第四节 单摆

第四节 单摆知识要点一、单摆：细线一端拴上一个球，另一端固定的悬点上，如果悬挂小球的细线的伸缩和质量可以忽略，线长又比球的直径大得多，这样的装置叫做单摆。

单摆与质点一样也是一种理想化模型，它是为研究摆的振动而抽象出来的，这种模型即一段无质量的细线上悬挂一质点。

二、单摆振动的回复力：将单摆拉离平衡位置O ，然后放开，摆球将沿着以平衡位置O 为中点的一段圆弧做往复运动，如图9-31所示，对摆球进行受力分析可知：单摆振动所需的回复力，是由重力mg 沿圆弧切线方向的 分力G 1提供的，即：F ＝mgsin θ。

三、单摆的简谐运动： 当摆角很小，且用弧度做单位时，sin θ≈θ，θ≈x/L （x 为摆球 图9-31偏离平衡位置的位移，L 为摆长），即：sin θ≈x/L ，所示F ＝－mgx/L ＝－kx ，式中k ＝mg/L 。

可见，在偏角很小的情况下，单摆所受的回复力与偏离平衡位置的位移成正比而方向相反，单摆做简谐运动。

四、单摆振动的周期性：影响单摆周期的因素：用控制变量法进行实验研究，结果表明，单摆做简谐运动的周期与振幅无关（这种性质叫做单摆的等时性）；与摆球质量无关；与摆长有关，摆长越长，周期越大。

单摆振动的规律：单摆做简谐运动的周期T 跟摆长L 的二次方根成正比，跟重加速度g 的二次方根成反比，跟振幅、摆球的质量无关。

单摆的周期公式为：T ＝2π√L/g说明：周期为2s 的摆叫秒摆，秒摆的摆长约为1m 。

五、利用单摆测重力加速度：由周期公式：T ＝2π√L/g ，可得g ＝4π2L/T 2。

故只要测出摆长L （L ＝L ′＋r ，L ′为摆线长，r 为小球的半径）和周期T ，即可计算出重力加速度g 的数值。

也可以分别测出当摆线长为L 1′和L 2′时的周期T 1和T 2，由周期公式有T 1＝2π√(L 1′＋r)/g ， ①T 2＝2π√(L 2′＋r)/g ， ②联立①②消去r 可得:：g ＝4π2(L 2′－L 1′)/(T 22－T 12)。

说明：1、摆长是悬点到球心之间的距离，公式中的L 应理解为等效摆长。

例如1，金属钟摆的摆长随温度（冬夏）略有变化，温度升高，摆长变长，周期变大，振动变慢。

例如2、漏摆，在振动过程中，随水和沙子的漏出，质心位置 变化，使摆长变化，先摆长变长，再变短，再变长，周期先变长再变短。

例如3、双线摆，等效摆长L ＝l cos α，（如图9-32所示） 图9-322、公式中的g 应理解为等效重加速度g ′。

2⑴随着单摆所在地位置而变化。

随离地面的升高，g ′变小，T 变大，振动变快；随纬度的增大，g ′变大，T 变小，振动变快；从地球拿到月球，g ′变小，T 变大，振动变快。

⑵随加速系统的状态变化g 而变化。

例如1，当单摆运动的同时，悬点沿竖直向上做匀加速运动，其等效重力加速度为g ′＝g ＋a ，大于当地的重力加速度，单摆振动周期变小，振动变快。

例如2、若悬点沿竖直向下做匀加速运动，则等效重力加速度为g ′＝g －a ，小于当地的重力加速度，单摆振动周期增大，振动变慢。

例如3、若单摆在轨道上运动的航天飞机内，摆球完全失重，回复力为零，则等效重力加速度g ′＝0，所以周期为无穷大，单摆将不再摆动。

例如4、当单摆有水平加速度a 时，（如加速运动的车厢内）其等效重力加速度g ′＝√g 2＋a 2。

例如图9-33已知摆长为L ，求单摆的振动周期。

F ＝mgcos θ，故单摆做简谐运动时的等效加速度g ′＝gcos θ。

所以振动周期T ＝2π√L/gcos θ， 图9-33六、摆钟走时准确性的调整原理对下次时不准的摆钟问题，解题时抓住：1、 由于摆钟的机械构造所决定，钟摆每完成一次全振动，摆钟所显示的时间为一定的，也就是走时准确的摆钟的周期T 。

