统计学 三大分布经典案例全集
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三大抽样分布课件
在方差分析中，t分布用于检验 各个组之间的均值是否存在显著
差异。
04
CATALOGUE
卡方分布
卡方分布的定义
定义
卡方分布是一种连续概率分布，描述 了随机变量的取值与自由度的平方之 间的比例关系。
公式
若随机变量X符合卡方分布，则X的概 率密度函数为f(x)=x^(n/2-1)e^(x/2)/2^(n/2)Γ(n/2)，其中n为自由度 ，Γ为伽玛函数。
正态分布
正态分布的定义
01
正态分布是一种连续概率分布， 其概率密度函数呈钟形，对称轴 为均值所在直线，形状由标准差 决定。
02
正态分布是自然界中最常见的分 布形态，许多随机变量都服从或 近似服从正态分布。
正态分布的性质
01
02
03
集中性
正态分布曲线以均值为中 心，两侧分布对称。
均匀性
正态分布曲线是关于标准 差对称的，形状由标准差 决定。
t分布
t分布的定义
定义
t分布（也称为学生t分布）是一种 连续概率分布，其形状由自由度 参数决定。
描述
当数据来自正态分布的总体，且样 本量较小（通常n<30）时，t分布 近似于正态分布。
公式
t分布的密度函数和分布函数可以用 一系列复杂的数学公式来描述。
t分布的性质
形状
峰度
随着自由度的增加，t分布的形状逐渐 接近正态分布。
t分布的峰度大于正态分布的峰度，且 随着自由度的增加而减小。
偏度
t分布通常是偏态的，其偏度随着自由 度的增加而减小。
t分布在统计学中的应用
假设检验
在样本量较小时，t分布在假设 检验中常用作正态分布的替代，
用于检验统计假设。
差异。
04
CATALOGUE
卡方分布
卡方分布的定义
定义
卡方分布是一种连续概率分布，描述 了随机变量的取值与自由度的平方之 间的比例关系。
公式
若随机变量X符合卡方分布，则X的概 率密度函数为f(x)=x^(n/2-1)e^(x/2)/2^(n/2)Γ(n/2)，其中n为自由度 ，Γ为伽玛函数。
正态分布
正态分布的定义
01
正态分布是一种连续概率分布， 其概率密度函数呈钟形，对称轴 为均值所在直线，形状由标准差 决定。
02
正态分布是自然界中最常见的分 布形态，许多随机变量都服从或 近似服从正态分布。
正态分布的性质
01
02
03
集中性
正态分布曲线以均值为中 心，两侧分布对称。
均匀性
正态分布曲线是关于标准 差对称的，形状由标准差 决定。
t分布
t分布的定义
定义
t分布（也称为学生t分布）是一种 连续概率分布，其形状由自由度 参数决定。
描述
当数据来自正态分布的总体，且样 本量较小（通常n<30）时，t分布 近似于正态分布。
公式
t分布的密度函数和分布函数可以用 一系列复杂的数学公式来描述。
t分布的性质
形状
峰度
随着自由度的增加，t分布的形状逐渐 接近正态分布。
t分布的峰度大于正态分布的峰度，且 随着自由度的增加而减小。
偏度
t分布通常是偏态的，其偏度随着自由 度的增加而减小。
t分布在统计学中的应用
假设检验
在样本量较小时，t分布在假设 检验中常用作正态分布的替代，
用于检验统计假设。
卡方分布经典例题
卡方分布经典例题卡方分布是一种用于描述一组数据偏离中心趋势的程度的分布。
在统计学中，卡方分布常用于检验假设、评估模型、计算置信区间等。
以下是几个卡方分布的经典例题:1. 假设你正在调查某种药品的疗效，共有 300 名患者参加试验，其中 150 名患者服用该药品，150 名患者服用安慰剂。
你想检验该药品是否能够显著提高有效率。
根据卡方分布，你可以使用以下数据计算 p 值:- 试验中有效患者数:150- 假设中有效患者数:100- 试验中无效患者数:150- 假设中无效患者数:100- 试验中患者总数:300根据卡方分布表，p 值为 0.05 的临界值为 2.645。
