石家庄市2009~2010届下学期高三年级复习教学质检一参考答案

2009-2010学年度河北省唐山市高三年级摸底考试数学（文）试卷本试卷分第Ⅰ卷（1~2页，选择题）和第Ⅱ卷（3~8页，非选择题）两部分，共150分．考试用时120分钟．第Ⅰ卷 （选择题， 共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、试卷科目用铅笔涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

3．考试结束后，监考人员将本试卷和答题卡一并收回． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么)()()(B P A P B A P ⋅⋅如果事件A 在一次实验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率：k n k k n n P P C k P --⋅⋅=)1()(球的表面积公式24R S π= 其中R 表示球的半径 球的体积公式334R V π=其中R 表示球的半径 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1．已知全集},6,5,4,3,2,1{=U },5,3,1{M },6,5,4{N 则=⋂)(N C M U （ ）A ．}5,3,1{B ．}4,2{C ．}6,4,2{D ．}3,1{ 2．不等式0412>--x x 的解集是（ ） A ．),2(+∞ B ．),2()1,2(+∞⋃-C ．)1,2(-D ．),1()2,(+∞⋃--∞3．α为三角形的一个内角，125tan -=α，则=αcos （ ）A ．1312-B ．135-C ．135 D ．1312 4．l 、m 是异面直线，α、β为两个平面，若α⊂l ，β⊂m ，n =⋂βα，则（ ） A ．n 与l 、m 分别相交 B ．n l 、m 都不相交C ．n 至少与l 、m 中的一条相交D ．n 至多与l 、m 中的一条相交5．椭圆的长轴为21A A ，B 为短轴的一个端点，若∠021120=BA A ，则椭圆的离心率为（ ）A ．21B ．36 C ．33 D ．23 6．在nx )21(-展开式中，各项系数的和是（ ）A ．1B ．-1C ．n2 D ． 1或1 7．函数x x x f 2sin )2cos 1()(+=是（ ） A ．周期为2π的偶函数 B ．周期为π的偶函数C ．周期为2π的奇函数D ．周期为π的奇函数8．一个球的表面积等于π16，它的一个截面的半径为3，则球心到该截面的距离为（ ）A ．23B ．21 C ．1D ．39．抛物线x y 42=上点M 的横坐标为1，则点M 到该抛物线的焦点的距离为 （ ）A ．3B ．2C ．1.5D ．0.510．函数)(lg x f 的定义域是[0.1，100]，则函数)2(xf 的定义域是 （ ）A ．[0.2，200]B ．[-1，2]C ．[0.1，100]D ．[-2，4] 11．已知实数a 、b 满足1=+b a ，则ba22+的最小值是（ ）A ．2B ．4C ．22D ．2412．函数)(x f y =的反函数为)(1x f y -=，则)1(+=x f y 的图象与)1(1+=-x fy （ ）A ．关于直线x y =对称B ．关于直线1+=x y 对称C ．关于直线1-=x y 对称D ．关于直线1=x 对称第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中横线上． 13．n S 为等差数列}{n a 的前n 项和，115=a ，则9S = ． 14．直线)2(+=x k y 与圆4)2(22=+-y x 相切，则k = ．15．某产品的加工需要经过5道工序，其中某一工序不能放在最后加工，有 种排列加工顺序的方法．（用数字作答）16．已知二面角βα--l 的大小为0120，α∈A ，β∈B ，点A 、B 在l 上的射影为1A 、1B ，若21=AA ，41=BB ，10=AB ，则=11B A ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且3=a ，3222=-+bc cb ．（Ⅰ）求角A ； （Ⅱ）设54cos =B ，求边c 的大小． 18．（本小题满分12分）如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，1=AB ，21=AA ，N 是D A 1的中点，∈M 1BB ，异面直线MN 与A A 1所成的角为090．