山东省枣庄市2018届高三数学上学期期中试题理2017121201101

2017-2018学年山东省烟台市高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合M={x|x2+x﹣12≤0}，N={y|y=3x，x≤1}，则集合{x|x∈M且x∉N}为（）A．（0，3] B．[﹣4，3] C．[﹣4，0）D．[﹣4，0]2．等差数列{an}中，a7+a9=16，a4=1，则a12=（）A．15 B．30 C．31 D．643．已知0＜c＜1，a＞b＞1，下列不等式成立的是（）A．ca＞cb B． C．bac＞abc D．logac＞logbc4．设函数f（x）=，已知曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为﹣2，则实数a的值为（）A．﹣1或﹣ B．﹣ C．﹣ D．1或﹣5．已知函数f（x）=sin2x的图象向左平移个单位后，得到函数y=g（x）的图象，下列关于y=g（x）的说法正确的是（）A．图象关于点（﹣，0）中心对称B．图象关于x=﹣轴对称C．图象关于点（﹣，0）中心对称D．图象关于x=﹣轴对称6．两个非零向量，b满足|+|=|﹣|=2||，则向量+与﹣夹角为（）A．B．C．D．7．函数f（x）=的图象可能是（）A．B．C．D．8．已知正数x，y满足，则z=（）x•（）y的最小值为（）A．1 B．C．D．9．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=，则cos（α﹣β）=（）A．1或B．﹣1或﹣C．D．﹣10．设函数f（x）=3cos x，若存在f（x）的非零极值点x0满足x02+f（x0）＜4m，则实数m的取值范围为（）A．（1，3）B．（2﹣，2+） C．（3，+∞）D．（2+，+∞）11．已知函数f（x）（x∈R）的图象关于点（1，1）对称，若函数y=﹣f（x）有四个零点x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=（）A．2 B．3 C．4 D．512．已知f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递减函数，f′（x）是其导函数，若＞x，则下列不等关系成立的是（）A．f（2）＜2f（1）B．3f（2）＞2f（3） C．ef（e）＜f（e2） D．ef（e2）＞f（e3）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知=（1，﹣1），=（t，1），若（+）∥（﹣），则实数t= ．14．已知x＞0，y＞0，且x+2y=2，若+＞m恒成立，则实数m的取值范围是．15．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=f（2﹣x），且当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣m，则f（2107）= ．16．在△ABC中，•=2，其面积为，则sin2A+sin2B的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（12分）已知m=（sinx，cos2x），=（cosx，1），x∈R，设f（x）=m•．（1）求f（x）的解析式及单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=2，f（A）=1，求△ABC面积的最大值．18．（12分）设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足an+1=，n∈N*，且a2，a5，a14构成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若对一切正整数n都有++…+＜，求实数a的最小值．19．（12分）某经销商计划经营一种商品，经市场调查发现，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克，1＜x≤12）满足：当1＜x≤4时，y=a（x﹣3）2+，（a，b为常数）；当4＜x≤12时，y=﹣100．已知当销售价格为2元/千克时，每日可售出该特产800千克；当销售价格为3元/千克时，每日可售出150千克．（1）求a，b的值，并确定y关于x的函数解析式；（2）若该商品的销售成本为1元/千克，试确定销售价格x的值，使店铺每日销售该特产所获利润f（x）最大．（≈2.65）20．（12分）已知函数f（x）=alnx+（a∈R）．（1）若f（x）在x=2处取得极小值，求a的值；（2）若f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围．21．（12分）已知a为实常数，函数f（x）=ex﹣ax﹣1（e为自然对数的底数）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若a≤1，函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．22．（10分）已知函数f（x）=|x﹣a|+（a≠0）．（1）若a=1，解关于x的不等式f（x）≥|x﹣2|；（2）若不等式f（x）﹣f（x+m）≤1恒成立，求正数m的最大值．2017-2018学年山东省烟台市高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．D ；2．A ；3．D ；4．B ；5．C ；6．D ；7．A ；8．D ；9．D ；10．A ；11．C ；12．C ；二、填空题：13.1- 14. 4m < 15.116.( 三、解答题：17.解：(1) 2()cos cos f x x x x =⋅+ -----------------------1分1cos 212sin(2)2262x x x π+=+=++ ---------------3分 令222262k x k πππππ-+≤+≤+ ------------------4分得,()36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈()f x ∴的单调递增区间为,,()36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦ ------------------6分 （2）由1()sin(2)162f A A π=++=,得1sin(2)62A π+= ------------------7分 又13(0,),2(,)666A A ππππ∈∴+∈ ----------------8分所以5266A ππ+=所以3A π=------------------9分2222cos a b c bc A =+-2242b c bc bc bc bc ∴=+-≥-= ------------------11分1sin 2ABC S bc A =≤∴ABC------------------12分18.解：（1）当2n ≥时，满足21441,n n s a n n N *+=--∈，且2144(1)1,n n s a n n N *-=---∈∴22114444n n n n n a s s a a -+=-=--， ----------------------1分∴2221=+44(2)n n n n a a a a ++=+，∵0n a >，∴12n n a a +=+， ------------------2分 ∴当2n ≥时，{}n a 是公差为2d =的等差数列． -----------------3分 ∵2a ，5a ，14a 构成等比数列，∴25214a a a =⋅，2222+6+24a a a =⋅（）（），解得2=3a ， ------------------4分 又由已知，当1n =时，2a =∴1=1a -----------------5分 ∵21-=3-1=2a a ，∴{}n a 是首项1=1a ，公差2d =的等差数列．