高三第四次月考 理科数学

银川一中2024届高三年级第四次月考数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{05}A xx =<<∣，104x B x x ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭，则A B = （）A.[]1,4- B.[)1,5- C.(]0,4 D.()0,4【答案】D 【解析】【分析】由分式不等式的解法，解出集合B ，根据集合的交集运算，可得答案.【详解】由不等式104x x +≤-，则等价于()()1404x x x ⎧+-≤⎨≠⎩，解得14x -≤<，所以{}14B x x =-≤<，由{}05A x x =<<，则{}04A B x x ⋂=<<.故选：D.2.复平面上，以原点为起点，平行于虚轴的非零向量所对应的复数一定是（）A.正数 B.负数C.实部不为零的虚数D.纯虚数【答案】D 【解析】【分析】根据向量的坐标写出对应复数，然后判断即可.【详解】由题意可设()()0,0OZ a a =≠，所以对应复数为()i 0a a ≠，此复数为纯虚数，故选：D.3.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.20B.32C.203D.323所以该几何体的体积为【答案】D 【解析】【分析】先根据几何体的三视图得出该几何体的直观图，再由几何体的特征得出几何体的体积.【详解】解：如图，根据几何体的三视图可以得出该几何体是底面为矩形的四棱锥E -ABCD ，该几何体的高为EF ，且EF =4，13224433E ABCD V -=⨯⨯⨯=，故选：D.4.“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量､画圆和方形图案的工具.敦煌壁画就有伏羲女娲手执规矩的记载（如图（1））.今有一块圆形木板，以“矩”量之，如图（2）.若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角α满足3cos 5α=，则这块四边形木板周长的最大值为（）A.20cmB.C. D.30cm【答案】D 【解析】【分析】作出图形，利用余弦定理结合基本不等式可求得这个矩形周长的最大值.【详解】由题图（2)cm =.设截得的四边形木板为ABCD ，设A α∠=，AB c =，BD a =，AD b =，BC n =，CD m =，如下图所示.由3cos 5α=且0πα<<可得4sin 5α=，在ABD △中，由正弦定理得sin aα=，解得a =在ABD △中，由余弦定理，得2222cos a b c bc α=+-.，所以，()()()()222222616168055545b c b c b c bc b c b c ++=+-=+-≥+-⨯=，即()2400b c +≤，可得020b c <+≤，当且仅当10b c ==时等号成立.在BCD △中，πBCD α∠=-，由余弦定理可得()222226802cos π5a m n mn m n mn α==+--=++()()()()22224445545m n m n m n mn m n ++=+-≥+-⨯=，即()2100m n +≤，即010m n <+≤，当且仅当5m n ==时等号成立，因此，这块四边形木板周长的最大值为30cm .故选：D.5.若13α<<，24β-<<，则αβ-的取值范围是（）A.31αβ-<-<B.33αβ-<-<C.03αβ<-<D.35αβ-<-<【答案】B 【解析】【分析】利用不等式的性质求解.【详解】∵24β-<<，∴04β≤<，40β-<-≤，又13α<<，∴33αβ-<-<，故选：B.6.已知向量(1,1)a = ，(,1)b x =- 则“()a b b +⊥”是“0x =”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据题意，利用向量垂直的坐标表示，列出方程求得0x =或=1x -，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由向量(1,1)a = ，(,1)b x =-，可得(1,0)a b x +=+r r ，若()a b b +⊥，可得()(1)0a b b x x +⋅=+= ，解得0x =或=1x -，所以()a b b +⊥是0x =的必要不充分条件.故选：B.7.“莱洛三角形”是机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形，它在很多特殊领域发挥了超常的贡献值．“莱洛三角形”是分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形（如图所示）．现以边长为4的正三角形作一个“莱洛三角形”，则此“莱洛三角形”的面积为（）A.8π-B.8π-C.16π-D.16π-【答案】A 【解析】【分析】求出正三角形的面积和弓形的面积，进而求出“莱洛三角形”的面积.【详解】正三角形的面积为21π4sin 23⨯=圆弧的长度为π4π433l =⨯=，故一个弓形的面积为18π423l ⨯-=-，故“莱洛三角形”的面积为8π38π3⎛-+=- ⎝.故选：A8.若数列{}n a 满足11a =，1121n n a a +=+，则9a =（）A.10121- B.9121- C.1021- D.921-【答案】B 【解析】【分析】根据题意，由递推公式可得数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，即可得到数列{}n a 的通项公式，从而得到结果.【详解】因为11a =，1121n n a a +=+，所以111121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，又1112a +=，所以数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为2，公比为2的等比数列，所以112n n a +=，即121n n a =-，所以99121a =-.故选：B9.如图，圆柱的轴截面为矩形ABCD ，点M ，N 分别在上、下底面圆上，2NB AN =，2CM MD =，2AB =，3BC =，则异面直线AM 与CN 所成角的余弦值为（）A.10B.4C.5D.20【答案】D 【解析】【分析】作出异面直线AM 与CN 所成角，然后通过解三角形求得所成角的余弦值.【详解】连接,,,,DM CM AN BN BM ，设BM CN P ⋂=，则P 是BM 的中点，设Q 是AB 的中点，连接PQ ，则//PQ AM ，则NPQ ∠是异面直线AM 与CN 所成角或其补角.由于 2NB AN =， 2CMDM =，所以ππ,36BAN NBA ∠=∠=，由于2AB =，而AB 是圆柱底面圆的直径，则AN BN ⊥，所以1,AN BN ==，则122AM PQ AM ====，12CN PN CN ====，而1QN =，在三角形PQN中，由余弦定理得1010313144cos 20NPQ +-+-∠==.故选：D10.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且70a >，690a a +<则（）A.数列{}n a 为递增数列B.80a <C.n S 的最大值为8SD.140S >【答案】B 【解析】【分析】由70a >且78690a a a a +=+<，所以80a <，所以公差870d a a =-<，所以17n ≤≤时0n a >，8n ≥时0n a <，逐项分析判断即可得解.【详解】由70a >且78690a a a a +=+<，所以80a <，故B 正确；所以公差870d a a =-<，数列{}n a 为递减数列，A 错误；由0d <，70a >，80a <，所以17n ≤≤，0n a >，8n ≥时，0n a <，n S 的最大值为7S ，故C 错误；114147814()7()02a a S a a +==+<，故D 错误.故选：B11.银川一中的小组合作学习模式中，每位参与的同学都是受益者，以下这道题就是小组里最关心你成长的那位同桌给你准备的：中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA ⊥平面ABCE ，四边形ABCD 为正方形，2AD =，1ED =，若鳖臑P ADE -的外接球的体积为3，则阳马P ABCD -的外接球的表面积等于（）A.15πB.16πC.17πD.18π【答案】C 【解析】【分析】因条件满足“墙角”模型，故可构建长方体模型求解外接球半径，利用公式即得.【详解】如图，因PA ⊥平面ABCE ，AD DE ⊥,故可以构造长方体ADEF PQRS -,易得：长方体ADEF PQRS -的外接球即鳖臑P ADE -的外接球，设球的半径为1R ，PA x =，由12PE R ==，且314π33R =,解得:1R =, 3.x =又因四边形ABCD 为正方形，阳马P ABCD -的外接球即以,,PA AB AD为三条两两垂直的棱组成的正四棱柱的外接球，设其半径为2R22R ==,解得：2172R =故阳马P ABCD -的外接球的表面积为2224π4π(17π.2R =⨯=故选：C.12.