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目 录目 录 .............................................................................................................................................. 0 摘 要 .............................................................................................................................................. 1 Abstract ............................................................................................................................................. 2 1.幂指函数的概念 ........................................................................................................................... 3 2.幂指函数的求极限 .. (3)2.1 )(x f ，)(x g 的极限均为有限常数，即B A 型的极限求法 ....................................... 3 2.2 利用重要极限 ................................................................................................................. 4 2.3 应用洛必达法则求极限 ................................................................................................. 6 2.4 用等价无穷小 .. (7)2.4.1 00中的等价无穷小代换 (7)2.4.2 0∞中的等价无穷小代换 (8)2.4.3 ∞1中的等价无穷小代换. (9)2.5 利用微分中值定理 ....................................................................................................... 10 3.幂指函数的求导 . (11)3.1 复合函数求导法 ........................................................................................................... 11 3.2 对数求导法 ................................................................................................................... 12 3.3 多元函数求导法 ........................................................................................................... 13 总 结 ............................................................................................................................................ 16 参考文献 . (17)摘要本文主要讨论了幂指函数00，0∞，∞1型极限的求法，同时对幂指函数求导法作了探索，总结出复合函数求导法，对数求导法，多元函数求导法，并给出相应的例子。
指数函数与对数函数的极限计算指数函数与对数函数是高中数学中重要的函数概念，它们在求极限时经常被用到。
本文将探讨指数函数和对数函数的极限计算方法，帮助读者更好地理解和应用。
一、指数函数的极限计算指数函数是以底数为常数的幂函数，形如y=a^x，其中a为常数且大于0且不等于1。
求指数函数的极限时，可以利用以下两个重要的性质进行计算。
1. 当x趋近于正无穷大（x→+∞）时，指数函数以底数大于1的情况下，极限趋于正无穷大；以底数小于1的情况下，极限趋于零。
即：lim(a^x) = +∞ （当a>1）x→+∞lim(a^x) = 0 （当0<a<1）x→+∞例如，计算lim(2^x)当x→+∞：当底数为2时，指数函数指数增长迅速，无限逼近正无穷大，即lim(2^x)=+∞。
2. 当x趋近于负无穷大（x→-∞）时，指数函数以底数大于1的情况下，极限趋于零；以底数小于1的情况下，极限趋于正无穷大。
即：lim(a^x) = 0 （当a>1）x→-∞lim(a^x) = +∞ （当0<a<1）x→-∞例如，计算lim(0.5^x)当x→-∞：当底数为0.5时，指数函数指数减小迅速，无限逼近正无穷大，即lim(0.5^x)=+∞。
二、对数函数的极限计算对数函数是指数函数的反函数，以a为底，x为真数的对数函数记为y=logₐx。
求对数函数的极限时，可以利用以下两个重要的性质进行计算。
1. 当x趋近于正无穷大（x→+∞）时，以任意正数为底的对数函数的极限等于正无穷大。
