3 E (X )，故θ 的矩估计为ˆX θ=． 注：此题有误，密度函数非零取值范围应为0 < x < θ ．2． 伯莱托（Pareto ）分布是常用于研究收入的模型，其分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≥⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=,,0,,1),;(111212θθθθθθx x x x F 其中θ 1 > 0，θ 2 > 0．若随机样本X 1 , …, X n 取自该分布，求θ 1与θ 2的极大似然估计量．解：伯莱托分布的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≥⋅=′=+,,0,,),;(),;(11112212122θθθθθθθθθθx x x x F x f则1211211212121112212122112122222222)(),;(),;(),;(),(++++=⋅==θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθn n nnn x x x x x x x f x f x f L """，即ln L (θ 1, θ 2) = n ln θ 2 + n θ 2 ln θ 1 − (θ 2 + 1) ln (x 1 x 2 …x n )，显然θ 1越大，ln L (θ 1, θ 2) 就越大，且x i ≥ θ 1，故θ 1的极大似然估计量为)1(11},,min{ˆX X X n =="θ； 令0)ln(ln 1),(ln 2112221=−+⋅=∂∂n x x x n n L "θθθθθ，得111212ln ln 11ln )ln(θθθ−=−=∑=ni i n x n n x x x n "， 故θ 2的极大似然估计量为)1(12ln ln 11ˆX X n ni i −=∑=θ．3． 设总体X 的概率密度为2231/224πe ,0,(;)0,0,xx x f x x ααα−−−⎧⎪>=⎨≤⎪⎩ 试求参数α 的矩估计和极大似然估计，并证明矩估计量是无偏的． 解：因222231/2211/2200E()4πe d 2π(1)de xxX x x x x αααα+∞+∞−−−−−−=⋅=⋅−∫∫22222211/2211/221/21/2002πe2πe d()0(2πe )2πx x x x x ααααααα+∞+∞+∞−−−−−−−−−=−+=+−=∫，故α=，α的矩估计为ˆXα=；因2222221231/2231/2231/221212()(;)(;)(;)4πe4πe4πenx x x n n L f x f x f x x x x αααααααααα−−−−−−−−−==⋅""2213/22124π()eni i x n n n n x x x αα=−−−∑="，即212211ln ()ln 43ln ln π2ln()2nn i i n L n n x x x x ααα==−−+−∑"，令231d ln ()1230d n i i L n x αααα==−⋅+=∑，得α=，故α的极大似然估计为ˆα= 4． 设总体X 的密度函数为||1(;)e ,2x f x x λλ−−=−∞<<+∞，试求参数λ（−∞ < λ < +∞）的极大似然估计量．解：112||||||||121111()(;)(;)(;)e e e e 2222ni n i x x x x n n L f x f x f x λλλλλλλλ=−−−−−−−−∑==⋅=""，即1ln ()ln 2||ni i L n x λλ==−−−∑，设顺序统计量为x (1) , x (2) , …, x (n )，并且记x (0)为−∞，x (n + 1)为+∞，不妨设x (k ) ≤ λ < x (k + 1)，k = 0, 1, …, n − 1, n ， 则1111ln ()ln 2()()ln 2()kn k ni i i i i i k i i k L n x x n k x x n k λλλλλ==+==+=−−−−−=−−+−+−∑∑∑∑11ln 2(2)kni i i i k n n k x x λ==+=−+−+−∑∑，若2n k <，有n − 2k < 0，ln L (λ )关于λ 单调增加，若2nk >，有n − 2k < 0，ln L (λ )关于λ 单调减少， 当n 为偶数时，取2nk =，ln L (λ )在()()221n n x x λ+≤<时达到最大，（由连续性知()21n x λ=时也达到最大），故当n 为偶数时，λ 的极大似然估计量ˆλ为区间()()221[,]n n X X+上的任何值；当n 为奇数时，取12n k −=，ln L (λ )在()()1122n n x x λ−+≤<时单调增加，取12n k +=，ln L (λ )在()()1322n n x x λ++≤<时单调减少，即ln L (λ ) 在()12n x λ+=时达到最大，故当n 为奇数时，λ 的极大似然估计量()12ˆn X λ+=．5． 设总体X ~ N (µ , σ 2)，X 1 , …, X n 是X 的样本，X 为样本均值，求常数c 和d ，使∑−=+−1121)(n i i i X X c 与∑=−ni i X X d 1||分别为σ 2和σ 的无偏估计．解：因E (X i ) = µ ，2222)](E [)(D )(E µσ+=+=i i i X X X ，则∑∑∑−=++−=++−=+−+=−+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−1112211112211121)](E )(E 2)(E )(E [)2(E )(E n i i i i i n i i i i i n i i i X X X X c X X X X c X X c221122222)1(22)1(]2)()[(σσµµσµσ−=⋅−⋅=−+++=∑−=n c n c c n i ，故当)1(21−=n c 时，21121)(E σ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−∑−=+n i i i X X c ，∑−=+−−1121)()1(21n i i i X X n 为σ 2的无偏估计； 因∑∑≠=−−=−=−ij j i n j j i i X n X n n X n X X X 1111，有i X X −服从正态分布，且E()E()E()0i i X X X X µµ−=−=−=，22222(1)1(1)11D()D()D()(1)i i jj i n n n X X X X n n n n n n σσ≠−−−−=+=+⋅−=∑， 则21~(0,)i n X X N n σ−−~(0,1)X N ，记X Y =Y ~ N (0, 1)，则22222200E(||)||d 2d 2y y y Y y yy y+∞−−−+∞+∞−∞===−=∫∫即E(||)i X X −=，11E(||)E(||)n ni i i i d X X d X X d n ==−=−=⋅∑∑，故当d =时，1E ||ni i d X Xσ=⎡⎤−=⎢⎥⎣⎦∑1||n i X X =−为σ 的无偏估计．。

