11.2三角形的内角和(1)

BA C
B
C
探索并证明三角形内角和定理
Hale Waihona Puke 追问2 在操作过程中,我们发现了与边BC 平行的 直线l，由此，你又能受到什么启发？你能发现证明 “三角形内角和等于180°”的思路吗？
l
通过添加与边BC 平行的辅助线l，利用 平行线的性质和平角 的定义即可证明结论．
BA C
B
C
证 明 三知 角识 形点 内二 角 和 定 理
４
５ 1
2
3
图（3）
2、把一个三角形其中的两个角剪下拼在第三个角的 顶点处（如图2、图3），形成了一个 平角.说明在
中，∠A＋∠B＋∠C=_1_8_0_°， 从中得出：三角形内角和定理 三角形内角和是180.°
探索并证明三角形内角和定理
追问1 运用度量的方法，得出的三个内角的和都 是180°吗？为什么？
探索并证明三角形内角和定理
问题2 你能从以上的操作过程中受到启发，想出 证明“三角形内角和等于180°”的方法吗？
探索并证明三角形内角和定理
追问1 在下图中，∠B 和∠C 分别拼在∠A 的左 右，三个角合起来形成一个平角，出现了一条过点A 的 直线l，直线l 与边BC 有什么位置关系？
l
直线l 与边BC 平行．
（2）两直线平行，_内__错_角__相__等______ （3）两直线平行，__同__旁__内__角__互_补___.
2、1平角= 180 °.
1、在事先准备的三角形硬纸片上标出三个内角的 编码（如图1），并将它的内角剪下拼合在一起 （如图2、3），看看得到什么结果.
1
2
3
图（1）
1 2
34５
图（2）
C D B

90°，∴△ABC是直角三角形
15．满足条件∠A＝∠B＝∠C的三角形是( B ) A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．不能确定 16．如图，∠α的度数为( A．10° B．20° C．30° D．40°
A)
17．如图，点D，E分别是AB，AC上的点，连接
BE，CD，若∠B＝∠C，则∠AEB与∠ADC的大小
C．3个
D．4个
11．(4分)如图，AF，AD分别是△ABC的高和角平
分线，且∠B＝36°，∠C＝76°，求∠DAF的度 数．
解：因为∠B＝36°，∠C＝76°，所以∠BAC＝180°
－∠B－∠C＝180°－36°－76°＝68°.
1 因为AD平分∠BAC，所以∠BAD＝ ∠BAC＝34°. 2
，∠2＝60° ，则∠3的度数为(
A．50° B．60° C．70° D．80°
)
C
12．(5分)如图，点E是△ABC中AC边上的一点，过E作
ED⊥AB，垂足为D.若∠1＝∠2，则△ABC是直角三角
形吗？为什么？
解：△ABC是直角三角形，
∵ED⊥AB，∴∠ADE＝90°，
∴∠1＋∠A＝90°，
又∵∠1＝∠2，∴∠2＋∠A＝
所以∠ADB＝180°－∠B－∠BAD＝180°－36°－
34°＝110°. 所以∠ADF＝180°－110°＝70°，所以∠DAF＝90° －70°＝20°.
一、选择题(每小题3分，共15分) 13．在△ABC中，∠A＝55° ，∠B比∠C大25° ，则∠B的度数 为( B )
A．50° B．75° C．100° D．125° 14．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b，∠1＝50°
关系是( B )

