(整理)第五章不定积分47495

第五章 不定积分一、填空题1、)(),(x g x f 为同一个函数的原函数，说明C x g x f =-)()(，将1=x 代入得 2,31)1()1(-==-=-C C g f ， 于是得： 2)()(-=-x g x f2、C x x xd xdx x f +-===⎰⎰2cos 21)2(2sin 212sin )(， 210cos 21)0(=+-=C f 得C = 1，于是有12cos 21)(+-=x x f 3、x C x x f 2)()(2='+=，22)(x x f =，C x dx x dx x f +==⎰⎰32322)( 4、x C x x f 2)()(2='+=，5、x x x f 222tan 1sec )(tan +=='，x x f +='1)( C x x dx x x f ++=+=⎰221)1()(，代入条件1)0(=f 得1=C ，所以 6、由x x f 1)(2=' 得 x x f 1)(='， C x xdx dx x f x f +===⎰⎰2)()( 7、x C x xx f 2)()(ln 2='+=' ， 22)(ln x x f ='，设,ln t x =那么t e x =，换元得 t e t f 22)(='，即x e x f 22)(=' ，C e x d e dx e x f x x x +===⎰⎰222)2(2)(8、因为)()(x f x F ='，所以⎰+=C x F dx x f )()(；9、 Ce x d e x d x e dx x xe x x x x +===⋅⎰⎰⎰sin sin sin sin 2)(sin 2cos 2cos 10、dx x dx x x dx x x ⎰⎰⎰-=-2221ln 1ln ， 1211C xdx x +-=⎰ C x x C x C x x x dx x x +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-⎰ln 11ln 1ln 222 其中21C C C += 11、)2111arcsin (2arcsin 2arcsin dx xx x x x x d x dx x x ⋅-⋅-==⎰⎰⎰ 12、dx x x dx x x dx x x x ⎰⎰⎰+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=++14216116)2(2042109210910209 13、C e e e e e d e e e e e dx e e e e ee dx e e dx x x x x x x x x x +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=+⎰⎰⎰⎰-+arctan 11111122223331C e e x +=--12arctan14、x e x f --=')(，C x dx xdx e dx x f x +-=-=-='⎰⎰⎰-ln 1)()(ln ln 15、 =C x x x +-++22221)1ln()1(21 将)21,0(-代入)(x f 得21-=C 故:]1)1ln()1[(212121)1ln()1(21)(222222--++=--++=x x x x x x x f 16、C e x d e dx e x C x x x +=⋅==⎰⎰5.05.05.0256)5.0(5.01128128)( C 是固定本钱，所以 100256)(5.0+=x ex C 17、设1-=x e t ，)1ln(2+=t x ，dt tt dx 212+=那么 18、2sin cos sin )(x x x x x x x f -='⎪⎭⎫ ⎝⎛=， 19、C x f x f x dx x f x f x dx x f x +-'='-'=''⎰⎰)()()()()( 20、C x x x dx x x dx x x x x xdx dx y y n n +-=-=⋅-===⎰⎰⎰⎰-ln ln 1ln ln )()1( 二、选择题1、A 、C 不正确，等式右边少了积分常数C ；D 也不正确，等式右边不是微分；选B2、A 、C x F x d x f dx xx f +==⎰⎰)(21)(21)( B 、C xF x d x f dx x x f +-=-=⎰⎰)1()1()1()1(2 C 、⎰⎰+==C x F x d x f xdx x f )(tan )(tan )(tan cos )(tan 2 D 、⎰⎰+==C x F x d x f dx xx f )(ln )(ln )(ln )(ln 选A 3、A 、)()()()()()()()(1])([ln x f x f x F x f x F x F x F x F C x F '≠='='⋅='+ 所以该备选答案错误； 由上计算结果知B ，D 也是错误的。

第五章 不定积分 Indefinite Integral§3 不定积分的运算3.1 直接积分法直接积分法（immediate integration ），就是直接利用基本积分公式和运算性质计算不定积分，下面举例说明.Example 5.3.1（See p.114） 求64(25)d x x x +⎰.解 646464752(25)d 2d 5d 2d 5d 7x x x x x x x x x x x x x C +=+=+=++⎰⎰⎰⎰⎰. Example 5.3.2（See p.115） 求125cos d xx x x⎛⎫-+⎪⎝⎭⎰. 解 11225cos d d 2d 5cos d ln ||5sin ln 2x x xx x x x x x x x C x x ⎛⎫-+=-+=-++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰. 有时，被积函数需要经过适当的代数或三角恒等变换后，再利用基本积分公式和不定积分性质求其结果.Example 5.3.3（See p.115） 求22d 1x x x+⎰. 解 22222111d d 1d arctan 111x x x x x x x C x x x +-⎛⎫==-=-+ ⎪+++⎝⎭⎰⎰⎰. Example 5.3.4（See p.115） 求2cosd 2xx ⎰.解 由降幂公式，得21cos 11cos d d (1cos )d (sin )2222x x x x x x x x C +==+=++⎰⎰⎰.Example 5.3.5 求2tan d x x ⎰.解 由三角恒等式，得22tan d (sec 1)d tan x x x x x x C =-=-+⎰⎰.Example 5.3.6 求42d 1x x x +⎰.解 44222222211(1)(1)11d d d 1d 1111x x x x x x x x x x x x x -++-+⎛⎫===-+ ⎪++++⎝⎭⎰⎰⎰⎰ C x x x ++-=arctan 313. Example 5.3.7 求221d sin cos 22x x x ⎰.