三角形的内角和与外角和

三角形内角和与外角性质三角形是几何学中最基本的图形之一，它具有独特的性质和特点。

本文将探讨三角形内角和与外角的性质，并进行详细解释。

一、三角形内角和性质三角形的内角和是指三个内角的度数总和。

对于任意一个三角形ABC，其内角和可以表示为：内角和 = ∠A + ∠B + ∠C在三角形中，有以下几个理论性质：性质1：三角形的内角和等于180度这是三角形的基本性质，无论三角形的形状和边长如何变化，其内角和始终等于180度。

即∠A + ∠B + ∠C = 180度。

性质2：三角形的两个内角之和大于第三个内角对于任意一个三角形ABC，其中任意两个内角之和大于第三个内角。

即∠A + ∠B > ∠C，∠A + ∠C > ∠B，∠B + ∠C > ∠A。

这个性质可以通过三角形的角度和边长关系来证明，其中引入了三角不等式的概念。

二、三角形外角性质三角形的外角是指三角形的一个内角对应的补角。

对于任意一个三角形ABC，以∠A、∠B和∠C为顶点的外角分别记作∠D、∠E和∠F。

性质1：三角形的外角等于其对应内角的补角即∠D = 180度 - ∠A，∠E = 180度 - ∠B，∠F = 180度 - ∠C。

性质2：三角形内角和等于其外角和对于任意一个三角形ABC，其内角和等于其外角和。

即∠A + ∠B+ ∠C = ∠D + ∠E + ∠F。

结合三角形的内角和性质，我们可以得到公式：180度 = ∠A + ∠B + ∠C = ∠D + ∠E + ∠F这个公式表示了三角形内角和与外角和的关系。

三、示例分析为了更好地理解三角形内角和与外角的性质，我们举一个具体的三角形作为例子。

考虑一个三角形ABC，其内角分别为∠A = 60度，∠B = 70度，∠C = 50度。

根据性质1，我们可以计算出三角形的内角和为180度。

同时，根据性质2，我们可以计算出三角形的外角分别为∠D = 120度，∠E = 110度，∠F = 130度。

三角形的内角和与外角和的关系总结三角形是几何学中一个重要的概念，它由三条线段组成，其中每两条线段的交点被称为顶点。

三角形的内角和与外角和是研究三角形性质时经常遇到的问题，本文将对其进行总结和探讨。

1. 三角形的内角和三角形的内角和是指三个内角的度数之和。

对于任意三角形，无论其大小和形状如何，三个内角的度数之和始终为180度。

这一性质被称为"三角形的内角和定理"，是几何学中的基本定理之一。

数学的证明过程较为复杂，这里不做详述，但可以通过实际测量和计算来验证。

2. 三角形的外角和三角形的外角和是指三个外角的度数之和。

外角是指一个三角形内部的一条边延伸出去，与另外两条边的非共边构成的角。

对于任意三角形，无论其大小和形状如何，三个外角的度数之和始终为360度。

这一性质也是几何学中的基本定理之一。

3. 内角和与外角和的关系内角和与外角和有着重要的关系。

根据三角形的内角和定理和外角和的定义，可以得出如下结论：内角和 + 外角和 = 180度 + 360度 = 540度这意味着三角形内角和与外角和的和始终为固定值的540度。

