中考数学总复习 第33讲 用坐标表示图形变换课件(1)

坐标平面的轴对称变换
在平面直角坐标系中画轴对称图形，确定一半图形的关键点， 以及他们的对称点的坐标，再描点连线．
坐标平面的旋转变换
1．(2014·烟台)如图，将△ABC绕点P顺时针
旋转90°得到△A′B′C′，则点P的坐标是( )
A．(1，1) C．(1，3)
B．(1，2)
B
D．(1，4)
【解析】先根据旋转的性质得到点A的对应点为点A′，点B的
坐标平面的平移变换
1．(2014·钦州)如图，△A′B′C′是△ABC经过某种变换后得到
的图形，如果△ABC中有一点P的坐标为(a，2)，那么变换后
它的对应点Q的坐标为
(a＋5，．－2)
【解析】根据对应点A，A′的坐标确定出
平移规律为向右平移5个单位，向下平移
4个单位，然后写出点Q的坐标．
等腰三角形的边、角
在平面直角坐标系中，将点P(x，y)向右(或左)平移a个单位长 度后，其对应点的坐标变为(x＋a，y)[或(x－a，y)]；将点P(x， y)向上(或下)平移b个单位长度后，其对应点的坐标变为(x，y ＋b)[或(x，y－b)]．
坐标平面的平移变换
2．(2014·来宾)将点P(－2，3)向右平移3个单位得到点P1，
解：(1)A(2，4)，B(－2，2)，C(3，1)， A′(2，－4)，B′(－2，－2)，C′(3，－1)； 关于x轴对称得到 (2)m＝0，n＝5
坐标平面的轴对称变换
对称点坐标的规律： (1)坐标平面内，点P(x，y)关于x轴(横轴)的对称点P1的坐标 为________； (2)坐标平面内，点P(x，y)关于y轴(纵轴)的对称点P2的坐标 为________； (3)坐标平面内，点P(x，y)关于原点的对称点P3的坐标为 ________． 可用口诀记忆：关于谁轴对称谁不变，关于原点对称都要 变．

VS
详细描述
点的旋转是指将图形中的点以某一点为中 心，按照一定的角度进行旋转。在直角坐 标系中，点的旋转可以表示为在x轴和y轴 上的分量分别乘以对应的旋转矩阵，并加 上旋转中心的位置。通过这种方式，我们 可以实现对图形进行旋转操作。
点的缩放
总结词
点的缩放是图形变化中常见的形式之一，通过改变点的大小，可以实现对图形 的缩放操作。
详细描述
点的缩放是指将图形中的点的大小进行缩放，以改变其所在的位置。在直角坐 标系中，点的缩放可以表示为在x轴和y轴上的分量分别乘以对应的缩放因子。 通过这种方式，我们可以实现对图形进行缩放操作。
点的反射Biblioteka 总结词点的反射是图形变化中常见的形式之一，通过对点进行镜像反射，可以实现对图 形的对称操作。
详细描述
OpenCV中的坐标与图形变换实例
图像坐标系
OpenCV中，图像坐标系 的原点位于图像的左上角 ，x轴向右，y轴向下。
图像变换
OpenCV中，可以通过多 种变换方法对图像进行处 理，如平移、旋转、缩放 等。
例子
通过仿射变换，实现将一 张图像映射到另一张图像 上。
Pygame中的坐标与图形变换实例
《坐标与图形的变化》课件
汇报人： 2023-11-29
目 录
• 坐标与图形的概述 • 坐标与图形的变化 • 坐标与图形的变换矩阵 • 坐标与图形的变换应用 • 坐标与图形的变化实例
01
坐标与图形的概述
坐标与图形的定义
坐标
坐标是数学中的一个概念，是确定平面点位和空间点位的数学工具。在平面直角坐标系中，横轴和纵轴分别称为 x轴和y轴，其上任一点P(x,y)称为平面坐标。在空间直角坐标系中，有三个互相垂直的坐标轴，分别称为x轴、y 轴、z轴，其上任一点P(x,y,z)称为空间坐标。