如果你的试验中有效患者数小于或等于 100，那么你可以拒绝假设，认为该药品能够显著提高有效率。
否则，你无法拒绝假设。
2. 你正在研究某种药物的副作用，共有 200 名患者参加试验，其中 100 名患者服用该药物，100 名患者服用安慰剂。
你想检验该药物是否能够显著增加不良事件发生率。
根据卡方分布，你可以使用以下数据计算 p 值:- 试验中不良患者数:100- 假设中不良患者数:50- 试验中患者总数:200根据卡方分布表，p 值为 0.05 的临界值为 3.8415。
如果你的试验中不良患者数大于或等于 50，那么你可以拒绝假设，认为该药物能够显著增加不良事件发生率。
否则，你无法拒绝假设。
3. 你正在研究某种治疗方法的疗效，共有 300 名患者参加试验，其中 150 名患者采用该治疗方法，150 名患者采用安慰剂。
你想检验该治疗方法是否能够显著提高治愈率。
根据卡方分布，你可以使用以下数据计算 p 值:- 试验中治愈患者数:150- 假设中治愈患者数:100- 试验中无效患者数:150- 假设中无效患者数:100- 试验中患者总数:300根据卡方分布表，p 值为 0.05 的临界值为 2.645。
如果你的试验中治愈患者数小于或等于 100，那么你可以拒绝假设，认为该治疗方法能够显著提高治愈率。
三大统计分布
, x0 x0
,
(6-17)
图6.4是四组不同参数下该密度函数的图像.
1.0
n1 20, n2 10 n1 5, n2 10 n1 5, n2 5 n1 1, n2 5
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0 0 1 2 3 4 5
x
图 6.4
F 分布的概率密度函数
另外，由定义6.3，立即有以下结论： 1 若F ~ F (n1 , n2 ) ，则 F ~ F (n , n ) . 1 这个结论可用于计算分布 F ~ F (n2 , n1 )的 -上侧 分位数 F (n1 , n2 ) . 具体地说，我们有 1 F (n1 , n2 ) . (6-18) F1a (n2 , n1 ) 事实上，由 F ~ F (n1 , n2 )、 1 ~ F (n2 , n1 ) 以及上 F 侧分位数的定义可推出
2 - 分布也称为皮尔逊 2 -分布. 这是数理统计中
一个十分重要的概率分布. 根据独立随机变量和的密度公式(3-27)和数学 2 (n)-分布的概率密度函 归纳法，可以证明： 1 x e , x0 数为（详见[5]） f ( x ) 2 Γ( ) ，（6-9） 0 , x 0 其中Γ( x)是Γ -函数，定义见第四章附录2． 图 6.1是 2 -变量的概率密度函数(6-9)在几种不 同参数下的图像.
f n ( x)
N(0,1) n = 10 n=5 n=2 n=1
0.30.2Fra bibliotek0.10 -3
-2
-1
0
1
2
x
3
图 6.3
t-分布的概率密度函数
（2）（数字特征）若 Tn ~ t (n) ， n 2 ，则
概率论与数理统计 7.2 数理统计中的三大分布
数理统计
7.2 数理统计中的三大抽样分布
在数理统计中，以标准正态变量为基石而构 造的三个著名统计量有着广泛的应用，这是因为 这三个统计量不仅有明确背景，而且其抽样分布 的密度函数有明显的数学表达式，它们被称为统 计中的“ 三大抽样分布 ” 。
1. 2 分布
数理统计
2分布是由正态分布派生出来的一种分布.
t1 (n) t (n)
o t (n)
x
t分布的上分位点t (n)可查表
求得，例t0.025(15) 2.1315.
当n 45时，对于常用的的值，可用正态近似 t (n) z
例3：X ~ t(15)
（1）求 0.01的上侧分位数； （2） P( X ) 0.05，求 ； （3）P( X ) 0.95 ，求 .