若曲线ln y x =与曲线22(0)y x x a x =++<有公切线，则实数a 的取值范围是（）A.(ln 21,)--+∞B.[ln 21,)--+∞C.(ln 21,)-++∞D.[ln 21,)-++∞【答案】A 【解析】【分析】设公切线与函数()ln f x x =切于点111(,ln )(0)A x x x >，设公切线与函数2()2(0)g x x x a x =++<切于点22222(,2)(0)B x x x a x ++<，然后利用导数的几何意义表示出切线方程，则可得21212122ln 1x x x a x ⎧=+⎪⎨⎪-=-⎩，消去1x ，得222ln(22)1a x x =-+-，再构造函数，然后利用导数可求得结果.【详解】设公切线与函数()ln f x x =切于点111(,ln )(0)A x x x >，由()ln f x x =，得1()f x x '=，所以公切线的斜率为11x ，所以公切线方程为1111ln ()-=-y x x x x ，化简得111(ln 1)y x x x =⋅+-，设公切线与函数2()2(0)g x x x a x =++<切于点22222(,2)(0)B x x x a x ++<，由2()2(0)g x x x a x =++<，得()22g x x '=+，则公切线的斜率为222x +，所以公切线方程为22222(2)(22)()y x x a x x x -++=+-，化简得2222(1)y x x x a =+-+，所以21212122ln 1x x x a x ⎧=+⎪⎨⎪-=-⎩，消去1x ，得222ln(22)1a x x =-+-，由1>0x ，得210x -<<，令2()ln(22)1(10)F x x x x =-+--<<，则1()201F x x x '=-<+，所以()F x 在(1,0)-上递减，所以()(0)ln 21F x F >=--，所以由题意得ln 21a >--，即实数a 的取值范围是(ln 21,)--+∞，故选：A【点睛】关键点点睛：此题考查导数的几何意义，考查导数的计算，考查利用导数求函数的最值，解题的关键是利用导数的几何意义表示出公切线方程，考查计算能力，属于较难题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若实数,x y 满足约束条件4,2,4,x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩则2z x y =-+的最大值为________．【答案】4【解析】【分析】依题意可画出可行域，并根据目标函数的几何意义求出其最大值为4.【详解】根据题意，画出可行域如下图中阴影部分所示：易知目标函数2z x y =-+可化为2y x z =+，若要求目标函数z 的最大值，即求出2y x z =+在y 轴上的最大截距即可，易知当2y x =（图中虚线所示）平移到过点A 时，截距最大，显然()0,4A ，则max 4z =，所以2z x y =-+的最大值为4.故答案为：414.已知偶函数()f x 满足()()()422f x f x f +=+，则()2022f =__________．【答案】0【解析】【分析】由偶函数的定义和赋值法，以及找出函数的周期，然后计算即可．【详解】令2x =-，则()()()2222f f f =-+，又()()22f f -=，所以()20f =，于是()()()422f x f x f +=+化为：()()4f x f x +=，所以()f x 的周期4T =，所以()()()20225054220f f f =⨯+==．故答案为：0.15.在ABC 中，已知3AB =，4AC =，3BC =，则BA AC ⋅的值为________.【答案】8-【解析】【分析】根据数量积的定义结合余弦定理运算求解.【详解】由题意可得：cos ⋅=-⋅=-⋅∠uu r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu rBA AC AB AC AB AC A22222291698222+-+-+-=-⋅⨯=-=-=-⋅AB AC BC AB AC BC AB AC AB AC ，即8BA AC ⋅=-.故答案为：8-.16.将函数sin y x =的图象向左平移π4个单位长度，再把图象上的所有点的横坐标变为原来的1(0)ωω>倍，纵坐标不变，得到函数()f x ，已知函数()f x 在区间π3π,24⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值范围为__________.【答案】150,,332ω⎛⎤⎡⎤∈⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【解析】【分析】根据函数图像平移变换，写出函数()y f x =的解析式，再由函数()y f x =在区间π3π,24⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，列出不等式组求出ω的取值范围即可【详解】将函数sin y x =的图象向左平移π4个单位长度得到πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象,再将图象上每个点的横坐标变为原来的1(0)ωω>倍（纵坐标不变），得到函数()πsin 4y f x x ω⎛⎫==+⎪⎝⎭的图象， 函数()y f x =在区间π3π,24⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以3ππ242T ≥-，即ππ4ω≥，解得04ω<≤，①又πππ3ππ24444x ωωω+<+<+，所以πππ2π2423πππ2π442k k ωω⎧+≥-+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，解得3184233k k ω-+≤≤+，②由①②可得150,,332ω⎛⎤⎡⎤∈⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦，故答案为:150,,332ω⎛⎤⎡⎤∈⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦.三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：17.如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是1AA ，11C D 的中点，过D ，M ，N 三点的平面与正方体的下底面1111D C B A 相交于直线l ．（1）画出直线l 的位置，保留作图痕迹，不需要说明理由；（2）求三棱锥D MNA -的体积．【答案】（1）答案见解析（2）324a 【解析】【分析】（1）延长DM 与11D A 的延长线交于E ，连接NE 即为所求；（2）根据D MNA N DAM V V --=结合三棱锥的体积公式求解出结果.【小问1详解】如图所示直线NE 即为所求：依据如下：延长DM 交11D A 的延长线于E ，连接NE ，则NE 即为直线l 的位置．11E DM D A ∈ ，E DM ∴∈⊂平面DMN ，11E D A ∈⊂平面1111D C B A ，E ∴∈平面DMN ⋂平面1111D C B A ，又由题意显然有N ∈平面DMN ⋂平面1111D C B A ，EN ∴⊂平面DMN ⋂平面1111D C B A ，则NE 即为直线l 的位置．【小问2详解】因为D MNA N DAM V V --=，所以3111112332224D MNA DAMa aa V ND S a -⨯=⨯⨯=⨯⨯= .18.已知数列{}n a 是等比数列，满足13a =，424a =，数列{}nb 满足14b =，422b =，设n n nc a b =-，且{}n c 是等差数列.（1）求数列{}n a 和{}n c 的通项公式；（2）求{}n b 的通项公式和前n 项和n T .【答案】18.13·2n n a -=，2n c n =-19.1322n n b n -=⋅+-，21332322=⋅-+-n n T n n 【解析】【分析】（1）根据等差数列、等比数列定义求解；（2）先写出数列{}n b 的通项公式，再分组求和即可求解.【小问1详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为13a =，34124a a q ==，所以2q =，即132n n a -=⋅，设等差数列{}n c 公差为d ，因为1111c a b =-=-，444132c a b c d =-=+=，所以1d =，即2n c n =-.【小问2详解】因为n n n c a b =-，所以n n n b a c =-,由（1）可得1322n n b n -=⋅+-，设{}n b 前n 项和为n T ，()()131242212-=⋅+++⋅⋅⋅++-++⋅⋅⋅+n n T n n 21232122n n n n -+=⋅+--21332322n n n =⋅-+-.19.