解 由三角恒等式，得222221441d d d 4d sin sin sin cos2sin cos 2222x x x x x x x x x x ===⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰C x +-=cot 4.3.2 换元积分法用直接积分法所能计算的不定积分是很有限的，所以有必要进一步来研究不定积分的求法.下面我们来学习一种把复合函数的微分法反过来用于求不定积分，利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法.这种方法称为换元积分法（integration by substitution ），简称换元法.3.2.1 第一类换元法（凑微分法） Example 5.3.8（See p.116） 求sin 2d x x ⎰.解 被积函数x 2sin 不是基本初等函数，而是由u y sin =，x u 2=复合而成的，所以不能用直接积分法（即不能直接用基本积分公式）求出结果，但是我们有公式sin d cos u u u C =-+⎰.于是可先把sin 2d x x ⎰作变形如下：1sin 2d sin 2d22x x x x =⎰⎰.令x u 2=，有111sin 2d sin d cos cos 2222x x u u u C x C ==-+=-+⎰⎰. 【Note 】由上例我们不难看出，这种积分方法的基本思想是：先凑成微分形式，再作变换)(x u ϕ=（换元），变成可利用已知公式的形式，求出原函数再换回原来的变量（还原）.这种积分法称为第一换元法或凑微分法（improvising differentiation ）.Theorem 5.2（See p.116） 如果被积函数的形式为)()]([x x f ϕϕ'，设)(x u ϕ=是可微函数，且)(u F 是)(u f 的一个原函数（即()d ()f u u F u C =+⎰），则[()]()d f x x x ϕϕ'⎰C x F +=)]([ϕ.证明()()[()]()d [()]d ()()d ()[()]x uu x f x x x f x x f u u F u CF x C ϕϕϕϕϕϕϕ=='===+=+⎰⎰⎰.31x +解111d d(31)31331x x x x =+++⎰⎰，令13+=x u ，得原式111d ln ||33u u C u ==+⎰ C x ++=|13|ln 31. 【Note 】事实上，当运算熟练后，可不必写出中间变量u ，而是直接计算下去.如上例解题过程可写为1111d d(31)ln |31|313313x x x C x x =+=++++⎰⎰.Example 5.3.10 求sin 2d x x ⎰. 解法1 11sin 2d sin 2d2cos 222x x x x x C ==-+⎰⎰. 解法2 2sin 2d 2sin cos d 2sin dsin sin x x x x x x x x C =⋅==+⎰⎰⎰.解法3 2sin 2d 2cos sin d 2cos dcos cos x x x x x x x x C =⋅=-=-+⎰⎰⎰.Example 5.3.11 求cos3cos 2d x x x ⎰. 解 由三角学中的积化和差公式，得()111cos3cos 2d cos d cos5d cos d cos5d5225x x x x x x x x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ C x x ++=5sin 101sin 21. Example 5.3.12（See p.116） 求tan d x x ⎰. 解 sin 11tan d d d cos ln |cos |ln cos cos cos x x x x x x C C x x x==-=-+=+⎰⎰⎰ C x +=|sec |ln .【Note 请大家记住这个结果.同理可得这两个结果以后要作为基本积分公式熟记，并可直接应用.Example 5.3.13（See p.116） 求x .解21)2x x C =--=.x 解 22311ln d ln d ln ln 3x x x x x C x ==+⎰⎰.Example 5.3.15（See p.117）求（0>a ）.解d 1arcsinx xC a a⎛⎫ ⎪===+. 【Note0>a ）这个结果以后也要作为基本积分公式熟记，并可直接应用.Example 5.3.16（See p.117） 求22d xa x -⎰（0≠a ）.解22d 1d d 1d()d()22x x x a x a x a x a a x a x a a x a x +-⎛⎫⎡⎤=+=- ⎪⎢⎥-+-+-⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰ C xa x a a C x a x a a +-+=+--+=ln 21|)|ln ||(ln 21. Example 5.3.17（See p.117） 求22d xa x +⎰（0≠a ）.解 22222d d 1d 11arctan 11x x x x a C a x a a a ax x a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭===++⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰. 【Note0≠a）0≠a ）这两个结果以后也要作为基本积分公式熟记，并可直接应用. Example 5.3.18（See p.117） 求3cos d x x ⎰.解 32231cos d cos cos d (1sin )dsin sin sin 3x x x x x x x x x C =⋅=-=-+⎰⎰⎰. Example 5.3.19 求2sin d x x ⎰. 解 21cos 21111sin d d d cos 2d2sin 222222x x x x x x x x x C -⎛⎫⎛⎫==-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰.【Note 】仿上面步骤，可以得到211cos d sin 222x x x x C ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭⎰. Example 5.3.20 求3sin d x x ⎰.解 32231sin d sin sin d (cos 1)d cos cos cos 3x x x x x x x x x C =⋅=-=-+⎰⎰⎰. 【Note 】仿上面步骤，可以得到331cos d sin sin 3x x x x C =-++⎰. Example 5.3.21（See p.117） 求4sin d x x ⎰.