南充高中高2017级高三上期第四次月考(理科数学)

四川省南充市2017届高三一诊理科数学试卷及答案四川省南充市2017届高三第一次高考适应性考试数学试题（理科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合()(){}140M x x x =--=，()(){}130N x x x =+-<，则MN =（ ）A ．∅B ．{}1C ．{}4D ．{}1 4，2.若复数1z i =+，则21z z =-（ ）A ．2B ．2-C ．2iD ．2i -3.已知向量1 sin 2a α⎛⎫= ⎪⎝⎭，，()sin 1b α=，，若a b ∥，则锐角α为（ ） A ．30︒ B ．60︒ C ．45︒ D ．75︒ 4.设33log 10 log 7a b ==，，则3a b-=（ ）A ．1049B ．4910 C.710 D ．1075.已知等差数列{}na 的公差为2，若134a a a ，，成等比数列，则2a 等于（ ）A ．4-B ．6- C.8- D ．10- 6.如图是一个几何体的正视图与侧视图，其俯视图是面积为82的矩形，则该几何体的表面积是（ ）A ．20+ B ．24+．16 7.某程序框图如图所示，执行该程序，若输入4，则输出S =（ ）A ．10B ．17 C.19 D ．368.已知点()() 0P a b ab ≠，是圆222x y r +=内的一点，直线m 是以P 点为中点的弦所在的直线，直线l 的方程为2ax by r +=，那么（ ） A ．m l ∥，且l 与圆相交 B ．m l ⊥，且l 与圆相切 C.m l ∥，且l 与圆相离 D ．m l ⊥，且l 与圆相离9.设1sin 43πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2θ=（ ） A ．19B ．79 C.19- D ．79- 10.如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积和球的表面积之比为（ ） A ．9:4 B ．4:3 C.3:1 D ．3:2 11.已知抛物线()220ypx p =>，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于 A B ，两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（ ）A ．1x =B ．1x =- C.2x = D ．2x =-12.已知 αβ，是三次函数()3211232f x x ax bx =++的两个极值点，且()0 1α∈，，()1 2β∈，， a b R ∈，，则21b a --的取值范围是（ ） A ．1 14⎛⎫ ⎪⎝⎭， B ．1 12⎛⎫ ⎪⎝⎭， C.11 24⎛⎫- ⎪⎝⎭， D ．11 22⎛⎫- ⎪⎝⎭， 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.512x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，3x 的系数是 （用数学填写答案）；14.若1a >，则11a a +-的最小值是 ． 15.如果函数()()sin 2f x x θ=+，函数()()'f x f x +为奇函数，()'f x 是()f x 的导函数，则tan θ= ． 16.已知正数数列{}na 的前n 项和()2114n nS a=+，则n a =．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）ABC△的内角 A B C ，，的对边分别为 a b c ，，，已知()cos 2cos b C a c B =-.（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若2c =，3b =，求ABC △的面积.18. （本小题满分12分）某示范高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座.（规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座）统计数据表明，各讲座各天的满座概率如下表：（Ⅰ）求数学辅导在周一、周三、周五都不满座的概率；（Ⅱ）设周三各辅导讲座满座的科目数为X，求X的分布列和数学期望()E X.19. （本小题满分12分）如图，ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，2PA AD ==，60BAD ∠=︒. （Ⅰ）求证：平面PBD ⊥平面PAC ； （Ⅱ）求二面角D PB C --的余弦值.PODCBA20. （本小题满分12分）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为12，两焦点之间的距离为4.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过椭圆的右顶点作直线交抛物线24y x=于 A B ，两点，求证：OA OB ⊥（O 为坐标原点）. 21. （本小题满分12分）已知函数()()2ln 22xf x x a=--（a 为常数，0a ≠）. （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 在点()()3 3f ，的切线方程（Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）若()f x 在0x 处取得极值，且32 2x e e ⎡⎤∉++⎣⎦，，而()0f x ≥在32 2e e ⎡⎤++⎣⎦，上恒成立，求实数a 的取值范围.（其中e 为自然对数的底数）请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3x a ty t ⎧=+⎪⎨=⎪⎩，（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的单位长度，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为4cos ρθ=.（Ⅰ）求圆C 在直角坐标系中的方程； （Ⅱ）若圆C 与直线l 相切，求实数a 的值. 23. （本小题满分10分） 已知函数()()21f x x a x a R =---∈.（Ⅰ）当3a =时，求函数()f x 的最大值； （Ⅱ）解关于x 的不等式()0f x ≥.四川省南充市2017届高三第一次高考适应性考试数学试题（理科）参考答案及评分意见一、选择题1-5:BACDB 6-10:ACCDD 11、12：BA二、填空题13.80 14.3 15.2- 16.21n -三、解答题17.解：（Ⅰ）由已知及正弦定理得()sin cos 2sin sin cos 2sin cos sin cos B C A C B A B C B=-⋅=-.………………2分则sin cos sin cos 2sin cos B C C B A B +=.………………4分()sin 2sin cos B C A B+=，故sin 2sin cos A A B =.因为，在ABC △中，sin 0A ≠.所以1cos 2B =，3B π=.…………………………6分 （Ⅱ）由已知及余弦定理得2944cos a a B=+-，又3B π=，18.解：（Ⅰ）设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事件A ，则()122111123318A P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---=⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.……………………5分（Ⅱ）X 的可能取值为0，1，2，3，4，5.()40121112348X P =⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.……………………6分()34141112121111223238X P C =⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅-+-⋅= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.……………………7分()22321442112112711122322324X P C C =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅-⋅-+⋅-⋅= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.………………8分 ()3223244311211211112232233X P C C =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅-+⋅-⋅= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.…………9分()43344121123112322316X P C =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.()451212324X P =⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭.……………………10分数学期望()117131801234548824316243E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.………………12分19.（Ⅰ）证明：由ABCD 是菱形可得BD AC ⊥， 因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以PA BD ⊥，又PAAC A=，所以BD ⊥平面PAC ，又BD ⊂平面PBD ， 故平面PBD ⊥平面PAC .……………………5分（Ⅱ）解：以OA 为x 轴的正方向，OB 为y 轴的正方向，建立如图所示的直角坐标系，则()0 0 0O ，，，()0 1 0B ，，，) 0 2P，，，()3 0 0C ，，.……7分设平面PBD 的一个法向量()1111n x y z =，，，由1n OB ⊥，1n OP ⊥，可得1111110100020x y z y z ⋅+⋅+⋅=⎧⎪+⋅+=，即111320y x z =⎧⎪⎨+=⎪⎩， 所以可取131 0 n ⎛= ⎝⎭，，.……………………9分同理可得平面PBC 的一个法向量(2 13 3n =，，.………………11分所以1212125cos 7n n n nn n ⋅<>==，.故二面角D PB C --的余弦值为57.………………12分 20.（Ⅰ）解：由题意可得24c =，12c a =.所以 4 2a c ==，. 由222b ac =-可得212b =，所以椭圆标准方程为：2211612x y+=.……………………5分 （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得椭圆的右顶点为()4 0，，由题意得，可设过()4 0，的直线方程为： 4x my =+.………………………………………………7分由244x my y x =+⎧⎨=⎩消去x 得：24160y my --=.设()11 A x y ，，()22 B x y ，，则1212416y y m y y +=⎧⎨=-⎩.………………10分 所以()()()()21212121212124414160OA OB x x y y my my y y m y y m y y ⋅=+=+++=++++=， 故OA OB ⊥.………………………………………………12分21.解：()1'2x f x x a=--（2x >） （Ⅰ）当1a =时，()1'2f x x x =-，()'32f =-.()932f =-， 所以，函数()f x 在点()()3 3f ，处的切线方程为： ()9232y x +=--，即4230x y +-=.…………………………3分 （Ⅱ）()()212'22x x x a f x x a a x --=-=---()()()21112x a a x ⎡⎤=---+⎣⎦-， 因为2x >，所以20x ->，①当0a <时，()()()21120x a x x a --+=-->在2x >上成立， 所以()'f x 当2x >恒大于0，故()f x 在()2 +∞，上是增函数.………………………………5分②当0a >时，()()(1'11112f x x a x a a x =--+--+-， 因为2x >， 所以110x a -++，()20a x ->，当1x ≥()'0f x ≤，()f x 为减函数；当21x ≤≤()'0f x ≥，()f x 为增函数.………………7分 综上：当0a <时，()f x 在()2 +∞，上为增函数；当0a >时，()f x在(2 1，上为增函数，在()1 +∞，上为减函数.…………8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知0x 处有极值，故0a >，且01x =， 因为32 2x e e ⎡⎤∉++⎣⎦，且22e +>， 所以()f x 在32 2e e ⎡⎤++⎣⎦，上单调.……………………10分 当32 2e e ⎡⎤++⎣⎦，为增区间时，()0f x ≥恒成立，则有 ()363211220e a a e e f e ⎧+<+⎪>+⎨+≥⎪⎩.当32 2e e ⎡⎤++⎣⎦，为减区间时，()0f x ≥恒成立，则有 ()2633221144206a e e e a e e f e a ⎧<+⎧+>++⎪⎪⎨⎨+++≥≥⎪⎪⎩⎩解集为空集.综上：当632a e e >+时满足条件.…………………………12分22.解：（Ⅰ）由4cos ρθ=得24cos ρρθ=，结合极坐标与直角坐标的互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩， 得224x y x +=，即()2224x y -+=.…………………………5分 （Ⅱ）由3x a t y t ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）化为普通方程，得30x a --=，l 与圆C 2213a -=+.所以2a =-或6.…………………………10分 23.解：（Ⅰ）当3a =时，()()()()133********x x f x x x x x x x --≥⎧⎪=---=-+<<⎨⎪+≤⎩，所以，当1x =时，()f x 取得最大值2.……………………5分（Ⅱ）由()0f x ≥，得21x a x -≥-， 两边平方得()()2241x a x -≥-， ()()2320x a x a ---+≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以①当1a >，不等式解集为22 3a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭，； ②当1a =，不等式解集为{}1x x =；③当1a <，不等式解集为2 23a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭，.……………………10分。

