第04-1章

道dào 德dé经jīng[ 先xiān 秦qín ] 老lǎo 子zǐ第dì0011章zhāng ：道dào 可kě道dào ， 非fēi 常cháng 道dào 。

名míng 可kě名míng ， 非fēi 常cháng 名míng 。

无wú， 名míng 天tiān 地dì之zhī始shǐ。

有yǒu ， 名míng 万wàn 物wù之zhī母mǔ。

故gù常cháng 无wú， 欲yù以yǐ观guān 其qí妙miào 。

常cháng 有yǒu ， 欲yù以yǐ观guān 其qí徼jiào 。

此cǐ两liǎng 者zhě同tóng 出chū而ér 异yì名míng ， 同tóng 谓wèi 之zhī玄xuán 。

玄xuán 之zhī又yòu 玄xuán ， 众zhòng 妙miào 之zhī门mén 。

第dì0022章zhāng ：天tiān 下xià皆jiē知zhī美měi 之zhī为wéi 美měi ， 斯sī恶è已yǐ； 皆jiē知zhī善shàn 之zhī为wéi 善shàn ， 斯sī不bú善shàn 已yǐ。

故gù有yǒu 无wú相xiāng 生shēng ， 难nán 易yì相xiāng 成chéng ， 长cháng 短duǎn 相xiāng 形xíng ， 高gāo 下xià相xiāng 倾qīng ， 音yīn 声shēng 相xiāng 和hè， 前qián 后hòu 相xiāng 随suí。

5下－第3章－长方体和正方体－04专项训练－1分割问题－答案04专项训练－1分割问题－1求个数分割的特征：分割后，增加的面数＝刀数×2，即：1刀2面，2刀4面……分割时，分成的个数＝刀数+1，即：1刀2段，2刀3段……分割后，大长方体或正方体变成了小正方体或长方体，个数增加。

【题型1：切割长方体，分成小正方体，求个数】例1－1、一个长方体木块，长5厘米，宽4厘米，高3厘米。

现把它切割成棱长是1厘米的小正方体木块，能切成多少个？解：5×4×3＝60（个）答：能切成60个。

例1－2、一个长方体木块，长8厘米，宽6厘米，高4厘米。

现把它切割成棱长是2厘米的小正方体木块，能切成多少个？解：（8÷2）×（6÷2）×（4÷2）＝24（个）答：能切成24个。

例1－3、一个长方体木块，长8厘米，宽6厘米，高3厘米。

现把它切割成棱长是2厘米的小正方体木块，能切成多少个？解： 3÷2＝1（个）……1（厘米）（8÷2）×（6÷2）×1＝12（个）答：能切成24个。

练习1：1、一个长方体木块，长6厘米，宽5厘米，高2厘米。

现把它切割成棱长是1厘米的小正方体木块，能切成多少个？解：6×5×2＝60（个）答：能切成60个。

2、一个长方体木块，长10厘米，宽6厘米，高2厘米。

现把它切割成棱长是2厘米的小正方体木块，能切成多少个？解：（10÷2）×（6÷2）×（2÷2）＝15（个）答：能切成15个。

3、一个长方体木块，长9厘米，宽6厘米，高4厘米。

现把它切割成棱长是3厘米的小正方体木块，能切成多少个？解： 4÷3＝1（个）……1（厘米）（9÷3）×（6÷3）×1＝6（个）答：能切成6个。

6上－第1章－分数乘法－04专项练习－1比较绳长－答案例1：有两根绳子，第一根的长度是8米的14，第二根的长度是4米的18，哪根绳子长？解：第一根：8×14＝2（米）第二根：4×18＝0.5（米）因为：2＞0.5所以：第一根长。

例2：有两根同样长的绳子，第一根用去25米，第二根用去的25，两根绳子剩下的长？解：分类讨论。

①绳长＜1米，假设绳长是25米第一根剩下：25-25＝0（米）第二根剩下：25×（1-25）＝625（米）因为：625＞0所以：第二根剩下部分长。

②绳长＝1米，第一根剩下：1-25＝35（米）第二根剩下：1×（1- 25）＝35（米）因为：35＝35所以：两根绳子剩下部分一样长。

③绳长＞1米，假设绳长是5米第一根剩下：5-25＝435（米）第二根剩下：5×（1- 25）＝3（米）因为：435＞3所以：第一根绳子剩下长。

例3：有两根同样长的绳子，第一根先用去34米，再用去剩下的34，第二根先用去全长的34，再用去34米，两根绳子相比（B）A.第一根用去的多。

B.第二根用去的多。

C.用去的同样多。

D.无法比较。

解：设原来绳长a米，第一根用去：34+（a-34）×34＝34a+316(米)第二根用去：34a+34＝34a+34(米)因为：34a+34＞34a+316，所以：第二根用去的多，选B。