∴数列{}n a 的通项公式21n a n =-． ------------------6分（2）由（1）可得式111111=-21)(21)22121n n a a n n n n +=-+-+（）（-------------8分 ∴12231111111+++=+++133521)(21)n n a a a a a a n n +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-+（111111111-+-+-++)2335572121n n ⎡⎤=⋅⋅⋅-⎢⎥-+⎣⎦（）（）（）（111(1)2212n =-<+ ----------------10分1728a∴≤ 解得47a ≥a ∴的最小值为47 ---------------12分19.解：（1）由题意：2x =时800y = ，∴800a b +=，又∵3x =时150y =，∴300b =,可得500a =, ----------------2分-----------------4分（2）由题意：分当14x <≤时，232()500(3)(1)300500350075004200f x x x x x x =--+=-+-，()500(35)(3)f x x x '=--，由()0f x '>得513x <<或34x <≤由()0f x '<得533x <<所以()f x 在5(1,),(3,4)3上是增函数，在5(,3)3上是减函数 ------------------7分 因为58000()450(4)180039f f =+<=所以4x =时，()f x 的最大值为1800 ------------------9分 当1412x <≤时，------------------10分当且仅当2800100x x =，即 5.3x =≈时取等号，∴ 5.3x =时有最大值1840． ------------------11分 ∵18001840<，∴当 5.3x =时()f x 有最大值1840，即当销售价格为5.3元的值，使店铺所获利润最大． -----------------12分20.解：（1),0(+∞． ------------------1分------------------3分 因为)(x f 在2x =处取得极小值 所以'(2)0f =即4420a a a +-+=解得29a = -----------------4分 经检验29a =时，)(x f 在2x =处取得极小值 ------------------5分（2）解法一:因为若()f x 存在单调递减区间，所以'()0f x <有正数解. ------------------6分即2(21)a x x x ++<有0x >的解 ------------------7分 即221x a x x <++有0x >的解 ------------------8分 问题等价于max 2(),021x a x x x <>++ ------------------9分 21112142x x x x x =≤++++当且仅当1x =取等号max 21()214∴=++x x x ------------------11分14a ∴< ------------------12分 解法二：因为2'2222(1)()(1)(1)a ax a x a f x x x x x +-+=-=++因为若()f x 存在单调递减区间，所以'()0f x <有正数解. ------------------6分 即2(21)0ax a x a +-+<有0x >的解 ------------------7分 当0a =时，明显成立 . ------------------8分②当0a <时，2(21)y ax a x a =+-+开口向下的抛物线， 2(21)0ax a x a +-+<总有0x >的解； ------------------9分③当0a >时，2(21)y ax a x a =+-+开口向上的抛物线， 只要方程22(1)0ax a x a +-+=有正根即可. 因为1210x x =>， 所以方程2(21)0ax a x a +-+=有两正根.1200x x ∆>⎧∴⎨+>⎩，解得 ------------------11分-------------12分 21. 解：（1）()f x '=x e a -． -----------------1分 当0a ≤时，()'f x ＞0，函数()f x 在(,)-∞+∞单调递增； ------------3分当0a >时，()f x '=x e a -，令()0f x '>，解得ln x a >；令()0f x '<，解得ln x a <． ∴函数()f x 的单调递增区间为(ln ,)a +∞，单调递减为(,ln )a -∞． --------5分综上可得：当0a ≤时，函数()f x 在(,)-∞+∞单调递增；当0a >时，函数()f x 的单调递减区间为(,ln )a -∞，单调递增区间为(ln ,)a +∞． --------------6分（2）由（1）知，当0a ≤时，函数()f x 在(,)-∞+∞上是增函数，不可能有两个零点， ------------------7分 当01a <≤时，函数()f x 的单调递减区间为(,ln )a -∞，单调递增区间为(ln ,)a +∞． 此时(ln )f a 为函数()f x 的最小值，令()(ln )ln 1,0==-->k a f a a a a a()1ln 1ln k a a a '=--=-令()0k x '>，得01a <<，∴函数()k a 的单调递增区间为(0,1)，且(1)0k =∴当(0,1)a ∈时，(ln )0<f a -----------------9分 令11()ln ()ln ,(0,1)m a a a a a a =--=+∈22111()0a m a a a a -'=-=<()m a ∴在(0,1)上单调递减()(1)0m a m ∴>>即当(0,1)a ∈时，1ln 0aa -<< ------------------10分 由于11()0,(0)0--=>=a f e f a ----------------11分 当(0,1)a ∈时，函数()f x 有两个零点 ----------------12分22.解：（1）不等式1122x x -+≥-等价于21122x x x ≥-+≥-⎧⎨⎩或121122x x x <<-+≥-⎧⎨⎩或11122x x x ≤-+≥-⎧⎨⎩ -----------------3分 解得54x ≥ ------------------5分 （2）解法一：()()f x m f x -+=1122x a x a m x a x a m m a a -+--+-≤--+-=--------------8分 ∵()()1f x f x m -+≤∴1m ≤，m 的最大值为1 ----------------10分 解法二：()()f x m f x -+=1122x a x a m x a x a m a a -+--+-=---+,22,,m x a m a m x a m x a m x a <-⎧⎪=---≤≤⎨⎪->⎩()()f x x f mm -∴+≤ ------------------8分 ∵()()1f x f x m -+≤∴1m≤，m 的最大值为1 ------------------10分。

