高中物理选修3-4单摆课后练习题复习题

高考物理第12章第3讲探究单摆的运动用单摆测定重力加速课后限时作业新人教版选修34一、选择题(每小题6分，共12分)1．对于用单摆测定重力加速度的实验，下列说法中正确的是( )A．摆长应为摆线长加上小球直径B．小球应在同一竖直平面内振动，摆角不大于10°C．计时起点应选小球通过平衡位置时D．用秒表测30～50次全振动的时间，计算出平均周期【解析】摆长应为摆线长加小球的半径，故A错．单摆只在小球面一平面内振动，且摆角不大于10°时，小球才做简谐运动，B正确．从平衡位置计时，且多测几次取平均值测量的周期误差较小，故C、D正确．【答案】B、C、D2．在用单摆测重力加速度的实验中，实际上要改变摆长多次测量，求g的平均值．下表是甲、乙两个同学设计的记录计算表，你认为正确的是( )次数1234平均值LT－G＝次数1234平均值L－T－g－A．只能是甲B．只能是乙C．甲、乙均可 D．甲、乙均不可【解析】在做一次实验时，必须保持摆长不变，而把几次实验中不同摆的摆长取平均没有意义．同样，几次实验中摆长不同时，其摆动周期不同，利用几次的周期取平均值也没有意义，故图表中只能取乙，即B正确．【答案】 B二、非选择题(共48分)3．(8分)在“用单摆测定重力加速度”的实验中，选用的器材有：________.(只填序号)A．带夹子的铁架台 B．带小孔的实心木球C．带小孔的实心钢球 D．秒表E．长约1 m的细线 F．长约10 cm的细线G．毫米刻度的米尺 H．游标卡尺I．螺旋测微器 J．天平【解析】单摆振动时，要求空气阻力远小于摆球的重力．这样，在摆球外形一样大小时，摆球密度越大，越是符合这种要求，故选用小钢球而不选木球．又因要求单摆接近理想模型即用无质量不可伸缩的线拴一质点，所以线的长度应远大于摆球直径，故选长1 m的而不用长0.1 m的细线．【答案】A、C、D、E、G、H4．(9分)某同学在做“用单摆测重力加速度”的实验中，先测得摆线长为97.50 cm，摆球直径2.00 cm，然后用秒表记录了单摆振动50次所用的时间，如图所示，则(1)该摆摆长为______ cm，秒表读数为______ s.(2)如果测得的g值偏小，可能的原因是( )A．测摆线时摆线拉得过紧B．摆线上端悬点未固定，振动中出现松动，使摆线长度增加了C．开始计时时，停表过迟按下D．实验时误将49次全振动数为50次【解析】本题要求真正掌握摆长的概念，能应用秒表读数，会应用公式g＝4π2l/T2分析造成实验误差的原因．由摆长应等于摆线长与摆球半径之和得：97.50 cm＋1.00 cm＝98.50 cm，秒表读数t总＝90 s＋9.8 s＝99.8 s.由公式g＝4π2l/T2可知：A项是使l变大，测得g值偏大；B项导致周期T偏大，使g 值偏小；C、D项导致周期T偏小，使g值偏大．【答案】(1)98.50 99.8 (2)B5．(16分)单摆测定重力加速度的实验中：(1)实验时用20分度的游标卡尺测量摆球直径，示数如图甲所示，该摆球的直径d＝________mm.(2)接着测量了摆线的长度为l0，实验时用拉力传感器测得摆线的拉力F随时间t变化的图象如图乙所示，则重力加速度的表达式g＝________(用题目中的物理量表示)．(3)某小组改变摆线长度l0，测量了多组数据．在进行数据处理时，甲同学把摆线长l0作为摆长，直接利用公式求出各组重力加速度值再求出平均值；乙同学作出T2l0图象后求出斜率，然后算出重力加速度．两同学处理数据的方法对结果的影响是：甲______，乙______．(填“偏大”、“偏小”或“无影响”)6．(15分)下面是“用单摆测定重力加速度”实验中获得的有关数据：摆长l/m0.50.60.8 1.1周期T2/s2 2.2 2.5 3.2 4.5(1)利用上述数据在坐标图中描出l-T2图象．(2)利用图象，取T2＝0.1×4π2＝3.95 s2.求出重力加速度．。

基础夯实
1．下列关于单摆的说法，正确的是()
A．单摆摆球从平衡位置运动到正向最大位移处时的位移为A(A 为振幅)，从正向最大位移处运动到平衡位置时的位移为－A B．单摆摆球的回复力等于摆球所受的合外力
C．单摆摆球的回复力是摆球重力沿圆弧切线方向的分力
D．单摆摆球经过平衡位置时加速度为零
答案：C
解析：简谐运动中的位移是以平衡位置作为起点，摆球在正向最大位移处时位移为A，在平衡位置时位移应为零，摆球的回复力由合外力沿圆弧切线方向的分力(等于重力沿圆弧切线方向的分力)提供，合外力在摆线方向的分力提供向心力，摆球经最低点(振动的平衡位置)时回复力为零，但向心力不为零，所以合外力不为零，(摆球到最高点时，向心力为零，回复力最大，合外力也不为零)。

2．在月球上周期相等的弹簧振子和单摆，把它们放到地球上后，弹簧振子的周期为T1，单摆的周期为T2，则T1和T2的关系为() A．T1>T2B．T1＝T2
C．T1<T2D．无法确定
答案：A
解析：由T＝2πl
g，L不变g变大，所以周期变小。

单摆1. 单摆（1）如果悬挂小球的细线质量与小球相比可以忽略，球的直径与线的长度相比也可以忽略，这样的装置就叫做单摆．（2）在摆角很小的情况下，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总是指向平衡位置，可将单摆的运动视为简谐运动． （3）周期公式 ①2lT gπ=，其中摆长l 指悬点到小球重心的距离，重力加速度为单摆所在处的测量值． ②单摆的等时性：在振幅很小的条件下，单摆的振动周期跟振幅和小球的质量无关． ③周期公式中，g 与单摆所处的物理环境有关： 不同星球表面，2GMg R =； 单摆处于超重或失重状态时，g 为等效重力加速度0g g a =±，例如：轨道上运行的卫星中，单摆处于完全失重状态，0a g =，此时，单摆不摆动. （4）摆钟快慢问题的分析方法摆钟快慢不同是由摆钟的周期变化引起的，若摆钟周期T 大于标准钟的周期0T ，则为慢钟，若摆钟周期T 小于标准钟的周期0T ，则为快钟，分析时注意：①由摆钟的机械构造所决定，无论准确与否，钟摆每完成一次全振动，摆钟所显示的时间为一个 定值T .②因钟面显示的时间总等于摆动次数乘以摆钟的周期T ,即t N T =⋅显,所以在同一时间t 内，钟面指示的时间之比等于摆动次数之比．2. 简谐运动的位移-时间图象（1）简谐运动的图象反映了振子的位移随时间变化的规律，是一条正弦或余弦曲线．要注意简谐运动的图象不是质点的运动轨迹． （2）读图①可读出振幅、周期；②确定任一时刻物体的位移，或由位移确定对应的时刻；③可以判断任一时刻物体加速度的方向（总指向平衡位置）和速度方向； ④可以判断一段时间内物体运动的位移、回复力、速度、加速度、动能和势能的变化情况；⑤可以看出，简谐运动具有对称性，同一段路程的往返时间相等，相邻两次经过同一位置时的速度等大反向．类型一：单摆的周期例1．图中两单摆摆长相同，平衡时两单摆刚好接触．现将摆球A 在两摆线所在平面内向左拉开一小角度后释放，碰撞后，两摆球分开各自做简谐运动．以m A 、m B 分别表示摆球A 、B 的质量，则A ．如果m A ＞mB ，下一次碰撞将发生在平衡位置右侧 B ．如果m A ＜m B ，下一次碰撞将发生在平衡位置左侧C ．无论两摆球的质量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置右侧D ．无论两摆球的质量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置左侧解析：碰后两球均做简谐运动，其周期相同，与球的质量无关，下次碰撞一定还在平衡位置． 答案：CD类型二:单摆的周期及能量问题例2. 细长轻绳下端拴一小球构成单摆，在悬挂点正下方2l摆长处有一个能挡住摆线的钉子A ，如图所示．现将单摆向左拉开一个小角度，然后无初速地释放．对于以后的运动，下列说法中正确的是 A ．摆球往返运动一次的周期比无钉子时的单摆周期小B ．摆球在左、右两侧上升的最大高度一样C ．摆球在平衡位置左右两侧走过的最大弧长相等D ．摆线在平衡位置右侧的最大摆角是左侧的两倍解析： 碰到钉子后，摆长变短，周期变小．由机械能守恒，左、右两侧最高点在同一水平面上．摆球做圆周运动，两次圆心分别为悬点和钉子，如下图：θ＝2∠O ′OP ，但∠O ′OP ＜∠O ′OP ′，又s ＝r ·α，r ′＝2r，α′＝θ，α＝∠O ′OP ′，故α′＜2α，故s ′＜s ．答案：AB类型三：等效问题例3．如图所示，小球在光滑圆槽内做简谐运动，为了使小球的振动周期变为原来的2倍，可采用的方法是A ．将小球质量减为原来的一半B ．将其振幅变为原来的2倍C ．将圆槽从地面移到距地面为1倍地球半径的高空D ．将圆槽半径增为原来的2倍解析：小球的周期T＝2πgR/，其中重力加速度g＝GM/r2，ｒ为球距地心的距离．答案：C类型四：用单摆测定重力加速度例4．（2015 朝阳期末）在“用单摆测定重力加速度”的实验中，（1）以下关于本实验的措施中正确的是（选填下列选项前的序号）A．摆角应尽量大些B．摆线应适当长些C．摆球应选择密度较大的实心金属小球D．用停表测量周期时，应取摆球摆至最高点时开始计时（2）某同学用秒表记录了单摆振动50次所用的时间如图1所示，秒表读数为 s．（3）若该同学测量了5种不同摆长与单摆振动周期的对应情况，并将记录的结果描绘在如图2所示的坐标中，图中个坐标点的标号分别对应实验种5种不同摆长的情况．在处理数据时，该同学实验中的第组数据点应当舍弃．请你在图2中画出T2﹣l图线；（4）该同学求重力加速度时，他首先求出了（3）中T2﹣l图线的斜率k，则利用率k求重力加速度的表达式为g= ．解析：（1）A、摆角过大，就不能再视为简谐运动；故摆角不能太大；故A错误；B、实验中，摆线的长度应远远大于摆球的直径．故A正确．C、减小空气阻力的影响，选择密度较大的实心金属小球作为摆球．故C正确．D、用停表测量周期时，应从球到达平衡位置开始计时，这样误差小一些；故D错误；．故选：BC；（2）根据秒表的读数方法可知，小表盘表针超过了半刻线，故：t=60s+40.6s=100.6s；故其读数为：100.6s；（3）用直线将种点拟合可知，第4点离直一较远，应舍去；（4）根据单摆的周期公式T=，则，则图线的斜率k=，解得g=．答案：（1）BC，（2）100.6；（3）4；如图所示；（4）基础演练1．下列关于单摆的说法，正确的是( )A．单摆摆球从平衡位置运动到正向最大位移处时的位移为A(A为振幅)，从正向最大位移处运动到平衡位置时的位移为－AB．单摆摆球的回复力等于摆球所受的合外力C．单摆摆球的回复力是摆球重力沿圆弧切线方向的分力D．单摆摆球经过平衡位置时加速度为零答案：C2．在月球上周期相等的弹簧振子和单摆，把它们放到地球上后，弹簧振子的周期为T1，单摆的周期为T2，则T1和T2的关系为( )A．T1>T2B．T1＝T2C．T1<T2D．无法确定答案：A3．将秒摆的周期变为4s，下面哪些措施是正确的( )A．只将摆球质量变为原来的1/4B．只将振幅变为原来的2倍C．只将摆长变为原来的4倍D．只将摆长变为原来的16倍答案：C4．一个单摆的摆球运动到最大位移时，正好遇到空中竖直下落的雨滴，雨滴均匀附着在摆球的表面，下列说法正确的是( )A．摆球经过平衡位置时速度要增大，周期也增大，振幅也增大B ．摆球经过平衡位置时速度没有变化，周期减小，振幅也减小[高考资源网]C ．摆球经过平衡位置时速度没有变化，周期也不变，振幅要增大D ．摆球经过平衡位置时速度要增大，周期不变，振幅要增大 答案：D5．某同学在做“用单摆测定重力加速度”的实验。

【成才之路12015-2016高中物理 第11章第4节 单摆同步练习 新人教版选修3-4基础夯实-、选择题（单选题）1•在如图所示的装置中，nJ 视为单摆的是（）细橡"皮筋 0 B 答案：A定，故D 错。

2. 在月球上周期相等的弹簧振子和单摆，把它们放到地球上后，弹鹫振子的周期为7\, 单摆的周期为T2,则7；和£的关系为（）A. TOT 2B. Tx=TzC. T\5D.无法确定 答案：A解析：T'=2JI ^|, /不变g 变大，所以周期变小。

3. 置于水平面的支架上吊着一只装满细沙的小漏斗，讣漏斗左右摆动，于是桌面上漏 下许多沙了，一段时间后桌面上形成一沙堆，沙堆的纵剖面在下图中最接近的是（） 答案：C解析：单摆在平衡位置的速度大，漏下的沙子少，越接近两端点速度越小，漏下的沙子 越多，故C 选项符合题意。