例4：一根绳子，明明用了全部的25，红红用了剩下的25米。

那么（B）A.明明用的多。

B.红红用的多。

C.两人用的同样多。

D.无法比较。

解：明明用了全部的25，则剩下的是1-25＝35，因为：35＞25，所以：红红用的多，选B。

例5：一盘水果，明明吃了全部水果的25，红红吃了剩下的25千克水果。

那么（B）A.明明吃的多。

B.红红吃的多。

C.两人吃的同样多。

D.无法比较。

解：明明吃了全部的水果的25，则剩下的是35，因为：35＞25，所以：红红吃的多，选B。

第一章 物质及其变化 第二节 离子反应 第1讲 电解质的电离【讲】知识点1电解质的定义 1．物质的导电性实验探究(1)实验操作将如图装置中的样品依次更换为NaCl 固体、KNO 3固体、蒸馏水、NaCl 溶液、KNO 3溶液。

(2)实验现象及结论2.物质导电的原因探究(1)物质导电的原因：具有能自由移动、带电荷的粒子。

(2)化合物(以NaCl 为例)导电的原因。

结论：化合物能导电的状态为溶液或熔融状态。

3．电解质(1)电解质：在水溶液里或熔融状态下能够导电的化合物叫做电解质。

如：氯化钠、硝酸钾、氢氧化钠等(2)非电解质：在水溶液里和熔融状态下均不能导电的化合物叫做非电解质。

如：蔗糖、酒精等【注意】①共同点：电解质、非电解质均指化合物(判断的前提)，属于纯净物，不同之处是在水溶液中或融化状态下能否导电【思考】NaOH溶液、盐酸、铜均能导电，它们是不是电解质，是不是非电解质？①单质、混合物既不是电解质也不是非电解质①电解质的导电是有条件的(必须发生电离)，电解质必须在水溶液中或熔化状态下才能导电，而且是本身电离而导电的化合物。

如：SO2、SO3、CO2、NH3的水溶液里能导电，但导电原因是与水作用后的生成物(H2SO3、H2SO4、H2CO3、NH3 ·H2O)电离所致，并非本身电离出自由离子而导电，所以SO2、SO3、CO2、NH3等为非电解质，而H2SO3、H2SO4、H2CO3、NH3 ·H2O则是电解质①AgCl、BaSO4等某些难溶盐在水中的溶解度极小，不能导电，但因这些物质在水中可溶的部分能完全电离，故属于电解质①金属氧化物(CuO)等物质在水中不溶，但因其在熔融状态下能够导电，故这类金属氧化物也属于电解质⑥能导电的物质不一定是电解质Fe、Cu等金属在熔融状态下也能导电，但它们是单质，既不属于电解质，也不属于非电解质稀盐酸能导电，但稀盐酸不是电解质，因为稀盐酸是混合物⑦电解质溶于水能导电，但熔融状态下不一定能导电(如：氯化氢等)【练】1下列叙述正确的是()A．铜丝能导电，所以铜是电解质B．氯化钠晶体不导电，所以氯化钠不是电解质C．氯化氢水溶液能导电，所以氯化氢是电解质D．SO3溶于水能导电，所以SO3是电解质答案C解析A项，电解质属于化合物，故铜不是电解质，错误；B项，NaCl固体不导电，但其水溶液或熔融状态均可以导电，故NaCl是电解质，错误；D项，SO3水溶液可以导电，并不是SO3本身电离出的离子，而是其与水的反应产物H2SO4电离产生的，SO3是非电解质。

一、填空题01、数据结构是一门研究非数值计算的程序设计问题中计算机的(操作对象)以及它们之间的(关系和运算)等的学科。

02、数据结构被形式地定义为(D,R)，其中D是(数据元素)的有限集合，R是D上的(关系)有限集合。

03、数据结构包括数据的(逻辑结构)、数据的(存储结构)和数据的(运算)这三个方面的内容。

04、数据结构按逻辑结构可分为两大类，它们分别是(线性结构)和(非线性结构)。

05、线性结构中元素之间存在(一对一)关系，树形结构中元素之间存在(一对多)关系，图形结构中元素之间存在(多对多)关系。

06、在线性结构中，第一个结点(没有)前驱结点，其余每个结点有且只有1个前驱结点；最后一个结点(没有)后续结点，其余每个结点有且只有1个后续结点。

07、在树形结构中，树根结点没有(前驱)结点，其余每个结点有且只有(1)个前驱结点；叶子结点没有(后续)结点，其余每个结点的后续结点数可以(任意多个)。

08、在图形结构中，每个结点的前驱结点数和后续结点数可以(任意多个)。

09、数据的存储结构可用四种基本的存储方法表示，它们分别是(顺序)、(链式)、(索引)、(散列)。

10、对于给定的n个元素，可以构造出的逻辑结构有(集合)、(线性结构)、(树形结构)、(图状结构)四种。

11、数据的运算最常用的有5种，它们分别是(插入)、(删除)、(修改)、(查找)、(排序)。

12、一个算法的效率可分为(时间)效率和(空间)效率。

13、数据结构中评价算法的两个重要指标是算法的(时间复杂度)和(空间复杂度)。

14、一个数据结构在计算机中的(映射)称为存储结构。

15、算法的五个重要特性是(有穷性)、(确定性)、(可行性)、输入、输出。

16、已知如下程序段for (i=n; i>=1; i--) //语句1{ x++; //语句2for (j=n; j>=i; j--) //语句3y++; //语句4}语句 1 执行的频度为(n+1)；语句2执行的频度为(n)；语句3执行的频度为(n(n+3)/2)；语句4执行的频度为(n(n+1)/2)。

