2016高二理科数学-同步训练题(12)-选修2-2 第一章巩固训练(二)(学生)

第一章 1.3 第1课时一、选择题1．已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 当a ＝3时，A ＝{1,3}，故A ⊆B ，若A ⊆B ，则a ＝2或a ＝3，故为充分不必要条件．2．设四边形ABCD 的两条对角线为AC 、BD ，则“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 当四边形ABCD 为菱形时，必有对角线互相垂直，即AC ⊥BD ，当四边形ABCD 中，AC ⊥BD 时，四边形ABCD 不一定是菱形，还需要AC 与BD 互相平分．综上可知，“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的充分不必要条件．3．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的( )A ．充分必要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件 [答案] A[解析] 由正弦定理，得a ≤b ⇔2R sin A ≤2R sin B (R 为△ABC 外接圆的半径)⇔sin A ≤sin B ，故选A.4．使不等式2x 2－5x －3≥0成立的一个充分不必要条件是( ) A ．x <0 B ．x ≥0C ．x ∈{－1,3,5}D ．x ≤－13或x ≥3[答案] C[解析] x ＝－1、3、5时，2x 2－5x －3≥0成立，而2x 2－5x －3≥0成立，x 不一定等于－1、3、5.5．“a ＋c >b ＋d ”是“a >b 且c >d ”的( ) A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析]本题考查不等式的性质及充分条件、必要条件的概念．如a＝1，c＝3，b＝2，d＝1时，a＋c>b＋d，但a<b，故由“a＋c>b＋d”⇒/“a>b且c>d”，由不等式的性质可知，a>b且c>d，则a＋c>b＋d，∴“a＋c>b＋d”是“a>b且c>d”的必要不充分条件．6．(2015·重庆文，2)“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的()A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析]由“x＝1”显然能推出“x2－2x＋1＝0”，故条件是充分的；又由“x2－2x＋1＝0”可得(x－1)2＝0⇒x＝1，所以条件也是必要的；故选A.二、填空题7．用“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”填空：(1)“m≠3”是“|m|≠3”的________；(2)“四边形ABCD为平行四边形”是“AB∥CD”的________；(3)“a>b，c>d”是“a－c>b－d”的________．[答案](1)必要不充分条件(2)充分不必要条件(3)既不充分也不必要条件8．若x∈R，则函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值恒为正的充要条件是________________，恒为负的充要条件是______________．[答案]a>0且b2－4ac<0a<0且b2－4ac<0三、解答题9．下列各题中，p是q的什么条件？(1)p：x＝1；q：x－1＝x－1；(2)p：－1≤x≤5；q：x≥－1且x≤5；(3)p：三角形是等边三角形；q：三角形是等腰三角形．[解析](1)充分不必要条件当x＝1时，x－1＝x－1成立；当x －1＝x －1时，x ＝1或x ＝2. (2)充要条件∵－1≤x ≤5⇔x ≥－1且x ≤5. (3)充分不必要条件∵等边三角形一定是等腰三角形，而等腰三角形不一定都是等边三角形.一、选择题1．命题p ：(x －1)(y －2)＝0；命题q ：(x －1)2＋(y －2)2＝0，则命题p 是命题q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] 命题p ：(x －1)(y －2)＝0⇒x ＝1或y ＝2. 命题q ：(x －1)2＋(y －2)2＝0⇒x ＝1且y ＝2. 由q ⇒p 成立，而由p ⇒/q 成立．2．b ＝c ＝0是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过原点的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 若b ＝c ＝0，则二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ＝ax 2经过原点， 若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 过原点，则c ＝0，故选A.3．命题p ：不等式ax 2＋2ax ＋1>0的解集为R ，命题q ：0<a <1，则p 是q 成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] 当a ＝0时，不等式ax 2＋2ax ＋1>0的解集为R ；当⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ＝4a 2－4a <0，即0<a <1时，不等式ax 2＋2ax ＋1>0的解集为R .综上所述，不等式ax 2＋2ax ＋1>0的解集为R 时，0≤a <1，故选B. 4．(2015·陕西文，6)“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] cos 2α＝0⇒cos 2α－sin 2 α＝0⇒(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝0，所以sin α＝cos α或sin α＝－cos α，故答案选A.