4. 将秒摆的周期变为4s,卜•面哪些措施是正确的（）A.只将摆球质最变为原来的1/4 B.只将振幅变为原来的2倍C.只将摆长变为原来的4倍D.只将摆长变为原来的16借 答案:C ”细线 6A "细线6 D解析：单摆的悬线要求无弹性, 直径小IL 质量可忽略, 故A 对，B 、C 错；悬点必须固C解析：单摆的周期与摆球的质量和振幅均无关，A. B均错；对秒摆，7J=2JI5. （诸城一中2014〜2015学年高二下学期期末）图⑴是利用砂摆演示简谐运动图象的 装置。

当盛砂的漏斗下血的薄木板被水平匀速拉出时，做简谐运动的漏斗漏出的砂在板上形 成的曲线显示出砂摆的振动位移随吋间变化的关系。

第一次以速度旳匀速拉动木板，图（2）给出了砂摆振动的图线；第二次仅使砂摆的振幅减半，再以速度血匀速拉动木板，图（3）给由此可知，砂摆两次振动的周期7；和兀以及拉动木板的速度旳和灼的关系是（）对应速度：得 图⑶对应的速度…2喘,则汗 故选D 。

二、非选择题6. _______________ （河北衡水中学2013〜2014学年高二下学期一调）在做“用单摆测定重力加速度”的 实验时，若摆球在垂直纸面的平而内摆动，为了将人工记录振动次数改为口动记录振动次数, 在摆球运动最低点的左、右两侧分别放置一激光光源与光敏电阻，如图叩所示。

单摆[随堂检测]1．某单摆在摆动过程中由于阻力作用，机械能逐渐减小，如此单摆振动的( )A．频率不变，振幅不变B．频率改变，振幅不变C．频率不变，振幅改变D．频率改变，振幅改变解析：选C.单摆振动的能量与振幅有关，故当机械能减小时，振幅减小；单摆的频率只与摆长和重力加速度有关，与振幅无关，故频率不变；应当选C.2．关于单摆摆球在运动过程中的受力，如下结论正确的答案是( )A．摆球受重力、摆线的张力、回复力、向心力作用B．摆球的回复力最大时，向心力为零；回复力为零时，向心力最大C．摆球的回复力最大时，摆线中的张力大小比摆球的重力大D．摆球的向心力最大时，摆球的加速度方向沿摆球的运动方向答案：B3．有一个正在摆动的秒摆(周期为2 s)，在t＝0时正通过平衡位置向右运动，当t＝1.7 s 时，摆球的运动是( )A．正向左做减速运动，加速度大小在增加B．正向左做加速运动，加速度大小在减少C．正向右做减速运动，加速度大小在增加D．正向右做加速运动，加速度大小在减少解析：选D.由题，单摆的周期是2 s，一个周期分成四个1/4周期，从单摆向右运动通过平衡位置时开始计时，如此在t＝1.7秒时，单摆是由最大位移处向平衡位置向右运动，所以速度向右在增加，加速度在减小．故A、B、C错误，D正确．4．某同学用单摆测当地的重力加速度．他测出了摆线长度L和摆动周期T，如图(a)所示．通过改变悬线长度L，测出对应的摆动周期T，获得多组T与L，再以T2为纵轴、L为横轴画出函数关系图象如图(b)所示．由此种方法得到的重力加速度值与测实际摆长得到的重力加速度值相比会( )A．偏大B．偏小C．一样D．都有可能解析：选C.根据单摆的周期公式：T＝2πL＋rg得：T2＝4π2gL＋4π2gr，T2与L图象的斜率k＝4π2g，横轴截距等于球的半径r.故g＝4π2k，根据以上推导，如果L是实际摆长，图线将通过原点，而斜率仍不变，重力加速度不变，故对g的计算没有影响，一样，故A、B、D错误，C正确．5．如下列图为同一地点的两单摆甲、乙的振动图象，如下说法中不正确的答案是( )A．甲、乙两单摆的摆长相等B．甲单摆的振幅比乙的大C．甲单摆的机械能比乙的大D．在t＝0.5 s时有正向最大加速度的是乙单摆解析：选C.振幅可从题图上看出，甲单摆振幅大，两单摆周期相等，如此摆长相等，因两摆球质量关系不明确，故无法比拟机械能．t＝0.5 s时乙单摆摆球在负的最大位移处，故有正向最大加速度．[课时作业] [学生用书P91(单独成册)]一、单项选择题1．把在调准的摆钟，由移到赤道上时，摆钟的振动( )A．变慢了，要使它恢复准确，应增加摆长B．变慢了，要使它恢复准确，应缩短摆长C．变快了，要使它恢复准确，应增加摆长D．变快了，要使它恢复准确，应缩短摆长解析：选B.把标准摆钟从移到赤道上，重力加速度g变小，如此周期T＝2πlg>T0，摆钟显示的时间小于实际时间，因此变慢了．要使它恢复准确，应缩短摆长，B正确．2．将秒摆(周期为2 s)的周期变为4 s，下面哪些措施是正确的( )A ．只将摆球质量变为原来的14B ．只将振幅变为原来的2倍C ．只将摆长变为原来的4倍D ．只将摆长变为原来的16倍 解析：选C.由T ＝2πlg可知，单摆的周期与摆球的质量和振幅均无关，A 、B 均错误；对秒摆，T 0＝2πl 0g＝2 s ，对周期为4 s 的单摆，T ＝2πlg＝4 s ，l ＝4l 0，故C 正确，D 错误．3．做简谐振动的单摆摆长不变，假设摆球质量增加为原来的4倍，摆球经过平衡位置时速度减小为原来的12，如此单摆振动的( )A ．频率、振幅都不变B ．频率、振幅都改变C ．频率不变、振幅改变D ．频率改变、振幅不变解析：选C.由单摆周期公式 T ＝2πlg知周期只与l 、g 有关，与m 和v 无关，周期不变，频率不变．没改变质量前，设单摆最低点与最高点高度差为h ，最低点速度为v ，如此有：mgh＝12mv 2，质量改变后：4mgh ′＝12·4m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫v 22，可知h ′≠h ，振幅改变，应当选C.4．单摆a 完成10次全振动的时间内，单摆b 完成6次全振动，两摆长之差为1.6 m ，如此两单摆长l a 与l b 分别为( ) A ．l a ＝2.5 m ，l b ＝0.9 m B ．l a ＝0.9 m ，l b ＝2.5 m C ．l a ＝2.4 m ，l b ＝4.0 m D ．l a ＝4.0 m ，l b ＝2.4 m 答案：B 二、多项选择题5．在做“用单摆测定重力加速度〞的实验中，有人提出以下几点建议，其中对提高测量结果准确度有利的是( ) A ．适当加长摆线B ．质量一样、体积不同的摆球，应选用体积较大的C．单摆偏离平衡位置的角度不能太大D．当单摆经过平衡位置时开始计时，经过一次全振动后停止计时，用此时间间隔作为单摆振动的周期解析：选AC.适当加长摆线有利于测量摆长，使相对误差减小，另外有利于控制摆角不易过大，因此选项A正确；质量一样、体积不同的摆球，应选用体积较小的，以减小摆动过程中空气阻力的影响，选项B错误；单摆偏离平衡位置的角度不能太大，因为假设偏角太大，单摆的运动就不是简谐运动，选项C正确；经过一次全振动后停止计时，所测时间偶然误差过大，应测量屡次全振动的时间再求平均值，以减小偶然误差，选项D错误．6．通过DIS实验系统和力传感器可以测量单摆摆动时悬线上的拉力的大小随时间变化的情况．某次实验结果如下列图，由此曲线可知( )A．t＝0.2 s时摆球正经过最低点B．摆球摆动过程中机械能守恒C．摆球摆动的周期是T＝0.6 sD．单摆的摆长约为0.36 m解析：选AD.当悬线的拉力最大时，摆球通过最低点，由图读出t＝0.2 s时摆球正通过最低点．故A正确．摆球经过最低点时悬线的拉力随时间在减小，说明存在空气阻力，摆球机械能不断减小．故B错误．由图读出：摆球从最低点到最高点的时间为0.3 s，如此摆球的摆动周期大约为1.2 s．故C错误．根据T＝2πLg可求得摆长约为0.36 m，选项D正确．三、非选择题7．某同学想在家里做“用单摆测定重力加速度〞的实验，但没有适宜的摆球，他找到了一块大小约为3 cm、外形不规如此的大理石代替小球．他设计的实验步骤如下：A ．将石块和细尼龙线系好，结点为M ，将尼龙线的上端固定于O 点，如下列图；B ．用刻度尺测量OM 间尼龙线的长度l 作为摆长；C ．将石块拉开一个大约α＝5°的角度，然后由静止释放；D ．从摆球摆到最高点时开始计时，测出30次全振动的总时间t ，由T ＝t30得出周期；E ．改变OM 间尼龙线的长度再做几次实验，记下每次相应的l 和T ；F ．求出屡次实验中测得的l 和T 的平均值，作为计算时用的数据，代入公式g ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2l ，求出重力加速度g .(1)该同学以上实验步骤中有重大错误，请指出并改正为_______________________________ ________________________________________________________________________. (2)该同学用OM 的长作为摆长，这样做引起的系统误差将使重力加速度的测量值比真实值________(选填“偏大〞或“偏小〞)．(3)为解决摆长无法准确测量的困难，可采用图象法，以T 2为纵轴，以l 为横轴，作出屡次测量得到的T 2－l 图线，求出图线斜率k ，进而求得g ＝________(用k 表示)．k 值不受悬点不确定因素的影响，因此可以解决摆长无法准确测量的困难． 解析：(1)实验步骤中有错误的答案是B ：用刻度尺测量石块重心到悬挂点间的距离才是摆长． D ：应在摆球经过平衡位置时计时．F ：应该用各组的l 、T 求出各组的g 后，再取平均值． (2)由单摆的周期公式T ＝2πl g 得：g ＝4π2lT2.可知，该同学用OM 的长作为摆长，摆长偏小，由此式可知，g 的测量值偏小． (3)画出T 2－l 图线，由T 2＝4π2gl 可知，图象的斜率k ＝4π2g ，即g ＝4π2k，解决了摆长无法准确测量的困难．答案：(1)见解析 (2)偏小 (3)4π2k8．如下列图，甲是一个单摆振动的情形，O 是它的平衡位置，B 、C 是摆球所能到达的最远位置．设摆球向右方向运动为正方向．图乙是这个单摆的振动图象．根据图象回答：(1)单摆振动的频率是多大？ (2)开始时刻摆球在何位置？(3)假设当地的重力加速度为9.86 m/s 2，试求这个摆的摆长是多少？ 解析：(1)由单摆振动图象得：T ＝0.8 s ， 故：f ＝1T＝1.25 Hz.(2)开始时刻摆球在负方向最大位移处，故开始时刻摆球在B 点． (3)根据公式：T ＝2πL g得：L ＝gT 24π2＝9.86×0.824×3.142 m ≈0.16 m.答案：(1)1.25 Hz (2)开始时刻摆球在B 点 (3)0.16 m9．简谐运动的条件是“质点所受回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总是指向平衡位置，即F ＝－kx 〞．如图，圆弧面上的小球(可看做质点)左右振动，振动幅度较小．小方同学测得圆弧半径R ＝1.2 m ，小球某次经过圆弧最低点时开始计时，并数“1〞，然后小球每经过一次最低点就依次数“2、3、4…〞，当数到“31〞时停止计时，发现用时33秒．(1)请论证小球在振动幅度较小时，是简谐运动；(2)根据题中条件，利用所学知识计算当地的重力加速度(π2取9.8，结果保存2位有效数字)．解析：利用在角度很小时sin θ＝x R，证明小球的回复力表达式满足F 回＝－kx 形式，类比单摆周期公式，求解重力加速度表达式计算 (1)回复力F 回＝mg sin θ 在角度很小时sin θ＝x R如此F 回＝mg sin θ＝mg x R ＝mg Rx ＝kx由于回复力与位移方向相反，所以F 回＝－kx ，所以是简谐运动． (2)由单摆周期公式T ＝2πL g小球的运动与单摆类似，如此有T 2＝4π2R g ，得g ＝4π2R T2，T ＝2.2 s ，解得g ≈9.7 m/s 2.答案：(1)见解析 (2)9.7 m/s 2。

课后训练1．一单摆在空气中振动，振幅逐渐减小，下列说法正确的是（）A．机械能逐渐转化为其他形式的能B．后一时刻的动能一定小于前一时刻的动能C．后一时刻的势能一定小于前一时刻的势能D．后一时刻的机械能一定小于前一时刻的机械能2．在实验室可以做“声波碎杯”的实验。

用手指轻弹一只酒杯，可以听到清脆的声音，测得这声音的频率为500 Hz。

将这只酒杯放在两个大功率的声波发生器之间，操作人员通过调整其发出的声波，就能使酒杯碎掉（如图所示）。

下列说法中正确的是（）A．操作人员一定是把声波发生器的功率调到很大B．操作人员可能是使声波发生器发出了频率很高的超声波C．操作人员一定是同时增大了声波发生器发出声波的频率和功率D．操作人员只需将声波发生器发出的声波频率调到500 Hz3．将一个电动传感器接到计算机上，就可以测量快速变化的力，用这种方法测得的某单摆摆动时悬线上拉力的大小随时间变化的曲线如图所示。

