谈动能定理的深入理解 中学生数理化

谈对动能定理的深入理解《中学生数理化》
成建 王善锋 山东省 邹平县第一中学 256200
在2005年《中学物理教学参考》第8期上，有一篇“动能定理能在某个方向上使用吗”的文章，读后自己感触很深，感觉在动能定理的教学过程中，我们在很多的教学环节上处理不到位、不规范，造成了学生认识上的偏差，甚至是错误的理解.
在动能定理教学中,为了向学生传授基础知识，培养能力，追求良好的教学效果，达到提高教学质量之目的，教师在物理规律的处理上，必须通过引导让学生慢慢地理解规律的适用条件和容易出错的地方.本文通过七个方面的问题结合教学实践谈一谈自己对动能定理的理解，以起到抛砖引玉的作用.
1.高中阶段学习的动能定理，其研究对象仅是单个质点（或者是可视为质点的单个物体）. 课本上推导动能定理时，其研究对象就是一个质点(或者一个能视为质点的物体)，因此，动能定理必须用于研究对象仅是一个质点(或者一个能视为质点的物体)的情况.并且，大学物理上对质点的动能定理一般这样描述：“质点动能的增量等于作用于质点的合力所做的功”，而对质点系的动能定理则是这样的：“质点系动能的增量等于一切外力所做功与一切内力所做功的代数和.” .因此，不能视为质点的物体，一般不能应用动能定理，如：一弹簧固定在竖直墙上，用水平力F 将弹簧缓缓拉伸一段距离S 后静止，弹簧运动的一端拉力F 对弹簧做正功，而固定墙壁对弹簧另一端不做功，则外力总功不为零，而弹簧的动能却无变化，原因在于整个弹簧不能视为质点，动能定理不适用；还有在光滑冰面上的冰车，人在冰车上向前行走，冰车会向后退，这是因为如将人与冰车看成是一个质点组，人在冰车上行走时，人与冰车之间有内力作用，借助这内力的功，可以使人与冰的动能增加，但合外力做功为零.
2.动能定理只适用于惯性参照系，即定理公式中用到的力F 、位移x 和速度v 都必须相对于同一惯性参照系.如果不是在相对静止惯性参照系中，观测到的位移和速度不同, 功的数值和正负、动能的数值和变化量可以不同；若是非惯性参照系，物体受力情况也不同（非惯性参照系中，还需要考虑惯性力作用），动能定理一般是不成立的.同时，尽管研究对象的动能随选取的参照系不同而异，但动能定理所研究的是动能变化与外力功之间的关系，相对于惯性参照系总能得到确定的结果.
3.关于能否对某一方向用动能定理的疑问.在“动能定理能在某个方向上使用吗”中，黄宝松老师对于如何应用做了比较详细的说明，这里不再赘述.在这里，我想谈一下自己的观点：一、黄老师对该应用的条件强调的不够，应该特别指出其条件为：适用于“沿相互垂直．．．．的方向分解出的分运动．．．
”；二、黄老师强调了“如所有的力沿互相垂直的方向”这一条件，其所涉及到的例题也都体现了这一点，其实，这是不必要的，只要能把物体受到的力分解到互相垂直的分运动的方向上即可；三、黄老师是由“力的独立作用原理”得到的“动能定理能在某个方向应用”的结论，但“力的独立作用原理”是指每个力单独产生加速度，而不是单独的功吧？该结论由“合外力功等于各个力做功之和”得到更容易理解；四、动能定理无分量形式.众所周知，动能和功是标量，所以动能定理的表达式是标量表达式，无分量形式，所以“沿某个方向应用动能定理”的做法是错误的，对学生理解动能定理能产生误导.那为什么能出现黄老师所考虑的情况呢？我们作一下分析，建立空间直角坐标系oxyz ，设在某一过程中，各个坐标轴上合外力的功分别为x W 、y W 、z W ，物体的初速度分别为1x v 、1y v 、1z v ，末速度分别为2x v 、2y v 、2z v ，对坐标轴上的各个分运动分别运用动能定理得到：21222
121x x x mv mv W -=①，21222121y y y mv mv W -=②，21222
121z z z mv mv W -=
③.把三个式子左右两侧相加得到：)2
121()2121()2121(212221222122z z y y x x z y x mv mv mv mv mv mv W W W -+-+-=++④，由于功为标量所以合W W W W z y x =++⑤，由于三个分运动相互垂直，所以2121212121)212121(mv mv mv mv z y x =++⑥，
2222222221212121(mv mv mv mv z y x =++）⑦，由④⑤⑥⑦得到2
1222121mv mv W -=合⑧，上面推导的前
提是⑥、⑦两式成立，即分运动相互垂直.其他不垂直的情况是不成立的.因此，动能定理的分量式在解题时确实可以应用，但一定要对相互．．垂直．．的方向上的分运动．．．
使用动能定理，而不是在某方向使用动能定理. 但是，由于该方法给学生一种“动能定理有分量式” 的印象，所以本人不建议在高中阶段让学生运用，防止学生认为功和能量能分解.