解 242221cos 21sin d (sin )d d (12cos 2cos 2)d 24x x x x x x x x x -⎛⎫===-+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰ 11cos 4111d cos 2d2d sin 2d cos 4d442428x x x x x x x x x x +⎛⎫⎛⎫=-+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰ 111311sin 2sin 4sin 2sin 44288432x x x x C x x x C ⎛⎫=-+++=-++ ⎪⎝⎭. 【Note 】仿上面步骤，可以得到4311cos d sin 2sin 48432x x x x x C =+++⎰. Example 5.3.22 求5sin d x x ⎰.解 542224sin d sin sin d (1cos )dcos (12cos cos )dcos x x x x x x x x x x =⋅=--=--+⎰⎰⎰⎰C x x x +-+-=53cos 51cos 32cos .【Note 】仿上面步骤，可以得到53521cos d sin sin sin 35x x x x x C =-++⎰. Example 5.3.23（See p.117） 求sec d x x ⎰. 解 221cos dsin sec d d d cos cos 1sin x xx x x x x x x===-⎰⎰⎰⎰，由公式22d 1ln 2x a x C a x a a x +=+--⎰可得原式C xxC x x x C x x ++=++-+=+-+=cos sin 1ln )sin 1)(sin 1()sin 1(ln 21sin 1sin 1ln212 C x x ++=|tan sec |ln .【Note 记，并可直接应用. Example 5.3.24 求csc d x x ⎰.解法1 22sin d d cos csc d sin 1cos x x xx x x x==--⎰⎰⎰，由公式22d 1ln 2x a x C a x a a x +=+--⎰可得 原式C x x x C x x C x x +-+-=++-=+-+-=)cos 1)(cos 1()cos 1(ln 21cos 1cos 1ln 21cos 1cos 1ln 212C x x C xx+-=+-=|cot csc |ln sin cos 1ln.解法2 21111csc d d d d d tan sin 222sin cos tan cos tan 22222x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ C x x C x x C x x x C x x C x +-=+-=+⋅=+=+=|cot csc |ln sin cos 1ln 2cos 2sin 22sin 2ln 2cos 2sinln2tan ln 2. 解法3 22sin cos sin cos12222csc d d d d sin 222sin cos cos sin2222x x x x x x x x x x x x x x x +⎛⎫⎛⎫===+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ d cos d sin 22ln cos ln sin ln tan 222cos sin22x x x x x C C x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-+=-++=+⎰⎰ C x x +-=|cot csc |ln . 解法4 csc d sec d ln sec tan 2222x x x x x x C ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰C x x +-=|cot csc |ln .【Note这个结果以后也要作为基本积分公式熟记，并可直接应用.现将Example 5.3.12,15,16,17,23,24中的结果作为补充基本积分公式集中列出：Example 5.3.25 求d 1x xe -⎰.解法1 d (1)d(1)d 1d d ln |1|1111x x x x x x xx x x e e e e x x x e x C e e e e ⎛⎫---==-=-=--+ ⎪----⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ C e C e e x x x +-=+--=-|1|ln ln |1|ln .解法2 d d(1)d ln |1|111x x xxx x x e e x e C e e e------===-+---⎰⎰⎰. Example 5.3.26（See p.118） Another way to evaluate sec d x x ⎰.Solution If we multiply the integrand by the fractionxx xx tan sec tan sec ++ (which is of course equalto 1), we get 2sec tan sec sec tan sec d sec d d sec tan sec tan x x x x x x x x x x x x x x ++⎛⎫== ⎪++⎝⎭⎰⎰⎰. Now, observe that the numerator is exactly the derivative of the denominator. That is,2d(sec tan )sec sec tan d x x x x x x+=+, so that taking x x u tan sec +=, give us 2sec sec tan 1d d ln ||ln |sec tan |sec tan x x x x u u C x x C x x u+===+=+++⎰⎰.【Note 】本例与Example 5.3.23为同一积分.按照前面写法，可以这样：sec d x x ⎰2sec (sec tan )sec sec tan d(sec tan )d d ln |sec tan |sec tan sec tan sec tan x x x x x x x x x x x x C x x x x x x+++====+++++⎰⎰⎰.Example 5.3.27（See p.118） Evaluate43cossin d x x x ⎰.Solution If you’re looking for terms that are der ivatives of other terms, you should see both sine and cosine terms, but which do you substitute for? Consider x u cos =, so that d sin d u x x =-.Notice that we can now rewrite the integral as 4342cos sin d cos sin sin d x x x x x x x =⎰⎰42d (1442)422cos sin (sin )d cos (1cos )(sin )d (1)d uu u x x x x x x x x u u u-=--=---=--⎰⎰⎰757564cos cos ()d 7575u u x xu u u C C =-=-+=-+⎰.