2004年上半年（1）以下对TCP/IP参考模型与OSI参考模型层次关系的描述，哪一个是错误的？A）TCP/IP的应用层与OSI应用层相对应B）TCP/IP的传输层与OSI传输层相对应C）TCP/IP的互联层与OSI网络层相对应D）TCP/IP的主机-网络层与OSI数据链路层相对应（2）计算机网络拓朴是通过网中结点与通信线路之间的几何关系表示A）网络结构B）网络层次C）网络协议D）网络模型（3）如果在通信信道上下班送1比特信号所需要的时间是0.001μs，那么信道的数据传输速率为A）1Mbps B）10Mbps C）100Mbps D）1Gbps（4）以下关于误码率的描述中，哪个是错误的？A）误码率是衡量数据传输系统正常工作状态下传输可靠性的参数B）对于一个实际的数据传输系统，要求的误码率越低，传输系统设备造价就越高C）实际应用数据传输系统的误码率可以达到零D）在实际测量一个数据传输系统时，只有被测量的传输二进制码元数越多，才会越接近于真正的误码率值（5）光纤通信采用的亮度调制方法属于A）振幅键控ASK调制B）频移键控FSK调制C）相移键控PSK调制D）波分复用WDM二、填空题（1）计算机网络拓朴主要是指【1】子网的拓朴构型，它对网络性能、系统可靠性与通信费用都有重大影响。

（2）奈奎斯特（Nyquist）准则与香农（Shannon）定理从定量的角度描述了【2】与速率的关系。

2004年下半年一、选择题（1）广域网覆盖的地理范围从几十公里到几千公里。

它的通信子网主要使用A）报文交换技术B）分组交换技术C）文件交换技术D）电路交换技术（2）以下关于城域网建设方案特点的描述中，哪些是正确的Ⅰ.主干传输介质采用光纤Ⅱ.交换结点采用基于IP交换的高速路由交换机或ATM交换机Ⅲ.采用ISO／OSI七层结构模型Ⅳ.采用核心交换层、业务汇聚层与接入层3层模式A）Ⅰ、Ⅱ和ⅣB）Ⅱ和ⅢC）Ⅰ、Ⅲ和ⅢD）Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ（3）100BASE-TX网络采用的物理拓扑结构为A）总线型B）星型C）环型D）混合型（4）广域网一般采用网状拓扑构型，该构型的系统可靠性高，但是结构复杂。

