带钢C翘样条有限元法

(7)
其中
Cin ( x) =
k = −1
∑ cos(
n +1
n +1 2ikπ 2ikπ )j j ( x) ， Sin ( x) = ∑ sin( )j j ( x) n n k = −1
为样条基函数组成的正交函数系。 pij 等为正交函数的插值系数，根据实测数据可快速计算出，然后再转化 为标准样条插值系数。 由此可以得到
(11)
(12)
T 而 ∫∫ N x N x dxdy 等矩阵的结果可以解析的得到，见文献[8][9]等。 Ω
( i , j = x, y , z )
(3)
将(1)带入上式，可以将本构关系简化为 E1 Eν E1 Eν = σx (ε x + νε y ) + 1 12 c0 + f x ， = σy (ε y + νε x ) + 1 12 c0 + f y (1 −ν 12 ) (1 −ν 1 ) (1 −ν 12 ) (1 −ν 1 ) ，σz = τ xy Gγ xy + f xy =
T fx Nx + f xy N T y 1 T T P= − ∫∫ f y N y + f xy N x 2Ω fz T Nx NCx + N T y NC xy 1 T − ∫∫ N T dxdy = y NC y + N x NC xy dxdy 2Ω NCz
+ 1 ( f x ε x + f y ε y + f z c0 + f xy γ xy )d Ω 2 ∫∫ Ω
Hale Waihona Puke (5)4C 翘分析的样条有限元
将矩形区域沿 x ， y 方向均匀划分为 n 和 m 个单元，采用双三次 B 样条基作为位移函数的插值函数，
则
u ( x, y ) = v ( x, y ) =
1
前言
板带材是钢铁工业的主干产品， 板形是板带产品的主要质量指标。 随着经济的发展和科学技术的进步，
用户对板带材产品的板形质量的要求越来越高。当前在我国板形翘曲是板带产品，尤其是镀锡钢板、高强 度与超高强度钢板、不锈钢板等产品的板形缺陷的主要形式。板带翘曲，也称拱弯，主要有沿轧制方向发 生弯曲的纵向翘曲(L 翘)和沿带钢宽度方向弯曲的横向翘曲(C 翘)两类。 分析板带钢翘曲产生的原因并制定 解决的技术对策，对于保证产品质量精度、提高生产效率和效益，都十分重要[1]。 目前关于带钢翘曲的研究还不多，宝钢何建峰[2]对生产现场产生的钢板翘曲进行了分析，用小孔释放 法测出板宽方向的残余应力分布；Takeshi Masui 等[3]阐述了退火炉内 C 翘产生的机理，分析了带钢在退火
E1ν 1 E1 c0 + f z (ε x + ε y ) + (1 −ν 12 ) (1 −ν 12 )
(4)
2
其中 E1 =
ν E ，ν 1 = 。为方便起见，在后文中都以 E ， ν 代替 E1 ， ν 1 。 2 1 −ν 1 −ν
将本构关系带入势能泛函方程，得到 1 E 1 −ν 2 2 2 = Π + 2νε x ε y + ε y + γ xy ) + 2ν (ε x + ε y )c0 + c0 2 ]d Ω [(ε x 2 (1 −ν 2 ) ∫∫ 2 Ω
(9)
(10)
其中
d = [ A, B, c0 ]T
3
1 −ν T 1 −ν T T T T Nx Nx + 2 N y N y ν Nx N y + 2 N y Nx ν Nx E 1 −ν T ν N T N + 1 −ν N T N T T + ν K= N N N N N x y y y x x y dxdy y x 2 2 (1 −ν 2 ) ∫∫ Ω ν Nx ν Ny 1
Abstract: According to the feature on the rolling process of steel strip, the analysis of warpage is simplified from a three-dimensional elasticity problem to a plane problem, and the spline finite element method（spline FEM）for the plane problem is established using the minimum potential energy principle. The residual strain caused by the C-shaped warp is expressed by bicubic spline functions, so the calculation is obtained in