关于幂指函数的极限求法归纳

幂指函数求极限例题以《幂指函数求极限例题》为标题，写一篇3000字的中文文章首先，要弄清楚极限的概念，这是研究极限的基础。

极限（Limit）是微积分中一个重要的概念，也是求解微积分问题的基础。

极限是函数在一个特定极限点处的行为及其结果的抽象概念。

也就是说，当某个数值接近极限点时，函数值也会接近某个特定的数值，这个数值就是函数在极限点处的极限值。

在求极限中，常用的技术之一是幂指函数求极限法，也称为升幂求极限法。

幂指函数求极限法具体的运用方法如下：1、将一个复杂的函数分解成它的本原幂指函数的乘积；2、利用幂指函数的特性，找出它们的极限；3、最后将它们的极限结合起来，就可以求出原函数的极限值。

下面举一个求解幂指函数极限的例子，来说明幂指函数求极限的具体操作：求函数 f(x)= (x^2+2x-8) / (x^3-3x+2) x=1的极限首先，将函数分解为它的本原幂指函数：f(x)= (x^2+2x-8) / (x^3-3x+2) = (x+2)/(x-2)(x+4)/(x+2) 其次，利用幂指函数的特点，可以算出它们的极限：(x+2)/(x-2)=1/(x-2) 且 (x+4)/(x+2)=2，最后，将它们的极限结合起来，设当 x向于 1，f(x)极限为 lim (x->1)f(x)，则lim (x->1) f(x)= lim (x->1) (x+2)/(x-2) lim (x->1)(x+4)/(x+2)= lim (x->1) 1/(x-2) lim (x->1) 2= 2/(1-2)=-2 由此可知，当 x=1，函数 f(x)= (x^2+2x-8) / (x^3-3x+2)极限值是-2。

综上所述，我们可以发现，对于复杂的函数，利用幂指函数求极限法可以把它们分解为许多单纯的幂指函数，这样便可以非常方便地求解这类函数的极限，从而节约时间和提高效率。

以上就是“以《幂指函数求极限例题》为标题，写一篇3000字的中文文章”的内容。

数学极限计算公式整理在数学中，极限是一种重要的概念，用于描述函数在某个点无限接近某个数值或某个函数在自变量趋于无穷大或无穷小时的性质。

计算极限时，我们经常会用到一些常见的公式和技巧。

本文将对数学极限计算中常用的公式进行整理和总结，以帮助读者更好地理解和应用这些公式。

一、基本极限公式1. 常数公式：对于任意实数a，有lim(x→a) = a。

这意味着当自变量x趋于常数a时，函数的极限值等于a。

2. 幂函数公式：对于任意正整数n，有lim(x→a) x^n = a^n。

这个公式可以推广到任意实数n。

3. 自然对数的极限公式：lim(x→0) ln(1 + x) = 0。

这个公式经常用于计算一些复杂函数的极限。

二、常见极限公式1. 三角函数极限公式：a) lim(x→0) (sin x) / x = 1。

b) lim(x→0) (1 - cos x) / x = 0。

c) lim(x→∞) sin x / x = 0。

2. 指数函数和对数函数极限公式：a) lim(x→∞) (1 + 1/x)^x = e。

b) lim(x→∞) log(1 + x) / x = 1。

3. 无穷小量的极限公式：a) lim(x→0) sin x / x = 1。

b) lim(x→0) (1 - cos x) / x^2 = 1/2。

三、极限的四则运算法则极限具有四则运算法则，即对于两个函数f(x)和g(x)，在它们的极限存在的情况下，有以下公式：1. lim(x→a) (f(x) ± g(x)) = lim(x→a) f(x) ± lim(x→a) g(x)。

