三大抽样分布

三大抽样分布知识点一览抽样分布的概念抽样分布：从已知的总体中以一定的样本容量进行随机抽样，由样本的统计数所对应的概率分布称为抽样分布。

抽样分布是统计推断的理论基础。

如果从容量为N的有限总体抽样，若每次抽取容量为n的样本，那么一共可以得到N取n的组合个样本(所有可能的样本个数)。

抽样所得到的每一个样本可以计算一个平均数，全部可能的样本都被抽取后可以得到许多平均数。

如果将抽样所得到的所有可能的样本平均数集合起来便构成一个新的总体，平均数就成为这个新总体的变量。

由平均数构成的新总体的分布，称为平均数的抽样分布。

随机样本的任何一种统计数都可以是一个变量，这种变量的分布称为统计数的抽样分布。

三大抽样分布1. 卡方分布χ2(n)定义：若n个相互独立的随机变量ξ₁、ξ₂、……、ξn,均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量，其分布规律称为卡方分布（chi-square distribution）。

2. t分布定义：设X1服从标准正态分布N(0,1)，X2服从自由度为n的χ2分布，且X1、X2相互独立，则称变量t=X1(X2/n)1/2所服从的分布为自由度为n的t分布。

3. F分布定义:设X1服从自由度为m的χ2分布，X2服从自由度为n的χ2分布，且X1、X2相互独立，则称变量F=(X1/m)/(X2/n)所服从的分布为F分布，其中第一自由度为m，第二自由度为n。

与正态分布一同构成数理统计中的四大分布。

由标准正态总体样本的适当组合构成的统计量形成数理统计中的其他三大基础分布。

所以，数理统计中总是以正态总体作为研究对象展开。

在数理统计中，"总体"、"抽样"、"样本"是三个基本概念,分位点是"小概率事件"发生的临界点，置信区间是参数估计和假设检验的核心计算问题。

常用的三种抽样分布
概述
在统计学中，抽样分布是指从总体中抽取一定数量的样本，并计算样本统计量的分布。

根据中心极限定理，当样本数足够大时，样本的均值和标准差会呈正态分布。

然而，并非所有的抽样分布都符合正态分布。

本文将介绍统计学中常用的三种抽样分布，包括正态分布、t分布和χ²（卡方）分布。

1. 正态分布（Normal Distribution）
正态分布是最常见的一种抽样分布，也被称为高斯分布。

它具有以下特点： - 均值为μ，标准差为σ； - 对称分布，其曲线呈钟型，两侧尾部逐渐下降； - 总体分布和抽样分布均为正态分布； - 标准正态分布
的均值为 0，标准差为 1。

可以通过标准化计算将任意正态分布转换为标准正态分布。

正态分布在实际应用中非常重要，尤其是在假设检验和置信区间计算中的应用广泛。

2. t分布（Student’s t-Distribution）
t分布是由英国统计学家William Sealy Gosset（也被称为。

一、 三大抽样分布的分布函数综 述：)a 根据大数定理和中心极限定理，但样本容量n 较大时（数学上一般要求45n >），任何分布都依概率收敛于正态分布()2, N μσ，并可标准化为()0, 1N 。

)b 现实世界和工程技术中的任何数据样本流到目前为止，不外乎()0, 1N 的函数分布，集中表现为3大抽样分布规律。

)c 考研数学中规定：()0, 1N 的分位数定义为下分位数（从图形上看为左边面积），3 大抽样分布的分位数定义都为上分位数（从图形上看为右边面积）1． ()2n χ分布（分布函数不要求掌握）量纲模型：性 质：()1{}i X ()2 可加性212~()n n χ+++()3证 明()3：由于()()()~0,10; 1i i i X N E X D X ⇒==()()()()()2224421 1,2,,3i i i i x iE X E X E X D X i n E X x edx +∞--∞=-===⎡⎤⎣⎦==()()()()()()()()()224222211222113122iii n ni i i i n n i i i i D X E X E X E n E X E X n D n D X D X nχχ====⎡⎤=-=-=⎣⎦⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑∑∑样本函数中的必需记住的数字特征()4 上分位点 α定义为()2n χ分布的分位数2． ()t n 分布（分布函数不要求掌握）{}i X 独立同分布 2~(0,1), ~(); i X N Y n X Y χ和独立 性 质：()1 t 分布密度函数()()~(0,1)t n n f x N →∞⇒()2 上分位点 α定义为()t n 分布的分位数()3 ()0, 22nEX DX n n ==>- ()4 性质T 分布具有对称性， 1()(); 45t nt n n αα-=->时，()t n Z αα≈3．(), F m n 分布（分布函数不要求掌握）X 、Y 相互独立，2~(); ~()X m Y n χχ；量纲模型：例：假定()12, X X 来自正态整体()2~0, X N σ的一个样本，求()()2122124X X P X X ⎡⎤+<⎢⎥-⎢⎥⎣⎦。

(三)三大抽样分布(l)t分布首先，我们应把注意力放在服从t分布的t变量的构造上。

设百，叼，…，凝是来自正态总体您)的一个样本.则有：对样本均值x施行标准化变换，则有：公=与=向〜)〜秋o,D当用样本标准差S代替上式中的总体标准差b，则上式U变量改为t变量，标准正态分布N①，1)也随之改为''自由度为n-1的t分布” .记为.即：――G-〃) -.［修一V尾部概率产(x>3) =0.00155. F(r >3) >0,02自由度为n-1的t分布的概率密度函数与标准正态分布N(0, 1)的概率密度函数的图形大致类似，均为对称分布，但它的峰比N(0, 1)的峰略低一些，而两侧尾部要比N①，1)的两侧尾部略粗一点，参见图1.3-8。

当自由度超过3。

后，两者区别已很小，这时可用N9, 1)代替1号-1)・(2) /分布设百，叼，…，演是来自正态总体从(人〃)的一个样本，则其样本方差一的n-l倍(也即离差M平方和2：(々- 3)2除以总体方差的分布是自由度为n-1的Z?分布，记为才 2 (% 一1),即：2-1♦一？S - = £ - 2)2 / /〜F 伽-1)自由度为n-1的1？分布的概率密度函数在正半轴上呈偏态分布，参见图1.3-9o（3）F 分布设有两个独立的正态总体N （〃i ，/）和4），它们的方差相等。

又设x P 叼，…，/是来自N （〃i ，〃）的一个样本；Xp -一，是来自》（外，〃）的一个样 本 > 两个样本相互独立。

它f 门的样本方差比的分布是自由度为n-1和的F 分布：其中n-1称为分子自由度或第1自由度；m-1称为分母自由度或第2自由度■ F 分布的概率密度函数在正半轴上呈偏态分布，参见图l.3-10o阳131。

尸储加-1）的IK 率密度函数 n-X _次（演-五）2 1 2-1〜F （力一 L W-1）。