苏教版高中数学必修四课时训练2.5向量的应用(2)(含答案)

学业分层测评(二十三) 向量的应用(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．已知一物体在共点力F 1＝(2,2)，F 2＝(3,1)的作用下产生位移s ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，则共点力对物体所做的功为________．【解析】 对于合力F ＝(5,3)， 其所做的功为W ＝F·s ＝52＋92＝7.【答案】 72．若A (1,2)，B (2,3)，C (－2,5)，则△ABC 的形状为________． 【解析】 AB →＝(1,1)，AC →＝(－3,3)，AB →·AC →＝0， 即AB →⊥AC →，故△ABC 为直角三角形． 【答案】 直角三角形3．点P 在平面上做匀速直线运动，速度v ＝(4，－3)，设开始时点P 的坐标为(－10,10)，则5秒后点P 的坐标为________(速度单位：m/s ，长度单位：m)．【解析】 5秒后点P 的坐标为(－10,10)＋5(4，－3)＝(10，－5)． 【答案】 (10，－5)4.用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个物体，如图2­5­5，已知物体重力大小为10 N ，则每根绳子的拉力大小是________．图2­5­5【解析】 因绳子等长，所以每根绳子上的拉力和合力所成的角都等于60°，故每根绳子的拉力大小都是10 N.【答案】 10 N5．点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的________．【解析】 由OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，可得OA →·OB →－OB →·OC →＝0，(OA →－OC →)·OB →＝0，即CA →·OB →＝0，CA →⊥OB →，同理可证OC →⊥AB →，OA →⊥BC →.所以O 是△ABC 的垂心，即三条高的交点．【答案】 垂心6．等腰直角三角形ABC 中，C ＝90°，且A (－1,2)，C (1,1)，则B 的坐标为________．【解析】 设B 的坐标为(x ，y )， 则CB →＝(x －1，y －1)，又AC →＝(2，－1)． 由题意知：|CB →|＝|AC →|，且CB →·AC →＝0， ∴⎩⎨⎧x －2＋y －2＝5，x －－y －＝0，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝－1或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3.【答案】 (0，－1)或(2,3)7．如图2­5­6，平行四边形ABCD 中，已知AD ＝1，AB ＝2，对角线BD ＝2，则对角线AC 的长为________．【导学号：06460068】图2­5­6【解析】 ∵AC →＝AB →＋AD →， ∴AC →2＝AB →2＋AD →2＋2AB →·AD →，① 又BD →＝AD →－AB →，∴BD →2＝AD →2＋AB →2－2AD →·AB →，② ∴①＋②得 AC →2＋BD →2＝2(AB →2＋AD →2)． 又AD ＝1，AB ＝2，BD ＝2， ∴AC ＝ 6. 【答案】68．当两人提起重量为|G |的旅行包时，夹角为θ，两人用力大小都为|F |，若|F |＝|G |，则θ的值为________．【解析】 如图，|F 1|＝|F 2|＝|G |2cosθ2.∵|F 1|＝|F 2|＝|G |，∴2cos θ2＝1，∴θ＝120°.【答案】 120° 二、解答题9．如图2­5­7所示，四边形ABCD 是菱形，AC 和BD 是它的两条对角线，试用向量证明：AC ⊥BD .图2­5­7【证明】 ∵AC →＝AB →＋AD →，BD →＝AD →－AB →， ∴AC →·BD →＝(AB →＋AD →)·(AD →－AB →) ＝|AD →|2－|AB →|2＝0. ∴AC →⊥BD →. ∴AC ⊥BD .10．已知圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4及点A (1,1)，M 是圆C 上的任一点，点N 在线段MA 的延长线上，且MA →＝2AN →，求点N 的轨迹方程．【解】 设N (x ，y )，M (x 0，y 0)．因为MA →＝2AN →，所以(1－x 0,1－y 0)＝2(x －1，y －1)，所以⎩⎨⎧1－x 0＝2x －2，1－y 0＝2y －2，即⎩⎨⎧x 0＝3－2x ，y 0＝3－2y ，又因为点M (x 0，y 0)在圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4上， 所以(x 0－3)2＋(y 0－3)2＝4， 所以(2x )2＋(2y )2＝4，即x 2＋y 2＝1， 所以点N 的轨迹方程为x 2＋y 2＝1.能力提升]1．在四边形ABCD 中，若AB →＝DC →，且|AB →＋AD →|＝|AB →－AD →|，则四边形ABCD 的形状是________．【解析】 AB →＝DC →，∴AB →∥DC →， 且|AB →|＝|DC →|，∴四边形ABCD 是平行四边形， |AB →＋AD →|＝|AC →|，|AB →－AD →|＝|DB →|， ∴|AC →|＝|DB →|， ∴平行四边形是矩形． 【答案】 矩形2．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且|AB |＝3，则OA →·OB →＝________.【解析】 如图，在△AOB 中， |AB |＝3，|OA |＝|OB |＝1， ∴∠AOB ＝120°，∴OA →·OB →＝|OA →||OB →|cos 120°＝－12.【答案】 －123．若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是________．【解析】 以α，β为邻边的平行四边形的面积为：S ＝|α||β|sin θ＝|β|sin θ＝12，所以sin θ＝12|β|，又因为|β|≤1，所以12|β|≥12，即sin θ≥12且θ∈0，π]，所以0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，56π.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，56π4．在△ABC 中，A (4,1)，B (7,5)，C (－4,7)，求∠A 的角平分线的方程． 【解】 AB →＝(3,4)，AC →＝(－8,6)，∠A 的角平分线的一个方向向量为：AB→|AB →|＋AC →|AC →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，75. 设∠A 的角平分线上任一点N (x ，y )，则AN →＝(x －4，y －1)，则AN →与所求方向向量平行，∴所求直线方程为：75(x －4)＋15(y －1)＝0，整理得7x ＋y －29＝0.。

