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关于求幂指函数极限的方法幂指函数：(),()0.指其中f x x()g x f()求幂指函数的极限通常有四种方法：lim()g xf x⑴直接求极限.⑵利用第二个重要极限求极限.⑶利用换底公式后综合其它方法求极限.⑷利用夹逼准则求极限.⑴直接计算.0lim (),lim (),f x A g x B =>=如果则sin30lim( 2)1x xx x →+求例.00sin 3lim(2)20lim 3, x x xx x →→+=>=,解所以sin33lim(2)=2=8xxx x →+.()()ln ()ln lim ()=lime =e=.g x g x f x B ABx A f⑵利用第二个重要极限求极限.1lim ()1,lim ().f xg x ∞==∞此方法适用于型未定式，即情形21lim(cos )2 x x x →例求..1∞此极限属于型未定式解210lim(cos )x x x →0lim 1(cos 1)x x →=+−1cos 1[]x −2cos 1{}x x −12e .−=⑶利用换底公式后综合其它方法求极限.()()ln ()()eg x g x f x f x =先换底为,然后诸如综合复合函数极限法则、()lim ().g x f x 连续性、等价无穷小代换及洛必达法则等方法求极限212lim(cos )3 x x x →再解例，求例.210lim(cos ) xx x →解21lncos 0=lime x xx →22011lim ()2=ex x x →⋅−210lncos ~.2x x x →−当时，12e .−=21limlncos =ex x x→⑷利用夹逼准则求极限.0(),lim ()0.m f x M g x <≤≤=此方法适用于情形2lim(1sin 4 ) xx x →+例.211sin 2x ≤+≤解由于，所以21(1sin )2x xx ≤+≤，lim1lim 21xx x →→=又=，2lim(1sin )=1.xx x →+故由夹逼准则得总结()lim()g xf x本讲介绍通常有四种方法：⑵利用第二个重要极限求极限.⑶利用换底公式后综合其它方法求极限.⑷利用夹逼准则求极限，⑴直接计算.各种方法之间有交叉，方法⑶具有一般性.。
幂指函数用洛必达法则求极限一、引言在数学中，极限是研究函数性质和计算的重要概念之一。
对于幂指函数，我们可以利用洛必达法则来求解其极限，该方法常用于解决一些复杂的极限计算问题。
本文将以幂指函数为例，详细介绍洛必达法则的应用过程。
二、洛必达法则的原理洛必达法则是由法国数学家洛必达在18世纪提出的，用于解决函数的极限计算问题。
该法则的核心思想是将函数的极限转化为两个函数的极限比值。
具体而言，对于两个函数f(x)和g(x)，如果它们在某一点a的邻域内都可导且g(x)不为零，且f(a)=g(a)=0，那么当x趋近于a时，f(x)和g(x)的极限存在，则可以利用洛必达法则计算极限。
三、幂指函数的极限计算以幂指函数f(x)=x^m和g(x)=a^x为例，其中m为实数，a为正实数。
我们将利用洛必达法则来计算f(x)和g(x)在x趋近于某一点a 时的极限。
1. 当m大于0时，f(x)的极限计算：我们可以直接计算f(x)在x=a处的函数值为f(a)=a^m。
然后，我们利用洛必达法则计算极限。
对于g(x)=a^x，我们有g(a)=a^a。
根据洛必达法则，我们需要计算f(x)和g(x)的导数比值。
由于f(x)的导数为f'(x)=mx^(m-1)，g(x)的导数为g'(x)=a^xln(a)，则f'(x)/g'(x)=mx^(m-1)/(a^xln(a))。
当x趋近于a时，我们可以将x-a表示为h，即x=a+h。
当h趋近于0时，x趋近于a。
因此，极限可以表示为lim(h→0) [mx^(m-1)/(a^xln(a))] = m(a^h)(1/ln(a))/(a^hln(a)) = m/ln(a)。
因此，当m大于0时，f(x)在x趋近于a时的极限为m/ln(a)。
2. 当m小于0时，f(x)的极限计算：与上一步类似，我们首先计算f(x)在x=a处的函数值为f(a)=a^m。
然后，我们利用洛必达法则计算极限。
摘要幂指函数是一类重要的函数，但在教材中涉及幂指函数的内容非常有限，系统的研究幂指函数的性质及应用是非常有必要的。
本文先利用微积分的相关知识论述幂指函数的分析性质；再用这些性质研究两个特殊的幂指函数；最后探讨幂指函数的性质在求极限、导数、微分和积分等问题中的应用。