第04讲 线段的垂直平分线和角平分线(8类热点题型讲练)1.理解线段垂直平分线，角平分线的概念；2.掌握线段垂直平分线的性质定理及逆定理；3.能运用线段的垂直平分线的有关知识进行证明或计算；4.能够利用尺规作出三角形的垂直平分线和角平分线；5.会证明和运用“三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等”.角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用.知识点01 线段的垂直平分线ìíî线段垂直平分线的：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两端点的距离相等；线段垂直平分线的：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上性质定理判.定定理知识点02 角的平分线ìïíïî角的平分线的：在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等；角的平分线的：在一个角的内部（包括顶点）且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.性质定理性质定理题型01 线段的垂直平分线的性质(1)求证：BE AC =(2)若35B Ð=°，则BAC Ð=【答案】(1)见解析(2)75°∵AD BC ^于点D ，且D 为线段∴AD 垂直平分CE ，∴AC AE =，∵EF 垂直平分AB ，∵AD BC ^，∴90ADB Ð=°，∴903555BAD Ð=°-°=°，∴553520EAD Ð=°-°=°，∵AC AE =，AD BC ^，∴20EAD CAD Ð=Ð=°，∴75BAC BAE EAD CAD Ð=Ð+Ð+Ð=°．故答案为：75°．【变式训练】1．（2023下·全国·八年级专题练习）如图，在ABC V 中，DM ，EN 分别垂直平分AC 和BC ，交AB 于M ，N 两点，DM 与EN 相交于点F ．(1)若CMN V 的周长为15cm ，求AB 的长；(2)若70MFN Ð=°，求MCN Ð的度数．【答案】(1)15cmAB =(2)40MCN Ð=°【分析】此题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用及整体思想的应用．（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AM CM =，BN CN =，然后求出CMN V 的周长AB =；（2）根据三角形的内角和定理列式求出 MNF NMF Ð+Ð，再求出A B ÐÐ+，根据等边对等角可得A ACM Ð=Ð，B BCN Ð=Ð，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解；【详解】（1）解：∵DM 、EN 分别垂直平分AC 和BC ，∴AM CM =，BN CN =，∴CMN V 的周长CM MN CN AM MN BN AB =++=++=，∵CMN V 的周长为15cm ，∴15cm AB =；（2）解：∵70MFN Ð=°，∴18070110MNF NMF Ð+Ð=°-°=°，∵AMD NMF Ð=Ð， BNE MNF Ð=Ð，∴110AMD BNE MNF NMF Ð+Ð=Ð+Ð=°，∴909018011070A B AMD BNE Ð+Ð=°-Ð+°-Ð=°-°=°，∵AM CM =，BN CN =，∴A ACM Ð=Ð，B BCN Ð=Ð，∴()180218027040MCN A B Ð=°-Ð+Ð=°-´°=°．2．（2023上·全国·八年级专题练习）如图，在ABC V 中，EF 垂直平分AC ，交AC 于点F ，AD BC ^于点D ，BD DE =，连接AE ．(1)若AE 平分BAC Ð，求C Ð的度数；(2)若ABC V 的周长为13cm ，5cm AC =，求CD 的长．【答案】(1)36°(2)4cm【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、角平分线、线段垂直平分线、三角形内角和定理等，解答本题的关键在于熟练掌握垂直平分线上的点到线段两端的距离相等及等腰三角形的性质本题即可求解．【详解】（1）解：AD BC BD DE ^Q ，＝，EF 垂直平分AC ，∴AB AE EC ＝＝，C CAE \ÐÐ＝，∵AE 平分BAC Ð，∴BAE EAC ÐÐ＝，∵AD BC ^于点D ，B D ＝D E ，∴AB AE ＝，∴2B AEB C EAC C ÐÐÐ+ÐÐ＝＝＝，根据三角形内角和等于180°可得，180B AEB BAE Ð+Ð+а＝，22180C C C \Ð+Ð+а＝，36C \а＝．（2）ABC QV 周长13cm ，5cm AC =，∴8cm AB BC +＝，∴8cm AB BE EC ++＝，即，228cm DE EC +＝，∴4cm DE EC +＝，∴4cm DC DE EC +＝＝．题型02 线段的垂直平分线的判定(1)求证：AD (2)已知ABC Ð【详解】（1）证明：∴点A 在BC AD \垂直平分（2）解：V 【变式训练】1.如图，ABC V 为等边三角形，AD AB ^，4AD DC ==，AC BD ，相交于点E ．(1)求证：BD 垂直平分AC ；(2)求BE 的长；(3)若点F 为BC 的中点，点P 在BD 上，则PC PF +的最小值为______．（直接写出结果）．【详解】（1）证明：∵ABC V 是等边三角形，∴AB BC =；∵,,AB BC AD CD BD BD ===，∴()ABD CBD SSS V V ≌，∴ADB CDB Ð=Ð，∵,,AD DC ADB CDB DE DE =Ð=Ð=，∴()ADE CDE SAS V V ≌，∴,90AE EC AED DEC =Ð=Ð=°，∴BD 垂直平分AC ；（2）解：∵DB AC ^，∴BE 平分ABC Ð，∵60ABC BAC Ð=Ð=°，∴30ABD Ð=°，∵90BAD Ð=°，∴30DAE Ð=°，∵4=AD ，∴8,2BD DE ==，∴6BE BD DE =-=；（3）解：连接AF 交BD 于点P ，连接PC ，∵BD 是AC 的垂直平分线，∴A 、C 关于BD 对称，(1)求证：DB DE=；(2)过点A作AF BC∥，交ED延长线于点F，交①若12EM=，则BD= ．题型03 线段的垂直平分线的实际应用【例题】如图，地面上有三个洞口A 、B 、C ，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口（到A 、B 、C 三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在( )A ．ABC V 三边垂直平分线的交点B ．