（Ⅰ）求证：点M 是1BB 的中点；（Ⅱ）求直线MN 与平面11A ADD 所成角的大小； （Ⅲ）求二面角1A MN A --的大小．19．（本小题满分12分）已知数列}{n a 中，已知11=a ，),3,2,1(221⋅⋅⋅=+=+n a nn a n n ． （Ⅰ）证明：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a n 是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ． 20．（本小题满分12分）箱子装有20个苹果，其中有16个是合格品，4个是次品，从箱子中任意抽取3个苹果．（Ⅰ）所抽取的3个苹果中没有次品的概率； （Ⅱ）所抽取的3个苹果中次品至多为2个的概率． 21．（本小题满分12分）已知函数d cx bx ax x f +++=23)(在)1,(-∞上单调递减，在（1，3）上单调递增，在),3(+∞上单调递减，且函数图象在))2(,2(f 处的切线与直线05=+y x 垂直． （Ⅰ）求实数a 、b 、c 的值；（Ⅱ）设函数)(x f 的一个极值是0，求d 的值． 22．（本小题满分12分）已知直线01=+-y kx 与双曲线1222=-y x 相交于两个不同点A 、B ． （Ⅰ）求k 的取值范围；（Ⅱ）若AB 的垂直平分线通过点)0,3(M ，求k 的值．。

高三数学参考答案1.ʌ答案ɔ㊀Cʌ解析ɔ㊀由图可知,阴影部分表示的集合的元素为集合A 中的元素扣掉集合A ɘB 的元素构成;而A =x -5ɤx ɤ1{},B =x x >-2{},故所求集合为x -5ɤx ɤ-2{},故选C .2.ʌ答案ɔ㊀D ʌ解析ɔ㊀依题意,P 163<X <175()=1-0.2ˑ2=0.6,故选D .3.ʌ答案ɔ㊀D ʌ解析ɔ㊀依题意,a =log 37=log 949,故a >b ;而a <2<c ,故b <a <c ,故选D .4.ʌ答案ɔ㊀C ʌ解析ɔ㊀直线l 过定点(0,2),而(0,2)又在圆C 上,而直线l 的斜率显然存在,故公共点的个数为2,故选C .5.ʌ答案ɔ㊀B ʌ解析ɔ㊀设数列{a n }的首项为a 1,公比为q ,则a 1q ㊃a 1q 2=2a 1,a 1q 3=2,又a 4+2a 7=52,所以a 1q 3+2a 1q 6=52,a 1q 3+2a 1q 6a 1q 3=54,q 3=18,q =12,a 1=16,S 5=16(1-125)1-12=31,故选B .6.ʌ答案ɔ㊀Bʌ解析ɔ㊀依题意,13㊃2π+18π+2π㊃18π()㊃h =104π3,解得h =4;四面体ABCD 的外接球即为圆台O 1O 2的外接球,设其半径为R ,OO 1=d ,则OO 2=4-d ,故R 2=2+d 2=18+4-d ()2,解得d =4,故R 2=18,故四面体ABCD 的外接球表面积为72π,故选B .7.ʌ答案ɔ㊀Aʌ解析ɔ㊀由图可知,AB =3π8,设A ,B 两点在曲线y =2sin x 中对应的点为Aᶄ,Bᶄ,易知AᶄBᶄ=3π4,故ω=2;而x 1-x 2的值不受φ的影响,故f x 1()=-f x 2()=-12,可简单化为2sin2x 1=-12,则sin2x 1=-14,cos2x 1=154,同理sin2x 2=14,cos2x 2=154,则cos(2x 1-2x 2)=cos2x 1cos2x 2+sin2x 1sin2x 2=154ˑ154-14ˑ14=78,故选A .8.ʌ答案ɔ㊀Aʌ解析ɔ㊀已知直线l :y =kx +43,设直线OM ,ON 的方程分别为y =k 1x ,y =k 2x ;记点1,1()到直线OM 的距离为r ,则k 1-11+k 21=r ,整理得1-r 2()k 21-2k 1+1-r 2=0,同理可得,1-r 2()k 22-2k 2+1-r 2=0,故k 1,k 2是方程1-r 2()x 2-2x +1-r 2=0的两根,故k 1k 2=1,设M x 1,y 1(),N x 2,y 2(),则y 1y 2x 1x 2=1,故y 1y 2=x 1x 2;联立y =kx +43,y 2=4x ,ìîíïïïï故3ky 2-12y +16=0,故y 1y 2=163k ,则x 1x 2=y 21y 2216=169k 2,故169k 2=163k,解得k =13,故选A .9.