这也被称为"三角形内外角和关系定理"。

通过数学的证明，可以得到这个结论。

4. 应用举例通过内角和与外角和的关系，我们可以解决一些与三角形性质相关的问题。

例如，已知一个三角形的一个内角和一个外角，可以通过计算得到其他两个内角的度数，或者已知两个内角，可以通过计算得到第三个内角的度数。

此外，可以利用内角和与外角和的关系来验证三角形的正确性。

如果测得一个三角形的内角和不等于180度或者外角和不等于360度，那么这个图形就不是一个三角形。

总之，三角形的内角和与外角和的关系是几何学中重要的定理之一。

它们揭示了三角形内外角度数之间的联系，对于解决三角形性质相关的问题具有重要作用。

在实际应用中，我们可以根据这些定理进行计算和验证，进一步深入理解和应用三角形的性质。

三角形角与边的关系公式三角形是几何中最基本的形状之一，由三条边和三个内角组成。

在三角形中，角与边之间有许多重要的关系公式。

这些公式对于计算和解决三角形相关的问题非常重要。

在本文中，我们将介绍一些最常用的三角形角与边的关系公式。

一、三角形的角度关系：1.三角形内角和：三角形的内角和等于180度。

即三个内角的和等于180度。

可以表示为：A+B+C=180°。

2.三角形的外角和：三角形的外角和等于360度。

即三个外角的和等于360度。

可以表示为：A'+B'+C'=360°。

3.三角形的对顶角：三角形的一内角和另外两个内角的补角相等。

即三角形的对顶角相等。

可以表示为：A=B'，B=A'，C=C'。

4.三角形的同位角：同位角是指两个三角形中分别相对的内角或外角。

同位角之和等于180度。

即同位角之和等于180度。

可以表示为：A+A'=180°，B+B'=180°，C+C'=180°。

二、三角形的边长关系：1.余弦定理：余弦定理是用来计算三角形一边的长度的定理。

它表示为：c^2 =a^2 + b^2 - 2abcosC，其中c为三角形的斜边，a和b为三角形的两边，C为两边夹角的余弦。

2.正弦定理：正弦定理是用来计算三角形两边与其对应角度的比例的定理。

它表示为：a/sinA = b/sinB = c/sinC。

其中a、b、c为三角形的三条边，A、B、C为三角形的三个角度。

3.正切定理：正切定理是用来计算三角形两边与其夹角正切值的比例的定理。

它表示为：tanA = (a/b)，tanB = (b/a)。

其中a和b为三角形的两边，A和B为三角形的两个夹角。

4.边角关系定理：边角关系定理是用来计算三角形边与角度之间的关系的定理。

它表示为：a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R。

三角形的内角和与外角和关系一、考点、热点回顾：要点一、三角形的内角和1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．2.结论：直角三角形的两个锐角互余.要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．要点二、三角形的外角1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.要点诠释：(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线．（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．2．性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°．二、典型例题+拓展训练：【典型例题】类型一、三角形的内角和1．在△ABC中，若∠A＝12∠B＝13∠C，试判断该三角形的形状．【思路点拨】由∠A＝12∠B＝13∠C，以及∠A+∠B+∠C＝180°，可求出∠A、∠B和∠C的度数，从而判断三角形的形状．【答案与解析】解：设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x．由于∠A+∠B+∠C＝180°，即有x+2x+3x＝180°．解得x＝30°．故∠A＝30°．∠B＝60°，∠C＝90°．故△ABC是直角三角形．【总结升华】本题利用设未知数的方法求出三角形三个内角的度数，解法较为巧妙．举一反三：【变式1】三角形中至少有一个角不小于________度．【答案】60【高清课堂：与三角形有关的角练习（3）】【变式2】如图，AC⊥BC,CD⊥AB,图中有对互余的角？有对相等的锐角？【答案】4，2．2.在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC边上的高，∠ABD＝30°，则∠C的度数是多少? 