某同学由此图象提供的信息作出的下列判断中，正确的是（）A．t＝0.2 s时摆球正经过最低点B．t＝1.1 s时摆球正经过最低点C．摆球摆动过程中机械能减小D．摆球摆动的周期是T＝1.4 s4．如图所示，物体静止于水平面上的O点，这时弹簧恰为原长l0，物体的质量为m，与水平面间的动摩擦因数为μ，现将物体向右拉一段距离后自由释放，使之沿水平面振动，下列结论正确的是（）A．物体通过O点时所受的合外力为零B．物体将做阻尼振动C．物体最终只能停止在O点D．物体停止运动后所受的摩擦力为μmg5．如图所示，A球振动后，通过水平细绳迫使B、C振动，下列说法中，正确的是（）A．只有A球、C球振动周期相等B．C球的振幅比B球小C．C球的振幅比B球大D．A球、B球、C球的振动周期相等6．下表表示某受迫振动的振幅随驱动力频率变化的关系，若该A固B．60 Hz＜f固＜70 HzC．50 Hz＜f固＜60 HzD．以上选项都不对7．（1）蜘蛛虽有8只眼睛，但视力很差，完全靠感觉来捕食和生活，它的腿能敏捷地感觉到丝网的振动，当丝网的振动频率为f＝200 Hz左右时，网的振幅最大，对于落在网上的昆虫，当翅膀振动的频率为________Hz左右时，蜘蛛感到丝网的振动最剧烈。

单摆同步练习A1.如右图所示，光滑轨道的半径为２ｍ，C点为圆心正下方的点，A、B两点与C点相距分别为６ｃｍ与２ｃｍ，ａ、ｂ两小球分别从A、B两点由静止同时放开，则两小球相碰的位置是_______.A.C点B.C点右侧C.C点左侧D.不能确定2.用空心铁球内部装满水做摆球，若球正下方有一小孔，水不断从孔中流出，从球内装满水到水流完为止的过程中，其振动周期的大小是______.A.不变B.变大C.先变大后变小再回到原值D.先变小后变大再回到原值3.一单摆的摆长为４０ｃｍ，摆球在ｔ＝０时刻正从平衡位置向右运动，若ｇ取１０ｍ／ｓ2，则在１ｓ时摆球的运动情况是_______.A.正向左做减速运动，加速度正在增大B.正向左做加速运动，加速度正在减小C.正向右做减速运动，加速度正在增大D.正向右做加速运动，加速度正在减小4.一个摆钟从甲地拿到乙地，它的钟摆摆动加快了，则下列对此现象的分析及调准方法的叙述中正确的是_______.A.ｇ甲＞ｇ乙，将摆长适当增长B.ｇ甲＞ｇ乙，将摆长适当缩短C.ｇ甲＜ｇ乙，将摆长适当增长D.ｇ甲＜ｇ乙，将摆长适当缩短5.一个单摆挂在电梯内，发现单摆的周期增大为原来的2倍，可见电梯在做加速运动，加速度ａ为_______.A.方向向上，大小为ｇ／２B.方向向上，大小为３ｇ／４C.方向向下，大小为ｇ／４D.方向向下，大小为3/4ｇ6.将单摆摆球拉到悬点后由静止释放，到摆线伸直的时间为ｔ1，将摆球拉开使摆线与竖直方向的夹角为３°，从静止放开摆球回到平衡位置的时间为ｔ2，则ｔ1∶ｔ＝______.27.如图为一双线摆，二摆线长均为ｌ，悬点在同一水平面上，使摆球A在垂直于纸面的方向上振动，当A球从平衡位置通过的同时，小球B在A 球的正上方由静止放开，小球A、B刚好正碰，则小球B距小球A的平衡位置的最小距离等于_________.参考答案：１.Ａ ２.Ｃ ３.Ｄ ４.Ｃ ５.Ｄ ６.２2∶π７.22πｌin 2αB1.关于单摆，下列说法正确的是A.摆球受到的回复力的方向总是指向摆球的平衡位置B.摆球受到的回复力是重力和绳子拉力的合力C.在摆角很小的情况下，摆球所受的合力的大小跟摆球对平衡位置的位移大小成正比D.摆球经过平衡位置时，所受合力为零2.如图：两个单摆A 和B 的摆长ＬA ＞ＬB ，将它们都拉离竖直方向一个很小的角度θ然后释放，那么这两个摆球到达最低点时的速度ｖ的大小和经历时间ｔ的多少应满足________.A.ｖA ＞ｖB ，ｔA ＞ｔBB.ｖA ＞ｖB ，ｔA ＜ｔBC.ｖA ＜ｖB ，ｔA ＜ｔBD.ｖA ＜ｖB ，ｔA ＞ｔB3.摆长为L ，摆球质量为ｍ的单摆，以摆角θ（θ＜１０°）摆动，它从最大位移处摆到平衡位置的过程中，下面说法正确的是________.A.重力的冲量为πｍ2gLB.重力做的功为mgL cos θC.合外力的冲量为)cos 1(2θ-gLD.合外力的冲量为零4.同一地点的甲、乙两单摆的振动图象如图所示，下列说法中错误的是.A.甲乙两单摆的摆长相等B.甲摆的机械能比乙摆小C.甲摆的最大速率比乙摆小D.在41周期时振子具有正向加速度的是乙摆5.升降机中装着一只单摆，当升降机匀速运动时，单摆的周期为T ，现升降机做变速运动，设加速度的绝对值小于ｇ，则________. A.升降机向上匀加速运动时，单摆的振动周期大于T B.升降机向上匀加速运动时，单摆的振动周期小于TC.升降机向下匀加速运动时，单摆振动周期大于TD.升降机向下匀加速运动时，单摆振动周期小于T6.在相同的时间内，单摆A 摆动了6次，单摆B 摆动了8次，若两摆摆长相差14 cm ，那么A 摆摆长为________ｃｍ，B 摆摆长为_________ｃｍ.7.有一单摆，摆长为L ，周期为T ，若在悬点正下方距悬点距离为2L处和43Ｌ处的A 、B 两点分别固定一个光滑的圆钉，A 钉在绳左侧，B 钉在绳右侧，并使摆做振幅很小的振动，则周期将变为________Ｔ.8.下列单摆的周期相对于在地面上的固有周期变大的是_______.A.加速向上的电梯中的单摆B.在匀速水平方向前进的列车中的单摆C.减速上升的电梯中的单摆D.在匀速向上运动的电梯中的单摆9.一个单摆在地面上的周期为T ，当将此摆放到离地面某一高度的地方时，周期变为３Ｔ，则此高度为地球半径的________.A.2倍B.3倍C.8倍D.9倍10.一绳长为L 的单摆，在悬点正下方(L —Ｌ′)处的P 处有一个钉子，如图所示，这个摆的周期是________.A.Ｔ＝２πg LB.Ｔ＝２πg L 'C.Ｔ＝２π（g L +g L '）D.Ｔ＝π（g L+g L '）11.若单摆的摆长不变，摆球的质量增加为原来的4倍，摆球经过平衡位置时的速度减小为原来的21，则单摆摆动的_______.A.频率不变，振幅不变B.频率不变，振幅改变C.频率改变，振幅改变D.频率改变，振幅不变参考答案：1.Ａ２.Ａ３.Ｃ４.ＢＣ５.ＢＣ６.３２；１８７.421 ８.Ｃ９.Ａ１０.Ｄ１１.Ｂ。

