不可压缩粘性流体的流动

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不可压缩粘性流体的流动

§7-2 不可压粘性流体运动的
基本方程简介
将微元体所受的惯性力、质量力和表面力代入牛顿第二定理 ΣF = ma 可得不可压粘流的运动微分方程：N-S方程
∂p ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ax = fx − + µ( 2 + + ) 2 2 ρ∂x ∂x ∂y ∂z
ay
∂p ∂ 2v ∂ 2v ∂ 2v = fy − + µ( 2 + + ) 2 2 ρ∂y ∂x ∂y ∂z
引入特征量:将N-S方程中的各物理量无量纲化。
x y u v p x ′ = ,y ′ = ,u ′ = ,v ′ = , p ′ = L δ U V P 这些无量纲化的物理量与1具有相同的量级
N-S方程的无量纲化
∂u ′ VL ∂u ′ P ∂p ′ ν ∂ 2u ′ L 2 ∂ 2u ′ u′ +( ) ′ v = −( 2 ) + [ 2 +( ) ] 2 ∂x ′ ∂y ′ δ ∂y ′ Uδ ρU ∂x ′ UL ∂x ′ 1 2 ×1 1 1 1 ε 1×1 ε ×1 ε
理想流体没有切向力，只有法向力 pii 实际流体既有法向力，也有切向力，如图，由于应力的对称性，应力中只有6个分量是独立的。它们是：主应力：切应力：
p xx
p yy
p zz
p xz = p zx
p xy = p yx p zy = p yz
对不可压流体，主应力可表示为： ∂u p xx = − p + 2µ ∂x ∂v p yy = − p + 2µ ∂y ∂w p zz = − p + 2µ ∂z 一般情况下，三个法向应力不相等，其关系是： 1 − p = ( p xx + p yy + p zz ) 3

流体力学第七章不可压缩流体动力学基础

第七章不可压缩流体动力学基础在前面的章节中，我们学习了理想流体和粘性流体的流动分析，按照水力学的观点，求得平均量。

但是，很多问题需要求得更加详细的信息，如流速、压强等流动参数在二个或三个坐标轴方向上的分布情况。

本章的内容介绍流体运动的基本规律、基本方程、定解条件和解决流体问题的基本方法。

第一节流体微团的运动分析运动方式：①移动或单纯的位移（平移）②旋转③线性变形④角变形。

位移和旋转可以完全比拟于刚体运动，至于线性变形和脚变形有时统称为变形运动则是基于液体的易流动性而特有的运动形式，在刚体是没有的。

在直角坐标系中取微小立方体进行研究。

一、平移：如果图（a ）所示的基体各角点的质点速度向量完全相同时，则构成了液体基体的单纯位移，其移动速度为z y x u u u 、、。

基体在运动中可能沿直线也可能沿曲线运动，但其方位与形状都和原来一样（立方基体各边的长度保持不变）。

二、线变形：从图（b ）中可以看出，由于沿y 轴的速度分量，B 点和C 点都比A 点和D 点大了dy yu y ∂∂，而yu y ∂∂就代表1=dy 时液体基体运动时，在单位时间内沿y 轴方向的伸长率。

x u x ∂∂，y u y ∂∂，zuz ∂∂ 三、角变形（角变形速度）ddd DCABCDBAdt yu dy dt dy y u d x x ∂∂=⋅∂∂=α dt x udx dt dx x u d yy∂∂=⋅∂∂=β θβθα+=-d d 2βαθd d -=∴ 角变形： ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂=+=-=x u y u d d d y x z 212βαθαθ ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂=x u z u z x y 21θ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂=y u z u z y x 21θ 四、旋转（旋转角速度）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=-=y u x u x y z 21θω ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=z u y u y zx 21ω 即， ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=x u z u z x y 21ωzyxu u u z y x k ji ∂∂∂∂∂∂=21ω 那么，代入欧拉加速度表达式，得：z x x x x x x z y y z z y y y y y y y x z z x x z z z z z z z y x x y y x x y du u u u u u u u dt t xu u u u u u u u dt t y u u uu u u u u dt t z αθθωωαθθωωαθθωω∂∂⎫==++++-⎪∂∂⎪∂∂∂⎪==++++-⎬∂∂⎪⎪∂∂∂==++++-⎪∂∂⎭各项含义：（1）平移速度（2）线变形运动所引起的速度增量（3）（4）角变形运动所引起的速度增量（5）（6）微团的旋转运动所产生的速度增量流体微团的运动可分解为平移运动，旋转运动，线变形运动和角变形运动之和。