【思路点拨】按△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况，分类讨论．【答案与解析】解：分两种情况讨论：（1）当△ABC为锐角三角形时，如图所示，在△ABD中，∵ BD是AC边上的高(已知)，∴∠ADB＝90°(垂直定义)．又∵∠ABD＝30°(已知)，∴∠A＝180°-∠ADB-∠ABD＝180°-90°-30°＝60°．又∵∠A+∠ABC+∠C＝180°(三角形内角和定理)，∴∠ABC+∠C＝120°，又∵∠ABC＝∠C，∴∠C＝60°．(2)当△ABC为钝角三角形时，如图所示．在直角△ABD中，∵∠ABD＝30°(已知)，所以∠BAD＝60°．∴ ∠BAC ＝120°．又∵ ∠BAC+∠ABC+∠C ＝180°(三角形内角和定理)，∴ ∠ABC+∠C ＝60°．∴ ∠C ＝30°．综上，∠C 的度数为60°或30°．【总结升华】在解决无图的几何题的过程中，只有正确作出图形才能解决问题．这就要求解答者必须具备根据条件作出图形的能力；要注意考虑图形的完整性和其他各种可能性，双解和多解问题也是我们在学习过程中应该注意的一个重要环节．类型二、三角形的外角【高清课堂：与三角形有关的角 例4、 】3.如图，在△ABC 中，AE ⊥BC 于E ，AD 为∠BAC 的平分线，∠B=50º，∠C=70º， 求∠DAE ．【答案与解析】解：∠A ＝180°－∠B －∠C ＝180°－50°－70°＝60°又AD 为∠BAC 的平分线所以∠BAD ＝12BAC ∠＝30° ∠ADE ＝∠B ＋∠BAD ＝50º＋30°＝80°又 AE ⊥BC 于E所以∠DAE ＝90°－∠ADE ＝90°－80°＝10°举一反三：【变式】如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，AE ⊥BC 于E ，AD 为∠BAC 的平分线，则∠DAE 与∠C －∠B 的数量关系 .【答案】2C B DAE ∠-∠∠=4.如图所示，已知CE 是△ABC 外角∠ACD 的平分线，CE 交BA 延长线于点E.求证：∠BAC >∠B.【答案与解析】证明：在△ACE中，∠BAC >∠1（三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角）.同理在△BCE中，∠2 >∠B，因为∠1=∠2，所以∠BAC >∠B.【总结升华】涉及角的不等关系的问题时，经常用到三角形外角性质：“三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角”.举一反三：【变式】如图所示，用“<”把∠1、∠2、∠A联系起来________.【答案】∠A <∠2 <∠1类型三、三角形的内角外角综合5.如图所示，试求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．【思路点拨】本题中∠A、∠B、∠C、∠D、∠E不能单个地求出．因此，需进行整体求值．【答案与解析】解：连BC，由三角形的内角和为180°不难得到∠E+∠D＝∠1+∠2．∵∠A+∠ABD+∠ACE+∠1+∠2＝180°，∴∠A+∠ABD+∠ACE+∠D+∠E＝180°．【总结升华】解多个角的度数和问题可以结合三角形的内角和与三角形的外角，将所求角转化到一个或几个三角形中，从而求得多个角的和．举一反三：【变式1】如图所示，五角星ABCDE中，试说明∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.【答案】解：因为∠AGF是△GCE的外角，所以∠AGF=∠C+∠E.同理∠AFG=∠B+∠D.在△AFG中，∠A+∠AFG+∠AGF=180°.所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.【变式2】一个三角形的外角中，最多有锐角 ( )A．1个 B．2个 C．3个 D．不能确定【答案】A (提示：由于三角形最多有一个内角是钝角，故最多有一个外角是锐角．) 三、总结：四、课堂练习：一、选择题1. (湖北荆州)如图所示，一根直尺EF压在三角板30°的角∠BAC上，与两边AC，AB交于M，N．那么∠CME+∠BNF是( )A．150° B．180° C．135° D．不能确定2．若一个三角形的三个内角互不相等，则它的最小角必小于( )A．30° B．45° C．60° D．55°3．下列语句中，正确的是( )A．三角形的外角大于任何一个内角B．三角形的外角等于这个三角形的两个内角之和C．三角形的外角中，至少有两个钝角D．三角形的外角中，至少有一个钝角4．如果一个三角形的两个外角之和为270°，那么这个三角形是( )A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定5．