2. lim(x→a) (f(x) * g(x)) = lim(x→a) f(x) * lim(x→a) g(x)。

3. lim(x→a) (f(x) / g(x)) = lim(x→a) f(x) / lim(x→a) g(x)（其中lim(x→a) g(x) ≠ 0）。

极限的公式总结极限是高等数学中的重要概念，它在数学、物理和工程等领域中都有着广泛的应用。

极限的公式可以帮助我们求解一些复杂的问题和优化计算。

在本文中，我们将总结一些常见的极限公式，包括函数极限、无穷极限和级数极限等。

一、函数极限公式1. 一次函数极限：若 f(x) = ax + b（a≠0），则当x→a 时，f(x) 的极限为f(a)=a*a+b。

2. 二次函数极限：若 f(x) = ax² + bx + c（a≠0），则当x→a 时，f(x) 的极限为f(a)=a*a²+b*a+c。

3. 幂函数极限：若 f(x) = x^a（a为实数），则当x→∞ 或x→-∞ 时，f(x) 的极限为：- 若 a > 0，则极限为∞ 或 -∞，具体取决于 x 的正负；- 若 a = 0，则极限为 1；- 若 a < 0，则极限为 0。

4. 指数函数极限：α 为常数，若f(x) = α^x，则当x→∞ 或x→-∞ 时，f(x) 的极限为：- 若α > 1，则极限为∞ 或 0，具体取决于 x 的正负；- 若0 < α < 1，则极限为 0 或∞，具体取决于 x 的正负； - 若α = 1，则极限为 1。

5. 对数函数极限：若f(x) = logₐ(x)（a>0 且a≠1），则当x→0 或x→∞ 时，f(x) 的极限为：- 当 a > 1 时，极限为 -∞ 或∞，具体取决于 x 的趋势；- 当 0 < a < 1 时，极限为∞ 或 -∞，具体取决于 x 的趋势。

6. 三角函数极限：- sin(x) 的极限为 1，当x→0 时；- cos(x) 的极限为 1，当x→0 时；- tan(x) 的极限为∞ 或 -∞，当x→(nπ/2)(n为整数) 时；- cot(x) 的极限为∞ 或 -∞，当x→nπ(n为整数) 时；- sec(x) 的极限为∞ 或 -∞，当x→(2n+1)(π/2)(n为整数) 时； - csc(x) 的极限为∞ 或 -∞，当x→nπ(n为整数) 时。

幂指函数求极限马凤丽;徐为;马茜【摘要】在函数极限的计算中,有关幂指函数极限计算的题目类型多、难度大且灵活多变,总结了一些幂指函数极限的计算方法,并通过例题说明这些方法的应用性.【期刊名称】《高师理科学刊》【年(卷),期】2019(039)005【总页数】3页(P57-59)【关键词】幂指函数;极限;连续性【作者】马凤丽;徐为;马茜【作者单位】陆军工程大学基础部,江苏南京 211101;陆军工程大学基础部,江苏南京 211101;陆军军事交通学院基础部,天津 300161【正文语种】中文【中图分类】O172;G642.0幂指函数的运算题目类型多，而且技巧性强、灵活多变，对于幂指函数求极限问题，许多学生不能对各种题型加以区分，找不到快速正确的解题方法，影响做题的正确性．分析发现，产生这一问题的原因是许多学生对幂指函数的概念和定理理解不深刻，把幂指函数与幂函数、指数函数混为一谈，对题目中出现的题型及解题方法没有整理总结找到其中的解题技巧．因此，对于幂指函数极限的计算问题，有必要给出幂指函数的定义，讨论幂指函数极限的类型，并对解题方法进行整理和总结，让更多的学习者更好地认识幂指函数，增强对求极限的多种技能技巧的理解和合理运用求极限技巧的能力，从而提高解题的正确性及效率，提高分析问题和解决问题的能力.幂指函数结构极限式的极限计算是函数与数列极限计算中频繁出现的一类问题. 定义[1} 底数与指数中都含有变量的函数，称为幂指函数，记为且.幂指函数极限的求法主要包括[2-6]：（1）利用重要极限进行计算.（2）若且，，则.（3）利用对数恒等式，则.例1[7] 设，计算解数列为幂指函数结构，考虑对数函数法求极限．设原极限为，则，由函数的连续性，转换为求极限因为，所以．例2[8] 设为上连续函数，在上可积且恒大于或者恒小于0，证明：．证明由于且为连续函数，所以由闭区间上连续函数的最值定理有，，于是由夹逼定理可知，．因此，所需证明等式左侧的极限为未定型，考虑对数函数法.基于函数的连续性，极限可以转换为计算极限．由于，问题转换为证明．由于，可得．由数列极限的定义，对于任意，存在，当时，恒有．于是，当时，有，故由数列极限的定义可知，，所以，其中：，结论得证．例3[9] 设，存在，求．解，因为，根据导数定义，，所以．在求解幂指函数的极限时，题目中不可能只会用到一种计算方法，计算过程中可能会用到多种方法，如等价无穷小代换[10]、洛必达法则和极限的四则运算等，在求解时应该对每一步仔细分析，掌握计算的技巧，找到正确快速的解题方法．【相关文献】[1] 同济大学数学系．高等数学（上册）[M]．7版．北京：高等教育出版社，2014[2] 裴礼文．数学分析中的典型问题与方法[M]．北京：高等教育出版社，2001[3] 陈茜，舒慧颖．浅谈幂指函数的极限问题[J]．衡水学院学报，2011，13（4）：10-12[4] 张红玉．关于幂指函数的极限求法[J]．大同职业技术学院学报，2004，18（1）：66-68[5] 甘媛．幂指函数极限的推广及应用[J]．安徽电子信息职业技术学院学报，2011，57（10）：45-47[6] 何晓岭．幂指函数极限的计算[D]．石家庄：石家庄学院，2017[7] 钱吉林．数学分析题解精粹[M]．2版．武汉：湖北辞书出版社，2003[8] 刘小华．关于幂指函数求极限的问题[J]．高等数学研究，2008，11（5）：5-7[9] 冯加才．幂指函数的极限问题[J]．焦作工学院学报，1999，18（5）：15-17[10] 康佳鑫．浅谈应用洛必达法则求不定式极限[J]．哈尔滨师范大学自然科学学报，2015，31（2）：21-23。

