江苏省靖江市新港城初级中学九年级数学下册导学案(无答案)5.3用待定系数法确定二次函数表达式

巧用二次函数表达式二次函数常见表达式有一般式（也称三点式）、配方式（也称顶点式）和两根式（也称交点式）三种，各种表达式要注意根据不同的条件灵活选用，以简化解题过程，提高解题能力．下面针对各种条件通常采用的表达式作一简单的归纳．一、如果已知的条件是二次函数的三组对应值，或者其图像经过三个一般的点，那么一般采用一般式y ＝2ax bx c ++（a ≠0）．例1 已知二次函数的图像经过点（1，2），（－1，－2），（0，3），求这个二次函数的表达式． 分析：因为已知的三点仅是一般的点，故设y ＝2ax bx c ++，则 223a b c a b c c ++=⎧⎪-+=-⎨⎪=⎩，解得323a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，故所求的二次函数表达式为y ＝2323x x -++．二、如果已知条件是二次函数的最大（小）值，或者是图像的顶点坐标，那么一般采用配方式y ＝()2a x m n -+（a ≠0）． 例2 已知二次函数的图像的顶点坐标为（2，－3），且经过点（0，2），求这个函数的表达式． 分析：因为图像的顶点为（2，－3），故可设其表达式为y ＝()223a x --，又经过点（0，3），故 3＝()2033a --，解得a ＝23， 所以y ＝()22333x --． 三、如果已知条件是二次函数图像与x 轴交点坐标，那么可采用两根式y ＝a （x －1x ）（x －2x ）（a ≠0）． 例3 已知二次函数的图像交x 轴于点（－2，0）和（6，0），且经过点（1，15），求它的表达式． 分析：这里1x ＝－2，2x ＝6，故可设y ＝a （x ＋2）（x －6），把x ＝1，y ＝15代入，得15＝a ×3×（－5），a ＝－1，故y ＝－（x ＋2）（x －6）．四、综合运用各种表达式，再利用比较系数法例４已知二次函数y ＝c bx ax ++2的图像的顶点为（2，－3），且在x 轴上截得的线段长为32，求a ，b ，c 的值．解法一 由已知，二次函数的解析式可化为y ＝3)2(2--x a ， 即y ＝2ax －４ax ＋４a －3，故224164(43)12b ac a a a a -=--=， 由3221=-x x 及求根公式，得3212=a a，解得a ＝1．故y ＝3)2(2--x ，即y ＝2x －４x ＋1，所以a ＝1，b ＝－４，c ＝1．解法二 设抛物线交x 轴于A 1212(0)(0)()x B x x x ，，，≤，则由AB ＝32得 3221-=-x x ， （1） 又对称轴为x ＝2，故2221=+x x ， （2）由（1）、（2）解得321-=x ，322+=x ，故可设y ＝(22a x x --，又抛物线经过（2，－3），故－3＝a )3(3-，a ＝1，所以y ＝)32)(32(--+-x x ，即y ＝2x －４x ＋1，所以a ＝1，b ＝－４，c ＝1．。

5.3 用待定系数法确定二次函数表达式教学目标：1．通过对用待定系数法求二次函数表达式的探究，掌握求二次函数表达式的方法；2．能灵活的根据条件恰当地选择表达式，体会二次函数表达式之间的转化；3．从学习过程中体会学习数学知识的价值，从而提高学习数学知识的兴趣．教学重点：会用待定系数法求二次函数的表达式．教学难点：会选用适当方法求二次函数的表达式．一、课前专训1．二次函数关系式有哪几种表达方式？2．还记得我们是怎样求一次函数和反比例函数的表达式吗？二、新知活动一：由一般式确定二次函数的表达式．例1：已知二次函数的图像经过点,求的值．例2：已知二次函数的图像经过点和,求的值．例3：已知二次函数的图像经过点和，求这个二次函数的表达式．归纳总结．求二次函数的表达式，关键是求出待定系数的值，由已知条件列出关于的方程或方程组，并求出就可以写出二次函数的表达式．要求：通过例题讲解，学生交流，学生讲解等方法让学生熟悉二次函数表达式的求法．总结方法时，让学生明确解题方法及规范解题过程．活动二：由顶点式确定二次函数的表达式．例4 已知抛物线的顶点为，与y轴交点为，求抛物线的表达式．方法一：设抛物线的表达式为，函数图像经过点，得．解得．所求的抛物线表达式为．方法二：由抛物线的顶点为，与y轴交点为，得解得．所求的抛物线表达式为．学生可能还会有不同于以上解法的其他解法，教师可给予鼓励．归纳总结．当给出的坐标或点中有顶点，可设顶点式，将h，k换为顶点坐标，再将另一点的坐标代入即可求出a的值．要求：1．使学生能够灵活的选择二次函数的表达式来求函数关系式．2．通过对比，让学生感受到适当选择函数表达式求解的便捷之处．3．总结方法，让学生明确解题方法及规范解题过程．三、小结：1．已知图像上三点的坐标或给定x与y的三对对应值，通常选择一般式．2．已知图像的顶点坐标，对称轴和最值，通常选择顶点式．确定二次函数的表达式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达方式．四、练习1、根据下列已知条件，选择合适的方法求二次函数的解析式：（1）．已知二次函数的图像经过点和，求这个二次函数的表达式．（2）．已知二次函数的图像经过原点，且当x＝1时，y有最小值－1，求这个二次函数的表达式．拓展延伸：如图所示，已知抛物线的对称轴是过（3，0）的直线，它与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A、C的坐标分别是（8，0）、（0，4），求这个抛物线的表达式。

