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第九章 粘性流体绕过物体的流动

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粘性流体绕球体的流动

粘性流体绕球体的流动

粘性流体绕球体的流动（一）绕流阻力绕流阻力由摩擦阻力和压差阻力两部分组成。

黏性流体绕流物体流动，由于流体的黏性在物体表面上产生切向应力而形成摩擦阻力，可见，摩擦阻力是作用在物体表面的切向应力在来流方向分力的总和，是黏性直接作用的结果；而压差阻力是黏性流体绕流物体时由于边界层分离，物体前后形成压强差而产生的。

压差阻力大小与物体行状有根大关系，也称形状阻力。

摩擦阻力和压差阻力之和统称为物体阻力。

对于流体纵向流过平板时一般只有摩擦阻力，绕流流线型物体时压差阻力很小，主要由摩擦阻力来决定。

而绕流圆柱体和球体等钝头体时，绕流阻力与摩擦阻力和压差阻力都有关，高雷诺数时，压差阻力却要比摩擦阻力大得多。

由于从理论上求解一个任意行状物体的阻力是十分困难的，目前都是自实验测得，工程上习惯借助无因次阻力系数来确定总阻力的大小，目摩擦阻力的计算公式相似，只是用阻力系数取代C D摩擦阻力系数C f，即式中：C D为无因次阻力系数；0.5ρν2A为单位体积来流的动能，Pa；A为物体垂直于运动方向或来流方向的投影面积，m2。

工程上遇到黏性流体绕球体的流动情况也很多，像燃料炉炉膛空气流中的煤粉颗粒、油滴、烟道烟气中的灰尘以及锅炉汽包内蒸汽空间中蒸汽夹带的水滴等，都可以近似地看作小圆球。

因此我们要经常研究固体微粒和液体细滴在流体中的运动情况。

比如，在气力输中要研究固体微粒在何种条件下才能被气流带走；在除尘器中要解决在何种条件下尘粒才能沉降；在煤粉燃烧技术中要研究煤粉颗粒的运动状况等问题。

当煤粉和灰尘等微小颗粒在空气、烟气或水等流体中运动时，由于这些微粒的尺寸以及流体与微粒间的相对运动速度都很小，所以在这些运动中雷诺数都很小，即它们的惯性力与黏性力相比要小得多，可以忽略不计。

又由于微粒表面的附面层板薄，于是质量力的影响也很小，也可略去（这种情况下的绕流运动常称为蠕流）。

这样，在稳定流动中，可把纳维托克斯方程简化为不可压缩流体的连续性方程1851年斯托克斯首先解决了黏性流体绕圆球作雷诺数很小(Re<1)的稳定流动时，圆球所受的阻力问题。

第九章 粘性不可压缩流体运动-2

第九章 粘性不可压缩流体运动-2

− ρ u′2 − ρ u′v′ − ρ u′w′ 2 P′ = − ρ u′v′ − ρ v′ − ρ v′w′ − ρ u′w′ − ρ v′w′ − ρ w′2
22
9.4.4 涡粘度理论 1877年Boussinesq 提出用类似牛顿内磨擦定 律的形式来表示雷诺应力与时均流动的关系， 即局部的湍流应力与时均速度梯度成正比：
u = u + u′
时均 速度 脉动
速度
4.00
5.00
(b)
采样时间t (s) (z/D=0.73 r/R=0.27)
实际工程中，并不关心随机运动，而是着眼于平均运动上。 把流场中的任一点的瞬时物理量看作是平均值与脉动值之 和，然后应用统计平均的方法从N－S方程出发，研究平 均运动的变化规律。
9
物理量的时均化
∂u ∂v ∂w + + =0 ∂x ∂y ∂z
复合函数的偏微分
∂u ∂u ∂u u +v +w ∂x ∂y ∂z
∂u 2 ∂uv ∂uw = + + ∂x ∂y ∂z
14
9.4.3 湍流运动雷诺方程
∂u ∂u ∂uv ∂uw 1 ∂p + + + = Fx − + ϑ∆u ρ ∂x ∂t ∂x ∂y ∂z
7
湍流运动的特点
拟序性。湍流的产生和维持过程中，存在着尺度的间歇现 象和周期性的猝发过程，湍流流动并非完全杂乱无序，而是 存在某种近似有组织的结构，拟序结构。条带结构、猝发结 构和涡旋结构形成 壁面附近湍流结构的特征
8
湍流运动的研究思路
6.0 4.0 瞬时速度 平均速度
轴向瞬时速度(m/s)