（新课程）2013高中数学 《2.5 向量的应用》活页规范训练双基达标限时15分钟1．在四边形ABCD 中，AB →·BC →＝0，且AB →＝DC →，则四边形ABCD 是________． 解析 由AB →·BC →＝0⇒AB →⊥BC →，又AB →＝DC →，∴AB 綉DC . 答案 矩形2．作用于一个物体的两个力F 1、F 2的大小都是10，F 1与F 2的夹角为60°，则F 1＋F 2的大小为________．解析 |F 1＋F 2|＝2×10×32＝10 3. 答案 10 33．一纤夫用牵绳拉船沿直线方向前进60 m ，若牵绳与行进方向夹角为π6，人的拉力为50 N ，则纤夫对船所做的功为________．解析 功W ＝60×50×cos 30°＝1 5003(J)． 答案 1 500 3 J4．△ABC 中，|AB →|＝3，|AC →|＝4，|BC →|＝5，则AB →·AC →＝______. 解析 由已知△ABC 是直角三角形，∠A ＝90°. ∴AB →⊥AC →.∴AB →·AC →＝0. 答案 0 5.如图，非零向量OA →＝a ，OB →＝b 且BC ⊥OA ，C 为垂足，若OC →＝λa ，则λ＝________. 解析 BC →＝λa －b ，a ·(λa －b )＝0，则 λ＝a ·b|a |2. 答案a ·b|a |2 6．求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和． 证明如图所示，▱ABCD 中： AB →＝DC →，AD →＝BC →，AC →＝AB →＋AD →∴|AC →|2＝|AB →＋AD →|2 ＝|AB →|2＋|AD →|2＋2AB →·AD → 而DB →＝AB →－AD →∴|DB →|2＝|AB →－AD →|2＝|AB →|2＋|AD →|2－2AB →·AD → ∴|AC →|2＋|BD →|2＝2|AB →|2＋2|AD →|2 ＝|AB →|2＋|BC →|2＋|DC →|2＋|AD →|2. 即AC 2＋BD 2＝AB 2＋BC 2＋CD 2＋DA 2.综合提高限时30分钟7.用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个物体，如图，已知物体的重力大小为10 N ，则每根绳子的拉力大小是________．解析 因绳子等长，所以每根绳子上的拉力和合力所成的角都相等，且等于60°，故每根绳子的拉力大小都是10 N.答案 10 N8．点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的________．解析 由OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，可得OA →·OB →－OB →·OC →＝0，(OA →－OC →)·OB →＝0，即CA →·OB →＝0，CA →⊥OB →，同理可证OC →⊥AB →，OA →⊥BC →.所以O 是△ABC 的垂心，即三条高的交点．答案 垂心9．一条河宽为400 m ，一船从A 出发航行，垂直到达河正对岸的B 处，船速为20 km/h ，水速为12 km/h ，则船到达B 处所需时间为________min.解析 船和水流速度的合速度是船的实际航行速度，如图． |v 1|＝20 km/h ，|v 2|＝12 km/h. 根据勾股定理|v |＝16 km/h ＝8003 m/min.∴所需时间为4008003＝1.5(min)．答案 1.510．已知直线l 1：3x ＋4y －12＝0，l 2：7x ＋y －28＝0，则直线l 1与l 2的夹角是________． 解析 在直线l 1上任取两点得向量v 1＝(4，－3)，l 2上任取两点得向量v 2＝(1，－7)，则v 1与v 2的夹角为θ.则|cos θ|＝v 1·v 2|v 1||v 2|＝255×52＝22.∴两直线夹角为45°.答案 45° 11.如图所示，在平行四边形ABCD 中，BC ＝2BA ，∠ABC ＝60°，作AE ⊥BD 交BC 于E ，求BE ∶EC .解 法一 (基向量法)设BA →＝a ，BC →＝b ，|a |＝1，|b |＝2.a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝1，BD →＝a ＋b .设BE →＝λBC →＝λb ，则AE →＝BE →－BA →＝λb －a . 由AE ⊥BD ，得AE →·BD →＝0.即(λb －a )·(a ＋b )＝0. 解得λ＝25，∴BE ∶EC ＝25∶35＝2∶3.法二 以B 为坐标原点，直线BC 为x 轴建立平面直角坐标系， 根据条件，设B (0,0)，C (2,0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32.又设E (m,0)，则BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －12，－32.由AE ⊥BD ，得AE →·BD →＝0. 即52⎝ ⎛⎭⎪⎫m －12－32×32＝0，得m ＝45，所以BE ∶EC ＝45∶65＝2∶3.12．在△ABC 中，A (4,1)，B (7,5)，C (－4,7)．求∠A 的角平分线的方程． 解 AB →＝(3,4)，AC →＝(－8,6)，∠A 的角平分线的一个方向向量为： AB→|AB →|＋AC→|AC →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，75. ∵∠A 的角平分线过点A .∴所求直线方程为－75(x －4)－15(y －1)＝0.整理得7x ＋y －29＝0.13．(创新拓展)两个人用同样的力量共提一个重力为G 的旅行包，两人所用力F 1，F 2的夹角为θ.(1)试讨论θ的大小与|F 1|的关系； (2)θ为何值时，|F 1|最小，最小值是多少？(3)|F 1|能等于|G |吗？为什么？ 解如图所示．由平行四边形法则及直角三角形的知识得 |F 1|＝|G |2cosθ2.(1)通过上面的式子，可以发现，当θ由0°到180°逐渐变大时，θ2由0°到90°逐渐变大，cos θ2的值由大逐渐变小，因此|F 1|由小逐渐变大，即F 1，F 2之间的夹角越大越费力．(2)要使|F 1|最小，则cos θ2最大，又0°≤θ≤180°，0°≤θ2≤90°，∴当θ＝0°时cos θ2最大，|F 1|最小为G2，此时两个人的手臂应靠在一起． (3)要使|F 1|＝|G |，则2cos θ2＝1，则cos θ2＝12，θ2＝60°，θ＝120°，∴两臂的夹角为120°时，|F 1|＝|G |.。

2.5.2向量在物理中的应用举例课时过关·能力提升基础巩固1坐标平面内一只小蚂蚁以速度v=(1,2)从点A(4,6)处移动到点B(7,12)处,其所用时间长短为()A.2B.3C.4D.8解析:v,所以用时为3.答案:B2两个质点M,N的位移分别为s M=(4,-3),s N=(-5,-12),则s M在s N方向上的投影为()A.(-1,-15)B.(-20,36)C解析:s M·s N=4×(-5)+(-3)×(-12)=16,|s M|=5,|s N|=13,则s M在s N方向上的投影为答案:C3若向量分别表示两个力F1,F2,则|F1+F2|为()A.(0,5)B.(4,-1)C.解析:F1+F2=(2,2)+(-2,3)=(0,5),∴|F1+F2|=5.答案:D4已知向量a表示“向东航行1 km”,向量b表示“向北航行则向量a+b表示()A.向东北方向航行2 kmB.向北偏东30°方向航行2 kmC.向北偏东60°方向航行2 kmD.向东北方向航行(1解析:a与b的夹角为90°,则a·b=0,则|a+b|a·(a+b)=|a|2+a·b=1.设a与a+b的夹角为θ,则cosθ∴θ=60°,即a+b表示向北偏东30°方向航行2km.答案:B5已知速度v1=(1,-2),速度v2=(3,4),则合速度v=.解析:v=v1+v2=(1,-2)+(3,4)=(4,2).答案:(4,2)6已知一个物体在大小为6 N的力F的作用下产生的位移s的大小为100 m,且F与s的夹角为60°,则力F所做的功W= J.解析:W可以看成向量F与向量s的数量积,则W=F·s=|F||s|cos60°=6×100答案:3007用两条成120°夹角的等长的绳子悬挂一个灯箱,如图,已知灯箱的重为10 N,则每根绳子的拉力大小为.解析:结合图形,由向量加法的平行四边形法则,又绳子等长,故平行四边形为菱形,知拉力大小为10N.答案:10 N8点P在平面上做匀速直线运动,速度向量v=(4,-3)(即点P的运动方向与v相同,且每秒移动的距离为|v|个单位).设开始时点P0的坐标为(-10,10),则5秒后点P的坐标为.