2017-2018学年山东省潍坊市高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|x=2k﹣1，k∈Z}，B={x|≤0}，则A∩B=（）A． B．{﹣1，3} C．{﹣1，1} D．{﹣1，1，3}2．（5分）（2015•眉山模拟）若a、b、c为实数，则下列正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2C．若a＜b，则＞D．若a＞b＞0，则＞3．“直线x=2kπ（k∈Z）”是“函数f（x）=2sin（x+）图象的对称轴”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．设等差数列{a n}的前n项为S n，已知a1=﹣11，a3+a7=﹣6，当S n取最小值时，n=（）A．5 B．6 C．7 D．85．若函数f（x）=log a（x+b）（a＞0，a≠1）的大致图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的大致图象为（）A．B．C．D．6．△ABC中，∠C=90°，CA=CB=2，点M在边AB上，且满足=3，则•=（）A．B．1 C．2 D．7．已知函数f（x）=，若f（a）﹣f（﹣a）≤2f（1），则a的取值范围是（）A． C． D．8．已知函数f（x）=sin2x+cos2x﹣m在上有两个零点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，2）B． D．9．若实数x，y满足不等式组，且目标函数z=x﹣2y的最大值为1，则a=（）A．B．C．2 D．310．设函数y=f（x）在区间（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在区间（a，b）上的导函数为f″（x），若在区间（a，b）上f″（x）＞0，则称函数f（x）在区间（a，b）上为“凹函数”，已知f（x）=x5﹣mx4﹣2x2在区间（1，3）上为“凹函数”，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，）B． C．（﹣∞，﹣3] D．（﹣∞，5]二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．已知数列{a n}的前n项和S n=a n+，则{a n}的通项公式a n= ．12．已知向量，满足||=1，||=3，|2﹣|=，则与的夹角为．13．如图，长方形四个顶点为O（0，0），A（，0），B（，2），C（0，2），若幂函数y=f（x）图象经过点B，则图中阴影部分的面积为．14．某中学举行升旗仪式，如图所示，在坡度为15°的看台上，从正对旗杆的一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离AB=10m，则旗杆CD的高度为m．15．已知定义在R上的偶函数f（x）满足：f（x+2）=f（x）+f（1），且当x∈时，y=f（x）单调递减，给出以下四个：①f（1）=0；②直线x=﹣2为函数y=f（x）图象的一条对称轴；③函数y=f（x）在是单调递递增；④若方程f（x）=m在上的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣4．以上正确的是．（请把所有正确的序号都填上）三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答时写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，AC=AD=DE=2AB，且F是CD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；（Ⅱ）求证：平面BCE⊥平面CDE．17．已知函数f（x）=sinx•cos（x﹣）+cos2x﹣．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f（A）=，a=，S△ABC=，求b+c的值．18．已知a＞0，给出下列两个：p：函数f（x）=ln（x+1）﹣ln小于零恒成立；q：关于x的方程x2+（1﹣a）x+1=0，一个根在（0，1）上，另一个根在（1，2）上，若p∨q 为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．19．已知S n是等比数列{a n}的前n项和，a1＞0，S1，S2，S3成等差数列，16是a2和a8的等比中项．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若等差数列{b n}中，b1=1，前9项和等于27，令c n=2a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．20．某化工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂厂家的生产成本有以下三个方面：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的平均费用是每单位（x+﹣30）元（试剂的总产量为x单位，50≤x≤200）．（Ⅰ）把生产每单位试剂的成本表示为x的函数关系P（x），并求出P（x）的最小值；（Ⅱ）如果产品全部卖出，据测算销售额Q（x）（元）关于产量x（单位）的函数关系为Q（x）=1240x﹣x3，试问：当产量为多少时生产这批试剂的利润最高？21．已知函数f（x）=e x﹣1﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈（0，2]时，讨论函数F（x）=f（x）﹣xlnx零点的个数；（Ⅲ）若g（x）=ln（e x﹣1）﹣lnx，当a=1时，求证：f＜f（x）．2014-2015学年山东省潍坊市高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|x=2k﹣1，k∈Z}，B={x|≤0}，则A∩B=（）A． B．{﹣1，3} C．{﹣1，1} D．{﹣1，1，3}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出B中不等式的解集确定出B，由A为奇数集，求出A与B的交集即可．解答：解：由B中不等式变形得：（x+1）（x﹣3）≤0，且x﹣3≠0，解得：﹣1≤x＜3，即B=A．B．1 C．2 D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由•=（）•，再利用向量和的夹角等于45°，两个向量的数量积的定义，求出•的值．解答：解：由题意得 AB=2，△ABC是等腰直角三角形，•=（）•=0+=×=1．故选B．点评：本题考查两个向量的数量积的定义，注意向量和的夹角等于45°这一条件的运用．7．已知函数f（x）=，若f（a）﹣f（﹣a）≤2f（1），则a的取值范围是（）A． C． D．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：先求出f（1）的值，通过讨论a的范围，得到不等式，从而求出a的范围．解答：解：∵f（1）=﹣3，∴f（a）﹣f（﹣a）≤﹣6，a≥0时，﹣a2﹣2a﹣≤﹣6，整理得：a2+2a﹣3≥0，解得：a≥1，a＜0时，a2﹣2a﹣≤﹣6，整理得：a2﹣2a+3≤0，无解，故选：A．点评：本题考查了二次函数的性质，考查了分类讨论思想，是一道基础题．8．已知函数f（x）=sin2x+cos2x﹣m在上有两个零点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，2）B． D．考点：两角和与差的正弦函数；函数的零点．专题：三角函数的图像与性质．