同济版高等数学教案第五章 定积分

第五章 定积分 第一节 定积分的概念与性质一、定积分问题举例1. 曲边梯形的面积：设曲边梯形是由连续曲线)0)(()(≥=x f x f y 、x 轴以及两条直线a x =、b x =所围成,求其面积A . ①．大化小(分割)：在区间],[b a 内任意插入1-n 个分点b x x x x x a n n =<<<<<=-1210 ，用直线i x x =将曲边梯形分成n 个小曲边梯形，用i A ∆表示第i 个曲边梯形的面积; ②．常代变(近似代替)：在第i 个窄曲边梯形的底上任取],[1i i i x x -∈ξ，有i i i x f A ∆ξ∆)(≈. ③．近似和(求和)：∑==ni i A A 1∆∑=≈ni i i x f 1)(∆ξ.④．取极限：令}{max 1i ni x ∆λ≤≤=，则∑=→=n i i A A 1lim ∆λ∑=→=ni i i x f 1)(lim ∆ξλ.2. 变速直线运动的路程：设某物体作直线运动,已知速度)(t v v =在时间间隔],[21T T 上连续，且0)(≥t v ，求在运动时间内物体所经过的路程s .①．大化小(分割)：在区间],[21T T 内任意插入1-n 个分点b t t t t t a n n =<<<<<=-1210 ， 将它分成n 个小段),,2,1(],[1n i t t i i =-，用i s ∆表示物体第i 个小段上经过的路程; ②．常代变(近似代替)：在第i 个小段上经过的路程任取],[1i i i t t -∈ξ，有i i i t v s ∆ξ∆)(≈. ③．近似和(求和)： i ni i t v s ∆ξ∑=≈1)(.④．取极限：令}{max 1i ni t ∆λ≤≤=，则i ni i t v s ∆ξλ∑=→=1)(lim .这两个具体问题来自两个不同的学科，但它们都可一归结为具有相同结构的确定和式的极限，抽去它们的具体意义，就得到数学上定积分的概念. 二、定积分的相关概念1．定积分 :设函数)(x f 在区间],[b a 上有界，若在区间],[b a 内任意插入1-n 个分点b x x x x a n =<<<<= 210，任取],[1-∈i i i x x ξ，记1--=i i i x x x ∆，只要0}{max 1→=≤≤i ni x ∆λ，和式极限i ni i x f ∆ξλ∑=→1)(lim 总存在，则称此极限为)(x f 在],[b a 上的定积分,记作⎰bax d x f )(，即=⎰bax d x f )(i ni i x f ∆ξλ∑=→1)(lim ，此时也称)(x f 在区间],[b a 上黎曼可积. 注：1°.引例中，曲边梯形的面积A ⎰=bax d x f )(；路程⎰=21)(T T t d t v s .2°.定积分仅与被积函数及积分区间有关, 而与积分变量用什么字母表示无关, 即⎰b ax d x f )(⎰=b at d t f )(⎰=ba u d u f )(.3°.在定积分定义中，要求积分上限b 大于积分下限a ，为了方便起见，规定： 当b a >时，⎰b ax d x f )(⎰-=abx d x f )(；当b a =时，⎰bax d x f )(0=.4°.定积分定义中0→λ意味着区间的分割越来越细.0→λ时必有小区间的个数∞→n ，但∞→n 并不能保证0→λ(不等分的时候，当等分的时候∞→⇔→n 0λ.)5°.若已知)(x f 在],[b a 上可积，则可以通过特殊的分法分割区间(例如n 等分)和特殊的取点i ξ(例如取i i x =ξ或1-=i i x ξ)来计算定积分.2．定积分的几何意义：曲边梯形的“面积”. 3. 函数可积的条件 (1). 必要条件：定理1.若)(x f 在],[b a 上可积，则)(x f 在],[b a 上有界.反之未必，例如：狄利克雷函数⎩⎨⎧∉∈=Q x Q x x f ,0,1)(在]1,0[上有界，但不可积,因为定义中的积分和的极限不总存在. (2). 充分条件：定理2. 若)(x f 在],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 上可积.反之未必，例如⎩⎨⎧≤<≤≤=21,110,0)(x x x f 在]2,0[上可积，但)(x f 在]2,0[上有一个间断点1=x .定理3. 若)(x f 在],[b a 上有界，并且只有有限个间断点，则)(x f 在],[b a 上可积.定理4. 若)(x f 在],[b a 上单调且有界，则)(x f 在],[b a 上可积. 例1. 利用定义计算定积分x d x ⎰102.解：将区间]1,0[进行n 等分, 分点为n i x i =),,1,0(n i =，取n i i =ξ，nx i 1=∆，),,2,1(n i =.则i ii i x x f ∆ξ∆ξ2)(=32ni =，于是i i ni x f ∆ξ)(1∑=∑==n i i n 1231)12)(1(6113++⋅=n n n n ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n 121161，所以 i ni i x x d x ∆ξλ∑⎰=→=120102lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→n n n 121161lim 31=.例2. 用定积分表示下列极限:1.∑=∞→+n i n n i n 111lim n n i n i n 11lim 1⋅+=∑=∞→x d x ⎰+=101.2. 121lim +∞→+++p p p p n n n n n i n i pn 1lim 1∑=∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛=x d x p⎰=10. 三、定积分的性质(设所列定积分都存在) 1.线性性质1. xd x f k x d x f k baba)()(⎰⎰=( k 为常数).性质2.⎰⎰⎰±=±b a ba b ax d x g x d x f x d x g x f )()()]()([.2.积分区间的可加性性质3. 设b c a <<，则有⎰⎰⎰+=bccabax d x f x d x f x d x f )()()(.3.保序性性质4. 若在],[b a ，0)(≥x f ，则0)(≥⎰x d x f ba .性质5. 若在],[b a ，)()(x g x f ≤，则x d x g x d x f bab a)()(⎰⎰≤.4.绝对不等式性 性质6.x d x f b a)(⎰x d x f ba⎰≤)(.5.介值性性质7.设M 和m 是)(x f 在],[b a 上的最大值和最小值，则)()()(a b M x d x f a b m ba-≤≤-⎰.性质8.a b x d ba-=⎰1.6.中值性性质9.(积分中值定理) 若)(x f 在],[b a 上连续，则至少存在一点],[b a ∈ξ，使得))(()(a b f x d x f b a-=⎰ξ.证明：设)(x f 在],[b a 上的最大值和最小值为M 和m ，则由介值性得M x d x f a b m b a≤-≤⎰)(1，再由闭区间上连续函数的介值定理, 至少存在一点],[b a ∈ξ，使x d x f a b f b a)(1)(⎰-=ξ. 注：1°.积分中值定理对b •a <或b a >的情形都成立. 2°.称x d x f ab f b a )(1)(⎰-=ξ为)(x f 在],[b a 上的平均值. 因为 ab x d x f b a-⎰)(n a b f a b ni i n -⋅-=∑=∞→)(lim 11ξ)(1lim 1∑=∞→=n i i n f n ξ，故它是有限个数的平均值概念的推广.3°.积分中值定理的几何意义: 以)(x f y =为曲边的曲边梯形的面积等于同底的且以)(ξf 为的矩形的面积.第二节 微积分基本公式一、引例:变速直线运动中位臵函数与速度函数之间的联系在变速直线运动中, 已知位臵函数)(t s 与速度函数)(t v 之间满足：)()(t v t s ='，即)(t s 是)(t v 的原函数.又物体在时间间隔],[21T T 内经过的路程为)()()(1221T s T s t d t v s T T -==⎰，即速度函数)(t v 在区间],[21T T 上的定积分t d t v T T ⎰21)(等于)(t v 的原函数在],[21T T 上的增量.这种定积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性. 二、积分上限函数及其导数1.积分上限函数：若函数)(x f 区间],[b a 上可积，则称函数]),[()()(b a x t d t f x xa ∈=⎰Φ为积分上限函数，或变上限积分.注：积分上限函数t d t f x xa⎰=)()(Φ在],[b a 上连续.推导：],[0b a x ∈∀，有t d t f t d t f x xx x a⎰⎰+=00)()()(Φ，当0x x →时，0)(0→⎰t d t f x x ，于是)()()(lim 000x t d t f x x ax x ΦΦ==⎰→，即t d t f x x a⎰=)()(Φ在],[b a 上连续.2.积分上限函数的导数：定理1.若函数)(x f 在区间],[b a 上连续，则积分上限函数t d t f x xa⎰=)()(Φ在],[b a 上可导，并且 )()()('x f t d t f x d d x d d x xa =⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎰ΦΦ )(b x a ≤≤. 证明: ),(,b a x x x ∈+∀∆，则有x x x x ∆Φ∆Φ)()(-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰⎰+x a x x a t d t f t d t f x )()(1∆∆⎰+=x x x t d t f x ∆∆)(1)(ξf =)(x x x ∆ξ+<<(积分中值定理)，又)(x f 在],[b a 上连续，故有xx x x x x ∆Φ∆ΦΦ∆)()(lim)('0-+=→)(lim 0ξ∆f x →=)(x f =. 若a x =，取0>x ∆，可证)('a +Φ)(a f =；若b x =，取0<x ∆，可证)('b -Φ)(b f =. 注：其它变限积分求导: 1°.⎰bx t d t f xd d )( ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰x b t d t f x d d )( )(x f -=； 2°.⎰)()(x at d t f x d d ϕ )()]([x x f ϕϕ'=；3°.⎰)()()(x x t d t f x d d ϕψ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰)()()()(x a a x t d t f t d t f x d d ϕψ )()]([)()]([x x f x x f ψψϕϕ'-'=. 3.原函数存在定理：定理2.若函数)(x f 在区间],[b a 上连续，则积分上限函数td t f x xa ⎰=)()(Φ)],[(b a x ∈就是)(x f 在],[b a 上的一个原函数.注：这个定理一方面肯定了连续函数的原函数的存在性，另一方面初步地揭示了在被积函数连续的前提下，定积分与原函数之间的联系，为使用原函数计算定积分开辟了道路.例1. x x e •x t d e •x t d e •x x x t x x t x 2)(cos lim )'(lim lim 222cos 02'1cos 0021cos 0-→-→-→-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰x•e x •x x 2sin lim 2cos 0-→⋅=e•e •x x ••x x x 21lim sin lim 212cos 00=⋅=-→→.例2.设)(x f 在),0[∞+内连续且0)(>x f ，证明td t f t d t f t x F x x⎰⎰=00)()()(在),0[∞+内单调增加.证明：由于=')(x F ()200)()()()()(t d t f td t f t x f t d t f x f x xxx ⎰⎰⎰-()200)()()()()(t d t f td t f t x f t d t xf x f xxx ⎰⎰⎰-=()200)()()()(t d t f td t f t x x f xx ⎰⎰-=()20)()())((t d t f xf x x f x⎰⋅-=ξξ )0(x <<ξ(积分中值定理)0>，所以)(x F 在),0[∞+内单调增加. 4.函数存在原函数与函数可积的关系： (1).函数存在原函数，但不一定可积.例如：对函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1s i n )(22x x x x x f ，由于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==--≠-=→0,0001s i n l i m 0,1c o s 21s i n 2)('22022x x x x x •x x x x x f x ，令)(')(x f x g =，即函数)(x g 在区间],[a a -上具有原函数，但由于)(x g 在],[a a -无界，所以)(x g 在],[a a -不可积， 事实上，取021→=πn x )(∞→n ，有 )2cos(22)2sin(2221πππππn n n n n g -=⎪⎭⎫⎝⎛-∞→-=πn 220 )(+∞→n ， 即)(x g 在],[a a -无界.(2).函数可积，但不一定存在原函数.例如：函数⎩⎨⎧≤<≤≤=21,110,0)(x x x f 在]2,0[除了一个间断点1=x 外都连续，所以)(x f 在]2,0[上可积，但)(x f 在]2,0[上不存在原函数.(3).存在既不存在原函数又不可积的函数，例如：狄利克雷函数：⎩⎨⎧∉∈=Q x Qx x f ,0,1)(.三、微积分基本公式——牛顿—莱布尼茨公式定理3. (微积分基本定理)设函数)(x f 在区间],[b a 上连续，若函数)(x F 是)(x f 在],[b a 上的任一原函数，则)()()(a F b F x d x f b a-=⎰.证明：由于积分上限函数t d t f x a⎰)(是)(x f 的一个原函数，故)(x F C t d t f x a+=⎰)(， 令a x =，得)(a F C =，因此)()()(a F x F x d x f xa-=⎰；再令b x =，得)()()(a F b F x d x f ba-=⎰ba x F )(= .注：微积分基本公式进一步揭示了定积分与被积函数的原函数之间的关系.它表明：连续函数)(x f 在],[b a 上的定积分等于它的任意一个原函数)(x F 在],[b a 上的增量.微积分基本公式是对被积函数连续时给出的计算定积分的公式，若函数)(x f 在],[b a 上不连续，但满足一定的条件，也有相同的公式：定理3’ 设函数)(x f 在区间],[b a 上有界，且有有限多个间断点，若存在连续函数)(x F ，在)(x f 的间断点外，有)()('x f x F =，则)()()(a F b F x d x f b a-=⎰.证明：假设)(x f 在b x =不连续，不满足)()('b f b F =，),(b a x ∈∀，有)(t f 在区间],[x a 上连续，且满足)()('t f t F =，从而有)()()(a F x F t d t f xa -=⎰，由)(x F 以及积分上限函数t d t f x a⎰)(的连续，有)]()([lim )(lim )(a F x F t d t f t d t f bx xabx b a-==--→→⎰⎰)()(a F b F -=. 例3.⎰102x d x 123x = 31031=-=.例4.⎰-+31211x •d x 31arctan t =12743)1arctan(3arctan πππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--=. 例5.⎰--121x d x12||ln --=x 2ln 2ln 1ln -=-=. 例6.计算正弦曲线x y sin =在π],0[与x 轴所围成的平面图形的面积.解：⎰=πsin x d x A π0cos x -=2)11(=---=.例7.用微积分基本定理证明积分中值定理：若)(x f 在],[b a 上连续，则至少存一点),(b a ∈ξ，使得)())(()(b a a b f x d x f ba<<-=⎰ξξ.证明：因为)(x f 连续，故)(x f 具有原函数，设)(x F 为它的一个原函数，即)()('x f x F =，由牛顿—莱布尼茨公式有)()()(a F b F x d x f ba -=⎰.由)(x F 在],[b a 上满足拉格朗日中值定理的条件，故至少存一点),(b a ∈ξ，使得)())(())((')()(b a a b f a b F a F b F <<-=-=-ξξξ，故)())(()(b a a b f x d x f ba<<-=⎰ξξ.第三节 定积分的换元积分法和分部积分法一、定积分的换元法：定理1.设函数)(x f 在区间],[b a 上连续，函数)(t x ϕ=满足：(1). a =)(αϕ, b =)(βϕ，并且当t 从α变到β时，对应的x 单调地从a 变到b ； (2). 函数)(t x ϕ=在],[βα或],[αβ上具有连续导数， 则有 t d t t f x d x f ba )(')]([)(ϕϕβα⎰⎰=.