二、填空题5．已知数列{a n }，那么“对任意的n ∈N ＋，点P n (n ，a n )，都在直线y ＝2x ＋1上”是“{a n }为等差数列”的____________条件．[答案] 充分不必要[解析] 点P n (n ，a n )都在直线y ＝2x ＋1上，即a n ＝2n ＋1，∴{a n }为等差数列，但是{a n }是等差数列却不一定就是a n ＝2n ＋1.6．直线l 1：2(m ＋1)x ＋(m －3)y ＋7－5m ＝0与直线l 2：(m －3)x ＋2y －5＝0垂直的充要条件是________．[答案] m ＝－2或3[解析] l 1⊥l 2⇔2(m ＋1)(m －3)＋(m －3)·2＝0⇔m 2－m －6＝0⇔m ＝－2或3. 三、解答题7．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件？ (1)p ：x >1，q ：x 2>1；(2)p ：△ABC 有两个角相等，q ：△ABC 是正三角形． [解析] (1)由x >1⇒x 2>1，所以p ⇒q . ∵x 2>1，∴x >1或x <－1，∴q ⇒/p ，∴p 是q 的充分不必要条件．(2)△ABC 有两个角相等，则△ABC 是等腰三角形，不一定是正三角形，所以p ⇒/q ；若△ABC 是正三角形，则三个角均相等，即任意两个角都相等，所以q ⇒p ，故p 是q 的必要不充分条件．8．求证：关于x 的一元二次不等式ax 2－ax ＋1>0对于一切实数都成立的必要条件是0<a <4. [证明] 要使ax 2－ax ＋1>0对任意实数x 都成立，需考虑两种情况： ①当a ＝0时，原不等式化为1>0，恒成立，符合题意； ②当a >0时，需Δ＝a 2－4a <0，即0<a <4. 综上所述0≤a <4.显然0<a <4是ax 2－ax ＋1>0对任意实数x 都成立的必要条件．9．已知p ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x －10≤0，q ：1－m ≤x ≤1＋m ，m >0，若¬p 是¬q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．[解析] 由p 得x ∈[－2,10]， 由q 得x ∈[1－m,1＋m ]． ∵¬p 是¬q 的必要不充分条件， ∴p ⇒q 且p ⇒/p ，∴[－2,10][1－m,1＋m ]． ∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m ≥10，∴m ≥9.。

3.1 数系的扩充和复数的概念1、0a =是复数(),Z a bi a b R =+∈为纯虚数的( )A.充要条件,B.充分不必要条件,C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件2、已知cos sin 44z i ππ=+,i 为虚数单位,那么平面内到点()1,2C 的距离等于z 的点的轨迹是( )A.圆B.以点C 圆心,半径等于1的圆C.满足方程221x y +=的曲线D.满足()()221122x y -+-=的曲线3、复数()()22,z a b a a i a b R =-++∈为纯虚数的充要条件是() A. a b =B. 0a <且a b =-C. 0a >且a b ≠D. 0a >且a b =±4、已知复数()2111z a i a =+--是实数,则实数a 的值为( )A. 1或1-B. 1C. 1-D. 0或1-5、若复数()2bi b R -∈的实部与虚部互为相反数,则b 的值为()A. 2-B. 23 C. 23-D. 26、若复数z 满足()21811z i i -=+,则4z i -=( )C.13D.157、已知复数34,z i i =+为虚数单位, z 是z 的共轭复数,则i z= ( ) A. 4355i -+ B. 4355i -- C. 432525i -+ D. 432525i --8、在复平面内,复数12,z z 对应点分别为,A B .已知(1,2)A ,AB =2z ,则2z = ( )A. 45i +B. 54i +C. 34i +D. 54i +或13255i + 9、若,x y R ∈,i 为虚数单位,且()3x y x y i i ++-=-,则复数x yi +在复平面内所对应的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限10、复数()()2222z a a a a i =-+--对应的点在虚轴上,则( )A. 2a ≠或1a ≠B. 2a ≠且1a ≠C. 0a =D. 2a =或0a =11、若2222log (32)ilog (21)1x x x x --+++>,则实数x 的值(或取值范围)是__________.12、复数cos sin 22z i ππθθ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,且ππ,22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,若z 是实数,则θ的值为 ;若z 为纯虚数,则θ的值为 .13、设m R ∈,()2221m m m i +-+-是纯虚数,其中i 是虚数单位,则m =__________.14、若,1,0t R t t ∈≠-≠时,复数11t t z i t t+=++的模的取值范围是__________.15、已知复数1z i =,212z =-. 1.求1z 及2z 并比较大小; 2.设z C ∈,满足条件21z z z ≤≤的点Z 的轨迹是什么图形?