分析：由题意可知g（x）=sin2x+cos2x与直线y=m在上两个交点，数形结合可得m的取值范围．解答：解：由题意可得函数g（x）=2sin（2x+）与直线y=m在上两个交点．由于x∈，故2x+∈，故g（x）∈．令2x+=t，则t∈，函数y=h（t）=2sint 与直线y=m在上有两个交点，如图：要使的两个函数图形有两个交点必须使得1≤m＜2，故选B．点评：本题主要考查方程根的存在性及个数判断，两角和差的正弦公式，体现了转化与数形结合的数学思想，属于中档题．9．若实数x，y满足不等式组，且目标函数z=x﹣2y的最大值为1，则a=（）A．B．C．2 D．3考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由目标函数z=x﹣2y的最大值为1，确定约束条件中a的值即可．解答：解：约束条件为，由，解得A（2，）是最优解，直线x+2y﹣a=0过点A（2，），∴a=3，故选：D．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．10．设函数y=f（x）在区间（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在区间（a，b）上的导函数为f″（x），若在区间（a，b）上f″（x）＞0，则称函数f（x）在区间（a，b）上为“凹函数”，已知f（x）=x5﹣mx4﹣2x2在区间（1，3）上为“凹函数”，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，）B． C．（﹣∞，﹣3] D．（﹣∞，5]考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：本题根据二阶导数的定义及函数特征，研究原函数的二阶导数，求出m的取值范围，得到本题结论．解答：解：∵f（x）=x5﹣mx4﹣2x2，∴f′（x）=x4﹣mx3﹣4x，∴f″（x）=x3﹣mx2﹣4．∵f（x）=x5﹣mx4﹣2x2在区间（1，3）上为“凹函数”，∴f″（x）＞0．∴x3﹣mx2﹣4＞0，x∈（1，3）．∴，∵在（1，3）上单调递增，∴在（1，3）上满足：＞1﹣4=﹣3．∴m≤﹣3．故答案为：C．点评：本题考查了二阶导数和恒成立问题，本题难度不大，属于基础题．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．已知数列{a n}的前n项和S n=a n+，则{a n}的通项公式a n= ．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：首先利用数列的递推关系求出，然后利用相减法得到，进一步求得数列是等比数列，利用关系式直接求出结果．解答：解：已知数列{a n}的前n项和S n=a n+，①根据递推关系式：（n≥2）②所以：①﹣②得：整理得：数列{a n}是以a1为首项，公比为的等比数列．当n=1时，解得：a1=1所以：=故答案为：点评：本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，等比数列通项公式的求法．12．已知向量，满足||=1，||=3，|2﹣|=，则与的夹角为．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：设与的夹角为θ，则由题意可得 4﹣4+=10，求得cosθ的值，再结合θ∈时，y=f（x）单调递减，给出以下四个：①f（1）=0；②直线x=﹣2为函数y=f（x）图象的一条对称轴；③函数y=f（x）在是单调递递增；④若方程f（x）=m在上的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣4．以上正确的是①②④．（请把所有正确的序号都填上）考点：的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：①，令x=﹣1，即可得到f（1）=0；②，利用y=f（x）为周期为2的偶函数，即可得到f（﹣2﹣x）=f（2+x）=f（﹣2+x），从而可判断②；③，利用y=f（x）为周期为2的函数，及x∈时，y=f（x）单调递减，可判断函数y=f（x）在是单调递减函数，可判断③；④，由②知y=f（x）关于x=﹣2对称，从而可判断④．解答：解：对于①，∵f（x+2）=f（x）+f（1），∴f（﹣1+2）=f（﹣1）+f（1），∴f（﹣1）=0，又f（x）为偶函数，∴f（﹣1）=f（1）=0，故①正确；且当x∈时，y=f（x）单调递减，对于②，由①知f（1）=0，∴f（x+2）=f（x），∴y=f（x）为周期为2的偶函数，∴f（﹣2﹣x）=f（2+x）=f（﹣2+x），∴y=f（x）关于x=﹣2对称，故②正确；对于③，∵f（x+2）=f（x），∴y=f（x）为周期为2的函数，又x∈时，y=f（x）单调递减，∴函数y=f（x）在是单调递减函数，故③错误；对于④，∵偶函数y=f（x）在区间上单调递减，∴y=f（x）在区间上单调递增，又y=f（x）为周期为2的函数，∴y=f（x）在区间上单调递增，在区间上单调递减，又y=f（x）关于x=﹣2对称，∴当方程f（x）=m在上的两根为x1，x2时，x1+x2=﹣4，故④正确．综上所述，①②④正确．故答案为：①②④．点评：本题考查考查的真假判断与应用，注重考查函数的单调性、周期性、对称性及函数的零点，考查分析与综合应用能力，属于难题．三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答时写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，AC=AD=DE=2AB，且F是CD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；（Ⅱ）求证：平面BCE⊥平面CDE．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）取EC中点G，连BG，GF，证明四边形ABGF为平行四边形，可得AF∥BG，利用线面平行的判定定理，即可得出结论；（Ⅱ）证明BG⊥DE，BG⊥CD，可得BG⊥平面CDE，利用面面垂直的判定定理，即可得出结论解答：证明：（Ⅰ）取EC中点G，连BG，GF．∵F是CD的中点，∴FG∥DE，且FG=DE．又∵AB∥DE，且AB=DE．∴四边形ABGF为平行四边形．∴AF∥BG．又BG⊂平面BCE，AF⊄平面BCE．∴AF∥平面BCE．（Ⅱ）∵AB⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，∴AB⊥AF．∵AB∥DE，∴AF⊥DE．又∵△ACD为正三角形，∴AF⊥CD．∵BG∥AF，∴BG⊥DE，BG⊥CD．∵CD∩DE=D，∴BG⊥平面CDE．∵BG⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE．点评：本题考查线面平行，面面垂直，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．17．已知函数f（x）=sinx•cos（x﹣）+cos2x﹣．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f（A）=，a=，S△ABC=，求b+c的值．考点：余弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用．专题：综合题；解三角形．分析：（Ⅰ）先对函数解析式化简，利用三角函数的性质求得函数f（x）的单调递增区间．（Ⅱ）利用f（A）求得A，进而根据余弦定理构建b，c和a的关系，结合三角形的面积公式，即可求b+c的值．