高中物理学习材料 （精心收集**整理制作）第5节 学生实验：用单摆测定重力加速度1．单摆的周期公式是__________，因此可求得重力加速度g ＝________________，因此，测出单摆的________和________________就可求出当地的重力加速度g .2．摆线长l .用__________测出悬线长度l ′，用________________测出小球直径d ，摆长l ＝l ′＋d2.3．实验时用________测出________次全振动的时间，求出平均值，即得周期．4．在测定重力加速度的实验中，某同学用一根细线和一均匀小球制成单摆，他已经测得此单摆20个周期的时间t ，从悬挂点到小球顶端的线长为l ，还需要测量的物理量为________．将g 用测得量表示，可得g ＝________.5．下列器材在用单摆测重力加速度的实验中用到的有( ) A ．天平 B ．米尺C ．游标卡尺D ．铁架台6．在用单摆测定重力加速度的实验中，为减小误差( ) A ．应选质量小的球做摆球B ．先使摆球摆动几次，从摆球经过平衡位置时开始计时C ．用停表测出30～50次全振动的时间，计算出平均周期D ．在测量摆线长度时，对安装好的单摆，要用力拉紧摆线后再测量概念规律练知识点一 实验原理1．在用单摆测重力加速度的实验中，单摆的摆角θ应______，从摆球经过________开始计时，测出n 次全振动的时间为t ，用米尺测出摆线长为L ，用游标卡尺测出摆球的直径为d .(1)用上述物理量的符号写出测重力加速度的一般表达式为g ＝__________. (2)实验中某同学发现他测出的重力加速度值总是偏大，其原因可能是( ) A ．实验室处在高山上，离海平面太高 B ．单摆所用的摆球太重C ．测出n 次全振动的时间为t ，误作为(n ＋1)次全振动的时间进行计算D ．以摆球直径和摆线之和作为摆长来计算2．用单摆测定重力加速度，根据的原理是( )A ．由g ＝4π2lT 2看出，T 一定时，g 与l 成正比B ．由g ＝4π2lT2看出，l 一定时，g 与T 2成反比C ．由于单摆的振动周期T 和摆长l 可用实验测定，利用g ＝4π2lT2可算出当地的重力加速度D ．同一地区单摆的周期不变，不同地区的重力加速度与周期的平方成反比 知识点二 实验步骤3．利用单摆测定重力加速度的实验步骤合理的顺序是：________. A ．求出一次全振动的平均时间 B ．测量摆长lC ．把单摆固定在铁夹上，使摆球自由下垂D ．反复做三次，算出周期的平均值E ．让单摆偏离平衡位置一个小角度，使其由静止开始摆动F ．用停表测量单摆完成30～50次全振动的时间G ．把测得的周期平均值和摆长数值代入周期公式中，计算出重力加速度的值 4．一位同学用单摆测定重力加速度的实验，他将摆挂起后，进行了如下步骤： A ．测摆长l ：用米尺量出摆线的长度B ．测周期T ：将摆球拉起，然后放开，在摆球某次通过最低点时，按下停表开始计时，同时将这一次通过最低点记作第一次，接着一直数到摆球第60次通过最低点时，按下停表停止计时，读出这段时间t ，算出单摆的周期T ＝t60C ．将所测得的l 和T 代入单摆的周期公式T ＝2π lg，算出g ，将它作为实验的最后结果写入报告中去指出上面步骤中遗漏或错误的地方，写出该步骤的字母，并加以改正．知识点三 误差分析5．某同学在做“利用用单摆测定重力加速度”的实验中，先测得摆线长为101.00 cm ，摆球直径为2.00 cm ，然后用停表记录了单摆振动50次所用的时间为101.5 s ．则(1)他测得的重力加速度g ＝________m/s 2. (2)他测得的g 的值偏小，可能的原因是( ) A ．测摆线长时摆线拉得过紧B ．摆线上端末牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了C ．开始计时，停表过迟按下D ．实验中误将49次全振动数记为50次6．有五组同学用单摆测定重力加速度，各组的实验器材和数据如下表所示，若各组同学实验操作水平相同，那么第________组同学测定的结果最准确，若该组同学根据自己测得的实验数据作出单摆的振动图像如图1所示，那么该同学测出的重力加速度大小是________m/s 2.图1组别 摆球材料 最大偏角摆长测全振动次数1 木 5° 0.40 m 10 2铝5°0.50 m203铜8°0.60 m304铁7°0.08 m405铅4°0.80 m50方法技巧练图像法处理实验数据7．某同学在做“用单摆测定重力加速度”的实验时，测量了5种不同摆长情况下单摆的振动周期，记录数据如下：摆长l/m0.500 00.800 00.900 0 1.000 0 1.200 0周期T/s 1.42 1.79 1.90 2.00 2.20T2/s2 2.02 3.20 3.61 4.00 4.84(1)以摆长为横坐标，周期的平方为纵坐标，根据以上数据在图2中画出T2－l的图线．图2(2)求出此图线的斜率．(3)由此图线求出重力加速度．8．在“利用单摆测定重力加速度”的实验中，由单摆做简谐运动的周期公式得到g＝4π2l T2.只要测出多组单摆的摆长l和运动周期T，作出T2－l图像，就可以求出当地的重力加速度．理论上T2－l图像是一条过坐标原点的直线，某同学根据实验数据作出的图像如图3所示．图3(1)造成图像不过坐标原点的原因可能是________________________________________________________________________．(2)由图像求出的重力加速度g＝________ m/s2.(取π2＝9.87)1．用单摆测定重力加速度的实验中，有如下器材供选用，请把应选用的器材填在横线上________．(填字母)A．1 m长的粗绳B．1 m长的细线C．半径为1 cm的小木球D．半径为1 cm的小铅球E．时钟F．停表G．最小刻度为mm的米尺H．最小刻度为cm的米尺I．铁架台J．附砝码的天平2．在“用单摆测定重力加速度”的实验中，同学们采用了以下几种测量摆长的不同方法，其中不妥或错误的方法是()A．装好单摆，用力拉紧摆线，用米尺测出摆线长度，然后加上摆球的半径B．让单摆自然下垂，用米尺测出摆线长度，然后加上摆球的半径C．将单摆取下并放在桌面上，用米尺测出摆线长度，然后加上摆球的半径D．让单摆自然下垂，用米尺直接测出摆线悬点到摆球球心的距离3．(1)某同学在探究影响单摆周期的因素时有如下操作，请你判断是否恰当(选填“是”或“否”)．①把单摆从平衡位置拉开约5°释放：________；②在摆球经过最低点时启动停表计时：________；图4③用停表记录摆球一次全振动的时间作为周期：________.(2)该同学改进测量方法后，得到的部分测量数据见下表．用螺旋测微器测量其中一个摆球直径的示数如图4所示，该球的直径为________mm.根据表中数据可以初步判断单摆周期随________的增大而增大.数据组摆长/mm摆球质量/g周期/s编号1999.332.2 2.02999.316.5 2.03799.232.2 1.84799.216.5 1.85501.132.2 1.46501.116.5 1.44.在做“用单摆测定重力加速度”的实验时，用摆长l和周期T计算重力加速度的公式是g ＝______，如果已知摆球直径为2.0 cm，让刻度尺的零点对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，如图5甲所示，那么单摆摆长是______．如果测定了40次全振动的时间如图乙中秒表所示，那么秒表读数是______s．单摆的振动周期是______s.图55．某同学做实验时，一时找不到摆球，就用重锤代替摆球，分别用不同的摆长做了两次实验，测摆长时只测了摆线长，其长度分别为l1和l2，并测出相应周期为T1和T2，用上述测量的数据正确计算出g值，那么他计算重力加速度的表达式应为g＝________.6．下面是用单摆测定重力加速度实验中获得的有关数据摆长l/m0.50.60.8 1.1周期T2/s2 2.2 2.5 3.2 4.5(1)利用上述数据在坐标图(图6)中描出l－T2图像．图6(2)利用图像，取T2＝0.1×4π2s2＝3.95 s2，求重力加速度．7．将一单摆装置竖直悬挂于某一深度为h(未知)且开口向下的小筒中(单摆的下部分露于筒外)，如图7甲所示，将悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放，设单摆摆动过程中悬线不会碰到筒壁，如果本实验的长度测量工具只能测量出筒的下端口到摆球球心的距离L，并通过改变L而测出对应的摆动周期T，再以T2为纵轴、L为横轴作出函数关系图像，那么就可以通过此图像得出小筒的深度h和当地的重力加速度g.图7(1)现有如下测量工具：A.时钟；B.秒表；C.天平；D.毫米刻度尺．本实验所需的测量工具有______．(2)如果实验中所得到的T2－l关系图像如图乙所示，那么真正的图像应该是a、b、c中的________．(3)由图像可知，小筒的深度h＝________ m；当地g＝________ m/s2.8．(1)在“探究单摆周期与摆长的关系”实验中，两位同学用游标卡尺测量小球的直径如图8甲、乙所示．测量方法正确的是________(选填“甲”或“乙”)．图8(2)实验时，若摆球在垂直纸面的平面内摆动，为了将人工记录振动次数改为自动记录振动次数，在摆球运动最低点的左、右两侧分别放置一激光光源与光敏电阻，如图9甲所示．光敏电阻与某一自动记录仪相连，该仪器显示的光敏电阻阻值R 随时间t 变化图线如图9乙所示，则该单摆的振动周期为________．若保持悬点到小球顶点的绳长不变，改用直径是原小球直径2倍的另一小球进行实验，则该单摆的周期将________(填“变大”、“不变”或“变小”)，图乙中的Δt 将________(填“变大”、“不变”或“变小”)．图9第5节 实验探究：用单摆测定重力加速度答案课前预习练 1．T ＝2πl g 4π2lT2 摆长 振动周期 2．刻度尺 游标卡尺3．停表 30～504．小球直径d 1 600π2(l ＋d2)t 25．BCD6．BC [摆球应选择质量大、体积小的小球，A 错．开始计时的起点应从平衡位置开始，此位置速度大，位置确定，误差小，B 对．应用多个周期的累加时间计算周期误差较小，C 对．测摆长时应使摆线自然下垂，不能拉紧，否则测得的摆长会变长，误差大，D 错．]课堂探究练1．小于5° 平衡位置 (1)4π2(L ＋d2)n 2t2(2)CD 解析 本题主要考查了实验的注意事项，公式的推导及对实验误差的分析，全面考查了学生的理解记忆能力对公式的推导及分析能力，根据单摆做简谐运动条件知θ<5°；因平衡位置易判断，且经平衡位置时速度大，用时少，误差小，故从摆球经过平衡位置开始计时．(1)根据T ＝2πl g又T ＝t n ，l ＝L ＋d 2得g ＝4π2(L ＋d 2)n 2t 2(2)由(1)知g 偏大的原因可能是T 偏小，l 偏大．2．C [g 是由所处的地理位置的情况来决定的与l 及T 无关，故只有C 正确．] 点评 要正确理解单摆周期公式T ＝2πlg中l 、g 的意义，l 为摆长，即由悬点到球心的距离；g 为当地的重力加速度，与l 、T 无关．3．CBEFADG4．A.要用游标卡尺量出摆球直径d ，摆长l 等于摆线长与d2之和．B ．T ＝t29.5.C ．g 应多测几次，然后取平均值作为实验的最后结果．解析 本题偏重实验操作中的注意事项．测摆长应测出摆球重心到悬点的距离．要用游标卡尺测摆球直径d ，摆长l 等于悬线长加d/2；测周期是关键，也是本题的难点、易错点．题中所述从第1次到第60次通过最低点，经历的时间是(60－1)/2＝29.5个周期，所以T ＝t/29.5；只测一次重力加速度就作为最终结果是不妥当的，应改变摆长，重做几次实验，取多次测得的重力加速度的平均值作为最终结果．点评 在实验过程中要针对自己的实际操作做出总结，用心思考，此类问题便可迎刃而解，不能死记硬背．5．(1)9.77 (2)B解析 (1)摆长l ＝1.010 0 m ＋0.020 02 m ＝1.020 0 m ．周期T ＝101.550s ＝2.03 s ．把l 、T 代入公式g ＝4π2T2l 得g ≈9.77 m/s 2.(2)由公式g ＝4π2T2l 得造成g 值偏小的原因可能是l 的测量值比实际实验值偏小，或者T 的测量值比实际实验值偏大，故选项B 正确．点评 在进行误差分析时，要紧扣公式g ＝4π2T 2l ，若g 比实际值偏小，则l 的测量值比实际值偏小或T 的测量值比实际值偏大；若g 比实际值偏大，则l 的测量值比实际值偏大或T 的测量值比实际值偏小．6．5 9.74解析 要使测得的重力加速度值更准确，则应尽量使摆长长一些，摆球应选择密度大一些的材料做的小球，记录周期时尽量多记几次，取平均值，以减小偶然误差．因此5组同学中的第5组测定的结果最准确．由表可读出，第5组同学所用摆长为l ＝0.80 m ，由题图可知，该单摆的周期T ＝1.80 s ，代入公式g ＝4π2T 2l 得：g ＝4×π2×0.801.802m/s 2≈9.74 m/s 2. 点评 要使测得的重力加速度值更准确，应尽量使实验摆接近理想化，即摆线弹性要小，摆长长一些，摆球的密度大一些，而且注意多测几次求平均值．7．见解析解析 (1)建立T 2－l 坐标系，根据表中数据选取适当标度，然后描点、作图，如图所示(2)由图线知，直线斜率k ＝4.03. (3)由周期公式T ＝2πl g 可得T 2＝4π2gl 因此直线斜率k ＝4π2g，即g ＝4π2k ＝4×(3.14)24.03 m/s 2≈9.79 m/s 2.方法总结 (1)由公式T ＝2πl g 推导出T 2与l 的关系式为T 2＝4π2g l ，由此知斜率为4π2g，求出图线的斜率进而就能计算出重力加速度g.(2)在做图像时，由于有测量误差，会使有的点不在一条直线上．可以让误差较大的点平均分布在直线两侧，这样做能更好的提高实验的准确性．8．(1)测摆长时漏掉了摆球的半径 (2)9.87解析 由图像知当l ＝0时，T 2≠0，由公式T 2＝4π2gl 真实知当l 真实＝0时，T 2＝0.故此同学做实验时，可能漏掉了摆球的半径；由图像知，当T 2＝4.0 s 2时，真实摆长l 真实＝1.00 m 代入公式g ＝4π2l 真实T2，得g ＝9.87 m/s 2. 方法总结 由公式T 2＝4π2g l ，l ＝l 摆线＋r 可得T 2＝4π2g (l 摆线＋r)＝4π2r g ＋4π2gl 摆线，由公式可知T 2与l 摆线为一次函数关系，截距是r 造成的．即若测摆长l 测时漏掉了半径，就会有一个正截距；同样如果测摆长l 测时是测的悬点到小球底部的长度，则l 真＝l 测－r 代入公式会得到T 2＝－4π2rg＋4π2g l 测即图像会有一个负截距． 课后巩固练1．BDFGI 解析 测摆长时是从悬点到球心的距离，若用粗绳，粗绳质量不能忽略，则摆长无法测定，故选 B.铅球密度大，摆动中阻力的影响相对小些．摆长的测定也相对准确，故选D.计时时，使用停表方便，故选F.测长度时，应准确到mm ，故选G.本实验中不需测质量，但必须将小球悬挂，故选I ，不选J.2．ACD [摆长为悬点到摆球球心的距离，即线长加上摆球的半径．A 项中由于摆线一般都有一定弹性，若拉紧则测得的摆长偏大，应在自然下垂情况下测摆长，所以B 项正确；C 项中取下单摆，则无法找到悬挂点，将给测量带来较大的误差；D 项中用米尺去测悬点到球心的距离会造成误差，球的直径应用游标卡尺单独测量．所以正确的做法为B 项，不妥或错误的为A 、C 、D 项．]3．(1)①是 ②是 ③否(2)20.685(20.683～20.687) 摆长解析 (1)①单摆在摆角不超过5°时可看做是简谐运动．②摆球经过最低点时速度最大，滞留的时间最短，计时误差最小．③为了减小测量周期时的误差，应测单摆完成30～50次全振动所用的时间来求出周期．(2)螺旋测微器上的固定刻度读数为20.5 mm ，可动部分的读数约为18.5，则测量结果为20.5 mm ＋18.5×0.01 mm ＝20.685 mm.分析表中数据可以看出，摆长不变时周期不变，摆长变短时周期变短．4.4π2lT 2 87.40 cm 75.2 1.88 解析 由单摆的周期公式T ＝2πl g 可知g ＝4π2lT2；因刻度尺的零点对准摆线的悬点，图甲球心对应刻度尺上的读数就是摆长，l ＝88.40－2.02＝87.40 cm ；图乙中秒表读数为(60＋15.2) s ＝75.2 s ；单摆周期T ＝75.240 s ＝1.88 s.5.4π2(l 1－l 2)T 21－T 22解析 设重锤的等效半径为r ，由单摆的周期公式T ＝2π l g ，得g ＝4π2lT2， 则g ＝4π2(l 1＋r )T 21①g ＝4π2(l 2＋r )T 22②由①②式解得g ＝4π2(l 1－l 2)T 21－T 22.6．(1)如图所示(2)9.48 m/s 2解析 (2)由图得斜率k ＝l T 2＝0.24，则重力加速度g ＝4π2lT 2＝4π2×0.24 m/s 2＝9.48 m/s 2.7．(1)BD (2)a (3)0.3 9.86解析 本实验主要考查用单摆测重力加速度的实验步骤、实验方法和数据处理方法．(1)测量筒的下端口到摆球球心之间的距离l要用到毫米刻度尺，测单摆的周期需要用秒表，所以测量工具选B、D.(2)设摆线在筒内部分的长度为h，由T＝2π l＋hg得，T2＝4π2g l＋4π2g h，可知T2－l关系图像为a.(3)将T2＝0，l＝－30 cm代入上式可得h＝30 cm＝0.3 m将T2＝1.20，l＝0代入上式可求得g＝π2≈9.86 m/s28．(1)乙(2)2t0变大变大解析(2)小球摆动到最低点时，挡光使得光敏电阻阻值增大，从t1时刻开始，再经两次挡光完成一个周期，故T＝2t0；摆长为摆线长加小球半径，当小球直径变大，则摆长增加，由周期公式T＝2π lg可知，周期变大；当小球直径变大，挡光时间增加，即Δt变大．。