证明：所证等式两边被积函数都连续，因此积分都存在，且它们的原函数也存在. 设)(x F 是)(x f 的一个原函数，则)]([t F ϕ是)(')]([t t f ϕϕ的原函数，于是由牛顿—莱布尼茨公式，有⎰bax d x f )()()(a F b F -=)]([)]([αϕβϕF F -=t d t t f )(')]([ϕϕβα⎰=.注：1°.换元必换限, 原函数中的变量不必代回.2°.换元公式也可以这样使用, 即凑元法)]([)]([)(')]([x d x f x d x x f babaϕϕϕϕ⎰⎰=，积分限不换.这相当于不定积分的第一换元积分法. 例1. 计算)0(022>-⎰a x d x a a .解：令t a x sin =，则t d t a x d cos =，当0=x 时，0=t ；a x =时，2/π=t ，于是x d x a a⎰-022t d t a •⎰=2022cos πt d t a )2cos 1(2202⎰+=π2/022sin 212π⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t t a 4π2a =.例2.x d x x •⎰25sin cos πx d x x •')cos (cos 205⎰-=π⎰-=205)cos (cos π•x d x 2/066cos πx -=61610=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=.例3.x d x x ⎰-π53sin sin x d x x ⎰-=π023)sin 1(sin x d x x ⎰=π23cos sin x d x x ⎰=π2/3|cos |sinx d x x x d x x ⎰⎰-+=πππ22/3202/3)cos (sincos sin⎰⎰-=πππ22/3202/3sin sin sin sin x d x x d xπππ2/2/52/02/5sin 52sin 52xx -=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=525254=. 例4.计算x d x x ⎰++40122. 解：令12+=x t ，则212-=t x ，t d t x d =，且当0=x 时，1=t ；当4=x 时，3=t ，于是x d x x ⎰++40122t d t t t ⎰+-=312221t d t )3(21312⎰+=31333121⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t t 322=. 另解：x d x x ⎰++40122x d x x ⎰++=40124221x d x x ⎰++=40121221x d x ⎰++4012321x d x ⎰+=401221⎰+++4012)12(43x x d )12(124140++=⎰x d x ⎰+++4012)12(43x x d 4023)12(3241+⋅=x +421)12(243+⋅x 3313+=322= 例5. 设•x f )(为],[a a -上的连续函数，(1). 若)()(x f x f =-，则⎰⎰-=aaax d x f x d x f 0)(2)(.(偶倍)(2). 若)()(x f x f -=-，则0)(=⎰-aax d x f .(奇零)证明: 由于=⎰-x d x f aa)(x d x f a⎰-0)(x d x f a ⎰+0)(，对积分x d x f a⎰-0)(作变换，令t x -=，则有x d x f a⎰-0)(t d t f a⎰--=0)(t d t f a⎰-=0)(x d x f a⎰-=0)(，于是=⎰-x d x f aa)(x d x f x f a])()([0⎰+-=⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=⎰)()(,0)()(,d )(20x f x f x f x f x x f a 例6.若•x f )(在]1,0[上连续，证明 (1). ⎰⎰=2/02/0)(cos )(sin ππx d x f x d x f ；(2). ⎰⎰=πππ)(sin 2)(sin x d x f x d x xf ，并由此计算⎰+π02cos 1sin x d xxx .证明： (1).令t x -=2π，则t d x d -=，且当0=x 时，2π=t ；当2π=x 时，0=t ，于是 ⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=02/2/02sin )(sin πππt d t -f x d x f ⎰⎰==2/02/0)(cos )(cos ππx d x f t d t f . (2). 令t x -=π，则t d x d -=，且当0=x 时，π=t ；当π=x 时，0=t ，于是⎰⎰---=00)][sin()()(sin ππππt d t f t x d x xf ⎰-=ππ0)(sin )(t d t f t⎰⎰⋅-=πππ0)(sin )(sin t d t f t t d t f ⎰⎰⋅-=πππ0)(sin )(sin x d x f x x d x f ,整理得⎰⎰=πππ)(sin 2)(sin x d x f x d x xf .由此⎰+π02cos 1sin x d x x x ⎰+=ππ02cos 1sin 2x d x x ⎰+-=ππ02cos 1)(cos 2xx dππ0)arctan(cos 2x -=ππ0)arctan(cos 2x -=⎪⎭⎫⎝⎛---=442πππ22π=.例7. 设)(x f 是连续的周期函数，周期为T ，证明： (1). x d x f x d x f TT a a ⎰⎰=+0)()(;(2). )()()(0N n x d x f n x d x f T nT a a∈=⎰⎰+,并由此计算x d x n ⎰+π02sin 1.证明： (1).记x d x f a T a a⎰+=)()(Φ，则0)()()(=-+='a f T a f a Φ，即)(a Φ与a 无关，因此)0()(ΦΦ=a ，于是x d x f x d x f TT a a⎰⎰=+0)()(.(2).由于x d x f nT a a⎰+)( x d x f T kT a kTa n k ⎰∑+++-==)(1，又由(1)知x d x f x d x f TT kT a kTa ⎰⎰=+++0)()(，因此x d x f nT a a⎰+)(x d x f n T⎰=0)(.由于x 2sin 1+是以π为周期的周期函数，于是x d x n ⎰+π02sin 1x d x n ⎰+=π2sin 1x d x x n ⎰+=π2)sin (cos x d x x n ⎰+=πsin cosx d x n ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ππ04sin 2 (令4π+=x t )t d t n ⎰+=πππ4/4/sin 2t d t n ⎰=π0sin 2t d t n ⎰=π0sin 2πcos 2x n -=n 22=.例8. 计算x d x x x ⎰+-30222)33(.解：由于x d x x x ⎰+-30222)33(x d x x ⎰+-=30222)]2/3()2/3[(，令t x tan 2323=-，⎪⎭⎫⎝⎛-∈2,2ππt ， 则t td x d 2sec 23=，t t x x 42222sec 169sec 43)33(=⎪⎭⎫⎝⎛=+-.当0=x 时，3π-=t ；3=x 时，3π=t ， 于是x d x x x ⎰+-30222)33(t d t t t t 243/3/2sec 23sec 91649tan 233tan 43⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=--⎰ππ t d t t t 23/3/2cos 49tan 233tan 43938⎰-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=ππ (偶倍奇零) t d t t 23/02cos 49tan 439316⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πt d t t ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3/022cos 49sin 439316π ()t d t t ⎰+=3/022cos 3sin 334π()t d t ⎰+=3/02cos 21334π()t d t ⎰+=3/02cos 2334ππ2sin 212334⎪⎭⎫⎝⎛+=t t 1338+=π. 例9.设函数⎪⎩⎪⎨⎧<<-+≥=-0,cos 11,0,)(2x xx xe x f x π ，计算x d x f ⎰-41)2(.解：设t x =-2，则t d x d =，且当1=x 时，1-=t ；4=x 时，2=t ，于是x d x f ⎰-41)2( (由于)2/(tan 1)2/(tan 1cos 22t t t +-=)t d t f ⎰-=21)(t d t ⎰-+=01cos 11t d e t t ⎰-+202t d t ⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=0122tan 121)(212202t d e t t --⎰- 22sec 012t d t ⎰-=)(212202t d e t t --⎰-012tan -⎪⎭⎫⎝⎛=t 2221t e --⎪⎭⎫ ⎝⎛=21tan 21214+--e .二、定积分的分部积分法定理2. 设函数)(x u 、)(x v 在区间],[b a 上连续，则有定积分的分部积分公式：ba bax v x u x d x v x u )()()()(='⎰⎰'-bax d x v x u )()(.证明：由于)()()()(])()([x v x u x v x u x v x u '+'='，两端在],[b a 上积分得，ba x v x u )()( x d x v x u x d x v x u bab a)()()()('+'=⎰⎰，整理得ba bax v x u x d x v x u )()()()(='⎰⎰'-bax d x v x u )()(.例10. 计算⎰2/10arcsin x d x .解：⎰2/10)'(arcsin x d x x 2/10arcsin xx =⎰-2/10)(arcsin x d x 2/10arcsin xx =⎰--2/1021x d xx2/10arcsin xx =⎰--+2/1022)1(11x d x2/10arcsin xx =2/1021x -+12312-+=π. 例11. 计算⎰1x d ex.解：令x t =，则2t x =，t d t x d 2=，于是⎰1x d ex⎰=102t d e t t⎰=10)'(2t d e t t102tte =⎰-102t d e t 102tte =102te -2=.思考题：x t d t x x d d x 1000100sin )(sin =-⎰. 提示: 令t x u -=，则t d t x x⎰-0100)(sin u d u x⎰-=0100sinu d u x⎰=0100sin .第四节 反常积分一、无穷积分 1.引例：曲线21x y =和直线1=x 及x 轴所围成的开口曲边梯形的面积可记作⎰+∞=12x x d A ，其含义可理解为⎰∞+→=bb x x d A 12lim 11lim bb x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞+→ ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞+→b b 11lim 1= 将⎰∞+→=bb x xd A 12lim记作⎰∞+12xx d ，因其积分区间时无穷区间，故称其为无穷积分. 2.无穷积分：设函数)(x f 在区间),[∞+a 上连续，取a b >，若x d x f bab )(lim ⎰∞+→存在 ，则称此极限为)(x f 在无穷区间),[∞+a 上无穷积分,记作x d x f x d x f bab a)(lim)(⎰⎰∞+→∞+=，此时也称为无穷积分x d x f a)(⎰∞+收敛；若上述极限不存在,则称无穷积分x d x f a)(⎰∞+发散，可类似定义：)(x f 在无穷区间),(b -∞上的无穷积分：x d x f x d x f baa b)(lim)(⎰⎰∞-→∞-=.)(x f 在无穷区间),(∞+-∞上的无穷积分：=⎰∞+∞-x d x f )(x d x f caa )(lim⎰∞-→x d x f bcb )(lim⎰∞+→+.注：上述定义中若出现∞-∞，并非不定型,它表明该无穷积分发散. 无穷积分也称为第一类反常积分.3.无穷积分的计算：设)(x F 是)(x f 在),[∞+a 上的一个原函数，引入记号:)(lim )(x F F x ∞+→=+∞;)(lim )(x F F x ∞-→=-∞,则有类似牛——莱公式的计算表达式:x d x f a )(⎰∞+∞+=a x F )()()(a F F -+∞=； x d x f b)(⎰∞-b x F ∞-=)()()(-∞-=F b F ； x d x f )(⎰∞+∞-∞+∞-=)(x F )()(-∞-+∞=F F .例1. 计算反常积分⎰+∞∞-+21x xd .解：⎰+∞∞-+21x xd ∞+∞-=xarctan π2π2π=⎪⎭⎫⎝⎛--=. 另解：⎰+∞∞-+21x xd ⎰+∞+=0212x x d ∞+=0arctan 2x π02π2=⎪⎭⎫⎝⎛-=. 注：012=+⎰+∞∞-x xd x 是否正确？因为∞-+∞∞+∞-+=+⎰)1ln(21122x x x d x ，故原积分发散，所以对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用“偶倍奇零”的性质, 否则会出现错误 .例2. 计算反常积分)0(0>⎰+∞-p t d e t t p .解：⎰+∞-0t d e t t p ⎰+∞--=0)(1tp e d t p ∞+--=0pt e pt ⎰+∞-+01t d e ptp ∞+--=0pte p t)(102⎰+∞---t p d e pt p ∞+-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0pt e p t ∞+-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-021pt e p())10(110lim 12--⋅--=-+∞→p te p pt t 21lim 1p e t p pt t +-=+∞→ 211lim 1p pe p pt t +-=+∞→21p =. 例3. 证明p 积分⎰+∞a px xd )0(>a 当1>p 时收敛; 1≤p 时发散. 证明：当1=p 时，有⎰+∞a px x d ()∞+=a x ||ln +∞=， 当1≠p 时，有⎰+∞ap x x d ∞+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=app x 11⎪⎩⎪⎨⎧>-<∞+=-.1,1,1,1p p a p p因此当1>p 时, 反常积分收敛, 其值为11--p a p；当1≤p 时, 反常积分发散.二、瑕积分 1.引例：曲线xy 1=与x 轴及y 轴和直线1=x 所围成的开口曲边梯形的面积可记作⎰=10xxd A ，其含义可理解为⎰+→=10lim εεx x d A 102lim εεx +→= )1(2lim 0εε-=+→ 2=.将⎰+→=1lim εεx xd A 记作⎰10xx d ，因其被积函数在积分区间内无界，也称为无界函数的反常积分.易知左端点0是被积函数x /1的无界间断点，称其为被积函数的瑕点，因此无界函数的反常积分也称为瑕积分.2.瑕点：若函数)(x f 在点a 的任意邻域内都无界，则称a 为)(x f 的无界间断点，又称为瑕点.3.瑕积分：设函数)(x f 在区间],(b a 上连续，点a 为)(x f 的瑕点，取0>ε，若xd x f ba )(lim 0⎰+→+εε存在 ，则称此极限为)(x f 在区间],(b a 上的瑕积分,记作x d x f ba)(⎰x d x f ba )(lim 0⎰+→+=εε，此时也称瑕积分x d x f b a)(⎰收敛；若上述极限不存在,就称瑕积分x d x f ba)(⎰发散，可类似定义：若)(x f 在区间),[b a 内连续，b 为)(x f 的瑕点，则有：x d x f x d x f b aba )(lim )(0⎰⎰-→+=εε.若)(x f 在区间],[b a 上除了点c 外连续，c 为)(x f 的瑕点，则有：=⎰x d x f ba)(x d x f c a)(⎰x d x f bc)(⎰+x d x f c a)(lim 110⎰-→+=εεx d x f bc )(lim 220⎰+→++εε.注：若出现∞-∞，并非不定型,它表明该反常积分发散. 若也称为第二类反常积分. 注：1°.若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类间断点,则本质上是常义积分, 而不是反常积分. 例如: x d x x ⎰---11211x d x ⎰-+=11)1(. 2°.有时通过换元,反常积分和常义积分可以互相转化. 