流体力学第9章-拈性不可压流体运动(zhou)

流体力学第9章-拈性不可压流体运动(zhou)

9.2 粘性流体运动一般性质
Stokes 第一问题
u 2u 2 t y
t 0 u0
t 0
引入无量纲自变量
y 0, u U ;
y
y , u 0

2 t
u u ( )

d 2u du 2 0 2 d d
0 u U பைடு நூலகம் , u 0
9.1 粘性不可压缩流体运动方程组
连续方程 运动方程
V 0
v j x j
0
1 V 2 (V .)V F p V t
vi vi 2vi 1 p vj Fi t x j xi x j x j
9.8 普朗特边界层方程
a) 边界层概念 对整个流场提出的基本分区是： （ 1 ）整个流动区域可分成理想流体的流动区域（势 流或位流区）和粘性流体的流动区域（粘流区）。 （ 2 ）在远离物体的理想流体流动区域，可忽略粘性 的影响，按位势流理论处理。 （ 3 ）在靠近物面的薄层内粘性力的作用不能忽略， 该薄层称为边界层。边界层内粘性力与惯性力同量级，流 体质点作有旋运动。
b) 两平行平板间定常流动
d 2u 1 dp P 2 dy dx
0 z
如果两板静止,得泊桑叶流动 1 dp 2 u (h y 2 ) 2 dx 如果上板以U沿x运动, 压差为0, 得纯剪切流动
U u ( y h) 2h
两者相加为库塔流
9.6 准确解
c) 两同心旋转圆柱间的定常流动
b) 机械能的耗损性 在粘性流体中，流体运动必然要克服粘性应力作功而 消耗机械能。粘性流体的变形运动与机械能损失是同时存 在的，而且机械能的耗散与变形率的平方成正比，因此粘 性流体的机械能损失是不可避免的。

粘性流体力学课件

粘性流体力学课件

适用于牛顿流体
流体运动微分方程——Navier－Stokes方程


y
vx v y vx vz z x x z y

Dvx p 2 x fx 2 Dt x 3 x x x
Dvy
2 y 2 y 2 y 1 p fy 2 2 x Dt y y z 2

2 z 2 z 2 z Dvz 1 p fz 2 2 2 Dt z y z x
( x z ) ( y z ) ( z 2 ) dxdydz x y z
微元体内的动量变化率
x dxdydz x方向： t z dxdydz y方向： dxdydz z方向： t t
y
运动方程
以应力表示的运动方程
p
xx
yy zz 3
这说明：三个正压力在数值上一般不等于压力，但它们的平 均值却总是与压力大小相等。
切应力与角边形率
流体切应力与角变形率相关。
牛顿流体本构方程反映了流体应力与变形速率之间的关系， 是流体力学的虎克定律。
N-S方程
Dvx p 2 x fx 2 Dt x 3 x x x
xx dx x
每个应力有两个下标，第一个下 标表示应力作用面的法线方向； 第二个下标表示应力的作用方向
fz
fy fx
应力正负的规定
应力与所在平面的外法线方向相 同为正，否则为负：
微元体上的表面力和体积力
运动方程
应力状态及切应力互等定律

流体力学选择题

流体力学选择题

第一章流体及其物理性质1、如果在某一瞬间使流体中每个流体微团的密度均相同，则这种流体一定是( )。

A、可压缩流体；B、不可压缩流体；C、均质流体；D、非均质流体；2、牛顿内摩擦定律告诉我们( )。

A、作用于流层上切向应力与压力成正比；B、作用于流层上切向应力与速度梯度成正比；C、作用于流层上切向应力与速度梯度成反比；D、作用于流层上切向应力与流层面积成反比；3、流体的特点是( )。

A、只能承受微小剪切力作用；B、受任何微小压力都能连续变形；C、当受到剪切力作用时，仅能产生一定程度的变形；D、受任何微小剪切力作用将发生连续变形；4、在地球的重力场中，流体的密度和重度的关系为( )。