单摆同步练习一、选择题1．把在北京调准的摆钟，由北京移到赤道上时，摆钟的振动（）A．变慢了，要使它恢复准确，应增加摆长B．变慢了，要使它恢复准确，应缩短摆长C．变快了，要使它恢复准确，应增加摆长D．变快了，要使它恢复准确，应缩短摆长2．一个质量为的空心球用一根长线把它悬挂起来，先让空腔中充满水，然后让水从底部的小孔慢慢地流出，如果让球摆动，那么在摆动过程中振动周期的变化情况是（）A．变大B．变小C．先变大后变小D．先变小后变大3．下图是半径很大的光滑凹球面的一部分，有一个小球第一次自A点由静止开始滑下，到达最低点O时的速度为，此时为；第二次自B点由静止开始滑下，到达最低点O时的速度为，此时为，下列关系正确的是（）A． B．C． D．4．如图所示是一个半径很大的光滑圆弧形凹槽，凹槽的弧长远小于半径，一小球由静止开始从B点释放，小球在槽内来回运动，若要增大小球的运动周期，可采用的办法是（）A．使小球开始释放的位置靠近最低点O一些B．换一个密度大一些的小球C．换一个半径更大的凹槽D．换一个半径稍小一些的凹槽5．关于单摆摆球在运动过程中的受力，下列结论正确的是（）A．摆球受重力，摆线的张力、回复力、向心力作用B．摆球受的回复力最大时，向心力为零；回复力为零时，向心力最大C．摆球受的回复力最大时，摆线中的张力大小比摆球的重力大D．摆球受的向心力最大时，摆球的加速度方向沿摆球的运动方向6．如图所示，一摆长为的单摆，在悬点的正下方的P处有一钉子，P与悬点相距—，则这个摆做小幅度摆动时的周期为（）A． B． C． D．7．一个秒摆A的旁边，挂一个摆长为秒摆摆长的B摆，中图所示，两摆球是相同的弹性小球，互相接触重心等高，今把B球拉开一个不大的角度后自由释放，它在内可与A 球发生碰撞的次数是A．2次 B．3次 C．4次 D．5次8．沙摆的振动图象反映的是（）A．摆的运动轨迹B．细沙的运动轨迹C．摆在不同时刻的位置D．细沙在不同时刻的速度9．若单摆的摆长不变，摆球的质量增加为原来的4倍，摆球经过平衡位置时的速度减为原来的，则单摆振动的（）A．频率不变，振幅不变B．频率不变，振幅改变C．频率改变，振幅改变D．频率改变，振幅不变二、填空题１．一单摆摆长，摆球质量为，最大偏角为（），在摆球从最大偏角位置摆到平衡位置的过程中，重力的冲量大小为______；合力的冲量大小为_______．２．已知月球表面的重力加速度是地球表面的，在地球表面的一个弹簧振子和一个单摆的振动周期相等，若把它们放到月球表面，则它们振动的周期之比为_________．３．甲、乙两个单摆，甲摆的摆长是乙摆摆长的4倍，乙摆摆球质量是甲摆摆球质量的2倍，则在甲摆完成5次全振动的时间内，乙摆完成全振动的次数为________．４．有一单摆，摆长为L，周期为T，若在悬点正下方距悬点距离为处和Ｌ处的A、B两点分别固定一个光滑的圆钉，A钉在绳左侧，B钉在绳右侧，并使摆做振幅很小的振动，则周期将变为________Ｔ．５．在相同的时间内，单摆A摆动了6次，单摆B摆动了8次，若两摆摆长相差14 cm，那么A摆摆长为________ｃｍ，B摆摆长为_________ｃｍ．三、计算题1．如图所示，用两根长都为的细线悬挂一个小球A，两悬挂点等高，线与水平天花板间的夹角都是，使球A在垂直于纸面的平面内做小幅度的摆动，当A经过平衡位置的瞬间，另一小球B从A球的正上方自由下落，若B球恰能击中A球，求B球开始下落时离A球振动平衡位置的高度．2．在相同的时间内，甲摆作了次全振动，乙摆作了 次全振动，两摆的摆长差 ，求甲、乙两摆的摆长和分别是多少？3．如图所示，在O 点悬有一细绳，细绳穿过小球B 的通过直径的小孔，使B 球能顺着绳子滑下来．在O 点正下方有一半径为R 的光滑圆弧形轨道，圆心位置恰好在O 点，在弧形轨道上接近 处，另一小球A ，今A 、B 两球同时开始无初速释放，假如A 球第一次到达平衡位置时正好能够和B 球碰上，则B 球与绳之间摩擦力与B 球重力大小之比是多少？（取）参考答案：一、1．B 2．C 3．A 4．C 5．B 6．C 7．D 8．C 9．B二、１．；２．３．10 ４．５．３２；１８三、1．（……） 2．；3．。

单摆基础巩固1．用空心铁球内部装满水作摆球，若球正下方有一小孔，水不断从孔中流出，从球内装满水到水流完为止的过程中，其振动周期的大小( )A．不变B．变大C．先变大后变小再回到原值D．先变小后变大再回到原值2．要增加单摆在单位时间内的摆动次数，可采取的方法是( )A．增大摆球的质量B．缩短摆长C．减小摆动的幅度D．升高气温3．已知在单摆a完成10次全振动的时间内，单摆b完成6次全振动，两摆长之差为1.6 m，则两单摆摆长l a与l b分别为( )A．l a＝2.5 m，l b＝0.9 mB．l a＝0.9 m，l b＝2.5 mC．l a＝2.4 m，l b＝4.0 mD．l a＝4.0 m，l b＝2.4 m4.如图所示，曲面AO是一段半径为2 m的光滑圆弧面，圆弧与水平面相切于O点，AO 弧长为10 cm，现将一小球先后从曲面的顶端A和AO弧的中点B由静止释放，到达底端的速度分别为v1和v2，经历的时间分别为t1和t2，那么( )A．v1＜v2，t1＜t2B．v1＞v2，t1＝t2C．v1＝v2，t1＝t2D．以上三种都有可能5．如图所示为同一地点的两单摆甲、乙的振动图象，下列说法中正确的是( )A．甲、乙两单摆的摆长相等B．甲摆的振幅比乙摆大C．甲摆的机械能比乙摆大D．在t＝0.5 s时有正向最大加速度的是乙摆能力提升6．把在北京调准的摆钟，由北京移到赤道上时，摆钟的振动( )A．变慢了，要使它恢复准确，应增加摆长B．变慢了，要使它恢复准确，应缩短摆长C．变快了，要使它恢复准确，应增加摆长D．变快了，要使它恢复准确，应缩短摆长7．摆长为l的单摆做简谐运动，若从某时刻开始计时(即取t＝0)，当振动至t时，摆球恰具有负向最大速度，则单摆的振动图象是图中的( )8．某同学在一次用单摆测重力加速度的实验中，测量5种不同摆长与单摆的振动周期的对应情况，并将记录的结果描绘在如图所示的坐标系中。

图中各坐标点的标号分别对应实验中5种不同摆长的情况。

4 单摆一、选择题考点一单摆及单摆的回复力1．(多选)单摆是为研究振动而抽象出的理想化模型，其理想化条件是()A．摆线质量不计B．摆线不可伸缩C．摆球的直径比摆线长度小得多D．只要是单摆的运动就一定是简谐运动[答案]ABC[解析]只有在偏角很小的情况下才能视单摆运动为简谐运动．2．关于单摆，下列说法中正确的是()A．摆球运动的回复力是它受到的合力B．摆球在运动过程中经过轨迹上的同一点时，加速度是不变的C．摆球在运动过程中加速度的方向始终指向平衡位置D．摆球经过平衡位置时，加速度为零[答案] B[解析]摆球的回复力为重力沿轨迹切线方向的分力，A错误；摆球经过最低点时，回复力为0，但合力提供向心力，C、D错误；由简谐运动特点知B正确．考点二单摆的周期公式3．(多选)如图1所示为单摆的振动图象，取g＝10m/s2，π2＝10，根据此振动图象能确定的物理量是()图1 A．摆长B．回复力C．频率D．振幅[答案]ACD[解析]由题图知，振幅为A＝3cm，单摆的周期为T＝2s，由单摆的周期公式T＝2πlg ，得摆长l＝1m，频率f＝1T ＝0.5Hz，摆球的回复力F＝－xl mg，由于摆球的质量未知，无法确定回复力，A、C、D正确．4.如图2所示，单摆的周期为T，则下列说法正确的是()图2A．把摆球质量增加一倍，其他条件不变，则单摆的周期变小B ．把摆角α变小，其他条件不变，则单摆的周期变小C ．将此摆从地球移到月球上，其他条件不变，则单摆的周期将变长D ．将单摆摆长增加为原来的2倍，其他条件不变，则单摆的周期将变为2T [答案] C[解析] 根据单摆的周期公式T ＝2πlg知，周期与摆球的质量和摆角无关，摆长增加为原来的2倍，周期变为原来的2倍，故A 、B 、D 错误；月球表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度，由周期公式T ＝2πlg知将此摆从地球移到月球上，单摆的周期将变长，C 正确． 5．做简谐运动的单摆，其摆长不变，若摆球的质量增加为原来的94倍，摆球经过平衡位置的速度减为原来的23，则单摆振动的( )A ．周期不变，振幅不变B ．周期不变，振幅变小C ．周期改变，振幅不变D ．周期改变，振幅变大 [答案] B[解析] 由单摆的周期公式T ＝2πlg可知，当摆长l 不变时，周期不变，故C 、D 错误；由能量守恒定律可知12m v 2＝mgh ，其摆动的高度与质量无关，因摆球经过平衡位置时的速度减小，则最大高度减小，知振幅减小，选项B 正确，A 错误．6.(多选)(2018·屯溪一中高二第二学期期中)如图3所示，一单摆悬于O 点，摆长为L ，若在O 点正下方的O ′点钉一个光滑钉子，使OO ′＝L2，将单摆拉至A 处释放，小球将在A 、B 、C间来回振动，若振动中摆线与竖直方向夹角小于5°，则以下说法正确的是( )图3 A．由于机械能守恒，可得摆角大小不变B．A和C两点在同一水平面上C．周期T＝2π(Lg＋L2g)D．周期T＝π(Lg＋L2g)[答案]BD7．(多选)(2018·西城区高二检测)如图4甲所示，一个单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置时开始计时，相对平衡位置的位移x随时间t变化的图象如图乙所示．不计空气阻力，g取10m/s2.对于这个单摆的振动过程，下列说法中正确的是()图4A．单摆的位移x随时间t变化的关系式为x＝8sin (πt) cmB．单摆的摆长约为1mC．从t＝2.5s到t＝3s的过程中，摆球的重力势能逐渐增大D．从t＝2.5s到t＝3s的过程中，摆球所受绳子拉力逐渐减小[答案]AB[解析]由振动图象可读出周期T＝2 s，振幅A＝8 cm，由ω＝2πT得到圆频率ω＝π rad/s，则单摆的位移x随时间t变化的关系式为x＝A sin ωt＝8sin (πt) cm，故A正确．由公式T＝2πlg，解得l≈1 m，故B正确．从t＝2.5 s到t＝3 s的过程中，摆球从最高点运动到最低点，重力势能减小，摆球的位移减小，回复力减小，速度增大，所需向心力增大，绳子的拉力增大，故C、D错误．二、非选择题8．正在修建的房顶上固定的一根不可伸长的细线垂到三楼窗沿下，某同学应用单摆原理测量窗的上沿到房顶的高度，先将线的下端系上一个小球，发现当小球静止时，细线恰好与窗子上沿接触且保持竖直，他打开窗子，让小球在垂直于墙的竖直平面内摆动，如图5所示，从小球第1次通过图中的B点开始计时，第21次通过B点用时30s；球在最低点B时，球心到窗上沿的距离为1m，当地重力加速度g取π2(m/s2)；根据以上数据可得小球运动的周期T＝________s；房顶到窗上沿的高度h＝________m.图5[答案]3 3[解析] n ＝12×(21－1)＝10，T ＝tn ＝3s ，T ＝T 12＋T 22＝12(2πlg＋2πl ＋hg)， 解得h ＝3m.9．(2018·北京101中学高二下学期期中)根据单摆周期公式可以通过实验测量当地的重力加速度，将细线的上端固定在铁架台上，下端系一个小钢球，就做成了单摆． (1)用游标卡尺测量小钢球直径，示数如图6所示，读数为________mm.图6(2)以下是实验过程中的一些做法，其中正确的有________． a ．摆线要选择细些、伸缩性小些的，并且尽可能长一些 b ．摆球尽量选择质量大些、体积小些的c.为了使摆的周期大一些，以方便测量,开始时拉开摆球,使摆线相距平衡位置有较大的角度 d ．拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于5°，在释放摆球的同时开始计时，当摆球回到开始位置时停止计时，此时时间间隔Δt 即为单摆周期Te ．拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于5°，释放摆球，当摆球振动稳定后，从平衡位置开始计时，记下摆球做50次全振动所用的时间Δt ，则单摆周期T ＝Δt 50[答案] (1)18.6 (2)abe[解析] (1)由题图游标卡尺可知，其示数为18mm ＋6×0.1mm ＝18.6mm.(2)为减小实验误差，摆线要选择细些的、伸缩性小些的，并且尽量长一些，故a 正确；为减小空气阻力对实验的影响，减小实验误差，摆球尽量选择质量大些、体积小些的，故b 正确；摆长一定的情况下，摆的振幅尽量小些，开始时拉开摆球，使摆线相距平衡位置不能有太大的角度，故c错误；为准确测量单摆周期，应从摆球经过平衡位置时开始计时，测出多个周期的时间，然后求出平均值作为周期，故d错误；拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于5°，释放摆球，当摆球振动稳定后，从平衡位置开始计时，记下摆球做50次全振动所用的时间Δt，，可减小实验误差，故e正确．则单摆周期T＝Δt5010．(2018·东北育才学校高二下学期期中)在用单摆测重力加速度的实验中：(1)为了比较准确地测量出当地的重力加速度值，应选用下列所给器材中的哪些？将所选用的器材的字母填在题后的横线上．A．长1m左右的细绳；B．长30m左右的细绳；C．直径2cm的铅球；D．直径2cm的铁球；E．秒表；F．时钟；G．最小刻度是厘米的直尺；H．最小刻度是毫米的直尺．所选择的器材是________．(2)实验时摆线偏离竖直线的要求是_____________，理由是____________．(3)某同学测出不同摆长时对应的周期T，作出T2－L图线，如图7所示，再利用图线上任两点A、B的坐标(x1，y1)、(x2，y2)，可求得g＝________________.若该同学测摆长时漏加了小球半径，而其他测量、计算均无误，也不考虑实验误差，则用上述方法算得的g值和真实值相比是________的(选填“偏大”、“偏小”或“不变”)．图7[答案](1)ACEH(2)摆线与竖直方向的夹角不超过5°只有在偏角不超过5°的情况下，单摆的周期公式T＝2πLg才成立 (3)4π2·x 2－x 1y 2－y 1不变11．(2018·临漳一中高二下学期期中)实验小组的同学们用如图8所示的装置做“用单摆测定重力加速度”的实验．图8(1)用L 表示单摆的摆长，用T 表示单摆的周期，重力加速度g ＝________.(2)实验时除用到秒表、刻度尺外，还应该用到下列器材中的________(选填选项前的字母)． A ．长约1m 的细线 B ．长约1m 的橡皮绳 C ．直径约1cm 的均匀铁球 D ．直径约10cm 的均匀木球(3)选择好器材，将符合实验要求的单摆悬挂在铁架台上，应采用图________中所示的固定方式(选填“甲”或“乙”)．(4)将单摆正确悬挂后进行如下操作，其中正确的是________(选填选项前的字母)． A ．测出摆线长作为单摆的摆长B ．把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度释放，使之做简谐运动C ．在摆球经过平衡位置时开始计时D ．用秒表测量单摆完成1次全振动所用时间并作为单摆的周期(5)乙同学测得的重力加速度数值大于当地的重力加速度的实际值，造成这一情况的原因可能是____________(选填选项前的字母)． A ．开始摆动时振幅较小B．开始计时时，过早按下秒表C．测量周期时，误将摆球(n－1)次全振动的时间记为n次全振动的时间．(6)丙同学画出了单摆做简谐运动时的振动图象如图9所示，则摆线偏离竖直方向的最大摆角的正弦值约为________(结果保留一位有效数字)．图9[答案]见[解析][解析](1)由周期公式T＝2πLg得g＝4π2LT2(2)为减小误差应保持摆线的长度不变，则A正确，B错误；为减小误差，摆球密度要大，体积要小，则C正确，D错误．(3)悬点要固定，则为题图乙．(4)摆长等于摆线的长度加上摆球的半径，A错误；应把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度释放，使之做简谐运动，故B正确；应在摆球经过平衡位置时开始计时，C正确；把秒表记录摆球一次全振动的时间作为周期，误差较大，应采用累积法测量周期，D错误．(5)由T＝2πLg得g＝4π2LT2.振幅大小与g无关，故A错误；开始计时时，过早按下秒表，所测周期偏大，则g偏小，B错误；测量周期时，误将摆球(n－1)次全振动的时间记为n次全振动的时间，则所测周期偏小，则g偏大，C正确．(6)由题图可知周期为2s，由T＝2πLg得L＝T2g4π2＝4×9.84×3.142m≈1m，振幅为4cm＝0.04m，则sinθ≈0.041＝0.04.12.如图10所示，光滑的半球壳半径为R ，O 点在球心O ′的正下方，一小球甲(可视为质点)由距O 点很近的A 点由静止释放，R ≫»AO .图10(1)若小球甲释放的同时，另一小球乙(可视为质点)从球心O ′处自由落下，问两球第一次到达O 点的时间比；(2)若小球甲释放的同时，另一小球丙(可视为质点)在O 点正上方某处自由落下，为使两球在O 点相碰，小球应由多高处自由落下？[答案] (1)2π∶4 (2)(2n －1)2π2R8(n ＝1,2,3，…)[解析] (1)甲球沿圆弧做简谐运动，它第一次到达O 点的时间为t 1＝14T ＝14×2πR g ＝π2R g. 乙球做自由落体运动，到达O 点的时间为t 2 R ＝12gt 22，所以t 2＝2Rg，t 1∶t 2＝2π∶4. (2)小球甲从A 点由静止释放运动到O 点的时间为t ＝T4(2n －1)，n ＝1,2,3，…，由O 点正上方自由落下的小球丙到达O 点的时间也为t 时两球才能在O 点相碰，所以h ＝12gt 2＝(2n －1)2π2R8(n ＝1,2,3，…).。