ABC V 三条角平分线的交点C ．ABC V 三条高所在直线的交点D ．ABC V 三条中线的交点【答案】A 【详解】解：∵猫所在的位置到A 、B 、C 三个点的距离相等，∴猫应该蹲守在ABC V 三边垂直平分线的交点处；故选A ．【变式训练】1．如图，某一个城市在一块空地新建了三个居民小区，它们分别为、、A B C ，且三个小区不在同一直线上，要想规划一所中学，使这所中学到三个小区的距离相等．这所中学应建在（ ）A ．ABC V 的三条中线的交点B ．ABC V 三边的垂直平分线的交点C ．ABC V 三条角平分线的交点D ．ABC V 三条高所在直线的交点【答案】B 【详解】解：根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．则学校应建在ABC V 三条边的垂直平分线的交点处．故选：B ．题型04 线段的垂直平分线的尺规作图【例题】如图，已知在ABC V 中，7AC =．(1)用尺规作BC 边的垂直平分线；（保留作图痕迹，不写作法）(2)BC 边的垂直平分线分别交AC BC 、于点D 、E ，连接BD ，若ABD △的周长是10，求AB ．【详解】（1）解：如图，DE 即为所求；；（2）解：∵DE 是BC 边的垂直平分线，∴BD DC =，∵7AC =，∴7AD DC AD BD +=+=，∵ABD △的周长是10，∴10AB BD AD ++=．∴3AB =．【变式训练】1．某公司招收职工的试卷中有道题：如图，有三条两两相交的公路，为便于及时进行监控，防止违章，这个监控仪器应安装在什么位置可以使离三个路口的交叉点的距离相等你能找到这个监控安装的位置吗？（尺规作图，不写过程，保留作图痕迹）【详解】解：如图，点P 这个监控安装的位置．．2．如图，已知点A 、点B 以及直线L ．(1)用尺规作图的方法在直线L 上求作一点P ，使PA PB =．（保留作图痕迹，不要求写出作法）；(2)在（1）中所作的图中，连接AP BP ，，若90APB Ð=°，过点A 作AM L ^于点M ，过点B 作BN L ^于点N ．求证：MN AM BN=+【详解】（1）解：点P 如图所示，；（2）解：∵AM L ^，BN L ^，90APB Ð=°，∴90MAP APM NPB Ð=°-Ð=Ð，∵PA PB =，∴()AAS MAP NPB ≌△△，∴AM PN =，PM BN =，∴MN PN PM AM BN =+=+．题型05 角平分线的性质定理【例题】（2023上·江苏连云港·八年级校考阶段练习）已知：如图AC 平分BAD Ð，CE AB CF AD ^^，，垂足分别为E 、F ，且BC CD =．(1)求证：BCE DCF △≌△；(2)若106AD BE ==，，求AB 的长．【答案】(1)见解析(2)22【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，本题中求证BCE DCF △≌△和Rt Rt ACF ACE @△△是解题的关键．（1）先证明CE CF =，再根据HL 即可证明BCE DCF △≌△；（2）先求出6DF BE ==，再根据HL 即可证明Rt Rt ACF ACE ≌△△，进而可求出AB 的长．【详解】（1）AC Q 平分BAD Ð，CE AB ^于E ，CF AD ^于F ，90CFD \Ð=°，90CEB Ð=°，CE CF =，在Rt BCE V 和Rt DCF V 中，CE CF BC CD =ìí=î，Rt Rt (HL)BCE DCF \△≌△；（2）∵BCE DCF △≌△，6BE =，∴6DF BE ==．∵10AD =，∴10616AF =+=．在Rt ACF V 和Rt ACE V 中，CF CE AC AC=ìí=î，Rt Rt (HL)ACF ACE \△≌△，∴16AE AF ==，∴16622AB =+=．【变式训练】1)求证：AE 是DAB Ð2)已知4AE =，DE 【答案】(1)见解析2)12【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，角平分线的性质定理；（1）根据角平分线的性质得出∵90C Ð=°，∴EF AD ^，∵AE 是DAB Ð的平分线，∴EF EC =，(1)求证：BE CF =；(2)若67AF BC ==，，则ABC V 【答案】(1)证明见解析(2)19可．【详解】（1）证明：连接CD BD ，，∵D 在BC 的中垂线上，∴BD CD =，∵DE AB ^，DF AC ^，AD 平分BAC Ð，∴DE DF =，90BED CFD Ð=Ð=°，∴()Rt Rt HL BDE CDF V V ≌，∴BE CF =；（2）解：∵AD 平分BAC Ð，∴∠∠E A D FA D =，∵DE AB ^，DF AC ^，∴90AED AFD Ð=Ð=°，又∵AD AD =，∴()AAS AED AFD V V ≌，∴AE AF 6==，由（1）可知BE CF =，∴ABC V 的周长为：66719AC AB BC AF CF AE BE BC AF AE BC ++=-+++=++=++=，故答案为：19．题型06 角平分线的判定定理【例题】如图，A ，B 两点分别在射线OM ，ON 上，点C 在MON Ð的内部且CA CB =，CD OM ^，CE ON ^，垂足分别为D ，E ，且AD BE =．(1)求证：OC 平分MON Ð；(2)如果12AO =，4BO =，求OD 的长．【详解】（1）证明：由题意得：CD OM ^，CE ON ^，\90CDA CEB Ð=Ð=°，在Rt ACD △和Rt BCE V 中，AC BC AD BE=ìí=î，\()Rt Rt HL ACD BCE V V ≌，\CD CE =，Q CD OM ^，CE ON ^，\OC 平分MON Ð．（2）在Rt ODC △和Rt OEC △中，CD CE OC OC =ìí=î，\()L Rt Rt H ODC OEC ≌V V ，\OD OE =，设BE x =，Q 4BO =，\4OE OD x ==+，Q AD BE x ==，\4212AO OD AD x =+=+=，\4x =，\448OD =+=．【变式训练】1．如图，DE AB ^于E ，DF AC ^于F ，若,BD CD BE CF ==．(1)求证：AD 平分BAC Ð；(2)写出+AB AC 与AE 之间的等量关系，并说明理由．【详解】（1）证明：∵DE AB ^∴90E DFC Ð=Ð=°，(1)求证：OC 是AOB Ð的平分线；(2)若30AOB Ð=°，23PF =，PF 【详解】（1）证明：在Rt PDF V 和题型07 角平分线性质的实际应用【例题】三条公路将、、A B C 三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ）A ．