粘性流体的不可压缩流动

Chapter 9-1 粘性不可压缩流体流动§1概述一、粘性不可压缩流动模型１、关于粘性粘性摩擦的存在必导致绕流阻力的存在，运动的衰减及涡量的扩散。

在大e R 数下，惯性力>>粘性力，采用理想流体模型，理想流体理论对不脱体绕流情况下的升力，压力分布和速度分布给出了符合实际的结果，但在阻力等与粘性效应相关的问题上却无能为力。

因而，在研究阻力等起源于粘性的现象时须抛弃理想流体假设。

在小e R 数和中e R 数情况下，粘性作用不可忽略。

2、关于不可压缩流动（流体的压缩性对流动的影响可略）液体压缩系数小，一般可认为不可压缩（极端情况如激波等除外）。

气体在低速运动（速度远小于声速）、非定常时速度变化缓慢，且重力方向上流场的尺度<10km 时，可略其压缩性。

（当研究对流层（~10km ）内大气运动时，不能忽略重力场引起的压缩效应）。

３、基本方程组和边界条件均质不可压缩流体.const ρ=，且温度变化小，const μ=，故有20V dV pF V dt γρ⎫∇⋅=⎪⎬∇=-+∇⎪⎭求速度和压力场的完备方程组。

能量方程22:dUk T S S dtρμ=∇+ 用于求温度场本构方程 2P p I S μ=-+ 用于求应力边界条件：在固壁表面上，流体的法向和切向速度分别等于固体表面的对应速度分量。

在自由表面上，0, 0nn n p p p τ=-=。

二、粘性流动分类，求解问题的几种途径层流：流体运动规则、稳定，各部分分层流动互不掺混，质点轨迹光滑。

脉线清晰湍流：流体运动极不规则、极不稳定，伴有高频扰动，各部分激烈掺混，质点轨迹杂乱无章。

决定流动状态的参数是e R 数(Batchlor page255)，e R <<2000 一定是层流，此时粘性力足以保持流动的稳定。

层流：极少有准确解（某些特殊的简单问题，非线性方程得以简化）近似解法：大e R 数，边界层理论小e R 数，部分或全部忽略惯性力。

《流体力学》第七章不可压缩粘性流体的流动

应力与应变的关系--------本构关系
du
dy
对照牛顿实验
pyx
斯托克斯假设
(1). 应力与变形速率之间为线性关系(小变形(各向同性假设) (3). 趋于零时, 应力状态退化为理想流体的应力状态(当流体处于静止状态时,符合静止流体的应力特征)
pyz pzy
pzx pxz
pyx
p y x y
dy 2
pyy

p y y y
dy 2
pxx

pxx x
dx 2
pxy

pxy x
dx 2
y x
pxx

pxx x
dx 2
pxy

pxy x
dx 2
pyx

p y x y
dy 2
pyy

p y y y
dy 2

p y x y

pzx z
)
将pxx pyx pzx 的表达式代入, 设不可压, 则有
同理有
ax

fx

1

p x

(
2u x 2

2u y 2

2u z 2
)
ay

fy

1

p y

(
2v x 2

2v y 2

2v z 2 )
az

fz

1

p z
pzz

p

2
w z
相加
1 3
(
pxx

pyy

流体力学基础流体的性质与流体力学原理

流体力学基础流体的性质与流体力学原理流体力学基础——流体的性质与流体力学原理流体力学是研究流体运动和流体力学基本原理的学科，广泛应用于航空、航海、能源、化工等领域。