即：lim(logₐx) = +∞x→+∞例如，计算lim(log₂x)当x→+∞：当以2为底时，对数函数的结果随着x的增大而增大，无限逼近正无穷大，即lim(log₂x)=+∞。
2. 当x趋近于零（x→0+）时，以任意正数为底的对数函数的极限等于负无穷大。
即：lim(logₐx) = -∞x→0+例如，计算lim(log₂x)当x→0+：当x趋近于0时，对数函数的结果随着x的减小而无限逼近负无穷大，即lim(log₂x)=-∞。
数学极限计算公式整理在数学中，极限是一种重要的概念，用于描述函数在某个点无限接近某个数值或某个函数在自变量趋于无穷大或无穷小时的性质。
计算极限时，我们经常会用到一些常见的公式和技巧。
本文将对数学极限计算中常用的公式进行整理和总结，以帮助读者更好地理解和应用这些公式。
一、基本极限公式1. 常数公式：对于任意实数a，有lim(x→a) = a。
这意味着当自变量x趋于常数a时，函数的极限值等于a。
2. 幂函数公式：对于任意正整数n，有lim(x→a) x^n = a^n。
这个公式可以推广到任意实数n。
3. 自然对数的极限公式：lim(x→0) ln(1 + x) = 0。
这个公式经常用于计算一些复杂函数的极限。
二、常见极限公式1. 三角函数极限公式：a) lim(x→0) (sin x) / x = 1。
b) lim(x→0) (1 - cos x) / x = 0。
c) lim(x→∞) sin x / x = 0。
2. 指数函数和对数函数极限公式：a) lim(x→∞) (1 + 1/x)^x = e。
b) lim(x→∞) log(1 + x) / x = 1。
3. 无穷小量的极限公式：a) lim(x→0) sin x / x = 1。
b) lim(x→0) (1 - cos x) / x^2 = 1/2。
三、极限的四则运算法则极限具有四则运算法则，即对于两个函数f(x)和g(x)，在它们的极限存在的情况下，有以下公式：1. lim(x→a) (f(x) ± g(x)) = lim(x→a) f(x) ± lim(x→a) g(x)。
2. lim(x→a) (f(x) * g(x)) = lim(x→a) f(x) * lim(x→a) g(x)。
3. lim(x→a) (f(x) / g(x)) = lim(x→a) f(x) / lim(x→a) g(x)（其中lim(x→a) g(x) ≠ 0）。
关于求幂指函数极限的方法幂指函数：(),()0.指其中f x x()g x f()求幂指函数的极限通常有四种方法：lim()g xf x⑴直接求极限.⑵利用第二个重要极限求极限.⑶利用换底公式后综合其它方法求极限.⑷利用夹逼准则求极限.⑴直接计算.0lim (),lim (),f x A g x B =>=如果则sin30lim( 2)1x xx x →+求例.00sin 3lim(2)20lim 3, x x xx x →→+=>=,解所以sin33lim(2)=2=8xxx x →+.()()ln ()ln lim ()=lime =e=.g x g x f x B ABx A f⑵利用第二个重要极限求极限.1lim ()1,lim ().f xg x ∞==∞此方法适用于型未定式，即情形21lim(cos )2 x x x →例求..1∞此极限属于型未定式解210lim(cos )x x x →0lim 1(cos 1)x x →=+−1cos 1[]x −2cos 1{}x x −12e .−=⑶利用换底公式后综合其它方法求极限.()()ln ()()eg x g x f x f x =先换底为,然后诸如综合复合函数极限法则、()lim ().g x f x 连续性、等价无穷小代换及洛必达法则等方法求极限212lim(cos )3 x x x →再解例，求例.210lim(cos ) xx x →解21lncos 0=lime x xx →22011lim ()2=ex x x →⋅−210lncos ~.2x x x →−当时，12e .−=21limlncos =ex x x→⑷利用夹逼准则求极限.0(),lim ()0.m f x M g x <≤≤=此方法适用于情形2lim(1sin 4 ) xx x →+例.211sin 2x ≤+≤解由于，所以21(1sin )2x xx ≤+≤，lim1lim 21xx x →→=又=，2lim(1sin )=1.xx x →+故由夹逼准则得总结()lim()g xf x本讲介绍通常有四种方法：⑵利用第二个重要极限求极限.⑶利用换底公式后综合其它方法求极限.⑷利用夹逼准则求极限，⑴直接计算.各种方法之间有交叉，方法⑶具有一般性.。
Science &Technology Vision 科技视界1问题提出在大学高等数学中,对于幂指函数求极限的问题,共有两处提到,包括重要极限和洛必达法则。
但是,关于等价无穷小代换求幂指函数极限的问题大多都没有特别讲解。
一般得,只针对于分式型的函数如何用等价无穷小代换求极限做了讲解。
在教学过程中,有学生在一开始的学习中就遇到较为复杂的幂指函数求极限的问题,就不知道如何计算了。
课本中有一道极限求解题目,具体如下:lim x →0(1+tan x 1+sin x)1x这是一个典型的1∞型的幂指函数求极限问题。
大多数学生在这里第一反应就是用重要极限来求解,但此题用重要极限不太容易看出来。
如果了解等价无穷小的相关定理,那么这道题就迎刃而解了。
鉴于此种情况,本文在前人研究的基础上,总结了幂指函数的求极限的方法,着重提出了等价无穷小求解幂指函数极限的看法。
2幂指函数求极限的其他方法幂指函数的极限类型很多,有确定型和不定式之分。
对于确定型的幂指函数可以直接底数与指数求极限。