解答：解：（Ⅰ）解：f（x）=sinx（cosx+sinx）+cos2x﹣=sinxcosx+cos2x=sin（2x+）+由2x+∈（﹣+2kπ，+2kπ），可得函数f（x）的单调递增区间（﹣+kπ，+k π）（k∈Z）；（Ⅱ）由题意f（A）=sin（2A+）+=，化简得 sin（2A+）=，∵A∈（0，π），∴A=；在△ABC中，根据余弦定理，得a2=b2+c2﹣2bccos =（b+c）2﹣3bc=3，∵S△ABC==bc•，∴bc=2∴b+c=3．点评：本题主要考查三角函数恒等变换的运用，余弦定理及三角形的面积公式的基本知识．18．已知a＞0，给出下列两个：p：函数f（x）=ln（x+1）﹣ln小于零恒成立；q：关于x的方程x2+（1﹣a）x+1=0，一个根在（0，1）上，另一个根在（1，2）上，若p∨q 为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．考点：复合的真假．专题：函数的性质及应用；简易逻辑．分析：先根据对数函数的单调性，二次函数的最值以及二次函数的图象即可求出p，q下a 的取值范围，而根据p∨q为真名题，p∧q为假知p真q假，或p假q真，分别求出这两种情况下的a的取值范围再求并集即可．解答：解：由已知条件知ln（x+1）＜恒成立，即：恒成立，即：a在x∈（﹣1，2）上恒成立；函数在（﹣1，2）上的最大值为；∴；即p：a；设f（x）=x2+（1﹣a）x+1，则由q：，解得3；即q：3；若p∨q为真，p∧q为假，则p，q一真一假；①若p真q假，则：，∴；②若p假q真，则：，∴a∈∅；∴实数a的取值范围为．点评：考查对数函数的单调性，对数函数的定义域，以及配方法求二次函数的最值，二次函数的图象的运用，以及p∨q，p∧q真假和p，q真假的关系．19．已知S n是等比数列{a n}的前n项和，a1＞0，S1，S2，S3成等差数列，16是a2和a8的等比中项．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若等差数列{b n}中，b1=1，前9项和等于27，令c n=2a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．考点：数列的求和；等比数列的通项公式；等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）直接利用前n项和公式及等比中项求出数列的通项公式．（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论及等差数列的通项公式，进一步利用乘公比错位相减法求出新数列的前n项和．解答：解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，已知S n是等比数列{a n}的前n项和，a1＞0，S4，S2，S3成等差数列，则：2S2=S3+S4解得：q=﹣2或1（舍去）由于：16是a2和a8的等比中项解得：a1=1所以：（Ⅱ）等差数列{b n}中，设公差为d，b1=1，前9项和等于27．则：解得：d=所以：令c n=2a n b n==（n+1）（﹣2）n﹣1T n=c1+c2+…+c n﹣1+c n=2•（﹣2）0+3•（﹣2）1+…+（n+1）（﹣2）n﹣1①﹣2T n=2•（﹣2）1+3•（﹣2）2+…+（n+1）（﹣2）n②①﹣②得：3]﹣（n+1）（﹣2）n解得：点评：本题考查的知识要点：等比数列通项公式和前n项和公式，等差数列的通项公式和前n项和公式，利用乘公比错位相减法求数列的和及相关的运算问题20．某化工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂厂家的生产成本有以下三个方面：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的平均费用是每单位（x+﹣30）元（试剂的总产量为x单位，50≤x≤200）．（Ⅰ）把生产每单位试剂的成本表示为x的函数关系P（x），并求出P（x）的最小值；（Ⅱ）如果产品全部卖出，据测算销售额Q（x）（元）关于产量x（单位）的函数关系为Q（x）=1240x﹣x3，试问：当产量为多少时生产这批试剂的利润最高？考点：根据实际问题选择函数类型．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）根据生产这批试剂厂家的生产成本有三个方面，可得函数关系P（x），利用配方法求出P（x）的最小值；（Ⅱ）生产这批试剂的利润L（x）=1240x﹣x3﹣（x2+40x+8100），利用导数，可得结论．解答：解：（Ⅰ）P（x）=÷x=x++40，∵50≤x≤200，∴x=90时，P（x）的最小值为220元；（Ⅱ）生产这批试剂的利润L（x）=1240x﹣x3﹣（x2+40x+8100），∴L′（x）=1200﹣x2﹣2x=﹣（x+120）（x﹣100），∴50≤x＜100时，L′（x）＞0，100＜x≤200时，L′（x）＜0，∴x=100时，函数取得极大值，也是最大值，即产量为100单位时生产这批试剂的利润最高．点评：本题考查根据实际问题选择函数类型，考查配方法，考查导数知识的综合运用，属于中档题．21．已知函数f（x）=e x﹣1﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈（0，2]时，讨论函数F（x）=f（x）﹣xlnx零点的个数；（Ⅲ）若g（x）=ln（e x﹣1）﹣lnx，当a=1时，求证：f＜f（x）．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求函数f（x）=e x﹣x﹣1的单调递减区间，可以先求函数f（x）=e x﹣x﹣1的导函数，然后由导函数式小于零求出x的范围，从而得到函数的减区间．（Ⅱ）对F（x）=f（x）﹣xlnx进行化简，构造函数h（x）=﹣xlnx（x＞0），研究函数h（x）的单调性和最值，即可确定F（x）=f（x）﹣xlnx在定义域内是否存在零点；（Ⅲ）由（Ⅰ）知，当a=1时f（x）在（0，+∞）上单调递增，要证明f（g（x））＜f（x），只要证明g（x）＜x即可．解答：解：（Ⅰ）函数的定义域为（﹣∞，+∞），a=1时，f′（x）=（e x﹣x﹣1）′′=e x﹣1．由f′（x）＜0，得e x﹣1＜0，e x＜1，∴x＜0，所以函数的单调减区间为（﹣∞，0），单调增区间是（0，+∞）．（Ⅱ）函数F（x）=f（x）﹣xlnx的定义域为（0，+∞），由F（x）=0，得a=﹣lnx（x＞0），令h（x）=﹣lnx（x＞0），则h′（x）=，由于x＞0，e x﹣1＞0，可知当x＞1，h′（x）＞0；当0＜x＜1时，h′（x）＜0，故函数h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，2]上单调递增，故h（x）≥h（1）=e﹣1．又h（2）=当a=1时，对∀x＞0，有f（x）＞f（lna）=0，即e x﹣1＞x，即＞1，当e﹣1＜a＜＜e﹣1时，函数F（x）有两个不同的零点；当a=e﹣1或a=时，函数F（x）有且仅有一个零点；当a＜e﹣1或a＞时，函数F（x）没有零点．（Ⅲ）由（Ⅰ）知，当a=1时f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（0）=0；∴对x＞0时，有f（x）＞0，则e x﹣1＞x；故对任意x＞0，g（x）=ln（e x﹣1）﹣lnx＞0；所以，要证f＜f（x），只需证：∀x＞0，g（x）＜x；只需证：∀x＞0，ln（e x﹣1）﹣lnx＜x；即证：ln（e x﹣1）＜lnx+lne x；即证：∀x＞0xe x＞e x﹣1；所以，只要证：∀x＞0xe x﹣e x+1＞0；令H（x）=xe x﹣e x+1，则H′（x）=xe x＞0；故函数H（x）在（0，+∞）上单调递增；∴H（x）＞H（0）=0；∴对∀x＞0，xe x﹣e x+1＞0成立，即g（x）＜x，∴f＜f（x）．点评：本题以函数为载体，主要考查导数的几何意义，考查导数在研究函数的单调性和最值中的应用，考查恒成立问题的解决方法，属于中档题．。