如图，已知AB∥CD，则( )A．∠1＝∠2+∠3 B．∠1＝2∠2+∠3C．∠1＝2∠2-∠3 D．∠1＝180°-∠2-∠36.(福建漳州)如图所示，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC的纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A＝70°，则∠1+∠2＝( ) A．140° B．130° C．110° D．70°二、填空题7．在△ABC中，若∠A-2∠B＝70°，2∠C-∠B＝10°，则∠C＝________．8．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O．(1)若∠A＝76°，则∠BOC＝________；(2)若∠BOC＝120°，则∠A＝_______；(3)∠A与∠BOC之间具有的数量关系是_______．9. 已知等腰三角形的一个外角等于100°，则它的底角等于________．10．(河南)将一副直角三角板如图所示放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为________．11．(湖北鄂州)如图所示，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝_______．12.如图，O是△ABC外一点，OB，OC分别平分△ABC的外角∠CBE，∠BCF.若∠A＝n°，则∠BOC＝（用含n的代数式表示）.三、解答题13.如图，求证：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.14．如图所示，BE与CD交于A，CF为∠BCD的平分线，EF为∠BED的平分线．(1)试探求：∠F与∠B、∠D之间的关系；(2)若∠B:∠D:∠F＝2:4:x，求x的值．15．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与外角∠ACE的平分线交于点D．试说明12D A ∠=∠．16．如图所示，在△ABC中，∠1＝∠2，∠C＞∠B，E为AD上一点，且EF⊥BC于F．(1)试探索∠DEF与∠B，∠C的大小关系；(2)如图(2)所示，当点E在AD的延长线上时，其余条件都不变，你在(1)中探索到的结论是否还成立?【答案与解析】一、选择题1. 【答案】A【解析】(1)由∠A＝30°，可得∠AMN+∠ANM＝180°-30°＝150°又∵∠CME＝∠AMN，∠BNF＝∠ANM，故有∠CME+∠BNF＝150°．2. 【答案】C；【解析】假如三角形的最小角不小于60°，则必有大于或等于60°的，因为该三角形三个内角互不相等，所以另外两个非最小角一定大于60°，此时，该三角形的三个内角和必大于180°，这与三角形的内角和定理矛盾，故假设不可能成立，即它的最小角必小于60°．3. 【答案】C ；【解析】因为三角形的内角中最多有一个钝角，所以外角中最多有一个锐角，即外角中至少有两个钝角.4. 【答案】B；【解析】因为三角形的外角和360°，而两个外角的和为270°，所以必有一个外角为90°，所以有一个内有为90°.5. 【答案】A；6. 【答案】A；【解析】连接AA′，则∠1＝∠EAA′+∠EA′A，∠2＝∠DAA′+∠DA′A所以∠1+∠2＝∠EAA′+∠EA′A+∠DAA′+∠DA′A＝∠EAD+∠EA′D＝70°+70°＝140°．二、填空题7. 【答案】20°；【解析】联立方程组：A-2B=702C-10180BA B C∠∠︒⎧⎪∠∠=︒⎨⎪∠+∠+∠=︒⎩，解得20C∠=︒．8.【答案】128°, 60°，∠BOC＝90°+12∠A；9. 【答案】80°或50°；【解析】100°的补角为80°，(1)80°为三角形的顶角；（2）80°为三角形底角时，则三角形顶角为50°.10．【答案】75°；11.【答案】50°；【解析】∠PCD＝∠PBC+40°，即∠PCD－∠PBC＝40°，又PA是△ABC中∠A的外角的平分线，点P是旁心（旁心是一个三角形内角平分线与其不相邻的两个外角平分线的交点）所以180°－2∠PCD+2∠PBC+180°－2∠PAC＝180°，所以∠PAC＝50°.12.【答案】1902n︒-︒；【解析】∵∠COB=180︒-（∠OBC+∠OCB ）， 而BO ，CO 分别平分∠CBE ，∠BCF ，∴∠OBC ＝1122n ACB ︒+∠，∠OCB ＝1122n ABC ︒+∠. ∴∠COB=180°－[(180)2n n ︒+︒-︒]＝1902n ︒-︒. 三、解答题13.【解析】解：延长BE ，交AC 于点H,易得∠BFC=∠A+∠B+∠C再由∠EFC=∠D+∠E ，上式两边分别相加，得：∠A+∠B+∠C ＋∠D+∠E ＝∠BFC ＋∠EFC ＝180°。