学案4 单摆题组一单摆及其回复力1．单摆是为研究振动而抽象出的理想化模型，其理想化条件是()A．摆线质量不计B．摆线长度不可伸缩C．摆球的直径比摆线长度短得多D．只要是单摆的运动就是一种简谐运动[答案]ABC[解析]单摆由摆线和摆球组成，摆线只计长度不计质量，摆球只计质量不计大小，且摆线不可伸缩．但把单摆作为简谐运动来处理是有条件的，只有在摆角很小(θ<5°)的情况下才能视单摆运动为简谐运动．故正确[答案]为A、B、C.2．关于单摆，下列说法中正确的是()A．单摆摆球所受的合外力指向平衡位置B．摆球经过平衡位置时加速度为零C．摆球运动到平衡位置时，所受回复力等于零D．摆角很小时，摆球所受合力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小成正比[答案] C3．关于单摆的运动，下列说法正确的是()①单摆的回复力是摆线的拉力与重力的合力②单摆的回复力是重力沿摆球运动轨迹切向的分力③单摆的周期与摆球质量无关，与振幅无关，与摆长和当地的重力加速度有关④单摆做简谐运动的条件是摆角很小，如小于5°⑤在山脚下走时准确的摆钟移到高山上走时将变快A ．①③④B ．②③④C ．③④⑤D ．①④⑤[答案] B[解析] 单摆的回复力是重力沿摆球运动轨迹切向的分力，千万不要误认为是摆球所受的合外力，所以说法①错误，②正确；根据单摆的周期公式T ＝2πl g 可知，单摆的周期与摆球质量无关，与振幅无关，与摆长和当地的重力加速度有关，说法③正确；当摆角很小时，摆球的运动轨迹可以近似地看作直线，回复力或重力沿摆球运动轨迹切向的分力可以近似地看作沿这条直线，这时可以证明：F 回＝－mg sin θ＝－mg lx ＝－kx ，可见，在摆角很小时，单摆近似做简谐运动，说法④正确；将摆钟从山脚移到高山上时，摆钟所在位置的重力加速度g 变小，根据T ＝2πl g可知，摆钟振动的周期变大，计时变慢，说法⑤错误．综上可知，只有说法②③④正确，故正确[答案]为B.题组二 单摆周期的理解和应用4．下列说法正确的是( )A ．单摆的等时性是惠更斯首先发现的B ．单摆的等时性是伽利略首先发现的C ．惠更斯首先将单摆的等时性用于计时D ．伽利略首先发现了单摆的等时性，并把它用于计时[答案] BC5．将秒摆(周期为2s)的周期变为1s ，下列措施可行的是( )A ．将摆球的质量减半B ．将振幅减半C ．将摆长减半D ．将摆长减为原来的14[答案] D[解析] 由单摆周期公式T ＝2πl g 可以看出，要使周期减半，摆长应减为原来的14. 6.有一摆长为L 的单摆，悬点正下方某处有一光滑小钉，当摆球经过平衡位置向左摆动时，摆线的上部将被挡住，使摆长发生变化．现使摆球做小角度摆动，图1为摆球从右边最高点M 摆至左边最高点N 的闪光照片(悬点和小钉未摄入)，P 为摆动中的最低点，每相邻两次闪光的时间间隔相等，则小钉距悬点的距离为()图1A．L/4 B．L/2C．3L/4 D．条件不足，无法判断[答案] C[解析]题图中M到P为四个时间间隔，P到N为两个时间间隔，即左半部分单摆的周期是右半部分单摆周期的12，根据周期公式T＝2πlg，可得左半部分单摆的摆长为L4，即小钉距悬点的距离为3L/4，故C选项正确．7．图2为甲、乙两单摆的振动图象，则()图2A．若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比为l甲∶l乙＝2∶1B．若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比为l甲∶l乙＝4∶1C．若甲、乙两摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两摆所在星球的重力加速度之比为g甲∶g乙＝4∶1D．若甲、乙两摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两摆所在星球的重力加速度之比为g甲∶g乙＝1∶4[答案]BD[解析]由题图可知T甲∶T乙＝2∶1，若两单摆在同一地点，则两摆长之比为l甲∶l乙＝4∶1，故A错误，B正确；若两摆长相等，则所在星球的重力加速度之比为g甲∶g乙＝1∶4，故C 错误，D正确．8．如图3所示为同一地点的两单摆甲、乙的振动图象，下列说法中正确的是()图3A．甲、乙两单摆的摆长相等B．甲单摆的振幅比乙的大C．甲单摆的机械能比乙的大D．在t＝0.5s时有正向最大加速度的是乙单摆[答案]ABD[解析]振幅可从题图上看出，甲单摆振幅大．两单摆周期相等，则摆长相等，因质量关系不明确，故无法比较机械能．t＝0.5s时乙单摆摆球在负的最大位移处，故有正向最大加速度．9．如图4所示为一单摆及其振动图象，由图回答：图4(1)单摆的振幅为__________，频率为__________，摆长约为______(保留一位有效数字)；图中所示周期内位移x 最大的时刻为______．(2)若从E 指向G 为正方向，α为最大摆角，则图象中A 、B 、C 点分别对应单摆图中的________点．一个周期内加速度为正且减小，并与速度同方向的时间范围是________．势能增加且速度为正的时间范围是__________．[答案] (1)3cm 0.5Hz 1m 0.5s 末和1.5s 末(2)G 、E 、F 1.5s ～2s 0～0.5s题组三 用单摆测重力加速度10．用单摆测定重力加速度，根据的原理是( )A ．由g ＝4π2l T 2看出，T 一定时，g 与l 成正比B ．由g ＝4π2l T 2看出，l 一定时，g 与T 2成反比C ．由于单摆的振动周期T 和摆长l 可用实验测定，利用g ＝4π2l T 2可算出当地的重力加速度D ．同一地区单摆的周期不变，不同地区的重力加速度与周期的平方成反比[答案] C[解析] g 是由所处的地理位置的情况来决定的，与l 及T 无关，故只有C 正确．11．某实验小组在利用单摆测定当地重力加速度的实验中：(1)用游标卡尺测定摆球的直径，测量结果如图5所示，则该摆球的直径为________cm.图5(2)小组成员在实验过程中有如下说法，其中正确的是________．A．把单摆从平衡位置拉开30°的摆角，并在释放摆球的同时开始计时B．测量摆球通过最低点100次的时间t，则单摆周期为t100C．用悬线的长度加摆球的直径作为摆长，代入单摆周期公式计算得到的重力加速度值偏大D．选择密度较小的摆球，测得的重力加速度值误差较小[答案](1)0.97(2)C[解析](1)游标卡尺读数＝主尺读数＋游标尺读数＝0.9cm＋7×0.01cm＝0.97cm(2)要使摆球做简谐运动，摆角应小于5°，应选择密度较大的摆球，阻力的影响较小，测得重力加速度误差较小，A、D错；摆球通过最低点100次，完成50次全振动，周期是t50，B错；摆长应是l′＋d2(l′为悬线的长度)，若用悬线的长度加摆球直径，则测出的重力加速度值偏大，C对．12．某同学利用单摆测定当地重力加速度，发现单摆静止时摆球重心在球心的正下方，他仍将从悬点到球心的距离当作摆长l，通过改变摆线的长度，测得6组l和对应的周期T，画出l－T2图线，然后在图线上选取A、B两个点，坐标如图6所示．他采用恰当的数据处理方法，则计算重力加速度的表达式g＝____________，请你判断该同学得到的实验结果与摆球重心就在球心处的情况相比，将__________．(填“偏大”“偏小”或“相同”)．图6[答案]4π2(l B－l A)T2B－T2A相同13．小明同学做了一个单摆，其摆长l＝1.02m，摆球质量m＝0.10kg，假设单摆做简谐运动，他测出单摆振动30次所用的时间t＝60.8s，试求：(1)当地的重力加速度是多大？(2)如果将这个单摆改为秒摆(周期为2s)，摆长应怎样改变？改变多少？[答案](1)9.79m/s2(2)其摆长要缩短0.027m[解析](1)当单摆做简谐运动时，其周期公式为T＝2πlg，由此可得g＝4π2l/T2，只要求出T值代入即可．因为T＝tn ＝60.830s≈2.027s，所以g＝4π2l/T2＝4×3.142×1.022.0272m/s2≈9.79 m/s2.(2)秒摆的周期是2s，设其摆长为l0，由于在同一地点重力加速度是不变的，根据单摆的振动规律有TT0＝ll0，故有l0＝T20lT2＝22×1.022.0272m≈0.993m.其摆长要缩短Δl＝l－l0＝1.02m－0.993m＝0.027m.。