为践行两会精神，关注民生问题，某市积极优化市民居住环境，进行污水排放管道建设.如图是该市的一矩形区域地块ABCD ，30m AB =，15m AD =，有关部门划定了以D 为圆心，AD 为半径的四分之一圆的地块为古树保护区.若排污管道的入口为AB 边上的点E ，出口为CD 边上的点F ，施工要求EF 与古树保护区边界相切，EF 右侧的四边形BCFE 将作为绿地保护生态区. 1.732≈，长度精确到0.1m ，面积精确到20.01m ）（1）若30ADE ∠=︒，求EF 的长；（2）当入口E 在AB 上什么位置时，生态区的面积最大?最大是多少?【答案】（1）17.3m（2）AE =2255.15m 【解析】【分析】（1）根据DH HE ⊥得Rt Rt DHE DAE ≅ ，然后利用锐角三角函数求出EF 即可；（2）设ADE θ∠=，结合锐角三角函数定义可表示,AE HF ，然后表示出面积，结合二倍角公式化简，再利用基本不等式求解.【小问1详解】设切点为H ，连结DH ，如图.15DH DA == ，DA AE ⊥，DH HE ⊥，Rt Rt DHE DAE ∴≅△△；30HDE ADE HDF ∴∠=∠=∠=︒；15tan 3015tan 3017.3m EF EH HF ∴=+=︒+︒≈.【小问2详解】设ADE θ∠=，则902EDH θ∠=︒-，15tan AE θ∴=，()15tan 902HF θ︒=-.()1111515tan 1515tan 1515tan 902222ADE DHE DHF AEFD S S S S θθθ=+=⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯︒-△△△梯形 2225111tan 31225tan 225tan 225tan 2tan 222tan 44tan θθθθθθθ⎛⎫-⎛⎫=+=+⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22513tan 4tan 2θθ⎛⎫=+≥⎪⎝⎭，当且仅当tan 3θ=，即30θ=︒时，等号成立，30152ABCD BCFE AEFD S S S ∴=-=⨯-梯形梯形矩形，15tan AE θ∴==时，生态区即梯形BCEF 的面积最大，最大面积为2450255.15m 2-≈.20.已知向量()π2cos ,cos21,sin ,16a x x b x ⎛⎫⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.设函数()1,R 2f x a b x =⋅+∈ .（1）求函数()f x 的解析式及其单调递增区间；（2）将()f x 图象向左平移π4个单位长度得到()g x 图象，若方程()21g x n -=在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不同的解12,x x ，求实数n 的取值范围，并求()12sin2x x +的值.【答案】（1）()πsin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）实数n的取值范围是)1,1-，()12sin22x x +=【解析】【分析】（1）利用向量数量积的坐标公式和三角恒等变换的公式化简即可;（2）利用函数的平移求出()g x 的解析式，然后利用三角函数的图像和性质求解即可.【小问1详解】由题意可知()1π1112cos sin cos212cos sin cos cos2262222f x a b x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=⋅+=⋅+--+=⋅+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21cos211cos cos cos2=sin2cos22222x x x x x x x +=⋅+--+--1πsin2cos2sin 2226x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭()πsin 26f x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭.由πππ2π22π,Z 262k x k k -+≤-≤+∈，可得ππππ,Z 63k x k k -+≤≤+∈，∴函数()f x 的单调增区间为()πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】()ππππsin 2sin 24463g x f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，πππ2π22π,Z 232k x k k -+<+<+∈ ，得5ππππ,Z 1212k x k k -+<<+∈，()πsin 23g x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭在区间()5πππ,πZ 1212k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭上单调递增，同理可求得()πsin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间()π7ππ,πZ 1212k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭上单调递减，且()g x 的图象关于直线ππ,Z 122k x k =+∈对称，方程()21g x n -=，即()12n g x +=，∴当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()12n g x +=有两个不同的解12,x x ，由()g x 单调性知，()g x 在区间π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间π12π,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且()πππ0,1,,261222g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫====- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故当31122n +≤<时，方程()12n g x +=有两个不同的解12,,x x11n -≤<，实数n 的取值范围是)1,1-.又()g x 的图象关于直线π12x =对称，12π212x x +∴=，即()1212π3,sin262x x x x +=∴+=.21.已知函数()ln 1,R f x x ax a =-+∈.（1）若0x ∃>，使得()0f x ≥成立，求实数a 的取值范围；（2）证明：对任意的2222*22221223341N ,e,e 112233k k k k k+++++∈⨯⨯⨯⨯<++++ 为自然对数的底数.【答案】（1）1a ≤；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）变形不等式()0f x ≥，分离参数并构造函数，再求出函数的最大值即得.（2）由（1）的信息可得ln 1(1)x x x <->，令221(N )x k k k k k*+∈+=+，再利用不等式性质、对数运算、数列求和推理即得.【小问1详解】函数()ln 1f x x ax =-+，则不等式()ln 10ln 1x f x ax x a x +≥⇔≤+⇔≤，令ln 1()x g x x+=，求导得2ln ()xg x x'=-，当(0,1)x ∈时，()0g x '>，函数()g x 递增，当(1,)x ∈+∞时，()0g x '<，函数()g x 递减，因此当1x =时，max ()1g x =，依题意，1a ≤，所以实数a 的取值范围是1a ≤.【小问2详解】由（1）知，当1x >时，()(1)g x g <，即当1x >时，ln 1x x <-，而当N k *∈时，222111111()11k k k k k k k k ++=+=+->+++，因此2211111ln 1()111k k k k k k k k ++<+--=-+++，于是222222221223341ln ln ln ln 112233k k k k +++++++++++++ 11111111(1)()()()112233411k k k <-+-+-++-=-<++ ，即有222222*********ln()1112233k k k k +++++⨯⨯⨯⨯<++++ ，所以222222*********e 112233k k k k+++++⨯⨯⨯⨯<++++ .【点睛】结论点睛：函数()y f x =的定义区间为D ，(1)若x D ∀∈，总有()m f x <成立，则min ()m f x <；(2)若x D ∀∈，总有()m f x >成立，则max ()m f x >；(3)若x D ∃∈，使得()m f x <成立，则max ()m f x <；(4)若x D ∃∈，使得()m f x >成立，则min ()m f x >.