记为 t ~ t(n). t分布概率密度函数为：
f (t)
[(n 1)
2]
(1
t
2
)
n1 2
,
t
(n 2) n n
t 分布的图像
y N (0,1) 数理统计
t(n)
t分布的性质： 1. 设t ~ t(n),则E(t) 0, D(t) n (n 2) (n 2)
2. t分布的密度函数关于t 0对称.当n充分大时, 其图形近似于标准正态分布概率密度的图形，
F分布的上分位点的性质：
F1 (n1, n2 )
1 F (n2 , n1 )
F分布的上分位点可查表求得.例,
F0.95 (12,9)
1 F0.05 (9,12)
1 2.80
0.357
例4. F ~ F (24,15)，求 1,2 使 P(F 2 ) 0.025 P(F 1) 0.025
7.2 数理统计中的三大抽样分布
在数理统计中，以标准正态变量为基石而构 造的三个著名统计量有着广泛的应用，这是因为 这三个统计量不仅有明确背景，而且其抽样分布 的密度函数有明显的数学表达式，它们被称为统 计中的“ 三大抽样分布 ” 。
1. 2 分布
数理统计
2分布是由正态分布派生出来的一种分布.
t1 (n) t (n)
o t (n)
x
t分布的上分位点t (n)可查表
求得，例t0.025(15) 2.1315.
当n 45时，对于常用的的值，可用正态近似 t (n) z
例3：X ~ t(15)
（1）求 0.01的上侧分位数； （2） P( X ) 0.05，求 ； （3）P( X ) 0.95 ，求 .
记为 t ~ t(n). t分布概率密度函数为：
f (t)
[(n 1)
2]
(1
t
2
)
n1 2
,
t
(n 2) n n
t 分布的图像
y N (0,1) 数理统计
t(n)
t分布的性质： 1. 设t ~ t(n),则E(t) 0, D(t) n (n 2) (n 2)
2. t分布的密度函数关于t 0对称.当n充分大时, 其图形近似于标准正态分布概率密度的图形，
F分布的上分位点的性质：
F1 (n1, n2 )
1 F (n2 , n1 )
F分布的上分位点可查表求得.例,
F0.95 (12,9)
1 F0.05 (9,12)
1 2.80
0.357
例4. F ~ F (24,15)，求 1,2 使 P(F 2 ) 0.025 P(F 1) 0.025
(完整版)三大分布及其分位数
研究生概率统计讲义
§1.5 常用的分布及其分位数
卡平方分布、t分布及F分布都是由正态分布所 导出的分布，它们与正态分布一起，是试验统计 中常用的分布。
1. 卡方分布
当X1、X2、…、Xn相互独立且都服从N(0,1)时，Z XFra bibliotek2 i
的分布称为自由度等于n的x2(n)分布， 记作 Z～ x2(n)(n).它的分布密度
3. F分布
若X与Y相互独立，且X～x2 (n)，Y～x2 (m)，则
ZX Y nm
的分布称为第一自由度等于n、第二自由度等于m的 F分布，记作Z～F (n, m)，它的分布密度
2020/8/9
4
研究生概率统计讲义
p(
z
)
n
n
2m
m 2
n 2
nm 2
m 2
•
n 1
z2
nm
(mnz) 2
10
研究生概率统计讲义 5）F分布的α分位数记作Fα(n , m) Fα(n , m)>0，当X～F (n , m)时，P{X<Fα(n , m)}=α
2020/8/9
11
2020/8/9
7
研究生概率统计讲义
2020/8/9
8
研究生概率统计讲义 3）卡平方分布的α分位数记作x2α(n)。
P{X< x2α(n)}=α
2020/8/9
9
研究生概率统计讲义 4）t 分布的α分位数记作tα(n)
当X～t (n)时，P{X<t α(n)}=α，且与标准正态分布 相类似。
2020/8/9
2020/8/9
6
研究生概率统计讲义
因为1-F(λ)=α，F(λ)=1-α，所以上侧α分位数λ就 是1-α分位数 x 1-α；
§1.5 常用的分布及其分位数
卡平方分布、t分布及F分布都是由正态分布所 导出的分布，它们与正态分布一起，是试验统计 中常用的分布。
1. 卡方分布
当X1、X2、…、Xn相互独立且都服从N(0,1)时，Z XFra bibliotek2 i
的分布称为自由度等于n的x2(n)分布， 记作 Z～ x2(n)(n).它的分布密度
3. F分布
若X与Y相互独立，且X～x2 (n)，Y～x2 (m)，则
ZX Y nm
的分布称为第一自由度等于n、第二自由度等于m的 F分布，记作Z～F (n, m)，它的分布密度
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研究生概率统计讲义
p(