X
规律：对应点关于x轴对称。即对应点的 横坐标相等、纵坐标互为相反数
6、画出△ABC，A（2，1），B（4，0），C（5，2）沿y 轴
对折后的△A ’ B’ C ’，并观察对应顶点又有什么样的变化？
Y
C’ B’
A’
0
A B
C
X
规律：对应点关于 y 轴对称。即对应点的 横坐标互为相反数、纵坐标相等
7、画△AOB关于原点对称的△A ’O B ’ 你有什么发现？
归纳(一):
图形的平移: (a>0)
(x.y) (x.y)
向右平移a个单位 向左平移a个单位 向上平移a个单位 向下平移a个单位
(x+a,y) (x-a,y)
(x.y)
(x.y)
(x,y+a)
(x,y-a)
5、将△AOB沿着x轴对折，得到△A ’ OB， 画图并说明对应顶点有什么变化？
Y
A
O
B
A’
Y
A
B’
0
B
X
A’
规律：对应点关于原点对称。即对应点的 横坐标和纵坐标互为相反数
归纳(二): 图形的对称: (x.y) (x.y) (x.y)
关于x轴对称 关于y轴对称 关于原点O中心对称
(x,-y) (-x,y) (-x,-y)
8,能力拓展 如果将△AOB缩小，变成△COD，它 们的相似比是多少？对应点的坐标有什么变化？
Y
A
6
C
2 0 2
B D
6
X
பைடு நூலகம்规律： 横坐标和纵坐标都缩小相同的倍数
师生互动，课堂小结
通过本节课的学习，对本章的知识你有哪 些新的认识和体会？ 对图形的变换与坐标之间的关系有什么新 的认识？你还有哪些问题？请与同伴交流。

段依次连
–3
接,观察.
–4
–5
一、平移
1. 各点横坐标+a（-a）
图形向右(向左) 平移 a个 单位；
2. 各点纵坐标+a（-a）
图形 向上（向下）平移a个单位；
练习：
图形上各点按下列方式进行坐标变化，
所得的图案与原来的图案相比有什么变 化？
（1）(x,y) (x,y +5)
（2）(x,y) (x +1,y)
图形的变换与坐标精华版_图文.ppt
情境导入
• 在同一直角坐标系中，图形 经过平移、旋转、轴对称、 放大或缩小之后，点的坐标 会如何变化呢？
y
描出各点
5
：(0,0)
(5,1) (5,-
2
1) (3,0)
1
0 –1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
(4,-2) (0,0) 用线
–2
四、放大缩小：
(x,y) (k x, ky) 形状不变，放大或缩小k倍；
若k>1,图形整个被放大; 若 0<k<1,图形整个被压缩。
1、将坐标作如下变化时，图形将怎样变 化？ 1. (x,y)(x,y＋4) 4. (x,y)(3x , y)
2. (x,y)(x,y－2) 5. (x,y)(x , y)
3. (x,y)(x,－y)
6. (x,y)(3x , 3y)
2.将图中的△ABC作下列运动，画出相应的 图形，指出三个顶点的坐标所发生的变化. (1)沿y轴正向平移2个单位； (2)关于y轴对称； (3)以B点为位似中心，放大到2倍.
·

0 (0，－3) (0，－1) ┄┄ (0，2)
2 (2，－3) (2，－1) (2，0) ┄┄
所有等可能的情况有 12 种， 其中点(x， y)落在第二象限内的情况 2 1 有 2 种，则 P＝ ＝ 12 6
【例2】 (2013·青岛)一个不透明的口袋里装有除颜色外都 相同的5个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提 下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法，先将口袋中 的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放 回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了100次，其中有10 次摸到白球，因此小亮估计口袋中的红球大约有( A )个 A．45 B．48 C．50 D．55
3．(2014·温州)如图，直线AB，CD被BC所截，若AB∥CD， ∠1＝45°，∠2＝35°，则∠3＝__70__度． 4．(2012·嘉兴)已知△ABC中，∠B是∠A的2倍，∠C比∠A 大20°，则∠A等于( A ) A．40° B．60° C．80° D．90° 5．(2013·湖州)把15°30′化成度的形式，则15°30′＝__15.5__ 度．
点，E为DB的中点，EB＝6 cm，求CD的长．
解：∵E为BD的中点，∴BD＝2BE＝2×6＝12，又 ∵C为AB的中点，∴BC＝AB＝×40＝20，∴CD＝ BC－BD＝20－12＝8(cm)
－3 －3 －1 0 2 ┄┄ (－3，－1) (－3，0) (－3，2)
－1 (－1，－3) ┄┄ (－1，0) (－1，2)
一个联系
图形经过两次轴对称(两对称轴相互平行)得到的图形，
可以看作是由原图形经过平移得到的，也就是说两次翻 折相当于一次平移．
(2)如果图形是由直线、线段或射线组成的，那么在画 出它关于一条直线的对称图形时，只要画出图形中的特 殊点 ( 如线段的端点、角的顶点等 ) 的对称点 ， 然后连接 对称点，就可以画出关于这条直线的对称图形．