解析:由题意知v=(20,-15),设点P的坐标为(x,y),则--解得点P的坐标为(10,-5).答案:(10,-5)9如图,在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体,绳子与铅垂方向的夹角为θ,绳子所受到的拉力为F1.求:(1)|F1|,|F2|随θ角的变化而变化的情况;(2)当|F1|≤2|G|时,θ角的取值范围.解(1)由力的平衡及向量加法的平行四边形法则得-G=F1+F2,|F1|F2|=|G|tanθ,当θ从0°趋向于90°时,|F1|,|F2|都逐渐增大.(2)令|F1|由|F1|≤2|G|得cosθ≥又因为0°≤θ<90°,所以0°≤θ≤60°.能力提升1速度|v1|=10 m/s,|v2|=12 m/s,且v1与v2的夹角为60°,则v1与v2的合速度的大小是()A.2 m/sB.10 m/sC.12 m/sD.解析:|v|2=|v1+v2|2=|v1|2+2v1·v2+|v2|2=100+2×10×12cos60°+144=364.∴|v|=答案:D2一质点受到平面上的三个力F1,F2,F3(单位:N)的作用而处于平衡状态.已知F1,F2成60°角,且F1,F2的大小分别为2和4,则F3的大小为()A.C.2D.6解析:∵F1+F2+F3=0,∴F3=-F1-F2,∴|F3|=|-F1-F2|°答案:A3一个物体在大小为10 N的力F的作用下产生的位移s的大小为50 m,且力F所做的功W=25则F与s的夹角等于.解析:设F与s的夹角为θ,由W=F·s,得25θ,∴cosθ又θ∈[0,π],∴θ答案:4两个大小相等的共点力F1,F2,当它们的夹角为0°时,合力大小为2则当它们的夹角为时合力大小为解析:∵F1与F2的夹角为0°时,合力大小为2N,∴|F1|=|F2|=1夹角为120°时,合力F=F1+F2.|F|2=(F1+F2)2F1·F2120°=400-200=200,∴|F|=1答案:15已知向量e1=(1,0),e2=(0,1).今有动点P,从P0(1,2)开始沿着与向量e1+e2相同的方向做匀速直线运动,速度大小为|e1+e2|;另一动点Q,从Q0(-2,-1)开始沿着与向量3e1+2e2相同的方向做匀速直线运动,速度大小为|3e1+2e2|.设P,Q在时刻t=0时分别在P0,Q0处,则当时解析:设经过t后此时点P的坐标为(1+t,2+t),点Q的坐标为(3t-2,2t-1),所以因为所以-3(2t-3)+(-3)(t-3)=0,所以t=2.答案:26已知两恒力F1=(3,4),F2=(6,-5)作用于同一质点,使之由点A(20,15)移动到点B(7,0),试求:(1)F1,F2分别对质点所做的功;(2)F1,F2的合力F对质点所做的功.解(1)F1对质点所做的功F1·=(3,4)·(-13,-15)=3×(-13)+4×(-15)=-99,F2对质点所做的功F2·=(6,-5)·(-13,-15)=6×(-13)+(-5)×(-15)=-3.(2)合力F对质点所做的功F·=(F1+F2)·=[(3,4)+(6,-5)]·(-13,-15)=(9,-1)·(-13,-15)=9×(-13)+(-1)×(-15)=-117+15=-102.★7在风速为75的西风中飞机以的航速向西北方向飞行求没有风时飞机的航速和航向解设向量a表示风速,b表示无风时飞机的航行速度,c表示有风时飞机的航行速度,则c=a+b.如图,作向量a b c,则四边形OACB为平行四边形.过C,B分别作OA的垂线,交AO的延长线于D,E点.由已知得,∠COD=45°.在Rt△COD中,OD=OC cos45°=7又ED=BC=OA=75∴OE=OD+ED=7又BE=CD=7∴在Rt△OEB中,OBsin∠BOE∴∠BOE=30°.故没有风时飞机的航速为15km/h,航向为西偏北30°.。

典题精讲例1 ABCD 是正方形,BE ∥AC,AC=CE,EC 的延长线交BA 的延长线于点F,求证：AF=AE.思路分析：建立适当的坐标系,根据坐标运算求出AF ,AE 的坐标,进而证明AF=AE. 证明：如图2-5-1,建立直角坐标系,设正方形边长为1,则A(-1,1),B(0,1).设E(x,y),则图2-5-1=(x,y-1),AC =(1,-1).∵AC ∥BE ,∴x·（-1）-1·（y-1）=0. ∴x+y-1=0.又∵||=||,∴x 2+y 2-2=0.由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=⇒⎩⎨⎧=-+=-+,231,231010222y x y x y x x 2+y 2-2=0 即E(231,231--+). 设F(m,1)，由=(m,1)和=(231,231-+)共线,得231-m-231+=0. 解得m=-2-3.∴F(-2-3,1),AF =(-1-3,0),AE =(231,231--+), ∴|AE |=22)231()233(--++=1+3=|AF |, ∴AF=AE.绿色通道：把几何问题放入适当的坐标系中就赋予了有关点及向量的坐标,从而进行相关运算,使问题得到解决.变式训练 已知△ABC 中,A(7,8),B(3,5),C(4,3),M 、N 分别是AB 、AC 的中点,D 是BC 的中点,MN 与AD 交于F,求DF .思路分析：由已知条件可求出、的坐标,然后再由中点坐标公式进一步求出,进而再求出DF .解：∵A(7,8),B(3,5),C(4,3)，∴AB =(3-7,5-8)=(-4,-3),AC =(4-7,3-8)=(-3,-5). 又∵D 是BC 的中点,∴AD =21(AB +AC )=(-3.5,-4).又M 、N 分别是AB 、AC 的中点,∴F 为AD 的中点.∴DF =-21AD =(1.75,2).例2 一条河的两岸平行，河的宽度为d=500 m ，如图2-5-2所示，一艘船从A 处出发航行到河的正对岸B 处，船的航行速度为|v 1|=10 km/h ，水流速度为|v 2|=4 km/h.图2-5-2(1)试求v 1与v 2的夹角(精确到1°)及船垂直到达对岸所用的时间(精确到0.1 min); (2)要使船到达对岸所用时间最少,v 1与v 2的夹角应为多少?思路分析：船(相对于河岸)的航行路线不能与河岸垂直.原因是船的实际航行速度是船本身(相对于河水)的速度与河水的流速的合速度.解:(1)依题意,要使船到达对岸,就要使v 1与v 2的合速度的方向正好垂直于对岸,所以 |v |=2221v v -=16100-≈9.2 km/h, v 1与v 的夹角α满足sinα=||||1v v =0.92,又α为钝角，故v 1与v 2的夹角θ=114°；船垂直到达对岸所用的时间t=2.95.0||=v d ×60≈3.3 min. (2)设v 1与v 2的夹角为θ(如图2-5-3)，图2-5-3v 1与v 2在竖直方向上的分速度的和为|v 1|·sinθ，而船到达对岸时，在竖直方向上行驶的路程为d=0.5 km ，从而所用的时间为t=θsin 105.0，显然，当θ=90°时，t 最小，即船头始终向着对岸时，所用的时间最少，t=105.0=0.05 h=3 min.绿色通道：解决此类问题的关键在于明确“水速+船速=船的实际速度”，注意“速度”是一个向量，既有大小又有方向.结合向量应用的具体问题,在理解向量知识和应用两方面下功夫,将物理量之间的关系抽象成数学模型，然后再通过对这个数学模型的研究解释相关物理现象.变式训练 如图2-5-4，一物体受到两个大小均为60 N 的力的作用，两力夹角为60°且有一力方向水平，求合力的大小及方向.图2-5-4解：设OA 、OB 分别表示两力，以OA 、OB 为邻边作OACB ，则OC 就是合力.据题意，△OAC 为等腰三角形且∠COA=30°，过A 作AD ⊥OC 垂足为D ，则在Rt △OAD 中｜OD ｜=｜OA ｜·cos30°=60×23=330,故｜OC ｜=2｜OD ｜=360.所以合力的大小为360 N ，方向与水平方向成30°角.