ʌ答案ɔ㊀BCʌ解析ɔ㊀依题意,x -3()2=-3,故x =3ʃ3i,则z 1,z 2是共轭复数,实部相同,虚部互为相反数,故A 错误,B 正确;而z 1=3ʃ3i =23,故C 正确;z 1+z 22-i=62-i =125+65i,故z 1+z 22-i 在复平面内所对应的点125,65()位于第一象限,故D 错误;故选BC .10.ʌ答案ɔ㊀BCDʌ解析ɔ㊀依题意,m ㊃n =b c tan A +b c tan B =13cos A ,则sin A cos A +sin B cos B =sin C3sin B cos A,由正弦定理,sin A +B ()cos A cos B =sin C3sin B cos A;因为sin A +B ()=sin π-C ()=sin C ,且sin C ʂ0,故3sin B =cos B ,故tan B =33,因为B ɪ0,π(),故B =π6,故A 错误;则R =b2sin B=4,故其外接圆面积为16π,故B 正确;而AM =3MC =3,记øBAC =øABM =θ,所以øBMC =2θ,AM =BM =3,MC =1,AC =4,在әABC 中,由正弦定理,BC sin θ=ACsinøABC,即BC =8sin θ,在әBMC 中,由余弦定理,BC 2=BM 2+CM 2-2BM ㊃CM ㊃cos2θ=10-6cos2θ,故64sin 2θ=10-6cos2θ,解得sin 2θ=113,因为θɪ0,π2(),则sin θ=1313,BC =8sin θ=81313,故C㊁D 正确;故选BCD .11.ʌ答案ɔ㊀ACDʌ解析ɔ㊀f f -2()[]=f 8()=-32,故A 正确;作出函数f x ()的图象如右图所示,观察可知,0<λ<4,而f λ()ɪ0,4(),故y =f x (),y =f λ()有3个交点,即函数g x ()有3个零点,故B 错误;由对称性,b +c =4,而a ɪlog 315,0(),故a +b +c ɪ4+log 315,4(),故C 正确;b ,c 是方程x 2-4x +λ=0的根,故bc =λ,令3-a -1=λ,则a =-log 31+λ(),故abc =-λlog 31+λ(),而y =λ,y =log 31+λ()均为正数且在0,4()上单调递增,故abc ɪ-4log 35,0(),故D 正确;故选ACD .12.ʌ答案ɔ㊀-30ʌ解析ɔ㊀要想产生y 2x ,则-x 2出1个,1㊀x3出2个,y 出2个,故所求系数为C 15㊃-1()㊃C 24=-30.13.ʌ答案ɔ㊀23ʌ解析ɔ㊀在AD 上取点G ,使得NG ʊAS ,由AM AB =DN DS,设AM =xAB ,DN =xSD ,其中0<x <1,由AB =AS =2,BC =4,SA ʅ平面ABCD ,可得SD =AS 2+AD 2=25,AM =2x ,DN =25x ,BM =2-2x ,因为NG ʊAS ,故NG ʅ平面ABCD ,在әASD 中,GN AS =DNSD,则GN =2x ,则әBCM 的面积为12BM ㊃BC =4-4x ,故V C -BMN =V N -BCM =831-x ()x ɤ23,当且仅当x =12时等号成立.14.ʌ答案ɔ㊀3ʌ解析ɔ㊀设椭圆的长半轴长为a 1,椭圆的离心率为e 1,则e 1=c a 1,a 1=ce 1,双曲线的实半轴长为a ,双曲线的离心率为e ,则e =c a ,a =ce,设MF 1=x ,MF 2=y (x >y >0),则4c 2=x 2+y 2-2xy cos60ʎ=x 2+y 2-xy ,当点M 被看作是椭圆上的点时,有4c 2=(x +y )2-3xy =4a 21-3xy ,当点M 被看作是双曲线上的点时,有4c 2=(x -y )2+xy =4a 2+xy ,两式联立消去xy 得4c 2=a 21+3a 2,即4c 2=c e 1()2+3c e()2,所以1e 1()2+31e()2=4,又1e 1=e ,所以e 2+3e2=4,整理得e 4-4e 2+3=0,解得e 2=3或e 2=1(舍去),所以e =3,即双曲线的离心率为3.15.(13分)ʌ解析ɔ㊀(1)依题意,f ᶄx ()=2x e x -2ax =2x e x -a (),故f ᶄ0()=0,(2分) 而f 0()=-2,故切点为0,-2(),(3分) 则所求切线方程为y =-2;(5分) (2)由(1)可知,f ᶄx ()=2x e x -e 2(),(6分) 当x ɪ1,2[)时,f ᶄx ()<0,函数f x ()在1,2[)上单调递减,(8分) 当x ɪ2,3(]时,f ᶄx ()>0,函数f x ()在2,3(]上单调递增,(10分) 而f 1()=-e 2,f 2()=-2e 2,f 3()=4e 3-9e 2,(12分) 故所求最大值为4e 3-9e 2,最小值为-2e 2.