integral of spline functions, which greatly simplifies the calculation. Using the model and the method, the mechanical mechanism on the strip steel production process is revealed, and the warp deformation influenced by different forms of residual stress is studied, which can provide the theory basis for sloving C-shaped warp. Key words：strip; warp; residual strain; plane problem; spline FEM;
f= N ⋅ Cx ， f y = N ⋅ C y ， f xy = N ⋅ Cxy x
(8)
其中 Cx 等均为根据实际数据得出的插值系数列向量。 将式(6)，(8)带入势能泛函，并根据最小势能原理，为使 Π 取极小值，有 ∂Π ∂Π ∂Π =0 =0 =0 ∂A ∂B ∂c0 得到
K ⋅d = P
n +1, m +1 i= −1, j = −1 n +1, m +1
∑
aij Φ i ( x)Ψ j ( y ) =
(Φ ⊗ Ψ ) ⋅ A = (Φ ⊗ Ψ ) ⋅ B =
N⋅A
i= −1, j = −1
∑
(6)
N ⋅B
bij Φ i ( x)Ψ j ( y ) =
上式中 Φ 、 Ψ 为样条函数向量， ⊗ 表示矩阵的 Kronecker 乘积， Φ i ( x) Ψ i ( y ) ( i = −1, 0, , n, n + 1 )是由三次 B 样条函数构成的基函数。 A ， B 为样条函数的系数向量。沈鹏程秦荣等[8][9]指出，通过选取适当的基函 数形式，可以方便的满足各类位移边界条件。 而截面内的残余应力可以由实测数据提供， 或给定拟和函数。 de Boor[10]提出了双三次样条插值曲面的 本文将其推广到二维问题函数， 求解形式， 另外周凯汀等[11]也提出了可以直接解耦的 B 样条的插值新方法。 可以快速得出实测数据的 B 样条插值系数。即令
SPLINE FINITE ELEMENT FOR STRIP C-SHAPED WARP
QIN Jian1, ZHANG Qing-dong1, HUANG Ke-fu2
(1. Mechanical Engineering School, University of Science and Technology Beijing, 100083, Beijing; 2. Department of Mechanics and Aerospace Engineering, College of Engineering, Peking University, Beijing, 100871)
在 C 翘分析中采用初应力法分析残余应力对于翘曲的影响，截面上的 x ， y ， z 方向的残余正应力和 残余剪应力分别为 f x ( x, y ) ， f y ( x, y ) ， f z ( x, y ) ， f xy ( x, y ) ，则根据初应力问题的广义胡克定律
E Eν σ ij = ε ij + ε iiδ ij + fij 1 +ν (1 + ν )(1 − 2ν )
[0, b] ⊗ [−h, h] 为计算区域。
y
h
o −h
b
x
图1
(a) 带钢 C 翘示意图
(b)计算区域示意图
在此截面内，
u = u ( x, y ) ， v = v ( x, y )
(2)
故此有 γ xz = 0 ， γ yz = 0 。位移函数需满足边界条件
u (0, y ) = 0 ， v(0, 0) = 0
2
带钢C翘模型
根据虚功原理可以建立带钢三维问题的最小势能泛函，考虑到带钢本身不受体力和外加载荷 1 = Π (σ x ε x + σ y ε y + σ z ε z + τ xy γ xy + τ yz γ yz + τ zx γ zx )dV 2 ∫∫∫ V
(1)
由于实际生产中带钢的长度方向各处变形是均匀的，在这里可以取单位长度带钢分析。带钢长度方向 （ z 方向）位移是变化的，即 w ≠ 0 ，且可以设为 w = c0 z 。由此仿照平面应变问题沿长度方向任取一个截 面分析，且针对C翘的性质可知变形关于 y 轴（带钢厚度方向）对称，故取带钢宽度（ x 轴）上的一半截面
= f ( x, y )