例3 (2006四川高考卷，理7) 如图2-5-5，已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6，下列向量的数量积中最大的是（ ）图2-5-5A.3121P P P P •；B.4121P P P P •；C.5121P P P P •；D.6121P P P P •. 思路解析：设边长|P 1P 2|=a ，则∠P 2P 1P 3=6π. |P 1P 3|=3a,3121P P P P •=a·3a·23232a =， ∠P 2P 1P 4=3π，|P 1P 4|=2a ，4121P P P P •=a·2a·21=a 2，5121P P P P •=0，6121P P P P •<0，∴数量积中最大的是3121P P P P •. ★答案★：A黑色陷阱：本题易因找错向量的夹角如误认为∠P 2P 1P 3=3π，或数量积公式用错而出现错误.变式训练 如图2-5-6,设四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形,P 是⊙O 上的任一点,求证：|PA |2+|PB |2+|PC |2+|PD |2与P 点的位置无关.图2-5-6思路分析：根据向量的三角形法则表示出、、、,从而判断出||2+||2+||2+||2为定值. 解：设圆的半径为r.∵=-,=-,=-,=-,则||2=(-)2=2-2·+2=2r 2-2·， ||2=2r 2-2OB ·OP ， |PC |2=2r 2-2OC ·OP ， ||2=2r 2-2·， ∴||2+||2+||2+||2=8r 2-2（+++）·=8r 2-2·0·=8r 2(定值). ∴||2+||2+|PC |2+||2与P 点的位置无关.问题探究问题1 一位年轻的父亲将不会走路的小孩的两条胳膊悬空拎起,结果造成小孩胳臂受伤,试一试你能用向量知识加以解释吗？导思：这是日常生活中司空见惯的事情，解决这个题目的关键是首先建立数学模型，然后根据数学知识来解决.针对小孩的两条胳膊画出受力图形,然后通过胳膊受力分析, 建立数学模型： |F 1|=2cos2||θG ,θ∈［0,π］来确定何种情景时,小孩的胳膊容易受伤.探究：设小孩的体重为G ,两胳膊受力分别为F 1、F 2,且F 1=F 2,两胳膊的夹角为θ,胳膊受力分析如图2-5-7(不记其他因素产生的力),不难建立向量模型：|F 1|=2cos2||θG ,θ∈［0,π］,当θ=0时,|F 1|=2||G ；当θ=32π时,|F 1|=|G |；又2θ∈(0,2π)时,|F 1|单调递增,故当θ∈(0,32π)时,F 1∈(2||G ,|G |),当θ∈（32π，π）时,|F 1|>|G |.此时,悬空拎起小孩容易造成小孩受伤.图2-5-7问题2 已知一只蚂蚁在地面上的一个三角形区域ABC 内爬行，试探究当蚂蚁爬到这个三角形区域的什么位置时，它到这个三角形的三个顶点间的距离的平方和最小？导思：像这个具体问题要采用其他的办法可能是比较困难的.这样的问题在考虑利用向量的知识来求解时，需要注意考虑如何恰当地将相关向量转化为密切相关的一些向量间的关系，从而将问题解决.探究：本题是一个应用问题，首先应考虑将题目翻译为数学问题：在△ABC 内求一点P ，使得AP 2+BP 2+CP 2最小.设=a ,=b ,=t ，则=-=t -a ，=-=t -b ，2+2+2=t 2+(t -a )2+(t -b )2=3t 2-2t ·（a +b ）+a 2+b 2=3（t -3b a +）2+32（a 2+b 2）-32a ·b , 所以,当=t =3ba +，即 P 为△ABC 的重心时，AP 2+BP 2+CP 2最小.。

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.5 向量的应用课后知能检测 苏教版必修4一、填空题1．点P 在平面上做匀速直线运动，速度v ＝(4，－3)，设开始时点P 的坐标为(－10,10)，则5秒后点P 的坐标为(速度单位：m/s ，长度单位：m)________．【解析】 5秒后点P 的坐标为(－10,10)＋5(4，－3)＝(10，－5)． 【答案】 (10，－5)2．已知三个力f 1＝(－2，－1)，f 2＝(－3,2)，f 3＝(4，－3)同时作用于某一物体上的一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f 4，则f 4等于________．【解析】 由题意可知f 4＝－(f 1＋f 2＋f 3)＝－[(－2，－1)＋(－3,2)＋(4，－3)]＝－(－1，－2)＝(1,2)．【答案】 (1,2)3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB →·AC →等于________．【解析】 ∵∠C ＝90°，∴AC →·CB →＝0，∴AB →·AC →＝(AC →＋CB →)·AC →＝AC →2＋CB →·AC →＝16. 【答案】 164．(2013·无锡高一检测)若四边形ABCD 满足AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则该四边形的形状一定是________．【解析】 ∵AB →＋CD →＝0，∴AB →＝DC →，∴AB 綊CD ， ∴四边形ABCD 是平行四边形．∵(AB →－AD →)·AC →＝0，∴DB →·AC →＝0，∴DB →⊥AC →， ∴四边形ABCD 是菱形． 【答案】 菱形5．(2013·重庆高考)在OA 为边，OB 为对角线的矩形中，OA →＝(－3,1)，OB →＝(－2，k )，则实数k ＝________.【解析】 如图所示，由于OA →＝(－3,1)，OB →＝(－2，k )，所以AB →＝OB →－OA →＝(1，k －1)．在矩形中，由OA →⊥AB →得OA →·AB →＝0，所以(－3,1)·(1，k －1)＝0，即－3×1＋1×(k －1)＝0，解得k ＝4.【答案】 46．若OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则O 是△ABC 的________心． 【解析】 ∵OA →·OB →＝OB →·OC →⇔OB →·(OA →－OC →)＝0， ∴OB →·CA →＝0， ∴OB →⊥CA →.同理OC →⊥BA →，OA →⊥BC →， 故点O 为△ABC 的垂心． 【答案】 垂7．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且AB ＝3，则OA →·OB →＝________.【解析】 ∵|OA →|＝1，|OB →|＝1，|AB →|＝3， ∴∠AOB ＝120°，∴OA →·OB →＝1×1×cos 120°＝－12.【答案】 －128．已知船在静水中的速度大小为5 m/s ，且船在静水中的速度大小大于水流速度大小，河宽为20 m ，船垂直到达对岸用的时间为5 s ，则水流速度大小为________m/s.【解析】 设船在静水中的速度为v 1，水流速度为v 2，船的实际速度为v 3，建立如图所示的平面直角坐标系．|v 1|＝5 m/s ，|v 3|＝205＝4 m/s ，则v 3＝(0,4)，v 1＝(－3,4)，v 2＝v 3－v 1＝(0,4)－(－3,4)＝(3,0)．∴|v 2|＝3 m/s ，即水流的速度大小为3 m/s. 【答案】 3 二、解答题9．已知，四边形ABCD 是菱形，AC 和BD 是它的两条对角线，求证AC ⊥BD . 【证明】 ∵AC →＝AB →＋AD →，BD →＝AD →－AB →，∴AC →·BD →＝(AB →＋AD →)·(AD →－AB →) ＝|AD →|2－|AB →|2＝0， ∴AC →⊥BD →，即AC ⊥BD .10．一条小船以10 km/h 的速度向垂直于对岸方向航行，小船实际行驶的方向与水流方向成60°角，求水流速度大小与船的实际速度大小．【解】 如图所示，OM →表示小船垂直于对岸行驶的速度，ON →表示水流速度，OP →表示船的实际速度．则由题意知∠NOP ＝60°，|OM →|＝10， 又∵四边形OMPN 是矩形， ∴|OM →|＝|OP →|sin 60°＝10. ∴|OP →|＝10sin 60°＝2033.∴|ON →|＝|OP →|cos 60°＝2033×12＝1033.∴水流速度为1033 km/h ，船的实际速度为2033km/h.11．已知圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4及点A (1,1)，M 是圆C 上的任意一点，点N 在线段MA 的延长线上，且MA ＝2AN ，求点N 的轨迹方程．【解】 设M (x 0，y 0)，N (x ，y )，则MA →＝(1－x 0,1－y 0)，AN →＝(x －1，y －1)， 由MA →＝2AN →，得⎩⎪⎨⎪⎧1－x 0＝x －，1－y 0＝y －，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－2x ＋3，y 0＝－2y ＋3，又点M 在圆C 上，即(x 0－3)2＋(y 0－3)2＝4， ∴(－2x ＋3－3)2＋(－2y ＋3－3)2＝4，即x 2＋y 2＝1， ∴点N 的轨迹方程为x 2＋y 2＝1.。