关键词:幂指函数；极限；导数；微分；积分AbstractExponential function is a kind of important function, but the content of the exponential function involved in the teaching material is very limited, the exponential function of the nature of the research and application of system is very necessary. This paper, using relevant knowledge of calculus, first analysis the power properties; With these two special properties research of exponential function; Finally discusses the nature of the exponential function limit, derivative, differential and integral application problems.Key words: Power exponent function; Limit; Derivative; Differential; Integral目录1 引言 (1)2 预备知识 (1)3 幂指函数的性质 (3)3.1 极限性质 (3)3.2 导数性质 (6)3.3 微分性质 (8)3.4 积分性质 (9)4 幂指函数性质的应用 (9)4.1 在研究特殊幂指函数中的应用 (9)4.2 在解题中的应用 (11)4.2.1求极限 (11)4.2.2 求导数 (13)4.2.3 求微分 (14)4.2.4 求积分 (14)5 结论 (15)致谢 ........................................................................................错误!未定义书签。
【教法研究】幕指函数的求导与应用刘亚轻1,纵封磊2(1.北京信息科技大学理学院，北京100192；2.北京市丰台区第二中学，北京100071)［摘要］奉指函裟是幕底数和赛扌旨数都是自变量的函数,通过对一元界扌旨函数的求导进行教学研究与分析，并推广到多元赛扌旨函数和"阶幕■指函数求导问题，进一步应用实际问题结合MATLAB数学软件使学生对所学的知识灵活掌握并学以致用。
［关键词］舉指函数;复合函数;偏导数［基金项目］2017年度北京信息科技大学高教研究课题"促进学生自主学习餉课程考核方式研究”(2017GJYB03)［作者简介］刘亚轻(1981—),女,河北石家庄人，理学博士，北京信息科技大学理学院副教授(通信作者)，主要从事数学教育、可积系统等方面的研究。
［中图分类号10172.1［文献标识码］A［文章编号］1674-9324(2020)45-0291-02［收稿日期］2020-05-14無底数和無指数都是自变量的函数，形如丁资严)是数集)的函数称为無指函数。
無指函数形式上既像無函数，又像指数函数。
在高等数学的教学中,無指函数的求导运算是学生学习的一个难点,对学生来说非常棘手。
笔者结合多年的教学经验对一元無指函数的求导进行教学研究与分析，将其推广到多元無指函数和n阶無指函数求导，并应用例子结合MATLAB数学软件使学生能够灵活掌握并学以致用。
一、幕指函数的求导法则(-)复合指数函数求导法将無指函数化成指数函数的形式,然后利用符合函数求导法则。
计算过程：y=(/(x)«(I)y=(eg®町(町=/a严［g©)in/a)+巩?；?)］。
/(X)(二)对数隐函数求导法将無指函数两边取对数，然后利用隐函数求导法则。
计算过程：lny=ln/(x)g3=g(x)ln/a)两边同时关于乂求导，可得hg‘a)iva)+呼严y f(x)从而有”=并)g'(x)ln/(x)+或雾単.L f(x)」(三)公式求导法定理1幕指函数y=f(X)gM(/(x)>0,/(x)丰1)的导数等于幕函数与指数函数的导数之和，即=(/⑴如)'=g(x)/(x)gW-7Xx)+/(^w ln/(x) g'(x)。
专升本考试中幂指函数求极限求导数解题方法探讨
作者：***
来源：《理科爱好者(教育教学版)》2021年第01期
【摘要】在专升本考试中，幂指函数求导数以及求极限的题型对学生来说难度较大。
对此，本文针对幂指函数求导数以及求极限的问题提出了几种解决方法，希望对学生的专升本考试有所帮助。
【关键词】幂指函数;导数;极限
形如u（x）v（x）的函数被称为幂指函数。
幂指函数形式上既像幂函数，又像指数函数。
在高等数学教学中，幂指函数的求极限以及求导数的运算是学生学习的一個难点，对学生来说非常棘手[1-4]。
1 幂指函数求极限
1.1 公式恒等变形后用洛必达法则
本文给出了幂指函数求极限以及求导数时一些常用方法，这些方法对学生学习幂指函数有很大的帮助，能够提高学生计算能力，提高学生的思维发散能力，增强学生对数学的运用能力，希望对学生备考专升本有帮助。
【参考文献】
[1]贺电鹏.幂指函数求导法的探索[J].学科探索，2017（21）.