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一道作答.如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为33x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()2π3θρ=∈R ．（1）求C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）若点P 是C 上的一点，求点P 到直线l 的距离的最小值．【答案】（1）C 的普通方程2212x y -=；直线l0y +=（2【解析】【分析】（1）利用消参法求C 的普通方程，根据极坐标可知直线l 表示过坐标原点O ，倾斜角为2π3的直线，进而可得斜率和直线方程；（2）设33,P t t t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，利用点到直线的距离结合基本不等式运算求解.【小问1详解】因为曲线C 的参数方程为33x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），两式平方相减得22223312x y t t t t ⎛⎫⎛⎫-=+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即C 的普通方程2212x y -=；又因为直线l 的极坐标方程为()2π3θρ=∈R ，表示过坐标原点O ，倾斜角为2π3的直线，可得直线l的斜率2πtan 3k ==，所以直线l的直角坐标方程y =0y +=.【小问2详解】由题意可设33,P t t t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，设点33,P t t t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭到直线l0y +=的距离为d ，则d =当且仅当))311t t+=，即(232t=-时，等号成立，所以点P 到直线l .【选修4-5：不等式选讲】23.已知函数()22f x x x =-++.（1）求不等式()24f x x ≥+的解集；（2）若()f x 的最小值为k ，且实数,,a b c ，满足()a b c k +=，求证：22228a b c ++≥.【答案】（1）(,0]-∞（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意分<2x -、22x -≤≤和2x >三种情况解不等式，综合可得出原不等式的解集；（2）利用绝对值三角不等式可求得()f x 的最小值，再利用基本不等式可证得所证不等式成立.【小问1详解】由题意可知：2,2()224,222,2x x f x x x x x x -<-⎧⎪=-++=-≤≤⎨⎪>⎩，①当<2x -时，不等式即为224x x -≥+，解得1x ≤-，所以<2x -；②当22x -≤≤时，不等式即为424x ≥+，解得0x ≤，所以20x -≤≤；③当2x >时，不等式即为224x x ≥+，无解，即x ∈∅；综上所示：不等式()24f x x ≥+的解集为(,0]-∞.【小问2详解】由绝对值不等式的性质可得：()22(2)(2)4=-++≥--+=f x x x x x ，当且仅当22x -≤≤时，等号成立，所以()f x 取最小值4，即4k =，可得()4+=a b c ，即4ab ac +=，所以()()22222222228a b c a bac ab ac ++=+++≥+=当且仅当22224ab ac a b b c +=⎧⎪=⎨⎪=⎩，即a b c ===时，等号成立.。

寿县一中2014届高三第四次月考试卷理科数学（时间120分钟，满分150分） 第I 卷（满分50分）—、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．已知集合{1|,|(),12x A x y B y y x ⎧⎫====>⎨⎬⎩⎭，则R A C B ⋂=（ ） A ．{}|01x x << B ．1|12x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭ C ．{}|1x x ≥ D ．∅2.直线a 不平行于平面α，且a α⊄，则下列结论成立的是（ ）A ．α内所有直线与a 异面B ．α内不存在与a 平行的直线C ．α内存在唯一的直线与a 平行D ．α内的直线与a 都相交3．右图是一个几何体的正（主）视图和侧（左）视图，其俯视图是面积为.则该几何体的表面积是（ ）A.20+B.24+C.8D.164．若2()24ln f x x x x =--，则()0f x '>的解集（ ） A ．(0,)+∞ B ．(1,0)(2,)-+∞ C ．(2,)+∞ D ．(1,0)-5．已知角α为第二象限角且sin α=，则tan 2α=（ ）A．2 B．2 C．2 D．6．已知平面向量a 、b 、c 两两所成角相等，且||1,1,3a b c ===，则||a b c ++等于（ ） A ．2 B ．5 C ．2或5 D7．一个蜂巢里有1只蜜蜂。

第1天它飞出去找回5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回 5个伙伴，如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂飞出去，一共找回（ ）个伙伴A ．55986B ．38880C ．46656D ．233280 8．函数2()cos f x x x =在区间[0,4]上的零点个数为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．79．数列{}n a 满足122,1,a a ==并且1111(2)n n n n n n n n a a a a n a a a a -+-+⋅⋅=≥--，则数列{}n a 的第100项为（ ） A ．10012 B ．5012 C ．1100D ．150 10．定义域为R 的函数()f x 满足()()[]22,0,2f x f x x +=∈当时，()[)[]22,0,1,1,1,2,2x x xx f x x -⎧-∈⎪=⎨⎛⎫-∈⎪ ⎪⎝⎭⎩若[]2,0x ∈-时，()12t f x t ≥-恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）A.[)()2,00,1-⋃B.[)[)2,01,-⋃+∞C.[]2,1-D.(](],20,1-∞-⋃第II 卷（满分100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则该圆锥的体积为 。

绵阳南山高2021级高三下3月月考理科数学（答案在最后）命题人：注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}2340,{ln(1)}M x x x N x y x =--<==-∣∣，则M N ⋂=（）A.(1,4)B.[1,4)C.(1,4)-D.[1,4)-【答案】A 【解析】【分析】首先化简集合，然后求出交集即可.【详解】{}{}234014M xx x x x =--<=-<<∣∣，{ln(1)}{1}N x y x x x ==-=>∣∣，{}14M N x x ⋂=<<.故选：A2.若复数z 满足)i 2z +=，则z =（）A.1B.C.D.2【答案】A 【解析】【分析】利用复数的模的性质求复数的模.【详解】因为z =，所以：212z ===.故选：A3.已知双曲线22123x y a -=+的渐近线方程为y =，则=a （）．A.1-B.1C.3- D.3【答案】A 【解析】【分析】根据双曲线线方程确定渐近线方程为y ==，解出a 即可.【详解】该双曲线的渐近线方程为y =且20a +>=，可解得12a =->-，满足.故选：A4.已知向量,a b满足2,5a b == ，且a 与b 夹角的余弦值为15，则()()22a b a b +⋅-= （）A.36B.36- C.32D.32-【答案】B 【解析】【分析】由向量数量积的定义及运算律计算可得.【详解】设a与b的夹角为θ，则1cos 5θ=，()()2212223cos 224325225365a b a b a a b b θ+⋅-=+-=⨯+⨯⨯⨯-⨯=-.故选：B5.已知数列{}n a 是首项为1的等比数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且369S S =，则数列{}n a 的前5项和为（）A.30或40B.31或40C.31D.30【答案】C 【解析】【分析】设此数列的公比为q ，由题意可得1q ≠，然后利用等比数列的求和公式列方程可求出公比q ，从而可求出数列{}n a 的前5项和【详解】设此数列的公比为q ，则由369S S =，得1q ≠，且()3691111q q qq--=--，即319q +=，解得2q =，所以数列{}n a 的前5项和为5123112-=-．