【Note 】本例按照前面写法，可以这样：4342cos sin d cos sin sin d x x x x x x x =⋅⎰⎰42647511cos (1cos )d cos (cos cos )d cos cos cos 75x x x x x x x x C =--=-=-+⎰⎰. Example 5.3.28（See p.119） Evaluate 24tan sec d x x x ⎰.Solution Since2dtan sec d x x x=, we rewrite integral as 24tan sec d x x x ⎰222222tan sec sec d tan (1tan )sec d x x x x x x x x =⋅⋅=+⎰⎰.Now, we let x u tan =, so that2d sec d u x x = and22d (1)2422222tan sec tan (1tan )sec d (1)d uu u x xdx x x x x u u u +=+=+⎰⎰⎰353524tan tan ()d 3535u u x xu u u C C =+=++=++⎰.【Note 】本例按照前面写法，可以这样：24222tan sec d tan sec sec d x x x x x x x =⋅⎰⎰22243511tan (1tan )d tan (tan tan )d tan tan tan 35x x x x x x x x C =+=+=++⎰⎰.Example 5.3.29 求22d sin cos 22xx x ⎰.解 2222222222sin cos d 1122d d 2sec csc d 222sin cos sin cos cos sin 222222x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫+ ⎪⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰ 2tan cot 22x x C ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.【Note 】注意，这就是前面讲过的Example 5.3.7，此结果还可以进一步化简.其实，若令2x =α，则可得22sin cos 2(sin cos )2tan cot 2(tan cot )222cos sin cos sin x x αααααααααα-⎛⎫⎛⎫-=-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭224(cos sin )4cos 24cot 24cot 2cos sin sin 2x ααααααα---===-=-，故原式C x +-=cot 4.通过上面大量例题可以看出，第一换元法的关键是“凑微分”（improvising differential ），现将一些常见的情形总结如下（只写出被积表达式，其中0≠a ）：①1()d ()d()f ax b x f ax b ax b +=++；②11()d ()d()n n n n xf ax b x f axb ax b-+=++；③2f x f =；④21111d d f x f x x x x ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪；⑤()d ()d x x x x e f e x f e e =；⑥1(ln )d (ln )d ln f x x f x x =；⑦cos (sin )d (sin )dsin x f x x f x x ⋅=； ⑧sin (cos )d (cos )dcos x f x x f x x ⋅=-.【Note 】上述公式在应用时，只需两边加积分号即可.比如对情形①，由1()d ()d()f ax b x f ax b ax b a +=++，加积分号得1()d ()d()f ax b x f ax b ax b a+=++⎰⎰.还要注意，在凑微时，遇到正整数次幂函数nx （2≥n ）的微分，写法要规范，不能写成d nx ，而必须加括号写成d()nx （前者表示的是d x 的n 次幂(d )nx ，而后者表示的是x 的n 次幂nx的微分）；但若不是正整数次幂函数αx 的微分，则是否加括号均可，如9.0x的微分写成0.9d x或0.9d()x 均可（其它函数的微分，只要不致发生混淆，是否加括号均可，如x 2sin 的微分写成dsin 2x 或d(sin 2)x 均可）.3.2.2 第二类换元法（拆微分法） 一般地，如果积分()d f x x ⎰不易计算，可以引入新变量t ，将x 表为t 的一个连续函数)(t x ϕ=，从而简化积分计算.实际上，此时()d [()]d ()[()]()d f x x f t t f t t t ϕϕϕϕ'==⎰⎰⎰，如果)()]([t t f ϕϕ'的原函数为)(t F ，即[()]()d ()f t t t F t C ϕϕ'=+⎰，再将)(1x t -=ϕ回代到)(t F 中即得1()d [()]f x x F x C ϕ-=+⎰.于是有如下定理：Theorem 5.3（See p.119） 如果)(t x ϕ=是可微函数，且0)(≠'t ϕ，若[()]()d ()f t t t F t C ϕϕ'=+⎰，则1()d [()]f x x F x C ϕ-=+⎰.利用第二类换元法，计算不定积分的步骤是：①换元：寻找适当的变量替换)(t x ϕ=，)(t ϕ可微，且0)(≠'t ϕ，反函数)(1x t -=ϕ存在且可微；②运算：计算不定积分[()]()d ()f t t t F t C ϕϕ'=+⎰ ；③回代（还原）：用)(1x t -=ϕ把所得结果表示成x 的函数.从上图中可看出，第一换元积分法（凑微分法）与第二换元积分法（拆微分法）的思路正好相反.第二类换元法（即拆微分法[disassembled differentiation ]）通常有根式代换法（radical substitutions ）及三角代换法（trigonometric substitutions ）.这些换元法的目的是去掉被积函数中的根号，将被积函数化为我们已熟知的易求其不定积分的形式.Example 5.3.30（See p.120） 求x . 解 令2-=x t ，则22+=t x ，d 2d x t t =，于是2222d 2(2)dt x t t t t t +=⋅=+⎰⎰C t t C t t ++=++=)6(3243223，再将2-=x t 回代并整理，得x ⎰C x x ++-=)4(232.