山东省枣庄市2017-2018学年高一下学第一次模块考试（期中）数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知角α的终边经过点(),3,2-P 则αcos 的值是 （ ）A ．23B ．23-C ．13132D ．13132- 2.已知向量()()(),1,2,3,6,4,3+=-=-=m m 若,//则实数m 的值为（ ）A ．53B ．53- C ．3 D ．3- 3.=+-115tan 315tan 300（ ） A ．1- B ．33 C ．1 D ．3 4.已知⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈-=0,4,25242sin παα，则ααcos sin +等于（ ） A ．51- B ． 51 C.57- D ．57 5.已知,a b 满足：3,2,4,a b a b ==+= 则a b -= （ ）A ．3B ．5 C.3 D ．106.已知,2tan -=α则αααcos sin 52sin 412+的值为（ ） A ．251 B ．725 C.257 D ．1725 7.圆02:221=-+x y x O 和圆034:222=+-+y y x O 的位置关系是（ ）A ．外切B ．内切 C. 相交 D ．相离8.将函数()R x x x y ∈+=sin cos 3的图像向左平移()0>m m 个单位长度后，所得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ）A ．12πB ．6π C.3π D ．65π 9.已知点P 是圆()1322=+-y x 上的动点，则点P 到直线1+=x y 的距离的最小值是（ ）A ．3B ．22 C.122- D ．122+10.已知函数()()⎪⎭⎫ ⎝⎛<>>+=2,0,0sin πϕωϕωA x A x f 的部分图像如图所示，则函数()x f 的解析式为（ ）A ．()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=621sin 2πx x fB ．()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=621sin 2πx x f C. ()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=62sin 2πx x f D ．()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62sin 2πx x f11.已知向量,,,,a b a OA a b OB a b ==-=+ 若AOB ∆是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则AOB ∆的面积为（ ）A ．8B ．4 C. 2 D ．112.已知,a b 是关于x 的方程04cos sin 2=-+πθθx x 的两根，则过两点()()22,,,A a a B b b 的直线与圆心在原点的单位圆的位置关系是（ ）A ．相交B ．相离 C. 相切 D ．不能确定 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知,=+且,,AC a BD b == 用,a b 表示=AB ．14.向量()()2,3,1,a b m =-= ，若,a b 夹角为钝角，则实数m 的范围是 ．15.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆522=+y x 上有且仅有三个点到直线0512=+-c y x 的距离为1，则实数c 的值是 ．16.给出下列五个命题： ①函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32sin 2πx y 的一条对称轴是;125π=x ②函数x y tan =的图像关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2π对称； ③正弦函数在第一象限为增数； ④若⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-42sin 42sin 21ππx x ，则,21πk x x =-其中.Z k ∈ 以上四个命题中正确的有 ．（填写正确命题前面的序号）三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 设向量21,e e 的夹角为060且121,e e == 如果().3,82,212121e e D e e C e e B -=+=+= （1）证明：D B A ,,三点共线.（2）试确定实数k 的值，使k 的取值满足向量212e e +与向量21e k e +垂直.18.已知α为第三象限角,()()()().sin tan tan 23cos 2sin παπααπαππαα-----⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=f （1）化简()αf ；（2）若,5123cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πα求()αf 的值. 19.已知圆C 经过点()2,0A 和()2,2-B ,且圆心C 在直线01:=+-y x l 上.（1）求圆C 的方程；（2）若直线m 过点()4,1，且被圆C 截得的弦长为6，求直线m 的方程.20.已知函数()().,1cos sin cos 2R x x x x x f ∈+-=（1）求函数()x f 的单调递增区间；（2）将函数()x f y =的图像向左平移4π个单位后，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()x g y =的图像，求()x g 的最大值及取得最大值时的x 的集合.21.已知()()()().0sin ,cos ,2,0,0,2πααα<<C B A（17=（O 为坐标原点）.求与的夹角；（2）若⊥,求αtan 的值.22.已知圆(),44:22=-+y x M 点P 是直线02:=-y x l 上的一动点,过点P 作圆M 的切线PB PA ,,切点为A 、.B（Ⅰ） 当切线PA 的长度为32时，求点P 的坐标；（Ⅱ） 若PAM ∆的外接圆为N ，试问：当P 运动时，圆N 是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；（Ⅲ）求线段AB 长度的最小值.山东省枣庄市2017-2018学年高一下学第一次模块考试（期中）数学试题答案一、选择题1-5: CDCBD 6-10: ADBCD 11、12：CA二、填空题 13. ()-α21 14. 23,32-≠<m m 15. ()1513-± 16.①②三、解答题17.解：（1） 212155,e e e e +=+=+=∴5=∴即,共线，BD AB , 有公共点BD B A ,,∴三点共线.（2）()()21212e k e e e +⊥+ ()()121220e e e ke ∴+⋅+= 02222212121=+++e k e e e e k e,1==且012121cos 602e e e e ⋅== 0212=+++∴k k 解得45-=k 18.