四川南充高中2017年高一年级4月检测考试数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知α为第三象限角，则2α所在的象限是（ ） A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限2.若向量(3,)a m =，(2,1)b =-，0a b ⋅=，则实数m 的值为（ ） A ．32-B ．32C ．2D ．63.设向量1(cos ,)2a α=，若a 的模长为2，则cos 2α等于（ ）A ．12-B ．14-C ．12D 4.平面向量a 与b 的夹角为60︒，(2,0)a =，||1b =，则|2|a b +等于（ ）A B ．C ．4D ．125.在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，4AC =，则AB AC ⋅等于（ ） A ．16-B ．8-C ．8D ．166.要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos()3y x π=-的图象（ ）A ．向右平移6π个单位B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移3π个单位D ．向左平移6π个单位7.为了得到函数sin(2)3y x π=-的图象，只需把函数sin(2)6y x π=+的图象（ ）A ．向左平移4π个长度单位B ．向右平移4π个长度单位C ．向左平移2π个长度单位D ．向右平移2π个长度单位8.函数()(1)cos f x x x =的最小正周期为（ ）A ．2π B ．32π C ．π D ．2π9.若满足条件AB =3C π=的三角形ABC 有两个，则边长BC 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．10.设02θπ≤≤,向量1(cos ,sin )OP θθ=,2(2sin ,2cos )OP θθ=+-,则向量12PP 的模长的最大值为( )A B C ．D ．11.在ABC ∆中,若sin()12cos()sin()A B B C A C -=+++,则ABC ∆的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．不含60︒的等腰三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形12.在ABC ∆中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且2220b c bc a ++-=,则sin(30)a Cb c︒--的值为( )A ．12B C ．12-D ．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知tan 2θ=,则22sin sin cos 2cos θθθθ+-= ．14.在ABC ∆中,4AB =,3AC =,60A ∠=︒,D 是AB 的中点,则CA CD ⋅= ． 15.一船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75︒距塔64海里的M 处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处,则这只船的航行速度为 海里/小时． 16.如图，正六边形ABCDEF ，有下列四个命题：①2AC AF BC +=；②22AD AB AF =+；③AC AD AD AB ⋅=⋅；④()()AD AF EF AD AF EF ⋅⋅=⋅⋅．其中真命题的序号是 ．（写出所有真命题的序号）三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知tan 2α=，求下列代数式的值．（Ⅰ）4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+；（Ⅱ）22111sin sin cos cos 432αααα++．18.设函数()f x a b =⋅，其中向量(2cos ,1)a x =，(cos 2)b x x =，x R ∈．（Ⅰ）若函数()1f x =,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求x ； （Ⅱ）求函数()y f x =的单调增区间，并在给出的坐标系中画出()y f x =在[]0,π上的图象．19.已知向量(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，25||a b -=． （Ⅰ）求cos()αβ-的值； （Ⅱ）若02πα<<，02πβ-<<，且5sin 13β=-，求sin α． 20.已知函数()f x 2sin()cos cos x x x πωωω=-+（0ω>）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求函数()g x 在区间0,16π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值．21.已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a B A c =． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若1a =，3AB AC ⋅=，求b c +的值．22.如图所示，扇形AOB ，圆心角AOB 等于求60︒，半径为2，在弧AB 上有一动点P ，过P 引平行于OB 的直线和OA 交于点C ，设AOP θ∠=，求POC ∆面积的最大值及此时θ的值．四川南充高中2017年高一年级4月检测考试数学试卷答案一、选择题1-5:BDABD 6-10:ABDCD 11、12：DA二、填空题13.4514.615.①②④ 三、解答题17.解：（Ⅰ）4sin 2cos 4tan 242265cos 3sin 53tan 53211αααααα--⨯-===+++⨯．（Ⅱ）22111sin sin cos cos 432αααα++2222111sin sin cos cos 432sin cos αααααα++=+ 22111tan tan 13432tan 130ααα++==+． 18.解：（Ⅰ）依题设得2()2cos 2f x x x =1cos22x x =+2sin(2)16x π=++．由2sin(2)116x π++=sin(2)6x π+= ∵33x ππ-≤≤，∴52266x πππ-≤+≤， ∴263x ππ+=-，即4x π=-．（Ⅱ）222262k x k πππππ-+≤+≤+（k Z ∈），即36k k ππππ-+≤+（k Z ∈），得函数单调增区间为,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦（k Z ∈）．19.解：（Ⅰ）∵||1a =，||1b =，又24||5a b -=， ∴4225a b -⋅=，∴35a b ⋅=，即3cos cos sin sin 5αβαβ+=，∴3cos()5αβ-=．（Ⅱ）∵02πα<<，02πβ-<<，∴0αβπ<-<，∵3cos()5αβ-=，∴4sin()5αβ-=， ∵5sin 13β=-，∴12cos 13β=，∴[]sin sin ()ααββ=-+sin()cos cos()sin αββαββ=-+-4123533()51351365=⨯+⨯-=． 20.解：（Ⅰ）因为2()sin()cos cos f x x x x πωωω=-+．所以1cos 2111()sin cos sin 2cos 22222x f x x x x x ωωωωω+=+=++1)242x πω=++，由于0ω>，依题意得22ππω=，所以1ω=.（Ⅱ）由（Ⅰ）知1())242f x x π=++，所以1()(2))242g x f x x π==++，当016x π≤≤时，4442x πππ≤+≤，所以sin(4)124x π≤+≤，因此11()2g x ≤≤， 故()g x 在区间0,16π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1．21.解：（Ⅰ）由cos sin a B A c =，得sin cos sin sin()A B B A A B =+，sin cos sin B A A B =，∴tan A =，故6A π=．（Ⅱ）由3AB AC ⋅=，得cos36bc π=，即bc =又1a =，∴2212cos6b c bc π=+-，②由①②可得2()7b c +=+2b c +=22.解：∵//CP OB ，∴60CPO POB θ∠=∠=︒-，120OCP ∠=︒， 在POC ∆中，由正弦定理得sin sin OP CPPCO θ=∠，∴2sin120sin CP θ=︒，∴CP θ=． 又2sin(60)sin120OC θ=︒-︒，∴)OC θ=︒-， 因此POC ∆的面积为1()sin1202S CP OC θ=⋅︒1)2θθ=︒-sin(60)θθ=⋅︒-1sin )2θθθ=-22sin cos θθθ=⋅-sin 22θθ=)363πθ=+-，∴6πθ=时，()S θ取得最大值为3．。

2017届四川省南充高级中学高三4月检测考试数学（理）试题一、选择题1．已知集合{}{}0,,1,2M x N =，若{}2M N ⋂=，则M N ⋃=（ ） A. {}0,,1,2x B. {}0,1,2 C. {}2,0,1,2 D. 不能确定 【答案】B【解析】由题意可得： 2x = ，则： {}0,2M =， {}1,2N =， M N ⋃= {}0,1,2 . 本题选择B 选项.2．已知()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则“120x x +>”是“()()121f x f x ⋅<”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】考查充分性： 12120x x x x +>⇒>- ，函数()f x 是R 上的单调递减函数，则： ()()12121122xx f x f x -⎛⎫⎛⎫=>-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又2102x -⎛⎫> ⎪⎝⎭，则： 12112x x +⎛⎫< ⎪⎝⎭，即()()121f x f x ⋅<，充分性成立；以上过程可以逆向推倒，即必要性满足；综上，“120x x +>”是“()()121f x f x ⋅<”的充分必要条件. 本题选择C 选项.3．已知公差不为0的等差数列{}n a 满足134,,a a a 成等比数列， n S 为数列{}n a 的前n 项和，则3253S S S S --的值为（ ）A. 2B. 3C. 2-D. 3- 【答案】A【解析】试题分析：设等差数列的公差为d ，首项为1a ，所以312a a d =+，413a a d =+．因为134a a a 、、成等比数列，所以211123a d a a d +=+（）（），解得： 14a d =-．所以3215312227S S a dS S a d-+==-+，故选A.【考点】等差数列的性质；等比数列的性质.4．甲、乙两人要在一排8个空座位上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都空座，则有多少种坐法（）A. 10B. 16C. 20D. 24【答案】C【解析】试题分析：（1）甲在前，乙在后：若甲在第2位，则有4种方法，若甲在第3位，则有3种方法，若甲在第4位，则有2种方法，若甲在第5位，则有1种方法，共计10种方法.（2）同理，乙在前，甲在后，也有10种方法.故一共有20种方法.【考点】排列组合.5．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的为（）A. 1.2B. 1.6C. 1.8D. 2.4【答案】B【解析】由题意可知，该几何体左侧是一个圆柱体，右侧是一个长方体，这两个几何体组成一个组合体，其体积：，解得： .本题选择B选项.6．过椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的左焦点1F作x轴的垂线交椭圆于点P，2F为右焦点，若1260F PF∠=，则椭圆的离心率为（）A．1 2BC．1 3D【答案】D【解析】试题分析：由题设122PF PF =,则34,3221aPF a PF ==,所以由勾股定理可得c a F F 233221==,,应选D ． 【考点】椭圆的几何性质与运算.7．如图是求样本，，…，平均数的程序框图，图中空白框中应填入的内容为（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】阅读流程图可知，该流程图中的S 记录最终数据，所用的方法是把每个数的 相加求得这10个数的平均值，则图中空白框中应填入的内容为.本题选择D 选项.8．函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭与2cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象关于直线x a =对称，则a 可能是（ ） A.24π B. 12π C. 8π D. 1124π 【答案】A【解析】试题分析：结合下图可得当24x a π==时，2sin 2cos 22432432ππππ⎛⎫⎛⎫⨯-=⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A 成立．【考点】三角函数的图象与性质．9．已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则下列结论正确的是（ ）A. B.C. 是奇函数D. 的单调递增区间是（）【答案】D【解析】由题意可得：当 时， ，，，结合题意可知k 为偶数，不妨令 得 ，函数的解析式：，利用函数的解析式逐项考查所给选项：A. ；B. ；C.是非奇非偶函数 ；D.的单调递增区间是（）.本题选择D 选项.10．已知实数,x y 满足26002x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，若目标函数z m x y =-+的最大值为210m -+，最小值为22m --，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[]2,1- B ．[]1,3- C ．[]1,2-D ．[]2,3 【答案】C【解析】试题分析：画出可行域如下图所示，依题意可知，目标函数在点()2,10取得最大值，在点()2,2-取得最小值.由图可知，当0m ≥时，[]0,2m ∈，当0m <时，[)1,0m ∈-，故取值范围是[]1,2-.【考点】线性规划.11．过双曲线22115y x -=的右支上一点P ，分别向圆()221:44C x y ++=和圆()222:41C x y -+=作切线，切点分别为,M N ，则22PM PN -的最小值为（ ）A. 10B. 13C. 16D. 19 【答案】B【解析】试题分析：由题可知，，因此()()121212232313PCPC PC PC C C -=+-≥-=.故选B ．【考点】双曲线的定义与圆切线的性质.12．已知函数()=-x af x x e 存在单调递减区间，且()=y f x 的图象在0=x 处的切线l 与曲线xy e =相切，符合情况的切线l （ ）（A ）有3条 （B ）有2条 （C ） 有1条 （D ）不存在 【答案】D【解析】试题分析：/1()1x a f x e a =-，依题意可知，/1()10x a f x e a=-<在(,)-∞+∞有解，①0a <时，/()0f x < 在(,)-∞+∞无解，不符合题意；②0a >时，/()0l n l n xaxf x a e a x a aa>⇔>⇔>⇔<符合题意，所以0a >． 易知，曲线)(x f y =在0=x 的切线l 的方程为1)11(--=x ay . 假设l 与曲线x y =e 相切，设切点为),(00y x消去a 得0001x x e e x =-，设()1x x h x e x e =--，则/()x h x e x =，令/()0h x >，则0x >， 所以()h x 在)0,(-∞上单调递减，在),0(+∞上单调递增，当,()1x h x →-∞→-，,()x h x →+∞→+∞所以()h x 在(0,)+∞有唯一解，则01x e >，而0>a 时，111<-a，与01x e >矛盾，所以不存在．【考点】导数的综合应用二、填空题13．函数的图象关于点中心对称，那么的最小值为__________．【答案】【解析】由题意可得：当时，，取可得的最小值为.14．，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且，，则__________．【答案】【解析】椭圆中a=6，由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=2a=12，,可得B为AF1的中点，,可得C为AF2的中点，由中位线定理可得|OB|=|AF2|，|OC|=|AF1|，即有=(|AF1|+|AF2|)=a=6.点睛：一般地，解决与到焦点的距离有关问题时，首先应考虑用定义来解决．椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a，c的关系．15．过球表面上一点引三条长度相等的弦、、，且两两夹角都为，若球半径为，则弦的长度为__________．【答案】【解析】由条件可知A−BCD是正四面体,如图：A. B. C. D为球上四点，则球心O在正四面体中心，设AB=a，则过点B . C . D 的截面圆半径，正四面体A −BCD的高 ,则截面BCD 与球心的距离d =OO 1= a −R ，∴,解得.点睛：解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．16．已知动点(),P x y满足)24{01x y x xy +≤≥≥，则226x y x +-的最小值为__________． 【答案】409-【解析】∵0y y y >+≥x y ≥=，∵函数()f x x ==是减函数，∴x ⩽y ，∴原不等式组化为24{0x y x x y+≤≥≤.该不等式组表示的平面区域如下图：∵x 2+y 2−6x =(x −3)2+y 2−9.由点到直线的距离公式可得,P (3,0)区域中33,44A ⎛⎫⎪⎝⎭的距离最小,所以x 2+y 2−6x 的最小值为409-. 点睛：本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．三、解答题17．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足cos 20cos B a bC c c++=. （1）求C ∠的大小；（2）求22sin sin A B +的取值范围. 【答案】（1）23C π=（2）2213sin sin ,24A B ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭【解析】试题分析：(1)利用正弦定理将所给的等式化解为三角函数式，求得1cos 2C =-，∴23C π=． (2)化简三角函数式221πsin A sin B 1sin 2A 26⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，又π0A 3<<，∴2213sin A sin B ,24⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭．试题解析：解：（Ⅰ）∵cos 20cos B a bC c c++=，∴cos 2cos cos 0c B a C b C ++=， ∴sin cos sin cos 2sin cos 0C B B C A C ++=， ∴sin 2sin cos 0A A C +=， ∵sin 0A ≠，∴1cos 2C =-，∴23C π=．（Ⅱ）22cos2cos21sin sin 11sin 2226A B A B A π+⎛⎫+=-=-+ ⎪⎝⎭，又03A π<<，∴52666A πππ<+<， ∴1sin 2126A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，即2213sin sin ,24A B ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭． 18．某手机卖场对市民进行国产手机认可度的调查，随机抽取100名市民，按年龄（单位：岁）进行统计的频数分布表和频率分布直方图如图：（Ⅰ）求频率分布表中，的值，并补全频率分布直方图；（Ⅱ）在抽取的这100名市民中，按年龄进行分层抽样，抽取20人参加国产手机用户体验问卷调查，现从这20人中随机选取2人各赠送精美礼品一份，设这2名市民中年龄在内的人数，求的分布列及数学期望．【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：(1)结合频率分布表和所给的频率分布直方图可得，然后补全频率分布直方图即可.(2)由题意可得，抽取的人数为7人，可取0，1,2，据此列出分布列可得．试题解析：解：（Ⅰ）由图知，，故；．故，其．（Ⅱ）∵各层之间的比为，且共抽取20人，∴年龄在内抽取的人数为7人．可取0，1,2，，，，故的分布列为：故．点睛：解决频率分布直方图的问题，关键在于找出图中数据之间的联系．这些数据中，比较明显的有组距、，间接的有频率、小长方形的面积，合理使用这些数据，再结合两个等量关系：小长方形面积＝组距×＝频率，小长方形面积之和等于1，即频率之和等于1，就可以解决直方图的有关问题．19．如图，在四棱锥P ABCD -中， PC ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形， AB AD ⊥， //AB CD ， 222AB AD CD ===， E 是PB 的中点． （1）求证：平面EAC ⊥平面PBC ；（2）若二面角P AC E --的余弦值为3，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值．【答案】（1）详见解析；（2）．【解析】试题分析：（1）欲证平面EAC ⊥平面PBC ，只要证AC ⊥平面PBC 即可；（2）设CP a =，取AB 中点F ，以点C 为原点，分别以,CF CD 为,x y 轴，建立空间直角坐标系C xyz -，求向量PA 与平面EAC 的法向量的夹角即可． 试题解析：（1）证明：∵PC ⊥平面ABCD ， AC ⊂平面ABCD ， ∴AC PC ⊥，∵2AB =， 1AD CD ==，∴AC BC == ∴222AC BC AB +=， ∴AC BC ⊥， 又BC PC C ⋂=， ∴AC ⊥平面PBC ， ∵AC ⊂平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面PBC ．（2）解：设CP a =，取AB 中点F ，以点C 为原点，分别以,CF CD 为,x y 轴，建立空间直角坐标系C xyz -，则()0,0,0C ， ()1,1,0A ， ()1,1,0B -， ()0,0,P a ， 11,,222a E ⎛⎫-⎪⎝⎭，则()1,1,0CA =， ()0,0,CP a =， 11,,222a CE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 取()1,1,0m =-，则0m CA m CP ⋅=⋅=，即m 为面PAC 的一个法向量． 设(),,n x y z =为面EAC 的法向量，则0n CAn CE ⋅⋅=，即0,{0,x y x y az +=-+=取x a =，则y a =-， 2z =-，则(),,2n a a =--，依题意得2cos ,m nm n m na ⋅===⋅+，取2a =， 于是()2,2,2n =--， ()1,1,2PA =-，设直线PA 与平面EAC 所成角为θ，则2sin cos ,PA n PA n PA nθ⋅===⋅， 即直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为3． 【考点】1、面面垂直的判定；2、直线与平面所成的角． 【方法点睛】用向量法求线面夹角的步骤：先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角；再求其余角，即是线面的夹角．本题考查面面垂直的判定，向量法求二面角、线面角，问题的关键是求平面的法向量，考查学生的空间想象能力．属于中档题．20．已知抛物线C ： 22x py =（0p >），过其焦点作斜率为1的直线l 交抛物线C 于M 、N 两点，且16MN =．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）已知动圆P 的圆心在抛物线C 上，且过定点()0,4D ，若动圆P 与x 轴交于A 、B 两点，且DA DB <，求DA DB的最小值.【答案】（1）28x y =（21【解析】试题分析：（1）由抛物线焦点弦公式有12MN y y p =++，再利用直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理得123y y p +=，即得4p =，（2）先设动圆圆心200,8x P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则得圆方程，再令0y =，得A 、B 两点横坐标： 04x -， 04x +，代入DA DB，利用基本不等式求最值，可得DA DB的最小值.试题解析：解：（Ⅰ）设抛物线的焦点为0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭，则直线l ： 2p y x =+， 由2,{22,py x x py =+=得2220x px p --=，∴122x x p +=， 123y y p +=，∴12416MN y y p p =++==，∴4p =， ∴抛物线C 的方程为28x y =．（Ⅱ）设动圆圆心()00,P x y ， ()1,0A x ， ()2,0B x ，则2008x y =，且圆P ： ()()()222200004x x y y x y -+-=+-，令0y =，整理得22002160x x x x -+-=，解得104x x =-， 204x x =+，DA DB===当00x =时，1DA DB=，当00x ≠时，DA DB=∵00x >，∴0032x x +≥1DA DB≥=，11<， ∴DA DB1．点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决. 21．设函数（，且），（其中为的导函数）.（Ⅰ）当时，求的极大值点；（Ⅱ）讨论的零点个数. 【答案】（1）的极大值点为．（2）见解析【解析】试题分析：(1)由题意可得，由导函数讨论函数的单调性可得的极大值点为．(2)分类讨论可得：当或时，有一个零点；当或时，有2个零点；当或时，有3个零点．试题解析：解：（Ⅰ），，解得．当时，；当时，，故的极大值点为．（Ⅱ）（1）先考虑时，的零点个数，当时，为单调减函数，，，由零点存在性定理知有一个零点．当时，由，得，即，即，令，则．由，得，当时，；当时，，故，，且总成立，故的图象如图，由数形结合知，①若，即时，当时，无零点，故时，有一个零点；②若，即时，当时，有一个零点，故时，有2个零点；③若，即时，当时，有2个零点，故时，有3个零点．（2）再考虑的情形，若，则，同上可知，当，即时，有一个零点；当，即时，有2个零点；当，即时，有3个零点．综上所述，当或时，有一个零点；当或时，有2个零点；当或时，有3个零点．22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩，（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2sin()3πρθ+=:3OM πθ=与圆C 的交点为,O P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.【答案】（1）2cos ρθ=；（2）线段PQ 的长为2.【解析】试题分析：（1）由圆C 的参数方程1cos (sin x y ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩为参数），化为普通方程为()2211x y -+=，利用cos ,sin x y ρθρθ==，即得圆C 的极坐标方程；（2）求线段PQ 的长，由于,,O P Q 三点共线，故PQ OP OQ =-，可设P ()11,ρθ，Q ()22,ρθ，则12PQ ρρ=-，关键是求出12,ρρ的值，由1112cos 3ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩可求得1ρ的值，由2222sin()33πρθπθ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩可求得2ρ的值，从而可解. 试题解析：（1）圆C 的普通方程为()2211x y -+=，又cos ,sin x y ρθρθ==，所以圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=；（2）设()11,ρθ为点P 的极坐标，则有1112cos 3ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得1113ρπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，设()22,ρθ为点Q的极坐标，2222sin()33πρθπθ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得2233ρπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，由于12θθ=，所以122PQρρ=-=，所以线段PQ的长为2.【考点】【考点】参数方程，普通方程，与极坐标方程互化，极坐标方程的应用. 23．选修4-5：不等式选讲已知，，，函数的最大值为10．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的最小值，并求出此时，，的值．【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：(1)由不等式的性质可知：的最大值为，结合题意，则．(2)利用柯西不等式可得当且仅当，即，，时，的最小值为.试题解析：解：（Ⅰ）∵，当且仅当时等号成立，又，，∴，∴的最大值为，又已知的最大值为10，所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，由柯西不等式得，即，当且仅当，即，，时等号成立．。