本文将介绍流体的性质以及流体力学的基本原理。

一、流体的性质流体指的是气体和液体，在力学中被视为连续介质。

流体具有以下几个主要的性质：1. 可流动性：与固体不同，流体具有较低的粘性和内聚力，因此可以流动。

流体的流动性使其在工程领域中应用广泛，并且流体力学正是研究流体流动的力学学科。

2. 不可压性：对于液体来说，密度变化相对较小，一般可视为不可压缩的。

而对于气体来说，变化较大的压力会引起密度变化，所以流体力学中对气体流动的研究需要考虑密度的变化。

3. 流体静力学压力：流体静力学压力是由于流体自身重力或外力作用下的压力差异引起的。

流体中的每一点都承受来自其周围流体的压力。

4. 流体动力学压力：流体动力学压力是由于流体的动力作用引起的压力差异。

当流体以较高速度通过管道或物体时，流体动力学压力扮演着重要的角色。

二、流体力学原理流体力学原理是研究流体运动的基本规律，它由庞加莱提出的运动方程、贝努利定律、连续方程等组成。

以下将分别介绍这几个基本原理：1. 流体运动方程：流体运动方程描述了流体在空间中运动的规律。

流体运动方程包括质量守恒方程、动量守恒方程和能量守恒方程。

质量守恒方程指出质量在流体中不会凭空消失或产生；动量守恒方程描述了流体运动中受到的作用力和压力的关系；能量守恒方程则研究了流体在流动过程中的能量转化。

2. 贝努利定律：贝努利定律是流体力学中最为著名的定律之一。

它说明了在无粘度和定常状态下，流体在不同位置的速度、压力和高度之间存在着一种平衡关系。

贝努利定律在飞行器设计和管道流动等领域中有广泛的应用。

3. 材料导数：材料导数是流体力学中用来描述物质随时间变化的速率的重要概念。

对于流体来说，由于其非刚性的特性，物质随时间的变化需要通过材料导数来描述，它包括时间导数和空间导数。

第六章理想流体不可压缩流体的定常流动

一、流体运动的基本方程回顾动量方程：粘性、不可压缩流体 N-S方程
（粘性系数为常数）
Du 1 p 2u 2u 2u gx Dt x x 2 y 2 z 2
Dv 1 p 2v 2v 2v gy 2 2 2 Dt y x y z
流动条件，截面为A 1、A 2，平均速度为V 1、
V 2，流体密度为ρ. 由一维平均流动伯努利方程
V12 p1 V22 p gz1 gz 2 2 2 2
移项可得
(a)
V22 V12 p p ( gz1 1 ) ( gz 2 2 ) 2
(b)
文特里流量计：一维平均流动伯努利方程 A1、A2截面上为缓变流，压强分布规律与U 形管内静止流体一样，可得
讨论： 1、上式为非定常不可压缩理想流体欧拉运动微分方程。 DV 0 上述方程变成流体静力学中的欧拉平衡微分方程。 2、 Dt 1 g p 0 V 0 此时的理想流体欧拉运动微分方程变成定常不可压缩理 3、 t 想流体欧拉运动微分方程。 1 V V g p
基本方程组：
动量方程：
u u u 1 u v fx t x y v v v 1 u v fy t x y
p x p y
V 1 V V g p t
定常
连续性方程：
V 不考虑重力 0 t u v w D 0 Dt x y z u v 0 x y v u 0 x y
ρ,U 形管中液体密度ρm .
求：
用液位差Δh表示流速v
毕托测速管解：设流动符合不可压缩无粘性流体定常流动条件。 AOB线是一条流线(常称为零流线), 沿

不可压缩流体流动的变化方程

不可压缩流体流动的变化方程不可压缩流体流动的变化方程是描述流体在时间和空间上的变化规律的方程。

它由连续性方程和动量方程组成。

一、连续性方程：不可压缩流体的连续性方程描述了流体质点的质量守恒关系。

在稳态条件下，连续性方程可以表示为：∇·v = 0其中，∇表示空间的梯度算子，v表示流体的速度矢量。

该方程表示了流体通过任意闭合曲面的净质量变化为0，即质量进出的总和为0。

二、动量方程：不可压缩流体的动量方程描述了流体质点的运动定律。

在稳态条件下，动量方程可以表示为：ρ(v·∇)v = -∇P + ρg + μ∇²v其中，ρ表示流体的密度，P表示流体的压强，g表示重力加速度，μ表示流体的动力粘度，∇²表示速度矢量的拉普拉斯算子。