三条高的交点B ．三条中线的交点C ．三条角平分线的交点D ．三边垂直平分线的交点【答案】C 【详解】解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，根据角平分线的性质，集贸市场应建在A B C ÐÐÐ、、的角平分线的交点处，故选：C ．【变式训练】1．如图是三条两两相交的笔直公路，某物流公司现要修建一个货物中转站，使它到三条公路的距离相等，这个货物中转站可选的位置有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．1个【答案】B 【详解】解：如图所示，分别作直线交点处的角平分线，根据角平分线的性质，可得点1234,,,P P P P 共4个点，故选：B ．题型08 作角平分线（尺规作图）【例题】已知：如图，在ABC V 中，AB AC =，2B A Ð=Ð．(1)求作ABC Ð的平分线，交AC 于点P ．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；(2)在（1）的条件下，求ABP Ð的角度？【详解】（1）解：以点B 为圆心，适当长为半径画弧交BA ，BC 于两点，再分别以两点为圆心，适当长为半径画弧交于一点，连接点B 与该点所在直线交AC 于点P ，如图所示：BP 即为所求；（2）解：∵AB AC =，1．如图所示，某县计划在张村、李村之间建一座定点医疗站P，张、李两村坐落在两相交公路内（如图所示）．医疗站必须满足下列条件：①使其到两公路距离相等；②到张、李两村的距离也相等．请你通过作图确定点P的位置．【详解】解：如图所示，点P即为所要求作的点．一、单选题A．4cm B．5cm【答案】C【分析】本题考查的知识点是垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、含Q是AB的垂直平分线，DEAD DB cm\==，12\Ð=Ð=°，15DAE BA ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．过点D 作DE OB ^于E ，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DP DE =，再根据垂线段最短解答．【详解】解：如图，过点D 作DE OB ^于E ，OC Q 是AOB Ð的角平分线，DP OA ^，DP DE \=，由垂线段最短可得DQ DE ³，4DP =Q ，4DQ \³．故选：A ．3．（2023上·江苏无锡·八年级校考阶段练习）在联合会上，有A 、B 、C 三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在ABC V 的（ ）A ．三边中线的交点B ．三条角平分线的交点C ．三边中垂线的交点D ．三边上高的交点【答案】C【分析】本题考查线段垂直平分线的性质定理的逆定理，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键，利用要使游戏公平，凳子就需要放在到A 、B 、C 三名选手距离相等的位置即可得到答案．【详解】解：由题可得：要使游戏公平，凳子就需要放在到A 、B 、C 三名选手距离相等的位置，则凳子所在的位置是ABC V 的外接圆圆心，A ．16°B ．26【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理， 根据90ACB Ð=°，直线116BDC Ð=°，结合CDE ÐA ．①②【答案】D∵DM 是BC 的垂直平分线，∴DB DC =，在Rt BED △和Rt CFD V DE DF BD DC=ìí=î，【答案】80°/80度【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质．根据线段垂直平分线的性质可得CD BD =，从而得到BCD B Ð=Ð的性质可得50A ADC Ð=Ð=°，即可求解．【答案】3【分析】此题考查了角平分线的性质定理，作DH AB ^于点H ，先求出即可得到点D 到的距离．∵8BC =，5BD =，∴3CD BC BD =-=，∵90C Ð=°，∴DC AC ^，【答案】20【分析】本题考查垂直平分线画图及性质，三角形周长公式．根据题意可知利用垂直平分线可知AD 【详解】解：∵分别以点【答案】50【分析】本题考查了角的等分线计算，正确理解定义是解题的关键．设分线的性质，角的平分线的判定，三角形内角和定理计算即可．【详解】设3ABC x Ð=，Ð∵点M N 、是ABC Ð与Ð∵点M N 、是ABC Ð与ACB Ð∴BN 平分MBC Ð，CN 平分∴,NE NG NF NG ==，∴NE NF =，∴MN 平分BMC Ð，150BMN BMC Ð=Ð=°，【答案】 15° 6【分析】本题考查了角平分线的判定与性质、三角形全等的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点，证明三角形全等是解此题的关键．（1）先证明Rt Rt BDE △≌△11．（2023上·河南南阳·八年级校考阶段练习）如图，在ABC V 中，AC 边的垂直平分线分别交BC AC 、于点E 、F ，连接AE ，作AD BC ^于点D ，且D 为BE 的中点．(1)试说明：AB CE =；(2)若32C Ð=°，求BAC Ð的度数．【答案】(1)见解析(2)84°【分析】本题主要考查的是三角形内角和定理，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质．（1）根据等腰三角形的判定得出AB AE =，根据垂直平分线的性质得出AE CE =，等量代换即可得出结论；（2）根据等边对等角得出32C EAC Ð=Ð=°，再根据三角形的外角的性质得出64AEB C EAC Ð=Ð+Ð=°，再根据等边对等角得出64B AEB Ð=Ð=°，根据三角形内角和定理得出52BAE Ð=°，进而得出答案．【详解】（1）∵D 为BE 的中点，∴BD DE =，∵AD BC ^，∴AB AE =，∵EF 是AC 的垂直平分线，∴AE CE =，∴AB CE =；（2）∵32C AE CE Ð=°=，，∴32C EAC Ð=Ð=°，∴64AEB C EAC Ð=Ð+Ð=°，∵AB AE =，∴64B AEB Ð=Ð=°，∴180180646452BAE B AEB Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°，∴523284BAC BAE EAC Ð=Ð+Ð=°+°=°．12．（2023上·河南周口·八年级校联考阶段练习）如图，已知ABC V 中，90C Ð=°，按下列要求作图（尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）．