故选：C6.点P 在圆C ：()()22449x y -+-=上，()3,0A ，()0,1B ，则PBA ∠最小时，PB =（）A.8B.6C.4D.2【答案】C 【解析】【分析】根据圆的几何性质，运用数形结合思想进行求解即可.【详解】如图所示，由题意圆C ：()()22449x y -+-=的圆心()4,4C ，半径3r =，当直线PB 与圆C 相切时，即P 为切点时，PBA ∠最小，此时PB 与x 轴平行，()4,1P ，4PB =.故选：C7.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积（单位：2cm ）是（）A.24B.28C.32D.36【答案】C【解析】【分析】借助三视图得到几何体的直观图后计算即可得.【详解】该几何体的直观图如图所示，则表面积为11113454344561061032 2222S=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+++=2cm.故选：C.8.若ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，ABC的面积2sinS a C=，6c=，角C平分线CM 交边AB于点M，则AM的长为（）A.2B.4C.D.【答案】B【解析】【分析】根据三角形的面积可得2b a=，在BMC△和AMC中，利用正弦定理结合BMC AMCπ∠+∠=，可得AM与BM的关系，从而可得出答案.【详解】解：因为ABC的面积21sin sin2S a C ab C==，()0,Cπ∈，则sin0C≠，所以2b a=，在BMC△中，因为sin sin2BC BMCBMC=∠，所以sinsin2BC BMCCBM∠=，在AMC中，因为sin sin2AC AMCAMC=∠，所以sinsin2AC AMCCAM∠=，因为BMC AMCπ∠+∠=，所以sin sinBMC AMC∠=∠，所以BC AC BM AM =，即2AM AC bBM BC a===，所以2AM BM =，则36AB AM BM BM =+==，所以2BM =，所以4AM =.故选：B.9.设函数π()2sin(),(0),6f x x ωω=+>若存在12ππ,[,33x x ω∈-且12x x ≠，使得()()121f x f x ==，则ω的取值范围是（）A.[)4,∞+B.(]4,6C.[)6,∞+ D.(]6,10【答案】A 【解析】【分析】根据题意，需将π6x ω+看成整体角X ，由x 范围ππ[,33ω-求得X 范围πππ[,]362ω-+，结合函数2sin y X =的图象，求得使1sin 2X =的两个解，由题只需使π7π66x ω+≤-即可，计算即得.【详解】不妨取π6X x ω=+，由ππ[,33x ω∈-可得：ππππ[,]6362X x ωω=+∈-+，由2sin 1X =可得1sin 2X =，由图可取12π7π,,66X X ==-要使存在12ππ,[,33x x ω∈-且12x x ≠，使得()()121f x f x ==，需使，ππ7π366ω-+≤-，解得4ω≥.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题主要考查与正弦型函数图象有关的等高线问题.解决的关键在于将π6x ω+看成整体角，作出正弦函数的图象，结合求得的整体角的范围求得最近的符合要求的角，从而界定参数范围.10.将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生，A 表示事件“医生甲派往①村庄”；B 表示事件“医生乙派往①村庄”；C 表示事件“医生乙派往②村庄”，则（）A.事件A 与B 相互独立B.事件A 与C 相互独立C.()5|12P B A =D.()5|12P C A =【答案】D 【解析】【分析】按相互独立的定义可判断AB ，用条件概率公式可判断CD.【详解】将甲、乙、丙、丁4名医生派往①，②，③三个村庄进行义诊包含2343C A 36=（个）样本点，它们等可能，事件A 含有的样本点个数为322332A C A 12+=，则()121363P A ==，同理()()13P B P C ==，事件AB 含有的样本点个数为22A 2=，则()213618P AB ==，事件AC 含有的样本点个数为211222C C C 5+=，则()536P AC=，对于A ，()()()19P A P BP AB =≠，即事件A 与B 不相互独立，故A 不正确；对于B ，()()()19P A P CP AC =≠，即事件A 与C 不相互独立，故B 不正确；对于C ，()()()1|6P AB P B A P A ==，故C 不正确；对于D ，()()()5|12P AC P C A P A ==，故D 正确．故选：D11.若实数x ，y 满足24ln 2ln 44x y x y +≥+-，则（）A.2xy =B.x y +=C.1x y +=+D.31x y =【答案】A 【解析】【分析】对不等式变形得到2211ln 22222x y x y ⎛⎫⋅≥+-⎪⎝⎭，换元后得到()ln 1ln 10a a b b -++-+≥，构造()ln 1g x x x =-+，求导研究其单调性，极值最值情况，得到()()max 10g x g ==，从而只有1a b ==时，即()()0g a g b ==时，满足要求，从而解出12x y ==，依次判断四个选项.【详解】因为24ln 2ln 44x y x y +≥+-，所以212ln ln 222x y x y +≥+-，即()221ln 222x y x y ≥+-，所以2211ln 22222x y x y ⎛⎫⋅≥+- ⎪⎝⎭，令21,22x a y b ==，则()ln 2ab a b ≥+-，即ln ln 2a b a b +≥+-，所以()ln 1ln 10a a b b -++-+≥，令()ln 1g x x x =-+，则()111x g x x x-'=-=，当()0,1x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，当()1,x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以()ln 1g x x x =-+在1x =处取得极大值，也是最大值，()()max 1ln1110g x g ==-+=，要想使得()()0g a g b +=成立，只有1a b ==时，即()()0g a g b ==时，满足要求，所以211,212x y ==，由定义域可知：0,0x y >>，解得：12x y ==，2xy =，A 选项正确；12x y +=，BC 错误.312x y ==D 错误；故选：A.【点睛】对不等式或方程变形后，利用同构来构造函数解决问题，常见的同构型：（1）()()e ln ln e ln xxf x x f x x x x =⇒==+；（2）()()ln ln e e e ln ln ln x x x x x f x f x x x x-==⇒==；（3）()()ln ln e eexxxf x x x x f x =+=⇒=+；（4）()()e ln ln e e xx x f x x x f x x=-=⇒=-，本题难点在于24ln 2ln 44x y x y +≥+-变形为2211ln 22222x y x y ⎛⎫⋅≥+-⎪⎝⎭，换元后得到()ln 1ln 10a a b b -++-+≥，从而构造()ln 1g x x x =-+解决问题.12.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，以2F 为圆心的圆与x 轴交于1F ，B两点，与y 轴正半轴交于点A ，线段1AF 与C 交于点M .若BM 与C 的焦距的比值为3，则C 的离心率为（）A.12B.12C.14D.12-【答案】D【解析】【分析】先求出以2F 为圆心的圆的方程，求出()A ，()3,0B c ，求出直线1F A 的方程后结合距离公式可求M 的坐标，代入椭圆方程后可求离心率.【详解】设椭圆的半焦距为c ，因为以2F 为圆心的圆过1F ，故该圆的半径为2c ，故其方程为：()2224x c y c -+=，令0x =，则y =，结合A 在y轴正半轴上，故()A ，令0y =，则x c =-或3x c =，故()3,0B c .故100()F A k c -==--，故直线1:F A y =.设()()0M m m +<，因为A 在y 轴的正半轴上，1F 在x 轴的负半轴上，故0m <，而31231233BM c c =⨯=，故())22212439c m c -++=，整理得到：221649m c =，故23m c =-，故33y =，所以222241931c c a b+=，故()22241931e e e +=-，整理得到：4241690e e -+=，故12e -=，故选：D.