该方程中的第一项ρ(v·∇)v表示流体的非定常惯性项；第二项-∇P表示压力梯度对流体运动的影响；第三项ρg表示重力对流体运动的影响；第四项μ∇²v表示粘性对流体运动的影响。

这些项分别描述了流体质点的加速度、压力力、重力力和粘性力对流体动量变化的影响。

不可压缩流体的动量方程中的非定常惯性项通常可忽略，从而简化为：-∇P + ρg + μ∇²v = 0这个方程可以解释流体在压强梯度、重力和粘性力的作用下的运动。

上述的连续性方程和动量方程是描述不可压缩流体流动的基本方程。

在进行实际计算时，通常还要考虑边界条件、流体的特性以及相应的求解算法等因素。

此外，流体的温度、浓度等其他因素也可以加入到动量方程中，形成相应的耦合方程，用于解决特定问题。

总之，不可压缩流体流动的变化方程是描述流体在时间和空间上变化规律的方程，它由连续性方程和动量方程组成，能够更全面地揭示不可压缩流体的运动定律。

第七章粘性不可压缩流体的湍流运动

u l y 2
O
x
§7-2 普朗特混合长理论
第七章粘性不可压缩流体的湍流运动 9
§7-2-1 混合长理论 ▪ 混合长度 ~ (u d u v 上层落入下层的动量： dy ~ (u d u v 下层动量流入上层： dy
下层的动量增量：
l ) 2 l ) 2
y
u
yo
粘性不可压缩流体运动方程 ( 忽略体力 )
ui ui 1 p u u i j u j xi x j t ui 0 u x j i 0 xi ~u ~ ) ui (ui u j ) (u p i j 1 ui t xi x j x j ui 0 湍流运动方程 xi
u u u l y 2
u l y 2
~(u v
~ 所导致的x方向的湍流应力 ~ 应为脉动速度 v xy
du l ~(u du l ) v ~l du v ~ (du )l ) v dy 2 dy 2 dy dy O
x
~ v ~u ~ v ~ du l xy dy
第七章粘性不可压缩流体的湍流运动 5
§7-1-2
湍流运动方程 ▪ 雷诺方程 ▪ 雷诺应力
ui (ui u j ) 1 p ui xi x j t ui 0 xi
ui
u j u i u i u i x j x j x j x j x i x j u j u ( i ) 2 s ij x j x j x i x j
~ ~ ~u ~ P ij u i j
第七章粘性不可压缩流体的湍流运动 7 §7-1 湍流的定义及雷诺方程 §7-1-2 湍流运动方程 ▪ 雷诺方程 ▪ 雷诺应力

例5-1不可压缩粘性流体在管内作定常流动时

例5-1不可压缩粘性流体在管内作定常流动时，流体的压降损失△p与管内径d、管长l、管壁粗糙度ε、流体的平均流速V、密度ρ和粘度μ有关。

试用无量纲数组π表示压降。

解：根据题意，我们可按下面几步解题∙1）该流动现象共有n=7个变量：△p、d、l、ε、V、ρ、μ。

∙2）选择基本量纲数目m=3个，M、L、t 。

∙3）选用k=m=3个重复变量：ρ、V、d 。

∙4）组成n-m=7-3=4个无量纲数组，现求解π。

5)建立无量纲数组方程：上例中，描述该现象的物理量有7个，基本量纲有3个，得到7-3=4个无量纲数组。

对于其他现象，都存在如下的规律：某现象由n个物理量所描述，而这些物理量的基本量纲有m个，则可得到k=n-m个独立的无量纲数组。

通常将此规律称为“量纲分析π定理”。

例5-2 以不可压缩流体定常流动的N-S微分方程为例导出相似准则。

N-S方程x向投影式为：（a）与其相似的流动中流体质点的方程为：（b）由于现象相似，必有（c）将（c）式代入（b）式，整理后得：（d）要使描述二现象的方程一致，（a）和（d）相比，则有（e）这就证明了各相似倍数不是任意选取的，而是受上式约束的。