而对于不定式型的幂指函数,通常采用重要极限和洛必达法则两种方法。
2.1重要极限对1∞型的幂指函数极限问题,考虑利用重要极限lim x →∞(1+1x )x =e及其变形公式lim x →0(1+x )1x=e 求极限。
例1求极限lim x →0(cos x )csc 2x .解:lim x →0(cos x )csc 2x =lim x →0[1+(cos x -1)]1sin 2x=lim x →0[1+(cos x -1)]1cos x -1·cos x -1sin x=elim-12x x=e-122.2洛必达法则另外,对00型,∞0型,1∞型幂指函数的极限,可以通过将幂指函数化为对数恒等式y=e ln y 的形式,转换为00型或∞∞型不定式,然后再利用洛必达法则进行求解。
例2求极限lim x →∞(1+a x)x .解:lim x →∞(1+a x )x =lim x →∞ex ln(1+a x)=elimln(1+a x )1x因为lim x →∞(1+a x)=0,lim x →∞1x =0由洛必达法则,得:lim x →∞(1+a x)x=e lim[ln(1+a x )]′(1x)′=elim axx+a=ea3用等价无穷小代换求幂指函数的极限幂指函数00型,∞0型,1∞型这三种类型不定式的求极限问题,除了运用前两种方法外,还可以使用等价无穷小的代换。
关于幂指函数极限的求法幂指函数求极限的方法主要有三种，分别是取对数法，等价代换法和配凑法。
取对数法是“幂指型”函数极限求解最普遍、最一般的方法，利用的是幂指型通过取对数可以转化为复合函数的特点等。
方法一：取对数法这就是“幂指型”函数音速解最广泛、最通常的方法，利用的就是幂指型通过挑对数可以转变为无机函数的特点。
由于lnf(x)g(x)=g(x)lnf(x)，f(x)g(x)=eg(x)lnf(x)。
由于指数函数的连续性，解幂指型f(x)g(x)的`音速的问题就归咎于谋g(x)lnf(x)的音速问题。
方法二：等价代换法利用等价无穷小（或无穷大）并作赋值就是很关键并且存有技巧性的一种谋音速的方法。
由于lnf(x)g(x)=g(x)lnf(x)，如果f(x)～?(x),g(x)～ψ(x)，自然存有g(x)lnf(x)～ψ(x)ln?(x)，于是f(x)g(x)～?(x)ψ(x)。
由此我们可以获得：如果f(x)>0,?(x)>0,f(x)～?(x),g(x)～ψ(x)，而limf(x)g(x)存有，那么lim?(x)ψ(x)=limf(x)g(x)。
方法三：配凑法一般来说，配凑法往往利用关键音速limx→0(1+x)1x=e，所以通常用作解“1∞”型音速。
若α(x)>0，α(x)就是无穷小量，那么如果α(x)β(x)的极限存在，那么就达到配凑法求解极限的目的了，因此我们可以考虑先求α(x)β(x)的极限。
上述三种方法为幂指型函数谋音速的主要方法，最常规的方法就是挑对数法，后面两种方法存有一定技巧性，不过也可以归咎于挑对数的方法。
掌控不好它们，我们在碰到这类问题的时候就不再可以深感非常吃力了。
将形如y=[f(x)]^g(x)的函数称为幂指函数。
也就是说，它既像幂函数，又像指数函数，二者的特点兼而有之。
作为幂函数，其幂指数确定不变，而幂底数为自变量；相反地，指数函数却是底数确定不变，而指数为自变量。
幂指函数求极限马凤丽;徐为;马茜【摘要】在函数极限的计算中,有关幂指函数极限计算的题目类型多、难度大且灵活多变,总结了一些幂指函数极限的计算方法,并通过例题说明这些方法的应用性.【期刊名称】《高师理科学刊》【年(卷),期】2019(039)005【总页数】3页(P57-59)【关键词】幂指函数;极限;连续性【作者】马凤丽;徐为;马茜【作者单位】陆军工程大学基础部,江苏南京 211101;陆军工程大学基础部,江苏南京 211101;陆军军事交通学院基础部,天津 300161【正文语种】中文【中图分类】O172;G642.0幂指函数的运算题目类型多，而且技巧性强、灵活多变，对于幂指函数求极限问题，许多学生不能对各种题型加以区分，找不到快速正确的解题方法，影响做题的正确性．分析发现，产生这一问题的原因是许多学生对幂指函数的概念和定理理解不深刻，把幂指函数与幂函数、指数函数混为一谈，对题目中出现的题型及解题方法没有整理总结找到其中的解题技巧．因此，对于幂指函数极限的计算问题，有必要给出幂指函数的定义，讨论幂指函数极限的类型，并对解题方法进行整理和总结，让更多的学习者更好地认识幂指函数，增强对求极限的多种技能技巧的理解和合理运用求极限技巧的能力，从而提高解题的正确性及效率，提高分析问题和解决问题的能力.幂指函数结构极限式的极限计算是函数与数列极限计算中频繁出现的一类问题. 定义[1} 底数与指数中都含有变量的函数，称为幂指函数，记为且.幂指函数极限的求法主要包括[2-6]：（1）利用重要极限进行计算.（2）若且，，则.（3）利用对数恒等式，则.例1[7] 设，计算解数列为幂指函数结构，考虑对数函数法求极限．设原极限为，则，由函数的连续性，转换为求极限因为，所以．例2[8] 设为上连续函数，在上可积且恒大于或者恒小于0，证明：．证明由于且为连续函数，所以由闭区间上连续函数的最值定理有，，于是由夹逼定理可知，．因此，所需证明等式左侧的极限为未定型，考虑对数函数法.基于函数的连续性，极限可以转换为计算极限．由于，问题转换为证明．由于，可得．由数列极限的定义，对于任意，存在，当时，恒有．于是，当时，有，故由数列极限的定义可知，，所以，其中：，结论得证．例3[9] 设，存在，求．解，因为，根据导数定义，，所以．在求解幂指函数的极限时，题目中不可能只会用到一种计算方法，计算过程中可能会用到多种方法，如等价无穷小代换[10]、洛必达法则和极限的四则运算等，在求解时应该对每一步仔细分析，掌握计算的技巧，找到正确快速的解题方法．