南充高中高2017级高三第二次月考数学（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．设集合{}{}22,340S x x T x x x =>-=+-≤，则(R S ð)T = （）A ．(]2,1-B ．(],4-∞-C ．(],1-∞D ．[)1,+∞2．已知点(tan ,cos )P αα在第三象限，则角α的终边在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．i 为虚数单位，复数131ii-=-（）A ．2i +B ．2i -C ．12i -+D ．12i--4．函数y =（0a <，且a 为常数）在区间(],1-∞上有意义，则实数a 的取值范围为（）A ．[)1,0-B ．()1,0-C ．[]1,0-D ．()1,-+∞5．若cos 22sin()4απα=--，则sin cos αα+=（）A ．72-B ．12-C ．12D ．726．直线12:30,:0l ax y l x by c --=++=，则“1ab =-”是“1l ∥2l ”的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要7．将函数()sin(2)(||)2f x x πθθ=+<的图象向右平移12π个单位，所得到的图象关于y 轴对称，则函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（）A．2B ．12C ．12-D．2-8．已知三棱锥S ABC -三条侧棱两两垂直，且2,4SA SB SC ===，则该三棱锥外接球的半径为（）A ．3B ．6C ．36D ．99．若连续抛掷两枚质地均匀的骰子得到的点数分别为,m n ，则点(,)P m n 在直线4x y +=上的概率为（）A ．13B ．14C ．16D ．11210．若函数1()(0,0)axf x e a b b=->>的图象在0x =处的切线与圆221x y +=相切，则a b +的最大值是（）A ．4B．C ．2D11．点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与圆2222x y a b +=+在第一象限的交点，12,F F 分别为双曲线左、右焦点，且12||3||PF PF =，则双曲线的离心率为（）AB．2CD．212．已知函数13()ln 144f x x x x=-+-，2()24g x x bx =-+，若对任意1(0,2)x ∈，存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x ≥，则实数b 的取值范围是（）A ．17,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．17,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(],2-∞D ．[)2,+∞二、填空题（每小题5分，共20分）13.函数()3x f x e x =+的零点个数是____________.14.若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且8310S S -=，则11S 的值为____________.15.过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作直线L 交抛物线于A 、B 两点，交准线于C 点，若3CB BF =，则直线L 的斜率为____________.16.知函数()y f x =是R 上的偶函数，对x R ∀∈都有(4)()(2)f x f x f +=+成立，当[]12,0,2x x ∈，且12x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x -<-，给下列命题：①(2)0f =；②直线4x =-是函数()y f x =图象的一条对称轴；③函数()y f x =在[]4,4-上有四个零点；④(2014)0f =其中正确命题的序号为_______________.三、解答题（共70分）17.（本小题满分12分）已知(2sin ,cos )a x x =，,2cos )b x x = ，设函数()1f x a b =⋅-，x ∈R .（Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()1f B =，b =，2c =，求ABC ∆的面积.18.（本小题满分12分）某校为了推动数学教学方法的改革，学校将高一年级部分生源情况基本相同的学生分成甲、乙两个班，每班各40人，甲班按原有模式教学，乙班实施教学方法改革.经过一年的教学实验，将甲、乙两个班学生一年来的数学成绩取平均数再取整，绘制成如下茎叶图，规定不低于85分(百分制)为优秀，甲班同学成绩的中位数为74.（1）求x 的值和乙班同学成绩的众数；（2）完成表格，若有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”的话，那么学校将扩大教学改革面，请问学校是否要扩大改革面？说明理由.19.（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD的正方形，PB PD ==4PC =，点E 为PA 中点，AC 与BD 交于点O .（Ⅰ）求证：OE ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求二面角B PA D --的余弦值.20.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>过点(2,1)P ，且离心率为32.（1）求椭圆的标准方程；（2）设O 为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M 、N 满足OM NO =，直线PM 、PN 分别交椭圆于A 、B (异于点P ).探求直线AB 是否过定点，如果经过定点，请求出定点的坐标；如果不经过定点，请说明理由.21.（本小题满分12分）已知函数()sin f x x ax =-.（1）对于(0,1),()0x f x ∈>恒成立，求实数a 的取值范围；（2）当1a =时，令()()sin ln 1h x f x x x =-++，求()h x 的最大值；（3）求证：*1111ln(1)1()231n n N n n+<+++⋅⋅⋅++∈-选做题：22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1＝2cos α，＝2＋2sin α.(α为参数)．M 是C 1上的动点，P 点满足OP →＝2OM →，P 点的轨迹为曲线C 2.(1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |.23.选修4-5：不等式选讲（10分）已知函数()12f x x x =+--.（1）求不等式()1f x ≥的解集；（2）若不等式2()f x x x m ≥-+的解集非空，求m 的取值范围.南充高中高2017级高三第二次月考数学（理科）答案一、选择题1-5：CBBAC 6-10：BDADD 11-12：DA二、填空题13.1个14.2215.16.○1○2○4三、解答题17.（I）()2cos 2cos 1cos22sin 26f x x x x x x x π⎛⎫=⋅+-=+=+ ⎪⎝⎭，令222262k x k πππππ-≤+≤+)k Z ∈（，则36k x k ππππ-≤≤+)k Z ∈（，所以函数()f x 的单调增区间为：,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎣⎦)k Z ∈（．（II）由（I）知()2sin 216f B B π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即1sin 262B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，而()0,B π∈，知132,666B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以52=66B ππ+，即3B π=．由2222cos b a c ac B =+-，有213442a a =+-⨯，解得1a =.∴1133sin 122222ABC S ac B ∆==⨯⨯⨯=．故所求面积为32．18.（Ⅰ）由甲班同学成绩的中位数为74，所以775274x +=⨯，得3x =，由茎叶图知，乙班同学成绩的众数为78,83（Ⅱ）依题意知()22806271334 3.382 2.70640401961K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯（表格2分，2K 计算4分）有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”，学校可以扩大教学改革面.19.（I）在△PBC 中，有222PB PC BC =+，∴PC BC ⊥，同理可得：PC CD⊥而BC CD C ⋂=，,BC CD ⊂平面ABCD ，∴PC ⊥平面ABCD ，在△PAC 中，易知O 、E 分别为AC 、PA 中点，则//OE PC ，而PC ⊥平面ABCD ，∴OE ⊥平面ABCD ．（II）由（I）知：OE ⊥平面ABCD ，故可建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示，则1,0,0A （），0,1,0B （），()0,1,0D -，()104P -，，，∴()2,04AP ，=-，()1,1,0AB =-，()1,1,0AD =-- ，设()1111,,n x y z = 、()2222,,n x y z=分别为平面PAB 和平面PAD 的一个法向量，则11·0·0n AP n AB ⎧=⎪⎨=⎪⎩，22·0·0n AP n AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，∴11112400x z x y -+=⎧⎨-+=⎩，22222400x z x y -+=⎧⎨--=⎩，不妨设121z z ==，则()12,2,1n = ，()22,2,1n =-，∴()121222222212·1cos ,9·221·221n n n n n n==+++-+，由图易知二面角B PA D --为钝二面角，∴二面角的B PA D --的余弦值为19-．20.（1）由椭圆离心率23122=-==a b a c e ，则224b a =，将)1,2(P 代入椭圆142222=+b y b x ，可得8,2b 22==a ，12822=+∴y x 椭圆方程为：（2）当M，N 分别是短轴的端点时，显然直线AB 为y 轴，所以若直线过定点，这个定点一点在y轴上，当M，N 不是短轴的端点时，设直线AB 的方程为y=kx+t，设()2211)(y x B y x A ，、，由⎪⎩⎪⎨⎧+==+tkx y y x 12822联立方程消y 可得：0848)41(222=-+++t ktx x k ，0)28k (1622>+-=∆t 1484,1482221221+-=+-=+k t x x k kt x x 。