将（e）式后三项去除前面一项，则有（f）可以看出，不可压缩定常流动相似，它们的付鲁德数、欧拉数、雷诺数必相等，这和量纲分析中得到的结论一致。

而Fr、Eu、Re都是无量纲数组，这种无量纲综合量在相似原理中称为相似准则或相似判据，用作判断现象是否相似的根据。

彼此相似的现象，必定具有数值相同的相似准则。

例5-3 有管径d=5cm的输油管，装有弯头，开关等局部阻力装置，安装前需要测定压强损失，在实验室用空气进行实验。

已知20℃时油的密度ρ油=889.6 kg/m3；油的粘度υ油=0.01cm2/s;空气的密度ρ气=1.2 kg/m3；空气的粘度υ气=0.157cm2/s。

试确定：1）当实际输油管道中油的流速V油=2 m/s时，实验中空气在管内的流速V气为多少；2）通过空气实验测得的管道压强损失△p气=7747 N/ m2，油液通过输油管道时的压强损失△ p油为多少？解：因为低速流动时，粘性力起主要作用，另外Eu数中涉及压强分布，所以此项实验应满足Re和Eu相等的条件。

6工程流体力学第六章理想不可压缩流体的定常流动

§6-1 理想不可压缩流体的一元流动（续41）
分别取进口截面与喉部截面为1、2计算截面，利用伯努利方程可得：
gz——重力场中单位质量流体从z=0上升至z克服重
力所做的功，因此具有的重力势能。
p
——单位质量流体从 p=0至状态p克服压力所做
功，也可以理解为流体相对于p=0的状态所
蕴含的能量，这种能量称为压力能。
§6-1 理想不可压缩流体的一元流动（续9）
引入压力能的概念后，伯努利方程就可理解为：
在重力场中，当理想不可压缩流体定常流动时，单位质量流体沿流线的重力势能、压力能和动能之和为常数，该定理反映了机械能转化和守恒定理。
表示理论出流射流速度。
上述分析中，忽略了粘性和表面张力的影响。
§6-1 理想不可压缩流体的一元流动（续30）
速度系数定义为：
CV
实际平均速度——速度系数理论速度
Cd
实
际出流的体积流理论体积流量
量——流量系数
CC
收缩截面面积AC 孔口面积A
——面积收缩系数
§6-1 理想不可压缩流体的一元流动（续31）
Cd
实际体积流量理论体积流量
收
缩截面面积孔口面积
实理
际论
平速
均度
速
度＝CcCV
Q CdQth Cd A 2gH CcCV A 2gH
速度系数，体积收缩系数和流量系数均需由实验确定。对于锐缘圆形孔口，
CV 0.97 0.99, Cc 0.61 0.66
§6-1 理想不可压缩流体的一元流动一元流动：所谓一元是指只有一个空间变量。
在流体力学中属于这种性质的流动是指沿流线的流动。