【Note 】其实本例也可用凑微分法作：dx x x ==⎰d(2)4)x C x C =-==++⎰. Example 5.3.31 求.解法1 令x t =，则2t x =，d 2d x t t =，于是2d 112d11t t t t t t +-==++⎰⎰⎰121d 2(ln |1|)ln(11t t t C C t ⎛⎫=-=-++=+ ⎪+⎝⎭⎰.解法2 令x t +=1，则2)1(-=t x ，d 2(1)d x t t =-，于是2(1)dt tt -=⎰⎰121d 2(ln ||)2[1ln(1t t t C C t ⎛⎫=-=-+=+++ ⎪⎝⎭⎰.【Note 】显然解法2比解法1简便. Example 5.3.32 求. 解 令6x t =，则6t x =，5d 6d x t t =，于是53326d 6d 1t t t t t t t ==++⎰⎰⎰32211(1)(1)116d 6d 61d 111t t t t t t t t t t t t +-+-+-⎛⎫===-+- ⎪+++⎝⎭⎰⎰⎰C x x x x C t t t t +⎪⎭⎫⎝⎛+-+-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=|1|ln 21316|1|ln 2131666323.Example 5.3.33（See p.120） 求x （0>a ）.分析 被积函数中有根式22x a -，可令t a x sin =，利用三角公式t t 22cos sin 1=-得t a t a x a cos )sin 1(2222=-=-，从而把根号去掉.解 令t a x sin =，则t a x a cos 22=-，d cos d x a t t =，于是cos cos d x a t a t t =⋅⎰2222221cos d (1cos 2)d sin 2sin cos 22222a a a a a a t t t t t t C t t t C ⎛⎫==+=++=++ ⎪⎝⎭⎰⎰，这是关于t 的函数，最后结果必须回代成x 的函数，由t a x sin =可得axt =sin ，axt arcsin =，而ax a t 22cos -=.t 与x 之间的关系，还可以从以t 为锐角的直角三角形看出（See Figure 5-1）.根据axt =sin 作斜边为a ，对边为x ，邻边为22x a -的直角三角形，于是a x a t 22cos -=，从而2arcsin 2a x x C a =.【Note 0>a ）这个结果以后要作为基本积分公式熟记，并可直接应用. Example 5.3.34（See p.121） 求0>a ）.分析 被积函数中有根式22x a +，可令t a x tan =，利用三角公式t t 22sec tan 1=+得t a t a x a sec )tan 1(2222=+=+，从而把根号去掉.解 令t a x tan =，则由上述分析知t a x a sec 22=+，2d sec d x a t t =，于是⎰2sec d sec d ln |tan sec |sec a t t t t t t C a t ===++⎰⎰.由t a x tan =得出axt =tan ，据此作一个以t 为锐角的直角三角形（See Figure 5-2），其中对边为x ，邻边为a ，则斜边为22x a +，从而得出ax a t 22sec +=，于是1ln x C a =+ln |x C =+（其中a C C ln 1-=）.【Note 0>a ）这个结果以后也要作为基本积分公式熟记，并可直接应用. Example 5.3.35（See p.122） 求（0>a ）.分析 被积函数中有根式22a x -，可令t a x sec =，利用三角公式t t 22sec tan 1=+得t a t a a x tan )1(sec 2222=-=-，从而把根号去掉.解 令t a x sec =，则由上述分析知t a a x tan 22=-，d sec tan d x a t t t =⋅，于是sec tan d sec d ln |sec tan |tan a t a t tt t t t C a t⋅===++⎰⎰.由t a x sec =得出axt =sec ，据此作一个以t 为锐角的直角三角形（See Figure 5-3），其中斜边为x ，邻边为a ，则对边为22a x -，从而得出aa x t 22tan -=，于是⎰1ln ln |x C x C a =++=++（其中a C C ln 1-=）.【Note 0>a ）这个结果以后也要作为基本积分公式熟记，并可直接应用.可以将Example 5.3.34＆35两个结果合在一起记为0>a ）.现将Example 5.3.33,34,35中的结果作为补充基本积分公式集中列出：（在上面的三个公式中，均有0>a ）【Note 】上面三个例题用的换元法就是三角代换法.现归纳如下：若被积函数中含有22x a -（或22x a -的方幂可作变换，这时t a x a cos 22=-，而d cos d x a t t =（或作变换t a x cos =，这时t a x a sin 22=-，而d sin d x a t t =-）；若被积函数中含有22x a +（或22x a +的方幂可作变换，这时x a 22+，而2d sec d x a t t =（或作变换t a x cot =，这时t a x a csc 22=+，而2d csc d x a t t =-）； 若被积函数中含有22a x -（或22a x -的方幂可作变换，这时t a a x tan 22=-，而d sec tan d x a t t t =⋅（或作变换t a x csc =，这时cot a t =，而d csc cot d x a t t t =-⋅）.我们将三角代换法整理为下表：Example 5.3.36（See p.123） An Integral InvolvingEvaluate the integralx ，for 5>x . Solution Here, we make the substitution θsec 5=x , for ⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈2,0πθ. Notice that we chose thefirst half of the domain ⎥⎦⎤⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈πππθ,22,0 , so that we would have 5sec 5>=θx . (If we had 5-<x , we would have chosen ⎥⎦⎤⎝⎛∈ππθ,2). Note that gives us d 5sec tan d x θθθ=and theintegral then becomes:225tan 5sec tan d 5tan d 5(sec 1)d 5sec x θθθθθθθθθ=⋅==-⎰⎰⎰ C +-=θθtan 5. Finally, we draw a diagram, as in Figure5-4. From Figure5-4, we have525tan 2-=x θ, and x 5arccos =θ (or arcsec 5x θ=). We now have x x⎰C xx +--=5arccos 5252(or d 5arcsec 5x x C x =+⎰). Example 5.3.37 求（0>a ）.