2 控制系统的动态数学模型

的结果。 的结果 ∴ 可利用 L e ⋅ 1(t ) 的结果。
αt
Wang Yu
ห้องสมุดไป่ตู้
(
)
21
§2-3 拉氏变换及反变换
jωt − − jωt e e ⋅1(t ) = 1 1 − 1 L[sin ωt ⋅1(t )] = L s − jω s + jω 2j 2j
Wang Yu
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复习复变量和复变函数
例如： 例如：
G (s ) = s
2 2
其中 : s = σ + jω = r∠ϕ
2
s = r ∠ 2ϕ
jω
ϕ
jGy
G(s)平面
4
2ϕ
0
G
x
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§2-3 拉氏变换及反变换
一、拉氏变换定义： 拉氏变换定义： 对于函数 x t ，满足下列条件
()
2、 x (t ) e ∫
f (t ) Fii(t)
牛 第 定 ： F =M 顿 二 律∑ a
yo(t) 动 动动 动
工工
yo(t) k M f D
Wang Yu
4
f (t) Fii(t )
§2-1 基本环节的数学模型
2、无源电路网络
u
i
C i1(t) R1 uo i2(t) R2 i(t)
姆定律，有 根据基尔霍夫定律和欧 姆定律， (1) i1 (t ) + i2 (t ) = i (t ) ui (t ) = uo (t ) + R1i2 (t ) 1 ∫ i1 (t )dt = R1i2 (t ) c uo (t ) = R2 i (t )
Wang Yu
(n ) (n − 1 )
=
n ≥ m
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§2-2 数学模型的线性化
实际系统一般都有非线性现象： 如：
电机死区
放大器饱和
严格讲：所有系统都 是非线性的
齿轮间隙
Wang Yu
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§2-2 数学模型的线性化
尽管线性系统的理论已经相当成熟，但非线性系统的 尽管线性系统的理论已经相当成熟， 理论还远不完善。另外，迭加原理不适用于非线性系统， 理论还远不完善。另外，迭加原理不适用于非线性系统， 不适用 这给解非线性系统带来很大不便。 这给解非线性系统带来很大不便。故我们尽量对所研究的 系统进行线性化处理 然后用线性理论进行分析。 线性化处理， 系统进行线性化处理，然后用线性理论进行分析。 线性化条件： 线性化条件： 1. 非线性因素对系统影响很小； 2. 系统变量只发生微小偏移，可通过切线法进行线性 增量方程。 化，求其增量 增量 不是各个变量的绝对数量， 不是各个变量的绝对数量， 而是它们偏离平衡点的量
ui (t ) d [u A (t ) − uo (t )] duo (t ) 因此有 =C = −C R dt dt
整理得数学模型
Wang Yu
duo (t ) RC = −ui (t ) dt
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§2-1 基本环节的数学模型
电枢绕 电枢绕 组电阻 组电感 4、电枢控制式直流电动机 电机 转矩 电机输 出转角 电机及负载折 合到电机轴上 的转动惯量 电机及负载折合 到电机轴上的粘 性摩擦系数
∞ 0
− σt
dt < ∞，其中 σ — 正实数
象函数
Wang Yu
原函数
[t ]−1 复变量 量纲
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§2-3 拉氏变换及反变换
二、简单函数的拉氏变换 1. 单位阶跃函数
1(t )
,
0 1(t ) ∆ { 1
t<0 t >0
− st
1
0
t
L[1(t )] = ∫ 1(t ) e
∞ 0
1 − st ∞ 1 dt = − e = 0 s s
复数相乘（除）：积的幅值等于两个复数幅值的乘积 （商），相角等于两个复数相角的（差）如：
F1 = r1∠ ϕ 1 , F2 = r2 ∠ ϕ 2 ⇒ F = F1 / F2 = r1 / r2 ∠ (ϕ 1 − ϕ 2 )
复数分母有理化 分子和分母同时乘上分母的共轭复数。如：
4 + j 2 (4 + j 2)(2 − j 3) 8 − j12 + j 4 − j 2 6 14 − j8 = = = 2 2 2 2 + j 3 (2 + j 3)(2 − j 3) 2 −j 3 13
(2)
(3) (4)
( ( 并整理得到： 将 (2 )、3 )、4 )分别代入 (1 )，并整理得到： du o (t ) R 1 + R 2 du i (t ) R1C u o (t ) = R 1 C + + u i (t ) dt R2 dt