例如⎰-1021xx d ⎰=2/0πt d (令t x sin =)x d x x ⎰++104211⎰++=10222/1/11x d x x x ⎰+--=1022)/1()/1(x x x x d ⎰∞-+=022t t d (令xx t 1-=) 3°.当一题同时含两类反常积分时,应划分积分区间,分别讨论每一区间上的反常积分. 3.瑕积分的计算：设)(x F 是)(x f 的一个原函数， 则有类似牛——莱公式的计算表达式:若b 为瑕点, 则x d x f ba)(⎰)()(lim a F x F bx -=-→)()(a F b F -=-;若a 为瑕点, 则x d x f ba)(⎰)(lim )(x F b F ax +→-=)()(+-=a F b F ;若a 和b 都为瑕点, 则x x f bad )(⎰)(lim )(lim x F b F ax bx +-→→-=)()(+--=a F b F . 思考题：若瑕点),(b a c ∈，则=⎰x x f bad )()()(+-c F b F )()(a F c F -+-)()(a F b F -=是否正确？提示：)(+c F 和)(-c F 不一定相等. 例4.)0(022>-⎰a x a x d a-=a axarcsin1arcsin =2π=. 例5. 讨论反常积分⎰-112x xd 的收敛性.解：由于⎰-112x x d ⎰-=012x x d ⎰+102x x d --⎪⎭⎫⎝⎛-=011x 101+⎪⎭⎫⎝⎛-+x ∞=，所以反常积分⎰-112x xd 发散. 例6. 证明反常积分⎰-ba qa x xd )(当1<q 时收敛; 1≥q 时发散.证明：当1=p 时，a 为被积函数的瑕点，有⎰-ba qa x xd )(()b a x +-=|1|ln +∞=，当1≠p 时，有⎰-ba qa x xd )(ba qq a x +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1)(1⎪⎩⎪⎨⎧>∞+<<--=-.1,,10,1)(1q q q a b q因此当1<q 时, 反常积分收敛, 其值为q a b q---1)(1；当1≥q 时, 反常积分发散.例7. 计算反常积分⎰∞++03)1(x x x d .解：注意到这是一个无穷限和瑕点都出现的反常积分.令t x =，则2t x =，t d t dx 2=，当+→0x 时，0→t ；当+∞→x 时，+∞→t ，于是⎰∞++03)1(x x x d ⎰∞++=02/32)1(2t t t d t ⎰∞++=02/32)1(2t t d . 再令u t tan =，()2/,0π∈u ，u d u dt 2sec =，t u arctan =，当0=t 时，0=u ；当+∞→t 时，2/π→u ，于是⎰∞++03)1(x x x d ⎰=2/032sec sec 2πuud u ⎰=2/0cos 2πu d u 2=. 三.两类反常积分之间的关系：瑕积分积分可转化为无穷积分，例如：设函数)(x f 在区间],(b a 上连续，a 为)(x f 的瑕点，由定义有⎰⎰+→+=b a ba x d x f x d x f εε)(lim )(0，令ta x 1+=，有⎰⎰-→⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+εε/1)/(12011lim )(a b b at d t t a f x d x f t d t t a f a b ⎰∞+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=)/(1211.第五节 反常积分的审敛法 Γ函数一、无穷积分的审敛法由于无穷积分的收敛性问题实质上上是一个极限的存在性问题，于是根据函数极限的理论，不难得出无穷积分的收敛准则： 1.柯西收敛准则：定理1. 无穷积分x d x f a⎰+∞)(收敛的充要条件是：对0>∀ε，0>∃A ，当A A A >'','时，有ε<⎰x d x f A A ''')(成立.下面讨论无穷积分x d x f a⎰+∞)(的另外几种收敛判别法，首先考虑非负函数的无穷积分.2.有界审敛法：定理2. 设非负函数)(x f 在区间),[∞+a 上连续，若函数t d t f x F xa⎰=)()(在),[∞+a 上有界，则反常积分x d x f a⎰+∞)(收敛.证明：由于0)()('≥=x f x F ，则)(x F 在),[∞+a 上单调增加且有上界，根据极限收敛准则知⎰+∞→+∞→=x ax x t d t f x F )(lim)(lim 存在 ,即反常积分x d x f a⎰+∞)(收敛.由此定理，可得下面的比较审敛法： 3．比较审敛法：定理3.设函数)(x f 、)(x g 在区间),[∞+a 上连续，且a x ≥∀，有)()(0x g x f ≤≤， (1). 若x d x g a ⎰+∞)(收敛，则x d x f a ⎰+∞)(收敛； (2). 若x d x f a⎰+∞)(发散，则x d x g a⎰+∞)(发散.证明：设a t >，由于)()(0x g x f ≤≤，有x d x f ta)(⎰x d x g ta)(⎰≤. (1). 若x d x g a⎰+∞)(收敛，则有x d x f t a)(⎰x d x g t a )(⎰≤x d x g a)(⎰∞+≤，即x d x f t F ta)()(⎰=在),[∞+a 单调递增且有上界, 由定理1知x d x f a ⎰+∞)(收敛.(2).用反证法：假设x d x g a⎰+∞)(收敛，则由x d x f ta)(⎰ x d x g ta)(⎰≤x d x g a)(⎰∞+≤知，xd x f a⎰+∞)(收敛，出现矛盾，故x d x g a⎰+∞)(发散.注：大的收敛，保证小的收敛；小的发散，导致大的发散.由于反常积分)0(1>⎰∞+a x d x a p 当1>p 时，收敛；当1≤p 时，发散，故通常取)0()(>=A x Ax g p作为比较函数，即有下面的柯西审敛法： 4．柯西审敛法：定理4.设非负函数)(x f 在区间),[∞+a )0(>a 上连续，对常数p ，记l x f x p x =+∞→)(lim ，(1). 当1>p 时，若0>∃M ，a x ≥∀, 有p xMx f ≤)(，则x d x f a ⎰+∞)(收敛；(2). 当1≤p 时，若0>∃N ，a x ≥∀, 有p xNx f >)(则x d x f a ⎰+∞)(发散.例1. 判别反常积分x d x ⎰+∞+13411的敛散性.解：由于3/4343411110x xx =<+<，而x d x⎰+∞13/41收敛，故x d x ⎰+∞+13411收敛.在比较审敛法的基础上，可以得到应用更方便的极限审敛法： 5．极限审敛法：定理5.设非负函数)(x f 在区间),[∞+a )0(>a 上连续，对常数p ，记l x f x p x =+∞→)(lim ，(1). 当1>p 时，若+∞<≤l 0，则x d x f a ⎰+∞)(收敛； (2). 当1≤p 时，若+∞≤<l 0，则x d x f a⎰+∞)(发散.证明：(1). 当1>p 时，若0)(lim ≥=+∞→l x f x p x ，则由极限定义知：对任意给定的0>ε，当x 充分大时，必有M l x f x p=+≤ε)(，即p xMx f ≤≤)(0，由比较审敛法知x d x f a⎰+∞)(收敛.(2). 当1≤p 时, 若0)(lim >=+∞→l x f x p x , 则由极限定义，可取0>ε，使0>-εl ，当x 充分大时，必有N l x f x p =-≥ε)(，即p xNx f ≥)(，由比较审敛法知x d x f a⎰+∞)(发散.若+∞==+∞→l x f x p x )(lim ，则对任意+∈N N ，当x 充分大时，N x f x p ≥)(，即px Nx f ≥)(，由比较审敛法知x d x f a⎰+∞)(发散.例2. 判别反常积分x d xx ⎰+∞+1211的敛散性.解法(一)：由于221110xxx <+<，而x d x⎰+∞121收敛，故x d xx ⎰+∞+1211收敛.解法(二)：由于2211lim xx x x +⋅+∞→ 11lim21+=+∞→x x 1=，极限审敛法知x d xx ⎰+∞+1211收敛.例3. 判别反常积分x d xx ⎰∞++122/31的敛散性. 解：由于22/31lim x x x x +⋅+∞→ 221lim x xx x +⋅+∞→+∞=，极限审敛法知x d x x ⎰∞++122/31发散. 例4. 判别反常积分x d xx⎰+∞1arctan 的敛散性.解：由于x x x x arctan lim ⋅+∞→ x x arctan lim +∞→2π=，极限审敛法知x d xx ⎰+∞1arctan 发散. 当被积函数不是非负函数时，我们可以考虑被积函数取绝对值的积分，即引入绝对收敛的概念以及绝对收敛定理. 6．绝对审敛法：(1). 无穷积分的绝对收敛与条件收敛：设反常积分x d x f a)(⎰+∞收敛，若⎰∞+a x d x f )(收敛，则称x d x f a )(⎰+∞绝对收敛； 若⎰∞+ax d x f )(发散，则称x d x f a)(⎰+∞条件收敛；(2)．绝对审敛法：定理6.若函数)(x f 在区间),[∞+a 上连续，且⎰∞+ax d x f )(收敛，则x d x f a)(⎰+∞收敛.证明：令])()([21)(x f x f x +=ϕ，则)()(0x f x ≤≤ϕ，由于⎰∞+a x d x f )(，故x d x a )(⎰+∞ϕ收敛，而)()(2)(x f x x f -=ϕ，又x d x f x d x x d x f aaa)()(2)(⎰⎰⎰+∞+∞+∞-=ϕ，故x d x f a)(⎰+∞收敛.例5. 判断反常积分x d bx x a ⎰∞+-0sin e b a ,(为常数，)0>a 的敛散性.解:由于 x a x a x b --≤e sin e ，而x xa d e⎰∞+-收敛，根据比较审敛原理知⎰∞+-ax a x bx d sin e ，再由绝对收敛定理知x d bx x a ⎰∞+-0sin e 收敛.二、瑕积分的审敛法由于瑕积分可转化为无穷积分，故无穷积分的审敛法完全可平移到瑕积分中来. 1.柯西收敛准则： 定理7. 瑕积分x d x f b a⎰)((a 为)(x f 的瑕点)收敛的充要条件是：对0>∀ε，0>∃δ，当δηη<<'','0时，有εηη<⎰-+x d x f b a ''')(成立.2．比较审敛法：定理8.设非负函数)(x f 、)(x g 在区间],(b a 上连续，a 为)(x f 、)(x g 的瑕点，且a x ≥∀，有)()(0x g x f ≤≤， (1). 若x d x g b a ⎰)(收敛，则x d x f b a ⎰)(收敛； (2). 若x d x f b a⎰)(发散，则x d x g b a⎰)(发散.利用反常积分⎰-ba qa x xd )(当10<<q 时收敛; 1≥q 时发散的结论，瑕积分有如下的柯西审敛法和极限审敛法：3．柯西审敛法：定理9.设非负函数)(x f 在区间],(b a 上连续，a 为)(x f 的瑕点， (1). 若0>∃M ，当1<q 时，],(b a x ∈∀, 有qa x Mx f )()(-≤，则x d x f b a⎰)(收敛；(2).若0>∃N ，当1≥q 时，],(b a x ∈∀, 有qa x Nx f )()(->则x d x f b a⎰)(发散.4．极限审敛法：定理10.设非负函数)(x f 在区间],(b a 上连续，a 为)(x f 的瑕点，对常数q ，记l x f a x q ax =-+→)()(lim ，(1). 当10<<q 时，若+∞<≤l 0，则x d x f b a⎰)(收敛；(2). 当1≥q 时，若+∞≤<l 0，则x d x f b a⎰)(发散.例6. 判别反常积分⎰31ln xxd 的敛散性. 解：易知1=x 是被积函数的瑕点，由于1/11lim ln 1)1(lim 11==-++→→xx x x x ， 由极限判别法知瑕积分⎰31ln xxd 发散. 例7.判定椭圆积分)1()1)(1(210222<--⎰k x k x x d 的敛散性.解：易知1=x 是被积函数的瑕点，由于)1(21)1)(1(1lim )1)(1(1lim 22212221k x k x x x k x x x x -=-+-=---++→→，故由极限判别法知⎰--10222)1)(1(x k x x d 收敛.5．绝对审敛法：(1). 瑕积分的绝对收敛与条件收敛：设瑕积分x d x f ba)(⎰(a 为)(x f 的瑕点)收敛，若x d x f b a|)(|⎰收敛，则称x d x f ba)(⎰绝对收敛；若x d x f b a|)(|⎰发散，则称x d x f ba)(⎰条件收敛；(2)．绝对审敛法：定理11.若函数)(x f 在区间],(b a 上连续上连续，且x d x f ba|)(|⎰收敛，则x d x f ba)(⎰收敛.例8.判定反常积分⎰101sin 1x d x x的敛散性. 解:易知0=x 是被积函数的瑕点，由于xx x 11sin 1≤，而⎰101x d x 收敛，根据比较审敛法知⎰101sin 1x d x x，再由绝对收敛定理知⎰101sin 1x d x x 收敛. 例9.判定反常积分x d xx⎰10ln 的敛散性 解: 易知0=x 是被积函数的瑕点，由于x x x x ln lim 430+→0ln lim 410==+→x x x ,从而0ln lim 430=+→xx x x ，即x d xx⎰10ln 收敛，从而x d x x ⎰10ln 收敛. 三、Γ 函数1. Γ 函数：称参变量α的反常积分为)0(01>⎰∞+--ααx d e x x 为Γ函数，记作 )0()(01>=⎰∞+--ααΓαx d e x x .2. Γ函数的收敛性：)0()(01>=⎰∞+--ααΓαx d e x x 收敛.证明：由定义式可知，函数可分解为⎰∞+--=01)(x d e xxααΓ⎰--=11x d e xxα⎰∞+--+11x d e x x α.当1>α时，⎰--101x d e x x α为定积分；当10<<α时，⎰--11x d e x x α为瑕积分，0=x 为瑕点，此时，由于x x e x e x 1111⋅=---αα α-<11x ， 又由于11<-α时，瑕积分⎰-1011x d xα收敛，于是⎰--11x d e x x α收敛.对无穷积分⎰∞+--11x d e xxα，由于⋅+∞→2lim x x )(1xa e x --x a x ex 1lim ++∞→=0=，从而⎰∞+--11x d e x x α收敛.综上可得⎰∞+--=01)(x d e x x ααΓ收敛.3. Γ 函数的性质：(1). 递推公式：)()1(αΓααΓ=+. 证明：应用分部积分法，有⎰⎰∞+-∞+--==+0)1(xxed x x de x αααΓ[]⎰+∞---+-=+∞010x d e x ex x xααα)(αΓα=.当•α介于两个整数之间时，则)1()1()()1(--==+αΓαααΓααΓ)2()2)(1(---=αΓααα=)()()2)(1(n n ----=αΓαααα )10(<-<n α.当•α为正整数n 时，则)1()1()()1(--==+n n n n n n ΓΓΓ)2()2)(1(---=n n n n Γ=)]1([)]1([)2)(1(------=n n n n n n n Γ )1(1)2)(1(Γ --=n n n )1(!Γn =，而1)1(0==⎰+∞-x d e x Γ，所以⎰∞+-==+0!)1(x d e x n n x n Γ.(2). 当+→0s 时，+∞→)(s Γ. 证明：由于ααΓαΓ)1()(+=且1)1(=Γ，又)(αΓ当0>α时连续(可证)，于是 +∞=+=++→→ααΓαΓαα)1(lim )(lim 00. (3). 余元公式: )10()sin(ππ)1()(<<=-αααΓαΓ.注：π2102/1==⎪⎭⎫⎝⎛⎰∞+--x d e x x Γ.(4). Γ 函数的其它形式：)0(2)(0122>⋅=⎰∞+--ααΓαt•d e t t .推导：对Γ 函数⎰∞+--=01)(x d e x x ααΓ，令2t x =得，⎰∞+--⋅=01222)(t •d e t t ααΓ.注： 1°.)1(212102->⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰∞+-t t x d e x x t Γ.推导：令u x =2，则u x =，u d ux d 21=，于是⎰∞+-02ex d x x t⎰∞+--=021221x d e u u t ⎰∞+--+=0121221x d e u u t )1(2121->⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t t Γ.2°.概率积分：⎰∞+-02x d ex ⎪⎭⎫⎝⎛=2121Γ 2π=. 例10. 计算反常积分⎰∞+-0198x d e x x .解：令u x =8，则u d x d x =78，u d u x d 8781-=，于是⎰∞+-0198x d ex x ⎰∞+-=02381u d e u u ⎰∞+--=012581u d e u u⎪⎭⎫ ⎝⎛=2581Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=12381Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅=232381Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅=1212381Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅=21212381Γ323π=.。