A、gργ=；B、gργ=；C、ργg=；D、γρg=；5、流体是那样一种物质，它( )。

A、不断膨胀，直到充满任意容器；B、实际上是不可压缩的；C、不能承受切应力；D、在任意切应力作用下，不能保持静止；6、流体的力学特征为( )。

A、只能承受微小剪切力作用；B、受任何小压力都能连续变形；C、与受到剪切力作用时，仅产生一定程度的变形；D、受任何微小剪切力都能连续变形；7、流体的粘性受温度的影响很大，液体的粘性随温度的升高而( )，气体的粘性随温度的升高而( )。

A、增大；B、减小；C、无规则地变化；D、趋于一稳定值；8、流体层流流动时，内摩擦阻力的大小( )。

A、与正压力成正比B、与速度梯度成正比C、与流体的动力粘度无关9、流体的运动粘度系数ν的关系式为( )。

A、ρμν=； B、μρν=；C、ρμν=； D、νρμ=；10、不可压缩流体( )。

A、其中任意一个流体质点的密度始终不定；B、其中每一个流体质点的密度均相同；C、就是密度等于常数的流体；D、就是流体微团的密度不随压力变化的第二章流体力学的基本概念1、定常流动是指( )。

A、任一点流动情况不随时间改变；B、t∂∂→ν不变；C、相邻两点任意瞬时流动情况相同；D、流动情况总是随时间变化；2、水力半径可由下列之一给出( )。

第8章 粘性流体绕物体的流动-复习

第8章 粘性流体绕物体的流动-复习

上式也称为广义牛顿定律。由上式可知切
应力与流体质点的角变形率大小成正比，而流
体的法向应力和流体的相当体积膨胀率 ，以及相应方向上的线变形率有关，因此在运
动的粘性流体中，和静止的状态不同，法向应
力在不同方向上大小可能不相等。
三、纳维－斯托克斯方程（简称N－S方程）
• 将式（8－10）代入式（8－9）可得： （ 8－11）
（8－9）
方程左端为单位质量流体的惯性力；右端第一项 为作用于单位质量流体上的质量力；第二项为作 用于单位质量流体上的表面力。
该方程是牛顿第二定律的一个严格的描述，在推 导过程中适用于各种流体。但是，方程中质量力 为已知，而表面应力各分量未知。？
二、本构方程
本构方程指确立应力和应变率之间关系的方程式。 例如弹性力学中的胡克定律。对于大多数流体应 力与应变变化率成正比，也就是说，应力与应变 变化率之间存在着线性关系，服从这种关系的流 体称为牛顿流体。 斯托克斯通过引入假设条件将牛顿内摩擦定律推
流体经过机翼翼型（或叶片叶型）的流动如图8-18所示， v p 以 和 表示无穷远处流体流动所具有的速度和压强。 流体绕过翼型前驻点后，沿上表面的流速先增加，直增 加到曲面上某一点M，然后降低。由伯努利方程可知， 相应的压强先降低（dp/dx<0），而后再升高(dp/dx>0)。 M点处边界层外边界上的速度最大，而压强最低。沿曲 面各点法向的速度剖面和压强变化曲线的示意如图8-19 所示。图中实线表示流线，虚线表示边界层的外边界。
●边界层的构成：
1.层流边界层，当 流边界层。
较小时，边界层内全为层流，称为层 Re
2.混合边界层：除前部起始部分有一小片层流区，其余大 部分为紊流区，称为混合边界层。

工程流体学第九章 粘性流体绕过物体的流动

方程就是不可压缩黏性流体的运动微分方程，Navier-Stokes 方程，简称N-S方程。该方程是一个二阶非线性偏微分方程组， 目前尚无普遍解，但对于一些简单流动可化成线性方程求解。

当流体为理想流体时，运动粘度等于0，N－S方程简化为：
x x x x 1 p x y z fx t x y z x y y y y 1 p x y z fy t x y y z 1 p z z z z x y z fz y z z t x
第五节
边界层动量积分关系式
推导边界层动量积分关系式
1 p dx 2 x
在定常流动的流体中，沿边界 层划出一个单位宽度的微小控制 体，它的投影面ABDC由作为x轴的 物体壁面上的一微元距离BD、边界 层的外边界AC和彼此相距dx的两直 线AB和CD所围成。
Hale Waihona Puke bA pp
C
p p dx x
切向应力之间的关系 根据达朗伯原理，所有力矩之和等于零。
对z轴的力矩：
yx dy dy yx dxdz ( yx dy )dxdz 2 y 2 xy dx dx xy dydz ( xy 0 dx )dydz x 2 2
同理
xy yx
3422xyyy???????????????????????????????????22002642?xwyyd?yydy????????????????????????????????????????????340?0?72210xyyydydy??????????????????????2???????????????????342x2?2?0?0?36722630yyydydy???????????????????????????????????????ddee将式将式ccaa得式得式dd和式和式ee代入边界层动量积分关系式代入边界层动量积分关系式2?2?2367726301037630371260dddxdxddxxc????????????????????????或积分得因为在因为在平板壁面前缘点处边界层厚度为零平板壁面前缘点处边界层厚度为零即所以积分常数所以积分常数c0c0