(1)作AB 边的垂直平分线，交AC 于点E ，交AB 于点F ；(2)连接CF ；(3)作BFC Ð的平分线，交BC 于点G ．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】本题考查了作线段的垂直平分线，作角平分线，掌握基本作图是解题的关键．根据题意作AB 边的垂直平分线，交AC 于点E ，交AB 于点F ，连结CF ，作BFC Ð的平分线，交BC 于G ．【详解】（1）解：如图，（2）解：如图，（3）解：如图，13．（2023上·河南信阳·八年级统考期中）如图，在ABC V 中，D 是BC 上一点，DF AC ^于点F ，连接EF ，AD 垂直平分EF ．(1)求证：AD 是BAC Ð的平分线；(2)若ABC V 的周长为18，ABC V 的面积为24，6BC =，求DE 的长．【答案】(1)见解析(2)4【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，角平分线的判定定理，熟知垂直平分线的性质是解题的关键．（1）根据垂直平分线的性质得到DE DF =，然后利用角平分线的判定定理即可证明结论；（2）首先求出12AB AC +=，然后根据等面积法进行求解即可．【详解】（1）证明：∵AD 垂直平分EF ，(1)试问：BF 与CG 的大小如何？证明你的结论．(2)若104AB AC ==，，试求【答案】(1)BF CG =，证明见解析(2)7【分析】本题考查角平分线的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质：Q AE 平分BAC Ð，EF AB ^\EF EG =，Q D 为BC 的中点，DE BC ^\DE 垂直平分BC ，\EB EC =，在Rt BFE △和Rt CGE △中，∵AB AC =，∴()111809022B A A Ð=°-Ð=°-Ð∵MN 为AB 的垂直平分线，∴90BNM Ð=°，(1)若120ACB Ð=°，则MCN Ð的度数为 (2)若MCN a Ð=，则MFN Ð的度数为 ；（用含(3)连接FA FB FC 、、，CMN V 的周长为6cm 【答案】(1)60°(2)1902a °-Q DM EN ，分别垂直平分AC 和BC ，MA MC \=，NB NC =，Q CMN V 的周长为6cm ，6cm MC NC MN \++=，6cm MA NB MN \++=，即6cm AB =，Q FAB V 的周长为14cm ，14cm FA FB AB \++=，8cm FA FB \+=，Q DF EF ，分别垂直平分AC 和BC ，FA FC \=，FB FC =，28cm FC \=，4cm FC \=．17．（2023上·湖南衡阳·八年级校考期末）如图，90BAC Ð=°，CD 平分ACB Ð交AB 于D ，CM CD ^，点M 在AB 的垂直平分线上，AM 交BC 于O ，MG AC ^于点G ，MF BC ^于点F ．(1)求证：BCM GCM Ð=Ð；(2)若2CG =，求BC AG -的长；(3)若点D 在BC 的垂直平分线上，试判断ABM V 的形状，并说明理由．【答案】(1)见解析；(2)2；(3)ABM V 是等边三角形，理由见解析．【分析】（1）由角平分线的性质可得ACD BCD Ð=Ð，由余角的性质可得结论；（2）由“AAS ”可证FCM GCM ≌V V ，可得MF MG =，2CF CG ==，由“HL ”可证Rt Rt BFM AGM ≌V V ，可得BF AG =，即可求解；（3）由线段垂直平分线的性质可求30DBC DCB ACD Ð=Ð=Ð=°，由等腰三角形的性质可求30MAG Ð=°，由三角形内角和定理可求解．【详解】（1）证明：∵CD 平分ACB Ð，∴ACD BCD Ð=Ð，∵CM CD ^，∴90DCM Ð=°，∴90ACD MCG Ð+Ð=°，90DCB BCM Ð+Ð=°，∴BCM GCM Ð=Ð；（2）∵BCM GCM Ð=Ð，90MFC MGC Ð=Ð=°，CM CM =，∴()AAS FCM GCM ≌V V ，∴MF MG =，2CF CG ==，∵点M 在AB 的垂直平分线上，∴AM BM =，且FM MG =，∴()Rt Rt HL BFM AGM ≌V V ，∴BF AG =，CBM MAG Ð=Ð，∴2BC AG BC BF CF -=-==；（3）∵点D 在BC 的垂直平分线上，∴BD CD =，∴DBC DCB Ð=Ð，且ACD DCB Ð=Ð，90DBC DCB ACD Ð+Ð+Ð=°，∴30DBC DCB ACD Ð=Ð=Ð=°，∵AM BM =，∴30MAB MBA ABC CBM CBM Ð=Ð=Ð+Ð=°+Ð，∵CBM MAG Ð=Ð，∴30MAB MAG Ð=°+Ð，∵90MAB MAG BAC Ð+Ð=Ð=°，∴30MAG Ð=°，∴60MAB MBA Ð=Ð=°，∴60AMB Ð=°，∴ABM V 是等边三角形．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质等知识，证明全等三角形是本题的关键．18．（2023上·新疆和田·八年级统考期末）数学活动：如图1，角的平分线的性质的几何模型，已知OP 平分AOB Ð，PA OA ^于点A ，PB OB ^于点B ．(1)探究：如图2，点M 是OP 上任意一点（不与O 、P 重合），连接MA 、MB ，问题：请判断MA 与MB 的数量关系，并证明你的结论．(2)如图3，连接AB ．问题：①OP 垂直平分AB 吗？请说明理由．②若30AOP Ð=°，6AB =，求AOB V 的周长．【答案】(1)MA MB =，证明见解析(2)①OP 垂直平分AB ，理由见解析；②18【分析】（1）证明()AAS OAP OBP V V ≌，则OA OB =，证明()SAS AOM BOM V V ≌，进而可得MA MB =．（2）①如图3，记AB 与OP 的交点为C ，由（1）可知()AAS OAP OBP V V ≌，则OA OB =，证明()AAS OAP OBP V V ≌，则AC BC =，90ACO BCO Ð=Ð=°，进而可得OP 垂直平分AB ；②由题意知60AOB Ð=°，可证AOB V 是等边三角形，则6OA OB AB ===，然后求AOB V 的周长即可．【详解】（1）解：MA MB =，证明如下：∵OP 平分AOB Ð，PA OA ^，PB OB ^，∴AOP BOP Ð=Ð，90OAP OBP Ð=Ð=°，又∵OP OP =，∴()AAS OAP OBP V V ≌，∴OA OB =，∵OM OM =，AOM BOM Ð=Ð，OA OB =，∴()SAS AOM BOM V V ≌，∴MA MB =．（2）①解：OP 垂直平分AB ，理由如下：如图3，记AB 与OP 的交点为C ，。