第一章：函数与极限1.1 初等函数图象及性质1。

1。

1 幂函数函数（m 是常数）叫做幂函数。

幂函数的定义域，要看m 是什么数而定。

例如，当m = 3时，y=x3的定义域是(—∞ ,+∞);当m = 1/2时,y=x1/2的定义域是［0,+∞）；当m = -1/2时,y=x-1/2的定义域是(0，+∞）。

但不论m 取什么值，幂函数在(0，+∞）内总有定义。

最常见的幂函数图象如下图所示：［如图]1.1.2 指数函数与对数函数1．指数函数函数y=a x（a是常数且a>0，a≠1)叫做指数函数，它的定义域是区间(—∞ ，+∞)。

因为对于任何实数值x,总有a x >0,又a0=1,所以指数函数的图形，总在x轴的上方，且通过点(0，1)。

若a〉1,指数函数a x是单调增加的。

若0〈a〈1，指数函数a x是单调减少的。

由于y=（1/a)—x=a—x，所以y=a x的图形与y=(1/a)x的图形是关于y轴对称的(图1—21)。

[如图]2．对数函数指数函数y=a x的反函数，记作y=log a x（a是常数且a〉0,a≠1），叫做对数函数。

它的定义域是区间(0,+∞).对数函数的图形与指数函数的图形关于直线y = x对称（图1—22）。

y=log a x的图形总在y轴上方，且通过点（1，0)。

若a>1，对数函数log a x是单调增加的,在开区间（0，1)内函数值为负,而在区间（1，+∞)内函数值为正。

若0〈a〈1，对数函数log a x是单调减少的，在开区间（0,1)内函数值为正，而在区间（1，+∞)内函数值为负。

[如图]1。

1.3 三角函数与反三角函数1．三角函数正弦函数和余弦函数都是以2π为周期的周期函数,它们的定义域都是区间（—∞ ，+∞)，值域都是必区间[-1，1］。

正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。

正切函数和余切函数都是以π为周期的周期函数，它们都是奇函数。

2．反三角函数反三角函数是三角函数的反函数，其图形都可由相应的三角函数的图形按反函数作图法的一般规则作出。

第五章 定积分第一节 定积分的概念与性质一、引例1．曲边梯形的面积定义：将由曲线()y f x =（()0f x ≥且是连续的），直线x a =，x b =和x轴围成的平面图形称为曲边梯形．它在x 轴上的边称为底边，曲线弧()y f x =称为它的曲边．求曲边梯形面积的具体过程如下： 分割：在(,)a b 内任意插入1n -个分点0121n n a x x x x x b -=<<<⋅⋅⋅<<=把[],a b 分成n 个小区间[]1,i i x x -， 它们的长度分别记1ii i x x x -∆=-，1,2,,i n =⋅⋅⋅求近似：任意取一点[]1,i i i x x ξ-∈，1()()()i i i i i i A f x x f x ξξ-∆≈⋅-=∆ 求和：11()n niiii i A A f x ξ===∆≈∆∑∑取极限：01lim ()niii A f xλξ==∆∑→，其中1max{}i i nx λ=∆≤≤ 2．变速直线运动的路程设一物体作直线运动，其速度为()0v v t =≥是时间间隔[]12,T T 上的连续函数，计算在这段时间间隔内物体所经过的位移s ． 具体计算步骤如下:分割：在12(,)T T 中任意插入1n -个分点，101212n n T t t t t t T -=<<<⋅⋅⋅<<= 将[]12,T T 分成n 个小时间段[]1,i i t t -，各小时间段的长度分别记为1ii i tt t -∆=-，1,2,,i n =⋅⋅⋅求近似：任意取一点[]1,i i i t t η-∈，()i i i s v t η∆≈⋅∆ 求和：11()n niiii i s s v tη===∆≈∆∑∑取极限：01lim ()ni i i s v t λη==∆∑→，其中1max{}i i nt λ=∆≤≤二、定积分的定义定义：设函数()f x 在[],a b 上有界．在(,)a b 内任意插入1n -个分点，0121n n a x x x x x b -=<<<⋅⋅⋅<<=，把[],a b 分成n个小区间[]1,i i x x -，各个小区间的长度记为1ii i x x x -∆=-，1,2,,i n =⋅⋅⋅．在每个小区间上任取一点i ξ，即1i i i x x ξ-≤≤，作函数值()i f ξ与小区间长度i x ∆的乘积()i i f x ξ∆，并求出和1()ni i i S f x ξ==∆∑．记1max{}ii nx λ=∆≤≤，如果不论对[],a b 怎样划分，也不论在小区间上如何选取点i ξ，只要当0λ→时，和S 总趋于确定的极限I ，那么称这个极限I 为函数()f x 在区间[],a b 上的定积分（简称积分），记作()d b af x x ⎰，即01()d lim ()nbi i a i f x x I f x λξ===∆∑⎰→其中()f x 叫做被积函数，()d f x x 叫做被积表达式，x 叫做积分变量，a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，[],a b 叫做积分区间．如果()f x 在区间[],a b 上的定积分存在，则称函数()f x 在区间[],a b 上可积．注：()d ba f x x ⎰与被积函数()f x 和积分区间[],ab 有关，而与积分变量用什么记号无关．如()d ()d ()d b b baaaf x x f t t f u u ==⎰⎰⎰定理：若函数()f x 在区间[],a b 上连续，则()f x 在[],a b 上可积；定理：若函数()f x 在区间[],a b 上有界，且只有有限个间断点，则()f x 在[],a b 上可积． 几何意义：当()0f x ≥，则()d b af x x ⎰表示由曲线()y f x =，直线x a =，x b =，0y =所围成的曲边梯形的面积A ，即 ()d ba f x x A =⎰当()0f x ≤，()d ba f x x ⎰是个负值，它在几何上表示上述曲边梯形面积A 的负值，即()d b af x x A =-⎰当()f x 的值既有正值也有负值，()d b af x x ⎰在几何上表示图形中各部分面积的代数和．图5-2例：利用定积分的几何意义求定积分的值 （1）10(1)d x x -⎰；（2）1201d x x -⎰解：（1）1011(1)d 1122∆-==⨯⨯=⎰OAB x x S （2）122011d 144x x π-=⋅π⋅=⎰例：利用定积分计算120d x x ⎰解：因为函数2()f x x =在区间[]0,1上连续，()f x 在[]0,1上可积，所以积分与[]0,1的分法及i ξ的取法无关．（1）分割：为了计算方便，不妨将区间[]0,1n 等分，分点取,1,2,,1i i x i n n ==⋅⋅⋅-，区间[]1,i i x x -的长度1i x n∆=，1,2,,i n =⋅⋅⋅；（2）近似代替：取i i x ξ=，1,2,,i n =⋅⋅⋅，作积 2i i x ξ∆； （3）求和：222311111()n nn ii i i i i x i nn n ξ===∆=⋅=∑∑∑311=(1)(21)6n n n n ⋅++111=(1)(2)6n n n ++（4）取极限：1,0nλλ=→等价于n →∞，有定积分的定义得 120d x x ⎰2011111lim lim (1)(2)63ni i n i x n n n λξ→→∞==∆=++=∑ 三、定积分的性质 补充规定：①()d ()d b a abf x x f x x =-⎰⎰；②()d 0aaf x x =⎰性质1：[]()()d ()d ()d bbba a a f x g x x f x x g x x ±=±⎰⎰⎰ 证：[][]01()()d lim ()()nbiiiai f x g x x f g x λξξ→=±=±∆∑⎰0011lim ()lim ()n ni i i i i i f x g x λλξξ→→===∆±∆∑∑ ()d ()d b baaf x xg x x =±⎰⎰注：推广到有限个函数仍成立 性质2：()d ()d bbaakf x x k f x x =⎰⎰（k 为常数）性质3：（对积分区间的可加性）设a c b <<，则()d ()d ()d bc baacf x x f x x f x x =+⎰⎰⎰证：因为函数()f x 在[],a b 上可积，所以不论把[],a b 怎样分，积分和的极限总是不变的，因此，在分区间时，可以使c 永远是个分点，那么[],a b 上的积分和等于[],a c 上的积分和加[],c b 上的积分和，记为[][][],,c c,()()()iii ii ia b a b f x f x f x ξξξ∆=∆+∆∑∑∑令0λ→，上式两端同时取极限，即得()d ()d ()d bc baacf x x f x x f x x =+⎰⎰⎰注：推广对于任意的a ，b ，c 都是成立的．性质4：若在区间[],a b 上，()1f x =，则1d d bba a x xb a ==-⎰⎰ 性质5：若在区间[],a b 上，()0f x ≥，则()d 0baf x x ⎰≥推论1：若在区间[],a b 上，()()f x g x ≤，则()d ()d bba a f x x g x x ⎰⎰≤ 推论2：()d ()d bb aaf x x f x x ⎰⎰≤证：因()()()f x f x f x -≤≤，可得()d ()d ()d b b b aaaf x x f x x f x x -≤⎰⎰⎰≤，即()d ()d bb aaf x x f x x ⎰⎰≤例：比较210e d xx ⎰和31e d x x ⎰的大小解：因为当01x ≤≤时，23x x ≥，所以有23e e x x ≥，231100e d e d x xx x >⎰⎰性质6：（估值定理）设M ，m 分别是()f x 在[],a b 上的最大值和最小值，则() ()d ()bam b a f x x M b a --⎰≤≤证：因为 ()m f x M ≤≤，可得d ()d d b b ba a a m x f x x M x ⎰⎰⎰≤≤， 得() ()d ()ba mb a f x x M b a --⎰≤≤例：估计20(1sin )d x x π+⎰的范围解： 因2()1sin f x x =+在[]0,π上最小值为1，最大值为2，所以2(1sin )d 2x x ππ+π⎰≤≤性质7：（积分中值定理）设()f x 在[],a b 上连续，则在[],a b 上至少存在一点ξ，使得()d ()()baf x x f b a ξ=-⎰（a b ξ≤≤）这个公式叫做积分中值公式．证：由() ()d ()bam b a f x x M b a --⎰≤≤，从而1()d b am f x x M b a -⎰≤≤， 再由连续函数的介值定理，[,]a b ξ∃∈使得1() ()d b af f x x b a ξ=-⎰，即()d ()()b a f x x f b a ξ=-⎰（a b ξ≤≤）第二节 微积分基本公式一、积分上限函数及其导数定义：设函数()f x 在区间[],a b 上连续，并x 设为[],a b 上的一点，如上限x 在区间[],a b 上任意变动，则对于每一个取定的x 值，定积分有一个对应值，所以它在[],a b 上定义了一个函数，记作()x Φ：()()d =()d xx aax f x x f t t Φ=⎰⎰，称为积分上限函数（或变上限积分）．同理定义：变下限积分()d b xf t t ⎰和变限积分2()d x xf t t ⎰定理：如果函数()f x 在区间[],a b 上连续，则积分上限函数()()d x ax f t t Φ=⎰在[],a b 上可导，并且它的导数()()d ()xa x f t t f x Φ'⎡⎤'==⎢⎥⎣⎦⎰，[],x a b ∈证：①对于(,)x a b ∈，给x 一增量x ∆，使得(,)x x a b +∆∈， 则()()d x x ax x f t t Φ+∆+∆=⎰从而函数的增量为()()()d ()d x x xaax x x f t t f t t ΦΦΦ+∆∆=+∆-=-⎰⎰()d ()d ()d x x x x axaf t t f t t f t t +∆=+-⎰⎰⎰()d x x xf t t +∆=⎰由于()f x 在区间[],a b 上连续，由积分中值定理可得，存在ξ介于x 和x x +∆之间，使得()d ()x x xf t t f x Φξ+∆∆==∆⎰所以00()limlim ()x x x f x ΦΦξ∆∆∆'==∆→→，因为当0x ∆→时x ξ→，且()f x 是连续的，从而()lim ()()xx f f x ξΦξ'==→②当x a =时，取0x ∆>，使得(,)a x a b +∆∈，同上可得()()a f a Φ+'=③当x b =时，取0x ∆<，使得(,)b x a b +∆∈，同上可得()()b f b Φ-'=定理：如果函数()f x 在区间[],a b 上连续，则函数()()d xax f t t Φ=⎰就是()f x 在[],a b 上的一个原函数．注：这个定理肯定了连续函数的原函数的存在性，也初步揭示了定积分与原函数之间的联系．例：求 21cos 2e d limt xx t x -⎰→解：2221cos coscos 200e d e (cos )sin e 1limlim lim 222et x xxx x x t x x x xx ---'-⋅===⎰→→→ 二、牛顿—莱布尼茨公式（New-Leibniz ）(微积分基本公式)定理：如果函数()F x 是连续函数()f x 在区间[],a b 上的一个原函数，则()d ()()baf x x F b F a =-⎰证：因为()F x 和()x Φ都是()f x 的原函数，则()()F x x C Φ-=（*）， 令=x a ，则()()F a a C Φ-=，而()0a Φ=，则()F a C =， 将()F a C =代入（*），得()=()()x F x F a Φ-，即(t)dt ()()x af F x F a =-⎰令=x b ，则(t)dt ()()b af F b F a =-⎰注：[]()d ()=()()b ba af x x F x F b F a =-⎰这个公式叫做牛顿—莱布尼茨公式，也常叫做微积分基本公式． 例：计算120d x x ⎰解：112300111d (10)333x x x ⎡⎤==-=⎢⎥⎣⎦⎰ 例：计算12d xx--⎰解：[]1122d ln ||ln1ln 2ln 2x x x----==-=-⎰ 例：计算20|sin |d x x π⎰解：220|sin |d sin d sin d x x x x x x ππππ=-⎰⎰⎰[]20cos [cos ]x x πππ=-+[](11)1(1)4=---+--=例：证明积分中值定理：如果函数()f x 在区间[],a b 上连续，则至少存在一点(,)a b ξ∈， 使得()d ()()b af x x f b a ξ=-⎰证：因为函数()f x 在区间[],a b 上连续，设()F x 是()f x 的一个原函数，即()()F x f x '=，根据牛顿—莱布尼茨公式，得()d ()()ba f x x Fb F a =-⎰函数()F x 在[],a b 上满足拉格朗日中值定理的条件，因此，至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()()()()F b F a f b a ξ-=-，即()d ()()ba f x x fb a ξ=-⎰注：这一积分性质，将上一节积分中值定理作了进一步的推进，ξ的值可以在开区间(,)a b 内找到．例：设()f x 在[)0+∞，内连续且()0f x >，证明00()d ()=()d xx tf t t F x f t t⎰⎰在()0+∞，内为单调增加函数.