§2.5 平面向量应用举例1．两个大小相等的共点力F 1，F 2，当它们夹角为90°时，合力大小为20 N ，则当它们的夹角为120°时，合力大小为( )A ．40 NB ．10 2 NC ．20 2 ND ．10 3 N[解析] |F 1|＝|F 2|＝|F |cos 45°＝102， 当θ＝120°，由平行四边形法则知： |F 合|＝|F 1|＝|F 2|＝10 2 N ． [答案] B2．已知点A (－2，－3)，B (19,4)，C (－1，－6)，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 [解析] AB →＝(21,7)，AC →＝(1，－3)，∴AB →·AC →＝0，即AB →⊥AC →，则∠A ＝90°，所以△ABC 是直角三角形．[答案] C3．点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的( )A ．三个内角的角平分线的交点B ．三条边的垂直平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三条高的交点[解析] ∵OA →·OB →＝OB →·OC →， ∴(OA →－OC →)·OB →＝0． ∴OB →·CA →＝0．∴OB ⊥AC .同理OA ⊥BC ，OC ⊥AB ， ∴O 为三条高的交点． [答案] D4．飞机以300 km /h 的速度斜向上飞行，方向与水平面成30°角，则飞机在水平方向的分速度大小是________km/h ．[解析] 如图所示，|v 1|＝|v |cos 30°＝300×32＝1503(km/h)．[答案] 150 35．在直角坐标系xOy 中，已知点A (0,1)和点B (－3,4)，若点C 在∠AOB 的平分线上且|OC →|＝2，则OC →＝________．[解析] ∵|OA →|＝1，|OB →|＝5， 设OC 与AB 交于D (x ，y )点， 则AD ∶BD ＝1∶5.即D 分有向线段AB 所成的比为15.则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3×151＋15＝－12，y ＝1＋4×151＋15＝32，∴OD →＝⎝⎛⎭⎫－12，32. 又∵|OC →|＝2，∴|OC →|＝2OD →|OD →|＝⎝⎛⎭⎫－105，3105 [答案] ⎝⎛⎭⎫－105，31056．已知两恒力F 1＝(3,4)，F 2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A (20,15)移动到点B (7,0)．(1)求F 1，F 2分别对质点所做的功； (2)求F 1，F 2的合力F 对质点所做的功． 解 (1)AB →＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)， W 1＝F 1·AB →＝(3,4)·(－13，－15) ＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)， W 2＝F 2·AB →＝(6，－5)·(－13，－15) ＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J)．∴力F 1，F 2对质点所做的功分别为－99 J 和－3 J ． (2)W ＝F ·AB →＝(F 1＋F 2)·AB → ＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15) ＝(9，－1)·(－13，－15) ＝9×(－13)＋(－1)×(－15) ＝－117＋15＝－102(J)．∴合力F 对质点所做的功为－102 J ．7．已知正方形ABCD 中，E ，F 分别是CD ，AD 的中点，BE ，CF 交于点P .求证：(1)BE ⊥CF ；(2)AP ＝AB ．证明 建立如图所示的平面直角坐标系，设AB ＝2，则A (0,0)，B (2,0)，C (2,2)，E (1,2)，F (0,1)．(1)BE →＝(－1,2)，CF →＝(－2，－1)． ∴BE →·CF →＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0， ∴BE →⊥CF →，即BE ⊥CF ．(2)设点P 坐标为(x ，y )，则FP →＝(x ，y －1)， FC →＝(2,1)，∵FP →∥FC →， ∴x ＝2(y －1)，即x ＝2y －2， 同理，由BP →∥BE →，得y ＝－2x ＋4，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y －2，y ＝－2x ＋4得⎩⎨⎧x ＝65，y ＝85，∴点P 的坐标为(65，85)．∴|AP →|＝(65)2＋(85)2＝2＝|AB →|， 即AP ＝AB ．能力提升8．如图所示，矩形ABCD 中，AB ＝4，点E 为AB 的中点，且DE →⊥AC →，则|DE →|＝( )A ．52B ．2 3C ．3D ．2 2[解析] 建立如图所示的直角坐标系．设|AD →|＝a (a >0)，则A (0,0)，C (4，a )， D (0，a )，E (2,0)，所以DE →＝(2，－a )，AC →＝(4，a )． 因为DE →⊥AC →， 所以DE →·AC →＝0，所以2×4＋(－a )·a ＝0，即a 2＝8．所以a ＝22，所以DE →＝(2，－22)， 所以|DE →|＝22＋(－22)2＝23．[答案] B9．质点P 在平面上作匀速直线运动，速度向量ν＝(4，－3)(即点P 的运动方向与ν相同，且每秒移动的距离为|ν|个单位)．设开始时点P 的坐标为(－10,10)，则5秒后点P 的坐标为( )A ．(－2,4)B ．(－30,25)C ．(10，－5)D ．(5，－10)[解析] 设(－10,10)为A ，设5秒后P 点的坐标为A 1(x ，y )， 则AA 1→＝(x ＋10，y －10)，由题意有AA 1→＝5ν．即(x ＋10，y －10)＝(20，－15)⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋10＝20，y －10＝－15⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝－5.[答案] C10．如图所示，已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，则AC 和OB 的交点P 的坐标为________．[解析] 设P (x ，y )，OB →＝(4,4)，OP →＝(x ，y )，由于OB →∥OP →，所以x －y ＝0，AC →＝(－2,6)，AP →＝(x －4，y )，由于AP →∥AC →，所以6(x －4)＋2y ＝0，可得x ＝3，y ＝3，故P 的坐标是(3,3)．