2016-2017学年四川省南充市高级中学高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．cos（﹣585°）的值为（）A．B．C．D．2．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的斜边长为，那么这个几何体的体积是（）A．B．C．D．3．已知随机变量服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤0）=0.4，则P（ξ＞2）=（）A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.64．设α，β是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，下列四个命题中正确的命题是（）A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a∥α，b∥β，a∥b，则α∥βC．若a⊥α，a⊂β，则α⊥βD．若a，b在α内的射影相互垂直，则a⊥b5．如图，该程序运行后输出的结果是（）A．6 B．8 C．10 D．126．关于实数x，y的不等式组所表示的平面区域记为M，不等式（x﹣4）2+（y﹣3）2≤1所表示的区域记为N，若在M内随机取一点，则该点取自N的概率为（）A．B．C．D．7．已知集合M={m|（m﹣11）（m﹣16）≤0，m∈N}，若（x3﹣）n（n∈M）的二项展开式中存在常数项，则n等于（）A．16 B．15 C．14 D．128．在同一平面内，下列说法：①若动点P到两个定点A，B的距离之和是定值，则点P的轨迹是椭圆；②若动点P到两个定点A，B的距离之差的绝对值是定值，则点P的轨迹是双曲线；③若动点P到定点A的距离等于P到定直线的距离，则点P的轨迹是抛物线；④若动点P到两个定点A，B的距离之比是定值，则点P的轨迹是圆．其中错误的说法个数是（）A．1 B．2 C．3 D．49．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）+f（x﹣1）=0，且在[﹣5，﹣4]上是增函数，A，B是锐角三角形的两个内角，则（）A．f（sinA）＞f（cosB）B．f（sinA）＜f（cosB）C．f（sinA）＞f（sinB）D．f（cosA）＞f（cosB）10．如图，已知线段PQ=，点Q在x轴正半轴，点P在边长为1的正方形OABC 第一象限内的边上运动．设∠POQ=θ，记x（θ）表示点Q的横坐标关于θ的函数，则x（θ）在（0，）上的图象可能是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共25分.11．5人排成一列，其中甲、乙二人相邻的不同排法的种数为．（结果用数字表示）12．设函数，若，则x0的取值范围为．13．若直线l过抛物线x2=﹣8y的焦点F，且与双曲线在一、三象限的渐近线平行，则直线l截圆所得的弦长为．14．函数，数列{a n}的通项公式a n=|f（n）|，若数列从第k项起每一项随着n项数的增大而增大，则k的最小值为．15．设{a n}是集合{3p+3q+3r|0≤p＜q＜r，且p，q，r∈N*}中所有的数从小到大排列成的数列，已知a k=2511，则k=．三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.16．已知，其中A，B，C是△ABC的内角．（1）当时，求的值；（2）若，当取最大值是，求B的大小及BC边的长．17．抛掷三枚不同的具有正、反两面的金属制品A1、A2、A3，假定A1正面向上的概率为，A2正面向上的概率为，A3正面向上的概率为t（0＜t＜1），把这三枚金属制品各抛掷一次，设ξ表示正面向上的枚数．（1）求ξ的分布列及数学期望Eξ（用t表示）；（2）令a n=（2n﹣1）cos（Eξ）（n∈N+），求数列{a n}的前n项和．18．斜率为的直线l与椭圆+=1（a＞b＞0）交于不同的两点A、B．若点A、B在x轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点．（1）求椭圆的离心率；（2）P是椭圆上的动点，若△PAB面积最大值是4，求该椭圆的方程．19．已知在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1B⊥平面ABC，∠ABC=90°，B1B=AB=2BC=4，D、E分别是B1C1，A1A的中点．（1）求证：A1D∥平面B1CE；（2）设M是的中点，N在棱AB上，且BN=1，P是棱AC上的动点，直线NP与平面MNC所成角为θ，试问：θ的正弦值存在最大值吗？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．20．已知函数．（1）当a=0时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）是否存在实数a，当0＜x≤2时，函数f（x）图象上的点都在所表示的平面区域（含边界）？若存在，求出a的值组成的集合；否则说明理由；（3）若f（x）有两个不同的极值点m，n（m＞n），求过两点M（m，f（m）），N （n，f（n））的直线的斜率的取值范围．本题21、22、23三个选答题，每题7分，请考生任选两题作答，满分7分.如果多做，则按照所做的前两题计分.[选修4-2：矩阵与变换]21．在矩阵A的变换下，坐标平面上的点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变．（1）求矩阵A及A﹣1；（2）求圆x2+y2=4在矩阵A﹣1的变换下得到的曲线方程．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的单位长度，且以原点为极点，x轴的正半轴为极轴）中，圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（1）若直l线与圆C相切，求实数a的值；（2）若点M的直角坐标为（1，1），求过点M且与直线l垂直的直线m的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x的不等式（其中a＞0）．（1）当a=3时，求不等式的解集；（2）若不等式有解，求实数a的取值范围．2016-2017学年四川省南充市高级中学高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．cos（﹣585°）的值为（）A．B．C．D．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】利用余弦函数为偶函数将所求式子化简，再利用诱导公式及特殊角的三角函数值化简，即可求出值．【解答】解：cos（﹣585°）=cos585°=cos=cos225°=cos=﹣cos45°=﹣故选：A2．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的斜边长为，那么这个几何体的体积是（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱锥，代入棱锥体积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱锥，如果直角三角形的斜边长为，则直角三角形的直角边长均为1，故几何体的体积V=×1×1×1=，故选：C3．已知随机变量服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤0）=0.4，则P（ξ＞2）=（）A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.6【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】本题考查正态分布曲线的性质，随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2），由此知曲线的对称轴为y轴，|即可得出结论【解答】解：∵随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤0）=0.4，∴P（ξ＞2）=0.5﹣P（﹣2≤ξ≤0）=0.1，故选：A．4．设α，β是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，下列四个命题中正确的命题是（）A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a∥α，b∥β，a∥b，则α∥βC．若a⊥α，a⊂β，则α⊥βD．若a，b在α内的射影相互垂直，则a⊥b【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在A中，a与b相交、平行或异面；在B中，α与β相交或平行；在C中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在D中，a与b相交、平行或异面．【解答】解：由α、β、γ是三个不同的平面，a、b是两条不同的直线，知：在A中，若a∥α，b∥α，则a与b相交、平行或异面，故A错误；在B中若a∥α，b∥β，a∥b，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若a⊥α，a⊂β，则根据平面与平面垂直的判定定理，可得α⊥β，故C正确；在D中，若a，b在平面α内的射影互相垂直，则a与b相交、平行或异面，故D 错误．故选：C．5．如图，该程序运行后输出的结果是（）A．6 B．8 C．10 D．12【考点】程序框图．【分析】经过观察为当型循环结构，按照循环结构进行执行，当满足执行条件时跳出循环，输出结果即可．【解答】解：模拟程序的运行，可得A=12，s=0不满足条件A≤3，执行循环体，S=2，A=10不满足条件A≤3，执行循环体，S=4，A=8不满足条件A≤3，执行循环体，S=6，A=6不满足条件A≤3，执行循环体，S=8，A=4不满足条件A≤3，执行循环体，S=10，A=2满足条件A≤3，退出循环，输出S的值为10．故选：C．6．关于实数x，y的不等式组所表示的平面区域记为M，不等式（x﹣4）2+（y﹣3）2≤1所表示的区域记为N，若在M内随机取一点，则该点取自N的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】由题意知本题是一个几何概型，分别求出对应的面积，即可得到结果．【解答】解：关于实数x，y的不等式组所表示的平面区域记为M，面积为=8，不等式（x﹣4）2+（y﹣3）2≤1所表示的区域记为N，且满足不等式组，面积为，∴在M内随机取一点，则该点取自N的概率为=，故选A．7．已知集合M={m|（m﹣11）（m﹣16）≤0，m∈N}，若（x3﹣）n（n∈M）的二项展开式中存在常数项，则n等于（）A．16 B．15 C．14 D．12【考点】二项式定理的应用．【分析】化简集合M，求出二项式的通项公式，化简整理后，令x的指数为0，对照M中的元素，即可得到答案．【解答】解：集合M={m|（m﹣11）（m﹣16）≤0，m∈N}={11，12，13，14，15，16}，（x3﹣）n（n∈M）的二项展开式的通项公式为Tr+1==，令3n﹣5r=0，则n=，由于n∈M，则n=15．故选B．8．在同一平面内，下列说法：①若动点P到两个定点A，B的距离之和是定值，则点P的轨迹是椭圆；②若动点P到两个定点A，B的距离之差的绝对值是定值，则点P的轨迹是双曲线；③若动点P到定点A的距离等于P到定直线的距离，则点P的轨迹是抛物线；④若动点P到两个定点A，B的距离之比是定值，则点P的轨迹是圆．其中错误的说法个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】轨迹方程．【分析】利用椭圆，双曲线、抛物线的定义，即可得出结论．【解答】解：①平面内与两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆，如果距离之和等于两点间的距离，轨迹表示的是线段，不表示椭圆，所以①不正确；②平面内与两定点距离之差绝对值为常数的点的轨迹是双曲线，这个常数必须小于两定点的距离，此时是双曲线，否则不正确，所以②不正确；③当定点位于定直线时，此时的点到轨迹为垂直于直线且以定点为垂足的直线，只有当定点不在直线时，轨迹才是抛物线，所以③错误；④若动点P到两个定点A，B的距离之比是定值，则点P的轨迹是圆，也可以是直线，故不正确．故选D．9．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）+f（x﹣1）=0，且在[﹣5，﹣4]上是增函数，A，B是锐角三角形的两个内角，则（）A．f（sinA）＞f（cosB）B．f（sinA）＜f（cosB）C．f（sinA）＞f（sinB）D．f（cosA）＞f（cosB）【考点】抽象函数及其应用．【分析】首先根据A、B是锐角三角形的两个内角，结合y=cosx在区间（0，）上是减函数，证出sinA＞cosB．然后根据偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），可得函数f（x）是周期为2的函数，且f（x）在[0，1]上是减函数．最后根据f（x）在[0，1]上是减函数，结合锐角三角形中sinA＞cosB，得到f（sinA）＜f（cosB）．【解答】解：∵A、B是锐角三角形的两个内角，∴A+B＞，可得A＞﹣B，∵y=cosx在区间（0，）上是减函数，＞A＞﹣B＞0，∴sinA＞sin（﹣B）=cosB，即锐角三角形的两个内角A、B是满足sinA＞cosB，∵函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），∴f（x+2）=﹣f（x+1）=﹣[﹣f（x）]=f（x），可得函数f（x）是周期为2的函数．∵f（x）在[﹣5，﹣4]上是增函数，∴f（x）在[﹣1，0]上也是增函数，再结合函数f（x）是定义在R上的偶函数，可得f（x）在[0，1]上是减函数．∵锐角三角形的两个内角A、B是满足sinA＞cosB，且sinB、cosA∈[0，1]∴f（sinA）＜f（cosB）．故选：B10．如图，已知线段PQ=，点Q在x轴正半轴，点P在边长为1的正方形OABC 第一象限内的边上运动．设∠POQ=θ，记x（θ）表示点Q的横坐标关于θ的函数，则x（θ）在（0，）上的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】当θ∈（0，）时，求得x（θ）=1+，图象是上凸的．当θ∈[，）时，求得x（θ）=cotθ+1，图象是下凹的．结合所给的选项，可得结论．【解答】解：当θ∈（0，）时，PA=tanθ，AQ==，x（θ）=1+，它的图象是上凸的．当θ∈[，）时，PA=1，OA=cotθ，AQ===1，x（θ）=cotθ+1，它的图象是下凹的．结合所给的选项，故选：A．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共25分.11．5人排成一列，其中甲、乙二人相邻的不同排法的种数为48．（结果用数字表示）【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分2步用捆绑法进行分析：①、将甲乙二人看成一个元素，考虑其顺序，②、二人排好后，与剩余三人全排列，分别用排列、组合数公式计算每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①、将甲乙二人看成一个元素，考虑其顺序，有A22=2种排法；②、二人排好后，与剩余三人全排列，有A44=24种情况，则一共有2×24=48种不同排法；故答案为：48．12．设函数，若，则x0的取值范围为x0＞．【考点】其他不等式的解法．【分析】x＞，f（x）=lnx|=1，利用，可得x0的取值范围．【解答】解：x＞，f（x）=lnx|=1，∵，，∴x0＞，故答案为x0＞．13．若直线l过抛物线x2=﹣8y的焦点F，且与双曲线在一、三象限的渐近线平行，则直线l截圆所得的弦长为2．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的焦点和双曲线的渐近线方程，求得直线l的方程，求出圆心到直线的距离，运用弦长公式即可得到弦长．【解答】解：抛物线x2=﹣8y的焦点F为（0，﹣2），双曲线双曲线在一三象限的渐近线为y=x，则直线l的方程为：y=x﹣2，圆（x﹣4）2+y2=4的圆心为（4，0），半径为2，则圆心到直线的距离d==，则弦长为2=2，故答案为：2．14．函数，数列{a n}的通项公式a n=|f（n）|，若数列从第k项起每一项随着n项数的增大而增大，则k的最小值为3．【考点】数列的函数特性．【分析】x≥4时，利用导数研究函数的单调性即可得出．【解答】解：f（1）=，f（2）=，f（3）=﹣，x≥4时，f（x）＞0，f（4）=，x≥4时，f′（x）=++＞0，因此函数f（x）单调递增，f（x）≥f（4）＞0．a4＞a3，因此a n单调递增．∴数列从第3项起每一项随着n项数的增大而增大，则k的最小值为3．故答案为：3．15．设{a n}是集合{3p+3q+3r|0≤p＜q＜r，且p，q，r∈N*}中所有的数从小到大排列成的数列，已知a k=2511，则k=50．【考点】计数原理的应用．【分析】a k=2511，可得p=4，q﹣p=1，r﹣p=3，从而q=5，r=7，用列举法求解即可．【解答】解：0≤p＜q＜r，且p，q，r∈Na n=3p+3q+3r=3p（1+3q﹣p+3r﹣p），a k=2511，∴p=4，q﹣p=1，r﹣p=3，∴q=5，r=7，∴（p，q，r）=（4，5，7）（4，5，7）（3，5，7）（3，4，7）（2，5，7）（2，4，7）（2，3，7）（1，5，7）（1，4，7）（1，3，7）（1，2，7）（0，5，7）（0，4，7）（0，3，7）（0，2，7）（0，1，7）（4，5，6）（3，5，6）（3，4，6）（2，5，6）（2，4，6）（2，3，6）（1，5，6）（1，4，6）（1，3，6）（1，2，6）（0，5，6）（0，4，6）（0，3，6）（0，2，6）（0，1，6）（3，4，5）（2，4，5）（2，3，5）（1，4，5）（1，3，5）（1，2，5）（0，4，5）（0，3，5）（0，2，5）（0，1，5）（2，3，4）（1，3，4）（1，2，4）（0，3，4）（0，2，4）（0，1，4）（1，2，3）（0，2，3）（0，1，3）（0，1，2）∴（5+4+3+2+1）×2+（4+3+2+1）+（3+2+1）+（2+1）+1=50，故答案为：50三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.16．已知，其中A，B，C是△ABC的内角．（1）当时，求的值；（2）若，当取最大值是，求B的大小及BC边的长．【考点】平面向量数量积的运算；正弦定理．【分析】（1）由角A可得的坐标，代入向量模的公式计算的值；（2）由数量积的坐标运算得到，利用辅助角公式化积，可得当A=时，取得最大值，求出对应的B值，再由正弦定理求得BC边的长．【解答】解：（1）当时，，∴；（2）=．∴当A=时，取得最大值，此时B=，根据正弦定理：，得．17．抛掷三枚不同的具有正、反两面的金属制品A1、A2、A3，假定A1正面向上的概率为，A2正面向上的概率为，A3正面向上的概率为t（0＜t＜1），把这三枚金属制品各抛掷一次，设ξ表示正面向上的枚数．（1）求ξ的分布列及数学期望Eξ（用t表示）；（2）令a n=（2n﹣1）cos（Eξ）（n∈N+），求数列{a n}的前n项和．【考点】离散型随机变量的期望与方差；数列的求和；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）通过求出ξ=0、1、2、3时相应的概率，进而求出ξ的分布列及数学期望Eξ；（2）通过（1）、化简可知a n=（﹣1）n（2n﹣1），进而分n为奇数、偶数两种情况讨论即可求出S n．【解答】解：（1）依题意，ξ的可能取值为0、1、2、3，P（ξ=0）=••（1﹣t）=，P（ξ=1）=••（1﹣t）+••（1﹣t）+••t=，P（ξ=2）=••（1﹣t）+••t+••t=，P（ξ=3）=••t=，∴ξ的分布列为：数学期望Eξ=0•+1•+2•+3•=；（2）由（1）可知a n=（2n﹣1）cos（•）=（2n﹣1）cos（nπ）=（﹣1）n（2n﹣1），当n为偶数时，S n=[（﹣1）+3]+[（﹣5）+7]+…+[﹣（2n﹣3）+（2n﹣1）]=2•=n；当n为奇数时，S n=[（﹣1）+3]+[（﹣5）+7]+…+[﹣（2n﹣5）+（2n﹣3）]+[﹣（2n﹣1）]=2•﹣（2n﹣1）=n﹣1﹣2n+1=﹣n；综上所述，S n=（﹣1）n•n．18．斜率为的直线l与椭圆+=1（a＞b＞0）交于不同的两点A、B．若点A、B在x轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点．（1）求椭圆的离心率；（2）P是椭圆上的动点，若△PAB面积最大值是4，求该椭圆的方程．【考点】椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．【分析】（1）画出图形，结合图形，得出直线与椭圆两交点坐标，根据两点间的斜率公式，求出离心率e；（2）由（1）知，设出椭圆的标准方程+=1，求出|AB|的值，利用三角形的面积求出高h；再求点P到直线的最大距离d，由此求出c即可．【解答】解：（1）由题意知：直线与椭圆两交点的横坐标为﹣c，c，纵坐标分别为﹣，，∴由=转化为：2b2=2（a2﹣c2）=ac即2e2+e﹣2=0，解得e=，e=﹣（负根舍去），∴椭圆的离心率为e=；（2）∵P是椭圆上的动点，当△PAB的面积最大值是4时，有|AB|h=4，∵e=，∴b=c，∴a=c；∴设椭圆的方程为+=1，则|AB|=c，∴三角形PAB的高为h=；又直线为y=x，即x﹣2y=0；则点P（ccosθ，csinθ）到直线的距离表示为d==≤，令=，解得c=2，∴椭圆的方程为+=1．19．已知在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1B⊥平面ABC，∠ABC=90°，B1B=AB=2BC=4，D、E分别是B1C1，A1A的中点．（1）求证：A1D∥平面B1CE；（2）设M是的中点，N在棱AB上，且BN=1，P是棱AC上的动点，直线NP与平面MNC所成角为θ，试问：θ的正弦值存在最大值吗？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．【分析】（1）法一（几何法）：连结BC1，与B1C交于点O，连结EO，DO，推导出四边形A1EOD是平行四边形，从而A1D∥EO，由此能证明A1D∥平面B1CE．法二（向量法）：建立空间直角坐标系B﹣xyz，利用向量法能证明A1D∥平面B1CE．（2）建立空间直角坐标系B﹣xyz，利用向量法求出存在符合题意的点P，且=．【解答】证明：（1）证法一（几何法）：连结BC1，与B1C交于点O，连结EO，DO，在△B1BC1中，DO B1B，在四边形B1BA1A中，A1E B1B，∴A1E DO，∴四边形A1EOD是平行四边形，∴A1D∥EO∵A1D⊄平面B1CE，EO⊂平面B1CE，∴A1D∥平面B1CE．证法二（向量法）：如图，建立空间直角坐标系B﹣xyz，由已知得A（4，0，0），C（0，2，0），B1（0，0，4），C1（0，2，4），D（0，1，4），E（4，0，2），则=（﹣4，1，0），=（0，2，﹣4），=（4，0，﹣2），设平面B1CE的一个法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，4，2），∵=﹣4+4=0，且A1D⊄平面B1CE，∴A1D∥平面B1CE．解：（2）设存在符合题意的点P．如图，建立空间直角坐标系B﹣xyz，由已知得A（4，0，0），C（0，2，0），M（2，0，3），N（1，0，0），则=（﹣1，0，﹣3），=（﹣1，2，0），=（﹣4，2，0），设平面MNC的一个法向量=（x，y，z），则，取x=6，得=（6，3，﹣2），设=，（0≤λ≤1），则==（3﹣4λ，2λ，0），由题设得sinθ=|cos＜＞|===，设t=1﹣λ（0≤λ≤1），则λ=1﹣t，且0≤t≤1，∴sinθ=，当t=0时，sinθ=0，当0＜t≤1时，sinθ==≤=．∴当且仅当，即t=时，sinθ取得最大值，此时λ=．∴存在符合题意的点P，且=．20．已知函数．（1）当a=0时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）是否存在实数a，当0＜x≤2时，函数f（x）图象上的点都在所表示的平面区域（含边界）？若存在，求出a的值组成的集合；否则说明理由；（3）若f（x）有两个不同的极值点m，n（m＞n），求过两点M（m，f（m）），N （n，f（n））的直线的斜率的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1）的值，求出切线方程即可；（2）法一：根据﹣2lnx≤0，设φ（x）=﹣2lnx，则问题等价于x∈（0，2]时，φ（x）max≤0，通过讨论a的范围，求出函数的最大值，从而求出a的范围即可；法二：由﹣2lnx≤0得，a≤2xlnx，令φ（x）=2xlnx，（0＜x≤2），则a≤[φ（x）]min，根据函数的单调性求出函数的最小值，从而求出a的范围即可；（3）求出函数f（x）的导数，求出a的范围，表示出直线MN的斜率，结合换元思想以及函数的单调性求出斜率k的范围即可．【解答】解：（1）a=0时，f（x）=x﹣2lnx，f′（x）=1﹣，∴f（1）=1，f′（1）=﹣1，∴求出直线方程是y﹣1=﹣（x﹣1），即y=﹣x+2；（2）由题意得：0＜x≤2时，f（x）≤x，即﹣2lnx≤0，设φ（x）=﹣2lnx，则问题等价于x∈（0，2]时，φ（x）max≤0，φ′（x）=﹣，（i）当a≥0时，φ′（x）＜0，不合题意，（ii）当a＜0时，①﹣∈（0，2）时，φ（x）在（0，﹣）上递增，在（﹣，2）上递减，φ（x）max=φ（﹣）=﹣2﹣2ln（﹣）≤0，此时，a∈（﹣4，﹣]；②﹣∈[2，+∞）时，φ（x）在（0，2]递增，φ（2）=﹣2ln2≤0，此时，a∈（﹣∞，﹣4]；综上，存在实数a组成的集合{a|a≤﹣}；方法二：由题意f（x）≤x，对x∈（0，2]恒成立，即﹣2lnx≤0对x∈（0，2]恒成立，由﹣2lnx≤0得，a≤2xlnx，令φ（x）=2xlnx，（0＜x≤2），则a≤[φ（x）]min，φ′（x）=2（lnx+x•）=2（lnx+1），当0＜x＜时，φ′（x）＜0，当＜x＜2时，φ′（x）＞0，∴φ（x）在（0，2]上的最小值是φ（）=﹣，故a≤﹣为所求；（3）由f′（x）==0（x＞0），得x2﹣2x﹣a=0，（x＞0），由题意得：，解得：﹣1＜a＜0，k MN===2﹣，设t=，（m＞n），则k MN=2﹣（t＞1），设g（t）=lnt，（t＞1），则g′（t）=，设h（t）=t﹣﹣2lnt（t＞1），则h′（t）=1+﹣=＞0，∴h（t）在（1，+∞）递增，∴h（t）＞h（1）=0即g（t）＞0，∴g（t）在（1，+∞）递增，t→+∞时，g（t）→+∞，设Q（t）=lnt﹣（1﹣），（t＞1），则Q′（t）=＞0，∴Q（t）在（1，+∞）递增，∴Q（t）＞Q（1）=0，即lnt＞1﹣，同理可证t﹣1＞lnt，∴t+1＞＞，当t→1时，t+1→2，→2，∴t→1时，g（t）→2，∴直线MN的斜率的取值范围是（﹣∞，0）．本题21、22、23三个选答题，每题7分，请考生任选两题作答，满分7分.如果多做，则按照所做的前两题计分.[选修4-2：矩阵与变换]21．在矩阵A的变换下，坐标平面上的点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变．（1）求矩阵A及A﹣1；（2）求圆x2+y2=4在矩阵A﹣1的变换下得到的曲线方程．【考点】矩阵与向量乘法的意义；逆矩阵的意义．【分析】（1）由题意求出A=，再求出△=|A|=3，由此能求出A﹣1．（2）由=，得，由此能求出圆x2+y2=4在矩阵A﹣1的变换下得到的曲线方程．【解答】解：（1）∵在矩阵A的变换下，坐标平面上的点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，∴A=，∵△=|A|=3，∴A﹣1=．（2）由=，得，∴，代入x2+y2=4，得9x'2+y'2=4，∴圆x2+y2=4在矩阵A﹣1的变换下得到的曲线方程为9x2+y2=4．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的单位长度，且以原点为极点，x轴的正半轴为极轴）中，圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（1）若直l线与圆C相切，求实数a的值；（2）若点M的直角坐标为（1，1），求过点M且与直线l垂直的直线m的极坐标方程．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t化为普通方程．圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，利用互化公式可得直角坐标方程．利用点到直线的距离公式，根据直l线与圆C相切的性质即可得出a．（2）由直线l的方程为：3x﹣4y﹣a=0，利用相互垂直的直线斜率之间的关系可得：直线m的斜率为﹣．再利用点斜式可得直线m的方程，把代入可得极坐标方程．【解答】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数化为普通方程：3x﹣4y﹣a=0．圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，化为：x2+y2﹣4x=0，即（x﹣2）2+y2=4，可得圆心C（2，0），半径r=2．∵直l线与圆C相切，∴=2，化为：|a﹣6|=10，解得a=16或﹣4．（2）∵直线l的方程为：3x﹣4y﹣a=0，∴斜率为，∴直线m的斜率为﹣．∴直线m的点斜式为：y﹣1=﹣（x﹣1），化为4x+3y﹣7=0，把代入可得极坐标方程：4ρcosθ+3ρsinθ﹣7=0．[选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x的不等式（其中a＞0）．（1）当a=3时，求不等式的解集；（2）若不等式有解，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x的范围得到关于x的不等式组，解出即可；（2）求出f（x）的最大值，得到关于a的不等式组，解出即可．【解答】解：（1）a=3时，|x﹣1|﹣|2x﹣1|＞﹣1，∴或或，解得：﹣1＜x＜1，故不等式的解集是（﹣1，1）；（2）f（x）=，∴f（x）∈（﹣∞，]，∴f（x）的最大值是，∵不等式有解，∴＞a，解得：a＞．2017年3月9日。