证明：()()()022()()d ()()d ()()d ()=()d ()d x xx x x xf x f t t f x tf t tf x x t f t tF x f t tf t t--'=⎰⎰⎰⎰⎰由积分中值定理()()0()d =()0x x t f t t f x x ξξ--⋅>⎰()0F x '∴> ，()F x ∴为单调增加函数第三节 定积分的换元法与分部积分法一、定积分的换元法定理：设()f x 在区间[],a b 上连续，函数()x t ϕ=满足条件： （1）()a ϕα=，()b ϕβ=，(),a t b ϕ≤≤[],t αβ∈； （2）()t ϕ在[],αβ(或[],βα)上具有连续导数，则[]()d ()()d baf x x f t t t βαϕϕ'=⎰⎰证：因为()f x 在区间[],a b 上连续，所以原函数存在，设()F x 是()f x 的一个原函数，则有()d ()()b af x x F b F a =-⎰记[]()()t F t Φϕ=，它是由()F x 和()x t ϕ=复合而成，则由复合函数的求导法则，得[]()()()()()()()t F x t f x t f t t Φϕϕϕϕ'''''===这就是说()t Φ是[]()()f t t ϕϕ'的一个原函数，所以有[][]()'()d ()()()f t t t t ββααϕϕΦΦβΦα==-⎰[][]()()()()F F F b F a ϕβϕα=-=-即[]()d ()()d b af x x f t t t βαϕϕ'=⎰⎰叫做定积分的换元公式注：①换元公式也可以反过来用，即也有如下的换元公式[]()()d ()d b a f x x x f t t βαϕϕ'=⎰⎰ ②积分限相应改变 ③不必还原例：计算0x ⎰(0)a >解：设sin x a t =，0,2t π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则d cos d x a t t =，222220cos d (1cos 2)d 2a x at t t t ππ==+⎰⎰⎰2221sin 2224a a t t ππ⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦例：计算40⎰解：令t=，则2x t =，d 2d x t t =，[]42220 000d2d121d2ln(1)2(2ln3)11x t tt t tt t⎛⎫==-=-+=-⎪++⎝⎭⎰⎰⎰例:计算52cos sin dx x xπ⎰解:（写法一）令cost x=，则d sin dt x x=-，1015556201011cos sin d d d66x x x t t t t tπ⎡⎤=-===⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰（写法二）62552200cos11 cos sin d cos d(cos)0666xx x x x xπππ⎡⎤⎛⎫=-=-=--=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎰⎰例：计算x⎰解：x⎰32sin cos dx x xπ=⋅⎰332222sin cos d+sin cos dx x x x x xπππ=⋅⋅⎰⎰332222sin cos d sin(cos)dx x x x x xπππ=⋅+⋅-⎰⎰55222222224sin sin()55555x xπππ⎡⎤⎡⎤=-=--=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦例：证明0,()()2(),()aaaf xf x xf x x f x-⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰dd为奇函数为偶函数证：由()d()d()da aa af x x f x x f x x--=+⎰⎰⎰而0000()d()(d)()d()da aa af x xx t f t t f t t f x x-=---=-=-⎰⎰⎰⎰所以000()d()d()d=()d()da a a aa af x x f x x f x x f x x f x x--=+-+⎰⎰⎰⎰⎰[]0,()=()+()d2()d,()aaf xf x f x xf x x f x⎧⎪-=⎨⎪⎩⎰⎰为奇函数为偶函数例：若()f x 在[]0,1上连续，证明（1）220(sin )(cos )f x x f x x ππ=⎰⎰d d（2）0(sin )(sin )2xf x x f x x πππ=⎰⎰d d ，由此计算20sin 1cos x x x xπ⎰d + 证：（1）令2x t π=-，则d =d x t -， 02220002(sin )sin (cost)(cos )2f x x f t t f f x x πππππ⎡⎤⎛⎫=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰d -d dt=d（2）令x t π=-，则d =d x t -，()()()()00(sin )sin sin xf x x t f t t t f t t ππππππ=-=⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰d --d -d ()()()()0sin sin sin sin f t t tf t t f x x xf x x ππππππ=⎰⎰⎰⎰d -d =d -d所以0(sin )(sin )2xf x x f x x πππ=⎰⎰d d 从而()222000sin sin cos tan cos 02221cos 1cos 1cos x x x x x x arc x xx x πππππππ=⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰d d d =-=-+++ 22444ππππ⎛⎫ ⎪⎝⎭=---=例：设函数2-e ,0()1,-01cos x x x f x x xπ⎧≥⎪=⎨<<⎪+⎩，计算41(2)f x x ⎰-d 解：（方法一）令2x t -=，则d =d x t ，242211101(2)()te 1cost f x x f t ++⎰⎰⎰⎰-t ---d =dt=dt dt24021111tan e tan e 1022222t t --⎡⎤⎡⎤-=-+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦=注：0002111201sec tan 11cost 2222cos2t t ⎡⎤==⎢⎥-+⎣⎦⎰⎰⎰---dt t t dt=d （方法二）()442111(2)(2)22()f x x f x x x t f t ⎰⎰⎰--d =-d --=dt二、定积分的分部积分法若函数()u u x =，()v v x =在区间[],a b 上有连续导数，由不定积分的分部积分法，可得()()d ()()d ()()()()d b bb a a au x v x x u x v x x u x v x v x u x x ⎡⎤⎡⎤'''==-⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰[]()()()()d bba au x v x v x u x x '=-⎰即d []d bb b aaauv x uv vu x ''=-⎰⎰或d []d b bb a aau v uv v u =-⎰⎰这就是定积分的分部积分法例：计算120arcsin d x x ⎰解：[]1112220arcsin d arcsin x x x x x =-⎰⎰1201126122ππ⎤=⋅+=+-例：计算10x ⎰解：令t=，则2x t =，d 2d x t t =，1111100002e d 2d(e )2[e ]2e d ttt tx t t t t t ===-⎰⎰⎰⎰[]10=2e 2[e ]2e (e 1)2t -=--=例：证明定积分公式2200sin d cos d n n n I x x x x ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰⎰1331,24221342,253n n n n n n n n n n π--⎧⋅⋅⋅⎪⎪-=⎨--⎪⋅⋅⎪-⎩为正偶数为大于1正奇数 证：()11222200sindcos =cos sin1sin cos 20n n n n I x x x x n x xdx πππ---⎡⎤=--+-⎣⎦⎰⎰ ()()()()22220=1sin1sin 11n n n n n xdx n xdx n I n Iππ-----=---⎰⎰由此21=n n n I I n --，递推公式243=,2n n n I I n ----220002123531=,1d =2226422m m m I I I x m m ππ--⋅⋅⋅⋅=-⎰()22+1110222642=1,2,,sin d =12+121753m m m I I m I x x m m π-⋅⋅⋅⋅==-⎰所以22123531=2226422m m m I m m π--⋅⋅⋅⋅- ()2+1222642=1,2,2+121753m m m I m m m -⋅⋅⋅=-例：计算1020sin d x x π⎰解：102097531sin d =1086422x x ππ⋅⋅⋅⋅⋅⎰第四节 反常积分一、无穷限的反常积分定义：设函数()f x 在区间[,)∞+a 上连续，取t a >，如果极限lim ()d →∞+⎰tat f x x 存在，则称此极限为函数()f x 在无穷区间[,)∞+a 上的反常积分，记作()d ∞+⎰af x x ，即()d lim()d ∞→∞++=⎰⎰taat f x x f x x这时也称反常积分()d ∞+⎰af x x 收敛；如果上述极限不存在，则称此反常积分发散．定义：设函数()f x 在区间(,]∞-b 上连续，取t b <，如果极限lim ()d →∞-⎰btt f x x 存在，则称此极限为函数()f x 在无穷区间(,]∞-b 上的反常积分，记作()d b f x x -⎰∞，即()d lim()d b b tt f x x f x x --=⎰⎰∞→∞这时也称反常积分()d ∞-⎰b f x x 收敛；如果上述极限不存在，则称此反常积分发散．定义：设函数()f x 在区间(,)∞∞-+上连续，若对任意常数c ，反常积分()d ∞-⎰c f x x 和()d ∞+⎰cf x x 都收敛，则称上述两反常积分之和为函数()f x 在无穷区间(,)∞∞-+上的反常积分，记作()d ∞∞+-⎰f x x ，即()d ()d ()d c cf x x f x x f x x ++--=+⎰⎰⎰∞∞∞∞这时也称反常积分()d ∞∞+-⎰f x x 收敛；否则称反常积分()d ∞∞+-⎰f x x 发散．以上反常积分统称为无穷限的反常积分（简称为无穷积分） 计算无穷积分可用牛顿—莱布尼茨公式的记法，()d ∞+⎰af x x []=()()()=lim ()()a x F x F F a F x F a ++=+--∞→∞∞[]()d ()()()()lim ()b bx f x x F x F b F F b F x ---==--=-⎰∞∞→∞∞[]()d ()()(=)lim ()lim ()x x f x x F x F F F x F x ++--+-==+---⎰∞∞∞∞→∞→∞∞∞例：计算反常积分2d 1∞∞+-+⎰x x解：[]2d arctan lim arctan lim arctan 1∞∞∞∞→∞→∞++--+-==-+⎰t t x x t t x 22ππ⎛⎫=--=π ⎪⎝⎭例：计算反常积分0pt te dt +-⎰∞，其中 p 是常数且0p >解：（1）01==00pt pt pt te dt te dt tde p +---++⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰∞∞∞211=000pt pt pt pt t t e e dt e e p p p p ----+++⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰∞∞∞()22111=-lim 001pt t te p p p-→+∞---= 注：11lim =lim =lim =lim 0pt ptpt pt t t t t t te e pe pe --→+∞→+∞→+∞→+∞= 例：证明反常积分d ∞+⎰Paxx （0a >）当1p >时收敛，当1p ≤时发散 证明：（1）当1p =时，[]d d ln ∞∞∞∞+++===+⎰⎰P a aa x x x x x（2） 当1p ≠时，有11,1d ,111p p P aap x x a p p x p +-+-+<⎧⎡⎤⎪==⎨⎢⎥>-⎣⎦⎪-⎩⎰∞∞∞ 因此，当1p >时收敛，其值为11pa p --；当1p ≤时发散二、无界函数的反常积分定义：如果函数()f x 在点a 的任一邻域内都无界，则称点a 为函数()f x 的瑕点（或称无界间断点）． 无界函数的反常积分也称为函数的瑕积分．定义：设函数()f x 在(,]a b 上连续，点a 为()f x 的瑕点．取t a >，如果极限lim ()d btt af x x +⎰→存在，则称此极限为函数()f x 在(,]a b 上的反常积分，仍记作()d baf x x ⎰，即()d lim ()d bbatt af x x f x x +=⎰⎰→这时也称反常积分()d b af x x ⎰收敛． 如果上述极限不存在，则称此反常积分发散． 定义：设函数()f x 在[,)a b 上连续，点b 为()f x 的瑕点．取t b <，如果极限lim ()d ta t bf x x -⎰→存在，则称此极限为函数()f x 在[,)a b 上的反常积分，仍记作()d b af x x ⎰，即()d lim ()d bta at bf x x f x x -=⎰⎰→这时也称反常积分()d b af x x ⎰收敛．如果上述极限不存在，则称此反常积分发散．定义：设函数()f x 在[,]a b 上除点c （a c b <<）外连续，点c 为()f x 的瑕点． 如果两个反常积分()d caf x x ⎰和()d bcf x x ⎰都收敛，则定义()d ()d ()d b c baacf x x f x x f x x =+⎰⎰⎰；否则，就称反常积分()d baf x x ⎰发散．计算无界函数的反常积分也可以利用牛顿—莱布尼茨公式， 若a 是瑕点，则反常积分[]()d =()()lim ()b ba ax af x x F x F b F x +→=-⎰例：计算反常积分a ⎰（0a >）解：0arcsin lim arcsin 02→aa x a x x a a -π⎡⎤==-=⎢⎥⎣⎦⎰例：讨论反常积分121d xx -⎰的收敛性解：02101d 11lim 1→∞x x x x x ---⎡⎤⎛⎫=-=--=+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎰ 所以反常积分021d xx-⎰发散，从而反常积分121d x x -⎰发散注：此题若忽略了瑕点0x =，而直接用牛顿—莱布尼茨公式计算11211d 1(11)2x x x --⎡⎤=-=-+=-⎢⎥⎣⎦⎰是错误的 例：证明反常积分d a qxx ⎰（0a >，0q >），（1）当1q <时收敛；（2）当1q ≥时发散 解：（1）当1q =时[]000d ln ln lim ln ∞+→==-=+⎰a ax x x a x x即反常积分是发散的（2）当1q ≠时1111000,1d lim 1111,1∞qaqqqa qx a q x x a x q q q q x q +----→⎧<⎡⎤⎪==-=-⎨⎢⎥---⎣⎦⎪+>⎩⎰所以反常积分d a qxx ⎰当01q <<时收敛，当1q ≥时发散复习题 1．填空题：（1）42|3|d x x -=⎰（2）211e ,22()11,2≤＜≥x x x f x x ⎧-⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩，则212(1)d f x x -⎰=（3）110I =⎰与12I =⎰的大小关系是（4）由曲线sin y x =、直线2x π=-、2x π=及x 轴所围成的平面图形面积为 （5）2121tan sin d 1x xx x -+⎰= （6）22222lim 12n nn n n n n n →∞⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪+++⎝⎭2．选择题：（1）函数()f x 在区间[,]a b 上连续，是()f x 在区间[,]a b 上可积的（ ） A ．充要条件； B ．充分条件； C ．必要条件； D ．无关条件 （2）下列积分中可直接用牛顿—莱布尼茨公式计算的是（ ） A ．221d 1xx -+⎰； B ．11d x x -⎰； C ．11ed ln xx x⎰； D ．120d x x ⎰（3）π20d sin d d x t t x ⎰=（ ） A ． 0； B ．sin x x ； C ． 1；D ． x（4）设220()sin d x f x t t =⎰，6()g x x =，则当0x →时，()f x 是()g x 的（ ）A ．等价无穷小；B ．同阶但非等价无穷小；C ．高阶无穷小；D ．低阶无穷小 3．求下列极限：（1）101lim (1sin 2)d xt x t t x →+⎰； （2）00ln(1)d x t t→-⎰4．计算下列积分： （1）x ⎰； （2）14211sin d x x x π-⎰；（3）21d e e ∞+-+⎰x xx ； （4）20|sin |d x x x π⎰ 5．已知0sin d 2∞x x x π+=⎰，求220sin d ∞x x x +⎰。