解 令t a x sin =，则t a x a cos 22=-，d cos d x a t t =，于是cos d cos a t ta t=⎰d arcsin xt t C C a==+=+⎰.【Note 】前面已用第一类换元法作过此题（Example 5.3.15），这里用的作法是第二类换元法，说明同一个不定积分可以用两个不同类型的换元法来作.下面再举一例. Example 5.3.38 求d 1x xe -⎰.解 前面已用第一类换元法作过此题（Example 5.3.25），这里再用第二类换元法作一下.令1-=x e t ，则)1ln(+=t x ，d d 1t x t =+，于是d d 11d 1(1)1x x t t e t t t t ⎛⎫==- ⎪-++⎝⎭⎰⎰⎰ C e C ee C t t C t t x x x +-=+-=++=++-=-|1|ln 1ln 1ln |1|ln ||ln .【Note 】其实，即使用同一类型的换元法来作，也可能有多种作法（如Example5.3.10,24,25,31，我们都给出了2种甚至3种作法）.3.3 分部积分法不定积分的换元法，可以计算许多积分问题，但对于诸如ln d x x ⎰，cos d x x x ⎰，2d xx e x ⎰等类积分，换元法就用不上了，为此我们介绍另一种基本积分方法——分部积分法（integration by parts ）.如果)(x u u =，)(x v v =都有连续的导数，则由函数乘积的微分公式d()d d uv u v v u =+，即d d()d u v uv v u =-，两边取不定积分得d d u v uv v u =-⎰⎰.分部积分公式（partial integral formula ），其等价形式是.我们先举两个例子.Example 5.3.39（See p.124） 求ln d x x ⎰. 解 1ln d ln d ln ln d ln d ln x x x x x x x x x x x x x x x x C x=-=-⋅=-=-+⎰⎰⎰⎰. Example 5.3.40（See p.124） Integration by parts Evaluate cos d x x x ⎰.Solution First, observe that you cannot evaluate this as it stands. That is, it is not one of our basic integrals and no-substitution will help. To use integration by parts, you will need to choose u (something to differentiate) and d v (something to integrate). Notice that if we let x u =and d cos d d(sin )v x x x ==, then d d u x =and integrating d v , we haved d(sin )sin v v x x C ===+⎰⎰. In performing integration by parts, we drop this constant ofintegration (think about why it makes sense to do this). Also, we usually write this information as the book: x u =,d d(sin )v x =;d d u x =,x v sin =. This gives usd cos d d uvx x x u v =⎰⎰d sin sin d sin cos uv v u x x x x x x x C =-=-=++⎰⎰.【Note 】我们可以按Example 5.3.39的写法再作一遍：cos d dsin x x x x x =⎰⎰sin sin d sin cos x x x x x x x C =-=++⎰.分部积分法多用于解决被积函数为两类不同函数乘积时的积分问题，它的基本思想是当d u v 不易计算时把它转化为较易计算的d v u .【Note 】我们要注意的是：使用分部积分公式d d u v uv v u =-⎰⎰时，首先要把()d f x x⎰化为d u v ⎰的形式，同时还要保证d v u ⎰是较易计算的，因此选取哪个函数为u ，选取哪个函数为v （即“凑微分”时把哪类函数用凑到微分号后）是非常关键的.常见以下几种类型：①当被积函数为幂函数与对数函数相乘或幂函数与反三角函数相乘时，把幂函数凑到微分号后；②当被积函数为幂函数与三角函数相乘或幂函数与指数函数相乘时，把三角函数或指数函数凑到微分号后；③当被积函数为三角函数与指数函数相乘时，一般需要进行两次分部积分，把三角函数或指数函数凑到微分号后都可以，但要求两次分部积分选取同类函数凑到微分号后.Example 5.3.41（See p.125） 求ln d x x x ⎰. 解 ()()2222111ln d ln d()ln d ln ln d 222x x x x x x x x x x x x x ==-=-⎰⎰⎰⎰ C x x x +⎪⎭⎫⎝⎛-=2221ln 21. Example 5.3.42（See p.126） 求arctan d x x x ⎰. 