专升本考试中幂指函数求极限求导数解题方法探讨
作者：***
来源：《理科爱好者(教育教学版)》2021年第01期
【摘要】在专升本考试中，幂指函数求导数以及求极限的题型对学生来说难度较大。

对此，本文针对幂指函数求导数以及求极限的问题提出了几种解决方法，希望对学生的专升本考试有所帮助。

【关键词】幂指函数;导数;极限
形如u（x）v（x）的函数被称为幂指函数。

幂指函数形式上既像幂函数，又像指数函数。

在高等数学教学中，幂指函数的求极限以及求导数的运算是学生学习的一個难点，对学生来说非常棘手[1-4]。

1 幂指函数求极限
1.1 公式恒等变形后用洛必达法则
本文给出了幂指函数求极限以及求导数时一些常用方法，这些方法对学生学习幂指函数有很大的帮助，能够提高学生计算能力，提高学生的思维发散能力，增强学生对数学的运用能力，希望对学生备考专升本有帮助。

【参考文献】
[1]贺电鹏.幂指函数求导法的探索[J].学科探索，2017（21）.
[2]刘亚轻，纵封磊.幂指函数的求导与应用[J].教育教学论坛，2020（45）.
[3]陈茜，舒慧颖.浅析幂指函数的极限问题[J].衡水学院学报，2011（4）.
[4]冉金花.用等价无穷小替换求极限使用条件的探讨[J].科技资讯，2019（27）.
【作者简介】
宋小平（1994～），女，汉族，山东烟台人，硕士研究生，助教。

研究方向：高等数学及教育研究。

求函数极限的方法和技巧函数极限是微积分中很重要的一个概念，它在描述函数的性质和行为上起着关键的作用。

在求函数极限时，有许多方法和技巧可以帮助我们得出准确的结果。

本文将介绍一些常用的方法和技巧，帮助读者更好地理解和计算函数极限。

一、基本极限公式和定理在求函数极限时，有一些基本的极限公式和定理是非常有用的，可以帮助我们快速计算极限。

下面是一些常见的基本极限：1. 常数极限：lim（常数）= 常数2. 幂函数极限：lim（xn）= 0 （当n > 0时）、lim（x^n）= 1（当n = 0时）3. 正弦函数和余弦函数极限：lim（sinx）= 0、lim（cosx）= 14. 自然对数函数和指数函数极限：lim（lnx）= -∞（当x→0+时）、lim（ex）= ∞（当x→∞时）除了基本的极限公式外，还有一些常用的极限定理可以简化计算：1. 四则运算法则：若lim（f(x)）和lim（g(x)）存在，则lim（f(x) ± g(x)）= lim（f(x)）± lim（g(x)）lim（f(x) * g(x)）= lim（f(x)） * lim（g(x)）lim（f(x) / g(x)）= lim（f(x)） / lim（g(x)）（此处lim（g(x)）≠0）2. 复合函数极限：若lim（f(x)）= a，则lim（g(f(x))）= g(a)这些基本极限公式和定理在计算极限时非常有用，可以大大简化计算过程。