同济版高等数学教案定积分
一、定积分
定积分（Definite Integrals）是在研究一些实际问题时非常有用的技术。

它以一种形式求解不同函数的积分，当我们需要求解其中一个函数的积分，我们可以使用定积分来进行求解。

1、定积分的定义
定积分是指在给定积分范围内，用定积分公式计算函数的积分值。

它是一种特殊的分积分，即：求在其中一范围内函数值的积分。

定积分的表示形式为∫a bf(x)dx，其中f(x)是定积分中的函数，a 是定积分的下限，b是定积分的上限，dx为微元。

2、定积分的应用
定积分在很多实际问题中都有重要的应用，如：求两个函数之间的差值，求函数的积分变化，求曲线的面积，计算不同函数的积分，求曲线在其中一区间上曲线的斜率等。

3、定积分的求解方法
（1）逐步法：将定积分分解为无穷多个小积分，并求出每个小积分的结果，然后把所有小积分的结果相加，即可求出定积分的结果。

（2）积分变换法：利用换元的思想，将定积分转化为更易于计算的积分形式，通过以上两种方法，可以比较方便地求出定积分的结果。

4、梯形积分法
梯形积分法是一种求定积分的简便方法，它是将定积分区间分割为若干个小区间，把每一小区间内的函数值用梯形近似。

第五章定积分教学目的：1、理解定积分的概念。

2、掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握定积分的换元积分法与分部积分法。

3、理解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿—莱布尼茨公式。

4、了解广义积分的概念并会计算广义积分。

教学重点：1、定积分的性质及定积分中值定理2、定积分的换元积分法与分部积分法。

3、牛顿—莱布尼茨公式。

教学难点：1、定积分的概念2、积分中值定理3、定积分的换元积分法分部积分法。

4、变上限函数的导数。

§5. 1 定积分概念与性质一、定积分问题举例1.曲边梯形的面积曲边梯形:设函数y=f(x)在区间[a,b]上非负、连续.由直线x=a、x=b、y=0及曲线y=f (x)所围成的图形称为曲边梯形,其中曲线弧称为曲边.求曲边梯形的面积的近似值:将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形,每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替,每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积,则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值.具体方法是:在区间[a,b]中任意插入若干个分点a=x0<x1<x2<⋅⋅⋅<x n-1<x n=b,把[a,b]分成n个小区间[x0,x1], [x1,x2], [x2,x3],⋅⋅⋅, [x n-1,x n],它们的长度依次为∆x1= x1-x0, ∆x2= x2-x1,⋅⋅⋅,∆x n= x n-x n-1.经过每一个分点作平行于y轴的直线段,把曲边梯形分成n个窄曲边梯形.在每个小区间[x i-1,x i]上任取一点ξ i,以[x i-1,x i]为底、f (ξ i)为高的窄矩形近似替代第i个窄曲边梯形(i=1,2,⋅⋅⋅,n) ,把这样得到的n个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值,即A≈f (ξ 1)∆x1+ f (ξ 2)∆x2+⋅⋅⋅+ f (ξ n)∆x n∑=∆=niiix f1) (ξ.求曲边梯形的面积的精确值:显然,分点越多、每个小曲边梯形越窄,所求得的曲边梯形面积A的近似值就越接近曲边梯形面积天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室A 的精确值,因此,要求曲边梯形面积A 的精确值,只需无限地增加分点,使每个小曲边梯形的宽度趋于零.记λ=max{∆x 1,∆x 2,⋅⋅⋅,∆x n },于是,上述增加分点,使每个小曲边梯形的宽度趋于零,相当于令λ→0.所以曲边梯形的面积为∑=→∆=ni i i x f A 10)(lim ξλ. 2.变速直线运动的路程设物体作直线运动,已知速度v =v (t )是时间间隔[T 1,T 2]上t 的连续函数,且v (t )≥0,计算在这段时间内物体所经过的路程S .求近似路程:我们把时间间隔[T 1,T 2]分成n 个小的时间间隔∆t i ,在每个小的时间间隔∆t i 内,物体运动看成是均速的,其速度近似为物体在时间间隔∆t i 内某点ξ i 的速度v (τ i ),物体在时间间隔∆t i 内运动的距离近似为∆S i = v (τ i ) ∆t i .把物体在每一小的时间间隔∆t i 内运动的距离加起来作为物体在时间间隔[T 1,T 2]内所经过的路程S 的近似值.具体做法是:在时间间隔[T 1,T 2]内任意插入若干个分点T 1=t 0<t 1<t 2<⋅⋅⋅<t n -1<t n =T 2,把[T 1,T 2]分成n 个小段[t 0,t 1], [t 1,t 2],⋅⋅⋅, [t n -1,t n ] ,各小段时间的长依次为∆t 1=t 1-t 0,∆t 2=t 2-t 1,⋅⋅⋅,∆t n =t n -t n -1.相应地,在各段时间内物体经过的路程依次为∆S 1,∆S 2,⋅⋅⋅,∆S n .在时间间隔[t i -1,t i ]上任取一个时刻τi (t i -1<τi <t i ),以τi 时刻的速度v (τi )来代替[t i -1,t i ]上各个时刻的速度,得到部分路程∆S i 的近似值,即∆S i = v (τi ) ∆t i (i =1, 2,⋅⋅⋅,n ).于是这n 段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程S 的近似值,即∑=∆≈ni i i t v S 1)(τ;求精确值:记λ= max{∆t 1,∆t 2,⋅⋅⋅,∆t n },当λ→0时,取上述和式的极限,即得变速直线运动的路程∑=→∆=ni i i t v S 10)(lim τλ. 设函数y =f (x )在区间[a ,b ]上非负、连续.求直线x =a 、x =b 、y =0及曲线y =f (x )所围成的曲边梯形的面积.(1)用分点a =x 0<x 1<x 2<⋅⋅⋅<x n -1<x n =b 把区间[a ,b ]分成n 个小区间:[x 0,x 1], [x 1,x 2], [x 2,x 3],⋅⋅⋅, [x n -1,x n ],记∆x i =x i -x i -1 (i =1, 2,⋅⋅⋅,n ).(2)任取ξ i ∈[x i -1,x i ],以[x i -1,x i ]为底的小曲边梯形的面积可近似为天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室i i x f ∆)(ξ(i =1, 2,⋅⋅⋅,n );所求曲边梯形面积A 的近似值为∑=∆≈ni i i x f A 1)(ξ.(3)记λ=max{∆x 1,∆x 2,⋅⋅⋅,∆x n },所以曲边梯形面积的精确值为∑=→∆=ni i i x f A 10)(lim ξλ.设物体作直线运动,已知速度v =v (t )是时间间隔[T 1,T 2]上t 的连续函数,且v (t )≥0,计算在这段时间内物体所经过的路程S .(1)用分点T 1=t 0<t 1<t 2<⋅⋅⋅<t n -1<t n =T 2把时间间隔[T 1,T 2]分成n 个小时间段: [t 0,t 1], [t 1,t 2],⋅⋅⋅, [t n -1,t n ] ,记∆t i =t i -t i -1(i =1, 2,⋅⋅⋅,n ).(2)任取τi ∈[t i -1,t i ],在时间段[t i -1,t i ]内物体所经过的路程可近似为v (τi )∆t i(i =1, 2,⋅⋅⋅,n );所求路程S 的近似值为∑=∆≈ni i i t v S 1)(τ.(3)记λ=max{∆t 1,∆t 2,⋅⋅⋅,∆t n },所求路程的精确值为∑=→∆=ni i i t v S 10)(lim τλ.二、定积分定义抛开上述问题的具体意义,抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括,就抽象出下述定积分的定义.定义设函数f (x )在[a ,b ]上有界,在[a ,b ]中任意插入若干个分点a =x 0<x 1<x 2<⋅⋅⋅<x n -1<x n =b ,把区间[a ,b ]分成n 个小区间[x 0,x 1], [x 1,x 2],⋅⋅⋅, [x n -1,x n ] ,各小段区间的长依次为∆x 1=x 1-x 0,∆x 2=x 2-x 1,⋅⋅⋅,∆x n =x n -x n -1.在每个小区间[x i -1,x i ]上任取一个点ξi (x i -1<ξi <x i ),作函数值f (ξi )与小区间长度∆x i 的乘积天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室f (ξi ) ∆x i (i =1, 2,⋅⋅⋅,n ) ,并作出和∑=∆=ni i i x f S 1)(ξ.记λ= max{∆x 1,∆x 2,⋅⋅⋅,∆x n },如果不论对[a ,b ]怎样分法,也不论在小区间[x i -1,x i ]上点ξi 怎样取法,只要当λ→0时,和S 总趋于确定的极限I ,这时我们称这个极限I 为函数f (x )在区间[a ,b ]上的定积分,记作⎰ba dx x f )(,即∑⎰=→∆=n i i i b a x f dx x f 10)(lim )(ξλ. 其中f (x )叫做被积函数,f (x )dx 叫做被积表达式,x 叫做积分变量,a 叫做积分下限,b 叫做积分上限,[a ,b ]叫做积分区间.定义设函数f (x )在[a ,b ]上有界,用分点a =x 0<x 1<x 2<⋅⋅⋅<x n -1<x n =b 把[a ,b ]分成n 个小区间: [x 0,x 1],[x 1,x 2],⋅⋅⋅, [x n -1,x n ] ,记∆x i =x i -x i -1(i =1, 2,⋅⋅⋅,n ).任ξi ∈[x i -1,x i ] (i =1, 2,⋅⋅⋅,n ),作和∑=∆=ni i i x f S 1)(ξ.记λ=max{∆x 1,∆x 2,⋅⋅⋅,∆x n },如果当λ→0时,上述和式的极限存在,且极限值与区间[a ,b ]的分法和ξi 的取法无关,则称这个极限为函数f (x )在区间[a ,b ]上的定积分,记作⎰ba dx x f )(,即∑⎰=→∆=ni i i b a x f dx x f 10)(lim )(ξλ. 根据定积分的定义,曲边梯形的面积为⎰=b a dx x f A )(.变速直线运动的路程为dt t v S TT )(21⎰=. 说明:(1)定积分的值只与被积函数及积分区间有关,而与积分变量的记法无关,即⎰⎰⎰==ba b a b a du u f dt t f dx x f )()()(.(2)和∑=∆n i i i x f 1)(ξ通常称为f (x )的积分和.(3)如果函数f (x )在[a ,b ]上的定积分存在,我们就说f (x )在区间[a ,b ]上可积.函数f (x )在[a ,b ]上满足什么条件时,f (x )在[a ,b ]上可积呢？定理1设f (x )在区间[a ,b ]上连续,则f (x ) 在[a ,b ]上可积.天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室定理2设f (x )在区间[a ,b ]上有界,且只有有限个间断点,则f (x ) 在[a ,b ]上可积.定积分的几何意义:在区间[a ,b ]上,当f (x )≥0时,积分⎰ba dx x f )(在几何上表示由曲线y =f (x )、两条直线x =a 、x =b 与x 轴所围成的曲边梯形的面积;当f (x )≤0时,由曲线y =f (x )、两条直线x =a 、x =b 与x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方,定义分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值; ⎰∑∑⎰--=∆--=∆==→=→ba n i i i n i i ib a dx x f x f x f dx x f )]([)]([lim )(lim )(1010ξξλλ.当f (x )既取得正值又取得负值时,函数f (x )的图形某些部分在x 轴的上方,而其它部分在x 轴的下方.如果我们对面积赋以正负号,在x 轴上方的图形面积赋以正号,在x 轴下方的图形面积赋以负号,则在一般情形下,定积分⎰ba dx x f )(的几何意义为:它是介于x 轴、函数f (x )的图形及两条直线x =a 、x =b 之间的各部分面积的代数和.用定积分的定义计算定积分:例1. 利用定义计算定积分dx x 210⎰.解把区间[0, 1]分成n 等份, 分点为和小区间长度为n i x i =(i =1, 2,⋅⋅⋅,n -1),n x i 1=∆(i =1, 2,⋅⋅⋅,n ) . 取n i i =ξ(i =1, 2,⋅⋅⋅,n ), 作积分和 ∑∑∑===⋅=∆=∆ni i ni i i n i i n n i x x f 121211)()(ξξ )12)(1(61113123++⋅==∑=n n n n i n n i )12)(11(61n n ++=. 因为n1=λ,当λ→0时,n →∞,所以 31)12)(11(61lim )(lim 10210=++=∆=∞→=→∑⎰n n x f dx x n n i i i ξλ. 利定积分的几何意义求积分: 例2. 用定积分的几何意义求⎰-10)1(dx x .解:函数y =1-x 在区间[0, 1]上的定积分是以y =1-x 为曲边, 以区间[0, 1]为底的曲边梯形的面积.因为以y =1-x 为曲边, 以区间[0, 1]为底的曲边梯形是一直角三角形,其底边长及高均为1,所以 211121)1(10=⨯⨯=-⎰dx x .天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室三、定积分的性质两点规定:(1)当a =b 时,0)(=⎰ba dx x f .(2)当a >b 时,⎰⎰-=a b b a dx x f dx x f )()(.性质1函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差) 即 ⎰⎰⎰±=±b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([.证明:⎰±b a dx x g x f )]()([∑=→∆±=n i i i i x g f 10)]()([lim ξξλ ∑∑=→=→∆±∆=n i i i n i i i x g x f 1010)(lim )(lim ξξλλ ⎰⎰±=ba b a dx x g dx x f )()(.性质2被积函数的常数因子可以提到积分号外面即 ⎰⎰=b a b a dx x f k dx x kf )()(.这是因为∑⎰=→∆=n i i i b a x kf dx x kf 10)(lim )(ξλ⎰∑=∆==→b a n i i i dx x f k x f k )()(lim 10ξλ. 性质3 如果将积分区间分成两部分 则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和 即⎰⎰⎰+=bc c a b a dx x f dx x f dx x f )()()(.这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性.值得注意的是不论a ,b ,c 的相对位置如何总有等式 ⎰⎰⎰+=bc c a b a dx x f dx x f dx x f )()()(成立.例如,当a <b <c 时,由于 ⎰⎰⎰+=cb b ac a dx x f dx x f dx x f )()()(,于是有天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室⎰⎰⎰-=c b c a b a dx x f dx x f dx x f )()()(⎰⎰+=bc c a dx x f dx x f )()(.性质4如果在区间[ab ]上f (x )≡1 则 a b dx dx ba b a -==⎰⎰1.性质5如果在区间[a , b ]上f (x )≥0,则 ⎰≥ba dx x f 0)((a <b ).推论1如果在区间[a , b ]上f (x )≤g (x ) 则 ⎰⎰≤b a ba dx x g dx x f )()((a <b ).这是因为g (x )-f (x )≥0,从而 ⎰⎰⎰≥-=-b a ba b a dx x f x g dx x f dx x g 0)]()([)()(,所以 ⎰⎰≤b a ba dx x g dx x f )()(.推论2 ⎰⎰≤b a b a dx x f dx x f |)(||)(|(a <b ).这是因为-|f (x )| ≤f (x ) ≤ |f (x )|, 所以 ⎰⎰⎰≤≤-ba b a b a dx x f dx x f dx x f |)(|)(|)(|,即⎰⎰≤b a b a dx x f dx x f |)(||)(|| .性质6 设M 及m 分别是函数f (x )在区间[a , b ]上的最大值及最小值,则 ⎰-≤≤-ba ab M dx x f a b m )()()((a <b ).证明因为m ≤f (x )≤M ,所以 ⎰⎰⎰≤≤b a ba b a Mdx dx x f mdx )(,从而 ⎰-≤≤-ba ab M dx x f a b m )()()(.性质7 (定积分中值定理)如果函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续,则在积分区间[a , b ]上至少存在一个点ξ ,使下式成立: ⎰-=ba ab f dx x f ))(()(ξ.这个公式叫做积分中值公式.天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室证明由性质6⎰-≤≤-ba ab M dx x f a b m )()()(,各项除以b -a 得⎰≤-≤b a M dx x f a b m )(1, 再由连续函数的介值定理,在[a , b ]上至少存在一点ξ,使⎰-=b a dx x f ab f )(1)(ξ, 于是两端乘以b -a 得中值公式⎰-=ba ab f dx x f ))(()(ξ.积分中值公式的几何解释:应注意:不论a <b 还是a >b ,积分中值公式都成立.天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室§5. 2 微积分基本公式一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设物体从某定点开始作直线运动,在t 时刻所经过的路程为S (t ),速度为v =v (t )=S '(t )(v (t )≥0),则在时间间隔[T 1,T 2]内物体所经过的路程S 可表示为)()(12T S T S -及dt t v TT )(21⎰, 即)()()(1221T S T S dt t v TT -=⎰.上式表明,速度函数v (t )在区间[T 1,T 2]上的定积分等于v (t )的原函数S (t )在区间[T 1,T 2]上的增量. 这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢？二、积分上限函数及其导数设函数f (x )在区间[a ,b ]上连续,并且设x 为[a ,b ]上的一点. 我们把函数f (x )在部分区间[a ,x ]上的定积分dx x f x a )(⎰称为积分上限的函数.它是区间[a ,b ]上的函数,记为Φ(x )dx x f x a )(⎰=,或Φ(x )=dt t f x a )(⎰.定理1 如果函数f (x )在区间[a ,b ]上连续,则函数Φ(x )dx x f x a )(⎰=在[a ,b ]上具有导数,并且它的导数为Φ'(x ))()(x f dt t f dx d x a==⎰(a ≤x <b ). 简要证明若x ∈(a ,b ),取∆x 使x +∆x ∈(a ,b ). ∆Φ=Φ(x +∆x )-Φ(x )dt t f dt t f x a x x a )()(⎰⎰-=∆+dt t f dt t f dt t f x a x x xx a )()()(⎰⎰⎰-+=∆+ x f dt t f x x x ∆==⎰∆+)()(ξ,应用积分中值定理,有∆Φ=f (ξ)∆x ,其中ξ在x 与x +∆x 之间,∆x →0时,ξ→x .于是天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室Φ'(x ))()(lim )(lim lim 00x f f f x xx x ===∆∆Φ=→→∆→∆ξξξ. 若x =a ,取∆x >0,则同理可证Φ+'(x )=f (a );若x =b ,取∆x <0,则同理可证Φ-'(x )=f (b ).定理2如果函数f (x )在区间[a ,b ]上连续,则函数Φ(x )dx x f xa )(⎰=就是f (x )在[a ,b ]上的一个原函数.定理的重要意义:一方面肯定了连续函数的原函数是存在的,另一方面初步地揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.三、牛顿--莱布尼茨公式定理3如果函数F (x )是连续函数f (x )在区间[a ,b ]上的一个原函数,则 )()()(a F b F dx x f ba -=⎰.此公式称为牛顿--莱布尼茨公式,也称为微积分基本公式.这是因为F (x )和Φ(x )=dt t f x a )(⎰都是f (x )的原函数,所以存在常数C ,使F (x )-Φ(x )=C (C 为某一常数).由F (a )-Φ(a )=C 及Φ(a )=0,得C =F (a ),F (x )-Φ(x )=F (a ).由F (b )-Φ(b )=F (a ),得Φ(b )=F (b )-F (a ),即 )()()(a F b F dx x f ba -=⎰.证明:已知函数F (x ) 是连续函数f (x ) 的一个原函数,又根据定理2,积分上限函数Φ(x )=dt t f x a )(⎰也是f (x )的一个原函数.于是有一常数C ,使F (x )-Φ(x )=C (a ≤x ≤b ).当x =a 时,有F (a )-Φ(a )=C ,而Φ(a )=0,所以C =F (a );当x =b 时,F (b )-Φ(b )=F (a ),所以Φ(b )=F (b )-F (a ),即 )()()(a F b F dx x f ba -=⎰.为了方便起见,可把F (b )-F (a )记成b a x F )]([,于是 )()()]([)(a F b F x F dx x f b a ba -==⎰. 进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系.例1. 计算⎰102dx x .天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室解:由于331x 是2x 的一个原函数,所以31031131]31[33103102=⋅-⋅==⎰x dx x . 例2 计算2311x dx +⎰-.解由于arctan x 是211x +的一个原函数,所以 31231][arctan 1--=+⎰x x dx)1arctan(3arctan --=πππ127)4 (3 =--=. 