高中数学第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念教学案新人教A版必修

2.1 平面向量的实际背景及基本概念[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P74～P76的内容，回答下列问题．(1)我们在物理中学习了位移、速度、力等，这些量与我们日常生活中的年龄、身高、体重、面积、体积等有什么区别？提示：位移、速度、力是既有大小又有方向的量，而年龄、身高、体重、面积、体积等只有大小，没有方向．(2)对既有大小，又有方向的量，如何形象、直观地表示出来？提示：用有向线段．(3)若向量a与向量b相等，则它们应具备什么条件？提示：长度相等且方向相同．2．归纳总结，核心必记(1)向量的概念数学中，我们把像力、位移等这种既有大小，又有方向的量叫做向量．(2)有向线段带有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度．(3)向量的表示方法①向量可以用有向线段表示．向量的大小，也就是向量的长度(或称模)，记作||．②用字母表示向量：通常在印刷时，用黑体小写字母a，b，c，…表示向量，在手写时用带箭头的小写字母，，…表示向量．也可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如，，.(4)几种特殊的向量①零向量：长度为0的向量，叫做零向量，记作0.②单位向量：长度等于1个单位的向量叫做单位向量．③相等向量：长度相等且方向相同的向量，叫做相等向量．④平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，如果向量a和b平行，记作a∥b；规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a．[问题思考](1)两个向量能比较大小吗？提示：不能．因为向量是具有方向的量．(2)向量就是有向线段，这种说法对吗？提示：不对，向量与有向线段是两个不同的概念，可以用有向线段表示向量．(3)“若a∥b，且b∥c，则a∥c”这个说法对吗？提示：不对，若b＝0，则a、c均可以是任意向量，所以a、c不一定平行．平面几何中平行的传递性：a∥b，且b∥c，则a∥c，在向量的平行中并不适用．解题时我们也要充分考虑0的特殊性．[课前反思](1)向量的概念：；(2)有向线段：；(3)向量的表示方法：；(4)零向量：；(5)单位向量：；(6)相等向量：；(7)平行向量(共线向量)：．讲一讲1．下列说法正确的有________．(填序号)①若|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；②若|a|＝|b|，且a与b的方向相同，则a＝b；③由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行；④向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反；⑤起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．[尝试解答] ①不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们方向的关系．②正确．因为|a|＝|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得a＝b.③不正确．依据规定：0与任一向量平行．④不正确．因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定．⑤正确．对于一个向量只要不改变其大小与方向，是可以任意移动的．答案：②⑤解决与向量概念有关问题的方法解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心——方向和长度，如：共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制；相等向量的核心是方向相同且长度相等；单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；零向量的核心是方向没有限制，长度是0；规定零向量与任一向量共线．只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题．练一练1．下列说法错误的有________．(填上你认为所有符合的序号)(1)两个单位向量不可能平行；(2)两个非零向量平行，则它们所在直线平行；(3)当两个向量a，b共线且方向相同时，若|a|＞|b|，则a＞b.解析：(1)错误，单位向量也可以平行；(2)错误，两个非零向量平行，则它们所在直线还可能重合；(3)错误，两个向量是不能比较大小的，只有模可以比较大小．答案：(1)(2)(3)讲一讲2．(1)如图，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点，可以写出________个向量．(2)在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：①，使||＝42，点A在点O北偏东45°；②，使||＝4，点B在点A正东；③，使||＝6，点C在点B北偏东30°.[尝试解答](1)由向量的几何表示可知，可以写出12个向量，它们分别是(2)①由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又||＝42，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量如图所示．②由于点B在点A正东方向处，且||＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量如图所示．③由于点C在点B北偏东30°处，且||＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C 距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量如图所示．答案：(1)12用有向线段表示向量的方法用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点．必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向(即夹角)或长度(即模)，选择合适的比例关系作出向量．练一练2．一辆汽车从A出发向西行驶了100 km到达B点，然后改变方向向西偏北50°走了200 km到达C点，又改变方向，向东行驶了100 km到达D点．(1)作出向量；(2)求||.解：(1)向量如图所示．(2)由题意，易知方向相反，故共线．所以在四边形ABCD中，AB綊CD，所以四边形ABCD为平行四边形，[思考1] 两个向量相等的条件是什么？提示：方向相同，模相等．[思考2] 两个向量共线的条件是什么？名师指津：两个非零向量的方向相同或相反，则这两个向量为平行向量，也叫做共线向量.0与任意向量共线．讲一讲3．如图所示，四边形ABCD与ABDE是平行四边形．(1)找出与向量共线的向量；(2)找出与向量相等的向量．[尝试解答] (1)依据图形可知方向相同，方向相反，所以与向量共线的向量为(2)由四边形ABCD与ABDE是平行四边形，知与长度相等且方向相同，所以与向量相等的向量为寻找共线向量或相等向量的方法(1)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．(2)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是与已知向量方向相同的向量．练一练3．