解 ()22211arctan d arctan d()arctan d arctan 22x x x x x x x x x ==-⎰⎰⎰2222221111arctan d ln d 2121x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+-=-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎰⎰222211arctan d d (arctan arctan )212x x x x x x x x x C x ⎛⎫=-+=-++ ⎪+⎝⎭⎰⎰. Example 5.3.43（See p.126） Repeated integration by parts Evaluate 2sin d x x x ⎰.Solution Certainly, you cannot evaluate this as it stands and there is no simplification or substitution that will help. We choose 2x u =,d sin d v x x =, d 2d u x x =, x v cos -=. With this choice, integration by parts yieldsd 22sin d cos 2cos d uvxx x x x x x x =-+⎰⎰. Of course,this last integral cannot be evaluated as it stands, but we could do it using a further integration by parts. We now choose x u =,d cos d v x x =,d d u x =,x v sin =. Applying integration by parts to the lat integral, we now haved 222sin d cos 2cos d cos uvxx x x x x x x x x =-+=-⎰⎰()22sin sin d cos 2sin 2cos x x x x x x x x x C +-=-+++⎰.【Note 】我们可以按Example 5.3.42的写法再作一遍：22sin d dcos x x x x x =-⎰⎰22222cos cos d()cos 2cos d cos 2dsin cos x x x x x x x x x x x x x x x=-+=-+=-+=-⎰⎰⎰22sin 2sin d cos 2sin 2cos x x x x x x x x x C +-=-+++⎰.Example 5.3.44（See p.127） 求2d xx e x -⎰. 解 222222d d d()2d 2d xxx x x x x x x e x x e x e e x x e xe x x e x e --------=-=-+=-+=--⎰⎰⎰⎰⎰()2222d 22(22)xx x x x x x x exe e x x e xe e C e x x C -------=---=---+=-+++⎰.【Note 】分部积分公式可连续多次应用.比如Example 5.3.43,44中都应用了两次分部积分公式.Example 5.3.45（See p.127） 求sin d xe x x ⎰. 解法1 sin d xe x x ⎰sin d x x e =⎰ （凑微分） sin dsin x x e x e x =-⎰ （分部积分）sin cos d x x e x e x x =-⎰sin cos d x x e x x e =-⎰ （凑微分）()sin cos d cos x x x e x e x e x =--⎰ （分部积分）--=)cos (sin x x e x sin d xe x x ⎰ （重复出现）于是1sin d (sin cos )2xxe x x e x x C =-+⎰. 解法2 sin d x e x x ⎰d cos xe x =-⎰ （凑微分）()cos cos d x x e x x e =--⎰ （分部积分）cos cos d x x e x e x x =-+⎰cos dsin x x e x e x =-+⎰（凑微分） cos sin sin d x x x e x e x x e =-+-⎰（分部积分） --=)cos (sin x x e x sin d xe x x ⎰ （重复出现）于是1sin d (sin cos )2xxe x x e x x C =-+⎰. 【Note 】此例中应用了两次分部积分公式，而每次均选用同种类型函数（解法1是两次都将指数函数凑到微分号后，解法2是两次都将三角函数凑到微分号后），而且必须又重复出现，才可解出其积分.有时候在求不定积分时，往往要兼用换元积分法与分部积分法.我们再来看两个例子. Example 5.3.46 求arcsin d x x ⎰. 解 arcsin d x x ⎰arcsin darcsin x x x x =-⎰ （分部积分）arcsin x x x =-⎰2arcsin x x =+ （换元积分）arcsin x x C =.Example 5.3.47求x ⎰.解2d2d2dtx tx tttx e t t==⋅⎰⎰（换元积分）2d2dt tte x t e==⎰⎰()2dt tte e t=-⎰（分部积分）Cete tt+-=)(2Cte t+-=)1(2Cxe x+-=)1(2.。

不定积分一、本章学习要求与内容提要（一）学习要求1．了解原函数、不定积分的概念及其性质． 2．掌握不定积分的基本公式．3．掌握不定积分的换元法和分部积分法．重点 原函数、不定积分的概念，不定积分的基本公式，不定积分的换元法和分部积分法．难点 不定积分的换元法和分部积分法． （二）内容提要1．原函数与不定积分 （1）原函数设函数)(x f y =在某区间上有定义，若存在函数)(x F ，使得在该区间任一点处，均有x x f x F x f x F d )()(d )()(=='或,则称)(x F 为)(x f 在该区间上的一个原函数．关于原函数的问题，还要说明两点:①原函数的存在问题：如果)(x f 在某区间上连续，那么它的原函数一定存在 ②原函数的一般表达式：若)(x F 是)(x f 的一个原函数，则C x F +)(是)(x f 的全部原函数，其中C 为任意常数．(2)不定积分若)(x F 是)(x f 在某区间上的一个原函数，则)(x f 的全体原函数C x F +)(（C 为任意常数）称为)(x f 在该区间上的不定积分，记为⎰x x f d )(，即⎰+=C x F x x f )(d )(积分运算与微分运算之间有如下的互逆关系：①x x f x x f x f x x f d )(]d )([d )(]d )([=='⎰⎰或,此式表明，先求积分再求导数（或求微分），两种运算的作用相互抵消．②⎰⎰+=+=',)()(d )(d )(C x F x F C x F x x F 或此式表明，先求导数（或求微分）再求积分，两种运算的作用相互抵消后还留有积分常数C ．对于这两个式子，要记准，要熟练运用．2．不定积分的基本积分公式 不定积分的基本积分公式如下：⎰⎰-≠++=+=+)1(1d (2) )(d )1(1μμμμC x x x k C kx x k 为常数C x C x x xx +=+=⎰⎰e d e (4) ln d 1)3(x⎰⎰+=+=;sin d cos (6) ;ln d )5(C x x x C aa x a xx⎰⎰⎰+==+-=;tan d sec d cos 1)8( ;cos d sin )7(22C x x x x xC x x x ;t a n d t a n s e c )10(;cot d csc d sin 1)9(22⎰⎰⎰+=+-==C x x x x C x x x x x ⎰⎰+=+-=;arcsin -1d (12) ;csc d cot csc )11(2C x xx C x x x x.arctan 1d )13(2C x x x+=+⎰3．