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中离心率的值或范围的计算，关键在于构建关于基本量的方程或方程组（不等式或不等式组），后者可通过点在椭圆上或判别式为零等合理构建.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.()()52x y x y +-的展开式中42x y 的系数为______．（用数字作答）【答案】30【解析】【分析】把()52x y -按照二项式定理展开，可得()()52x y x y +-展开式中，42x y 的系数.【详解】因为()()()()55432234521040808032x y x y x y x x y x y x y xy y+-=+-+-+-，所以42x y 的系数为401030-=.故答案为：30.14.已知π0,,sin cos 45x x x ⎡⎤∈+=⎢⎥⎣⎦，则3πtan 4x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭______．【答案】3【解析】【分析】借助辅助角公式与同角三角函数基本关系计算即可得.【详解】πsin cos 45x x x ⎛⎫+=+=⎪⎝⎭，故πsin 410x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则πππ,442x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故πcos 410x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，πsin 3π3ππ410tan tan πtan 3π444cos 4x x x x x ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭-=-+=+== ⎪ ⎪ ⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭.故答案为：3.15.若12,x x 是函数()()21e 12xf x ax a =-+∈R 的两个极值点，且212x x ≥，则实数a 的取值范围为_____________．【答案】2,ln 2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】根据极值点定义可将问题转化为y a =与()ex g x x=有两个不同交点12,x x ；利用导数可求得()g x 单调性，并由此得到()g x 的图象；采用数形结合的方式可确定1201x x <<<且e a >；假设212x x t ==，由()()12g x g x =可确定2ln 2t =，进而得到()1g x 的值，结合图象可确定a 的取值范围.【详解】()e xf x ax '=- ，12,x x 是()f x 的两个极值点，12,x x ∴是e 0x ax -=的两根，又当0x =时，方程不成立，y a ∴=与e xy x=有两个不同的交点；令()e x g x x =，则()()21e xx g x x -'=，∴当()(),00,1x ∈-∞ 时，()0g x '<；当()1,x ∈+∞时，()0g x '>；()g x ∴在()(),0,0,1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增，则()g x图象如下图所示，由图象可知：1201x x <<<且e a >；212x x ≥，212x x ∴≥；当212x x =时，不妨令212x x t ==，则2e e 2t tt t=，即2e 2e t t =，2e 2t∴=，解得：2ln 2t =，∴当212x x =时，()()2ln 212e 22ln 2ln 2g x g x ===，∴若212x x ≥，则2ln 2a ≥，即a 的取值范围为2,ln 2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为：2,ln 2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】方法点睛：本题考查根据极值点求解参数范围问题，可将问题转化为已知函数零点(方程根)的个数求参数值(取值范围)的问题，解决此类问题的常用的方法有：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.16.将正方形ABCD 沿对角线BD 折起，当AC =A BCD -的体积为3，则该三棱锥外接球的体积为________．【答案】32π3【解析】【分析】取BD 的中点O ，根据正方形的性质可知点O 为三棱锥外接球的球心，设0OA R =>，()0,πAOC θ∠=∈，根据锥体的体积公式结合余弦定理列式求解即可.【详解】取BD 的中点O ，连接,OA OC ，由题意可知OA OB OC OD ===，即点O 为三棱锥外接球的球心，设0OA R =>，()0,πAOC θ∠=∈，因为,OA BD OC BD ⊥⊥，且,OA OC ⊂平面OAC ，可得BD ⊥平面OAC ，可知三棱锥A BCD -的体积1122sin 32A BCDB OAC V V R R R θ--==⨯⨯⨯⨯⨯，即31sin 33R θ⨯=，可得3sin R θ⨯=，在AOC 中，由余弦定理可得2222cos AC OA OC OA OC θ=+-⋅⋅，即22122cos R R R R θ=+-⋅⋅，即226cos R R θ=-，联立方程322sin 6cos R R R θθ⎧⨯=⎪⎨=-⎪⎩，解得22π3R θ=⎧⎪⎨=⎪⎩，所以该三棱锥外接球的体积为3432ππ33R =.故答案为：32π3.【点睛】关键点睛：根据正方形的性质分析可知：BD 的中点O 即为三棱锥外接球的球心，进而分析求解.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量(单位：克)，重量分组区间为[]5,15,(]15,25,(]25,35,(]35,45，由此得到样本的重量频率分布直方图(如图)．（1）求a 的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量[]5,15内的小球个数为X ，求X 的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）【答案】（1）0.03a =,众数约为20，平均值为24.6（2）分布列见解析35E ξ=【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）由频率分布直方图中所有小矩形面积（频率）之和为1，可计算出a ,众数取频率最大即矩形最高的那个矩形的中点横坐标，平均值用各矩形中点值乘频率相加即得；（Ⅱ）X 的可能取值为0、1、2、3，利用样本估计总体，该盒子中小球重量在(]5,15内的概率为0.2，因此有1(3,5X B ~，从而可得分布列，最后由期望公式可计算出期望．试题解析：（Ⅰ）由题意，得()0.020.0320.018101a +++⨯=，解得0.03a =；又由最高矩形中点的的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20（克）而50个样本小球重量的平均值为：0.2100.32200.3300.184024.6X =⨯+⨯+⨯+⨯=（克）故由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克；（Ⅱ）利用样本估计总体，该盒子中小球重量在(]5,15内的概率为0.2则1(3,)5X B ~.X 的可能取值为0、1、2、3，()03031464055125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2131448155125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2231412255125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3033141355125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.X ∴的分布列为：X123P64125481251212511256448121301231251251251255EX ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=.（或者13355EX =⨯=）考点：频率分布直方图，用样本估计总体，随机变量分布列，数学期望．18.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知244,20a S ==，且n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列．