答案以及解析1答案及解析：答案：C解析：2答案及解析：答案：B解析：设所求动点为(),x y ,又1z ==,1=, 即()()22121x y -+-=.故选B.3答案及解析：答案：D解析：由题意可得220a b -=,且0a a +≠,则0a >且a b =±.4答案及解析：答案：C解析： 因为复数()2111z a i a =+--是实数,且a 为实数,则210{10a a -=-≠解得1a =-.5答案及解析：答案：D解析：2bi -的实部为2,虚部为b -,由题意知()2b =--,∴2b =.6答案及解析：答案:C解析:7答案及解析：答案：C解析：8答案及解析：答案：D解析：设()2,z x yi x y R =+∈,由条件得, 2222(1)(2)2041x y x y ⎧-+-=⎪⎨+=⎪⎩ ∴5{4x y ==或15325x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩9答案及解析：答案：A解析：∵()3x y x y i i ++-=-,∴3{1x y x y +=-=-,解得1{2x y ==. ∴复数12i +所对应的点在第一象限.10答案及解析：答案：D解析：∵z 在复平面内对应的点在虚轴上,∴220a a -=,解得2a =或0a =.11答案及解析：答案：-2解析：由题意知2222log (21)0log (32)1x x x x ⎧++=⎪⎨-->⎪⎩,解得0214x x x x ==-⎧⎨<->⎩或或,即2x =-.12答案及解析： 答案：2π±,0 解析：cos sin sin cos 22z i i ππθθθθ⎛⎫⎛⎫=+++=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 当z 是实数时, cos 0θ=∵ππ,22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,∴2πθ=±; 当z 为纯虚数时sin 0{cos 0θθ-=≠,又ππ,22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,∴0θ=. 13答案及解析：答案：-2解析：由()2221m m m i +-+-是纯虚数可知2220,{10,m m m +-=-≠由此解得2m =-.14答案及解析： 答案：)2,⎡+∞⎣ 解析：22211221+1t t t t z t t t t ++⎛⎫⎛⎫=+≥⋅⋅= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭ (当且仅当11t t t t +=+,即12t =-时,等号成立),∴2z ≥.15答案及解析：答案：1. ()221312z =+=, 22213122z ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴12z z >. 2.由21z z z ≤≤及1知12z ≤≤.因为z 的几何意义就是复数z 对应的点到原点的距离,所以1z ≥表示1z =所表示的圆外部所有点组成的集合, 2z ≤表示2z =所表示的圆内部所有点组成的集合,故符合题设条件点的集合是以O 为圆心,以1和2为半径的两圆之间的圆环(包含圆周),如图所示.解析：由Ruize收集整理。

椭圆（简答题：容易）1、(本题满分15分) 设椭圆C1：的左、右焦点分别是F1、F2，下顶点为A，线段OA 的中点为B（O为坐标原点），如图．若抛物线C2：与y轴的交点为B，且经过F1，F2点．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）设M（0，），N为抛物线C2上的一动点，过点N作抛物线C2的切线交椭圆C1于P、Q两点，求面积的最大值．2、在直角坐标系中，已知中心在原点，离心率为的椭圆的一个焦点为圆：的圆心．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设是椭圆上一点，过作两条斜率之积为的直线，，当直线，都与圆相切时，求的坐标．3、已知双曲线与椭圆共焦点，且以为渐近线，求双曲线方程．4、设椭圆的左焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.(1) 求椭圆方程.(2) 过点的直线与椭圆交于不同的两点，当面积最大时，求.5、（本小题满分14分）如图7，已知椭圆：的离心率为，以椭圆的左顶点为圆心作圆：，设圆与椭圆交于点与点．（1）求椭圆的方程；（2）求的最小值，并求此时圆的方程；（3）设点是椭圆上异于的任意一点，且直线分别与轴交于点，为坐标原点，求证：为定值．6、（本题满分15分）如图，在矩形中，分别为四边的中点，且都在坐标轴上，设．（Ⅰ）求直线与的交点的轨迹的方程；（Ⅱ）过圆上一点作圆的切线与轨迹交于两点，若，试求出的值．7、（本题18分，第（1）小题4分；第（2）小题6分；第（3）小题8分）如图，已知椭圆：过点，上、下焦点分别为、，向量．直线与椭圆交于两点，线段中点为．（1）求椭圆的方程；（2）求直线的方程；（3）记椭圆在直线下方的部分与线段所围成的平面区域（含边界）为，若曲线与区域有公共点，试求的最小值．8、已知点是离心率为的椭圆C：上的一点。

斜率为直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点不重合。