z
)
n
n
2m
m 2
n 2
nm 2
m 2
•
n 1
z2
nm
(mnz) 2
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研究生概率统计讲义 5）F分布的α分位数记作Fα(n , m) Fα(n , m)>0，当X～F (n , m)时，P{X<Fα(n , m)}=α
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研究生概率统计讲义
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研究生概率统计讲义 3）卡平方分布的α分位数记作x2α(n)。
P{X< x2α(n)}=α
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9
研究生概率统计讲义 4）t 分布的α分位数记作tα(n)
当X～t (n)时，P{X<t α(n)}=α，且与标准正态分布 相类似。
2020/8/9
2020/8/9
6
研究生概率统计讲义
因为1-F(λ)=α，F(λ)=1-α，所以上侧α分位数λ就 是1-α分位数 x 1-α；
五个数据分布类型及实例
五个数据分布类型及实例数据分布是指一组数据在取值上或出现频率上的特征分布情况。
常见的数据分布类型有均匀分布、正态分布、偏态分布、离散分布和混合分布。
下面将分别介绍这五种数据分布类型及其实例。
一、均匀分布均匀分布是指在某一区间内，各个数值出现的概率是相同的。
简单来说，就是数据在区间内分布均匀。
实例：投掷一枚均匀的六面骰子，每个面的概率都是1/6，这就是一个典型的均匀分布。
又如在一定时间内，每小时降雨量在0到10毫米之间的概率相同，也可以看做是均匀分布。
二、正态分布正态分布又称高斯分布，是一种连续概率分布，其特点是数据以均值为中心对称分布，呈现出“钟形”曲线。
实例：人类的身高、体重、智力分数等很多生物学特征都大致呈正态分布。
例如，当我们测量一群成年人的身高，结果通常会呈现出正态分布的特征。
三、偏态分布偏态分布是指数据分布的偏度非零，即数据分布呈现不对称的情况。
偏度可以分为正偏或负偏。
实例：股票市场的收益率通常呈现正偏态分布，即大幅上涨的收益率比大幅下跌的概率要大。
又如成年人的收入分布通常是右偏的，表现为一小部分人收入非常高，大部分人的收入比较低。
四、离散分布离散分布是指数值间有间隔或跳跃的特点。
离散分布通常用于描述事件发生的次数或概率。
实例：投掷一枚硬币，正面朝上的次数就是一个二项分布。
再如掷骰子的点数也是一个离散分布。
又如周内购买食品的次数等离散数据分布。
五、混合分布混合分布是指由两种或多种分布组合而成的复合分布。
混合分布可以同时具有两种或多种不同的特征。
实例：在生活中，人的年龄可以看做是混合分布。
正常情况下，人的年龄呈现正态分布，但是在一些特定情况下，例如幼儿园班级的年龄分布肯定是不同于正态分布的。
总结来说，不同的数据分布类型反映了现实世界中不同的概率分布情况。
通过对数据的分布类型进行分析，可以更好地理解和描述数据的特征，为后续的分析和决策提供帮助。
因此，对于数据分布类型的学习和掌握是数据分析的基础，也是数据科学领域中不可或缺的一部分。
生活中的统计学案例
生活中的统计学案例篇一：统计学案例集统计学精品课程建设小组二○○六年十一月【案例一】全国电视观众抽样调查抽样方案一、调查目的、范围和对象1.1 调查目的准确获取全国电视观众群体规模、构成以及分布情况；获取这些观众的收视习惯，对电视频道和栏目的选择倾向、收视人数、收视率与喜爱程度，为改进电视频道和栏目、开展电视观众行为研究提供新的依据。
1.2 调查范围全国31个省、自治区、直辖市(港澳台除外)中所有电视信号覆盖区域。
1.3 调查对象全国城乡家庭户中的13岁以上可视居民以及4-12岁的儿童。
包括有户籍的正式住户也包括所有临时的或其他的住户，只要已在本居（村）委会内居住满6个月或预计居住6个月以上，都包括在内。
不包括住在军营内的现役军人、集体户及无固定住所的人口。
二、抽样方案设计的原则与特点2.1 设计原则抽样设计按照科学、效率、便利的原则。
首先，作为一项全国性抽样调查，整体方案必须是严格的概率抽样，要求样本对全国及某些指定的城市或地区有代表性。
其次,抽样方案必须保证有较高的效率，即在相同样本量的条件下，方案设计应使调查精度尽可能高，也即目标量估计的抽样误差尽可能小。
第三，方案必须有较强的可操作性，不仅便于具体抽样的实施，也要求便于后期的数据处理。
2.2 需要考虑的具体问题、特殊要求及相应的处理方法2.2.1 城乡区分城市与农村的电视观众的收视习惯与爱好有很大的区别。