【相关文献】[1] 同济大学数学系．高等数学（上册）[M]．7版．北京：高等教育出版社，2014[2] 裴礼文．数学分析中的典型问题与方法[M]．北京：高等教育出版社，2001[3] 陈茜，舒慧颖．浅谈幂指函数的极限问题[J]．衡水学院学报，2011，13（4）：10-12[4] 张红玉．关于幂指函数的极限求法[J]．大同职业技术学院学报，2004，18（1）：66-68[5] 甘媛．幂指函数极限的推广及应用[J]．安徽电子信息职业技术学院学报，2011，57（10）：45-47[6] 何晓岭．幂指函数极限的计算[D]．石家庄：石家庄学院，2017[7] 钱吉林．数学分析题解精粹[M]．2版．武汉：湖北辞书出版社，2003[8] 刘小华．关于幂指函数求极限的问题[J]．高等数学研究，2008，11（5）：5-7[9] 冯加才．幂指函数的极限问题[J]．焦作工学院学报，1999，18（5）：15-17[10] 康佳鑫．浅谈应用洛必达法则求不定式极限[J]．哈尔滨师范大学自然科学学报，2015，31（2）：21-23。
幂指函数极限的求法杨淑菊【摘要】幂指函数的极限是研究生入学考试常考内容,本文结合考研真题探讨幂指函数极限的计算方法与技巧.%The limit of power exponential function is the postgraduate entrance examination often test content, this paper discusses Kaoyanzhenti power exponential function limt calculation methods and skills .【期刊名称】《价值工程》【年(卷),期】2017(036)031【总页数】2页(P170-171)【关键词】幂指函数;对数;极限【作者】杨淑菊【作者单位】云南经济管理学院,昆明 650304【正文语种】中文【中图分类】O174幂指函数的一般形式 u（x）v（x），u（x）〉0，求幂指函数的极限是高等数学教学的重点和难点，也是考研高数的一个重要的考点。
本文结合考研真题探讨求幂指函数极限的计算方法与技巧。
幂指函数u（x）v（x）型极限主要通过公式ab=eblna（a〉0）化为 ev（x）lnu （x）后，转为求乘积项 v（x）lnu（x）的极限。
1.1 ab型（a，b均有限）的极限定理 1：设连续函数 u（x），v（x）在自变量的某个变化过程中 limu（x）=a〉0，limv（x）=b，其中 a，b 均为有限的实数，则 limu（x）v（x）=ab。
分析：因为当x→0，ln（1+x）～x，原极限为1∞未定式极限，应用定理3求解。
求幂指函数u（x）v（x）型极限主要通过公式ab=eblna（a〉0）化为 ev（x）lnu（x）后，转为求乘积项 v（x）lnu（x）的极限，这时可以灵活应用求极限的方法，如等价无穷小替换，罗比达法则，泰勒公式等。
对于1∞未定式极限可应用定理2和定理3进行简化计算。
目 录目 录............................................................................................................................................... 0 摘 要............................................................................................................................................... 1 Abstract ........................................................................................................................................... 2 1.幂指函数的概念 ........................................................................................................................... 3 2.幂指函数的求极限 .. (3)2.1 )(x f ，)(x g 的极限均为有限常数，即B A 型的极限求法 ...................................... 3 2.2 利用重要极限 .. (4)2.3 应用洛必达法则求极限 ................................................................................................ 6 2.4 用等价无穷小 .. (7)2.4.1 00中的等价无穷小代换 .................................................................................... 7 2.4.2 0∞中的等价无穷小代换 ................................................................................... 8 2.4.3 ∞1中的等价无穷小代换. . (9)2.5 利用微分中值定理 ....................................................................................................... 