（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？9、已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别为，点是椭圆上一点，且，(为坐标原点).(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)过点且斜率为的动直线交椭圆于两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点?若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由.10、已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若过点的直线与椭圆相交于两点，设为椭圆上一点，且满足（其中为坐标原点），求整数的最大值．11、如图，椭圆C：的顶点为A1,A2,B1,B2,焦点为F1,F2,,= ,(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于P点、与椭圆相交于A,B两点的直线，，是否存在上述直线l使成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由。

第2讲三角恒等变换与解三角形(建议用时：60分钟)一、选择题1．(2015·新课标全国Ⅰ卷)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝()．A．－32 B.32C．－12 D.12解析sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝1 2.答案 D2．(2015·烟台二模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则b等于()．A．5 B．25 C.41 D．5 2解析∵S＝12ac sin B＝2，∴12×1×c×sin 45°＝2.∴c＝4 2.∴b2＝a2＋c2－2ac cos B＝1＋32－2×1×42×cos 45°. ∴b2＝25，b＝5.答案 A3．(2013·浙江卷)已知α∈R，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α等于()．A.43 B.34C．－34D．－43解析∵sin α＋2cos α＝10 2，∴sin2α＋4sin α·cos α＋4cos2α＝5 2.化简，得4sin 2α＝－3cos 2α，∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－34.答案 C4．(2015·北京东城区期末)在△ABC中，A，B，C为内角且sin A cos A＝sin B cos B，则△ABC是()．A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形解析由sin A cos A＝sin B cos B得sin 2A＝sin 2B＝sin(π－2B)，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝π2，所以△ABC为等腰或直角三角形．答案 D5．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2a sin B＝3b，则角A 等于()．A.π2 B.π6 C.π4 D.π3解析在△ABC中，利用正弦定理得2sin A sin B＝3sin B，∴sin A＝3 2.又A为锐角，∴A＝π3.答案 D6．已知tan β＝43，sin(α＋β)＝513，其中α，β∈(0，π)，则sin α的值为()．A.6365 B.3365C.1365 D.6365或3365解析 依题意得sin β＝45，cos β＝35；注意到sin(α＋β)＝513<sin β，因此有α＋β>π2(否则，若α＋β≤π2，则有0<β<α＋β≤π2，0<sin β<sin(α＋β)，这与“sin(α＋β)<sin β”矛盾)，则cos(α＋β)＝－1213，sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝6365. 答案 A7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C 等于( )．A.725 B ．－725 C ．±725 D.2425解析 先用正弦定理求出角B 的余弦值，再求解． 由b sin B ＝csin C ，且8b ＝5c ，C ＝2B ， 所以5c sin 2B ＝8c sin B ，所以cos B ＝45. 所以cos C ＝cos 2B ＝2cos 2 B －1＝725. 答案 A 二、填空题8．(2015·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知 △ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________． 解析 ∵cos A ＝－14，0＜A ＜π， ∴sin A ＝154，S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ×154＝315， ∴bc ＝24，又b －c ＝2，∴b 2－2bc ＋c 2＝4，b 2＋c 2＝52，由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝52－2×24×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝64，∴a ＝8.答案 89．在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝________. 解析 在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝BA 2＋BC 2－2BA ·BC cos ∠ABC ＝(2)2＋32－2×2×3cos π4＝5.∴AC ＝5，由正弦定理得sin ∠BAC ＝BC ·sin ∠ABCAC＝3×sin π45＝3×225＝31010. 答案3101010．