第四章逻辑运算和判断选取控制4.1 选择题4.1 逻辑运算符两侧运算对象的数据类型______。

A)只能是0或1B)只能是0或非0C)只能是整型或字符型数据D)可以是任何类型的数据4.2 以下运算符优先顺序的描述中正确的是______。

A)关系运算符<算术运算符<赋值运算符<逻辑运算符B)逻辑运算符<关系运算符<算术运算符<赋值运算符C)赋值运算符<逻辑运算符<关系运算符<算术运算符D)算术运算符<关系运算符<赋值运算符<逻辑运算符4.3 下列运算符中优先级别最高的是______。

A) < B) + C)&& D !+4.4 能正确表示“当x的值在[1,10]和[200,210]范围内为真，否则为假”的表达式是______。

A)（x>=1）&&（x<=10 ）&&（x>=200 ）&&（x<=210）B)x>=1）||（x<=10 ）|| （x>=200 ）||（x<=210）C)（x>=1）&&（x<=10 ）|| （x>=200 ）&&（x<=210）D)（x>=1）||（x<=10 ）&& x>=200 ）||（x<=210）4.5 表示图中坐标轴上阴影部分的正确表达式是______。

XA)（x<=a）&&(x>=b&&x<=c)B)(x<=a)||(b<=x<=c)C)(x<=a)||(x>=b)&&(x<=c)D)(x<=a)&&(b<=x<=c)4.6 判断char型变量ch是否为大写字母的正确表达式是______。