课题：5.3用待定系数法确定二次函数表达式教学目标：1.掌握用待定系数法求二次函数表达式的基本方法和步骤.2.能灵活应用待定系数法求二次函数表达式.3.进一步了解掌握用待定系数法求函数表达式的数学模型. 学习过程：活动一：复习应用 1.前置练习 （1）已知正比例函数,y kx =当x=2时,y=-4.求此函数解析式.（2）已知反比例函数ky x=的图像经过点(1,3),求此函数解析式.（3）已知一次函数的图像经过点(1,1)和(2,0),求此函数解析式.2.应用练习1:根据下列条件，求二次函数解析式. (1)已知二次函数2y ax =的图像经过点（-2，8）.(2)已知二次函数2y ax c =+的图像经过点(-2,8)和(-1,5).(3)已知二次函数2y ax bx =+的图像经过点(-2,8)和(-1,5).活动二:问题探究1.问题1：已知二次函数的图像经过点A （1，0），B （-3，0），C （0，-3），求此函数解析式.小结：用待定系数法求函数表达式的一般步骤：问题变式:(1)已知二次函数当1x =-时y 有最小值-4,且其图像过点C （0，-3）.(2)已知二次函数当1x <-时y 随x 的增大而减小,当1x >-时y 随x 的增大而增大,且其图像过点(1,0)和(0,-3).(3) 已知二次函数的图像经过点A （1，0），B （-3，0），且函数有最小值-4.2.巩固练习2:根据下列条件,分别求对应的二次函数解析式. (1) )已知抛物线的顶点为(1,1),且过点(2,3).(2) 已知二次函数的图像经过点(2,5),(-4,5),且与x 轴交于点(1,0).3.应用练习3:编题:给出一定的条件,使求出的二次函数为243y x x =-+.4.问题2:已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 、B ，AB=2，与y 轴交于点C ，且3ABC S ∆=，对称轴为直线2x =，求抛物线对应的函数表达式.活动三:总结提炼小结:灵活求二次函数表达式的一般策略:小结:待定系数法求二次函数 表达式的数学模型:。

5.3用待定系数法确定二次函数表达式教学目标知识与技能：1.能根据已知条件选择合适的二次函数解析式；2.会用待定系数法求二次函数的解析式。

过程与方法：1.通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究,掌握求解析式的方法；2.能灵活的根据条件恰当地选取选择解析式，体会二次函数解析式之间的转化。

情感态度与价值观：从学习过程中体会学习函数知识的价值，从而提高学习函数知识的兴趣。

教学重点：让学生会用待定系数法求二次函数的关系式教学难点：1.点的坐标与式子的转化2.灵活选用二次函数的关系式的形式教学过程一、创设情境，导入新课1.问题：反比例函数的图像经过点（1,3），则这个函数的表达式为________.一次函数的图像经过点A（1,2），B（2,5），求一次函数的关系式.这种求函数关系式的方法是什么？2.揭示课题、学习目标二、自主学习，形成技能1基础训练①已知抛物线y=ax2+bx+c当x=1时，y=0，则a+b+c=_____经过点（-1,0），则___________经过点（0,-3），则__________经过对称轴为直线x=1，则___________②已知抛物线y=a（x+h）2+k顶点坐标是（-3,4），则h=_____,k=______，代入得y=______________ 对称轴为直线x=1，则___________代入得y=2.学生自学P21例1、2，完成类似练习练习1.已知二次函数y=ax 2的图像经过点（-3,18），求a 的值.2.已知二次函数y=ax 2+bx 的图像经过点（-2,8）和（-1,5），求这个二次函数的表达式.三、合作交流，拓展提高1.例题讲解，归纳解题步骤已知二次函数的的图像经过点（0,-3）、（-3,6）、（-2, -1）三点，求这个函数的表达式.2.一题多变，总结选择方法变式1：已知一个二次函数的图象过点（0, -3）、(-1,0）、（3,0） 三点，求这个函数的表达式.变式2：已知抛物线的顶点为（1，－4），且过点（0，－3），求抛物线的表达式.变式3：已知一个二次函数的图象过点（0,-3） （4,5） 对称轴为直线x=1，求这个函数的表达式.学生交流：与顶点坐标等价的表达形式还有哪些？总结选择方法四、小结反思，提升认知用待定系数法确定二次函数的表达式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达式.五、分层检测，享受成功（必做题）1.已知已知二次函数的的图像经过点（0,3）、（3,0）和（1, 4）三点，求这个函数的表达式.2.已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3），且图像过点（－3，－1），求这个二次函数的表达式．（选做题）3.如图所示，设二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴交与A 、B 两点，与y 轴交与 C 点，若AC=8，BC=6,∠ACB=90°,求这个二次函数的解析式.。