[答案] (3,3)11．已知P ，Q 为△ABC 内的两点，且AQ →＝14AC →＋12AB →，AP →＝12AC →＋14AB →，则△APQ 的面积与△ABC 的面积之比为________．[解析] 如图，根据题意，P ，Q 为△ABC 中位线DE ，DF 的中点，PQ ＝12EF ＝14BC ，而A 到PQ 的距离是到BC 距离的34，根据三角形的面积公式可知，S △APQ ＝316S △ABC ．[答案]31612．若a ，b 是两个不共线的非零向量，t ∈R ．(1)若a ，b 的起点相同，t 为何值时，a ，t b ，13(a ＋b )三个向量的终点在一条直线上？(2)若|a |＝|b |且a 与b 的夹角为60°，t 为何值时，|a －t b |最小？ 解 (1)由题意得a －t b 与a －13(a ＋b )共线，则设a －t b ＝m ⎣⎡⎦⎤a －13(a ＋b )，m ∈R ， 化简得⎝⎛⎭⎫23m －1a ＝⎝⎛⎭⎫m3－t b ． 因为a 与b 不共线，所以⎩⎨⎧23m －1＝0，m3－t ＝0，解得⎩⎨⎧m ＝32，t ＝12.所以当t ＝12时，a ，t b ，13(a ＋b )三个向量的终点在一条直线上．(2)因为|a |＝|b |， 所以|a －t b |2＝(a －t b )2 ＝|a |2＋t 2|b |2－2t |a ||b |cos 60° ＝(1＋t 2－t )|a |2＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫t －122＋34|a |2， 所以当t ＝12时，|a －t b |有最小值32|a |．创新突破13．某人骑车以每小时a 千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为每小时2a 千米时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向．解 设a 表示此人以每小时a 千米的速度向东行驶的向量，无风时此人感到风速为－a ，设实际风速为v ，那么此时人感到风速为v －a ，设OA →＝－a ，OB →＝－2a ，PO →＝v ，因为PO →＋OA →＝P A →，所以P A →＝v －a ，这就是感到由正北方向吹来的风速，因为PO→＋OB→＝PB→，所以PB→＝v－2a．于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是PB→．由题意：∠PBO＝45°，P A⊥BO，BA＝AO，从而，△POB为等腰直角三角形，所以PO＝PB＝2a，即：|v|＝2a．所以实际风速是每小时2a千米的西北风．。

§2.5 向量的应用(一)课时目标经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题及其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力．1．向量方法在几何中的应用(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b (b ≠0)⇔________⇔________________.(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔________⇔________________.(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cos θ＝________________________＝________________________________.(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a |＝________.2．直线的方向向量和法向量(1)直线y ＝kx ＋b 的方向向量为________，法向量为________． (2)直线Ax ＋By ＋C ＝0的方向向量为________，法向量为________．一、填空题 1.如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为______．2．在△ABC 中，已知A (4,1)、B (7,5)、C (－4,7)，则BC 边的中线AD 的长是________．3．已知平面上三点A 、B 、C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5.则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝____.4．点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是 △ABC 的________．(从重心、垂心、外心、内心中选择) 5．已知直线l 1：3x ＋4y －12＝0，l 2：7x ＋y －28＝0，则直线l 1与l 2的夹角是________．6．若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状是______三角形．7．设平面上有四个互异的点A 、B 、C 、D ，已知(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，则 △ABC 的形状一定是________三角形．8．已知点A (3，1)，B (0,0)，C (3，0)，设∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有BC →＝λCE →，其中λ＝________.9．已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 的形状是________三角形．10．在直角坐标系xOy 中，已知点A (0,1)和点B (－3,4)，若点C 在∠AOB 的角平分线上且|OC →|＝2，则OC →＝__________________. 二、解答题11．在△ABC 中，A (4,1)，B (7,5)，C (－4,7)，求∠A 的角平分线的方程．12．P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，PFCE 为矩形．求证：PA ＝EF 且PA ⊥EF .能力提升13．已知点O ，N ，P 在△ABC 所在平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，NA →＋NB →＋NC →＝0，PA →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·PA →，则点O ，N ，P 依次是△ABC 的________． ①重心、外心、垂心； ②重心、外心、内心； ③外心、重心、垂心； ④外心、重心、内心．(注：三角形的三条高线交于一点，此点称为三角形的垂心) 14．求证：△ABC 的三条高线交于一点．1．利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明．2．在直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)上任取两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则P 1P 2→(λ∈R 且λ≠0)也是直线l 的方向向量．所以，一条直线的方向向量有无数多个，它们都共线．同理，与直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)垂直的向量都叫直线l 的法向量．一条直线的法向量也有无数多个．熟知以下结论，在解题时可以直接应用． ①y ＝kx ＋b 的方向向量v ＝(1，k )，法向量为n ＝(k ，－1)．②Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)的方向向量v ＝(B ，－A )，法向量n ＝(A ，B )．