理所当然地应分别研究，以便于对比。
最方便的处理是将他们作为两个研究域进行独立抽样，但代价是，这样做的样本点数量较大，调查的地域较为分散，相应的费用也就较高。
另一种处理方式是在第一阶抽样中不考虑区分城乡，统一抽取抽样单元（例如区、县），在其后的抽样中再区分城、乡。
这样做的优点是样本点相对集中，但数据处理较为复杂。
综合考虑各种因素，本方案采用第二种处理方式。
在样本区、县中，以居委会的数据代表城市；以村委会的数据代表农村。
2.2.2 抽样方案的类型与抽样单元的确定全国性抽样必须采用多阶抽样，而多阶抽样中设计的关键是各阶抽样单元的选择，其中尤以第一阶抽样单元最为重要。
三大抽样分布充分统计量
7/7/2020
第五章 统计量及其分布
注：
X
~
2 N(,
)
X
~
N(0,1)
n n
第23页
7/7/2020
第五章 统计量及其分布
第24页
推论5.4.1 设 x1, x2,…, xn 是来自N(, 2) 的
样本，其样本均值和样本方差分别为 x = xi/n 和 s2= (xix)2/(n1)
则有
n(X) t(n1)
则称 t1-(n)为
t(n) 的下侧1- 分位点.
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第15页
t1 ( n )
第五章 统计量及其分布
第16页
当随机变量t t(n) 时，称满足
P(t t1(n)) =1 的 t1(n) 是自由度为 n 的 t 分布的1分位数.
分位数 t1(n) 可以从附表4中查到。
譬如 n=10,=0.05，那么从附表4上查得
则：
n 1 in 1 ( X i X ) 2 ,S n 21
n 11 in 1 ( X i X ) 2
1 n
1n
2
E(X) E(X ) , Var(X) Var(X)
n i1
i
n2 i1
i
n
E(Sn2
)
n 12, n
E(Sn21) 2,
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第五章 统计量及其分布
第20页
5.4.4 一些重要结论
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第五章 统计量及其分布
第27页
课堂练习
设X1, X2, …, Xn 是来自总体 N(, 2)的一个样本,
则
n
i 1
Xi
2
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0.339
0.448 0.188
0.025
有放回=C300.73 C310.310.72 C320.320.71 C330.33
0.343
0.441 0.189 0.027
显然：当N→+∞,H(n,N1,N2,N)→b(n,P)
图形分析：1，产品总量N越大，n/N越小，则越接近！
2，两者图形向两边延伸 ，得到正态模型！
案例：二项分布适用范围
1.所有卖场销售数据：每天进场人数n不详，每天购买概率 P未知，但是每天销售数据nP已知，如何求解销售数据的 概率分布？
好又多家乐福沃尔马/苏宁国美/DELL/本田/万科 2.电子商务销售数据：已知点击人数n,购买率P，购买人数 np，求解分布-阿里巴巴/当当购物 3.网络邮箱/网络硬盘使用率：点击使用藤讯人数n,邮箱或 硬盘使用率P，使用人数nP， 藤讯QQ/网易/163/Hotmail/MSN/yahoo…. 4.饭店/酒店食物定购：真功夫/麦当劳/肯德基 5.自己开店：花店/电脑城/……如何进货销售曲线 注解：案例1+5属于n,p未知，案例2+3+4属于n,p已知
课件分布规律与上课指南：
1.离散分布之一：超几何与二项 2.离散分布之二：二项与泊松 小结：超几何转二项，二项转泊松正态 3.离散分布之三：四大分布数字特征 4.附录 注意1：附录三有各种分布的EXCEL求解公式 注意2：上课可以先将几个不重要的分布，在附 录1-退化/两点/0-1/均匀分布先简介30分钟， 再用90分钟讲解四大分布及其关系
案例：10产品，3-7+；100件，30-70+,任取3
无放回：X= 0
1
2
3
P(X=)=C73/C103 C31C72/C103 C32C71/C103 C33/C103
0.2917 0.525 0.175
0.0083
C703/C1003,C301C702/C1003,C302C701/C1003,C303/C1003
0 N
2
C
n N
Cn0P0qn , Cn1P1qn-1, Cn2P2qn-2 … CnkPkqn-k… CnnPnq0
0e−/0!, 1e − /1!，2e − /2 … ke−/k! … ne−/n!