如图，△ABC 和△A′B′C′是在各边的13处相交的两个全等的等边三角形，设△ABC的边长为a ，图中列出了长度均为a3的若干个向量，则(1)与向量相等的向量有________；(2)与向量共线，且模相等的向量有________； (3)与向量共线，且模相等的向量有________．解析：向量相等⇔向量方向相同且模相等． 向量共线⇔表示有向线段所在的直线平行或重合．——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是向量的概念、向量的表示方法及几种特殊的向量，难点是几种特殊向量的概念及应用．2．要重点掌握向量的三个问题 (1)向量有关概念的辨析，见讲1； (2)向量的表示，见讲2；(3)相等向量与共线向量的应用，见讲3. 3．本节课要注意两个区别 (1)向量与数量①数量只有大小没有方向，向量既有大小又有方向． ②数量可以比较大小，向量不能比较大小． (2)向量与有向线段①区别：从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向和长度三个要素，因此它们是两个不同的量．在空间中，有向线段是固定的，而向量是可以自由移动的．②联系：向量可以用有向线段表示，但并不能说向量就是有向线段．课下能力提升(十三)[学业水平达标练]题组1 向量的有关概念1．有下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥功．其中，不是向量的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4解析：选C 因为速度、力和加速度既有大小，又有方向，所以它们是向量；而质量、路程和功只有大小，没有方向，所以它们不是向量，故不是向量的个数是3.2．给出下列四个命题：①时间、速度、距离都是向量；②向量的模是一个正实数；③所有的单位向量都相等；④共线向量一定在同一直线上．其中正确的命题有( ) A．3个 B．2个 C．1个 D．0个解析：选D 时间、距离不是向量；向量的模可以是0；单位向量的模相等，方向不一定相同；平行向量也叫做共线向量，可以不在同一直线上．所以四个命题都不正确．3．下列说法中，不正确的是( )A．零向量没有方向B．零向量只与零向量相等C．零向量的模为0D．零向量与任何向量都共线解析：选A 零向量的方向是任意的．题组2 向量的表示4．一个人先向东行进了5千米，而后又向西行进了3千米，那么这个人总共( ) A．向东行进了8千米 B．向东行进了2千米C．向东行进了5千米 D．向西行进了3千米解析：选B记向东方向为正，则向东行进了5千米为＋5千米，向西行进了3千米为－3千米，则＋5＋(－3)＝＋2，表示向东行进了2千米．5．如图，在矩形ABCD中，可以用一条有向线段表示的向量是( )解析：选B 方向相同且大小相等，是相等向量，故可以用一条有向线段表示．6．在如图的方格纸中，画出下列向量．(1)||＝3，点A在点O的正西方向；(2)| |＝32，点B在点O北偏西45°方向；(3)求出||的值．解：取每个方格的单位长为1，依题意，结合向量的表示可知，(1)(2)的向量如图所示．(3)由图知，△AOB是等腰直角三角形，所以||＝题组3 相等向量与共线向量7．在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则如图所示的向量中，相等向量有( )A．一组 B．二组 C．三组 D．四组解析：选A 由向量相等的定义可知，只有一组向量相等，即8．如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A，B，C，D，E，F，O中的任意一点为起点，与起点不同的另一点为终点的所有向量中，与向量共线的向量共有( )A．2个 B．3个 C．6个 D．9个解析：选D与向量共线的向量有共9个．9．已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝________．解析：∵A，B，C不共线，∴与不共线，又∵m与，都共线，∴m＝0.答案：010．如图，O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED、OCFB都是正方形．在图中所示的向量中，(1)分别写出与相等的向量；(2)写出与共线的向量；(3)写出与模相等的向量．[能力提升综合练]1．如图所示，在正三角形ABC中，P、Q、R分别是AB、BC、AC的中点，则与向量相等的向量是( )解析：选B 向量相等要求模相等，方向相同，因此与都是和相等的向量．2．设四边形ABCD中，有则这个四边形是( )A ．平行四边形B ．矩形C ．等腰梯形D ．菱形 解析：选C则DC∥AB，且DC 与AB 不相等，所以四边形ABCD 是梯形，又则梯形的两腰相等．3．如图所示，梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在两腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF∥AB，则下列等式成立的是( )解析：选D 根据相等向量的定义，分析可得：4．给出下列命题：①若|a |＝0，则 a ＝0；②若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；③若a∥b ，则|a|＝|b |.其中，正确的命题有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：选A ①忽略了0与0的区别，a ＝0；②混淆了两个向量的模相等和两个实数相等，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定；③两个向量平行，可以得出它们的方向相同或相反，未必得到它们的模相等．5．设a 0，b 0分别是a ，b 的单位向量，则下列结论中正确的是________(填序号)． ①a 0＝b 0；②a 0＝－b 0；③|a 0|＋|b 0|＝2；④a 0∥b 0. 解析：因为a 0，b 0是单位向量，|a 0|＝1，|b 0|＝1， 所以|a 0|＋|b 0|＝2. 答案：③6．已知在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，则||＝________．解析：易知AC ⊥BD ，且∠ABD ＝30°， 设AC 与BD 交于点O ，则AO ＝12AB ＝1.在Rt △ABO 中，易得||＝3，则||＝2||＝2 3.答案：2 37．有下列说法：①若a≠b，则a一定不与b共线；②若则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；③在▱ABCD中，一定有④若a＝b，b＝c，则a＝c；⑤共线向量是在一条直线上的向量．其中，正确的说法是________．解析：对于①，两个向量不相等，可能是长度不相等，方向相同或相反，所以a与b 有共线的可能，故①不正确；对于②，A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故②不正确；对于③，在▱ABCD中，平行且方向相同，所以，故③正确；对于④，a＝b，则|a|＝|b|，且a与b方向相同；b＝c，则|b|＝|c|，且b与c方向相同，所以a与c方向相同且模相等，故a＝c，故④正确；对于⑤，共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故⑤不正确．答案：③④8．如图所示方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方络纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且||＝ 5.(1)画出所有的向量；(2)求||的最大值与最小值．解：(1)画出所有的向量，如图所示．(2)由(1)所画的图知，①当点C位于点C1或C2时，||取得最小值12＋22＝5；②当点C位于点C5或C6时，||取得最大值42＋52＝41，∴||的最大值为41，最小值为 5.。