四川南充高中2017年高二年级4月检测考试理科数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知直线10ax y +-=与直线10x ay +-=互相平行，则a =（ ） A. 1 或1- B. 1 C. 1- D. 02. 下列命题中假命题有（ ）① 若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 一定不共面； ②R θ∃∈，使3sin cos 5θθ=成立； ③a R ∀∈，都有直线220ax y a ++-=恒过定点；④命题“220x y +=，则0x y ==的逆否命题为“若,x y 中至少有一个不为0，则220x y +≠”； A. 3 个 B.2 个 C. 1个 D. 0 个 4. “x 为无理数”是“2x 为无理数”的 A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分又不必要条件 5. 抛物线2y ax =的准线方程为2y =，则实数a 的值为 A. 18- B.18C.8D. 8- 6. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A. 24B. 36C.72D. 1447. 设直线2310x y ++=和圆22230x y x +--=相交于点A 、B ，则弦AB 的垂直平分线的方程是A. 3230x y --=B. 3230x y -+=C. 2330x y --=D. 2330x y -+=8. 下列命题错误的是A. 如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB. 如果平面α不垂直平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC. 如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，且α∩β=l ，那么l 丄γD. 如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β9. 在四面体ABCD 中，E 、G 分别是CD 、BE 的中点，若AG x AB y AD z AC =++，则x y z ++=A.13 B. 12C. 1D. 210. 点M ，N 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱1BB 和棱11B C 的中点，则异面直线CM 与DN 所成的角的余弦值为41511. 经过点(2,1)M 作直线l 交双曲线2212y x -=于,A B 两点，且M 为AB 的中点，则直线l 的方程为A. 470x y ++=B. 470x y +-=C. 470x y --=D. 470x y -+=12. 设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 作直线交抛物线C 于,A B 两点，则AOB ∆的 面积S 的最小值为B. 2 D. 3第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 边长为a 的正方休的内切球的表面积为 .14. 已知向量(2,1,3)a =--，(4,2,)b x =-，且a b ⊥，则实数x 的值为 . 15. 下列四个命题：①“若0xy =，则0x =且0y =”的逆否命题：②“正方形是菱形”的否命题： ③若22ac bc >，则a b >：④“若tan tan αβ=，则αβ=” 的逆命题： 其中真命题为 (只写正确命题的序号）.16. 椭圆221259x y +=上的点到直线45400x y -+=的最小距离为 . 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知圆C 的圆心在直线l ：210x y --=上，并且经过原点和(2,1)A ，求圆C 的标准方程.如图，四棱锥P ABCD -的底面为菱形，且120ABC ∠=︒，PA 丄底面ABCD ，2AB =，PA =（Ⅰ）求证：平面PBD 平⊥面PAC ： （Ⅱ）求三棱锥P BDC -的体积.18. 已知ABC ∆的两个顶点,A B 的两个顶点的坐标分别是)0,5(),0,5(-，且,AC BC 所在直线的斜率之积等于(0)m m ≠ . （Ⅰ）求点C 的轨迹方程： （Ⅱ）讨论点C 的轨迹的形状.19. 已知命题:p 指数函数(1)xy a =-是R 上的增函数，命题:q 不等式2210ax x +->有解，若命题p 是真命题，命题q 是假命题，求实数a 的取值范围.20. 在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD 垂直于底面ABCD ，PD DC =，点E 是PC 的中点.（Ⅰ)求证：PA //平面EBD : （Ⅱ）求二面角E BD P --的余弦值.21.已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，椭圆的左、右焦点分别是12F F 、，点M 为椭圆上的一个动点，12MF F ∆ . （Ⅰ）求椭圆C 的方程：（Ⅱ）P 为椭圆上一点，1PF 与y 轴相交于Q ，且112F P FQ =，若1PF 与椭圆相交于另一点R ， 求2PRF ∆的面积 .高二数学试卷（理科）答案一、选择题1-5: ADDBA 6-10:CADCA 11、12：CB二、填空题13. 2a π14.10315. ③16. 41三、解答题17.解：()()0,02,1O A 和的中点坐标为1(1,)2， 线段OA 的垂直平分线的斜率为2k =-， 所以，线段OA 的垂直平分线的方程为：522y x =-+. 由5202210x y x y ⎧+-=⎪⎨⎪--=⎩ 得圆心坐标C 为61(,)510， 所以，半径2229||20r AC ==. 因此，圆C 的标准方程为 226129()()51020x y -+-= . 18. (Ⅰ)证：∵,,BD AC BD PA PAAC A ⊥⊥=，∴BD ⊥面PAC .又BD ⊂平面PBD 内，∴平面PBD 平⊥面PAC .(Ⅱ)解：111(2213322BDC V S PA ∆=⋅=⨯⨯⨯⨯=. 19. 解：（Ⅰ）设(,)C x y ,则由题知55y ym x x ⋅=-+. 即221(5)2525x y x m+=≠±-为点C 的轨迹方程. (Ⅱ)当0m >时，点C 的轨迹为焦点在x 轴上的双曲线：当1m <-时，点C 的轨迹为焦点在y 轴上的椭圆： 当1m =-时，点C 的轨迹为圆心为)0,0(，半径为5的圆： 当10m -<<时，点C 的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆. 20. 解：命题p 为真命题时，11>-a 即0<a . 命题:q 不等式2210ax x +->有解，当0a >时，显然有解：当0a =时，210x ->有解； 当0a <时，2210ax x +->有解，44010a a ∴∆=+>∴-<<.从而命题命题:q 不等式2210ax x +->有解时1a >-. 又命题q 是假命题，∴1a ≤-∴p 是真命题q 是假命题时，a 的取值范围(,1]-∞-.21.解：（Ⅰ）法一：以点D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴建立直角坐标系，设正方形的边长为1，则)0,1,0(),0,1,1(),0,0,1(),1,0,0(),0,0,0(C B A P D ，∴1111(0,,),(1,1,0),(0,,),(1,0,1)2222E DB DE PA ===-. 设平面EBD 的法法向量为1111(,,)n x y z =，可求得11(1,1,1),0,n n PA PA =-∴⋅=∴∥平面EBD . 即PA //平面EBD . 法二：连接AC , 设ACBC O =， 连接OE ， 则OE //PA ，∴PA //平面EBD .(Ⅱ)设平面PBD 的法向量为2(1,1,0)n AC ==-.∴12cos ,n n <>=∴二面角E BD P --22. 解：（I )由已知条件：12c e a ==，122c b bc ⋅⋅==∴2,1a b c === ∴椭圆C 的方程为22143x y += .(Ⅱ)由112F P FQ =，知Q 为1F P 的中点，所以设),0(y Q ，则)2,1(y P , 又P 满足椭圆的方程，代入求得34y =. ∴直线PF 方程为3(1)4y x =+ . 由223(1)4143y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得 276130x x +-= . 设11(,)P x y ，22(,)R x y ，则 1212613,77x x x x +=-=- . ∴1212613,728y y y y +==- ，∴2121152||27PRF S c y y c ∆=⋅⋅-== . 说明：各题如有其它解法可参照给分.。