(3)将图中点的纵坐标保持不变,横坐标分别变为
原来的二分之一倍,所得图形与原图形相比有什
么变化?
y
7
6 5 4 3
2
1
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x
-2
纵坐标保持不变，横坐标乘以 m 当m >1时, 图形横向伸长为原来的m倍 当0< m <1时, 图形横向压缩为原来的m倍 横坐标保持不变，纵坐标乘以 n 当n>1时, 图形纵向伸长为原来的n倍 当0<n<1时, 图形纵向压缩为原来的n倍
图形沿y轴正方向平移h个单位长度
当h<0时,
图形沿y轴负方向平移|h|个单位长度
y
7 6 5
4 3个单位
3 2
当横、 纵坐标都 分别加上 3,所得到 的图形与 3个单位 原图形相
1
比有什么
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 变化?
-2
y
4 3 2
1O
12345 67 -1 -2
-3 -4
y
7
6
5
3个单位
4
3
2
1
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-2
3个单位
将上面 “鱼”的 “顶点” 的横坐标 保持不变, 纵坐标分 别加上 x 3(或－3), 得到的图 形与原图 形相比有 什么变化?
当横坐标保持不变，纵坐标加上h 时，所得的图形在纵向(竖直方向)上发 生平移变化。
当h>0时,
-2
形 状 和 大 小 x不 变
y7Βιβλιοθήκη 64个单位形
5
状
4
和
3
大
2

问题1 图1中,△AOB沿x轴向右平移3个单位之后,得到△A’O’B’.三个顶点的坐标有什么变化呢?
5
5
A
B
图1
当图形向右平移三个单位时,各点的横坐标分别加3,纵坐标不变.
当图形向上平移时,坐标又有什么变化呢?
如图，已知△ABC的顶点A的坐标为(3,5)，将△ABC沿X轴平移4个单位，则顶点A的坐标相应变为（ ）
你能得到怎样结论？
平移：
(x,y) (x +a,y+b)
沿x轴方向平移|a|个单位: 若a>0,则向右平移；若a<0,则向左平移沿y轴方向平移|b|个单位: 若b>0,则向上平移；若b<0,则向下平移
猜一猜：
将坐标作如下变化时，图形将怎样变化？
1. (x,y)(x,y＋4)
2. (x,y)(x,y－2)
3. (x,y)(x,－y)
4. (x,y)(3x , y)
6. (x,y)(3x , 3y)
试一试：
观察下列图形的变化，你知道坐标会怎样变化吗？
X
Y
1
1
X
Y
3
1
4.松树沿x轴方向，向右平移2个单位长度。
(x,y)( __ , __ )?
x+2 y
练一练
与左图三角形相比，右图中的三角形发生了怎样变化。
向右平移a个单位
向左平移a个单位
向上平移a个单位
向下平移a个单位
描出各点：(0,0) (5,4) (3,0) (5,1) (5,-1) (3,0) (4,-2) (0,0) 用线段依次连接又会怎样？
y
x
原图形被横向（向右）平移3个单位
纵坐标不变, 横坐标-2,图案会变成什么样？

x
坐标变化为：
12
八八年年级级 数数学学
轴对称与坐标变化
两鱼的位置关系
动画2
y
5
B
4
3
2 1
–3 –2 –1 O
–1 –2 –3
F2 E2 D
1 2C3 4 5 6 x D2 E
F
–4
B2
–5
与原图形关于x轴对称
结论4：若两点的纵坐标 相等、横坐标互为相反数，
则 ___这__两__点_关__于__x_轴__对__称___。
–3 –E2: (5–, 1–1O) : (0, 01) 2 3
–2
F1: (–4, –2)
F: (4, –2) –1
–3
–2
–4
–3
2020/12/2
–5
B: (5, 4)
D: (5, 1)
x
456
E: (5, –1) F: (4, –2)
10
八年级 数学
轴对称与坐标变化
两鱼的位置关系
动画
两个图形关于y y轴对称 5
–3 –2 –1 O: (0, 01) 2 3
2、根据你写出的坐标在坐标系中
–1
描出这些点，并依次连接这些点，
–2
你会得到怎样的图案？
–3
B: (5, 4)
D: (5, 1)
x
456
E: (5, –1) F: (4, –2)
3、观察坐标系中的两条鱼的位置 关系？
2020/12/2
9
八八年年级级 数数学学
系吗？
5、总结上面各点坐标的关系：关于y轴对称的两点，它们
的横坐标__互__为_相__反__数______
， 纵坐标__相__等____。