三角形的内角和与外角和三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条线段组成，每两条线段之间的夹角称为三角形的内角。

而与每个内角相对的外角则是与之相补的角度。

本文将探讨三角形的内角和与外角和的相关性质。

一、三角形的内角和在一个三角形中，三个内角的和总是等于180度。

这个性质被称为三角形内角和定理。

假设三角形的三个内角分别为A、B、C，则有以下关系成立：A +B +C = 180度这个定理有时也可以通过三角形内角和的定义来理解。

根据定义，三角形的每个内角都是由两个边所形成的夹角。

因此，三角形的三个内角将形成一条直线，而直线角度总和为180度。

二、三角形的外角和在三角形中，每个内角的补角称为外角。

即与内角相对的直线之间的夹角。

我们可以推论出，三角形的三个外角的和总是等于360度。

这个性质被称为三角形外角和定理。

三、内角和与外角和的关系我们可以通过三角形的内角和与外角和的关系来推导出三角形的外角和定理。

我们知道三角形的三个内角和为180度。

以一个内角为例，假设该内角的度数为x度，则其补角的度数为180减去x度。

由于三角形的三个内角的补角的度数总和等于360度，因此有：(180 - A) + (180 - B) + (180 - C) = 360度化简得：540 - (A + B + C) = 360度由于A + B + C = 180度，代入上式得：540 - 180 = 360度因此，我们可以得出结论，三角形的外角和总是等于360度。