粘性流体力学.ppt



Dvy Dt
=
fy-
p y
+
x


vy x

vx y

y



2
vy y

2 3

V


z



vz y

vy z


Dvz Dt
=
fz -
p z
在 t 时间内通过控制体左侧面流入控制体的 流体质量为 u y z t 通过右侧面流出控制体的流体质量为
u
u+

x
x y z t

这里对 u 运用了泰勒级数展开，并忽略二阶 以上小量。沿x方向净流出控制体的流体质量 为
u
u
从上式可得
+ u + v + w = 0
1.6
用场论符号表示为： t x y z
+ v = 0
t
利用散度公式 v = v + v
质点 导数表达式，（1D.7）+式 可v =改0写为
Dt
1.7
静止固壁： v 0 （粘附条件）
运动固壁： v流 v固
自由界面上：pnn p0 , pij 0i j
即在自由界面上，法向应力等于自由界面上的压力，切向应
力为零。
对于温度场，还可以有温度边界条件，即
或
qw



k
T n
w
T Tw
式中 Tw 是物面上的温度。qw 为通过单位面积传递给流 体 T / n

理想流体稳定流动粘性流体PPT课件


ⅱ若粘性流体在开放的等粗细管中作稳定流动，
∵ P1 P2 P0 v1 v2
∴ gh1 gh2 E
因此，细管两端必须维持一定的高度差。
二、泊肃叶定律
1. 泊肃叶定律
实验证明：在水平均匀细圆管内作层流的粘性流体，其体积 流量与管子两端的压强差 成p 正比。
即 Q R4P 8L
R —— 管子半径
解：Rf
8L R 4
8 3.0 103 0.2 3.14 1.3102 4
5.97 104
Pa s m3
P QRf 1.0 104 5.97 104 5.97Pa
三、斯托克斯定律
1、斯托克斯定律
固体在粘性流体中运动时将受到粘性阻力作用，若 物体的运动速度很小，对于球体，它所受的粘性阻力可 以写为
x x+dx
v v+dv
管壁
管壁
速度梯度 dv 表示速度随位移的变化率。 dx
若x方向上相距dx的两液层的速度差为dv，则 dv/dx 表示在垂直于流速 方向单位距离的液层间的速度差叫做速度梯度。
实验证明： F ∝ S ，dv/dx 即：
F dv S
dx —— 牛顿粘性定律
—— 粘度系数（粘度）
g 2g
P — —压力头
g
v2 — —速度头 2g
h — —水头
4、特例 A、流体在水平管中流动或者可以忽略高度差（h1 = h2 ），
则流体的势能在流动过程中不变，故
P
1 2
v 2
常量
V小→P大 ； V大→P小
B、对于等粗管（v1 = v2 ），又有
P gh 常量
h小→P大 ； h大→P小
单位： SI中为 Pa s

第九章 粘性流体绕过物体的流动(12)