(13分) 16.(15分)ʌ解析ɔ㊀(1)法一:零假设H 0:不能认为学段与对增加体育运动时间的态度有关联; (1分)则χα=400ˑ160ˑ60-140ˑ40()2200ˑ200ˑ300ˑ100(3分)=163ʈ5.333<6.635,(5分) 故依据α=0.01的独立性检验,没有充足证据推断H 0不成立,因此可以认为H 0成立,即不能认为学段与对增加体育运动时间的态度有关联;(7分)法二:由题知,K 2=400ˑ160ˑ60-140ˑ40()2200ˑ200ˑ300ˑ100=163ʈ5.333<6.635,故没有99%的把握认为学段与对增加体育运动时间的态度有关联;(2)依题意,X ~B 4,34(),P X =0()=14()4=1256,(8分) P X =1()=C 1414()3ˑ34()=12256,(9分)P X =2()=C 2414()2ˑ34()2=54256,(10分)P X =3()=C 3414()ˑ34()3=108256,(11分) P X =4()=34()4=81256;(12分) 故X 的分布列为:X 01234P1256122565425610825681256(13分)则E X ()=4ˑ34=3.(15分)17.(15分)ʌ解析ɔ㊀(1)设BC 中点为E ,连接AE ;因为øCDA =øDCB =2øDCA =90ʎ,且AD =CE ,故四边形ADCE 为正方形;(1分) 而AC =22,AE =2,AB =22,所以BC 2=AB 2+AC 2,所以AB ʅAC ;(3分) 因为SA ʅ平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD ,所以SA ʅAC ;(4分) 又SA ,AB ⊂平面SAB ,SA ɘAB =A ,所以AC ʅ平面SAB ;(5分) 因为AC ⊂平面SAC ,故平面SAC ʅ平面SAB ;(6分) (2)以A 为坐标原点,AE ㊁AD ㊁AS 所在直线分别为x ㊁y ㊁z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ;设SA =a (a >0),则C (2,2,0),D (0,2,0),B (2,-2,0),S (0,0,a ),所以SD ң=(0,2,-a ),DC ң=(2,0,0),(8分) 设平面SCD 的法向量为n =(x ,y ,z ),则n ㊃SD ң=0,n ㊃DC ң=0.{即2y -az =0,2x =0,{(9分)令z =2,所以n =(0,a ,2);(10分)由(1)知,平面SAB 的法向量为AC ң=(2,2,0);(12分) 则1-306()2=66=|cos<AC ң,n >|=AC ң㊃n AC ңn=(2,2,0)㊃(0,a ,2)22㊃02+22+a 2,解得a =2=SA.(15分)18.(17分)ʌ解析ɔ㊀(1)依题意,2a =4,b -00-(-c )=b c=33,a 2=b 2+c 2,ìîíïïïïï(3分)联立三式,解得a 2=4,b 2=1,故椭圆C 的方程为x 24+y 2=1;(5分)(2)设M x 1,y 1(),N x 2,y 2(),则MF 2=x 1-3()2+y 1-0()2=x 1-3()2+1-x 214=2-32x 1,同理可得,NF 2=2-32x 2,(7分) 易知直线l 与单位圆相切,设切点为B ,MB =x 21+y 21-1=32x 1,同理可得,NB =32x 2,(8分) 故әF 2MN 的周长为2-32x 1+2-32x 2+32x 1+32x 2=4+32x 1+x 2-x 1-x 2();(9分) 当直线l 的斜率不存在时,l 的方程为x =1或x =-1,此时әF 2MN 的周长为4或4+23;(10分) 当直线l 的斜率存在时,设l 的方程为y =kx +m ,则原点到直线l 的距离d =m 1+k 2=1,故1+k 2=m 2,联立y =kx +m ,x 24+y 2=1,ìîíïïïï化简可得1+4k 2()x 2+8kmx +4m 2-4=0,故x 1+x 2=-8km 1+4k 2,x 1x 2=4m 2-41+4k 2,ìîíïïïïï易知x 1x 2=4m 2-41+4k 