超几何分布→二项15
0.1 0.05
5
10
15
20
一、超几何分布→二项分布：案例分析
例220 某商店根据过去的销售记录知道某种商品每月
的销售量可以用参数为10的泊松分布来描述 为了以95%
以上的概率保证不脱销 问商店在月底应存多少件该种商品
(设只在月底进货)？大卖场的顾客数n很大,买商品概率P很少
/多 解 设该商店每月销售该 商品的件数为X 月底存货为 a 则当Xa时就不会脱销 据 题意 要求a使得
§23 常用的离散型分布： 超几何分布→二项分布→泊松分布/正态分布
*六、超几何分布 * √四、二项分布
* √七、泊松(Poisson)分布
一、退化分布 二、两点分布 三、离散均匀分布 注解：凡是带有×可以不讲，√都是重点，*都是难点
*√本节重点难点：超几何分布的极限分布是二项分布，二 项分布的极限分布是 Poisson 分布
P{Xa}095 由于已知X服从参数为10的 泊松分布 上式即为 X=0, 1, 2,…14, 15, 16…a,…
P0P1P3… P14 P15 P16…Pa…
a 1 k e 1 0 0 . 9 0 5
k 0 k !
1 1 k e 4 1 0 . 0 9 0 0 . 9 1
k 0 k !
1，超几何分布：基本意义/期望方差/与二项 分布的关系 2，二项分布：基本意义/期望方差/与超几何 分布的关系 有放回抽样模型=重复抽样模型=二项分布 B(n,P),EXCEL:BINOMDIST(k,n,P,逻辑值) 不放回抽样模型=不重复抽样=超几何分布 H(n,N1,N), EXCEL:HYPGEOMDIST(k,n,N1,N)
结论：当n<<N(n<=0.05N)超几何分布→二项分布
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
1
2
3
4
0.5
0.45
0.4
0.35
0.3
超几何分布 0.25 二项分布 0.2
0.15
0.1
0.05
0
1
2
3
4
超几何分布 二项分布
10=3次+7正，任取3件， 有放回 无放回
100=30次+70正，任取3件， 有放回 无放回
理论基础
数据：N=总体个数，N1=总体中A的个数， n＝样本个数，k=样本中A的个数；
逼近关系：
N件产品，其中N1件次品 n<=0.05NN件产品，次品率N1/N
不放回抽n，其中次品k件
放回抽n，其中次品k件 n<<N
超几何分布
二项分布
Ex.案例：已知一麻袋种子，(共有100万颗，其中90万颗) 发育正常90%，今从其中任取10粒，求播种后(1)恰有8粒 (2)至少有8粒发芽的概率？(3)取1万颗，>8000发芽概率
X P
X= 0
三大分布的概率计算对比
x 1 p 1
x 2 p 2
x p k k P (X x k) p k,k 1 ,2 ,
1
2 …K
…. M
C
0 N
1C
n N
2
C
n N
C
1 N
1C
n 1 N2
C
n N
C
2 N
1C
n2 N2
C
n N
C C k n k
… N1 N 2
C
n N
…
C
n N
1C
1 1 k e 5 1 0 . 0 9 0 0 . 9 5
k 0 k ! 于是 这家商店只要在月底 保证存货不低于15件就能以 95%以上的概率保证下个月 该种商品不会脱销
销售数据
实际销售数据概率
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
销售累计概率=不脱销率 4.53999E-05 0.000453999 0.002269996 0.007566655 0.018916637 0.037833275 0.063055458 0.090079226 0.112599032 0.125110036 0.125110036 0.113736396 0.09478033 0.072907946 0.052077104 0.03471807 0.021698794 0.012763996
精品资料
你怎么称呼老师？ 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你 是否会认为老师的教学方法需要改进？ 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ 教师的教鞭 “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我 笨，没有学问无颜见爹娘 ……” “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
离散分布之一：超几何分布vs二项分布