10 3.幂指函数的求导 . (11)3.1 复合函数求导法 ........................................................................................................... 11 3.2 对数求导法 ................................................................................................................... 12 3.3 多元函数求导法 ........................................................................................................... 13 总 结............................................................................................................................................. 16 参考文献 .. (17)摘要本文主要讨论了幂指函数00，0∞，∞1型极限的求法，同时对幂指函数求导法作了探索，总结出复合函数求导法，对数求导法，多元函数求导法，并给出相应的例子。
毕业论文题目：幂指函数极限的计算学院：数学与信息科学学院姓名：何晓岭指导教师：魏喜凤幂指函数极限的计算【摘要】函数极限是《数学分析》中的一个重点知识,也是微积分学的基础，因此，掌握好函数极限的求解方法是学好《数学分析》的关键. 而在函数极限的计算中，有关幂指函数极限计算的题目类型多、难度大且灵活多变.为此，首先给出了幂指函数的定义，其次讨论幂指函数确定式(B A型)和不确定式（00型、1∞型、0∞型）的极限问题，最后整理总结了幂指函数极限的计算方法,并通过实例说明这些方法的实用性.【关键词】幂指函数；极限；确定式；不确定式；计算方法The Calculation of the Power Exponent Function Limit【Abstract】The limit function is a key knowledge of mathematical analysis, and calculus based, therefore, it is important for the learning of mathematical analysis to master the methods of solving the limit of function .But in the calculation of the function limit, the subjects of calculation about power exponent function are various,difficult and flexible. so, we first give the definition of the exponential function, followed by a discussion of limit problem of power exponent function to determine the type and uncertain type, finally summarize the methods of power exponential function limit, and explain the practicability of these methods by actual examples.【Key Words】power exponent function; limit; determine type; uncertain type; methods to solve problem目录1 引言 (1)2 幂指函数的定义 (1)指数函数 (1)幂函数 (1)幂指函数 (1)3 幂指函数的极限 (1)确定式 (3)不确定式 (3)4 幂指函数极限的计算方法 (3)直接法 (3)重要极限 (4)对数解法 (5)等价无穷小代换 (8)5 结论 (9)参考文献 (9)致谢 (11)1引言函数极限问题是《数学分析》中的一个重点知识，是微积分学的基础，因此，掌握好函数极限的求解方法是学习中的关键一环，使许多问题得以解决.其中，幂指函数极限的计算是难点，因为幂指函数的运算题目类型多，而且技巧性强、灵活多变，对于幂指函数求极限问题,许多学生不能对各种题型加以区分从而找不到快速正确的解题方法，影响做题的正确性.分析发现，这一问题的原因是许多学生对幂指函数的概念和定理理解不深刻，把幂指函数与幂函数、指数函数混为一谈，对题目中出现的题型及解题方法没有整理总结找到其中的解题技巧.因此，对幂指函数极限的计算问题，有必要给出幂指函数的定义、讨论幂指函数极限的类型并对解题方法进行整理总结，让更多的学习者很好地认识幂指函数，增强对求极限的多种技能技巧的理解和合理运用求极限技巧的能力，从而提高解题的正确性及效率，提高分析问题的能力和解决问题的能力.2 幂指函数的定义指数函数一般地，形如函数(0,1)x y a a a 叫作指数函数，其中x 是自变量，定义域为R .幂函数一般地，形如函数()y x x R α=∈叫作幂函数，其中x 是自变量，定义域为(0,).幂指函数设()u x 、()v x 是定义在区域D 上的两个函数，形如()()v x y u x =的函数叫作区域D 上的幂指函数，其中()0u x >.