2=4k 21+4k 2>0,故x 1,x 2同号;(12分) 当x 1+x 2=-8km1+4k 2>0时,即km <0,此时点M 在y 轴右侧,所以x 1>0,x 2>0,此时әF 2MN 的周长为4+32x 1+x 2-x 1-x 2()=4为定值;(13分) 当x 1+x 2=-8km1+4k 2<0时,即km >0,此时点M 在y 轴左侧,所以x 1<0,x 2<0,此时әF 2MN 的周长为4+32x 1+x 2-x 1-x 2()=4-3x 1+x 2()=4+83km 1+4k 2=4+83km m 2+3k 2=4+83m k +3k m;因为km >0,故m k +3k m ȡ23,当且仅当m =62,k =22,ìîíïïïïïï或m =-62,k =-22,ìîíïïïïïï时取等号,从而4<4+83m k +3k mɤ8,故әF 2MN 的周长的取值范围为4,8(];(16分) 综上所述,әF 2MN 的周长的取值范围为4,8[].(17分)19.(17分)ʌ解析ɔ㊀(1)当n =1时,a 1=S 1=2;(1分) 当2ɤn ɤ100时,a n =S n -S n -1=n 2+n -n -1()2-n -1()=2n ;综上所述,数列a n {}的通项公式为a n =2n 1ɤn ɤ100();(3分) 该数列具有 和性质 ;(4分) (2)(ⅰ)依题意,∀k ȡ2,k ɪN ∗,∃p ,q ɪN ∗,使得a k =a p +a q ;因为1=a 1<a 2< <a n ,n ȡ2,所以a p ɤa k -1,a q ɤa k -1,所以a k =a p +a q ɤ2a k -1;(6分) 即a n ɤ2a n -1,a n -1ɤ2a n -2,a n -2ɤ2a n -3, ,a 3ɤ2a 2,a 2ɤ2a 1;(7分) 将上述不等式相加得a 2+ +a n -1+a n ɤ2(a 1+a 2+ +a n -1),则a n ɤ2a 1+a 2+ +a n -1;(8分)由于a 1=1,故2a n ɤ1+a 1+a 2+ +a n -1+a n =S n +1,即a n ɤS n +12;(10分)(ⅱ)因为数列a n {}具有 和性质 ,故a 2=2a 1=2,所以a n {}中的项均为整数;构造a n :1,2,3,6,9,18,36或者a n :1,2,4,5,9,18,36,这两个数列具有 和性质 ,此时S n =75;(11分) 下面证明S n 的最小值为75,即证不可能存在比75更小的S n ;假设S n ɤ75(存在性显然,因为满足S n ɤ75的数列a n {}只有有限个);第一步:首先说明有穷数列a n {}中至少有7个元素,设有穷数列a n {}中元素组合的集合为A ,由(2)可知a 2ɤ2a 1,a 3ɤ2a 2, ,又a 1=1,所以a 2ɤ2,a 3ɤ4,a 4ɤ8,a 5ɤ16,a 6ɤ32<36,所以n ȡ7;(13分) 第二步:证明a n -1=18,a n -2=9;若18ɪA ,设a t =18,因为a n =36=18+18,为了使得S n 最小,在数列a n {}中一定不含有a k ,使得18<a k <36,从而a n -1=18;假设18∉A ,根据 和性质 ,对a n =36,有a p ,a q ,使得a n =36=a p +a q ;显然a p ʂa q ,所以a n +a p +a q =36+36=72;而此时集合A 中至少还有4个不同于a n ,a p ,a q 的元素,从而S n >(a n +a p +a q )+4a 1=76,矛盾,所以18ɪA 且a n -1=18;同理可证:a n -2=9;(15分)根据 和性质 ,存在a p ㊁a q ,使得9=a p +a q ;我们需要考虑如下几种情形:①a p =8,a q =1,此时至少还需要一个大于等于4的a k ,才能得到8,则S >76;②a p =7,a q =2,此时至少还需要一个大于4的a k ,才能得到7,则S >76;③a p =6,a q =3,此时a n :1,2,3,6,9,18,36,S n =75;④a p =5,a q =4,此时a n :1,2,4,5,9,18,36,S n =75;综上所述,S n 的最小值为75.(17分)。

2010届高三数学(理)总复习单元测试卷(一)
集合与函数答卷
(满分150分，考试时间120分钟)
一、选择题(每小题5分，共60分)
二、填空题(每小题5分，共30分)
13.14.15.
16.17.18.