2、 在摆钟的构造不变的前提下，走时慢的摆钟，在给定时间内全振动的次数少，周期偏大，钟面上显示的时间就慢。

3、 根据单摆的周期公式T ＝2π√L/g ，在同一地点，重力加速度g 值相同，走时快的钟，T 偏小，原因是钟摆摆长短；走时慢的摆钟，T 偏大，原因是钟摆摆长偏长。

在不同地点的同一摆钟，摆长L 一定，若走时快，T 偏小，原因是当地的g 值偏大，反之亦然。

4、 无论摆钟走时是否准确，钟面上显示的时间t 显＝T ×全振动次数，其中T 为走时准确的摆钟的周期，对走时不准确的摆钟，计算其全振动的次数，不能用钟面显示的时间除以其周期，而应用实际的时间除以其周期。

例如，某一单摆在北京振动一次指针指示时间为T 0，则在南京振动一次时，指针指示时间也为T 0，因此指示与相等时间内振动次数成正比，则t 1/t 2＝N 1/N 2，所以指示时间与振动频率成正比，即t 1/t 2＝f 1/f 2。

当g 一定时，t 1/t 2＝√L 2/L 1；当L 一定时，t 1/t 2＝√g 1/g 2＝r 2/r 1；（r 1、r 2为振子到地心间间距）。

所以当振动周期变大时，钟会变慢，振动时间减小时，钟会变快。

典型例题例1、单摆的周期在发生下列情况量，将会变大的是（ ）A ．增大摆球的质量；B ．减小摆长；C ．在同一高度把单从赤道移到两极；D ．在同一纬度把单摆从海平面移到高山上。

解析：由单摆振动规律知单摆的周期与摆球的质量无关，故增大摆球质量单摆的周期不变，A 错误。

单摆的周期与摆长的二次方根成正比，故减小摆长周期也将变小，B 错误。

单摆的周期与重力加速度的二次方根成反比，而在同一高度从赤道到两极重力加速度逐渐增大，故在同一高度把单摆从赤道移到两极，周期变小，C 错误。

在同一纬度把单摆从海平面移到高山上时，由于重力加速度变小，故周期变大，D 正确。

正确答案为D 。

例2、一个每昼夜要快5分钟，如果要使它走时准确，应使它的摆长增长还是缩短？摆长的改变量是原来摆长的多少倍？解析：设该摆钟走时准确时摆长为L 0，周期为T 0，分针转过24周，恰好历时24小时，摆振动了n 0次。

当它每昼夜快5分钟时，摆长为L 1，周期为T 1，在24小时内振动次数为n 1，则：n 1＝n 0[1＋1/(24×12)]＝289n 0/288。

相同时间内振动次数n 1＞n 0，而n 1T 1＞n 0T 0，故T 1＜T 0，由周期公式T ＝2π√L/g ，可知：L 1＜L 0，故要使摆钟走时准确应使它的摆长增长。

将n 1，T 1，T 0的表达式代入等式n 1T 1＞n 0T 0，得：(289n 0/288)( 2π√L 1/g)＝n 0( 2π√L 0/g)，∴L 1＝(288/289)2L 0，ΔL ＝L 0－L 1＝[1－(288/289)2]L 0＝0.007L 0，∴ΔL/L ＝0.007例3、一物体在某行星表面受到的万有引力是它在地球表面受到的万有引力的1/4，在地球上走得很准的摆钟搬到此行星上后，此钟分针转一整圈所经历的时间实际上是（ ）A ．1/4小时；B ．1/2小时；C ．2小时；D ．4小时。