解: （1）()()()()παπααπαππαα-----⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=sin tan tan 23cos 2sin f ()()()()αααααsin tan tan sin cos ---= αcos -=（2）5123cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πα 51sin =-∴α从而51sin -=α 又α为第三象限角562sin 1cos 2-=--=∴αα 即()αf 的值为.562 19.（1） 解:设圆心的坐标为(),1,+t t则有()()(),3212222++-=-+t t t t 整理求得,3-=t故圆心为()(),251,2,3222=-+=--t t r 则圆的方程为()().252322=+++y x （2）当直线m 的斜率不存在时,方程为1=x ,被圆截得的弦长6162522=-⨯=d ,符合,当直线的斜率不存在时,设直线m 的方程为()14-=-x k y 整理得,04=+-y kx ,圆心到直线的距离为492514232=-=+-++-k kk ,求得.125=k 则直线的方程为,01243125=+-y x 综合知直线m 的方程为1=x 或.01243125=+-y x 20.解:（1） ()()2cos sin cos 1sin 2cos 22,4f x x x x x x x π⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭ 当()Z k k x k ∈+≤-≤-,224222πππππ即(),,838Z k k x k ∈+≤≤-ππππ 因此,函数()x f 的单调递增区间为().43,8Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ （2）由已知，(),4sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πx x g ∴当,14sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πx 即224πππ+=+k x ，也即()Z k k x ∈+=42ππ时，().2max =x g ∴当()()x g Z k k x x ,42⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=ππ的最大值为.2 21.解：（1） 由(),7sin ,cos 2=+=+αα(),7sin cos 222=++∴αα ,7sin cos cos 4422=+++∴ααα 化为,21cos =α又πα<<0，解得.3πα= ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴23,21,设与的夹角为[].,0,πθθ∈则,23cos ==θ .6πθ=∴即与的夹角为.6π （2）()().2sin ,cos ,sin ,2cos -=-=αααα,BC AC ⊥()()cos cos 2sin sin 212cos 2sin 0,AC BC αααααα∴⋅=-+-=--=,21sin cos =+∴αα 又,1cos sin 22=+αα,0πα<< 联立解得.471cos ,471sin -=+=αα .3747171cos sin tan +-=-+==∴ααα 22.解：（Ⅰ）由题意可知，圆M 的半径,2=r 设(),,2b b P因为PA 是圆M 的一条切线，所以,900=∠MAP所以()()44202222=+=-+-=AP AM b b MP ，解得0=b 或58=b 所以()0,0P 或⎪⎭⎫⎝⎛58,516P （Ⅱ）设()b b P ,2，因为090=∠MAP ,所以经过M P A ,,三点的圆N 以MP 为直径， 其方程为：()()444242222-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-b b b y b x 即()()044222=-+--+y y x b y x ，由⎩⎨⎧=-+=-+0404222y y x y x ，解得⎩⎨⎧==40y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==5458y x ，所以圆过定点()⎪⎭⎫ ⎝⎛54,58,4,0 （Ⅲ）因为圆N 方程为()()444242222-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-b b b y b x 即()044222=++--+b y b bx y x圆()44:22=-+y x M ，即012822=+-+y y x ②-①的圆M 方程与圆N 相交弦AB 所在直线方程为：()041242=-+-+b y b bx 点M 到直线AB 的距离168542+-=b b d相交弦长即：AB === 当54=b 时，AB 有最小值.11。

济南一中2017—2018学年度第一学期期中考试高三数学试题（理科）本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回． 注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试卷上．第I 卷(选择题 共75分)一、选择题（本大题共15 小题，每小题5 分，共75 分． ）1. 集合(){}lg 10M x x =-<，集合{}11N x x =-≤≤，则M N ⋂= A. ()0,1B. [)0,1C. []1,1-D. [)1,1-2．设(,3)a b x ==-r r ，且a b ⊥，则向量a b -r r 与向量b r夹角为A. 30oB. 60oC. 120oD.150o3.下列各式中错误的是A ． 330.80.7>B ． 0..50..5log 0.4log 0.6>C ． 0.10.10.750.75-<D ． lg1.6lg1.4>4．若cos sin 3θθ+=-，则cos(2)2πθ-的值为 A49 B 29 C 29- D 49- 5.已知函数()y f x =是奇函数，当0x >时，()lg f x x =，则1100f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭等于A. －lg2B.－1lg2 C ．lg2 D ．1lg26. 已知命题:p 对于x R ∈恒有222x x -+≥成立；命题:q 奇函数()f x 的图像必过原点，则下列结论正确的是（ ） A ．p q ∧为真 B ．()p q ⌝∨为真 C ．()q ⌝为假 D ． ()p q ∧⌝为真7．函数()xx x f 2log 12-=定义域为A. ()+∞,0B. ()+∞,1C. ()1,0D. ()()+∞,11,0Y 8.要得到函数的图像，只需将函数的图像A .向左平移12π个单位 B .向右平移12π个单位C .向左平移6π个单位 D .向右平移6π个单位0013xx x x =-9、若是方程2的解，则属于区间2A.,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ 12B.23⎛⎫ ⎪⎝⎭， 11C.32⎛⎫ ⎪⎝⎭，1D.3⎛⎫ ⎪⎝⎭0，10．函数2cos )(xxx f π=的图象大致是ABC D11．若圆O 的半径为3，直径AB 上一点D 使3AB AD =u u u r u u u r，E F 、为另一直径的两个端点，则DE DF ⋅=u u u r u u u rA.3-B.4-C. 8-D. 6-yO 12 3 1- 2-3- x 121-2-3yO12 3 1- 2- 3- x 121-2-3yO12 3 1- 2-3- x 121- 2-33- x O 12 3 1- 2-121- 2-3y12．