(2015·北京卷)在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C ＝________. 解析 由余弦定理：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝25＋36－162×5×6＝34，∴sin A ＝74，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝16＋25－362×4×5＝18，∴sin C ＝378， ∴sin 2A sin C ＝2×34×74378＝1.答案 111．若α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝32，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝－12，则cos (α＋β)＝________.解析 ∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴－π4<α－β2<π2，－π2<α2－β<π4，由cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－β2＝32和sin⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝－12得α－β2＝±π6，α2－β＝－π6，当α－β2＝－π6，α2－β＝－π6时，α＋β＝0，与α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2矛盾；当α－β2＝π6，α2－β＝－π6时，α＝β＝π3，此时cos (α＋β)＝－12. 答案 －1212．(2014·四川卷改编)如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC ＝________m.解析 如图，在△ACD 中，∠CAD ＝90°－30°＝60°，AD ＝60 m ，所以CD ＝AD ·tan 60°＝603(m)．在△ABD 中，∠BAD ＝90°－75°＝15°，所以BD ＝AD · tan 15°＝60(2－3)(m)．所以BC ＝CD －BD ＝603－60(2－3)＝120(3－1)(m)．答案 120(3－1) 三、解答题13．已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(其中ω＞0，x ∈R )的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋53π＝－65，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－56π＝1617，求cos(α＋β)的值． 解 (1)由题意知f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的最小正周期T ＝10π＝2πω，则ω＝15.(2)由(1)知f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫15x ＋π6，又α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋5π3＝－65，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－5π6＝1617，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－35，cos β＝817，∴sin α＝35，cos α＝45，sin β＝1517， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45×817－35×1517＝－1385.14．(2015·江苏卷)在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，A＝60°.(1)求BC的长；(2)求sin 2C的值．解(1)由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝4＋9－2×2×3×1 2＝7，所以BC＝7.(2)由正弦定理知，ABsin C＝BCsin A，所以sin C＝ABBC·sin A＝2sin 60°7＝217.因为AB＜BC，所以C为锐角，则cos C＝1－sin2C＝1－37＝277.因此sin 2C＝2sin C·cos C＝2×217×277＝437.15．(2015·陕西卷)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量m＝(a，3b)与n＝(cos A，sin B)平行．(1)求A；(2)若a＝7，b＝2，求△ABC的面积．解(1)因为m∥n，所以a sin B－3b cos A＝0，由正弦定理，得sin A sin B－3sin B cos A＝0，又sin B≠0，从而tan A＝3，由于0＜A＜π，所以A＝π3.(2)法一由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A，而a＝7，b＝2，A＝π3，得7＝4＋c2－2c，即c2－2c－3＝0，因为c＞0，所以c＝3，故△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝332. 法二 由正弦定理，得7sin π3＝2sin B ， 从而sin B ＝217， 又由a ＞b ，知A ＞B ， 所以cos B ＝277，故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝sin B cos π3＋cos B sin π3＝32114. 所以△ABC 的面积为S ＝12ab sin C ＝332.。