这一结论也可以通过实际验证来证明。

我们可以通过绘制一张三角形的示意图，并在每个内角旁边标记其补角的度数。

通过测量这些度数，我们可以发现三个补角的度数总和为360度。

总结：三角形的内角和与外角和的关系是：1. 三角形的内角和等于180度。

2. 三角形的外角和等于360度。

这些性质在解决三角形相关问题时非常有用。

对于任意的三角形，我们都可以利用这些性质计算其内角和与外角和，从而帮助我们更好地理解和分析三角形的特性和性质。

三角形的内角和与外角和关系（基础）知识讲解【学习目标】1．理解三角形内角和定理的证明方法；2．掌握三角形内角和定理及三角形的外角性质；3．能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题.【要点梳理】要点一、三角形的内角和1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．2.结论：直角三角形的两个锐角互余.要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．要点二、三角形的外角1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.要点诠释：（1）外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线．（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．2．性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理、证明经常使用的理论依据．另外，在证明角的不等关系时也常想到外角的性质．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°．【典型例题】类型一、三角形的内角和1．证明：三角形的内角和为180°.【答案与解析】解：已知：如图，已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°.证法1：如图1所示，延长BC 到E ，作CD ∥AB ．∵ AB ∥CD （已作），∴ ∠1=∠A （两直线平行，内错角相等），∠B=∠2（两直线平行，同位角相等）．又∵∠ACB+∠1+∠2=180°（平角定义），∴∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）．证法2：如图2所示，在BC 边上任取一点D ，作DE ∥AB ，交AC 于E ，DF ∥AC ，交AB 于点F ．∵DF ∥AC （已作），∴∠1=∠C （两直线平行，同位角相等），∠2=∠DEC （两直线平行，内错角相等）．∵DE ∥AB （已作）．∴∠3=∠B ，∠DEC=∠A （两直线平行，同位角相等）．∴∠A=∠2（等量代换）．又∵∠1+∠2+∠3=180°（平角定义），∴∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）．证法3：如图3所示，过A 点任作直线1l ，过B 点作2l ∥1l ，过C 点作3l ∥1l ，∵1l ∥3l （已作）．∴∠l=∠2（两直线平行，内错角相等）．同理∠3=∠4．又∵1l ∥2l （已作），∴∠5+∠1+∠6+∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补）．∴∠5+∠2+∠6+∠3=180°（等量代换）．又∵∠2+∠3=∠ACB ，∴∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°（等量代换）．【总结升华】三角形内角和定理的证明方法有很多种，无论哪种证明方法，都是应用的平行线的性质.2.在△ABC 中，已知∠A+∠B ＝80°，∠C ＝2∠B ，试求∠A ，∠B 和∠C 的度数．【思路点拨】题中给出两个条件：∠A+∠B ＝80°，∠C ＝2∠B ，再根据三角形的内角和等于180°，即∠A+∠B+∠C ＝180°就可以求出∠A ，∠B 和∠C 的度数．【答案与解析】解：由∠A+∠B ＝80°及∠A+∠B+∠C ＝180°，知∠C ＝100°．又∵ ∠C ＝2∠B ，∴ ∠B ＝50°．∴ ∠A ＝80°-∠B ＝80°-50°＝30°．【总结升华】解答本题的关键是利用隐含条件∠A+∠B+∠C ＝180°．本题可以设∠B ＝x ，则∠A ＝80°-x ，∠C ＝2x 建立方程求解．【高清课堂：与三角形有关的角 例1、】举一反三：【变式】已知，如图 ，在△ABC 中，∠C=∠ABC=2∠A ，BD 是AC 边上的高，求∠DBC 的度数.【答案】解：已知△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A设∠A=x则∠C=∠ABC=2xx+2x+2x=180°解得：x=36°∴∠C=2x=72°在△BDC中， BD是AC边上的高，∴∠BDC=90°∴∠DBC=180°－90°-72°=18°类型二、三角形的外角【高清课堂：与三角形有关的角例2、】3.（1）如图，AB和CD交于点O，求证：∠A＋∠C＝∠B＋∠D ．（2）如图，求证：∠D=∠A＋∠B +∠C．【答案与解析】解：（1）如图，在△AOC中，∠COB是一个外角，由外角的性质可得：∠COB＝∠A＋∠C，同理，在△BOD中，∠COB＝∠B＋∠D，所以∠A＋∠C＝∠B＋∠D．（2）如图，延长线段BD交线段与点E，在△ABE中，∠BEC＝∠A＋∠B ①；在△DCE中，∠BDC＝∠BEC＋∠C ②，将①代入②得，∠BDC＝∠A＋∠B＋∠C，即得证．【总结升华】重要结论：（1）“8”字形图：∠A＋∠C＝∠B＋∠D；（2）“燕尾形图”：∠D=∠A＋∠B +∠C．举一反三：【变式1】如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A＝40°，∠AOB＝75°，则∠C等于（）A、40°B、65°C、75°D、115°【答案】B【变式2】如图，在△ABC中，∠A＝70°，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，则∠BOC的度数为 .【答案】125°类型三、三角形的内角、外角综合4.如图所示，已知DE分别交△ABC的边AB、AC于D、E，交BC的延长线于F，∠B＝67°，∠ACB＝74°，∠AED＝48°，求∠BDF的度数．【思路点拨】要求∠BDF的度数，应从三角形内角和与三角形的外角出发，若将∠BDF看成△BDF的内角，只需求∠F的度数即可．【答案与解析】解：∵∠CEF＝∠AED＝48°，∠BCA＝∠CEF+∠F，∴∠F＝∠BCA-∠CEF＝74°-48°＝26°，∴∠BDF＝180°-∠B-∠F＝180°-67°-26°＝87°．【总结升华】三角形内角和与外角是进行与角有关的计算或证明的重要工具，本题也可将∠BDF看成△ADE的外角来求解．举一反三：【变式】如图所示，已知△ABC中，P为内角平分线AD、BE、CF的交点，过点P作PG⊥BC 于G，试说明∠BPD与∠CPG的大小关系并说明理由．【答案】解：∠BPD＝∠CPG；理由如下：∵ AD、BE、CF分别是∠BAC、∠ABC、∠ACB的角平分线，∴∠1＝12∠ABC，∠2＝12∠BAC，∠3＝12∠ACB，∴∠1+∠2+∠3＝12(∠ABC+∠BAC+∠ACB)＝90°，又∵∠4＝∠1+∠2，∴∠4+∠3＝90°，又∵ PG⊥BC，∴∠3+∠5＝90°，∴∠4＝∠5，即∠BPD＝∠CPG．。