南充高中高2017级高三第二次月考数学（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．设集合{}{}22,340S x x T x x x =>-=+-≤，则(R S ð)T = （）A ．(]2,1-B ．(],4-∞-C ．(],1-∞D ．[)1,+∞2．已知点(tan ,cos )P αα在第三象限，则角α的终边在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．i 为虚数单位，复数131ii-=-（）A ．2i +B ．2i -C ．12i -+D ．12i--4．函数y =（0a <，且a 为常数）在区间(],1-∞上有意义，则实数a 的取值范围为（）A ．[)1,0-B ．()1,0-C ．[]1,0-D ．()1,-+∞5．若cos 22sin()4απα=--，则sin cos αα+=（）A ．72-B ．12-C ．12D ．726．直线12:30,:0l ax y l x by c --=++=，则“1ab =-”是“1l ∥2l ”的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要7．将函数()sin(2)(||2f x x πθθ=+<的图象向右平移12π个单位，所得到的图象关于y 轴对称，则函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（）A．2B ．12C ．12-D．2-8．已知三棱锥S ABC -三条侧棱两两垂直，且2,4SA SB SC ===，则该三棱锥外接球的半径为（）A ．3B ．6C ．36D ．99．若连续抛掷两枚质地均匀的骰子得到的点数分别为,m n ，则点(,)P m n 在直线4x y +=上的概率为（）A ．13B ．14C ．16D ．11210．若函数1()(0,0)axf x e a b b=->>的图象在0x =处的切线与圆221x y +=相切，则a b +的最大值是（）A ．4B．C ．2D11．点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与圆2222x y a b +=+在第一象限的交点，12,F F 分别为双曲线左、右焦点，且12||3||PF PF =，则双曲线的离心率为（）AB．2CD．212．已知函数13()ln 144f x x x x=-+-，2()24g x x bx =-+，若对任意1(0,2)x ∈，存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x ≥，则实数b 的取值范围是（）A ．17,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．17,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(],2-∞D ．[)2,+∞二、填空题（每小题5分，共20分）13.函数()3x f x e x =+的零点个数是____________.14.若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且8310S S -=，则11S 的值为____________.15.过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作直线L 交抛物线于A 、B 两点，交准线于C 点，若3CB BF =，则直线L 的斜率为____________.16.知函数()y f x =是R 上的偶函数，对x R ∀∈都有(4)()(2)f x f x f +=+成立，当[]12,0,2x x ∈，且12x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x -<-，给下列命题：①(2)0f =；②直线4x =-是函数()y f x =图象的一条对称轴；③函数()y f x =在[]4,4-上有四个零点；④(2014)0f =其中正确命题的序号为_______________.三、解答题（共70分）17.（本小题满分12分）已知(2sin ,cos )a x x =，,2cos )b x x = ，设函数()1f x a b =⋅-，x ∈R .（Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()1f B =，b =，2c =，求ABC ∆的面积.18.（本小题满分12分）某校为了推动数学教学方法的改革，学校将高一年级部分生源情况基本相同的学生分成甲、乙两个班，每班各40人，甲班按原有模式教学，乙班实施教学方法改革.经过一年的教学实验，将甲、乙两个班学生一年来的数学成绩取平均数再取整，绘制成如下茎叶图，规定不低于85分(百分制)为优秀，甲班同学成绩的中位数为74.（1）求x 的值和乙班同学成绩的众数；（2）完成表格，若有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”的话，那么学校将扩大教学改革面，请问学校是否要扩大改革面？说明理由.19.（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD的正方形，PB PD ==4PC =，点E 为PA 中点，AC 与BD 交于点O .（Ⅰ）求证：OE ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求二面角B PA D --的余弦值.20.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>过点(2,1)P ，且离心率为32.（1）求椭圆的标准方程；（2）设O 为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M 、N 满足OM NO =，直线PM 、PN 分别交椭圆于A 、B (异于点P ).探求直线AB 是否过定点，如果经过定点，请求出定点的坐标；如果不经过定点，请说明理由.21.（本小题满分12分）已知函数()sin f x x ax =-.（1）对于(0,1),()0x f x ∈>恒成立，求实数a 的取值范围；（2）当1a =时，令()()sin ln 1h x f x x x =-++，求()h x 的最大值；（3）求证：*1111ln(1)1()231n n N n n+<+++⋅⋅⋅++∈-选做题：22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1＝2cos α，＝2＋2sin α.(α为参数)．M 是C 1上的动点，P 点满足OP →＝2OM →，P 点的轨迹为曲线C 2.(1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |.23.选修4-5：不等式选讲（10分）已知函数()12f x x x =+--.（1）求不等式()1f x ≥的解集；（2）若不等式2()f x x x m ≥-+的解集非空，求m 的取值范围.南充高中高2017级高三第二次月考数学（理科）答案一、选择题1-5：CBBAC 6-10：BDADD 11-12：DA二、填空题13.1个14.2215.16.○1○2○4三、解答题17.（I）()2cos 2cos 1cos22sin 26f x x x x x x x π⎛⎫=⋅+-=+=+ ⎪⎝⎭，令222262k x k πππππ-≤+≤+)k Z ∈（，则36k x k ππππ-≤≤+)k Z ∈（，所以函数()f x 的单调增区间为：,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎣⎦)k Z ∈（．（II）由（I）知()2sin 216f B B π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即1sin 262B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，而()0,B π∈，知132,666B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以52=66B ππ+，即3B π=．由2222cos b a c ac B =+-，有213442a a =+-⨯，解得1a =.∴1133sin 122222ABC S ac B ∆==⨯⨯⨯=．故所求面积为32．18.（Ⅰ）由甲班同学成绩的中位数为74，所以775274x +=⨯，得3x =，由茎叶图知，乙班同学成绩的众数为78,83（Ⅱ）依题意知()22806271334 3.382 2.70640401961K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯（表格2分，2K 计算4分）有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”，学校可以扩大教学改革面.19.（I）在△PBC 中，有222PB PC BC =+，∴PC BC ⊥，同理可得：PC CD⊥而BC CD C ⋂=，,BC CD ⊂平面ABCD ，∴PC ⊥平面ABCD ，在△PAC 中，易知O 、E 分别为AC 、PA 中点，则//OE PC ，而PC ⊥平面ABCD ，∴OE ⊥平面ABCD ．（II）由（I）知：OE ⊥平面ABCD ，故可建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示，则1,0,0A （），0,1,0B （），()0,1,0D -，()104P -，，，∴()2,04AP ，=-，()1,1,0AB =-，()1,1,0AD =-- ，设()1111,,n x y z = 、()2222,,n x y z=分别为平面PAB 和平面PAD 的一个法向量，则11·0·0n AP n AB ⎧=⎪⎨=⎪⎩，22·0·0n AP n AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，∴11112400x z x y -+=⎧⎨-+=⎩，22222400x z x y -+=⎧⎨--=⎩，不妨设121z z ==，则()12,2,1n = ，()22,2,1n =-，∴()121222222212·1cos ,9·221·221n n n n n n==+++-+，由图易知二面角B PA D --为钝二面角，∴二面角的B PA D --的余弦值为19-．20.（1）由椭圆离心率23122=-==a b a c e ，则224b a =，将)1,2(P 代入椭圆142222=+b y b x ，可得8,2b 22==a ，12822=+∴y x 椭圆方程为：（2）当M，N 分别是短轴的端点时，显然直线AB 为y 轴，所以若直线过定点，这个定点一点在y轴上，当M，N 不是短轴的端点时，设直线AB 的方程为y=kx+t，设()2211)(y x B y x A ，、，由⎪⎩⎪⎨⎧+==+tkx y y x 12822联立方程消y 可得：0848)41(222=-+++t ktx x k ，0)28k (1622>+-=∆t 1484,1482221221+-=+-=+k t x x k kt x x 。