[2]刘亚轻，纵封磊.幂指函数的求导与应用[J].教育教学论坛，2020（45）.
[3]陈茜，舒慧颖.浅析幂指函数的极限问题[J].衡水学院学报，2011（4）.
[4]冉金花.用等价无穷小替换求极限使用条件的探讨[J].科技资讯，2019（27）.
【作者简介】
宋小平（1994～），女，汉族，山东烟台人，硕士研究生，助教。
研究方向：高等数学及教育研究。
求极限方法基本公式
求极限的方法有很多，基本公式包括但不限于以下几种：
1. 极限的运算法则：lim(uv) = limu limv，lim(u/v) = limu / limv，
lim(u^n) = [limu]^n (n为正整数)。
2. 幂函数的极限：limx^n = x^n / n! (x不为0)，当n为偶数时，x可以为0。
3. 指数函数的极限：lime^(x) = e^x，limln(x) = ln(x)。
4. 分段函数或分式函数的极限：如果函数在某点的极限存在，那么该函数在该点的值等于该点的极限。
5. 无穷小量乘以有界量等于无穷小量：limu v = 0，其中u是无穷小量，v 是有界量。
6. 无穷大量与常数的乘积等于无穷大量：limu C = u，其中C是常数，u 是无穷大量。
7. 无穷小量的阶：limx^n = 0 (n>0)，limx^n = 1 (n=0)，limx^n = ∞ (n<0)。
8. 幂级数的收敛性：对于形如1/(1-x)、1/(1+x)、(1-x)^(-1)等幂级数，在x<1的范围内收敛。
9. 导数与极限的关系：如果f'(x0)存在，那么limf'(x0) = f'(x0)。
10. 洛必达法则：当一个极限的分子和分母都趋向于0或无穷大时，可以应用洛必达法则求极限。
以上是求极限的基本公式，希望对解决您的问题有所帮助。
求幂指函数导数的另一种方法
张长琪
【期刊名称】《杭州师范大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】1992(000)004
【摘要】数学教材关于幂指函数y=f(x)g(x)的求导,介绍了取对数求导法,将幂指函数取对数后,转化为隐函数lny=g(x)lnf(x),再进行复合函数求导,从而,得到幂指函数的导数。
另外,还介绍了根据指数函数与对数函数互为逆运算,将幂指函数
y=f(x)g(x)化为y=eg(x)|nf(x)再求导。
【总页数】1页(P18-18)
【作者】张长琪
【作者单位】杭州电大;教师
【正文语种】中文
【中图分类】N
【相关文献】
1.关于一个求多元幂指函数偏导数公式的注记 [J], 沈浮;王金山;陈之宁
2.探析求高阶导数的几种方法 [J], 周丹
3.导数中求参数范围的几种方法 [J], 马丽萍
4.求幂指函数导数的另一种方法 [J], 惠洲鸿
5.求幂指函数极限的几种方法 [J], 卢小梅;陈武华
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目 录目 录............................................................................................................................................... 0 摘 要............................................................................................................................................... 1 Abstract ........................................................................................................................................... 2 1.幂指函数的概念 ........................................................................................................................... 3 2.幂指函数的求极限 .. (3)2.1 )(x f ，)(x g 的极限均为有限常数，即BA 型的极限求法 ...................................... 3 2.2 利用重要极限 .. (4)2.3 应用洛必达法则求极限 ................................................................................................ 6 2.4 用等价无穷小 .. (7)2.4.1 00中的等价无穷小代换 .................................................................................... 7 2.4.2 0∞中的等价无穷小代换 ................................................................................... 8 2.4.3 ∞1中的等价无穷小代换. . (9)2.5 利用微分中值定理 ....................................................................................................... 10 3.幂指函数的求导 . (11)3.1 复合函数求导法 ........................................................................................................... 