§2.5 向量的应用(一)知识梳理1．(1)a ＝λb x 1y 2－x 2y 1＝0 (2)a·b ＝0 x 1x 2＋y 1y 2＝0(3)a·b |a||b | x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22 (4)x 2＋y 22．(1)(1，k ) (k ，－1) (2)(B ，－A ) (A ，B ) 作业设计 1．2解析 ∵O 是BC 的中点，∴AO →＝12(AB →＋AC →)＝m 2AM →＋n 2AN →，∴MO →＝AO →－AM →＝(m 2－1)AM →＋n 2AN →.又∵MN →＝AN →－AM →，MN →∥MO →，∴存在实数λ，使得MO →＝λMN →，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1＝－λ，n 2＝λ，化简得m ＋n ＝2. 2.525 解析 BC 中点为D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，5， ∴|AD →|＝525.3．－25解析 △ABC 中，B ＝90°，cos A ＝35，cos C ＝45，∴AB →·BC →＝0，BC →·CA →＝4×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－16，CA →·AB →＝5×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－9.∴AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝－25. 4．垂心解析 ∵OA →·OB →＝OB →·OC →，∴(OA →－OC →)·OB →＝0. ∴OB →·CA →＝0.∴OB ⊥AC .同理OA ⊥BC ，OC ⊥AB ， ∴O 为垂心． 5．45°解析 设l 1、l 2的方向向量为v 1，v 2，则 v 1＝(4，－3)，v 2＝(1，－7)，∴|cos 〈v 1，v 2〉|＝|v 1·v 2||v 1|·|v 2|＝255×52＝22.∴l 1与l 2的夹角为45°. 6．直角解析 ∵|OB →－OC →|＝|CB →|＝|AB →－AC →|， |OB →＋OC →－2OA →|＝|AB →＋AC →|， ∴|AB →－AC →|＝|AB →＋AC →|，∴四边形ABDC 是矩形，且∠BAC ＝90°. ∴△ABC 是直角三角形． 7．等腰解析 ∵(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝[(DB →－DA →)＋(DC →－DA →)]·(AB →－AC →) ＝(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝AB →2－AC →2 ＝|AB →|2－|AC →|2＝0， ∴|AB →|＝|AC →|，∴△ABC 是等腰三角形． 8．－3解析 如图所示，由题知∠ABC ＝30°，∠AEC ＝60°，CE ＝33， ∴|BC ||CE |＝3， ∴BC →＝－3CE →. 9．等边解析 由⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，得∠A 的角平分线垂直于BC .∴AB ＝AC .而AB →|AB →|·AC →|AC →|＝cos 〈AB →，AC →〉＝12， 又〈AB →，AC →〉∈[0°，180°]，∴∠BAC ＝60°. 故△ABC 为正三角形．10.⎝ ⎛⎭⎪⎫－105，3105 解析已知A (0,1)，B (－3,4)，设E (0,5)，D (－3,9)， ∴四边形OBDE 为菱形．∴∠AOB 的角平分线是菱形OBDE 的对角线OD .设C (x 1，y 1)，|OD →|＝310，∴OC →＝2310OD →.∴(x 1，y 1)＝2310×(－3,9)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－105，3105，即OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－105，3105.11．解 AB →＝(3,4)，AC →＝(－8,6)， ∠A 的角平分线的一个方向向量为： AB →|AB →|＋AC →|AC →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，75. ∵∠A 的角平分线过点A .∴所求直线方程为－75(x －4)－15(y －1)＝0.整理得7x ＋y －29＝0. 12.证明 以D 为坐标原点，DC 所在直线为x 轴，DA 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系如图所示，设正方形边长为1，|DP →|＝λ，则A (0,1)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2λ2，2λ2，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22λ，F ⎝⎛⎭⎪⎫22λ，0， 于是PA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22λ，1－22λ，EF →＝⎝⎛⎭⎪⎫22λ－1，－22λ.∴|PA →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22λ2＋⎝⎛⎭⎪⎫1－22λ2＝λ2－2λ＋1，同理|EF →|＝λ2－2λ＋1， ∴|PA →|＝|EF →|，∴PA ＝EF .∵PA →·EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22λ⎝ ⎛⎭⎪⎫2λ2－1＋⎝⎛⎭⎪⎫1－22λ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22λ＝0， ∴PA →⊥EF →.∴PA ⊥EF . 13．③解析 如图，∵NA →＋NB →＋NC →＝0，∴NB →＋NC →＝－NA →.依向量加法的平行四边形法则，知|N A →|＝2|ND →|，故点N 为△ABC 的重心．∵PA →·PB →＝PB →·PC →， ∴(PA →－PC →)·PB → ＝CA →·PB →＝0.同理AB →·PC →＝0，BC →·PA →＝0， ∴点P 为△ABC 的垂心． 由|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，知点O 为△ABC 的外心． 14．证明如图所示，已知AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条高． 设BE ，CF 交于H 点， 令AB →＝b ，AC →＝c ，AH →＝h ， 则BH →＝h －b ，CH →＝h －c ， BC →＝c －b .∵BH →⊥AC →，CH →⊥AB →，∴(h －b )·c ＝0，(h －c )·b ＝0， 即(h －b )·c ＝(h －c )·b整理得h·(c －b )＝0，∴AH →·BC →＝0∴AH ⊥BC ，∴AH →与AD →共线． 故△ABC 的三条高线交于一点．。

