对流占优扩散方程的差分法

摘要

对流占优扩散方程主要包含对流项和扩散项，其中对流项系数远远大于扩散项系数。在数值计算中，方程中的扩散项一般采用具有优良物理特性和计算精度的中心差分离散格式，而关于对流项的处理就稍显困难，若处理不当便会产生数值震荡或数值弥散，给数值计算带来困难。因此，需要对求解的方法做出改进。

本文主要讨论迎风差分格式，迎风加权差分格式，以及特征有限差分格式。三种方法都能够消除数值震荡，但各种方法间又各有差异。迎风格式计算量较小，能够消除数值震荡，但是数值解的精度不高。特征有限差分格式中含有多个未知的点，计算量特别大，从误差分析中可以看出，其数值解拥有较高的精度。迎风加权差分格式，是在迎风格式的基础上改进得到的，精度较高，其数值解不仅受到时间和空间步长的影响，还受到不同参数的影响。可以选取不同的参数是迎风加权格式的一个优点。

关键词：对流占优扩散方程；迎风格式；迎风加权差分格式；特征有限差分法

Abstract

Convection-dominated diffusion problems mainly contain convection and diffusion terms, which the convection coefficient is much larger than the diffusion coefficient. In the numerical calculation, diffusion terms in the equation commonly used central difference discretization scheme with excellent physical properties and calculation accuracy. However, the method of the convective terms slightly difficult. It would produce numerical shock or numerical dispersion if not handled properly. Therefore, we need to make some improvements.

This article focuses on upwind difference scheme, upstream weighted scheme, as well as characteristic finite difference method. The numerical oscillation can be eliminated by all three methods, but there are differences between each method. Upwind difference scheme has smaller amount of calculation, to eliminate the numerical oscillation, but the accuracy of numerical solution is not as good as we expect. Characteristic finite difference method which contains a number of unknown point, with a large amount of calculation, and we can see from the error analysis, the accuracy of numerical solution is much higher. Upstream weighted scheme, which improved based on upwind scheme, is not only influenced by the time and space step, but also affected by different parameter of . To choose a different parameter of is also an advantage of upstream weighted scheme.

Key Words: Convection-dominated diffusion problem; Upwind difference scheme; Upstream weighted scheme; Characteristic finite difference method

目录

1、绪论 (1)

1.1设计（论文）的背景及目的 (1)

1.2 国内外研究现状 (1)

1.3 论文主要研究内容 (2)

1.4 研究思路和方法 (3)

2、论文的预备知识 (4)

2.1 差分法简介 (4)

2.2 方法 (5)

2.3 差分格式的稳定性定理 (6)

3、含对流项的一维抛物型方程 (7)

3.1 中心差分格式的推导 (7)

3.2稳定性分析 (8)

3.3中心差分格式的缺陷 (10)

4、迎风格式 (11)

4.1 对流占优扩散方程的迎风差分格式 (11)

4.2迎风差分格式的稳定性分析 (13)

5、迎风加权差分格式 (14)

5.1加权差分格式的建立 (15)

5.2稳定性分析 (15)

6、特征有限差分法 (16)

6.1特征差分格式的建立 (17)

6.2双线性插值 (18)

7、数值算例 (19)

结论 (26)

谢辞 (27)

参考文献 (28)

附录 (29)

对流占优扩散方程的差分法

1、绪论

1.1设计（论文）的背景及目的

对流占优扩散方程是一类基本的运动方程，它可用于环境科学、能源开发、流体力学和电子科学等许多领域，对该方程数值计算方法的研究具有重要的理论和实际意义。对流扩散方程右端第一项为扩散项，左端第二项则是对流项。由于其方程本身的特点，给建立准确有效的数值求解方法带来一定的困难。对流和扩散给流体中由流体携带的某种物理量的变化过程，可以通过一个无量纲的特征参数(数)来描述。如果数较小，即对流效应相对较弱，这类问题中，扩散占主导地位，方程是椭圆型或抛物线型；如果数较大，即溶质分子的扩散相对于流体速度而言是缓慢的，这类问题中，对流占优，方程具有双曲型方程的特点。

该方程表征了流动系统的质量传递规律，求解此方程可得出浓度分布。此方程系通过对系统中某空间微元体进行物料衡算而得。对于双组分系统，A组分流入某微元体的量，加上在此微元体内因化学反应生成的量，减去其流出量,即为此微元体中组分A的积累量。考虑到组分A进入和离开微元体均由扩散和对流两种作用造成,而扩散通量是用斐克定律表述的。对流占优扩散方程具有一个共性，即对流占优性，由于对流项的存在给数值求解带来许多困难。因此，寻找一种有效数值解法一直是计算数学中重要研究内容。

本文考虑一维对流扩散方程。用通常的差分法进行求解可能会出现数值震荡，为克服数值震荡，需要对传统的差分方程改进，如迎风格式，迎风加权差分格式，特征有限差分方法等。本文将讨论上述三种解决对流占优问题的差分算法，说明每种算法的稳定性条件，收敛性等，并结合数值算例说明。

1.2 国内外研究现状

年代，和等提出特征修正技术求解对流占优扩散问题，与其他方法相结合，提出了特征有限差分方法、特征有限元方法、特征混合有限元方法等，并给出理论分析；提出过一种沿线方向附加人工黏性的间断有限元法，称为流线扩散方程（）。有限差分法、有限元法、有限体积法是工程应用中的主要方法。