2013年高考数学总复习 2-2 函数的单调性与最值 新人教B版

2013年高考数学总复习 2-2 函数的单调性与最值 新人教B版

1.(文)(2011·大连模拟)下列函数在(0,1)上是减函数的是( )

A．y＝log0.5(1－x) B．y＝x0.5

C．y＝0.51－x D．y＝12(1－x2)

[答案] D

[解析] ∵u＝1－x在(0,1)上为减函数，且u>0，∴y＝log0.5(1－x)为增函数，y＝0.51－x为增函数；又0.5>0，

∴幂函数y＝x0.5在(0,1)上为增函数；二次函数y＝12(1－x2)开口向下，对称轴x＝0，故在(0,1)上为减函数．

(理)(2011·广州模拟)下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(－∞，0)，当x1

A．f(x)＝－x＋1 B．f(x)＝x2－1

C．f(x)＝2x D．f(x)＝ln(－x)

[答案] C

[解析] f(x)＝－x＋1为减函数，f(x)＝x2－1在(－∞，1)上为减函数；f(x)＝2x为增函数，f(x)＝ln(－x)为减函数，由条件知f(x)在(－∞，0)上为增函数，故排除A、B、D选C.

2．(2011·湖北理，2)已知U＝{y|y＝log2x，x>1}，P＝{y|y＝1x，x>2}，则∁UP＝( )

A．[12，＋∞) B．(0，12)

C．(0，＋∞) D．(－∞，0]∪[12，＋∞)

[答案] A

[解析] ∵U＝{y|y＝log2x，x>1}＝(0，＋∞)，

P＝{y|y＝1x，x>2}＝(0，12)，

∴∁UP＝[12，＋∞)．

3．(文)(2011·上海文，15)下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )

A．y＝x－2 B．y＝x－1

C．y＝x2 D．y＝x13

[答案] A [解析] y＝x－1是奇函数，y＝x2在(0，＋∞)上单调递增，y＝x13 是奇函数．

(理)(2011·课标全国文，3)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( )

A．y＝x3 B．y＝|x|＋1

C．y＝－x2＋1 D．y＝2－|x|

[答案] B

[解析] A项中y＝x3是奇函数而不是偶函数，C项中y＝－x2＋1是偶函数，但在(0，＋∞)单调递减，D项中y＝2－|x|是偶函数但在(0，＋∞)上单调递减．

4．(2011·江苏南通中学月考、北京东城示范校练习)设a＝log13 2，b＝log12 13，c＝120.3，则( )

A．a＜b＜c B．a＜c＜b

C．b＜c＜a D．b＜a＜c

[答案] B

[解析] ∵log13 2

∵log12 13>log12 12＝1，∴b>1；

∵120.3<1，∴0

5．(文)(2011·北京模拟)设函数f(x)＝ 23x－1 x≥01x x<0，若f(a)>a，则实数a的取值范围是( )

A．(－∞，－3) B．(－∞，－1)

C．(1，＋∞) D．(0,1)

[答案] B

[解析] f(a)>a化为 a≥023a－1>a或 a<01a>a，

∴a<－1.

(理)(2011·衡水模拟)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调增加，则满足f(2x－1)

A．(13，23) B．[13，23) C．(12，23) D．[12，23)

[答案] A

[解析] 当2x－1≥0，即x≥12时，

由于函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调增加，

则由f(2x－1)

即x<23，故12≤x<23；

当2x－1<0，即x<12时，

由于函数f(x)是偶函数，

故f(2x－1)＝f(1－2x)，此时1－2x>0，

由f(2x－1)

即x>13，故13

综上可知x的取值范围是(13，23)．

[点评] (1)由于f(x)为偶函数，∴f(2x－1)

(2)可借助图形分析

作出示意图可知：

f(2x－1)

即13

6．(2011·青岛模拟)已知函数f(x)＝ax＋logax(a>0且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为loga2＋6，则a的值为( )

A.12 B.14 C．2 D．4

[答案] C

[解析] f(x)在[1,2]上是单调函数，由题意知，a＋a2＋loga2＝loga2＋6，∴a2＋a－6＝0，∵a>0，∴a＝2.