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0
∫
0
d ρ u dy + ( dx
2
δ
∫
0
ρu 2dy ) dx
经边界层外缘AC流入控制体的质量应等于CD面上流出减AB面上流入
d ( dx
δ
∫ ρudy )dx
0
故由AC流入的动量流量为
d U( dx
δ
∫ ρudy )dx
0
规定流出为正，流入为负，控制体内流体动量变化量为
d [ dx
δ
∫
0
N-S方程与连续性方程联立，四个方程
四个未知数u、v、w和p，方程为封闭的方程组。加上初始条件，边界条件，就可以解该方程。实际上N-S方程是非线性偏微分方程，很难求解。它的解有以下几种处理方法：
精ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ解：
N-S方程中的加速度对流项是非线性
项，这使得方程的求解非常困难。对于某些简单的流动，非线性对流项消失，N-S 方程变为线性的方程，用解析的方法求出其解，这类解称为精确解。在文献中能查到的精确解至今为止只有几十个，而且其中的大部分不能够直接应用到实际问题中去。
§7-2 不可压粘性流体运动的
基本方程简介
将微元体所受的惯性力、质量力和表面力代入牛顿第二定理 ΣF = ma 可得不可压粘流的运动微分方程：N-S方程
∂p ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ax = fx − + µ( 2 + + ) 2 2 ρ∂x ∂x ∂y ∂z
ay
∂p ∂ 2v ∂ 2v ∂ 2v = fy − + µ( 2 + + ) 2 2 ρ∂y ∂x ∂y ∂z
则
在2－2’截面上 ∂p =0 则有
∂y
y
2’
p2 = p2
'
V2 = V∞
'
V∞
0
1’ 1 2
x
由于1’和2’同属边界层外边界上，可看成无旋流，由势流的伯努利方程：
p1 V1 p2 V2 + = + ρg 2g ρg 2g
' ' ' '
而即
V1 = V2 = V∞
' '
∴ p1' = p2' = p1 = p2
理想流体没有切向力，只有法向力 pii 实际流体既有法向力，也有切向力，如图，由于应力的对称性，应力中只有6个分量是独立的。它们是：主应力：切应力：
p xx
p yy
p zz
p xz = p zx
p xy = p yx p zy = p yz
对不可压流体，主应力可表示为： ∂u p xx = − p + 2µ ∂x ∂v p yy = − p + 2µ ∂y ∂w p zz = − p + 2µ ∂z 一般情况下，三个法向应力不相等，其关系是： 1 − p = ( p xx + p yy + p zz ) 3
d 2 ρu dy ) −U dx
δ
∫ ρudy ]dx
0
再讨论受力情况
AB面上受力： CD面上受力： AC面上受力：
pδ
dp −( p + dx )(δ + d δ ) dx
由于AC处于边界层外边界上，可看成理想流体，粘性切应力可忽略，只有受压力
dp dx (p + )AC sin α = pd δ dx 2
这说明粘性流体中三个互相垂直的法向应力的平均值的负值等于该点的动压强。对理想流体：
−p = pxx = pyy = pzz
p xy = p yx
∂v ∂u = µ( + ) ∂x ∂y ∂w ∂v = µ( + ) ∂y ∂z ∂u ∂w = µ( + ) ∂z ∂x
切应力可表示为：
p yz = p zy p zx = p xz
2）
边界层的内外边界是没有明显的分界线，一般在实际应用中，把边界层厚度规定为：当物面法向速度达到 0.99V∞ 时的法向距离定义为边界层厚度，用δ来表示。流体在前驻点处速度为零，δ＝0，沿流动 δ 0 方向δ增加。附面层外边界线与流线不重合，流线可深入到边界层内。边界层具有以下特点：
二、排移厚度 δ *、动量损失厚度 δ ** 定义：
δ
*
u = ∫ (1 − ) dy U 0
δ
排移厚度
边界层内的速度为 u(x ,y ) ，外部势流的速度为 U (x ) 。对于平板 U (x ) ≐ V ∞
由于流速受到壁面的阻滞而降低，使得边界层内通过的流量与理想流体时通过的流量减少，相当于边界层的固体边界向流动内区域移动了δ * 。由 δ * = (1 − u ) dy ∫
∫
0
d ρ u dy ) −U dx
2
第七章
不可压缩粘性流体的流动
§1 §2 §4 §5 §6 §7 §8 §9
粘性流体中的应力不可压缩粘性流体运动的基本方程边界层的概念边界层微分方程边界层动量积分式平板边界层的近似计算曲面边界层的流动分离绕流物体的阻力