三角形的内角和与外角和课件一、教学内容本节课的教学内容来自于人教版小学数学四年级下册第107页至108页，主要讲述三角形的内角和与外角和。

学生将通过学习，了解三角形的内角和总是180度，以及外角与相邻内角的关系。

二、教学目标1. 学生能够通过实际操作，探究并证明三角形的内角和总是180度。

2. 学生能够理解三角形外角与相邻内角的关系，并能运用这一关系解决实际问题。

3. 培养学生的观察能力、操作能力和逻辑思维能力。

三、教学难点与重点重点：三角形内角和总是180度，外角与相邻内角的关系。

难点：如何引导学生通过实际操作发现并证明三角形的内角和，以及如何理解外角与相邻内角的关系。

四、教具与学具准备教具：三角板、量角器、直尺。

学具：每个学生准备一个三角形模型，以及用于画图的铅笔和橡皮。

五、教学过程1. 实践情景引入：让学生拿出自己的三角形模型，观察并描述三角形的特征。

3. 理解外角和：让学生用自己的三角形模型，尝试测量每个三角形的外角，并记录下来。

然后，引导学生发现并理解外角与相邻内角的关系。

4. 例题讲解：出示一些有关三角形内角和与外角的例题，让学生们运用所学知识解决问题。

5. 随堂练习：让学生独立完成一些有关三角形内角和与外角的练习题，巩固所学知识。

六、板书设计三角形的内角和：总是180度外角与相邻内角的关系：外角等于不相邻的两个内角之和七、作业设计1. 请用你所学的知识，画出一个任意的三角形，并测量其内角和。

答案：三角形的内角和总是180度。

2. 请用你所学的知识，解释下面这个问题：一个三角形的两个内角分别是60度和70度，求第三个内角的度数。

答案：第三个内角的度数是50度。

八、课后反思及拓展延伸本节课通过实际操作，让学生们发现了三角形的内角和总是180度，以及外角与相邻内角的关系。

在教学过程中，学生们积极参与，课堂氛围良好。

但在今后的教学中，还需要注意引导学生更好地理解外角与相邻内角的关系，并能够灵活运用这一关系解决实际问题。

三角形的内角和与外角和的计算三角形是几何学中的基本图形，由三条边组成，每个角落对应着一个角。

三角形的内角和与外角和是我们学习三角形性质时常常涉及的重要概念。

本文将详细介绍三角形内角和与外角和的计算方法。

一、三角形的内角和计算方法对于任意一般三角形ABC，我们可以用角度的方式来描述这个三角形。

设三角形的三个内角分别为∠A、∠B和∠C，我们有以下定理：定理1：三角形的内角和等于180°。

也就是说，∠A + ∠B + ∠C = 180°。

这个定理是非常重要的，因为只要知道三个内角中的任意两个角度，就可以通过计算得到第三个角度的值。

例如，如果我们已知∠A = 30°，∠B = 45°，那么根据定理1，我们可以计算出∠C的值：∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 30° - 45° = 105°。

由此可见，三角形的内角和是固定的，不受三角形大小和形状的影响。

无论是等边三角形、等腰三角形还是一般三角形，它们的内角和都是180°。

二、三角形外角和计算方法三角形的每个内角都有一个对应的外角，它们之间的关系如下：定理2：三角形的一个内角的对应外角等于其他两个内角的和。

也就是说，对于三角形ABC，∠A的对应外角等于∠B和∠C的和，∠B的对应外角等于∠A和∠C的和，∠C的对应外角等于∠A和∠B的和。

设∠A的对应外角为∠D，∠B的对应外角为∠E，∠C的对应外角为∠F，我们有以下等式：∠D = ∠B + ∠C,∠E = ∠A + ∠C,∠F = ∠A + ∠B.三角形的外角和是指三个外角的和，即∠D + ∠E + ∠F。

根据定理2，我们可以将其表示为：∠D + ∠E + ∠F = (∠B + ∠C) + (∠A + ∠C) + (∠A + ∠B) = 2(∠A + ∠B + ∠C) = 2(180°) = 360°.这意味着，无论是何种三角形，其外角和都等于360°。