7．(文)如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a的取值范围是________．

[答案] [－14，0]

[解析] (1)当a＝0时，f(x)＝2x－3，在定义域R上单调递增，故在(－∞，4)上单调递增；

(2)当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为直线x＝－1a，因为f(x)在(－∞，4)上单调递增，所以a<0，且－1a≥4，解得－14≤a<0.综上所述－14≤a≤0.

(理)若函数f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝ax＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是________．

[答案] (0,1]

[解析] 由f(x)＝－x2＋2ax得函数对称轴为x＝a，

又在区间[1,2]上是减函数，所以a≤1，

又g(x)＝ax＋1在[1,2]上减函数，所以a>0，

综上a的取值范围为(0,1]．

8．(文)f(x)＝xlnx的单调递减区间是________．

[答案] 0，1e

[解析] f ′(x)＝lnx＋1，令f ′(x)<0得x<1e，

∴0

(理)若函数f(x)＝x2＋2x＋alnx在(0,1)上单调递减，则实数a的取值范围是________．

[答案] a≤－4

[解析] ∵函数f(x)＝x2＋2x＋alnx在(0,1)上单调递减，∴当x∈(0,1)时，f ′(x)＝2x＋2＋ax＝2x2＋2x＋ax≤0，∴g(x)＝2x2＋2x＋a≤0在x∈(0,1)时恒成立，

∵g(x)的对称轴x＝－12，x∈(0,1)，

∴g(1)≤0，即a≤－4. 9．(2011·江苏)函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________．

[答案] (－12，＋∞)

[解析] ∵2x＋1>0，∴x>－12.

所求单调增区间为(－12，＋∞)．

10．(文)已知f(x)＝xx－a(x≠a)．

(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增；

(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．

[解析] (1)证明：设x1

则f(x1)－f(x2)＝x1x1＋2－x2x2＋2

＝2x1－x2x1＋2x2＋2.

∵(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，

∴f(x1)

∴f(x)在(－∞，－2)内单调递增．

(2)解：设1

f(x1)－f(x2)＝x1x1－a－x2x2－a

＝ax2－x1x1－ax2－a.

∵a>0，x2－x1>0，

∴要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，∴a≤1.

综上所述知0

[点评] 第(2)问中，由f(x)单调递减知x10恒成立，从而(x1－a)(x2－a)>0恒成立，由于a>0，x1>1，x2>1，故只有当0

(理)已知函数f(x)对任意的a、b∈R都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，且当x>0时，f(x)>1.

(1)求证：f(x)是R上的增函数；

(2)若f(4)＝5，解不等式f(3m2－m－2)<3.

[解析] (1)证明：任取x1、x2∈R且x1

∴x2－x1>0.

∴f(x2－x1)>1.

∴f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]

＝f(x1)＋f(x2－x1)－1>f(x1)， ∴f(x)是R上的增函数．

(2)解：f(4)＝f(2)＋f(2)－1＝5，

∴f(2)＝3.

∴f(3m2－m－2)<3化为f(3m2－m－2)

又由(1)的结论知f(x)是R上的增函数，

∴3m2－m－2<2，∴－1

11.(文)(2011·平顶山一模)定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有fx2－fx1x2－x1<0，则( )

A．f(3)

C．f(－2)

[答案] A

[解析] 由题意f(x)在[0，＋∞)上为减函数，

∴f(3)

又f(x)为偶函数，∴f(－2)＝f(2)，故选A.

(理)(2011·山东聊城一中期末)设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，f(x)＝3x－1，则有( )

A．f13

B．f23

C．f23

D．f32

[答案] B

[解析] ∵f(x)的图象关于直线x＝1对称，x≥1时，f(x)＝3x－1为增函数，故当x<1时，f(x)为减函数，且f32＝f1＋12＝f1－12＝f12，∵13<12<23，∴f13>f12>f23，即f23