以上给出指数函数、幂函数以及幂指函数的定义，目的是更好地理解幂指函数，不能将幂指函数与指数函数、幂函数混为一谈，幂指函数具有幂函数和指数函数的两重特性.3 幂指函数的极限对自变量0,x x x →→∞情形下的幂指函数()()v x y u x =的极限问题进行探讨：求幂指函数的极限时，因为()0u x >，可以把它改写为指数函数()()ln ()()v x v x u x y u x e ==，再由指数函数的连续性即知幂指函数的极限lim (()ln ())()()ln ()lim ()lim x x v x u x v x v x u x x x x x u x ee→→→==,其中假设所写出的极限存在.这样，就把求幂指函数的极限0()lim ()v x x x u x →转化为求极限0lim(()ln ())x x v x u x →.所以，很自然地考察0lim ()x x u x →和0lim ()x x v x →，而对于极限0lim ()x x u x →和0lim ()x x v x →，若至少有一个不存在（不包括极限为无穷的情况），则幂指函数()()v x y u x =的极限问题极为复杂，且在实际问题中几乎不出现，没有其研究意义.因此，假设0lim ()0x x u x A →=≥, 0lim ()x x v x B →=(包括A 、B 为无穷的情形).下面，将给出讨论：（1）01,A B <<≠∞; 则0()lim ()v x B x x u x A →=.(2) 01,A B <<=∞; 则0()0,,lim (),,Bv x Bx x B A B u x B A B →⎧=+∞=+∞⎧⎪==⎨⎨+∞=-∞=-∞⎪⎩⎩ . （3）1,A B =≠∞; 则0()lim ()11v x B B x x u x A →=== .（4）1,A B ==∞时，0()lim ()v x x x u x →是不确定式.（5）1,A B <<+∞≠∞; 则0()lim ()v x B x x u x A →=.（6）1,A B <<+∞=∞; 则0(),,lim ()0,,B v x Bx x B A B u x B A B →⎧+∞=+∞=+∞⎧⎪==⎨⎨=-∞=-∞⎪⎩⎩ . （7）,0A B =+∞=时, 0()lim ()v x x x u x →是不确定式.（8）,0A B =+∞<<+∞时, 0()lim ()v x B x x u x A →= .,0A B =+∞-∞<<时, 0()lim ()v x B x x u x A →=.(9) ,A B =+∞=+∞; 则0()lim ()v x B x x u x A →=+∞=.(10),A B =+∞=-∞; 则0()lim ()0v x B x x u x A →==.（11)0,0A B =<<+∞时，0()lim ()0v x B x x u x A →==.0,0A B =-∞<<时，0()lim ()v x B x x u x A →=+∞=.（12）0,A B ==+∞; 则0()lim ()00v x B x x u x A +∞→=== .（13）0,A B ==-∞; 则0()lim ()0v x B x x u x A -∞→==+∞=.（14）0,0A B ==时，0()lim ()v x x x u x →是不确定式 .上述情况（4）记作1∞ 型、（7）记作0∞ 型 、（14）记作00 型，1∞ 型、0∞ 型、00 型三种形式为幂指函数极限问题的不确定式，其余情况为幂指函数极限问题的确定式.自变量x →∞时，幂指函数的极限类型与0x x →的极限类型有相同的情况，就不再列出.注1 若A 为小于1的非负数，而B 为无穷时，则极限0()lim ()v x x x u x →并不是不确定式. 其中包括易误认为是不定式的0∞型，因为，当指数趋于无穷大时有00+∞=，而当指数趋于负无穷大时有0-∞=+∞ .注2 对于幂指函数()()v x y u x =的不确定式极限问题，它的底数部分()u x 与指数部分()v x 的极限过程是同步进行的，也就是说，它是一个整体的极限，而不能简单地理解为其底函数部分与指数函数部分分别单独求极限，更不能有求极限的先后次序.4 幂指函数极限的计算方法 直接法直接法求极限主要用于幂指函数极限的确定式类型.当幂指函数的底数部分和指数部分二者的极限都存在，且底函数()u x 的极限大于零时，即当lim ()0x x u x A →=> ，0lim ()x x v x B →=（B 为正常极限）时，则利用指数函数的连续性得0lim ()()lim ()(lim ())x x v x v x B x x x x u x u x A →→→== .有一道求极限的问题121lim()3x x x x -→∞++ ，如果对底数部分和指数部分分别求极限11lim 1,lim 32x x x x x →∞→∞+-==∞+ ，则由1的任何次幂都等于1得121lim()113x x x x-∞→∞+==+的解法是错误的.错误之一在于对幂指函数底数和指数部分分别求极限，不理解只有当0lim ()0x x u x A →=>，0lim ()x x v x B →=（B 为正常极限）时，才可以用直接法求极限，错误之二在于认为不管幂的值α为多少都有11α=，其实，1的任何次幂都等于1指的是1的有限次幂.下面结合实例理解直接法求幂指函数的极限：例 求极限01lim(2x x x→++ .解 因为011lim022x x x →+=>+ ，01x →= 为正常极限 ,所以用直接法就得到极限011lim(22x x x →+=+.例 求极限 11lim(2x x x→++ .