《11.2与三角形有关的角——三角形的内角和（1）》教学设计一、内容与内容解析1．内容三角形内角和．2．内容解析与边一样，角（包括内角和外角）是三角形的主要元素，在研究了边的性质后，自然要研究角（内角和外角）的性质，其中内角和是基础．三角形的角的性质是今后研究几何图形的基础．初中研究三角形内角和与小学不同之处是需要用推理的方法证明．因此本节课的重点是三角形内角和定理的证明．二、目标与目标解析1．目标（1）掌握三角形内角和定理．（2）探索发现三角形内角和定理的结论，体会证明的必要性．（3）理解三角形内角和定理的证明过程．2．目标解析达成目标（1）的标志是：能熟练应用三角形内角和定理进行推理和计算．达成目标（2）的标志是：能从结论的一般性与确定性角度体会证明的必要性．达成目标（3）的标志是：能理解三角形内角和定理证明过程的合理性，指导证明过程“步步有据”的要求．三、教学问题诊断分析学生已经知道了三角形内角和定理的内容，但难以体会到证明的必要性；同时，证明三角形内角和定理需要添加辅助线，通过把三角形内角关系转化为平行线的角的性质，是第一次接触，难以理解．通过基于一般三角形下结论是否成立的提问让学生体会证明的必要性，通过分析拼角实验过程发现证明思路，体会怎样作辅助线，帮助学生突破难点．难点：三角形内角定理证明必要性的体会，理解定理的证明过程．四、教学过程设计（一）体会证明的必要性前面，我们研究了三角形的边的性质，接下来我们研究三角形角的性质．问题1 在小学，我们研究过三角形的角，三角形的三个内角有什么关系？师生活动：教师引导学生画出三角形（如图1），回顾三角形内角之间的关系．追问：在小学中，我们是怎样发现这一性质的？师生活动：教师引导学生回顾测量法和拼角实验法．展示学生的拼角方案（如下图）．设计意图：引导学生回顾“三角形内角和等于180º”的结论及研究经验． 追问1：大家测量和实验时研究了多少个三角形？追问2：三角形有多少个？用测量和实验的方法能研究完所有三角形吗？追问3：对若干个具体的三角形进行测量和研究得到的结论，能保证对所有的三角形都成立吗？怎样才能说明结论对所有的三角形都成立？师生活动：教师引导学生考察结论的一般性，从而体会证明的必要性． 设计意图：体会证明的必要性． （二）三角形内角和定理的证明 问题2 怎样证明呢？ 追问1：先说说证明的步骤．师生活动：教师引导学生回顾证明的步骤：先画出图形，写出已知、求证，再写出证明过程．已知：如图5，∠A ，∠B ，∠C 是△ABC 的内角．求证：∠A +∠B +∠C =180º．并指出，要证明这一结论，需要以已经确认是正确的事实、定理为依据，一步一步有依ABC图1ABC图2A BC图3ABC图4ABC图5据地进行推导，最后推导出最终的结论．追问2：让我们分析一下拼角的操作过程，看看有什么启发．如图5我们把∠B ，∠C 撕下后拼到∠A 上得到一个平角，移动后它们的边AE ，AF 有什么特征？师生活动：教师引导学生发现它们在同一直线EF 上． 追问3：直线EF 与直线BC 有什么关系？由此有什么启发？师生活动：教师引导学生得出EF ∥BC ，这就启发我们通过过顶点A 作BC 的平行线来进行证明（如图6）．图6追问4：怎样书写证明过程？师生活动：教师与学生一起书写证明过程如下： 证明：过点A 作EF ∥BC ． ∵EF ∥BC ，∴∠1=∠B ，∠2=∠C ；(两直线平行，内错角相等) 又∵∠1+∠2+∠BAC =180º，（平角的定义） ∴∠BAC +∠B+∠C =180º．(等量代换)在此基础上，确认三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180º． 设计意图：分析证明思路，书写证明过程，明确定理结论． 追问5：如果按照图3，图4的拼角方案，怎样书写证明过程？ 师生活动：教师引导学生书写相应的证明过程．设计意图：通过一题多解感悟证明过程，培养思维灵活性． 追问6：上述证明过程是怎样想的？师生活动：教师引导学生总结：用平行线性质移动角的位置，使它们拼成一个平角． 设计意图：引导学生感悟数学转化的思想． 师生活动：教师引导学生分析解题思路，学生独立书写解题过程，教师引导学生相互质疑，保证推理的严谨性．设计意图：应用三角形内角和定理进行角度计算，巩固定理．例2 如图8是A ，B ，C 三岛的平面图，C 岛在A 岛的北偏东50º的方向，B 岛在A 岛图7A B CE F的北偏东80º方向，C 岛在B 岛的北偏西40º方向．从B 岛看A ，C 两岛的视角∠ABC 是多少度？从C 岛看A ，B 两岛的视角∠ACB 是多少度？师生活动：教师引导学生分析解题思路，引导学生书写解题过程．设计意图：应用定理解决实际问题，巩固定理． 练习：1．写出下列三角形中∠ 的度数．2．如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD （沿着AC 对折后直线AC 两侧部分能完全重合），其中∠A =150º，∠B =∠D =40º，求∠C 的度数．师生活动：学生口答第1题，书写第2题． 设计意图：巩固定理，发展推理能力． （四）课堂小结教师引导学生思考下列问题，回顾并交流本课所学知识． （1）本课学习了哪一个定理？（2）小学中我们已经发现了三角形三内角的和为180º，为了什么要证明这一结论？ （3）你是怎样证明这一结论的？设计意图：比较初中与小学学习三角形内角和的差别，体会证明的必要性，总结证明过程，体会证明的要求．（五）布置作业教科书习题11．2第1，3，7题．有兴趣的同学尝试写出与本课中不同的证明过程． 五、板书设计11.2.1三角形的内角1.三角形内角和：小学的做法：测量、拼角。

该怎么证明呢？
18世纪——法国数学家克莱多 利用辅助平行线将三角形的内角转化为一个平角
由图你能想出证明“三角
形的内角和等于180°”的
(1)
(2)
方法吗？
证明
已知：△ABC， 求证：∠A + ∠B + ∠C = 180°.
A
B
C
证明：如图，过点 A 作直线 l，使l ∥ BC，
∵ l ∥ BC，
北 D
50°
A 80°
C 北 E
40°
B
∠ACB = 180° -∠ABC -∠CAB = 180° - 60° - 30° = 90°
答:从 B 岛看 A，C 两岛的视角∠ABC 是 60°， 从 C 岛看 A，B 两岛的视角∠ACB 是 90°.
你还能想出 其他解法吗？
解法二：
北 D
50°
A 80°
你还有别的 方法吗？
讨论 请分享一下你想到的证明方法吧！
方法一 用量角器测量三角形的三个内角的度数，并相加.
60°
90°
60°
60°
50°
40°
1 1
1
方法二：折叠法
1 2
2 2
3
3
锐角三角形
1
2
3
钝角三角形
3 1
3
2
3
2
直角三角形
想一想
通过度量或剪拼的方法，可以验证三角形的内角和等于180°．但是， 由于测量常常有误差，这种“验证”不是“数学证明”，不能完全 让人信服;又由于形状不同的三角形有无数个，我们不可能用上述方 法一一验证所有三角形的内角和等于180°.
解：在△ABC 中，∵∠A = 60°， ∴∠ABC +∠ACB = 120°． ∵ BP 平分∠ABC，CP 平分∠ACB， ∴∠PBC +∠PCB = 1 (∠ABC +∠ACB) = 60°．