人教版高中物理选修3—4第十一章：机械振动第4节《单摆》课时练一、选择题（1～10题只有一个选项正确。

11～16题有多个选项正确。

）1．一单摆做小角度摆动，其振动图象如图所示，以下说法正确的是()A．t1时刻摆球速度为零，摆球的合外力为零B．t2时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最小C．t3时刻摆球速度为零，摆球的回复力最大D．t4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最小2．关于单摆，下列说法中正确的是()A．摆球运动的回复力是它受到的合力B．摆球在运动过程中经过轨迹上的同一点时，加速度是不变的C．摆球在运动过程中加速度的方向始终指向平衡位置D．摆球经过平衡位置时，加速度为零3．如图所示，O点为单摆的固定悬点，现将摆球(可视为质点)拉至A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，B点为运动中的最低位置，则在摆动过程中()A．摆球受到重力、拉力、向心力、回复力四个力的作用B．摆球在A点和C点处，速度为零，合力与回复力也为零C．摆球在B点处，速度最大，细线拉力也最大D．摆球在B点处，速度最大，回复力也最大4．某单摆由1m长的摆线连接一个直径2cm的铁球组成，关于单摆周期，下列说法中正确的是()A．用大球替代小球，单摆的周期不变B．摆角从5°改为3°，单摆的周期会变小C．用等大的铜球替代铁球，单摆的周期不变D．将单摆从赤道移到北极，单摆的周期会变大5．如图所示，摆长为l的单摆放在倾角为θ的光滑固定斜面上，则摆球在斜面所在的平面内做小摆角振动时的周期为()A．T＝2πlg B．T＝2πlg cosθC．T＝2πlg sinθD．以上答案都不对6．如图所示，为甲、乙两单摆的振动图象，则()A．若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比l甲∶l乙＝2∶1B．若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比l甲∶l乙＝4∶1C．若甲、乙两单摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两单摆所在星球的重力加速度之比g甲∶g乙＝4∶1D．若甲、乙两单摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两单摆所在星球的重力加速度之比g甲∶g乙＝2∶17．如图所示，三根细线在O点处打结，A、B端固定在同一水平面上相距为l的两点上，使△AOB成直角三角形，∠BAO＝30°，已知OC线长也是l，下端C点系着一个小球(半径可忽略)，下列说法正确的是(以下皆指小角度摆动，重力加速度为g)()A．让小球在纸面内振动，周期T＝2πl gB．让小球在垂直纸面内振动，周期T＝2π3l 2gC．让小球在纸面内振动，周期T＝2π3l 2gD．让小球在垂直纸面内振动，周期T＝2πl g8．如图所示，单摆的周期为T，则下列说法正确的是() A．把摆球质量增加一倍，其他条件不变，则单摆的周期变小B ．把摆角α变小，其他条件不变，则单摆的周期变小C ．将此摆从地球移到月球上，其他条件不变，则单摆的周期将变长D ．将单摆摆长增加为原来的2倍，其他条件不变，则单摆的周期将变为2T9．做简谐运动的单摆，其摆长不变，若摆球的质量增加为原来的94倍，摆球经过平衡位置的速度减为原来的23，则单摆振动的( )A ．周期不变，振幅不变B ．周期不变，振幅变小C ．周期改变，振幅不变D ．周期改变，振幅变大10．(多选)单摆是为研究振动而抽象出的理想化模型，其理想化条件是( ) A ．摆线质量不计 B ．摆线不可伸缩C ．摆球的直径比摆线长度小得多D ．只要是单摆的运动就一定是简谐运动11．(多选)如图所示为单摆的振动图象，取g ＝10m/s 2，π2＝10，根据此振动图象能确定的物理量是( )A ．摆长B ．回复力C ．频率D ．振幅12．(多选)如图所示，一单摆悬于O 点，摆长为L ，若在O 点正下方的O ′点钉一个光滑钉子，使OO ′＝L2，将单摆拉至A 处释放，小球将在A 、B 、C 间来回振动，若振动中摆线与竖直方向夹角小于5°，则以下说法正确的是( )A ．由于机械能守恒，可得摆角大小不变B ．A 和C 两点在同一水平面上 C ．周期T ＝2π(Lg ＋L 2g ) D ．周期T ＝π(L g＋L 2g)13．(多选如图甲所示，一个单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置时开始计时，相对平衡位置的位移x 随时间t 变化的图象如图乙所示．不计空气阻力，g 取10m/s 2.对于这个单摆的振动过程，下列说法中正确的是( )A．单摆的位移x随时间t变化的关系式为x＝8sin (πt) cmB．单摆的摆长约为1mC．从t＝2.5s到t＝3s的过程中，摆球的重力势能逐渐增大D．从t＝2.5s到t＝3s的过程中，摆球所受绳子拉力逐渐减小二、非选择题14．正在修建的房顶上固定的一根不可伸长的细线垂到三楼窗沿下，某同学应用单摆原理测量窗的上沿到房顶的高度，先将线的下端系上一个小球，发现当小球静止时，细线恰好与窗子上沿接触且保持竖直，他打开窗子，让小球在垂直于墙的竖直平面内摆动，如图所示，从小球第1次通过图中的B点开始计时，第21次通过B点用时30s；球在最低点B时，球心到窗上沿的距离为1m，当地重力加速度g取π2(m/s2)；根据以上数据可得小球运动的周期T ＝________s；房顶到窗上沿的高度h＝________m.15．根据单摆周期公式可以通过实验测量当地的重力加速度，将细线的上端固定在铁架台上，下端系一个小钢球，就做成了单摆．(1)用游标卡尺测量小钢球直径，示数如图所示，读数为________mm.(2)以下是实验过程中的一些做法，其中正确的有________．a．摆线要选择细些、伸缩性小些的，并且尽可能长一些b．摆球尽量选择质量大些、体积小些的c.为了使摆的周期大一些，以方便测量,开始时拉开摆球,使摆线相距平衡位置有较大的角度d．拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于5°，在释放摆球的同时开始计时，当摆球回到开始位置时停止计时，此时时间间隔Δt即为单摆周期Te．拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于5°，释放摆球，当摆球振动稳定后，从平衡位置开始计时，记下摆球做50次全振动所用的时间Δt，则单摆周期T＝Δt5016．在用单摆测重力加速度的实验中：(1)为了比较准确地测量出当地的重力加速度值，应选用下列所给器材中的哪些？将所选用的器材的字母填在题后的横线上．A．长1m左右的细绳；B．长30m左右的细绳；C．直径2cm的铅球；D．直径2cm的铁球；E．秒表；F．时钟；G．最小刻度是厘米的直尺；H．最小刻度是毫米的直尺．所选择的器材是________．(2)实验时摆线偏离竖直线的要求是_____________，理由是____________．(3)某同学测出不同摆长时对应的周期T，作出T2－L图线，如图所示，再利用图线上任两点A、B的坐标(x1，y1)、(x2，y2)，可求得g＝________________.若该同学测摆长时漏加了小球半径，而其他测量、计算均无误，也不考虑实验误差，则用上述方法算得的g值和真实值相比是________的(选填“偏大”、“偏小”或“不变”)．17．实验小组的同学们用如图所示的装置做“用单摆测定重力加速度”的实验．(1)用L表示单摆的摆长，用T表示单摆的周期，重力加速度g＝________.(2)实验时除用到秒表、刻度尺外，还应该用到下列器材中的________(选填选项前的字母)．A．长约1m的细线B．长约1m的橡皮绳C．直径约1cm的均匀铁球D．直径约10cm的均匀木球(3)选择好器材，将符合实验要求的单摆悬挂在铁架台上，应采用图________中所示的固定方式(选填“甲”或“乙”)．(4)将单摆正确悬挂后进行如下操作，其中正确的是________(选填选项前的字母)．A．测出摆线长作为单摆的摆长B．把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度释放，使之做简谐运动C．在摆球经过平衡位置时开始计时D．用秒表测量单摆完成1次全振动所用时间并作为单摆的周期(5)乙同学测得的重力加速度数值大于当地的重力加速度的实际值，造成这一情况的原因可能是____________(选填选项前的字母)．A．开始摆动时振幅较小B．开始计时时，过早按下秒表C．测量周期时，误将摆球(n－1)次全振动的时间记为n次全振动的时间．(6)丙同学画出了单摆做简谐运动时的振动图象如图所示，则摆线偏离竖直方向的最大摆角的正弦值约为________(结果保留一位有效数字)．18．如图所示，光滑的半球壳半径为R，O点在球心O′的正下方，一小球甲(可视为质点)»AO.由距O点很近的A点由静止释放，R≫(1)若小球甲释放的同时，另一小球乙(可视为质点)从球心O′处自由落下，问两球第一次到达O点的时间比；(2)若小球甲释放的同时，另一小球丙(可视为质点)在O点正上方某处自由落下，为使两球在O点相碰，小球应由多高处自由落下？参考答案1 C 2B 3C 4C 5C 6B 7A 8C 9B 10ABC 11ACD 12BD 13AB 14答案 3 3解析 n ＝12×(21－1)＝10，T ＝tn ＝3s ，T ＝T 12＋T 22＝12(2πlg＋2πl ＋hg)， 解得h ＝3m.15. 答案 (1)18.6 (2)abe解析 (1)由题图游标卡尺可知，其示数为18mm ＋6×0.1mm ＝18.6mm.(2)为减小实验误差，摆线要选择细些的、伸缩性小些的，并且尽量长一些，故a 正确；为减小空气阻力对实验的影响，减小实验误差，摆球尽量选择质量大些、体积小些的，故b 正确；摆长一定的情况下，摆的振幅尽量小些，开始时拉开摆球，使摆线相距平衡位置不能有太大的角度，故c 错误；为准确测量单摆周期，应从摆球经过平衡位置时开始计时，测出多个周期的时间，然后求出平均值作为周期，故d 错误；拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于5°，释放摆球，当摆球振动稳定后，从平衡位置开始计时，记下摆球做50次全振动所用的时间Δt ，则单摆周期T ＝Δt50，可减小实验误差，故e 正确．16. 答案 (1)ACEH(2)摆线与竖直方向的夹角不超过5° 只有在偏角不超过5°的情况下，单摆的周期公式T ＝2πLg才成立 (3)4π2·x 2－x 1y 2－y 1 不变17. 答案 见解析 解析 (1)由周期公式T ＝2πL g 得g ＝4π2L T2 (2)为减小误差应保持摆线的长度不变，则A 正确，B 错误；为减小误差，摆球密度要大，体积要小，则C 正确，D 错误． (3)悬点要固定，则为题图乙．(4)摆长等于摆线的长度加上摆球的半径，A 错误；应把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度释放，使之做简谐运动，故B 正确；应在摆球经过平衡位置时开始计时，C 正确；把秒表记录摆球一次全振动的时间作为周期，误差较大，应采用累积法测量周期，D 错误． (5)由T ＝2πL g 得g ＝4π2LT2.振幅大小与g 无关，故A 错误；开始计时时，过早按下秒表，所测周期偏大，则g 偏小，B 错误；测量周期时，误将摆球(n －1)次全振动的时间记为n 次全振动的时间，则所测周期偏小，则g 偏大，C 正确． (6)由题图可知周期为2s ，由T ＝2πL g 得L ＝T 2g 4π2＝4×9.84×3.142m ≈1m ，振幅为4cm ＝0.04m ，则sin θ≈0.041＝0.04.18. 答案 (1)2π∶4 (2)(2n －1)2π2R8(n ＝1,2,3，…)解析 (1)甲球沿圆弧做简谐运动，它第一次到达O 点的时间为t 1＝14T ＝14×2πR g ＝π2R g. 乙球做自由落体运动，到达O 点的时间为t 2 R ＝12gt 22，所以t 2＝2Rg，t 1∶t 2＝2π∶4.(2)小球甲从A点由静止释放运动到O点的时间为t＝T4(2n－1)，n＝1,2,3，…，由O点正上方自由落下的小球丙到达O点的时间也为t时两球才能在O点相碰，所以h＝12gt2＝(2n－1)2π2R8(n＝1,2,3，…).。