解 因为112lim023x x x →+=>+ ，1112x x →→==为正常极限,所以用直接法就得到极限11lim(2x x x →+=+.重要极限利用重要极限求极限主要针对幂指函数极限问题的不确定式1∞型.（1）1lim(1)x x e x→∞+= （）等价于同时成立以下两个极限：1lim (1)x x e x→+∞+=1lim (1)x x e x→-∞+=（2）将（）可变型为：1lim(1)xx x e →+= （）（3）在（）的基础上可以用下列方法解决许多1∞型的不确定式问题，就是对于lim ()0,lim ()xaxaf xg x 的情况，有1lim(()())()()()()lim(1())lim[(1())]x af xg x g x f x f x g x xaxaf x f x e （）于是只要计算lim(()())x af xg x → 即可.例 求极限101lim()1x x x x→+- .解 这是一个1∞型不确定式极限，可用重要极限求解, 将1()1x f x x +=- 化为2()11x f x x =+- ，则指数部分需出现12xx- ， 所以利用重要极限得1122210012lim()lim(1)11x x x x x x x x e x x-⋅-→→+=+=--. 例 求极限2221lim()1x x x x →∞+- .解法1 将括号内的分子分母同时除以2x 后即可利用（）如下求极限：22122222111lim()lim(1)(1)1x x x x x e e e x x x→∞→∞+=+-=⋅=- . 解法2 这是一个1∞型不确定式极限，用（）的方法就得到222222lim 212212lim()lim(1)11x x x x x x x x e e x x →∞-→∞→∞+=+==--. 4.3 对数解法对幂指函数()()(()0)v x y u x u x =>，等式两边可以同时取对数，便得到()ln ln(())()ln ()v x y u x v x u x == ,通过求ln y 的极限0lim ln lim(())ln ()x x x x y v x u x →→= ，便可以得到幂指函数的极限0lim ln ()ln lim ()lim x x yv x yx x x x u x ee→→→==.对数解法解决幂指函数极限的不确定式00型、1∞型、0∞型，这三种不确定式极限一般经过对数变换后，均可化为00型或∞∞型的不定式极限，我们在题目中解决不定式极限00型、∞∞型用到更多的方法是洛必达法则.我们在转化为00型或∞∞型不定式极限后利用洛必达法则求极限时，应注意以下几点内容：定理【1】若函数()f x 和()g x 满足:（ⅰ）0lim ()0lim ()0x x x x f x g x →→=== ;（ⅱ）()f x 和()g x 在0x 的某空心邻域0()U x 内可导，且()0g x '≠ ; （ⅲ）0()lim()x x f x A g x →'=' (A 可为实数，也可为∞ ) 则 00()()limlim ()()x x x x f x f x A g x g x →→'==' 定理【1】 若函数()f x 和()g x 满足： （ⅰ）0lim ()lim ()x x x x f x g x ++→→=∞==∞（ⅱ）()f x 和()g x 在0x 的右邻域0()U x + 内可导，且()0g x '≠ （ⅲ）0()lim()x x f x A g x →'=' (A 可为实数，也可为,±∞∞ ) 则 0()()lim lim ()()x x x x f x f x A g x g x ++→→'==' 以上以导数为工具研究不定式极限的方法称为洛必达法则. 注1 在定理中，如果0()lim()x x f x g x →''仍是00型不定式极限，只要有可能，我们可再次利用洛必达法则，即考察极限0()lim()x x f x g x →''是否存在，这时()f x ' 和()g x ' 在0x 的某邻域须满足相应的条件【1】.定理中，若有可能，也可再次利用洛必达法则.注2 由洛必达法则条件的充分性可得，若极限0()lim()x x f x g x →''不存在，并不能说明0()lim()x x f x g x → 存在，在利用洛必达法则求极限时若遇到此类情况，我们应另找其他的方法来求极限.注3 不能对任何比式极限都按洛必达法则求解，首先必须注意它是不是不定式极限，其次看是否满足洛必达法则的其他条件【1】.注4 在利用洛必达法则之后，如果题目变得越来越复杂，则说明题目不适合用洛必达法则求极限，我们应分析题目，寻找其他合适的方法.例 求极限1ln 0lim (sin )kx x x ++→ （k 为常数）.解 这是一个00型不确定式极限， 令1ln (sin )k x y x +=，两边取对数，得1ln ln sin ln ln[(sin )]1ln k x k x y x x +==+ , 0ln sin lim 1ln x k x x +→+是∞∞型不定式极限， 由 0000cos ln sin sin lim ln lim lim lim cos 11ln sin x x x x k xk x x x y k x k x xx++++→→→→===⋅=+ ，（洛必达法则） 得到 0lim ln ln 1ln 000lim(sin )lim lim x k y y k x x x x x y e e e +→++++→→→====(0,k k ≠为常数).当0k =时上面所得的结果仍然成立.例 求极限x x xx cos 110)sin (lim -→. 