三、解答题(共4小题，总分60分)
19(本小题满分12分)．
已知log23＝a，2b＝5，求log615的值(用含a、b的式子表示)
已知函数f (x)在定义域(0，＋∞)上为增函数，满足f (xy)＝f (x)＋f (y)，且f (3)＝1 (1)求f (9)，f (27)的值；(2)解不等式f (x)＋f (x－8)＜2
如图，正方形ABCD的边长等于1，动点P从顶点A出发，依次经过顶点B、C、D沿正方形的边运动一周回到点A处。

记线段AP的长的平方
．．．．为y，点P运动的路程为x。

试确定y关于自变量x的函数解析式，并画出该函数的图象。

C P
已知函数f (x)自变量的取值区间为A，若其值域区间也为A，则称区间A为函数f (x)的保值区间。

(1)求函数f (x)＝x2形如[n，＋∞)(n∈R)的保值区间；
(2)函数g (x)＝|1－x2|是否存在形如[a，b] (a＜b)的保值区间？若存在，求出实数a、b的值，若不存在，请说明理由。

2022年石家庄市高中毕业班复习教学质量检测（二）高三数学（理科）（时间120分钟，满分150分）第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的两个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合{}{}211,|6M N x x x =-=-<，，则下列结论正确的是 A. N M ⊆ B. NM =∅ C. M N ⊆ D. MN R =2.已知i 是虚数单位，则复数()21-1i i+在复平面内对应的点在A.第一象限B. 其次象限C.第三象限D.第四象限 3.下列函数中，既是偶函数又在区间()0+∞，上单调递增的是A. 1y x =B. 1y x =-C. lg y x =D. ln 12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭4. 已知数列{}n a 满足21n n n a a a ++=-，且12=2=3a a ，，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2016S 的值为 A. 0 B. 2 C. 5 D. 65.设,m n 是两条不同的直线，αβγ，，是三个不同的平面，给出下列四个命题: ①若,//m n αα⊂，则//m n ； ②若//,//,m αββγα⊥，则m γ⊥； ③若=//n m n αβ，，则//m α且//m β；④若αγβγ⊥⊥，，则//αβ；其中真命题的个数是A. 0B. 1C. 2D. 36.执行如图所示的程序框图，则输出的实数m 的值为 A. 9 B. 10 C. 11 D. 127.已知,x y 满足约束条件1,1,49,3,x y x y x y ≥⎧⎪≥-⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，若24m ≤≤，则目标函数+z y mx =的最大值的变化范围是A. []1,3B. []4,6C. []4,9D. []5,98.一个三棱锥的正视图和俯视图如右图所示，则该三棱锥的侧视图可能为9.已知直线l 与双曲线22:2C x y -=的两条渐近线分别交于A,B 两点，若AB 的中点在该双曲线上，O 为坐标原点，则AOB ∆的面积为 A.12B. 1C. 2D. 4 10.设()1XN δ2，，其正态分布密度曲线如图所示，且(X 3)0.0228P ≥=，那么向正方形OABC 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估量值为附：（随机变量ξ听从正态分布()2Nμδ，，则()68.26%,P μδξμδ-<<+=()2295.44%)P μδξμδ-<<+=A. 6038B. 6587C. 7028D. 753911.设[],0αβπ∈，,且满足sin cos cos sin 1,αβαβ-=，则()()sin 2sin 2αβαβ-+-的取值范围为 A. -2,1⎡⎤⎣⎦ B. 2⎡⎣ C. []-1,1 D. 2⎡⎣12.已知函数()()()=,ln 24x aa x f x x eg x x e --+=+-，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x ，使()()00-3f x g x =成立，则实数a 的值为A. -ln21-B. -1+ln2C. -ln2D. ln 2第Ⅱ卷（非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.(12211x x dx --=⎰.14.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若=24,,n n S a n N *-∈，则n a = .15.已知向量,a b c ，满足=2==3a b a b ，若()()230c a b c --=2，则-b c 的最大值是 .16. 设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线交于A,B 两点，M 为抛物线C 的准线与x 轴的交点，若tan AMB 22∠=AB = . 17.（本小题满分12分）ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，且2cos +2.bc C c a =（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若BD 为AC 边上的中线，1129cos 72A BD ==，求ABC ∆的面积.18.（本小题满分12分）为了解某地区某种农产品的年产量x （单位：吨）对价格y （单位：千元/吨）和利润z 的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表：x 1 2 3 4 5 y 7.0 6.5 5.53.82.2（Ⅰ）求y 关于x 的线性回归方程y bx a =-；（Ⅱ）若每吨该农产品的成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，猜测当年产量为多少时，年利润z 取到最大值？