第十二节 物体阻力 自由沉降速度
• 二、减阻方法
（3）控制边界层，防止边界层分离。
将壁面附近被阻滞的流体设法吸去;
通过壁面注入流体,使被阻滞的流体获得更多的动量和能 量以增强其克服逆压梯度的能力。
第十二节 物体阻力 自由沉降速度
• 三、自由沉降速度
FD
小球受力:重力G、浮力F、沿流动方 向的阻力FD
翼型的阻力FD与翼型的翼弦b、翼展l、冲角α
第十二节 物体阻力 自由沉降速度
临界冲角升力系数达到最大值， 也是失速点
如果机翼的迎角大到了一定程度， 靠近机翼翼面附近的气流在绕过上 翼面时，由于自身粘性的作用，流 速会减慢，甚至减慢到零，而上游 尚未减速的气流仍然源源不断地流 过来，减速了的气流就成为了阻碍， 最后气流就不可能再沿着机翼表面 流动了，它将从表面抬起进入外层 的绕流，这就叫做边界层分离。
F
1 3 G d s g 6 1 3 F d g 6 v 2 1 2 2 FD CD CDd v f 2 8
G
第十二节 物体阻力 自由沉降速度
当FD+F>G 小球随流体向上运动
当FD+F<G 小球向下沉降
当FD+F=G 小球处于临界状态，及悬浮状态 小球处于悬浮状态时： FD F G 1 1 3 1 3 2 2 C Dd v f d g d m g 2 6 6
• 一、物体阻力 摩擦阻力是作用在物体表面的切向应力在来 流方向上的分力的和。
压差阻力是作用在物体表面的压强在来流方向 上的分力的总和。大小与物体表面形状有很大 关系，又称形状阻力。
第十二节 物体阻力 自由沉降速度
第十二节 物体阻力 自由沉降速度
圆柱体阻力系数与雷诺数关系
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b

fy
x
C2 0
o
速度分布
1 d vx ( p gh) y 2 b y）y （ 2 dx
b
压差作用：泊肃叶流 剪切作用：库埃特流
Ub 1 d ( p gh)b 3 2 12 dx
若下板不动，上板以速度u沿流动方向运动
U 1 d vx y [ ( p gh)](b y ) y b 2 dx
xy
xy
第二个下标 表示应力本 身的方向。
p xx
dy
xz
fx
xy
yx
dx
zx zx dz z
流体力学
流体力学 切应力和角应变速度的关系
y
yx
yx y dy
xy
dy
M
xy
xy x
dx
dx
yx
o 分析切向应力之间的关系用图
vx / v y / 0 / x y 1 1

（9-31a）
式中雷诺数
Rel
vl

与
相比较是很小的 ，即 << 或 /
r2
1
流体力学
内圆管匀速运动
r r1 , v z 0 r r2 , v z U
1 d r12 r22 r U r 2 2 vz ( p gh)[( r1 r2 ) ln ] ln 轴向速度： 4 dz ln(r1 / r2 ) r1 ln(r1 / r2 ) r1
1 1
/
/
1
/
1 ( / ) 2 1
1
/2
2 / 2 / / v / p / 1 vy vy / v vx vy / ( /2 /2 ) / / x y y Rel x y
1 /
/ 1 (
/
1

) ( / ) 2 / /
1
/
qV v x dy
0
流体力学
二、环形管道中流体的定常层流流动
h
假设:
外径r1、内径r2 的环形管道很长 不可压缩粘性流 体作定常层流流动 采用圆柱坐标系 z轴与管轴重合