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.5 平面向量应用举例课时训练 新人教版必修4一、选择题1．用力F 推动一物体水平运动s m ，设F 与水平面的夹角为θ，则力F 对物体所做的功为( )A ．|F |·sB ．F ·cos θ·sC ．F ·sin θ·sD ．|F |·cos θ·s【解析】 W ＝F ·s ＝|F |·|s | ·cos θ＝|F |cos θ·s .【答案】 D2．四边形ABCD 中，DC →＝12AB →，且|AD →|＝|BC →|，则该四边形为( ) A ．平行四边形B ．矩形C ．等腰梯形D ．菱形【解析】 ∵DC →＝12AB →，∴DC ∥AB ，且|DC →|≠|AB →|. ∴四边形ABCD 为梯形，又|AD →|＝|BC →|，∴四边形为等腰梯形．【答案】 C3．一船从某河一岸驶向另一岸，航速为υ1、水速为υ2，已知船垂直到达对岸，则( )A ．|υ1|＜|υ2|B ．|υ1|＞|υ2|C ．|υ1|≤|υ2|D ．|υ1|≥|υ2|【解析】 速度是向量，要使船垂直到达对岸，则向量υ1在水流方向上的分量与向量υ2大小相等、方向相反，由此即得|υ1|＞|υ2|.【答案】 B4．(2013·漳州高一检测)若四边形ABCD 满足AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则该四边形一定是( )A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．直角梯形【解析】 ∵AB →＋CD →＝0，∴AB →＝DC →，四边形ABCD 是平行四边形，由(AB →－AD →)·AC →＝0，得BD →·AC →＝0，∴BD →⊥AC →，即此四边形对角线互相垂直，故为菱形．【答案】 C5．过点M (2,3)，且垂直于向量u ＝(2,1)的直线方程为( )A ．2x ＋y －7＝0B ．2x ＋y ＋7＝0C ．x －2y ＋4＝0D ．x －2y －4＝0【解析】 设P (x ，y )是所求直线上任一点，则MP →⊥u ，又∵MP →＝(x －2，y －3)，∴2(x －2)＋(y －3)＝0，即2x ＋y －7＝0.【答案】 A二、填空题6．飞机以300 km/h 的速度斜向上飞行，方向与水平面成30°角，则飞机在水平方向的分速度大小是________km/h.【解析】 在水平方向上的速度为v ·cos 30°＝150 3 km/h.【答案】 150 37．在△ABC 中，若∠C ＝90°，AC ＝BC ＝4，则BA →·B C →＝________.【解析】 由∠C ＝90°，AC ＝BC ＝4，知△ABC 是等腰直角三角形．∴BA ＝42，∠ABC ＝45°，∴BA →·B C →＝42×4×cos 45°＝16.【答案】 168. 用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个物体，如图所示，已知物体的重力大小为10 N ，则每根绳子的拉力大小是________．图2－5－2【解析】 因绳子等长，所以每根绳子上的拉力和合力所成的角都相等，且等于60°，故每根绳子的拉力大小都是10 N.【答案】 10 N三、解答题9. 如图所示，平行四边形ABCD 中，已知AD ＝1，AB ＝2，对角线BD ＝2，求对角线AC的长．图2－5－3【解】 设AD →＝a ，AB →＝b ，则BD →＝a －b ，AC →＝a ＋b .而|BD →|＝|a －b | ＝|a |2－2a ·b ＋|b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1＋4－2a ·b ＝5－2a ·b ，∴|BD →|2＝5－2a ·b ＝4，∴2a ·b ＝1.又|AC →|2＝|a ＋b |2＝a 2＋2ab ＋b 2＝|a |2＋2ab ＋|b |2＝1＋4＋2ab ，∴|AC →|2＝6，∴|AC →|＝6，即AC ＝ 6.10. 如图所示，作用于同一点O 的三个力F 1、F 2、F 3处于平衡状态，已知|F 1|＝1，|F 2|＝2，F 1与F 2的夹角为2π3，求F 3的大小．图2－5－4【解】 ∵F 1、F 2、F 3三个力处于平衡状态，∴F 1＋F 2＋F 3＝0，即F 3＝－(F 1＋F 2)，∴|F 3|＝|F 1＋F 2| ＝F 1＋F 22 ＝F 21＋2F 1·F 2＋F 22 ＝1＋2×1×2×cos 2π3＋4＝ 3. 11．△ABC 中，A (4,1)，B (7,5)，C (－4,7)，求∠A 的平分线所在的直线的方程．【解】 向量AB →＝(7,5)－(4,1)＝(3,4)，AC →＝(－4，7)－(4,1)＝(－8,6)，从而∠A的平分线的一个方向向量为AB →|AB →|＋AC →|AC →|＝(35，45)＋(－45，35)＝(－15，75)，则∠A 的平分线方程可设为75x ＋15y ＋m ＝0，将点(4,1)的坐标代入，得m ＝－295，整理得7x ＋y －29＝0，即∠A 的平分线所在直线的方程为7x ＋y －29＝0.【教师备课资源】1．知识拓展物理问题的向量处理方法(1)力学问题的向量处理方法①解决此类问题必须用向量知识将力学问题转化为数学问题，即将力学各量之间的关系抽象成数学模型．再利用建立的数学模型解析或回答相关物理现象．例如：在重300 N 的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°(如图所示)，求重物平衡时，两根绳子拉力的大小．分析：注意到两根绳子的夹角为90°，因此可把问题转化为解直角三角形．【解】 作▱OACB ，使∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°.在△OAC 中，∠ACO ＝∠BOC ＝60°，∠OAC ＝90°，|OA →|＝|OC →|cos 30°＝1503(N)，|AC →|＝|OC →|·sin 30°＝150(N)，|OB →|＝|AC →|＝150(N)．答：与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 3 N ，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.②向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但是力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的．用向量知识解决力的问题，往往是把向量平移到同一作用点上．例如：如图所示，用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图，已知灯具的重量10 N, 则每根绳子的拉力大小是________．【解析】 因绳子等长，所以每根绳子上的拉力和合力所成的角都相等，且等于60°，故每根绳子的拉力都是10 N.【答案】 10 N(2)速度、位移问题的向量处理方法①解决速度、位移问题常用的合成、分解其实就是向量的加减法，运动的叠加亦用到向量的合成．例如：一艘船以5 km/h 速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度与船的实行速度．【解】 如图所示，OA →表示水流速度，OB →表示船向垂直于对岸行驶的速度，OC →表示船实际速度，∠AOC ＝30°，|OB →|＝5 km/h.∵四边形OACB 为矩形，|OA →|＝|AC →|cot 30°＝|OB →|.cot 30°＝5 3(km/h)≈8.66(km/h)．|OC →|＝|OB →sin 30°|＝10(km/h)． ∴水流速度为8.66 km/h ，船实际速度为10 km/h.②速度、加速度与位移的合成和分解，实质就是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成． a ．向量在速度、加速度上的应用，实质是通过向量的线性运算解决向量问题，最后再获得物理结果．b ．用向量解决速度、加速度和位移等问题，用的知识主要是向量的加法、减法以及数量乘法，有时也可借助坐标来求解．(3)向量与功、动量物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移距离的乘积，它的实质是向量的数量积．①力的做功涉及到两个向量及这两个向量的夹角，即W ＝|F ||s |·cos〈F ，s 〉．功是一个实数，它可正，也可负．②在解决问题时要注意数形结合．。