（保留两位小数）参考公式：1122211()()()-()n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb a y b x x x xnx====---===--∑∑∑∑，19.（本小题满分12分）2的正方形，如图，在四棱锥中P ABCD -，底面ABCD 为边长为.PA BD ⊥（Ⅰ）求证：;PB PD =（Ⅱ）若E,F 分别为PC,AB 的中点，EF ⊥平面,PCD 求直线PD 与平面PCD 所成角v 的大小.20.（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>2()10M ，的直线l 交椭圆C 与A,B 两点，,MA MB λ=且当直线l 垂直于x 轴时，2AB =.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若1,22λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求弦长AB 的取值范围.21.（本小题满分12分） 已知函数()()31=,.4x f x x ax g x e e -+-=-（其中e 为自然对数的底数） （Ⅰ）若曲线()y f x =在()()00f ，处的切线与曲线()y g x =在()()00f ，处的切线相互垂直，求实数a 的值；（Ⅱ）设函数()()()()()()(),,,,f x f x g x h x g x f x g x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩争辩函数()h x 零点的个数.请考生在22~24三题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）[选修4—1，几何证明选讲] 交于如图，O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相 点P .（Ⅰ）若819PD CD PO ===，，，求O 的半径；（Ⅱ）若E 为上O 的一点，AE AC =,DE 交AB 于点F ，求证：.PF PO PA PB =23.（本小题满分10分）【选修4-4，坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为,23,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为4sin 2cos .ρθθ=-（Ⅰ）求直线l 的一般方程与曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与y 轴的交点为P ，直线l 与曲线C 的交点为A,B,求PA PB 的值.24.（本小题满分10分）【选修4-5，不等式选讲】 设()= 1.f x ax -，（Ⅰ）若()2f x ≤的解集为[]-6,2，求实数a 的值；（Ⅱ）当=2a 时，若存在x R ∈，使得不等式()()21173f x f x m +--≤-成立，求实数m 的取值范围.2022届质检二数学(理科)答案一、选择题1-5 BCBAB 6 -10 CDDCB 11-12 CA 二、填空题13.223π+ 14．12n n a +=1 16．8 三、解答题17.解: (1)a c C b 2cos 2=+,由正弦定理，得A C C B sin 2sin cos sin 2=+,--------------2分π=++C B AC B C B C B A sin cos cos sin )sin(sin +=+=∴……………………3分 )sin cos cos (sin 2sin cos sin 2C B C B C C B +=+C B C sin cos 2sin =由于π<<C 0，所以0sin ≠C ， 所以21cos =B , 由于π<<B 0，所以3π=B .-----------5分（2）法一：在三角形ABD 中，由余弦定理得2222cos 22b b c c A ⎛⎫=+-⋅ ⎪⎝⎭⎝⎭所以221291447b c bc =+-……（1）…………………7分 在三角形ABC 中，由正弦定理得sin sin c bC B=，由已知得sin 7A =所以sin sin()C A B =+sin cos cos sin A B A B =+=，…………………9分 所以57c b =……（2）………………………10分 由（1），（2）解得75b c =⎧⎨=⎩所以1sin 2ABCS bc A ==12分法二： 延长BD 到E ,DE BD =,连接AE , ABE ∆中，23BAE π∠=, 2222cos BE AB AE AB AE BAE =+-⋅⋅⋅∠由于AE BC =，22129c a a c =++⋅ (1)------------7分由已知得，43sin ,A =所以53sin sin()C A B =+=,…………………9分sin 5sin 8c ACB a BAC ∠==∠ (2)----------10分 由（1）（2）解得5,8c a ==,1sin 1032ABC S c a ABC ∆=⋅⋅∠=----------12分18.解：（1）3x =，5y = ，…………………2分5115ii x==∑ ，5125ii y==∑，5162.7i ii x y==∑52155ii x==∑，解得：ˆ 1.23b=-，ˆ8.69a = ………………4分 所以：ˆ8.69 1.23yx =-.…………………6分 （2）年利润(8.69 1.23)2z x x x =-- …………………8分21.23 6.69x x =-+…………………10分所以 2.72x =时，年利润最大.…………………12分 19. 解:（1）连接AC ，BD ，AC ，BD 交于点O ， 由于底面ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥且O 为BD 的中点. 又,,PA BD PA AC A ⊥⋂=所以⊥BD 平面PAC ， -------------2分 由于⊂PO 平面PAC ,故⊥BD PO .