r1 r2
r2
h
r1
z
dh

drsin h f
z

dh
vz vr v 0， 0

( p gh) 0 r
( p gh) 0

z

dh
1 vz 1 (r ) ( p gh) r r r z

rd cos
1 d dvz 1 d (r ) ( p gh) 轴向速度： r dr dr dz
dh
dz
z

流体力学

rd cos
dh
dz
z

流体力学
质量力：
h r 1 h f g cos cos g r h f z g sin g z f r g cos sin g
h

r1 r2
r2
h dh drsin h f
r1
z
代入运动方程：
再略去四阶无穷小量，又因 故得
xy yx yz zy zx xz
dxdydz 0 dvx d dy dt
v y v x yx x y 2 z v z v y zy y z 2 x v x v z xz 2 y x z
流体力学
第九章 粘性流体绕物体的流动
实际流动都是有粘流动，目前 对粘性流动研究方法主要有：
1、基于N-S方程的紊流模拟. 2、流体实验.
流体力学
本章的主要内容
本章主要讨论绕流问题，即外流问题。首先将介绍粘性流
体的运动微分方程，然后将给出边界层的概念及其控制方程，
最后针对绕流流动现象的一些具体问题进行了讨论。
沿x轴无压强梯度，ρgh与p相比可忽略不计时，
d ( p gh) 0 dx
U 1 d vx y [ ( p gh)](b y ) y b 2 dx
U vx b y
流体力学
第三节 边界层的基本概念
一、边界层
1.边界层的概念
在大雷诺数下紧靠物体表面流速 从零急剧增加到与来流速度相同数量 级的薄层称为边界层。
由连续性方程可知，其值为0
——纳维-斯托克斯（Navier-Stokes）方程
流体力学
如果是没有粘性的理想流体，则 为零，于是纳维-斯 托克斯方程变成理想流体的欧拉运动微分方程。 如果没有加速度，则
dv x dv y dv z 、 、 dt dt dt
都为零，于是上述方程变成欧拉平衡微分方程。 所以说，上述纳维-斯托克斯方程式不可压缩流体的最普 遍的运动微分方程。
x
根据达朗伯原理，作用于微元平行六面体上的各力对通过中心 M并与z轴相平行的轴的力矩之和应等于零。又由于质量力和惯 性力对该轴的力矩是四阶无穷小量，可以略去不计，故有：
流体力学
yx xy dy dy dx dx yx dxdz xy dydz xy dydz 0 yx dxdz dy dx 2 y 2 2 x 2
vx vx 2 vx 2 vx 1 p vx vy v( 2 2 ) x y x x y v y v y 2v y 2v y 1 p vx vy v( 2 2 ) x y y x y vx v y 0 x y
◆空间流动三维问题，N—S方程及其求解 ◆扰流阻力及其计算 ◆ 附面层的问题
流体力学 第一节 不可压缩粘性流体的运动微分方程 （纳维-斯托克斯方程）
第一个下标表示 应力所在平面的 法线方向。
dz
yx
fy
fz
yx y
dy
dx x pxx pxx dx x xz xz dx x
rd cos
dh
dz
z

流体力学
连续方程： 运动方程：
fr 1 p 0 r 1 p 0 r
2
v z 0 z
h

r1 r2
r2
h
r1
z
dh
f
drsin h f Nhomakorabeaz

dh
fz
1 p v 1 v z ( 2z )0 r z r r r
流体力学
以上三式加上不可压缩流体的连续方程：
vx v y vz 0 x y z
共有四个方程，原则上可以求解不可压缩粘性流体运动问题中 的四个未知数 v x、v y、v z 和p。但是，实际上由于流体流动 现象很复杂，要利用这四个方程去求解一般可压缩粘性流体的 运动问题，在数学上还是很困难的。所以，求解纳维-斯托克 斯方程，仍然是流体力学的一项重要任务。
xy yz zx
假若流体的粘度 在各个方向上都 是相同的，可得
流体力学 法应力和线变形速度的关系
在运动的粘性流体中，由于流体微团有线变形速度，于是便产生 了附加法向应力，导致法向应力与压强不相等，对不可压缩流体 推导的结果为：
v x p xx p 2 x v y p yy p 2 y v z p zz p 2 z
2.边界层的厚度
在实际应用中规定从固 体壁面沿外法线到速度达到 势流速度的99%处的距离为 边界层的厚度。
边界层
流体力学
3.边界层的特征
（1）与物体的长度相比， 边界层的厚度很小；
过渡区域
紊流边界层
层流边界层 粘性底层
（2）边界层内沿边界层厚 度的速度变化非常急剧 速度梯度很大；
（3）边界层沿着流体流动的方向逐渐增厚；
y
运动方程：
fx v 1 p 2x 0 x y
2
U
-dy -dh -dx h g
1 p fy 0 y
fx


b

fy
x
h 质量力： f x g sin g x h f y g cos g y
o
代入运动方程：
2vx 2 ( p gh) x y
y y / l
v 'y v y / v
/l
p ' p / v 2
代入方程组9-31整理后得：
/ vx / p / 1 2 vx / 2vx / / vx vx vy / ( ) x / y / x Rel x / 2 y / 2 /
轴向速度： 流量：
1 d r12 r22 r vz ( p gh)[( r12 r22 ) ln ] 4 dz ln(r1 / r2 ) r1
d (r12 r22 ) 2 qV 2 vz rdr ( p gh)[( r14 r24 ) ] 8 dz ln(r1 / r2 ) r
（9-31）
将上述方程组无量纲化。
为此考虑如图所示的一半 无穷绕流平板，假定无穷 远来流 的速度 ，流动绕 过平板时在平板附近形成 边界层，其厚度为 ，平板 前缘至某点的距离为 。取V 和 为特征量，可定义如下 的无 量纲量：
x x / l
v v x / v
' x
( p gh) 0 y
流体力学
x向速度微分方程：
d 2vx d 2 ( p gh) dx dy