11 3.2 对数求导法 ................................................................................................................... 12 3.3 多元函数求导法 ........................................................................................................... 13 总 结............................................................................................................................................. 16 参考文献 .. (17)摘要本文主要讨论了幂指函数00，0∞，∞1型极限的求法，同时对幂指函数求导法作了探索，总结出复合函数求导法，对数求导法，多元函数求导法，并给出相应的例子。
目 录目 录............................................................................................................................................... 0 摘 要............................................................................................................................................... 1 Abstract ........................................................................................................................................... 2 1.幂指函数的概念 ........................................................................................................................... 3 2.幂指函数的求极限 .. (3)2.1 )(x f ，)(x g 的极限均为有限常数，即B A 型的极限求法 ...................................... 3 2.2 利用重要极限 .. (4)2.3 应用洛必达法则求极限 ................................................................................................ 6 2.4 用等价无穷小 .. (7)2.4.1 00中的等价无穷小代换 .................................................................................... 7 2.4.2 0∞中的等价无穷小代换 ................................................................................... 8 2.4.3 ∞1中的等价无穷小代换. . (9)2.5 利用微分中值定理 ....................................................................................................... 10 3.幂指函数的求导 . (11)3.1 复合函数求导法 ........................................................................................................... 11 3.2 对数求导法 ................................................................................................................... 12 3.3 多元函数求导法 ........................................................................................................... 13 总 结............................................................................................................................................. 16 参考文献 .. (17)摘要本文主要讨论了幂指函数00，0∞，∞1型极限的求法，同时对幂指函数求导法作了探索，总结出复合函数求导法，对数求导法，多元函数求导法，并给出相应的例子。
关键词：幂指函数；导数；极限AbstractThis paper mainly discussed the exponential function, and the method to limit type, and the exponential function derivation method of method, sums up the composite function derivation method, logarithmic derivation method, multivariate function derivation method, and give some examples.Keywords:exponential function; limit; derivation1.幂指函数的概念将形如)()(x g x f y =的函数称为幂指函数。