三角形内角和定理的证明知识梳理:一．三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°.符号表示：△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°.变式：∠A＝180°－∠B－∠C.谈重点三角形内角和解读(1)三角形内角和等于180°是三角形的一个重要性质．与三角形的具体形状或种类没有关系，即所有三角形的内角和都等于180°；(2)三角形内角和等于180°是三角形本身固有的一个隐含条件，在有关角的计算或日常生活中应用广泛；(3)利用定理在三角形中已知两角可求第三角，或已知各角的关系求各角；(4)三角形内角和的一个重要结论：直角三角形的两个锐角互余．例：1、在一个三角形中，下列说法错误的是()．A．可以有一个锐角和一个钝角B．可以有两个锐角C．可以有一个锐角和一个直角D．可以有两个钝角2、已知一个三角形三个内角度数的比是1∶5∶6，则其最大内角的度数为()．A．60°B．75°C．90°D．120°3、一副三角板（分别含45°角和60°角）如图1叠放在一起，求图中∠α的度数。

分析：欲求∠α的度数，需先求出∠BAE，而∠BAE＋∠B=∠FED，求∠BAE要用三角形外角的性质。

二．三角形的外角(1)定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角．如图所示，∠ACD和∠BCE是△ABC的两个外角，而∠DCE不是三角形的外角．(2)三角形外角的特征三角形的外角特征：①顶点是三角形的一个顶点；②外角的一边是三角形的边；③外角的另一条边是三角形某条边的延长线．(3)三角形外角的实质是一个内角的邻补角，两个角的和等于180°.如上图中，∠ACB＋∠ACD＝180°.三角形外角定理：三角形的一个外角等于与他不相邻的两个内角的和。

如刚才的例子，∠ACD=∠A+∠B。

试证明之：例：1、如图所示，∠1为三角形的外角的是()．2、如图所示，在△ABC中D是AC延长线上的一点，∠BCD等于（）A．72°B．82°C．98°D．124°（1）如右图所示，△ABC中，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，若∠ADB=93•°，•则∠A=_________．3．（2）三角形的三个外角中，最多有______个锐角．3、已知△ABC中，点P是△ABC内的一点，连接BP、CP，试说明：∠BPC=∠ABP＋∠ACP＋∠A。

初中数学知识点三角形的内角和与外角和初中数学知识点——三角形的内角和与外角和三角形是初中数学中最基础且重要的几何图形之一。

在学习三角形的知识时，了解三角形的内角和与外角和是必不可少的。

本文将详细介绍三角形的内角和与外角和的概念、性质以及相关的定理和公式。

一、三角形的内角和三角形的内角和指的是三角形内部三个角的度数之和。

对于任意一个三角形ABC，其内角和为180度，即∠A + ∠B + ∠C = 180°。

这个性质是初中数学中最基本的三角形知识之一。

利用三角形内角和的性质，我们可以解决一系列与三角形有关的问题。

例如，已知两个角度，可以利用三角形内角和的性质求解第三个角的度数；已知三个角度，可以判断三角形的类型（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）等。

二、三角形的外角和三角形的外角和指的是三角形内部一个角的补角的度数之和。

对于任意一个三角形ABC，以角A为例，其外角和为360度，即∠D + ∠E + ∠F = 360°。

其中∠D，∠E，∠F 为角A的三个补角。

三角形的外角和是基于三角形内角和的概念进行推导得出的，它的计算方法非常简单。

我们只需利用补角的性质，将三个外角与其对应的内角相加即可得到外角和。

三、三角形内角和与外角和的定理和公式除了基本定义外，三角形的内角和与外角和还有一些重要的定理和公式。

1. 定理1：等腰三角形的内角和为180度若一个三角形两边的长度相等，则该三角形称为等腰三角形。

由等腰三角形的性质可知，等腰三角形的两个底角度数相等。

因此，一个等腰三角形的内角和可以表示为2x + y = 180°。

其中，x为等腰三角形的两个底角的度数，y为顶角的度数。

2. 定理2：直角三角形的内角和为180度直角三角形是指一个角为90度的三角形。

由直角三角形的性质可知，其直角角度固定为90度，而其余两个锐角的和为90度。

因此，直角三角形的内角和可以表示为90° + x + y = 180°。