（1）求证：数列{}n a 为等差数列；（2）若数列{}n b 满足16b =，且12n n n n b ab a ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）证明见解析（2）12121n -+【解析】【分析】（1）借助等差数列的性质与n a 与n S 的关系计算即可得；（2）借助累乘法可计算出数列{}n b ，借助裂项相消法可得n T .【小问1详解】设等差数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的公差为d ，则41341S S d =+，即135S d +=，①因为21214S a a S =+=+，所以由2121S S d =+，得124S d +=．②由①、②解得12,1S d ==，所以1nS n n=+，即()1n S n n =+，当2n ≥时，()()1112nn n a S S n n n n n -=-=+--=，当1n =时，112a S ==，上式也成立，所以()*2n a n n =∈N ，所以数列{}na 是等差数列；【小问2详解】由（1）可知122242n n n n b a n nb a n n ++===++，当2n ≥时，()121121121126131n n n n n b b b n n b b b b b n n n n -----=⋅⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯=++，因为16b =满足上式，所以()()*12111211n b n n n n n ⎛⎫==-∈ ⎪++⎝⎭N ．1111111212112112223111n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，122AC BB BC ===，123CBB CAB π∠=∠=，且平面ABC ⊥平面11B C CB.（1）求证：平面ABC⊥平面1ACB ；（2）设点P 为直线BC 的中点，求直线1A P 与平面1ACB 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）10.【解析】【分析】（1）在ABC 中，由正弦定理可得sin 1B =，则AB BC ⊥，进而由面面垂直的性质得出AB ⊥平面11B C CB ，即得1AB B C ⊥，在1B BC 中，由余弦定理求出1B C =可得1B C BC ⊥，结合1AB B C⊥可得1B C ⊥平面ABC ，即可证明；（2）以B 为坐标原点，以BC 为x 轴，BA 为y 轴，过B 作平面ABC 的垂线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量关系求解.【详解】（1）证明：因为22AC BC ==，所以1BC =.因为23ACB π∠=，所以6ACB π∠=.在ABC 中，sin sin BC AC A B=，即12sin sin 6B π=，所以sin 1B =，即AB BC ⊥.又因为平面ABC⊥平面11B C CB ，平面ABC ⋂平面11B C CB BC =，AB ⊂平面ABC ，所以AB ⊥平面11B C CB .又1B C ⊂平面11B C CB ，所以1AB B C ⊥，在1B BC 中，12B B =，1BC =，13CBB π∠=，所以2221112cos 33B C B B BC B B BC π=+-⋅⋅=，即1B C =，所以1B C BC⊥.而1AB B C ⊥，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，AB BC B ⋂=，所以1B C ⊥平面ABC .又1B C ⊂平面1ACB ，所以平面ABC⊥平面1ACB .（2）以B 为坐标原点，以BC 为x 轴，BA 为y 轴，过B 作平面ABC 的垂线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系：则)(0,0,0B ，)(1,0,0C ，)(3,0A ，1B C ⊥平面ABC ，(13B ∴，(13BB ∴=，在三棱柱中，111////AA BB CC ，可得(13C ，(13,3A ，P 为BC 中点，1,0,02P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，11,3,32A P ⎛∴=- ⎝ ，(11,3,3AB =，(13CB = ，设平面1ACB 的一个法向量为(),,n x y z =，则1100AB n CB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即33030x y z ⎧+=⎪=，令3x =1,0y z ==，则)3,1,0n =，设直线1A P 与平面1ACB 所成角为θ，则111330332sin cos ,51022A P n A P n A P n θ--+⋅=<>==⋅⨯ ,故直线1A P 与平面1ACB 所成角的正弦值为3310.【点睛】思路点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.20.已知函数()()2e2e xx f x a a x=+--（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）(0,1).【解析】【详解】试题分析：（1）讨论()f x 单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，再对a 按0a ≤，0a >进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）问，若0a ≤，()f x 至多有一个零点.若0a >，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，求出最小值1(ln )1ln f a a a-=-+，根据1a =，(1,)∈+∞a ，(0,1)a ∈进行讨论，可知当(0,1)a ∈时有2个零点.易知()f x 在(,ln )a -∞-有一个零点；设正整数0n 满足03ln(1)n a >-，则00000000()e (e 2)e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->.由于3ln(1)ln a a->-，因此()f x 在(ln ,)a -+∞有一个零点.从而可得a 的取值范围为(0,1).试题解析：（1）()f x 的定义域为(),-∞+∞，()()()()2221121xx x x f x aea e ae e =+---'=+，（ⅰ）若0a ≤，则()0f x '<，所以()f x 在(),-∞+∞单调递减.（ⅱ）若0a >，则由()0f x '=得ln x a =-.当(),ln x a ∈-∞-时，()0f x '<；当()ln ,x a ∈-+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(),ln a -∞-单调递减，在()ln ,a -+∞单调递增.（2）（ⅰ）若0a ≤，由（1）知，()f x 至多有一个零点.（ⅱ）若0a >，由（1）知，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，最小值为()1ln 1ln f a a a-=-+.①当1a =时，由于()ln 0f a -=，故()f x 只有一个零点；②当()1,a ∈+∞时，由于11ln 0a a-+>，即()ln 0f a ->，故()f x 没有零点；③当()0,1a ∈时，11ln 0a a-+<，即()ln 0f a -<.又()()4222e2e 22e 20f a a ----=+-+>-+>，故()f x 在(),ln a -∞-有一个零点.设正整数0n 满足03ln 1n a ⎛⎫>-⎪⎝⎭，则()()00000000e e 2e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->.由于3ln 1ln a a ⎛⎫->-⎪⎝⎭，因此()f x 在()ln ,a -+∞有一个零点.综上，a 的取值范围为()0,1.点睛:研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数()f x 有2个零点求参数a的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断y a =与其交点的个数，从而求出a 的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若()f x 有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点.21.已知点(1,E -在抛物线()2:20C y px p =>上，,A B 为抛物线C 上两个动点，AB 不垂直x 轴，F 为焦点，且满足8AF BF +=．（1）求p 的值，并证明：线段AB 的垂直平分线过定点；（2）设（1）中定点为M ，当ABM 的面积最大时，求直线AB 的方程．【答案】（1）4p =，证明见解析（2）2:3AB y x ⎫=-⎪⎭【解析】【分析】（1）代入点的坐标可得抛物线方程，联立方程，利用垂直和平分求出垂直平分线的方程可得答案；（2）先求出弦长和高，表示出三角形的面积，利用导数求解可得答案.