不定积分的性质（1）积分对于函数的可加性，即⎰⎰⎰+=+x x g x x f x x g x f d )(d )(d )]()([,可推广到有限个函数代数和的情况，即 ⎰⎰⎰⎰±±±=±±±x x f x x fx x f x x f x f x f n n d )(d )(d )(d )]()()([2121 ．(2)积分对于函数的齐次性，即⎰⎰≠=0d )(d )(k x x f k x x kf ． 4．分部积分公式 ⎰⎰-=v u uv v u d d ．二、主要解题方法1．直接积分法例1 计算（1） ⎰+-x x x d 12122， （2）x x x d )2sin 2(cos 2⎰+． 解 （1）不能直接用公式，用加项减项变换 ，即⎰+-x x x d 12122=⎰⎰⎰++-=++--2221d 3d 2d 1322xxx x x x =C x x ++-arctan 32 （2）不能直接用公式，用二项和公式展开再利用三角变换． 得 原式=x x d ]sin 1[⎰+=⎰x d +⎰x x d sin =cos x x C -+．小结 计算简单的不定积分，有时只需按不定积分的性质和基本公式进行计算；有时需要先利用代数运算或三角恒等变形将被积函数进行整理．然后分项计算．2．换元积分法（1）第一换元积分法(凑微分法）⎰ϕ'ϕx x x f d )()]([=⎰ϕϕ)(d )]([x x f ）（x u ϕ=C u F uu f +⎰)(d )(积分回代C x F +)]([ϕ.例2 计算 （1）⎰x x axd 21， （2）⎰+x x x d )1(1． 解 （1） 选择换元函数()x u ϕ=使所给积分化为基本积分⎰x a x d 形式，再求出结果．为此，令 x u 1=，则 2d d xxu -=，于是 ⎰x x a xd 21=d ua u -⎰=ln ua C a-+=C a a x+-ln 1． 为简便起见，令 xu 1= 这一过程可以不写出来，解题过程写成下面形式即可,⎰x x a xd 21=)1(d 1x a x⎰-=C a a x+-ln 1 （)1(d d 2x xx -= 称为凑微分）． （2）⎰+x x x d )1(1=⎰+)(d 112x x=C x +arctan 2． 小结 凑微分法一般不明显换新变量u ，而是隐换，像上面所做，这样省掉了回代过程，更简便．（2）第二换元积分法⎰xx f d )(）（x u ϕ=⎰'t )t ()]t ([f d ϕϕ=Ct F +)(()x t 1-=ϕC x F +-)]([1ϕ（其中 )(t ϕ是单调可微函数）例3 计算 （1）⎰++x xd 111 ， （2）⎰-x xx d 122．解（1） 令t x =+1, 则 =x 12-t , t t x d 2d =,于是原式=⎰+t t t d 12=⎰+-+t t t d 1112=]1d d [2⎰⎰+-t tt =C t t ++-1ln 22=C x x +++-+11ln 212.（2） 设 t x sin = ,t x cos 12=-,t t x d cos d = , 于是原式=⎰t t tt d cos cos sin 2=⎰t t d sin 2=⎰-t t d 22cos 1 21x t=21⎰⎰-)2(d 2cos 41d t t t ==+-C t t 2sin 4121C t t t +-cos sin 2121=C x x x +--212arcsin 21．小结 第二换元法常用于消去根号，但有时也用于某些多项式 ，像 ⎰+x a x d )(1222也可用函数的三角代换求出结果．通常当被积分函数含有根式 22x a -时，可令 x a x sin =, 当被积分函数含有根式 22x a +时，可令 x a x tan =, 当被积分函数含有根式22a x -时，可令 x a x sec =.3. 分部积分法 分部积分的公式为⎰v u d =-uv ⎰u v d .应用此公式应注意:（1） v 要用凑微分容易求出, （2）⎰u v d 比⎰v u d 容易求.例4 计算 （1）x xxd e )1(2⎰+ ， （2） 3s e c d x x ⎰．解 （1） 选 12+=x u ，=v d xe x d ，x x u d 2d =， x x u d 2d =, 于是原式 )1(2+=x x e ⎰-x 2xe x d ,对于⎰x x e x d 再使用分部积分法,选x u =， =v d x e x d , 则 x u d d =，=v xe ,从而⎰x x e x d =x xe ⎰-x x d e =x x e C x +-e ．原式=x e =+--)e e (21C x x x )12(2++x x C x+e （12C C =）, 为了简便起见，所设 x u =,=v xe 等过程不必写出来，其解题步骤如下:⎰x xedx =⎰x d x e =x C x x x x x x +-=-⎰e e d e e .（2）3sec d x x ⎰=)(tan d sec x x ⎰=x x tan sec ⎰-)(sec d tan x x=x x tan sec ⎰-x x x d sec tan 2=sec tan x x -x x x d sec )1(sec 2-⎰=sec tan x x -⎰x x d sec 3+⎰x x d sec=sec tan x x -⎰x x d sec 3+x x tan sec ln +, 式中出现了“循环”，即再出现了⎰x x d sec 3移至左端，整理得3sec d x x ⎰=21[x x tan sec +x x tan sec ln +]+C ． 小结 此积分一般用于被积函数为不同类型的函数乘积式,但也用于某些函数，如对数函数、反三角函数等，对于被积函数是指数函数与三角函数乘积，还有sin(ln )d x x ⎰以及上面所讲的x x d sec 3⎰等，需多次使用分部积分公式，在积分中出现原来的被积分函数再移项，合并解方程，方可得出结果，而且要记住，移项之后，右端补加积分常数C ．三、学法建议1．本章的重点是原函数与不定积分的概念、基本积分公式、换元积分法与分部积分法．难点是第一换元积分法，既基本又灵活，必须多下工夫，除了熟记积分基本公式外，还要熟记一些常用的微分关系式．如 xe =x d )xd (e，1d(ln )x x=， x x xd 2d 1=，sin d d(cos )x x x =-,2sec d d(tan )x x x =等等．2．不定积分计算要根据被积函数的特征灵活运用积分方法．在具体的问题中，常常是各种方法综合使用针对不同的问题采用不同的积分方法．如 x x d )(arcsin 2⎰，先换元，令x t arcsin =，再用分部积分法即可，x xd )(a r c s i n 2⎰=⎰t t t d cos 2，也可多次使用分部积分公式．3．求不定积分比求导数要难得多，尽管有一些规律可循，但在具体应用时，却十分灵活，因此应通过多做习题来积累经验，熟悉技巧，才能熟练掌握．。