二、夹逼定理夹逼定理是求解函数极限的重要工具，它对于求解一些复杂函数的极限非常有帮助。

夹逼定理通常用于以下情况：1.当函数在一些区间内被两个已知函数夹逼时，可以利用夹逼定理求出函数的极限。

具体而言，如果存在函数g(x)≤f(x)≤h(x)以及lim（g(x)）= lim （h(x)）= a，那么lim（f(x)）= a。

这意味着，当一个函数夹在两个已知函数之间，并且这两个函数的极限相等时，该函数的极限也等于这个相等的极限。

极限的公式总结极限是微积分的一个重要概念，用来描述函数在某一点附近的趋势。

在求解极限时，我们经常会用到各种公式，这些公式帮助我们简化计算，更快地得到结果。

在本文中，我将总结一些常见的极限公式，希望能帮助读者更加深入地理解极限的本质。

一、基本极限1. 常数函数：lim(x→a) c = c，其中c为常数；2. 幂函数：lim(x→a) x^n = a^n，其中n为正整数；3. 指数函数：lim(x→∞) e^x = ∞，lim(x→-∞) e^x = 0；4. 对数函数：lim(x→0) log(x) = -∞，lim(x→∞) log(x) = ∞；5. 三角函数：lim(x→0) sin(x)/x = 1；lim(x→0) (1 - cos(x))/x = 0；lim(x→π/2) (sin(x))^n = 1，其中n为正整数；lim(x→0) (1 + x)^a ≈ 1 + ax；lim(x→∞) (1 + 1/x)^x = e。

二、极限运算1. 四则运算：lim(x→a) [f(x) ± g(x)] = lim(x→a) f(x) ± lim(x→a) g(x)；lim(x→a) [f(x)g(x)] = lim(x→a) f(x) · lim(x→a) g(x)；lim(x→a) [f(x)/g(x)] = lim(x→a) f(x) / lim(x→a) g(x)，其中lim(x→a) g(x) ≠ 0；2. 复合函数：lim(x→a) f(g(x)) = lim(x→a) f(u) = f(lim(x→a) g(x))，其中lim(x→a) g(x)存在。

三、特殊极限1. 自然对数的极限：lim(x→∞) ln(x)/x = 0；2. 无穷小的高阶无穷小：lim(x→0) (1 + x)^{1/x} = e；3. 无穷小和无穷大的比较：lim(x→∞) [f(x)/g(x)] = 0，若lim(x→∞) [f(x)] = 0；lim(x→∞) [f(x)/g(x)] = ∞，若lim(x→∞) [g(x)] = 0；lim(x→∞) [f(x)/g(x)] = L，若lim(x→∞) [f(x)] = L且lim(x→∞)[g(x)] = L；4. 多项式函数的极限：lim(x→∞) [P(x)/Q(x)] = a/b，其中P(x)和Q(x)分别为n次多项式，且n为高次项的系数为a，Q(x)的最高次项系数为b。

lim极限函数公式总结引言极限是微积分中非常重要的概念之一，它描述了函数在接近特定点时的行为。

在微积分中，极限函数是一种重要的工具，用于研究函数的性质和行为。

本文将总结常见的lim极限函数公式，并介绍它们的应用和性质。

1. 极限的定义在介绍具体的极限函数公式之前，我们先回顾一下极限的定义。

对于函数f(x)，当x无限接近于某个数a时，如果f(x)的取值也趋近于某个常数L，那么我们称L为f(x)在x趋近于a时的极限，记作：lim(x→a) f(x) = L简言之，极限表示函数在趋近某个点时的值。