也就是说，它既像幂函数，又像指数函数，二者的特点兼而有之。
作为幂函数，其幂指数确定不变，而幂底数为自变量；相反地，指数函数却是底数确定不变，而指数为自变量。
幂指函数就是幂底数和幂指数同时都为自变量的函数。
这种函数的推广，就是广义的幂指函数。
2.幂指函数的求极限幂指函数的极限类型很多，有确定型和不定式之分。
不定式有00型，0∞型，∞1型,∞∞型，∞0型，在这里只讨论幂指函数00型，0∞型，∞1型这三种类型不定式的求极限问题。
对这三种类型不定式进行全面探讨，将局限于分式型不定式的等价无穷小代换定理，无穷小比较定理和洛必达法则，微分中值定理,重要极限推广到幂指型不定式的所有类型中，从而在理论上较系统的解决了幂指型不定式极限求解问题。
2.1 )(x f ，)(x g 的极限均为有限常数，即BA 型的极限求法定理1 存在有限的极限，A x f x x =→)(lim 0，B x g x x =→)(lim 0且A>0,则有B x g x x x g x x A x f x f x x ==→→→)(lim )(0)](lim [)(lim证明： 令)()(x g x f y =，由A>0，两边取对数得：)(ln )(ln x f x g y =从而)(ln )(ln )(0lim lim )(lim x f x g x x y x x x g x x e e x f →→→==由复合函数求极限法则知：B A B x f x g x x x g x x A e e x f ===→→ln )(ln )()(0lim )(lim上述命题对+→0x x ，-→0x x ，,-∞→x +∞→x 的情况同样成立，且证明类似。
但是，当A 或（和）B 不是有限常数，或A 不大于0时，上述命题不成立。
例1 求极限131)51(lim -→+x x x .解： 因为6)51(lim 1=+→x x ，2)13(lim 1=-→x x由上述定理1，得：366)51(lim 2131==+-→x x x例2 求极限32)111(lim -→-+x x x . 解： 因为2)111(lim 2=-+→x x ，1)3(lim 2-=-→x x由上述定理1，得： 1322)111(lim --→=-+x x x2.2 利用重要极限对∞1型未定式极限问题，考虑利用重要极限e xx x =+∞→)11(lim 及其变形公式e x xx =+→1)1(lim 求极限。
例3 求极限12)23(lim +∞→++x x x x . 解: 3421212)211(lim )211(lim )23(lim -+∞→+∞→+∞→++=++=++x x x x x x x x x x2(2)311lim(1)lim(1)22x x x x x +-→∞→∞=++++(2)2311lim[(1)]lim(1)22x x x x x +-→∞→∞=++++2e =例4 求极限x x x 2csc 0)(cos lim +→.解： x x xx x x 22sin 1csc 0)]1(cos 1[lim )(cos lim -+=++→→xx x x x 2sin 1cos 1cos 10)]1(cos 1[lim -•-→-+=+22021lim xx x e -+→=21-=e对于一般具有较复杂形式的∞1型未定式极限问题，可以考虑用如下的定理简化计算过程。
定理2 设有连续函数)(x f 和)(x g ，在自变量x 的某个变化过程中，1)(lim =x f ，∞=)(lim x g ，则)()1)(lim()()(lim x g x f x g e x f -=证明： )()1)((1)(1)(]1)(1[)(x g x f x f x g x f x f ---+=)()1)((x g x f e -= 应用定理2解例（2）的解法如下：2112csc)1(cos csc2222)(cos lim -•--→===+eee x x x xx xx因此，应用定理2可以简化∞1型未定式极限的计算。
2.3 应用洛必达法则求极限定理3[1] 设（1）当a x →时，函数)(x f 及)(x F 都趋于0或∞；（2）在点a 的某去心领域内，)(x f '及)(x F '都存在且0)(≠'x F ； （3）)()(limx F x f ax ''→存在（或为无穷大），那么 )()(lim )()(limx F x f x F x f a x ax ''=→→ 对幂指函数的极限，可以通过将幂指函数化为对数恒等式y e y ln =的形式，转换为00型或∞∞型不定式，然后再利用洛必达法则进行求解。
例5 求极限x x xa)1(lim +∞→.解: )1ln(lim )1(lim xax x x x e xa +∞→∞→=+xx a x e 1)1ln(lim+∞→=因为0)1ln(lim =+∞→xa x ， 01lim =∞→x x 由定理3，得：a ax axxx ax x e ee xax x ===++''+∞→∞→∞→lim)1(])1[ln(lim)1(lim例6 求极限x x xx )1cos 1(sinlim ++∞→. 解： 令1u x=，则当+∞→x 时，+→0u ，那么 u u x x u u xx 10)cos (sin lim )1cos 1(sin lim +=++→+∞→ uu u u e)cos ln(sin 0lim +→+=u u u u e)cos ln(sin lim 0++→=0cos sin limsin cos u u uu ue+→-+=e =2.4 用等价无穷小2.4.1 00中的等价无穷小代换引理1[4] 设α> 0，1α> 0为某变化过程中的无穷小。