例3. 计算⎰--121dx x.解:1212|]|[ln 1----=⎰x dx x=ln 1-ln 2=-ln 2. 例4. 计算正弦曲线y =sin x 在[0,π]上与x 轴所围成的平面图形的面积. 解:这图形是曲边梯形的一个特例.它的面积ππ00]cos [sin x xdx A -==⎰=-(-1)-(-1)=2.例5. 汽车以每小时36km 速度行驶,到某处需要减速停车.设汽车以等加速度a =-5m/s 2刹车.问从开始刹车到停车,汽车走了多少距离？ 解从开始刹车到停车所需的时间: 当t =0时,汽车速度 v 0=36km/h 3600100036⨯=m/s =10m/s .刹车后t 时刻汽车的速度为 v (t )=v 0+at =10-5t . 当汽车停止时,速度v (t )=0,从v (t )=10-5t =0 得,t =2(s ).于是从开始刹车到停车汽车所走过的距离为 dt t dt t v s )510()(2020-==⎰⎰10]21510[202=⋅-=t t (m ),即在刹车后,汽车需走过10m 才能停住.例6. 设f (x )在[0, +∞)内连续且f (x )>0.证明函数⎰⎰=xxdtt f dt t tf x F 00)()()( 在(0,+∞)内为单调增加函数.天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室证明:)()( 0x xf dt t tf dx d x =⎰,)()(0x f dt t f dx d x =⎰.故 2000))(()()()()()(⎰⎰⎰-='xxxdt t f dtt tf x f dt t f x xf x F 200))(()()()(⎰⎰-=xxdt t f dt t f t x x f .按假设,当0<t <x 时f (t )>0, (x -t )f (t )> 0 ,所以0)(0>⎰dt t f x,0)()(0>-⎰dt t f t x x,从而F '(x )>0 (x >0),这就证明了F (x ) 在(0,+∞)内为单调增加函数. 例7. 求21cos 02limx dte xt x ⎰-→.解:这是一个零比零型未定式,由罗必达法则, ex xe x dte x dte xx x t x x t x 212sin lim limlim222cos 02cos 121cos 0==--→-→-→⎰⎰. 提示:设⎰-=Φxt dt e x 12)(,则⎰-=Φx t dt e x cos 12)(cos .xu x t e x x e dxdu u du d x dx d dt e dx d 222cos cos 1sin )sin ()()(cos ---⋅-=-⋅=⋅Φ=Φ=⎰.天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室§5. 3 定积分的换元法和分部积分法一、换元积分法定理假设函数f (x )在区间[a ,b ]上连续,函数x =ϕ(t )满足条件:(1)ϕ(α )=a ,ϕ(β)=b ;(2)ϕ(t )在[α,β](或[β,α])上具有连续导数,且其值域不越出[a ,b ], 则有dt t t f dx x f b a )()]([)(ϕϕβα'=⎰⎰.这个公式叫做定积分的换元公式.证明由假设知,f (x )在区间[a ,b ]上是连续,因而是可积的;f [ϕ(t )]ϕ'(t )在区间[α,β](或[β,α])上也是连续的,因而是可积的.假设F (x )是f (x )的一个原函数,则dx x f ba )(⎰=F (b )-F (a ).另一方面,因为{F [ϕ(t )]}'=F '[ϕ(t )]ϕ'(t )= f [ϕ(t )]ϕ'(t ),所以F [ϕ(t )]是f [ϕ(t )]ϕ'(t )的一个原函数,从而dt t t f )()]([ϕϕβα'⎰=F [ϕ(β)]-F [ϕ(α)]=F (b )-F (a ).因此dt t t f dx x f b a )()]([)(ϕϕβα'=⎰⎰. 例1 计算⎰-adx x a 022(a >0). 解⎰⎰⋅-=20sin 022cos cosπtdt a t a dx x a ta x a令⎰⎰+==2022022)2cos 1(2cos ππdtt a tdt a220241]2sin 21[2a t t a ππ=+=. 提示:t a t a a x a cos sin 22222=-=-,dx =a cos t .当x =0时t =0,当x =a 时2π=t .例2 计算xdx x sin cos 520⎰π. 解令t =cos x ,则天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室x xd xdx x cos cos sin cos 520520⎰⎰-=ππ61]61[ 106105015cos ===-⎰⎰=t dt t dt t tx 令.提示:当x =0时t =1,当2π=x 时t =0. 或x xd xdx x cos cos sin cos 52052⎰⎰-=ππ610cos 612cos 61]cos 61[66206=+-=-=ππx . 例3 计算⎰-π053sin sin dx x x .解dx x x dx x x |cos |sin sin sin 230053⎰⎰=-ππ ⎰⎰-=πππ2232023cos sin cos sin xdx x xdx x⎰⎰-=πππ2232023sin sin sin sin x xd x xd54)52(52]sin 52[]sin 52[2252025=--=-=πππx x . 提示:|cos |sin )sin1(sin sin sin 232353x x x x x x =-=-.在]2 ,0[π上|cos x |=cos x ,在] ,2[ππ上|cos x |=-cos x . 例4 计算dx x x ⎰++4122.解⎰⎰⎰+=⋅+-++=+3123121240)3(21221122dt t tdt t t dx x x t x 令322)]331()9327[(21]331[21313=+-+=+=t t . 提示:212-=t x ,dx =tdt ;当x =0时t =1,当x =4时t =3. 例5 证明:若f (x )在[-a ,a ]上连续且为偶函数,则⎰⎰=-aaa dx x f dx x f 0)(2)(.证明因为dx x f dx x f dx x f aa aa )()()(00⎰⎰⎰+=--,天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室而⎰⎰⎰⎰-=-=---=-aa a tx a dx x f dt t f dt t f dx x f 0000)()()()(令,所以⎰⎰⎰+-=-aaaa dx x f dx x f dx x f 00)()()(⎰⎰⎰==+-=-aa a a dx x f dx x f dx x f x f 00)(2)(2)]()([.讨论:若f (x )在[-a ,a ]上连续且为奇函数,问=⎰-aa dx x f )(？ 提示:若f (x )为奇函数,则f (-x )+f (x ) =0,从而0)]()([)(0=+-=⎰⎰-aa a dx x f x f dx x f .例6 若f (x )在[0, 1]上连续,证明 (1)⎰⎰=2020)(cos )(sin ππdx x f dx x f ; (2)⎰⎰=πππ0)(sin 2)(sin dx x f dx x xf .证明 (1)令t x -=2π,则dt t f dx x f )]2[sin()(sin 0220--=⎰⎰πππ⎰⎰=-=202)(cos )]2[sin(πππdx x f dt t f .(2)令x =π-t ,则⎰⎰---=0)][sin()()(sin ππππdt t f t dx x xf⎰⎰-=--=πππππ00)(sin )()][sin()(dt t f t dt t f t ⎰⎰-=πππ00)(sin )(sin dt t tf dt t f ⎰⎰-=πππ00)(sin )(sin dx x xf dx x f ,所以⎰⎰=πππ0)(sin 2)(sin dx x f dx x xf .例7 设函数⎪⎩⎪⎨⎧<<-+≥=-01 cos 110)(2x xx xe x f x ,计算⎰-41)2(dx x f .天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室解设x -2=t ,则⎰⎰⎰⎰---++==-20121412cos 11)()2(dtte dt tdt t f dx x f t 212121tan ]21[]2[tan 420012+-=-=---e e t t .提示:设x -2=t ,则dx =dt ;当x =1时t =-1,当x =4时t =2. 二、分部积分法设函数u (x )、v (x )在区间[a ,b ]上具有连续导数u '(x )、v '(x ),由 (uv )'=u 'v +uv '得uv '=uv -u 'v ,式两端在区间[a ,b ]上积分得vdx u uv dx v u ba b a ba '-='⎰⎰][,或vdu uv udv ba ba ba ⎰⎰-=][. 这就是定积分的分部积分公式.分部积分过程:][][⋅⋅⋅='-=-=='⎰⎰⎰⎰vdx u uv vdu uv udv dx v u ba ba ba b a ba ba . 例1 计算xdx arcsin 21⎰. 解xdx arcsin 21⎰x xd x x arcsin ]arcsin[21210⎰-=dx x x 22101621--⋅=⎰π )1(11211222210x d x --+=⎰π2102]1[12x -+=π12312-+=π.例2 计算⎰10dx e x . 解令t x =,则⎰⎰=10102tdt e dx et x⎰=102t tde ⎰-=1010 2 ][2dt e te t t2 ][2210 =-=t e e .天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室例3 设⎰=20sin πxdx I n n ,证明 (1)当n 为正偶数时,22143231π⋅⋅⋅⋅⋅--⋅-=n n n n I n ; (2)当n 为大于1的正奇数时,3254231⋅⋅⋅⋅--⋅-=n n n n I n .证明⎰=20sin πxdx I n n ⎰--=201cos sin πx xd n⎰--+-=2012 01sin cos ]sin[cos ππx xd x x n n⎰--=2022sin cos )1(πxdx x n n ⎰--=-202)sin (sin )1(πdx x x n n n ⎰⎰---=-20202sin )1(sin )1(ππxdxn xdx n n n=(n -1)I n - 2-(n -1)I n ,由此得 21--=n n I nn I .02214342522232212I m m m m m m I m ⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-=,112325432421222122I m m m m m m I m ⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+=+,而2200ππ==⎰dx I ,1sin 201==⎰πxdx I ,因此22143425222322122π⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-=m m m m m m I m ,32543242122212212⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+=+m m m m m m I m .例3 设⎰=20sin πxdx I n n (n 为正整数),证明22143425222322122π⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-=m m m m m m I m ,32543242122212212⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+=+m m m m m m I m .证明⎰=20sin πxdx I n n ⎰--=201cos sin πx xd n天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室⎰---+-=20222 01sin cos )1(]sin[cos ππxdx x n x x n n⎰--=-202)sin (sin )1(πdx x x n n n ⎰⎰---=-20202sin )1(sin )1(ππxdx n xdx n n n=(n -1)I n - 2-(n -1)I n , 由此得21--=n n I nn I . 02214342522232212I m m m m m m I m ⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-=,112325432421222122I m m m m m m I m ⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+=+.特别地2200ππ==⎰dx I ,1sin 201==⎰πxdx I .因此22143425222322122π⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-=m m m m m m I m , 32543242122212212⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+=+m m m m m m I m .天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室§5. 4 反常积分 一、无穷限的反常积分定义1设函数f (x )在区间[a ,+∞)上连续,取b >a .如果极限dx x f bab )(lim⎰+∞→ 存在,则称此极限为函数f (x )在无穷区间[a ,+∞)上的反常积分,记作dx x f a )(⎰+∞,即dx x f dx x f bab a)(lim)(⎰⎰+∞→+∞=.这时也称反常积分dx x f a )(⎰+∞收敛.如果上述极限不存在,函数f (x )在无穷区间[a ,+∞)上的反常积分dx x f a )(⎰+∞就没有意义,此时称反常积分dx x f a )(⎰+∞发散.类似地,设函数f (x )在区间(-∞,b ]上连续,如果极限dx x f baa )(lim⎰-∞→(a <b ) 存在,则称此极限为函数f (x )在无穷区间(-∞,b ]上的反常积分,记作dx x f b)(⎰∞-,即dx x f dx x f baa b)(lim)(⎰⎰-∞→∞-=.这时也称反常积分dx x f b)(⎰∞-收敛. 如果上述极限不存在,则称反常积分dx x f b)(⎰∞-发散. 设函数f (x )在区间(-∞,+∞)上连续,如果反常积分天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室dx x f )(0⎰∞-和dx x f )(0⎰+∞都收敛,则称上述两个反常积分的和为函数f (x )在无穷区间(-∞,+∞)上的反常积分,记作dx x f )(⎰+∞∞-,即dx x f dx x f dx x f )()()(00⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+=dx x f dx x f bb a a )(lim )(lim0⎰⎰+∞→-∞→+=. 这时也称反常积分dx x f )(⎰+∞∞-收敛.如果上式右端有一个反常积分发散,则称反常积分dx x f )(⎰+∞∞-发散. 定义1'连续函数f (x )在区间[a ,+∞)上的反常积分定义为dx x f dx x f bab a)(lim)(⎰⎰+∞→+∞=. 在反常积分的定义式中,如果极限存在,则称此反常积分收敛; 否则称此反常积分发散.类似地,连续函数f (x )在区间(-∞,b ]上和在区间(-∞,+∞)上的反常积分定义为dx x f dx x f baa b)(lim)(⎰⎰-∞→∞-=.dx x f dx x f dx x f bb a a )(lim )(lim )(0⎰⎰⎰+∞→-∞→+∞∞-+=. 反常积分的计算:如果F (x )是f (x )的原函数,则ba b ba b ax F dx x f dx x f )]([lim )(lim)(+∞→+∞→+∞==⎰⎰ )()(lim )()(lim a F x F a F b F x b -=-=+∞→+∞→.可采用如下简记形式:)()(lim )]([)(a F x F x F dx x f x a a-==+∞→∞++∞⎰.类似地)(lim )()]([)(x F b F x F dx x f x b b-∞→∞-∞--==⎰,)(lim )(lim )]([)(x F x F x F dx x f x x -∞→+∞→∞+∞-+∞∞--==⎰. 例1 计算反常积分dx x 211+⎰+∞∞-.解∞+∞-+∞∞-=+⎰][arctan 112x dx x天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室x x x x arctan lim arctan lim -∞→+∞→-=πππ=--=)2(2 . 例2 计算反常积分⎰+∞-0dt te pt (p 是常数,且p >0).解∞+-∞+-+∞-⎰⎰⎰-==000]1[][pt pt pt tde pdt te dt te ∞+--⎰+-=0]11[dt e p te p pt pt ∞+----=02]11[pt pt e pte p 22211]11[lim pp e p te p pt pt t =+--=--+∞→. 提示:01lim lim lim ===+∞→+∞→-+∞→pt t pt t pt t pe e t te .例3 讨论反常积分dx x pa 1⎰+∞(a >0)的敛散性.解当p =1时,dx x pa 1⎰+∞dx x a 1⎰+∞=+∞==∞+ ][ln a x .当p <1时,dx x pa1⎰+∞+∞=-=∞+- 1]11[ap x p .当p >1时,1]11[11 1-=-=-∞+-+∞⎰p a x p dx x p ap pa.因此,当p >1时,此反常积分收敛,其值为11--p a p;当p ≤1时,此反常积分发散.二、无界函数的反常积分定义2设函数f (x )在区间(a ,b ]上连续,而在点a 的右邻域内无界.取ε>0,如果极限dx x f bt at )(lim ⎰+→存在,则称此极限为函数f (x )在(a ,b ]上的反常积分,仍然记作dx x f ba )(⎰,即dx x f dx x f bt at b a )(lim )(⎰⎰+→=.这时也称反常积分dx x f ba )(⎰收敛.如果上述极限不存在,就称反常积分dx x f ba )(⎰发散.天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室类似地,设函数f (x )在区间[a ,b )上连续,而在点b 的左邻域内无界.取ε>0,如果极限dx x f ta bt )(lim ⎰-→存在,则称此极限为函数f (x )在[a ,b )上的反常积分,仍然记作dx x f ba )(⎰,即dx x f dx x f ta bt b a )(lim )(⎰⎰-→=.这时也称反常积分dx x f b a )(⎰收敛.如果上述极限不存在,就称反常积分dx x f ba )(⎰发散. 设函数f (x )在区间[a ,b ]上除点c (a <c <b )外连续,而在点c 的邻域内无界.如果两个反常积分dx x f c a )(⎰与dx x f bc )(⎰都收敛,则定义dx x f dx x f dx x f bc c a b a )()()(⎰⎰⎰+=.否则,就称反常积分dx x f ba )(⎰发散.瑕点:如果函数f (x )在点a 的任一邻域内都无界,那么点a 称为函数f (x )的瑕点,也称为无界 定义2'设函数f (x )在区间(a ,b ]上连续,点a 为f (x )的瑕点.函数f (x )在(a ,b ]上的反常积分定义为dx x f dx x f bta tb a )(lim )(⎰⎰+→=.在反常积分的定义式中,如果极限存在,则称此反常积分收敛; 否则称此反常积分发散.类似地,函数f (x )在[a ,b )(b 为瑕点)上的反常积分定义为dx x f dx x f ta bt b a )(lim )(⎰⎰-→=.函数f (x )在[a ,c )⋃(c ,b ] (c 为瑕点)上的反常积分定义为dx x f dx x f dx x f bt ct tac t b a )(lim )(lim )(⎰⎰⎰+-→→+=.反常积分的计算:如果F (x )为f (x )的原函数,则有bt at bt at ba x F dx x f dx x f )]([lim )(lim )(++→→==⎰⎰ )(lim )()(lim )(x Fb F t F b F ax at ++→→-=-=.可采用如下简记形式:)(lim )()]([)(x F b F x F dx x f ax ba ba +→-==⎰.天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室类似地,有)()(lim )]([)(a F x F x F dx x f bx ba ba -==-→⎰, 当a 为瑕点时,)(lim )()]([)(x F b F x F dx x f ax b a ba +→-==⎰;当b 为瑕点时,)()(lim )]([)(a F x F x F dx x f bx b a ba -==-→⎰.当c (a <c <b )为瑕点时,)](lim )([)]()(lim [)()()(x F b F a F x F dx x f dx x f dx x f cx c x bc c a b a +-→→-+-=+=⎰⎰⎰. 例4 计算反常积分⎰-adx xa 0221.解因为+∞=--→221lim x a ax ,所以点a 为被积函数的瑕点. a aa x dx x a 022][arcsin 1=-⎰20arcsin lim π=-=-→a x a x .例5 讨论反常积分⎰-1121dx x的收敛性.解函数21x在区间[-1, 1]上除x =0外连续,且∞=→201lim x x .由于+∞=--=-=-→--⎰1)1(lim ]1[1001012x x dx xx , 即反常积分⎰-0121dx x 发散,所以反常积分⎰-1121dx x发散.例6 讨论反常积分⎰-ba qa x dx )(的敛散性.解当q =1时,+∞=-=-=-⎰⎰b ab a ba q a x ax dx a x dx )][ln()(.当q >1时,+∞=--=--⎰b aq ba q a x qa x dx 1])(11[)(.当q <1时,q b aq baq a b q a x qa x dx ----=--=-⎰1 1)(11])(11[)(.因此,当q <1时,此反常积分收敛,其值为q a b q ---1)(11;当q ≥1时,此反常积分发散.天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室。