4.用斜面情景推导动能定理效果更好.
第一步：说明物体的运动状态，并导出加速度的计算式；
在沿斜面向上的外力作用F 下，质量为m 的物体沿粗糙的、倾角为θ的斜面向上滑动，在 A 处时的速
度为1v ，通过B 处时的速度为2v ，由A 处到B 处的位移为x .由运动学公式得到：x
v v a 22122-=① 第二步：画出物体的受力分析图，进行正交分解（略）；
第三步：运用牛顿第二定律和①式导出“动能定理”.若已知物体的质量为m 、其加速度为a ，则根据牛顿第二定律可以写出：ma mg f F =--θsin ②， 将①、②两式联立导出：212212
121mv mv x F fx Fx -=--③， 以W 表示外力对物体所做的总功：x F fx Fx W 1--=④ ，以1K E 表示物体通过A 处时的动能，2K E 表示物体通过B 处时的动能，则：21121mv E K =⑤，2222
1mv E K =⑥，将⑤、⑥、⑦三式代入③式，就导出了课本中的动能定理的数学表达形式：12K K E E W -=.
与用水平、光滑情景相比，采用斜面情景推导的方法其优点为：⑴用水平、光滑情景推导动能定理的过程中只有动能的变化，而没有势能的变化；没有摩擦力作用，这会使一部分学生误认为动能定理只能用于解答没有势能变化的、没有摩擦力作用的问题，而采用斜面情景推导的方法，学生就能全面、正确地理解动能定理地适用范围了；⑵采用水平、光滑情景推导的方法只能导出动能定理，而不能导出功能原理；采用斜面情景推导的方法能在导出动能定理的基础上继续导出功能原理，从而使学生获得更多得知识，也有益于提高学生的解题能力；⑶采用在斜面上推导的方法涉及的物理知识和数学方法较多，能够培养学生运用数学解决问题的能力；⑷采用斜面情景推导，要求学生能从复杂的表达式中总结出动能定理，能培养学生在复杂事物中抓住问题本质的能力.
5.对定理中“增加”一词的理解：学生对于“变化量”一词一般能正确理解，其根据初、末状态的不同，可正、可负.而对于动能定理中的“增加”却理解的不到位.由于合外力做功可正、可负，因此物体在某一运动过程中动能可能增加，也可能减少.因而定理中“增加”一词，并不表示动能一定增大，它的确切含义为末态与初态的动能差，或称为“改变量”，数值可正、可负.
6.定理中强调了“外力对物体所做的总功”.实际问题中，有的力促进物体运动，而有的力则阻碍物体运动．因此它们做的功就有正、负之分，总功指的是合外力的功或者各外力做功的代数和.
7.定理揭示了外力对物体所做的总功与物体动能变化间的关系.功是一个过程量，而动能是一个状态量，二者之间没有直接关系，但是做功和动能的变化间存在一定的数量关系.做功的过程就是能量转化的过程，做功是使动能变化的手段，“做功过程”意味着“动能的变化”，合外做了多少功，就有多少动能发生了转化.合力做了正功，动能就增加；合力做负功，动能减小，并且动能增加量等于合力做的功.。