§1 粘性流体中的应力（简介）
p 应力的表示法： ij
第一个下标表示应力作用面的法线方向；第二个下标表示应力作用方向。
壁面BD上的受力： −τ 0dx
x方向总的受力为：
dδ dp p δ − (p δ + p dx + δ dx ) − τ 0dx + pd δ dx dx dp dx = (− δ − τ0 ) dx
由动量方程
ΣFx = ρQ( 2x − V1x ) 有 V
δ
dp (− δ − τ 0 ) =[ d dx dx dx
近似解：小雷诺数Re情况，此时粘性力较惯性力大得多。可以全部或部分地忽略惯性力得到简化的线性方程。大雷诺数Re情况，若将粘性力全部略去，只在贴近物面很薄的一层“边界层” 中考虑粘性的影响，且根据问题的特点，略去粘性力中的某些项，从而得到简化的边界层方程（仍是非线性的）。
对于中等雷诺数Re的情况，惯性力和粘性力都必须保留，此时只能通过其它途径简化问题，或者利用数值计算方法求N-S方程的数值解。
ε
ε
ε
连续性方程分析各量纲略去小量得：
∂u ′ VL ∂v ′ +( ) = 0 ∂x ′ U δ ∂y ′
1 1×1
∂u ∂u ∂p ∂ 2u u +v = − +ν ∂x ∂y ρ∂x ∂y 2 ∂p = 0 ∂y ∂u ∂v + = 0 ∂x ∂y
第二个方程得到重要得结论：边界层的压强沿y方向是不变的由伯努利方程得
δ
ρU δ 为理想流体和实际流体通过同一面积的质量流量的差，图中面积abca，也可看成以速度U通过面积 δ * ×1 时的质量流量。
*
定义：
δ
**
u u = ∫ (1 − ) dy U U 0
δ
称为动量损失厚度。物理意义：边界层内流速的降低不仅使通过的流体质量减少，而且也使通过的流体的动量减少。两者相差相当于将固体壁面向流动内部移动一个的δ ** 距离。
dU − = U ρ dx dx
1 dp
边界层微分方程组可改写为：
∂u ∂u dU ∂ 2u u +v = U +ν dx ∂x ∂y ∂y 2 ∂p = 0 ∂y ∂u ∂v + = 0 ∂x ∂y
边界条件为
y = 0 u =v = 0
u = U(x) y = δ(或∞)
简化的边界层微分方程仍是非线性的，在个别情况可用相似性法求解，一般情况要用级数展开法和数值计算法。工程上大量应用一种近似解的方法即边界层动量积分式。
∂p ∂ 2w ∂ 2w ∂ 2w az = fz − + µ( 2 + + ) 2 2 ρ∂z ∂x ∂y ∂z
DV 1 矢量表达： = f − ∇ p + ν ∇ 2V ρ Dt
此式称为N—S方程将加速度展开有:
∂u ∂u ∂u ∂u ∂p ∂2u ∂2u ∂2u +u +v +w = fx − + µ( 2 + 2 + 2 ) ρ∂x ∂t ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∂v ∂v ∂v ∂v ∂p ∂2v ∂2v ∂2v +u +v +w = fy − + µ( 2 + 2 + 2 ) ρ∂y ∂t ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∂w ∂w ∂w ∂w ∂p ∂2w ∂2w ∂2w +u +v +w = fz − + µ( 2 + 2 + 2 ) ρ∂z ∂t ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z
§7-6 边界层动量积分关系式
取一控制体，其边界由壁面、边界层外缘和相距为dx的两个横截面构成。
讨论控制体内质量和动量的变化经AB流入的质量和动量：
δ
∫
0
ρudy
δ
∫
0
ρu 2dy
经CD流出的质量和动量
∫
δ
0
du ρ(u + dx ) = dy dx
δ
δ
∫
0
d ρudy + ( dx
δ
∫ ρudy )dx
引入特征量:将N-S方程中的各物理量无量纲化。
x y u v p x ′ = ,y ′ = ,u ′ = ,v ′ = , p ′ = L δ U V P 这些无量纲化的物理量与1具有相同的量级
N-S方程的无量纲化
∂u ′ VL ∂u ′ P ∂p ′ ν ∂ 2u ′ L 2 ∂ 2u ′ u′ +( ) ′ v = −( 2 ) + [ 2 +( ) ] 2 ∂x ′ ∂y ′ δ ∂y ′ Uδ ρU ∂x ′ UL ∂x ′ 1 2 ×1 1 1 1 ε 1×1 ε ×1 ε

不可压缩粘性流体的流动

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