第五章定积分教学目的：1、理解定积分的概念。

2、掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握定积分的换元积分法与分部积分法。

3、理解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿一莱布尼茨公式。

4、了解广义积分的概念并会计算广义积分。

教学重点：1、定积分的性质及定积分中值定理2、定积分的换元积分法与分部积分法。

3、牛顿一莱布尼茨公式。

教学难点：1、定积分的概念2、积分中值定理3、定积分的换元积分法分部积分法。

4、变上限函数的导数。

§5, 1定积分概念与性质一、定积分问题举例1 .曲边梯形的面积曲边梯形：设函数y=f(x)在区间［a . b］上非负、连续，由直线x=a、x=b、y=0及曲线y=f (x)所围成的图形称为曲边梯形.其中曲线弧称为曲边.求曲边梯形的面积的近似值：将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形.每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替.每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积.则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值.具体方法是：在区间［a b］中任意插入若干个分点a=X0 ::：X i ::：x2 ：：：…r：Xn 4 ::：X n =b把［a b］分成n个小区间［x o .x i］ . ［x i .x2］ . ［x2 .X3］Jx nd .X n ］.它们的长度依次为二X i = X i-X o -X2= X2% X n = Xn ~Xn 4 .经过每一个分点作平行于y轴的直线段.把曲边梯形分成n个窄曲边梯形•在每个小区间［Xi4.Xi］上任取一点匕.以［Xi4.Xi］为底、f (©)为高的窄矩形近似替代第i个窄曲边梯形(=1. 2.•…‘n).把这样得到的n个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值.即nA s f (巴1)&1 +f (巴2) &2+* …+f ('n )A x n =迟f GQx -im求曲边梯形的面积的精确值：显然.分点越多、每个小曲边梯形越窄.所求得的曲边梯形面积A的近似值就越接近曲边梯形面积A的精确值.因此.要求曲边梯形面积A的精确值.只需无限地增加分点.使每个小曲边梯形的宽度趋于零•记-二max{ .lx i . .-xn}.于是.上述增加分点.使每个小曲边梯形的宽度趋于零.相当于令0，所以曲边梯形的面积为nA = lim ' f ( J. ：X i一-0y '2.变速直线运动的路程设物体作直线运动.已知速度v印(t)是时间间隔［T i T 2］上t的连续函数.且v(t)_O.计算在这段时间内物体所经过的路程S .求近似路程：我们把时间间隔［T i .T 2］分成n个小的时间间隔.址i .在每个小的时间间隔At i内.物体运动看成是均速的.其速度近似为物体在时间间隔.先内某点i的速度V(.i).物体在时间间隔.址i内运动的距离近似为AS= v(苗)孩.把物体在每一小的时间间隔i ti内运动的距离加起来作为物体在时间间隔［T i T 2］内所经过的路程S的近似值，具体做法是：在时间间隔［T i .T 2］内任意插入若干个分点T 1 =t 0 ::：t i ::：t 2 …t n」t n =T 2 .把［T i T 2］分成n个小段［t 0 .t i］ . ［t i .t 2］. ' ' '.［t n」.t n］.各小段时间的长依次为L t i =t i -t 0 L t 2 ~t 2 -t i ….■:t n "t n —t n」相应地.在各段时间内物体经过的路程依次为L S i L S2 L S n .在时间间隔［t i」.t i］上任取一个时刻.i(t i J：： j：：t i).以.i时刻的速度v(，i)来代替［t i/.t i］上各个时刻的速度.得到部分路程「S i的近似值.即心Si= v(E i) 0i (i=1 . 2 .…，n),于是这n段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程S的近似值.即nS・：二v( i). ：t ii A求精确值：记•二max{ 't 1 ,t 2 t n}.当.-0时.取上述和式的极限.即得变速直线运动的路程nS =lim、v(.j) ：tj ,0 i d设函数y斗(x)在区间［a b］上非负、连续，求直线x=a、x=b、y=0及曲线y寸(x)所围成的曲边梯形的面积.(1) 用分点a次o ：：xi ：：：x2 ：：：…• ：：xn ,：：xn =b把区间［a b］分成n个小区间［x o .x i］ . ［x i .x2］ .［x2 决3］,….［x n4 .X n ］'记血mn (i =1 . 2 厂…* n).(2) 任取i ［X i 4 X i］以［X i 4刈为底的小曲边梯形的面积可近似为f (£)细(i=. 2 •…,n) 所求曲边梯形面积A的近似值为nA 八f ( i) ：X i .(3)记■ -max{二x i二X2 二x n}.所以曲边梯形面积的精确值为nA=lim「f ( ) x ,FT y设物体作直线运动.已知速度v二v(t)是时间间隔［T 1 T 2］上t的连续函数. 且v(t) _0 .计算在这段时间内物体所经过的路程S .(1)用分点T i4o：：tv：：t^ ■ ：：tnd ：：t^T2把时间间隔［T 1 T 2］分成n个小时间段［t o .t l］」t l 问，…F［t n」.t n］.记A t i =t i—t i_J (i=1 . 2 * n).⑵任取.i ［t iJ t i］在时间段［t i」t i］内物体所经过的路程可近似为v( .i)-：t i(iH . 2、…、n) 所求路程S的近似值为nS 八v( i) ：t ii生(3)记-=max{.毛..屯，人t n}.所求路程的精确值为nS =li叫' v( J ：t i ,二、定积分定义抛开上述问题的具体意义.抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括.就抽象出下述定积分的定义，定义设函数f(x)在［a b］上有界.在［a b］中任意插入若干个分点a 之0 ：：：X1 ::：x2 ：：：•…::：X n 4 ::：X n =b把区间［a b］分成n个小区间［X0.X1］ .［X1 .x2］.….［X n J .X n］.各小段区间的长依次为L X1 次1—X o =X2%—X1 L X n * —X nM .在每个小区间［X i J X i］上任取一个点i (X iJ< i ::: X i).作函数值f ( 1)与小区间长度.乂的乘积f (匕)& (i= . 2y n).并作出和ns，f( i/'Xi .i d记，=max{ ■：X^ . ：X2 ■x n}.如果不论对［a b］怎样分法.也不论在小区间［X iT .X i］上点i怎样取法.只要当■》0时.和S总趋于确定的极限I .这时我们称这个极限I为函数f (X)在区间［a . b］上的定积分.记作j f(x)dx .即jf(x)dx =lim 瓦 f (耳)纠，■■■ —0 i 4其中f (x)叫做被积函数 f (x)dx叫做被积表达式x叫做积分变量a叫做积分下限b叫做积分上限.［a b］叫做积分区间,定义设函数f(x)在［a b］上有界.用分点aa o：：：x i ：：：X2：：:x n_j ：：：x n=b把［a.b］分成n个小区间［x0 .X i］ .［X i 凶］.….［X n」.X n］.记&i 承i—X i」(i=1 . 2 ,n).任：［X i」.X i］ (i=1 . 2n) 作和nf( i，Xi .i 4记--max^x i L X2 L X n}.如果当，j 0时上述和式的极限存在且极限值与区间［a b］的分法和1的取法无关b则称这个极限为函数f(x)在区间［a b］上的定积分.记作f(x)dx .nbf(x)dx = lim 'a J—0 i 吕根据定积分的定义.曲边梯形的面积为A=a f(x)dx .变速直线运动的路程为S二；2v(t)dt .T1说明(1) 定积分的值只与被积函数及积分区间有关.而与积分变量的记法无关.即：f(x)dx 二：f(t)dt 二：f(u)du，n(2) 和‘二f ( i)「：X i通常称为f (x)的积分和.⑶如果函数f (x)在［a b］上的定积分存在.我们就说f (x)在区间［a b］上可积函数f(x)在［a b］上满足什么条件时 f (x)在［a b］上可积呢？定理1 设f (x)在区间［a b］上连续.则f (x)在［a b］上可积定理2 设f (x)在区间［a b］上有界.且只有有限个间断点.则f (x)在［a b］上可积定积分的几何意义：在区间［a b］上.当f(x)_0时.积分：f(x)dx在几何上表示由曲线y=f (x)、两条直线x=a、x=b与X轴所围成的曲边梯形的面积-当f(x) J0时.由曲线y =f (x)、两条直线x=a、x=b与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方•定义分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值n nf (x)dx =lim ' f ( J X - -lim 7 [ - f ( J] =x =J0i 1■ 9 #-：[-f (x)]dx当f (x)既取得正值又取得负值时.函数f(x)的图形某些部分在X轴的上方.而其它部分在X轴的下方，如果我们对面积赋以正负号 .在x 轴上方的图形面积赋以正号 .在x 轴下方的图形面积 赋以负号.则在一般情形下.定积分［b f (x)dx 的几何意义为：它是介于x 轴、函数f(x)的图形及两 条直线X£、x=b 之间的各部分面积的代数和， 用定积分的定义计算定积分例1.利用定义计算定积分0x 2dx ,解 把区间［0 .1］分成n 等份.分点为和小区间长度为 x =^(^1 .2*…,n —1). »=1(i=1. 2,…,n).取4 =討=1 . 2 .…,n).作积分和因为’计0x 2dx TimJ f ( i ) % =li利定积分的几何意义求积分 例2 •用定积分的几何意义求(1 -x)dx ,解：函数y=1v 在区间［0 . 1］上的定积分是以y=1-X 为曲边.以区间［0 . 1］为底的曲边梯形的面 积,因为以y=1 为曲边.以区间［0 . 1］为底的曲边梯形是一直角三角形 .其底边长及高均为1 .所以0(1-x)d^lxV<^l2 ,三、定积分的性质 两点规定：(1)当 a =b 时.f f (x)dx =0 . ⑵当 a 法时.f f (x)dx =-( f (x)dx .性质1函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差)即f ［f (x) _g(x)］dx 二 f f(x)dx —f g(x)dx .n n n瓦«)纠咗¥纠迈G )21i 1i =1』nn讣］2活1 n(n 1)(2n 14(1n)(24).nimi (1 i )(2 存1.bn 证明:a [f (x)-g(x)]dx r lim j [f( J_g( i )]，x/. J ° i 4n n=lim '•二 f ( J L X 二lim '•二 g( d^x jD i 4： •■- —0 i A二：f(x)dx_ ：g(x)dx .性质2被积函数的常数因子可以提到积分号外面b b［kf(x)dx=k J f(x)dx .这是因为 f kf (x)dx =ljm 瓦 kf (U )^x i =k[im 》f G)Ax i =k [f (x)dx “ 性质' 如果将积分区间分成两部分 则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和即：f(x)dx 二：f(x)dx ：f(x)dx .这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性•值得注意的是不论 a b c 的相对位置如何总有等式：f(x)dx = a f(x)dx ：f(x)dx成立，例如.当a<b<c 时.由于a f(x)dx = ：f(x)dx ：f(x)dx .于是有£ f (x)dx = a f (x)dx —j f (x)dx = f f (x)dx + f f (x)dx ,4如果在区间[a b]上f (x)三1则 fldx = f dx =b -a ,f(x)dx _0(a :b).1 如果在区间[a .b]上f (x) _g(x)则：f(x)dx E ：g(x)dx(a ：：b).这是因为g (x) -f (x) _0 .从而：g(x)dx-：f(x)dx =〕g(x)-f(x)]dx_O .性质性质 5 如果在区间［a b ］上f (x) -0 .则 推论b ba f(x)dx z a g(x)dx ,推论 2 | :f(x)dx|/|f(x)|dx(a ：：：b), 这是因为 _|f (x)| <f (x) < |f (x)| .所以—j|f(x)|dxwff(x)dx 訂|f(x)|dx . bb|a f(x)dx^ a |f(x)|dx| .性质6设M 及m 分别是函数f(x)在区间［a b ］上的最大值及最小值.则m(b —a)乞 a f (x)dx 兰M (b —a) (a<b),证明 因为m_f (x)_M .所以 ,mdx 兰 j f (x)dx 兰 fM d x. 从而m(b -a)兰 f f (x)dx EM (b —a),性质7 (定积分中值定理)如果函数f(x)在闭区间［a b ］上连续.则在积分区间［a.b ］上至少 存在一个点'.使下式成立：：f(x)dx =f( )(b-a).这个公式叫做积分中值公式证明由性质6各项除以b£得m 兰-^ f f(x)dxEM . b -a a再由连续函数的介值定理 .在［a b ］上至少存在一点•.使 f ( )— ?f(x)dx . b —a a于是两端乘以b£得中值公式积分中值公式的几何解释 ：应注意：不论a<b 还是a>b .积分中值公式都成立所以 m(b -a门：f(x)dxEM (b -a).§5 2微积分基本公式一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设物体从某定点开始作直线运动.在t时刻所经过的路程为S(t).速度为v=v(t)=S(t)(v(t)_O).则在时间间隔［「T2］内物体所经过的路程S可表示为S(T2) -S(T I)及；2v(t)dt .即Jv(t)dt =S(T2)-S(T I).T1上式表明.速度函数v(t)在区间［T1 T2］上的定积分等于v(t)的原函数S(t)在区间［T i T2］上的增量，这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢？二、积分上限函数及其导数设函数f(x)在区间［a.b］上连续.并且设x为［a . b］上的一点■我们把函数f(x)在部分区间［a.x］上的定积分:f(x)dx称为积分上限的函数，它是区间［a b］上的函数.记为G(x)二：f (x)dx . 或:」(x)=：f(t)dt .定理1如果函数f(x)在区间［a b］上连续.则函数G(x) = ：f(x)dx在［a b］上具有导数.并且它的导数为①(x)=亠f f (t)dt =f (x)(a致<b).dx a简要证明若x：=(a .b).取L X使x7x：=(a.b),=(x±ix) -(x) = f 址f (t)dt -ff (t)dt=ff (t)dt +『也f (t)dt _『f(t)dtx f(t)dt =f( ).x应用积分中值定理.有f()「x其中在x与x：=x之间..x—0时―x，于是)"(x)，⑴巳叫亍二叭"T m x f(若x=a .取二x>0 .则同理可证「(x)=f(a) •若x=b .取匚x<0 .则同理可证_(x) = f(b),定理2如果函数f(x)在区间［a b］上连续.则函数"(X)=：f(x)dx就是f (x)在［a b］上的一个原函数，定理的重要意义：一方面肯定了连续函数的原函数是存在的.另一方面初步地揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.三、牛顿--莱布尼茨公式定理3如果函数F (x)是连续函数f(x)在区间［a b］上的一个原函数.则:f(x)dx=F(b)-F (a).此公式称为牛顿--莱布尼茨公式.也称为微积分基本公式，这是因为F(x)和①(x)=『f(t)dt都是f(x)的原函数.所以存在常数C .使F(x) -：：(x) V (C 为某一常数).由F(a)-「(a)=C 及::平a)=0 .得C=F(a) F(x)—G(x)二F(a).由F(b)—「(b)二F(a).得::」(b)丰(b)—F(a).即f(x)dx=F(b)-F(a),证明：已知函数F(x)是连续函数f(x)的一个原函数.又根据定理2 .积分上限函数G(x) = ：f(t)dt也是f(x)的一个原函数，于是有一常数 C.使F(x) -：：(x)£ (a^xJD).当x=a 时.有F(a)_G(a)=C. 而:」(a)=0 .所以C=F(a) .当x=b 时.F(b)_G(b) =F(a). 所以:•：」(b)扌(b)_F(a).即:f(x)dx=F(b)-F (a).为了方便起见.可把F(b) -F(a)记成[F(x)]b .于是:f(x)dx=[F(x)]b,=F(b)-F(a).进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系例1.计算0x2dx .解：由于1x3是x2的一个原函数.所以3fx2dx =[-x3]0=113-103=-,0 3 0 3 3 3#3 dx例2计算.d -d?，解由于arctan x是的一个原函数.所以％ =[arctanx]< =arctani 3—arctan(-1) =-3 -(例3.计算gdx .解：1dx =[ln | x|] ：2 斗n 1 Tn 2 =Tn 2 .■^x例4.计算正弦曲线y=sin x在[0 .二]上与x轴所围成的平面图形的面积解：这图形是曲边梯形的一个特例，它的面积A = 0 sin xdx =[ -cosx]旷亠(一1) -(一1) =2 “例5.汽车以每小时36km速度行驶.到某处需要减速停车设汽车以等加速度a=-5m/s2刹车问从开始刹车到停车.汽车走了多少距离？解从开始刹车到停车所需的时间：1当t=0时.汽车速度v o -36km/h m/s=10m/s , 3600刹车后t 时刻汽车的速度为v(t)二v o at =10-5t .当汽车停止时.速度v(t) =0 .从v(t)二10-5t £得.t =2(s),于是从开始刹车到停车汽车所走过的距离为s 二:v(t)dt = ：(10 -5t)dt 半0t -5 lt 2]0=10(m).即在刹车后.汽车需走过10m 才能停住.例6.设f(x)在［0,-：)内连续且f(x)>0，证明函数F(x)二 在(0 .；)内为单调增加函数证明：dx 0X tf(t)dt =xf(x )堆 0X f(t)dt =f(x ).故, xf(x )0 f(t)dt —f(x )0tf(t)dt f(x )0(x —t)f(t)dt F (x)=按假设.当 0do 时 f(t)>0.(x-t)f (t)>0 .所以；f(t)dt 0 • ；(x —t)f(t)dt 0 .从而F (x)>0 (x>0).这就证明了 F (x)在(0 .：：)内为单调增加函数叢广丹琵％0sx)吧①(u)裳4 (-si nx)7nx"：tf (t)dt :f(t)dt (0x f(t)dt)2 (: f(t)dt)2 例7.求lime x "dt osx解：这是一个零比零型未定式 由罗必达法则.lim x )0 dt os ^ lim x 2 x 「0 cosx 2 2 -1 e dt sin xe "os x —1 ----------- =lim x 0 x 2 2x _2e提示 设①(x)=fe*dt 则①(cosx)=『^e 4-2 dt§5,3定积分的换元法和分部积分法一、换元积分法定理假设函数f(x)在区间［a b］上连续.函数x=「(t)满足条件：⑴(:)a .(2) ：(t)在［:•.-］(或［「:］)上具有连续导数.且其值域不越出［a b］.则有:f(x)dx 二「f［「⑴］：(t)dt .这个公式叫做定积分的换元公式，证明由假设知f(x)在区间［a b］上是连续.因而是可积的f ［「⑴］「(t)在区间［:•「］(或「.:］)上也是连续的.因而是可积的.假设F(x)是f (x)的一个原函数.则:f(x)dx 二F(b)-F(a).另-方面.因为｛F[ (t)]｝丰[(t)] (t)二 f [ (t)] (t).所以F[ (t)]是 f [ ：(t)] (t)的一个原函数.一从而...f[ (t)b (t)dt =F[ f-)] -F[ G )]二F(b)-F(a).因此:f(x)dx=「f[ (t)]「(t)dt .例 1 计算l^a2-x2dx (a>0),解0、a2 _x2dx " ”叭 jacost acostdt二a202 cos2tdt =号02(1 cos2t)dta2“ 1 2 1 2^[t in 2t]o =4「a提示、、a2 _x2 = , a2 _a2sin2t =acost dx=a cos t 当x=0 时t=0当x=a时例 2 计算02 cos5xsinxdx ,解令t =cos x .则2 5252 cos5 xsin xdx - - 02 cos5 xd cosx令cosxzz t提示或当xn时t"当x=2时H5 52 cos5xsin xdx 2 cos5 xd cosx--[—cos6x]|? - -Icos6-cos6^-,6 0 6 2 6 6例 3 计算0 lsin3x -sin5xdx ,3T f ------------------------解0in3x -sin5 xdx =3'sin2 x|cosx|dx •二 3 -■ 3=02 sin2 xcosxdx - .二sin2 xcosxdx2二2 sin2 xdsin x- -sin2 xd sinx22 5' 2 5-n 2二[fsin2x]0 卡sin2x]?£*-(-2)5 0 5 2 5 5提示、、sin3x -sin5x psin3x(1 -sin2 x)二sin。