证明：(1)∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠B＝∠C＝45°，AB＝AC. ∵AP＝AQ，∴BP＝CQ. ∵E是BC的中点，∴BE＝CE.在△BPE和△CQE中， ∵BE＝CE，∠B＝∠C, BP＝CQ, ∴△BPE≌△CQE(SAS). (2)连接PQ. ∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形， ∴∠B＝∠C＝∠DEF＝45°. ∵∠BEQ＝∠EQC＋∠C，即∠BEP＋∠DEF＝∠EQC＋∠C， ∴∠BEP＝∠EQC. ∴△BPE∽△CEQ.
【考点3】平移和旋转的画图
【例3】在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示(每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形)．(1)将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位长度，画出平移后得到的△A1B1C1；(2)将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2，并直接写出点B2，C2的坐标．
证明：∵△ABC,△AMN是等边三角形，∴AB＝AC，AM＝AN.∠BAC＝∠MAN＝60°.∴∠BAM＝∠CAN.∵在△BAM和△CAN中，AB=AC, ∠BAM＝∠CAN，AM＝AN，∴△BAM≌△CAN(SAS). ∴∠ABC＝∠ACN. (2)解：结论∠ABC＝∠ACN仍成立．理由如下：∵△ABC、△AMN是等边三角形，∴AB＝AC，AM＝AN.∠BAC＝∠MAN＝60°，∴∠BAM＝∠CAN. ∵在△BAM和△CAN中， AB=AC，∠BAM＝∠CAN，AM＝AN， ∴△BAM≌△CAN(SAS)， ∴∠ABC＝∠ACN.
3．△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q.(1)如图1，当点Q在线段AC上，且AP＝AQ时，求证:△BPE≌△CQE；(2)如图2，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ.

通过图形变换，可以将三维场景中的物体从世界坐标系转 换到屏幕坐标系，实现三维图形的渲染和显示。同时，图 形变换还可以用于实现三维动画、虚拟现实和增强现实等 应用。
05 图形变换的挑战 与展望
复杂图形的变换
总结词
处理复杂图形变换时需要考虑的因素
详细描述
对于复杂图形，如不规则多边形、包 含大量细节的图像等，进行变换时需 要考虑到几何特性、颜色、纹理等各 方面的因素，以确保变换后的图形保 持原有的形状和特征。
矩阵变换
平移矩阵
通过平移矩阵可以将图 形在坐标平面上进行平
移。
旋转矩阵
通过旋转矩阵可以将图 形绕原点进行旋转。
缩放矩阵
通过缩放矩阵可以将图 形在各个方向上进行缩
放。
仿射变换矩阵
通过仿射变换矩阵可以 将图形进行更复杂的变 换，如倾斜、反射等。
齐次坐标
齐次坐标是将一个点的坐标表示为分数的形式，通过齐次坐标可以将二维平面上 的点扩展到三维空间中，也可以将三维空间中的点扩展到更高维度的空间中。
坐标轴
坐标平面由x轴、y轴和原点构成，x 轴和y轴具有方向性。
单位长度
坐标轴上相邻刻度之间的距离称为单 位长度，通常为1个单位。
点的坐标表示
点与坐标
在坐标平面上，任意一点P可以用一对有序实数（x, y）表示，称为点P的坐标 。
原点
坐标平面的中心点O称为原点，其坐标为(0,0)。
02 图形变换基础
缩放变换可以应用于多种场景，如图像处理、计算机图形学、地图缩放等领域。
旋转变换
旋转变换是指图形绕着原点旋转一定的角度，而其形状和大小保持不变 。
旋转变换可以通过旋转变换矩阵或者向量运算来实现，旋转变换矩阵表 示为：$begin{bmatrix} cos theta & -sin theta & 0 sin theta & cos