下列四个结论中正确的个数是(1) 2"20"x x +->是"1"x >的充分不必要条件；(2)命题：",sin 1"x R x ∀∈≤的否定是00",sin 1"x R x ∀∈>；(3)"若4x π=则tan 1"x =的逆命题为真命题；(4)若()f x 是R 上的奇函数，则32(log 2)(log 3)0f f +=A ． 0 B. 1 C. 2 D.313.()cos()f x A x ωϕ=+(0,0,0)A ωϕπ>><<为奇函数，该函数的部分图象如图所示，EFG ∆是边长为2的等边三角形，则(1)f 的值为A ．32-B ．62-C 3D ．3-14. 在ABC V 中，,P Q 分别是,AB BC 的三等分点，且1,3AP AB =1,3BQ BC =若,AB a AC b ==u u u r r u u u r r ，则PQ =uuu rA. 1133a b -r rB. 1133a b -+r rC. 1133a b +r rD.1133a b --r r15(),(1)2,,()2,()24f x R f x R f x f x x '-=∈>>+、函数定义域为对任意则的解集为A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 16．若ABC ∆的面积S=2221)4b c a +-（，则A =17． 已知sin π 0()(-1)+1 >0x x f x f x x ≤⎧=⎨⎩，则5()6f 的值为323y x P αα=-+18、设点P 是曲线上的任意一点，点处切线倾斜角为，则角的取值范围是____19．已知||||||2a b a b ==-=r r r r ，则|32|a b -r r= . 20. 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2(－2≤x <0)2cos x (0≤x ≤π2)的图象与x 轴所围成的图形面积S______三、解答题（本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤）21.（本题满分12分）已知函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=3cos 3cos sin 3)(πωπωωx x x x f ，R x ∈，（其中0>ω）． （1）求函数)(x f 的值域；（2）若函数)(x f 的最小正周期为2π，则当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，求)(x f 的单调递减区间．22.（本题满分12分）设函数2()ln(23)f x x x =++ （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）求()f x 在区间3144⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的最大值和最小值．43.（本题满分12分）在△ABC 中a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，.0),cos ,(cos ),,2(=⋅=+=C B b c a 且（1）求角B 的大小；（2）设()2sin cos cos()2,2f x x x A C x =+-()f x 求的最小正周期及()f x 取得最大值时的x 的值.24.（本题满分14分）已知函数()x f x e ax a =--（其中,a R e ∈是自然对数的底数，2.71828e =…）.（I ）当a e =时，求函数()f x 的极值； （II ）当01a ≤≤时，求证()0f x ≥；（III ）求证：对任意正整数n ，都有2111111222n e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.济南一中2017—2018学年度第一学期期中考试高三数学试题（理科）答案二、选择题（本大题共15 小题，每小题5 分，共75 分． ）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）16．4π 17. 1218.203πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭，，2 19. 4 三、解答题（本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤）21. [解]（1）⎪⎭⎫⎝⎛+=+=6sin 2cos sin 3)(πωωωx x x x f ∴)(x f 的值域为]2,2[-（2）∵)(x f 的最小正周期为2π，∴22πωπ=，即4=ω ∴)64sin(2)(π+=x x f ∵]2,0[π∈x ，∴]613,6[64πππ∈+x ∵)(x f 递减，∴]23,2[64πππ∈+x 由23642πππ≤+≤x ，得到312ππ≤≤x ，∴)(x f 单调递减区间为]3,12[ππ22. 解：()f x 的定义域为32⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∞． （Ⅰ）224622(21)(1)()2232323x x x x f x x x x x ++++'=+==+++．当312x -<<-时，()0f x '>； 当112x -<<-时，()0f x '<；当12x >-时，()0f x '>．从而，()f x 分别在区间312⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，12⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∞单调增加， 在区间112⎛⎫-- ⎪⎝⎭，单调减少．（Ⅱ）由（Ⅰ）知()f x 在区间3144⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的最小值为11ln 224f ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭．又31397131149ln ln ln 1ln 442162167226f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+--=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭0<． 所以()f x 在区间3144⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的最大值为117ln 4162f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 23.解：（1）由0cos cos )2(,0=++=⋅C b B c a n m0cos cos cos 2=++∴c b B c B a由正弦定理，得0sin cos cos sin cos sin 2=++B C B C B A即0)sin(cos sin 2=++B C B A 0)1cos 2(sin =+∴B A在0sin ,≠∆A ABC 中01cos 2=+∴B .32π=∴B （2）因为,32π=B 3π=+∴C A )32sin(2cos 232sin 21)(π-=-=∴x x x x f ()f x π∴的周期为 ，22,32x k k Z πππ-=+∈令，得125ππ+=k x （k Z ∈）即当时125ππ+=k x （k ∈Z ）时)(x f 取最大值 24.。