又DO BO =,故PD PB =. ---------------4分解法1：DFCPB EQzA y设PD 的中点为Q ,连接,AQ EQ ,EQ ∥=12CD , 所以AFEQ 为平行四边形，EF ∥AQ ， 由于⊥EF 平面PCD ，所以AQ ⊥平面PCD ，…………………5分所以AQ PD ⊥,PD 的中点为Q , 所以2AP AD ==.由AQ ⊥平面PCD ，又可得AQ CD ⊥，又AD CD ⊥，又AQ AD A ⋂=所以CD ⊥平面PAD所以CD PA ⊥,又BD PA ⊥,所以PA ⊥平面ABCD ……………………7分………………………（留意：没有证明出PA ⊥平面ABCD ，直接运用这一结论的，后续过程不给分） 由题意, ,,AB AP AD 两两垂直， ,以A 为坐标原点,向量 ,,AB AD AP 的方向为x 轴y 轴z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -,则 22(0,0,0),(2,0,0),(0,,),(0,2,0),(0,0,2)A B Q D P22(0,,),(2,0,2)22AQ PB ==-…………………9分 AQ 为平面PCD 的一个法向量.设直线PB 与平面PCD 所成角为θ，1sin 2||||PB AQ PB AQ θ⋅==⋅……………………11分所以直线PB 与平面PCD 所成角为6π.…………12分解法2：设PD 的中点为Q ,连接,AQ EQ ,则EQ ∥=12CD ,所以AFEQ 为平行四边形，EF ∥AQ ，由于⊥EF 平面PCD ，所以AQ ⊥平面PCD ，………………5分 所以AQ PD ⊥,PD 的中点为Q ,所以2AP AD ==同理AQ CD ⊥，又AD CD ⊥，又AQ AD A ⋂=所以CD ⊥平面PAD 所以CD PA ⊥,又BD PA ⊥,所以PA ⊥平面ABCD …………………7分连接AC 、BD ，设交点为O ，连接CQ ，设CQ 的中点为H ，连接OH ，则在三角形ACQ 中，OH ∥AQ ，所以OH ⊥平面PCD ， 又在三角形PBD 中，OQ ∥BP ，所以OQH ∠即为直线PB 与平面PCD 所成的角.………………………9分又12122OH AQ AD ===,122OQ PB ==, 所以在直角三角形OQH 中,1sin 2OH OQH OQ ∠==,…………………11分 所以030OQH ∠=,直线PB 与平面PCD 所成的角为030.…………………12分20解：（1）由已知：22e =，22c a ∴=，……………2分 又当直线垂直于x 轴时， 2AB =，所以椭圆过点2， 代入椭圆：221112a b+=， 在椭圆中知：222a b c =+,联立方程组可得：222,1a b ==，所以椭圆C 的方程为：2212x y +=.……………………4分 (2)当过点M 直线斜率为0时,点A 、B 分别为椭圆长轴的端点,||213222||21PA PB λ+===+>-或||211322||221PA PB λ-===-<+,不合题意. 所以直线的斜率不能为0. …………（没有此步骤，可扣1分）可设直线方程为：1x my =+ 1122(,),(,)A x y B x y ，将直线方程代入椭圆得:22(2)210m y my ++-=，由韦达定理可得：1221222(1)21(2)2m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，……………………6分将（1）式平方除以（2）式可得： 由已知MA MB λ=可知，12y y λ=-， 212221422y y m y y m ++=-+， 所以221422m m λλ--+=-+，……………………8分又知1,22λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，112,02λλ⎡⎤∴--+∈-⎢⎥⎣⎦， 2214022m m ∴-≤-≤+，解得：220,7m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.……………………10分2221222222121222(1)11(1)()48()8(1)22AB m y y m m y y y y m m =+-+⎡⎤=++-==-⎣⎦++220,7m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，2171,2162m ⎡⎤∴∈⎢⎥+⎣⎦，922,AB ⎡⎤∴∈⎢⎥⎦.…………………12分21.解析：(Ⅰ)由已知，2()2,()xf x x ag x e ''=-+=，………………1分 所以(0),(0)1f a g ''==，…………………2分 即1a =-…………………3分（Ⅱ）易知函数()xg x e e =-在R 上单调递增，仅在1x =处有一个零点，且1x <时，()0g x <…………………4分又2()3f x x a '=-+（1）当0a ≤时，()0f x '≤，()f x 在R 上单调递减，且过点1(0,)4-，3(1)04f a -=->， 即()f x 在0x ≤时必有一个零点，此时()y h x =有两个零点；…………………6分（2）当0a >时，令2()3=0f x x a '=-+，两根为120,033a a x x =-<=>， 则3a-是函数()f x 的一个微小值点，3a 是函数()f x 的一个极大值点，而3121()()()03334334a a a a a f a -=--+--=--<现在争辩极大值的状况：3121()()()3334334a a a a a f a =-+-=-…………………8分 当()03af <，即34a <时，函数()y f x =在(0,)+∞恒小于零，此时()y h x =有两个零点；当()03a f =，即34a =时，函数()y f x =在(0,)+∞有一个解0132a x ==，此时()y h x =有三个零点； 当()03af >，即34a >时，函数()y f x =在(0,)+∞有两个解，一个解小于3a ，一个解大于3a …………………10分若1(1)104f a =-+-<，即54a <时，()13af <，此时()y h x =有四个零点； 若1(1)104f a =-+-=，即54a =时，()13af =，此时()y h x =有三个零点； 若1(1)104f a =-+->，即54a >时，()13af >，此时()y h x =有两个零点。