Wang Yu
5
§2-1 基本环节的数学模型
3、有源电路网络
其中： 其中： F (s ) =
F x+F
2
2 y
∠ F (s ) = arctan
F y F x
Wang Yu
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复习复变量和复变函数
复数相加（减）：两个复数的实部和虚部分别相加得和 （差）的实部和虚部。 如：
(2 + j 5) + (4 + j 7) = (2 + 4) + j (5 + 7) = 6 + j12
象函数 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 1 s 1 s -α
e
αt
⋅ 1 (t )
sin ω t ⋅ 1 (t ) cos ω t ⋅ 1 (t )
Wang Yu
2
22
§2-3 拉氏变换及反变换
4. 幂函数 t n ⋅ 1(t )
设Γ(α ) = ∫ xα −1e − x dx
0 ∞ n +1−1 − x 0 ∞
则Γ(n + 1) = ∫ x
n
e dx = ∫ x e dx = ∫ x n d (−e − x )
0 0 ∞ 0 ∞ 0
∞
n −x
Wang Yu
1
第二章 控制系统的动态数学模型
学习要点 ♀ 数学模型（微分方程）的建立及线性化
♀ 拉氏变换及反拉氏变换 ♀ 传递函数及典型环节的传递函数 ♀ 绘制实际物理系统的函数方块图
Wang Yu
2
第二章 控制系统的动态数学模型
建立控制系统的数学模型， 建立控制系统的数学模型，并在此基础上对控制系统进 行分析、综合，是控制工程的基本方法 基本方法。 行分析、综合，是控制工程的基本方法。
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Wang Yu
§2-3 拉氏变换及反变换
2. 指数函数
1
0
t
L
[e
αt
⋅ 1 (t ) =
]
∫ e
0
∞
αt
⋅1 (t ) e
− st
dt =
∫ e
0
∞
− ( s − α )t
dt
1 = − s−α
Wang Yu
e
− ( s − α )t
∞ 1 = 0 s−α
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§2-3 拉氏变换及反变换
3. 正弦函数
微分方程（时间域）
拉氏变换
代数方程（复数域） 方块图 传递函数 信号流图
Wang Yu
3
§2-1 基本环节的数学模型
1、质量-弹簧-阻尼系统
& fi (t) −ky (t) −D&o(t) = M&o(t) y y o 即 M&o(t) + D&o(t) +ky (t) = fi (t) ： & y y o
列写微分方程的一般步骤：
1. 将系统划分环节，确定各环节的输入及输出信号； 2. 根据物理定律或通过实验得出的物理规律列写各 环节的原始方程，并适当简化，线性化； 3. 将各环节方程式联立，消去中间变量，最后得到 只含有输入、输出变量以及参量的系统方程式。
单输入、单输出系统微分方程的一般形式：
& (t ) + L + a n − 1 x o (t ) + a n x o (t ) a 0 x o (t ) + a 1 x o (m ) (m − 1 ) & (t ) + L + b m − 1 x i (t ) + b m x i (t ) b 0 x i (t ) + b 1 x i 其中：
dt
+ mgl θ o (t ) = T i (t )
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§2-2 数学模型的线性化
线性化步骤： 线性化步骤：
找出静态工作点泰勒级数 在工作点附近展开成泰勒级数 略去高阶项， 略去高阶项，得到关于增量的线性化方程
Wang Yu
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§2-3 拉氏变换及反变换
—一种解线性微分方程的简便方法
是分析工程控制系统的基本数学方法
拉氏变换 时域微分方程 复变函数代数方程 拉氏反变换
Wang Yu
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复习复变量和复变函数
复数有实部和虚部，两部分都是常数。 复数 5 2 2 如： 2 + j5 = 2 + 5 ∠ arg tan 2 复变量指复数的实部或虚部中含有变量。 复变量 如： s = σ + jω 复变函数 F (s ) 是 s 的函数，也有实部和虚部。 如：F (s ) = F x + j F y = F (s ) ∠F (s )
i2(t) i1(t) R A B
+
u o ( t ) = K 0 [ u B ( t ) − u A ( t )] = − K 0 u A (t )