2. 常见的极限函数公式2.1. 常数函数对于常数函数c(x) = c，其中c为常数，其极限为：lim(x→a) c = c这意味着常数函数在任何点的极限都是该常数本身。

2.2. 变量函数对于变量函数f(x) = x，其极限为：lim(x→a) x = a这意味着变量函数在任何点的极限都是该点的值。

2.3. 幂函数对于幂函数f(x) = x^k，其中k为整数，其极限为：lim(x→a) x^k = a^k这意味着幂函数在任何点的极限为该点的幂次。

2.4. 指数函数对于指数函数f(x) = a^x，其中a为常数且a>0，其极限为：lim(x→∞) a^x = ∞这意味着指数函数在正无穷时的极限为正无穷。

2.5. 对数函数对于对数函数f(x) = log_a(x)，其中a为常数且a>0且a≠1，其极限为：lim(x→0+) log_a(x) = -∞这意味着对数函数在接近0时的极限为负无穷。

2.6. 三角函数对于三角函数sin(x)和cos(x)，其极限为：lim(x→0) sin(x) = 0lim(x→0) cos(x) = 1这意味着在接近0时，正弦函数的极限为0，余弦函数的极限为1。

3. 极限函数的应用3.1. 研究函数的连续性极限函数在研究函数的连续性时起到重要的作用。

通过计算极限，我们可以判断函数在某个点是否连续。

第22卷第5期2019年9月高等数学研究STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICSVol.22,No.5Sep.,2019doi:10.3969/j.issn.1008-1399.2019.05.001幕指函数中未定式00"!、！0型极限的若干定理陈建梅，翟书杰(郑州大学数学与统计学院,河南郑州450001)摘要本文给出计算数中未定式00、1!、！0型极限的若干定理，并举例说明正确的解题方法与技巧.关键词-.函数；未定式00,1!,!0中图分类号O13,G642.0文献标识码A文章编号1008-1399(2019)05-0001-03On LimiSs of Indeterminate Forms of Power Exponential FunctionsCHEN Jianmei and ZHAI Shujie(School of Mathematics and Statistic,Zhengzhou University,Zhengzhou450001,China)Abstract In this paper,we revisit some theorems for calculating the limits of indeterminate forms of pow­er exponential functions,and illustrate the corresponding methods and techniques.Keywords power exponential function,indeterminate form00,1!,!01引言高等数学是工科类学生的公共基础必修课程,数学分析是理科数学类的基础必修课程,微分学是高等数学或者数学分析的主要内容,也是学习后续专业课程的基础.只有学好微分学,才能更好地学习后续的各门专业课程,幕指函数中未定式00、1!、80型的极限是微分学的重点内容，也是难点内容.目前的教材没有给出计算未定式00、1!、80型极限的完整形式定理(参考文献，也没有给出正确的解题方法(参考文献[3]).本文给出计算未定式00、1!、80型极限的若干完整形式定理及其证明，并举确的解题与方法!2关于计算3种未定式00、1!、80型极限的两个定理定理1在Z的某一变化过程中,#(")3属于3种未定式00、1!、80型之一,『(实数)(1)如果lim g(")ln#(")="+!(2)$—8(3)则lim#(")g(")=nme g("ln/(")(lim gC")^/"")J e="+8$0Ae1)(2)(3)证明#(,x)g(,=e g<'I>'n f<">,f(x)>0由e",& g")ln#")复合而成的.下面证明(1)：因为lim&= lim g(")ln f(")=A(实数)，1i me"=e A,利用复合函数"&A收稿日期：2019-03-06修改日期2019-05-02基金项目：国家青年/然科学基金项目(11801524)；郑州大学教改项目(13210020).作者简介：陈建梅(1966-),女,副教授,从事高等数学教学研究工作,Email：c hjm@.翟书杰(1979—),女,博士、讲师，从事基础数学研究工作,Email:zhaishujie@.