解 这是一个1∞型不确定式极限， 令x x x y cos 11)sin (-=，两边取对数，得1sin ln ln 1cos x y x x =-， 因为0x →时，2~cos 12x x -，所以 2000sin sin lnln limln lim lim 1cos 2x x x x x x x y x x →→→==- , 20sin ln lim 2x x x x → 是00型不定式极限，下一步可用洛必达法则， 由 2200x cos sin sin lnsin lim lim 2x x x x x x x x x x x →→-⋅= 20xcosx sin lim sin x x x x →-= 30cos sin lim x x x x x →-=20-sin lim 3x x x x →=13 得到31cos 110)sin (lim --→=e xx x x .例 求极限x x x x ln 12)1(lim +++∞→.解 这是一个0∞型不确定式极限，令1ln ()x y x = ，两边取对数，得1ln ln(ln ln(ln x x y x x =+=,lim x →+∞是∞∞型不定式极限 由lim lim 1x x x→+∞→+∞==，（洛必达法则） 得到1lim ln ln ln lim ()lim lim x y y x x x x x y e e e →+∞→+∞→+∞→+∞+====.等价无穷小代换定理【7】 设()u x 和()v x 为0x 去心邻域内的连续函数，()u x 、()v x 均是变化过程0x x →时的无穷小量并且()~()u x x α、()~()v x x β，则有00()()lim ()lim ()v x x x x x x u x x βα→→=. 推论1 设()u x 和()v x 为0x 去心邻域内的连续函数，()u x 是变化过程0x x →时的无穷小量并且()~()u x x α，则有00()()lim ()lim ()v x v x x x x x u x x α→→=. 推论2 设()u x 和()v x 为0x 去心邻域内的连续函数，()v x 是变化过程0x x →时的无穷小量并且()~()v x x β，则有00()()lim ()lim ()v x x x x x x u x u x β→→= . 例 求极限x x x tan 0)(sin lim +→. 解 00lim sin 0,lim tan 0x x x x ++→→== ，此问题为00 型不确定式极限， 因为x x x x ~tan ,~sinx 0时，+→，所以由定理，tan 00lim(sin )lim x x x x x x ++→→=, 令x y x = ,两边取对数，得ln ln ln 1x y x x x== ， 由00ln lim ln lim 01x x x x x x++→→== ,得到 0lim ln tan 00lim(sin )1x y x x x e e +→+→===. 例 求极限sin 01lim ()x x x+→ .解 001lim ,lim sin 0x x x x ++→→=+∞= ，此问题为0∞ 型不确定式极限， 因为0x +→时，sin ~x x ，所以由推论2，sin 0011lim()lim()x x x x x x++→→=, 令1()x y x= ，两边取对数，得ln ln ln 1x y x x x=-=- , 由 00ln lim ln lim 01x x x x x x++→→-=-= ,得到 sin 01lim ()x x x +→=1. 等价无穷小代换应用到幂指函数极限的计算时，通常会结合洛必达法则及对数法，使得计算快捷简便.注： 当0→x 时，有下列常用的一组等价无穷小：x x ~sin ； x x ~tan ； x x ~arcsin ； x x ~arctan ； x e x ~1-； x x ~)1ln(+； 2~cos 12x x -； a x a x ln ~1-； n x x n ~11-+； x x αα~1)1(-+ .5 结论通过对幂指函数与指数函数、幂函数概念上的对比分析，对幂指函数极限类型的归纳总结以及对计算方法的整理分析，我们更好地认识了幂指函数，对其每一极限类型适用的计算方法也已经掌握，对以后的学习会有很大的帮助.但值得我们注意的是，在求解幂指函数的极限时，题目中不可能只会用到一种计算方法，计算过程中可能会用到几种方法，比如说例、例用到等价无穷小代换和对数解法，我们在求解时应该对每一步仔细分析，掌握计算的技巧,找到正确快速的解题方法.参考文献[1]华北师范大学数学系.数学分析(上册)[M].第三版.北京:高等教育出版社，2001：56-131.[2]邵剑,李大侃.高等数学专题梳理与解读[M].上海：同济大学出版社，2008：37-38.[3]沐定夷.谢惠民.吉米多维奇数学分析习题集学习指引（第一册）[M].北京:高等教育出版社，2010:116-118.[4]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,2001.[5]冯加才.幂指函数的极限问题[J].焦作工学院学报，1999,18(5).[6]康佳鑫.浅谈应用洛必达法则求不定式极限[J].哈尔滨师范大学自然科学学报，2015,31(2).[7]陈茜，舒慧颖.浅谈幂指函数的极限问题[J].衡水学院学报，2011,13（4）.[8]钱吉林.数学分析题解精粹[M].第二版.湖北：湖北辞书出版社，2003.致谢这篇文章包含了许多老师和同学的宝贵建议，同时也有来自参考著作中的启示，如高等教育出版社出版的数学分析、冯加才老师的幂指函数的极限问题等，还要感谢我的指导老师——魏老师的亲切关怀和悉心指导，她严谨的科学态度、精益求精的工作作风，深深地感染和激励着我从课题的选择到论文的最终完成，魏老师都始终给予我细心的指导和不懈的支持，在此谨致以诚挚的谢意和崇高的敬意.。