2017年四川省绵阳高中高三年级高考模拟试题数学（理科）试题卷本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页, 选择题部分1至2页, 非选择题部分3至4页．满分150分, 考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．参考公式：柱体的体积公式V =Sh 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式 V =13Sh 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高台体的体积公式1()123V h S S =+ 其中S 1,S 2分别表示台体的上,下底面积球的表面积公式S =4πR 2其中R 表示球的半径，h 表示台体的高 球的体积公式V =43πR 3其中R 表示球的半径第I 卷（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知定义域为R 的函数错误！未找到引用源。

不是奇函数，则下列命题一定为真命题的是（ ） A ．错误！未找到引用源。

B ．错误！未找到引用源。

C ．错误！未找到引用源。

D ．错误！未找到引用源。

2．设等差数列错误！未找到引用源。

的前n 项和为错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

且错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

（ ）A ．11B ．10C ．9D ．8 3．函数)sin()(ϕω+=x A x f （其中)2,0πϕ<>A ）的图象如图所示，为了得到()sin g x x ω=的图象，则只要将)(x f 的图象（ ）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移12π个单位长度4．设R b a ∈,，则“a b >”是“a a b b >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．若变量,x y 满足210201xy x y x -+≤⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，则点(2,)P x y x y -+所在区域的面积为（ ）A ．34 B. 43 C. 12D. 1 6．已知函数2|log |,02()sin(),2104x x f x x x π<<⎧⎪=⎨≤≤⎪⎩，若存在实数1x ，2x ，3x ，4x ，满足1234x x x x <<<，且1234()()()()f x f x f x f x ===，则3412(2)(2)x x x x -⋅-⋅的取值范围是（ ）A ．(4,16)B ．(0,12)C ．(9,21)D ．(15,25)7．已知点P 为双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 右支上一点，21,F F 分别为双曲线的左右焦点，且ab F F 221||=，I 为三角形21F PF 的内心，若1212IPF IPF IF F S S S λ∆∆∆=+成立， 则λ的值为（ ）A ．2221+ B ．132- C ．12+ D ．12- 8．过正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1棱DD 1的中点与直线BD 1所成角为40°，且与平面AC C 1A 1所成角为50°的直线条数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．无数第II 卷（共110分）二、填空题：本大题共7小题，第9至12题每小题6分，第13至15题每题4分，共36分．9．设全集为R ，集合2{|430},M x R x x =∈-+>集合{|24},xN x R =∈>则M N ⋃= ；M N ⋂= ；()R C M N ⋂= .10．已知02πα<<,02πβ-<<,3cos()5αβ-=，且3tan 4α=，则cos α=________,sin β=_______. 11．在如图所示的空间直角坐标系O —xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(2，0，0)，(0，2，0)，(0，0，2)，(2，2，2)．给出编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图、侧视图和俯视图分别为（填写编号） ，此四面体的体积为 .1A12．已知圆22:(cos )(sin )2(R)C x y ααα-++=∈与直线:cos sin 10(R)l x y βββ--=∈，则圆C 的圆心轨迹方程为 ，直线l 与圆C 的位置关系是______． 13．已知点)21,21(-A 在抛物线)0(2:2>=p px y C 的准线上，点M ，N 在抛物线C 上，且位于x 轴的两侧，O 是坐标原点，若3=⋅，则点A 到动直线MN 的最大距离为 ．14．在直径AB 为2的圆上有长度为1的动弦CD ，则AC BD ⋅的取值范围是 ．15．已知,,a b c 为非零实数，(),ax b f x x R cx d +=∈+，且(2)2,(3)3f f ==.若当dx c≠-时，对于任意实数x ，均有(())f f x x =，则()f x 值域中取不到的唯一的实数是 ．三、解答题：本大题共5小题，第16至19题每题15分，第20题14分，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．ABC ∆中，内角,A B C ,的对边分别是,,a b c ，已知,,a b c 成等比数列，且3cos 4B =. （Ⅰ）求11tan tan A B +的值； （Ⅱ）设32BA BC ⋅= ，求a c +的值.17．已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为23ABC π∠=的菱形，PA ⊥平面ABCD ，点Q 在直线PA上.（Ⅰ）证明：直线QC ⊥直线BD ；18．已知数列{a n }中，111,1,33,n n na n n a a a n n +⎧+⎪==⎨⎪-⎩为奇数为偶数， （Ⅰ）求证：数列23{}2n a -是等比数列；（Ⅱ）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，求满足0n S >的所有正整数n ．19．如图，中心在坐标原点，焦点分别在x 轴和y 轴上的椭圆1T ，2T 都过点(0,M ，且椭圆1T 与2T （Ⅰ）求椭圆1T 与椭圆2T 的标准方程；（Ⅱ）过点M 引两条斜率分别为,k k '的直线分别交1T ，2T 于点P ，Q ，当k '=时，问直线PQ20．设1)(2+--=ax x x f ，22()ax x a g x x ++=，（Ⅰ）若0)(=+b x f 在]2,1[上有两个不等实根，求(1)g b +的取值范围；（Ⅱ）若存在]2,1[1∈x ，使得对任意的21[,1]2x ∈，都有)()(21x g x f ≥成立，求实数a 的取值范围.参考答案一、选择题二、填空题：9. (,1)(2,)-∞⋃+∞；(3,)+∞；(,3]-∞ 10.45；725- 11. ③ ② ② ；83；12. 221x y +=；相交; 13. 214. 31[,]22-; 15. 52三、解答题：16. 解：（Ⅰ）因为,,a b c 成等比数列，所以ac b =2,由余弦定理可知：)1(2122cos 22222-+=-+=-+=caa c ac ac c a acbc a B 又3cos 4B =，所以47sin =B ，且43)1(21=-+c a a c ，解得212或=a c . 于是772778sin sin sin sin sin cos sin cos tan 1tan 1或=⋅=⋅=+=+B a c B A C B B A A B A . （Ⅱ）因为32BA BC ⋅= ,所以23cos =B ca ，所以2=ca ，又212或=a c ，于是3=+a c . 【另解】由32BA BC ⋅= 得3cos 2ca B ⋅=，由3cos 4B =可得2ca =，即22b =由余弦定理 2222cos b a c ac B =+-⋅得2222cos 5a c b ac B +=+⋅=()2222549a c a c ac +=++=+= ∴ 3a c +=.17. （Ⅰ）证明：显然BD AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，则PA BD ⊥，故BD PAC ⊥平面,QC PAC ⊆平面,则直线QC ⊥直线BD ；（Ⅱ）由已知和对称性可知，二面角A B QC --的大小为3π，设底面ABCD 的棱长为单位长度2，AQ x = ，设AC ，BD 交于点E,则有点B 到平面AQC 的距离BE 为1，过点E 做QC 的垂线，垂足设为F ，则有tan tan3BE BFE EF π∠==，BE=1，则，点A 到QC ，则有3x =⋅2x =. 过点M 作AB 的平行线交AD 的中点为G ，则GM=2，QG =AM ==QM ==，22234104cos 234QM GM QG QMG QM GM +-+-∠===⋅， 即所求的QM 与AB所成角的余弦值为34.18.（Ⅰ）证明：21222(1)22221313113(21)(6)(21)13232322333332222n n n n n n n n a n a n n a a a a a a ++++--++---====----， 所以数列23{}2n a -是以23126a -=-为首项，13为公比的等比数列。