的极限运算法则,所以lim f(")2=lime g")f") lime"=e A.类似证明(2),(3)."&A这里需要特别注意的是：第一不能无条件的写成下面的式子lim g("))n f(")elim f(")$">当g(")n f")无变化趋势或者lim g(")ln f") +8、一8、8的情形之一时,不能写成lim f")g")2高等数学研究2019年9月8?心应？比如下面的例2.=与例2.5,又如：limd+sin.z)'2，不能直接写成"2lim-J•lnd+sinc)lm4^*si"lim(1+sin")"=e"&0"=e"&°""&0利用⑴，所以lim(arCsm")7=e1""&+0例2.4计算lim「S"!［土"&+0e解这是未定式18型，因为e A"=e!，这是不正确的;正确的是:lim丄l n"&+0"(1+")"e因为lim$ln(l+sin") "&0"lim$sin"=!,"&0"8*0W limp l n1+("&+0 "(1+")1e1)所以lim(l+sin"%2不存在."&0第二当g(")ln/(")无变化趋势或者lim g(") ln#(")=8时，则#都无变化趋势.:例2.1计算lim"n+)."&+0解这是未定式0#型，因为0*8lim ln(1+")ln"=lim"In""&+0"&+0lim丄(1+")丄"&+0 "e1)丄lim(1+")1——ee"&+00_e im"&+0"2(1+")1n(1+")4"(1+")2"11ee p"—(1+")ln(1+")2"&+0"3(1+")"&+08丄-In"8-"小=lim—^―=lim------=0,"&+01"&+0_1""2利用(1)所以lim"ni+")we0w1."&+01tan"例2.2计算lim(―)."&+0"解这是未定式80型，因为10*81lim tan"ln—=lim"In—=——lim"In""&+0""&+0""&+08丄ln"8"=一lim=—lim-------=0,"&+01"&+0_1""2tan"0利用(1)所以lim(丄)we W1."&+0"例2.3计算l i m(as")?."&+0"解这是未定式18型，因为1e 0_w21,’arcsin"、lim-^-ln(---------) "&+0 ""8*0W lim飞1口|1+( "&+0 "arcsm""1arcsin" lim飞("&+0 "1)"e1"——1+")n1+")—lim lim2"&+01十""&+0"1—l n(1+")—(1+")*丄1+"lim"&+01r—ln(1+")2im"&+03"23"21 1."1 1.1=—可lim-~2=—可lim—w—8，2"&+0："2"&+0："利用(3),所以lim「1+")")?=0."&+0e例2.5计算lim(@"")7."&+0"解这是未定式18型，因为lim飞］n(+0 "arcsm"")8*01arcsln"=im^lnl1+(---------"&+0"L"lim1(s"——1)+0""利用(2),所以lim(Qs")7=+8."&+0"利用定理1类同的证明方法得到：定理2当"&8时属于3种未定式00、18、80型之一，第22卷第5期陈建梅，翟书杰：幕指函数中未定式00、1!、！0型极限的若干定理3如果 lim gS ) In f (宛)A ( 数)1 )+ !一 !(2)(3 )则lm f (s)g(l ) =lime g(l)lnf(l )lim g(n ) \n f(n )Ae ”&8e+ 81)(2)(3)例 3.2 计算 lim (1 + x ) [2x &+0 L e 」解 这是未定式18型，因为lim ((1+x )x & + 01) -1x1 r (1+x )1 — e ——lim e x &+0ex 23 关于计算未定式型极限的两个定理定理3在x 的某一变化过程中，f (x )gx )属于1!型的未定式,20 1=—lim e x &+0(1+x )1ln(1+x )+^+)如果 lim[f(") —叮g")A ( 数)1 )+! (2)1e 一 !1e2x e x 一(1+x )ln(1+x )2 x -i +0x 3 (1+x )e 1. 1 1. x 一(1 + x )ln(1+x )—lim — ■ lim -------------3--------------------------2 x &+01 +x "& + 0"& + 0则 lim f (x )gx )="+ !