第1篇一、实验目的1. 理解分布测量的基本原理和方法。

2. 掌握分布测量实验的操作步骤和数据处理方法。

3. 通过实验验证分布测量的正确性和准确性。

二、实验原理分布测量是指在一定区域内，对某一物理量进行多点测量，然后根据测量结果绘制出该物理量的分布图。

本实验主要研究线性分布的测量方法，包括直尺法、三角法和光电法等。

三、实验仪器与设备1. 实验器材：直尺、三角板、光电测距仪、水准仪、记录纸、铅笔等。

2. 实验场地：实验场地需平坦、开阔，无遮挡物。

四、实验步骤1. 确定测量区域：根据实验要求，选择合适的测量区域，并在测量区域内标记出测点位置。

2. 测量准备：检查实验器材是否完好，确保实验过程中能够正常使用。

3. 测量方法：a. 直尺法：将直尺垂直放置在测点处，记录直尺的读数，重复测量多次，取平均值。

b. 三角法：使用三角板和直尺，根据三角板的角度和直尺的读数，计算出测点的距离。

c. 光电法：使用光电测距仪，根据仪器显示的读数，计算出测点的距离。

4. 数据记录：将测量结果记录在记录纸上，包括测点位置、测量方法、测量值等。

5. 数据处理：对测量数据进行整理和分析，绘制出分布图。

五、实验结果与分析1. 实验结果：根据实验数据，绘制出分布图，分析分布规律。

2. 结果分析：a. 通过直尺法、三角法和光电法三种方法进行测量，得到的结果基本一致，说明分布测量方法具有可靠性。

b. 分析分布图，可以观察到物理量在测量区域内的分布规律，为后续研究提供依据。

六、实验总结1. 本实验通过分布测量方法，对物理量进行多点测量，验证了分布测量的正确性和准确性。

2. 实验过程中，应注意以下几点：a. 选择合适的测量方法，根据实验要求进行测量。

b. 在测量过程中，注意数据的准确记录和整理。

c. 对测量结果进行分析，得出结论。

3. 本实验为后续研究提供了有益的参考，有助于提高分布测量的应用价值。

七、实验报告撰写1. 实验报告应包括实验目的、原理、仪器与设备、实验步骤、实验结果与分析、实验总结等内容。