四川省南充市2017届高三第一次高考适应性考试数学试题（理科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.集合()(){}140M x x x =--=，()(){}130N x x x =+-<，则MN =（ ）A ．∅B ．{}1C ．{}4D ．{}1 4，复数1z i =+，则21z z =-（ ）A ．2B ．2-C ．2iD ．2i -知向量1 sin 2a α⎛⎫= ⎪⎝⎭，，()sin 1b α=，，若a b ∥，则锐角α为（ ） A ．30︒ B ．60︒ C ．45︒ D ．75︒ 33log 10 log 7a b ==，，则3a b -=（ ）A ．1049 B ．4910 C.710 D ．107知等差数列{}n a 的公差为2，若134 a a a ，，成等比数列，则2a 等于（ ） A ．4- B ．6- C.8- D ．10-是一个几何体的正视图与侧视图，其俯视图是面积为82的矩形，则该几何体的表面积是（ ）A ．2082+．2482+．16 程序框图如图所示，执行该程序，若输入4，则输出S =（ ）A ．10B ．17 C.19 D ．36知点()() 0P a b ab ≠，是圆222x y r +=内的一点，直线m 是以P 点为中点的弦所在的直线，直线l 的方程为2ax by r +=，那么（ ）A ．m l ∥，且l 与圆相交B ．m l ⊥，且l 与圆相切 C.m l ∥，且l 与圆相离 D ．m l ⊥，且l 与圆相离 1sin 43πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2θ=（ ） A ．19B ．79 C.19- D ．79-一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积和球的表面积之比为（ ） A ．9:4 B ．4:3 C.3:1 D ．3:2知抛物线()220y px p =>，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于 A B ，两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（ ）A ．1x =B ．1x =- C.2x = D ．2x =-知 αβ，是三次函数()3211232f x x ax bx =++的两个极值点，且()0 1α∈，，()1 2β∈，， a b R ∈，，则21b a --的取值范围是（ ） A ．1 14⎛⎫ ⎪⎝⎭， B ．1 12⎛⎫ ⎪⎝⎭， C.11 24⎛⎫- ⎪⎝⎭， D ．11 22⎛⎫- ⎪⎝⎭，第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.512x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，3x 的系数是 （用数学填写答案）；1a >，则11a a +-的最小值是 ．()()sin 2f x x θ=+，函数()()'f x f x +为奇函数，()'f x 是()f x 的导函数，则tan θ= ． 知正数数列{}n a 的前n 项和()2114n n S a =+，则n a = ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）ABC △的内角 A B C ，，的对边分别为 a b c ，，，已知()cos 2cos b C a c B =-.（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若2c =，3b =，求ABC △的面积.18. （本小题满分12分）某示范高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座.（规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座）统计数据表明，各讲座各天的满座概率如下表：（Ⅰ）求数学辅导在周一、周三、周五都不满座的概率；（Ⅱ）设周三各辅导讲座满座的科目数为X ，求X 的分布列和数学期望()E X .19. （本小题满分12分）如图，ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，2PA AD ==，60BAD ∠=︒. （Ⅰ）求证：平面PBD ⊥平面PAC ； （Ⅱ）求二面角D PB C --的余弦值.PODCBA20. （本小题满分12分）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为12，两焦点之间的距离为4.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过椭圆的右顶点作直线交抛物线24y x =于 A B ，两点，求证：OA OB ⊥（O 为坐标原点）. 21. （本小题满分12分）已知函数()()2ln 22x f x x a=--（a 为常数，0a ≠）.（Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 在点()()3 3f ，的切线方程 （Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）若()f x 在0x 处取得极值，且30 2 2x e e ⎡⎤∉++⎣⎦，，而()0f x ≥在32 2e e ⎡⎤++⎣⎦，上恒成立，求实数a 的取值范围.（其中e 为自然对数的底数）请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为x a y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的单位长度，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为4cos ρθ=. （Ⅰ）求圆C 在直角坐标系中的方程； （Ⅱ）若圆C 与直线l 相切，求实数a 的值. 23. （本小题满分10分）已知函数()()21f x x a x a R =---∈. （Ⅰ）当3a =时，求函数()f x 的最大值； （Ⅱ）解关于x 的不等式()0f x ≥.四川省南充市2017届高三第一次高考适应性考试数学试题（理科）参考答案及评分意见一、选择题1-5:BACDB 6-10:ACCDD 11、12：BA二、填空题13.80 14.3 15.2- 16.21n -三、解答题：（Ⅰ）由已知及正弦定理得()sin cos 2sin sin cos 2sin cos sin cos B C A C B A B C B =-⋅=-.………………2分 则sin cos sin cos 2sin cos B C C B A B +=.………………4分()sin 2sin cos B C A B +=， 故sin 2sin cos A A B =. 因为，在ABC △中，sin 0A ≠.所以1cos 2B =，3B π=.…………………………6分（Ⅱ）由已知及余弦定理得 2944cos a a B =+-，又3B π=，：（Ⅰ）设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事件A ，则 ()122111123318A P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.……………………5分（Ⅱ）X 的可能取值为0，1，2，3，4，5. ()40121112348X P =⎛⎫⎛⎫=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.……………………6分 ()34141112121111223238X P C =⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅-+-⋅= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.……………………7分()22321442112112711122322324X P C C =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅-⋅-+⋅-⋅= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.………………8分 ()3223244311211211112232233X P C C =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅-+⋅-⋅= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.…………9分 ()43344121123112322316X P C =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-⋅=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ()451212324X P =⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭.……………………10分 X 0 1 2 3 4 5 P1481872413316124数学期望()117131801234548824316243E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.………………12分 19.（Ⅰ）证明：由ABCD 是菱形可得BD AC ⊥， 因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以PA BD ⊥，又PAAC A =，所以BD ⊥平面PAC ，又BD ⊂平面PBD ， 故平面PBD ⊥平面PAC .……………………5分（Ⅱ）解：以OA 为x 轴的正方向，OB 为y 轴的正方向，建立如图所示的直角坐标系，则()0 0 0O ，，，()0 1 0B ，，，)3 0 2P ，，，()3 0 0C -，， (7)分设平面PBD 的一个法向量()1111 n x y z =，，，由1n OB ⊥，1n OP ⊥，可得1111110100020x y zy z⋅+⋅+⋅=⎧⎪+⋅+=，即11120yz=⎧⎪+=，所以可取11 0n⎛=⎝⎭，，.……………………9分同理可得平面PBC的一个法向量(2 1n=，，.………………11分所以1212125cos7n nn nn n⋅<>==，.故二面角D PB C--的余弦值为57.………………12分20.（Ⅰ）解：由题意可得24c=，12ca=.所以 4 2a c==，.由222b a c=-可得212b=，所以椭圆标准方程为：2211612x y+=.……………………5分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得椭圆的右顶点为()4 0，，由题意得，可设过()4 0，的直线方程为：4x my=+.………………………………………………7分由244x myy x=+⎧⎨=⎩消去x得：24160y my--=.设()11A x y，，()22B x y，，则1212416y y my y+=⎧⎨=-⎩.………………10分所以()()()()21212121212124414160 OA OB x x y y my my y y m y y m y y⋅=+=+++=++++=，故OA OB⊥.………………………………………………12分：()1'2xf xx a=--（2x>）（Ⅰ）当1a=时，()1'2f x xx=-，()'32f=-.()932f=-，所以，函数()f x在点()()3 3f，处的切线方程为：()9232y x+=--，即4230x y+-=.…………………………3分（Ⅱ）()()212'22x x x af xx a a x--=-=---()()()21112x aa x⎡⎤=---+⎣⎦-，因为2x>，所以20x->，①当0a <时，()()()21120x a x x a --+=-->在2x >上成立， 所以()'f x 当2x >恒大于0，故()f x 在()2 +∞，上是增函数.………………………………5分 ②当0a >时，()()(1'112f x x x a x =-----，因为2x >，所以10x ->，()20a x ->，当1x ≥+()'0f x ≤，()f x 为减函数；当21x ≤≤()'0f x ≥，()f x 为增函数.………………7分综上：当0a <时，()f x 在()2 +∞，上为增函数； 当0a >时，()f x在(2 1，上为增函数，在()1 +∞，上为减函数.…………8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知0x 处有极值，故0a >，且01x =， 因为30 2 2x e e ⎡⎤∉++⎣⎦，且22e +>，所以()f x 在32 2e e ⎡⎤++⎣⎦，上单调.……………………10分当32 2e e ⎡⎤++⎣⎦，为增区间时，()0f x ≥恒成立，则有()36321220e a e ef e ⎧+<+⎪⇒>+⎨+≥⎪⎩. 当32 2e e ⎡⎤++⎣⎦，为减区间时，()0f x ≥恒成立，则有()263322144206a e e e e e f e a ⎧<+⎧+>⎪⎪⎨⎨+++≥≥⎪⎪⎩⎩解集为空集. 综上：当632a e e >+时满足条件.…………………………12分 ：（Ⅰ）由4cos ρθ=得24cos ρρθ=，结合极坐标与直角坐标的互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，得224x y x +=，即()2224x y -+=.…………………………5分（Ⅱ）由x a y t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t为参数）化为普通方程，得0x a -=，l 与圆C2=.所以2a =-或6.…………………………10分：（Ⅰ）当3a =时，()()()()133********x x f x x x x x x x --≥⎧⎪=---=-+<<⎨⎪+≤⎩，所以，当1x =时，()f x 取得最大值2.……………………5分 （Ⅱ）由()0f x ≥，得21x a x -≥-， 两边平方得()()2241x a x -≥-， ()()2320x a x a ---+≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以①当1a >，不等式解集为22 3a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭，；②当1a =，不等式解集为{}1x x =；③当1a <，不等式解集为2 23a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭，.……………………10分。