$01)(2)(3 )1一ln(1+x ) —(1+x ) ■ 111+xV lm 厶 x & + 00_=1=2g(x)(f(x) 1) -1 -证明 f (x)g(x ) = [1+f(x ) —叮=+ (+ (f(x )—1)[们｝ [fx T [31匚f(x ) —1 [ g(x ) I n [1+ ( f(x ) — 1 ) [ fx )1=e,3x 21 - 一ln(1 +x ) 1 - x~c)~ lm—2 = 下 lim ——2 x &+0 3 x 2 x &+0 3 x"& + 03x 211—可 lim —= — !,2 x &+03 x利用(3),所以 lim (1+x ) [1=0.由 e" ," = [f(x ) — 叮g(x )In [1 + (f (x ) — 1)[心 1 复合而成的.下面证明(1)：im[f (x ) 一1 [g (x ) =A ( 数)!lim [1 + (f(x ) —1)[#x —f =e,得到lim " = lim[f(x ) — 1]g(x )ln [1 + (f(x ) — 1) [f () 1=A ( 数) !因为 lim " = A (实数)，lime ""&Ae ，&"& + 0e例 3.3 计算 lim (as x )4x & + 0限运算法则，所以e A ，利用复合函数的极x 解 这是未定式18型，因为1)1x 30_ ____________0「 1 一 槡 1一 x 2=lim ----------x &+04x 3 * 槡 1一 xarcsin x lim (---------x &+0x imx & + 0arcsm "一x x 4lim f (x )gx ) = lime 匚fx 〉一13gx )in 匚 1+ fx —1)zi ~1"A=ime =e !"&A类似证明(2),(3).特别注意的是：当[f(x)—1]g(x)无变化趋势或者lim f(x )—叮g(x )= 8时，则f (x )g(x )都无变 化趋势.一x 22+ !,例 3.1 计算 lim (arcsin x )7x &+0 x 解 这是未定式18型，因为arcsin x 1lim (---------一 1)=x &+0xx0_=lim —利用(2),所以 lim (ac x )4= + 8.x 显然，例3. 1、例3. 2、例3. 3的解法分别比例2. 3、例2. 4、例2. 5的解法要简单一些.对于计算未定式18型的极限，同学们可以选择定理3的方法,定理3的方法要比定理1的方法简单一些.定理:类 的 方法 ：定理4 当"&8时f (n)gl 属于18型的未定式,x & + 0arcsin x —x lim x & + 0x 一x 22利用(1),所以 lim (arCSln x )? = ex &+0 x16一 !1 一 槡 1 一 x 2如果 lim f (n ) — 叮 g(n )="n &8c 2 * 槡 1一x 2#e A (1)贝Ij l im f (n)g(n )="+ 8 (2)1$0⑶A (实数)+ !1)(2)(3 )(下转第6页)6高等数学研究2019年9月结论2曲线C：*=f(x)有渐近线y=kx+b当且仅当f(x')=kx+b+o(1),其中o(1)满足lim o(1)=0.x&+8(x&-8)证明以x&+8为例：(1)如果y=f(.x)有渐近线*=kx+b,则lim£f(x)一kx)=b,x&+8即f(x)一kx=b+o(1)，其中lim o(1)=0,即f(x)=x&+8kx+b+o1)!(2)如果f(x)=kx+b+o(1),其中lim o(1)=0,则x&+8lim f$x)—im kx+b+o(1)x&+8x x&+8xb+o1)k I liim k,x&+8xlim[f(x)—kx)=lim[b+o(1))=b.x&+8x&+8所以曲线C：y=f(x)有渐近线*=kx+b.证毕.由渐近线的几何意义可知，当曲线上动点远离原点时，曲线与渐近线的距离趋于零，因此通过把曲线化为线性部分和相应过程的无穷小的部分之和,即f(.x)=ax+b+o(1),线性部分即为曲线的渐近线，这就是结论2所描述的求解过程.(3)y=槡x3—x2—x+1解(1)由于=x3y x2+2x一3x—27x一6x2+2x一3W x—2+o1)其中o(1)满足lim o(1)=lim2x.+6=0,所以曲x&8x&8x+~2x3有斜y=x—2(2)—2x2一y=)=22x—2(—x)2=2+o1),中o(1)满足lim o(1)=lim门_、？=0,所以曲线有水x&8x&8(丄CC)平y=2(3)y—槡x3—x2—x+1—x槡一十一右+右x(i+1(-=x一g+o(1)(x&8),所以曲线有斜渐近线y=x—1.比如例2中的函数y=槡1+x2—x,借助带皮亚诺余项的泰勒公式，当x&—8时可以改写为一x(2+空。