【小问1详解】将点(1,E -代入抛物线方程，可得(221p -=⨯，解得4p =，所以抛物线方程为28y x =，设直线AB 的方程为：()()()11220,,,,y kx m k A x y B x y =+≠，联立方程28y kx m y x=+⎧⎨=⎩，消去y 得()222280k x km x m +-+=，0k ≠，由韦达定理得212122282,km m x x x x k k-+==，根据抛物线定义：12282448kmAF BF x x k -+=++=+=，可得42m k k=-，此时()()()2222Δ2843226410km k m km k =--=-=->，解得1k <-或1k >，设AB 的中点坐标为()00,x y ，则12000222x x x y kx m k m+⎧==⎪⎨⎪=+=+⎩，可得AB 的垂直平分线方程为：()122y k m x k--=--，将42m k k=-代入整理得：()16y x k =--，故AB 的垂直平分线过定点()6,0．【小问2详解】由（1）可得2AB k ==，且点()6,0M 到直线AB的距离d ==，则ABM的面积为12S AB d =⋅=，可得()222242461256*********k k k S k kk k ⎛⎫-++ ⎪⎛⎫⎝⎭==+-- ⎪⎝⎭，设21=t k ，设()()23101f t t t t t =+--<<，则()2123f t t t =-'-令()0f t '>，解得103t <<；令()0f t '<，解得113t <<；则()f t 在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减．所以当13t =时，ABM 的面积取最大值，此时23k =，即k =．此时2:3AB y x ⎫=-⎪⎭.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题求解方法：先把目标式表示出来，根据目标式的特点选择合适的方法进行求解，常用方法有：①二次函数法：利用换元法，目标式化成二次型，结合二次函数求解；②基本不等式法：把目标式化成能使用基本不等式的结构，利用基本不等式求解；③导数法：求解导数，利用导数求解最值.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．［选修4-4：坐标系与参考方程］22.在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为π1sin 032ρθ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴，建立直角坐标系，曲线2C 的参数方程为2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）.（1）写出1C 的直角坐标方程和2C 的普通方程；（2）已知点()0,1P ，1C 与2C 相交于A ，B 两点，求11PA PB-的值.【答案】（1）曲线1C10y -+=，曲线2C 的普通方程为224x y +=；（2）3±.【解析】【分析】（1）把曲线1C化为sin cos 10ρθθ-=，即得曲线1C 的直角坐标方程，把参数方程平方相加得曲线2C 的普通方程；（2）求出曲线1C 的参数方程，联立曲线1C 的参数方程与曲线2C的普通方程得230t +-=，再利用直线参数方程t 的几何意义求解.【小问1详解】曲线1C 的极坐标方程为1sin 032πρθ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，即sin cos 10ρθθ--=，则曲线1C的直角坐标方程为10y -+=，把参数方程平方相加得曲线2C 的普通方程为224x y +=.【小问2详解】易知点P10y -+=π3，则曲线1C 的参数方程为12312x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），联立曲线1C 的参数方程与曲线2C的普通方程得230t +-=，设点A ，B10y -+=上对应的参数分别为1t ，2t ，由韦达定理可得12t t +=，123t t =-，211212*********t t t t PA PB t t t t t t -+-=-==±=±.［选修4-5：不等式选讲］23.已知x 、y 、z 均为正实数，且22243x y z ++=．（1）求2x y z ++的最大值；（2）若2y x =，证明：113x z +≥．【答案】（1）3（2）证明见解析【解析】【分析】（1）因为2222224(2)x y z x y z ++=++，利用柯西不等式即可求得最大值；（2）由（1）结合已知条件可得043x z <+≤，则有1143x z ≥+，再利用基本不等式即可求证.【小问1详解】因为22243x y z ++=，所以222(2)3x y z ++=，又x 、y 、z 均为正实数，由柯西不等式有()()()222222211122x y z x y z ++++≥⎦+⎤+⎡⎣，所以23x y z ++≤，当且仅当2x y z ==且22243x y z ++=，即21x y z ===时，等号成立，所以2x y z ++的最大值为3.【小问2详解】因为2y x =，0x >，0y >，0z >，由（1）得243x y z x z ++=+≤，即043x z <+≤，所以1143x z ≥+，当且仅当21x z ==时，等号成立，因为()1144559z x x z x z x z ⎛⎫⎛⎫++=++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当4x zz x=，即21z x==时，等号成立，。

河北冀州中学高三年级第四次月考理科数学试题考试时间120分钟 试题分数150分第Ⅰ卷（选择题 共60分）一．选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

) 1、设复数z 满足i i21=+z，则 z =（ ） A 、i 2+- B 、i 2-- C 、i 2+D 、i 2-2、设集合P ＝{x |⎰>=+-x02006103x dt t t ,)(}，则集合P 的非空子集个数是（ ）A 、2B 、3C 、7D 、8 3、下列说法中正确的是 （ ）A 、若命题:p x R ∀∈有20x >，则:p x R ⌝∀∈有20x ≤；B 、若命题1:01p x >-，则1:01p x ⌝≤-；C 、若p 是q 的充分不必要条件，则p ⌝是q ⌝的必要不充分条件；D 、方程20ax x a ++=有唯一解的充要条件是12a =±4、已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该 几何体的体积是 （ ） A 、48cm 3 B 、78cm 3 C 、88cm 3 D 、98cm 35、函数125)(-+-=x x x f 的零点所在的区间是（ ）A 、)1,0(B 、)2,1(C 、)3,2(D 、)4,3(6、将函数x y 2sin =的图像向右平移4π个单位，再向上平移1个单位，所得函数图像对应的解析式为 （ ） A 、x y 2sin 2= B 、x y 2cos 2=C 、1)42sin(+-=πx y D 、x y 2cos -=7、运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于3， 则t 的取值范围为（ ）A 、1t ≥B 、1t ≥C 、1t ≤D 、18t ≤8）的图象在1x =处的切线 ，且当1n =时，其图象经过()2,8，则 5 C 、6 D 、7（ 9、已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()0a c b c -⋅-=,则c 的最大值是A 、1 B 、2 C 、2 D 、22（ ） 10、将A ，B ，C ，D ，E 五种不同的文件放入编号依次为1，2，3，4，5，6，7的七个抽屉内，每个抽屉至多放一种文件，若文件A 、B 必须放入相邻的抽屉内，文件C 、D 也必须放在相邻的抽屉内，则所有不同的放法有 （ ） A 、192 B 、144 C 、288 D 、24011、若椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率12e =，右焦点为(,0)F c ，方程220ax bx c ++= 的两个实数根分别是12,x x ，则点12(,)P x x 到原点的距离为（ ）AB、2C 、2D 、7412、已知偶函数(),y f x x R =∈满足：2()3(0)f x x x x =-≥，若函数2log ,0()1,0x x g x x x>⎧⎪=⎨-<⎪⎩，则()()y f x g x =-的零点个数为 （ ） A 、1 B 、3 C 、2 D 、4第Ⅱ卷 (非选择题)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分。