11.4 单摆每课一练（人教版选修3-4）1．影响单摆周期的因素有( )A．振幅 B．摆长C．重力加速度 D．摆球质量图42．如图4所示，在两根等长的细线下悬挂一个小球(体积可忽略)组成了所谓的双线摆，若摆线长为l，两线与天花板的左右两侧夹角均为α，当小球垂直纸面做简谐运动时，周期为( )A．2π lgB．2π2lgC．2π 2l cos αgD．2πl sin αg3．将秒摆(周期为2 s)的周期变为1 s，下列措施可行的是( ) A．将摆球的质量减半 B．振幅减半C．摆长减半 D．摆长减为原来的1 44．摆长为l的单摆做简谐运动，若从某时刻开始计时(即取t＝0)，当振动至t ＝3π2lg时， 摆球恰具有负向最大速度，则单摆的振动图象是下图中的( )5．如图5所图5示为演示简谐振动的沙摆，已知摆长为l ，沙筒的质量为m ，沙子的质量为M ，M ≫m ，沙子逐渐下漏的过程中，摆的周期为( ) A ．周期不变 B ．先变大后变小 C ．先变小后变大 D ．逐渐变大图66．如图6所示，用绝缘细丝线悬吊着带正电的小球在匀强磁场中做简谐运动，则( )A．当小球每次通过平衡位置时，动能相同B．当小球每次通过平衡位置时，速度大小相同C．当小球每次通过平衡位置时，丝线拉力相同D．撤去磁场后，小球摆动周期变大7．一个单摆的摆球偏离到最大位置时，正好遇到空中竖直下落的雨滴，雨滴均匀附着在摆球的表面，下列说法正确的是( )A．摆球经过平衡位置时速度要增大，周期也增大，振幅也增大B．摆球经过平衡位置时速度没有变化，周期减小，振幅也减小C．摆球经过平衡位置时速度没有变化，周期也不变，振幅要增大D．摆球经过平衡位置时速度要增大，周期不变，振幅要增大图78．图7为甲、乙两单摆的振动图象，则( )A．若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比l甲∶l乙＝2∶1B．若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比l甲∶l乙＝4∶1C．若甲、乙两摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两摆所在星球的重力加速度之比g甲∶g乙＝4∶1D．若甲、乙两摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两摆所在星球的重力加速度之比g甲∶g乙＝1∶4图89．如图8所示，光滑槽的半径R远大于小球运动的弧长．今有两个小球(视为质点)同时由静止释放，其中甲球开始时离槽最低点O远些，则它们第一次相遇的地点在( )A．O点B．O点偏左C．O点偏右D．无法确定，因为两小球质量关系未定题号123456789答案图9(1)单摆的振幅为__________，频率为__________，摆长约为______；图中所示周期内位移x最大的时刻为______．(2)若摆球从E指向G为正方向，α为最大摆角，则图象中O、A、B、C点分别对应单摆中的__________点．一周期内加速度为正且减小，并与速度同方向的时间范围是________．势能增加且速度为正的时间范围是__________．(3)单摆摆球多次通过同一位置时，下述物理量变化的是( )A．位移 B．速度C．加速度 D．动能E．摆线张力(4)若在悬点正下方O′处有一光滑水平细钉可挡住摆线，且O′E＝14 OE，期变为______ s，挡后绳张力______．11．一根摆长为2 m的单摆，在地球上某地摆动时，测得完成100次全振动所用的时间为284 s.(1)求当地的重力加速度g；(2)将该单摆拿到月球上去，已知月球的重力加速度是 1.60 m/s2，单摆振动的周期是多少？12.图10摆长为l的单摆在平衡位置O的左右做摆角小于5°的简谐运动，当摆球经过平衡位置O(O在A点正上方)向右运动的同时，另一个以速度v在光滑水平面运动的小经过A点向右运动，如图10所示，小滑块与竖直挡板P碰撞后以原来的速率返回，略去碰撞所用时间，试问：(1)A、P间的距离满足什么条件，才能使滑块刚好返回A点时，摆球也同时到达O点且向左运动？(2)AP间的最小距离是多少？参考答案1．BC2．D[这是一个变形的单摆，可以用单摆的周期公式T＝2πlg计算，但注意此处的l与题中的绳长不同，公式中的l是指质点到悬点(等效悬点)的距离，即做圆周运动的半径．此题中单摆的等效摆长为lsin α，代入周期公式，可得T＝2πlsin αg，故选D.]3．D 4.D5．B[在沙摆摆动、沙子逐渐下漏的过程中，摆的重心逐渐下降，即摆长逐渐变大，当沙子流到一定程度后，摆的重心又重新上移，即摆长变小，由周期公式可知，沙摆的周期先变大后变小，故答案选B.]6．AB[洛伦兹力总是与速度方向垂直，因此不参与提供回复力，所以对周期及动能无影响．]7．D[在最大位移处，雨滴落到摆球上，质量增大，同时摆球获得初速度，故振幅增大，但摆球质量不影响周期，周期不变．选项D正确．]8．BD[由图象可知T甲∶T乙＝2∶1，若两单摆在同一地点，则两摆长之比为l甲∶l乙＝4∶1，故B正确；若两摆长相等，则所在星球的重力加速度之比为g甲∶g乙＝1∶4，故D正确．]9．A[由于半径R远大于运动的弧长，所以小球做简谐运动，其周期都为T＝2πRg，与位移的大小无关，故同时到达O点，A正确．]10．(1)3 cm0.5 Hz 1 m0.5 s末和1.5 s末(2)E、G、E、F 1.5 s～2.0 s0～0.5 s(3)B(4)1.5 变大解析(1)由纵坐标的最大位移可直接读取振幅为3 cm.从横坐标可直接读取完成一个全振动即周期T＝2 s，进而算出频率f＝1T＝0.5 Hz，算出摆长l＝gT24π2＝1 m从图中看出纵坐标有最大值的时刻为0.5 s末和1.5 s末．(2)图象中O点位移为零，O到A的过程位移为正，且增大，A处最大，历时1 4周期，显然摆球是从平衡位置E起振并向G方向运动的，所以O对应E，A对应G.A 到B的过程分析方法相同，因而O、A、B、C点对应E、G、E、F点．摆动中EF间加速度为正，靠近平衡位置过程中加速度逐渐减小且加速度与速度方向相同，即从F到E的运动过程对应图象中C到D的过程，时间范围是1.5 s～2.0 s.摆球远离平衡位置势能增加，即从E向两侧摆动，又因速度为正，显然是从E 到G的过程．对应图象中为O到A的过程，时间范围是0～0.5 s.(3)过同一位置，位移、回复力和加速度不变；由机械能守恒知，动能不变，速率也不变，摆线张力mg cosα＋m v2l也不变；由运动分析可知，相邻两次过同一点，速度方向改变．故选B.(4)碰钉后改变了摆长，因此单摆周期应分成钉左侧的半个周期，前已求出摆长为1 m，所以T左＝πlg＝1 s；钉右侧的半个周期，T右＝πl4g＝0.5 s，所以T＝T左＋T右＝1.5 s由受力分析知，张力F＝mg cosα＋m v2l，因为细钉挡绳前后瞬间摆球速度不变且球重力不变、α＝0，而挡后摆线长为挡前的14，所以挡后绳张力变大．11．(1)9.78 m/s2(2)7.02 s解析(1)周期T＝284100s＝2.84 s.g＝4π2lT2＝4×3.142×22.842m/s2≈9.78 m/s2.(2)T′＝2πlg′＝2×3.14×21.60s≈7.02 s.12．(1)A、P间的距离满足2n＋1v·π2lg(n＝0,1,2…)(2)πv2lg解析(1)小滑块做匀速直线运动的往返时间为t1，t1＝2xv，单摆做简谐运动回到O点且向左运动所需时间为t2，t2＝T2＋nT(n＝0,1,2…)，其中T＝2πlg，由题意可知t1＝t2，所以2xv＝T2＋nT，即x＝v2(12＋n)T＝v4(2n＋1)T＝v4(2n＋1)·2πl g ＝2n＋1v·π2lg(n＝0,1,2…)．(2)n＝0时，AP间的距离最小，x min＝πv2lg.。

4 单摆1.(多选)振动着的单摆,经过平衡位置时( CD )A.回复力指向悬点B.合力为0C.合力指向悬点D.回复力为0解析:单摆经过平衡位置时,位移为0,由F=-kx可知回复力为0,故A错误,D正确;单摆经过平衡位置时,合力提供向心力,所以其合力指向圆心(即悬点),故B错误,C正确.2.下列关于单摆的说法,正确的是( C )A.单摆摆球从平衡位置运动到正向最大位移处时的位移为A(A为振幅),从正向最大位移处运动到平衡位置时的位移为-AB.单摆摆球的回复力等于摆球所受的合外力C.单摆摆球的回复力是摆球重力沿圆弧切线方向的分力D.单摆摆球经过平衡位置时加速度为零解析:简谐运动中的位移是以平衡位置作为起点,摆球在正向最大位移处时位移为A,在平衡位置时位移应为零;摆球的回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供;合外力在摆线方向的分力提供向心力,摆球经最低点(振动的平衡位置)时回复力为零,但向心力不为零,所以合外力不为零.3.如图所示,一单摆(θ<5°)其摆动周期为T,则下列说法正确的是( D )A.减小摆球质量,其周期变小B.减小最大摆角,其周期变小C.增大摆长,其周期变小D.摆球由B→O运动时,摆球的势能转化为动能解析:根据T=2π可知,单摆的周期T与摆球质量m无关,与摆角无关,故A,B均错误;摆长变长,周期变大,故C错误;摆球由B→O运动时,重力做正功,摆球的重力势能转化为动能,故D正确.4.(多选)单摆在AB间做简谐运动,O为简谐运动的平衡位置,在振动过程中,小球从O第一次到C经历时间为0.5 s,随后从C运动到B后又回到C所经历时间为0.2 s,则该单摆的振动周期为( AC )A.2.4 sB.1.2 sC.0.8 sD.0.6 s解析:若小球从O先向左摆动,即从O到A再到C的时间为0.5 s,从C到B再回到C的时间为0.2 s,根据简谐运动的对称性,可知从C到B的时间为0.1 s,可知T=0.5 s+0.1 s=0.6 s,解得周期T=0.8 s.若小球先向右摆动,即从O到C的时间为0.5 s,则有=0.5 s+0.1 s,解得周期T=2.4 s.5.已知在单摆a完成10次全振动的时间内,单摆b完成6次全振动,两单摆摆长之差为1.6 m,则两单摆摆长l a与l b分别为( B )A.l a=2.5 m,l b=0.9 mB.l a=0.9 m,l b=2.5 mC.l a=2.4 m,l b=4.0 mD.l a=4.0 m,l b=2.4 m解析:单摆完成一次全振动所需的时间叫单摆振动周期,据题设可知a,b两单摆的周期之比为=,由单摆周期公式T=2π得=,根据题设得l b-l a=1.6 m,联立解得l a=0.9 m,l b=2.5 m.6.如图所示,房顶上固定一根长2.5 m的细线沿竖直墙壁垂到窗沿下,细线下端系了一个小球(可视为质点).打开窗子,让小球在垂直于窗子的竖直平面内小幅摆动,窗上沿到房顶的高度为1.6 m,不计空气阻力,g取10 m/s2,则小球从最左端运动到最右端的最短时间为( B )A.0.2π sB.0.4π sC.0.6π sD.0.8π s解析:由单摆周期公式知,T1=2π=2π s=0.6π s;T2=2π=2π s=π s;摆球从左到右的时间为T==0.4π s.7.(多选)如图所示是甲、乙两个单摆做简谐运动的图象,则下列说法中正确的是( AB )A.甲、乙两摆的振幅之比为2∶1B.t=2 s时,甲摆的重力势能最小,乙摆的动能为零C.甲、乙两摆的摆长之比为4∶1D.甲、乙两摆摆球在最低点时向心加速度大小一定相等解析:由图知甲、乙两摆的振幅分别为2 cm,1 cm,故选项A正确;t=2 s时,甲摆在平衡位置处,乙摆在振动的最大位移处,故选项B正确;由图知甲、乙两摆的周期之比为1∶2,由周期公式T=2π,得甲、乙两摆的摆长之比为1∶4,故选项C错误;因摆球摆动的最大偏角未知,故选项D错误.8.一座在地球上走时准确的摆钟,到某行星上后,分针走一圈经历的实际时间是3小时,已知该行星的半径是地球半径的,则该行星上的第一宇宙速度应为地球上的第一宇宙速度的( C )A. B. C. D.6解析:根据单摆的周期公式T=2π,有==,故g′=g;根据第一宇宙速度表达式v=,有===.9.一个质量为m的小球在半径为R的光滑圆弧槽上来回运动,如图,圆弧槽的长度l≪R.为了使小球振动的频率变为原来的,可以采用的办法是( B )A.将R减小为原来的B.将R增大为原来的4倍C.将圆弧长l增大为原来的4倍D.将m减小为原来的解析:将R减小为原来的,周期变为原来的,频率则为原来的2倍,选项A错误;将R增大为原来的4倍,周期变为原来的2倍,频率则为原来的,选项B正确;将圆弧长l增大为原来的4倍,不会改变小球运动的周期和频率,选项C错误;小球的周期和频率与质量没有关系,所以改变小球的质量,不会改变其运动的周期和频率,选项D错误.10.一个单摆,在第一个星球表面上的振动周期为T1,在第二个星球表面上的振动周期为T2.若T1∶T2=1∶2,半径之比R1∶R2=2∶1,则这两个星球的质量之比M1∶M2等于( A )A.16∶1B.8∶1C.4∶1D.2∶1解析:根据星球表面的物体受到的重力等于万有引力,有=mg,得g=;根据单摆周期公式,有T=2π,联立得到T=2πR,故=()2×()2=()2×()2=16∶1.11.已知单摆的振动图象如图所示.(1)读图可知振幅A=m,振动频率f=Hz,写出振动的表达式.(2)求此单摆的摆长l;(3)若摆球质量为0.2 kg,在摆动过程中,摆球受的回复力的最大值F m是多少?(取g=10 m/s2,π2=10)解析:(1)读图可知振幅A=0.1 m,周期T=4 s,则振动频率为f==0.25 Hz.振动的表达式为x=Asin 2πft=0.1sin (m).(2)根据单摆的周期公式T=2π得l== m=4 m.(3)在摆动过程中,摆球在最大位移处回复力最大,则回复力的最大值为F m== N=0.05 N.答案:(1)0.1 0.25 x=0.1sin (m) (2)4 m (3)0.05 N12.如图(甲)所示,一小球在半径很大的光滑圆弧曲面AOB之间做简谐运动,取向右偏离平衡位置的位移方向为正,小球在曲面A,B间运动的x t图象如图(乙)所示.取g=π2 m/s2.求:(1)小球振动的频率f;(2)圆弧曲面的半径R.解析:(1)由图知周期为0.8 s,则频率f==1.25 Hz.(2)由T=2π,得R==0.16 m.答案:(1)1.25 Hz (2)0.16 m。