解析：由题意知，g ′＝g/4，T ′＝2π√L/g ′＝2(2π√L/g )＝2T ，设分针转一整圈，摆的振动次数为n 0，则在地面上时所经历的时间为t 1＝n 0T ＝1小时，在行星上时所经历的时间为t 1＝n 0T ′＝n 0·2T ＝2t 1＝2小时，故正确答案是C 。

例4、如图9-34所示，一只吊灯A ，如果灯的大小和线的长度相比是 很小的，B 、C 两点是在水平的天花板上，OB 和天花板间的夹角 为α，而且OB ＝OA ＝L ，当吊灯在垂直于纸面的平面内做小振 幅的振动时，振动频率为______________。

解析：当吊灯静止时，作用于O 点为三个力平衡，线OB 和OC 作用在 图9-34O 点的合力沿OO ′，因此此摆可等效成摆长为AO ＋OO ′的单摆。

因此，吊灯做小角度垂直于纸面的摆动时，可等效成单摆的运动，其等效摆长为：L ＝AO ＋OO ′＝L ＋Lsin α，∴f ＝1/T ＝(1/2π)√g /L ＝(1/2π)√g /L(1＋sin α)例5、如图9-35所示，两单摆摆长相同，平衡时两摆球刚好接触，现将摆球A 在两摆线所在平面内向左拉开一个小角度后释放，碰撞后，两摆球分开各自做简谐运动，以m A ，m B 分别表示摆球A 、B 的质量，则（ ） A ．如果m A ＞m B ，下一次碰撞将发生在平衡位置右侧； 图9-35B ．如果m A ＜m B ，下一次碰撞将发生在平衡位置左侧；C ．无论两摆球的质量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置的右侧；D ．无论两摆球的质量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置的左侧。

解析：单摆的振动周期与振幅（摆角小于5°）与摆球质量无关。

因为两单摆摆长相等，故周期相等，下一次碰撞都各自经历T/2，所以下一次碰撞一定发生在平衡位置。

故答案为CD 。

B α O C L LAO ′同步训练● 知识掌握1、通过研究单摆的周期和振幅、摆球的质量及摆长的关系的实验，发现单摆的周期跟单摆的__________和__________没有关系，跟__________有关，荷兰物理学家惠更斯定量研究了单摆的振动现象，发现单摆的振动周期跟___________________________有关，跟___________________________无关，确定了单摆振动的周期公式为_____________。

2、振动着的单摆的摆球，通过平衡位置时，它受到的回复力（ ）A ．指向地面；B ．指向悬点；C ．数值为零；D ．垂直摆线，指向运动方向。

3、关于单摆及其振动的叙述，哪一条是不正确的（ ）A ．对于单摆来说，摆线的伸缩要小到忽略不计，摆球的直径比摆线要短得多，摆球的质量比摆线要大得多；B ．放开摆球后，摆球在重力和线的拉力作用下做振动；C ．只要满足单摆的条件（指A 所列条件），其振动就是简谐运动；D ．单摆的振动跟弹簧振子的振动不同，它是沿一段圆弧的往复运动。

4、一个单摆的振动周期是2s ，求下列作简谐运动情况下单摆的周期⑴摆长缩短为原来的1/4时，单摆周期为_______s 。

⑵摆锤的质量减为原来的1/4时，单摆的周期等于_______s 。

⑶振幅减为原来1/4时，单摆的周期等于_______s 。

5、当摆角很小时，单摆的振动可以看做是简谐运动，此时单摆的回复力是（ ）A ．摆线的拉力与摆球重力的合力；B ．摆线的拉力与摆球重力沿圆弧的切向分力的合力；C ．摆线的拉力与摆球重力及做圆周运动的向心力的合力；D ．摆球重力沿圆弧的切向分力。

6、一单摆从甲地移到乙地，振动变快了，其原因及校准方法正确的是（ ）A ．甲地的重力加速度大于乙地的重力加速度，将摆长适当缩短；B ．甲地的重力加速度大于乙地的重力加速度，将摆长适当增长；C ．甲地的重力加速度小于乙地的重力加速度，将摆长适当缩短；D ．甲地的重力加速度小于乙地的重力加速度，将摆长适当增长。