湖南省衡阳市2018届高三第二次联考(二模)理科数学试题(解析版)

2018年湖南省衡阳市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数z满足（1+2i）z＝5，则在复平面内z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）已知集合M＝{x|x＞1}，N＝{x|y＝lg（2x﹣x2）|，则（∁R M）∩N（）A．（1，+∞）B．（0，1]C．[2，+∞）D．[1，+∞）3．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“若x2﹣3x﹣4＝0，则x＝﹣1或x＝4”，则其否命题是“若x2﹣3x﹣4≠0，则x ≠﹣1且x≠4”B．a＞0是函数y＝x a在定义域上单调递增的充分不必要条件C．“”是真命题D．若命题p：∀n∈N，3n＞500，则4．（5分）已知样本x1，x2，…，x n的平均数为x；样本y1，y2，…，y m的平均数为y（x≠y），若样本x1，x2，…，x n，y1，y2，…，y m的平均数z＝ax+（1﹣a）y；其中0＜a＜，则n，m（n，m∈N*）的大小关系为（）A．n＝m B．n≥m C．n＜m D．n＞m5．（5分）1927年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想：对于每一个正整数．如果它是奇数，对它乘3再加1，如果它是偶救．对它除以2，这样循环，最终结果都能得到1．虽然该猜想看上去很简单，但有的教学家认为“该猜思任何程度的解决都是现化数学的一大进步”．如图是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图，则①处应填写的条件及输出的结果分别为（）A．a是偶数？；6B．a是偶数？；8C．a是奇数？；5D．a是奇数？；7 6．（5分）已知函数则下列结论错误的是（）A．f（x）不是周期函数B．f（x）在上是增函数C．f（x）的值域为[﹣1，+∞）D．f（x）的图象上存在不同的两点关于原点对称7．（5分）已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的所有棱中，最短的棱其长为（）A．2B．C．1D．8．（5分）设不等式组，表示的平面区域为M，若直线y＝kx﹣2上存在M内的点，则实数k的取值范围是（）A．[1，3]B．（﹣∞，1]∪[3，+∞）C．[2，5]D．（﹣∞，2]∪[5，+∞）9．（5分）已知正四棱锥P﹣ABCD的各条棱长均为2，则其外接球的表面积为（）A．4πB．6πC．8πD．16π10．（5分）在等差数列{a n}中，﹣1＜＜0，若它的前n项和S n有最大值，则当S n＞0时，n的最大值为（）A．11B．12C．13D．1411．（5分）设双曲线的右顶点为A，右焦点为F（c，0），弦PQ 的过F且垂直于x轴，过点P，Q分别作直线AP，AQ的垂线，两垂线交于点B，若B 到直线PQ的距离小于2（a+c），则该双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，）B．（，+∞）C．（0，）D．（2，）12．（5分）已知ω＞0，a＞0，f（x）＝a sinωx+a cosωx，g（x）＝2cos（ax+），h（x）＝这3个函数在同一直角坐标系中的部分图象如图所示，则函数g（x）+h（x）的图象的一条对称轴方程可以为（）A．x＝B．x＝C．x＝﹣D．x＝﹣二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点E为BC的中点，点F为CD的中点，则的值是．14．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则∠C的大小为．15．（5分）函数y＝a x（a＞1）的图象与二次函数y＝x2的图象恰有两个不同的交点，则实数a的值是．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆，圆，在圆O2内存在一定点M，过M的直线l被圆O1，圆O2截得的弦分别为AB，CD ，且，则定点M的坐标为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知各项均不为零的数列{a n}的前n项和为S n，且对任意的n∈N*，满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足a n b n＝log4a n，数列{b n}的前n项和为T n ，求证：．18．（12分）《赢在博物馆》是中央电视台于2018春节期间推出的全国首档大型益智类博物馆文物知识节目，中央电视台为了解该节目的收视情况，抽查北方与南方各5个城市，得到观看该节目的人数（单位：千人）如茎叶图所示，但其中一个数字被污损．（1）若将被污损的数字视为0﹣9中10个数字的随机一个，求北方观众平均人数超过南方观众平均人数的概率．（2）该节目的播出极大激发了观众学习中国历史知识的热情，现在随机统计了4位观众每周学习中国历史知识的平均时间y（单位：小时）与年龄x（单位：岁），并制作了对照表（如表所示）：由表中数据分析，x，y呈线性相关关系，试求线性同归方程，并预测年龄为60岁观众每周学习中国历史知识的平均时间．参考公式：．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，底面ABCD为梯形，AB ∥CD，AB＝2DC＝2，且△P AD与△ABD均为正三角形，E为AD的中点，G为△P AD 的重心，AC∩BD＝F（1）求证：GF∥平面PCD；（2）求三棱锥G﹣PCD的体积．20．（12分）已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的准线与x轴交于点k，过点k做圆C：（x﹣5）2+y2＝9的两条切线，切点为．（1）求抛物线E的方程；（2）若直线AB是讲过定点Q（2，0）的一条直线，且与抛物线E交于A，B两点，过定点Q作AB的垂线与抛物线交于G，D两点，求四边形AGBD面积的最小值．21．（12分）已知函数f（x）＝（a∈R）．（1）若a≥0，函数f（x）的极大值为，求实数a的值；（2）若对任意的a≤0，f（x）≤blnx在x∈[2，+∞）上恒成立，求实数b的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A，B为C上两点，且OA⊥OB，设射线OA：θ＝α，其中0＜α＜．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）求|OA|•|OB|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+a|+|x﹣b|．（1）当a＝﹣2，b＝1时，求不等式f（x）＜6的解集；（2）若a＞0，b＞0，f（x）的最小值为1，求的最小值．2018年湖南省衡阳市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数z满足（1+2i）z＝5，则在复平面内z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：（1+2i）z＝5，∴（1﹣2i）（1+2i）z＝5（1﹣2i），∴z＝1﹣2i．则在复平面内z对应的点（1，﹣2）位于第四象限．故选：D．2．（5分）已知集合M＝{x|x＞1}，N＝{x|y＝lg（2x﹣x2）|，则（∁R M）∩N（）A．（1，+∞）B．（0，1]C．[2，+∞）D．[1，+∞）【解答】解：解2x﹣x2＞0得，0＜x＜2；∴N＝{x|0＜x＜2}；∁R M＝{x|x≤1}；∴（∁R M）∩N＝（0，1]．故选：B．3．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“若x2﹣3x﹣4＝0，则x＝﹣1或x＝4”，则其否命题是“若x2﹣3x﹣4≠0，则x ≠﹣1且x≠4”B．a＞0是函数y＝x a在定义域上单调递增的充分不必要条件C．“”是真命题D．若命题p：∀n∈N，3n＞500，则【解答】解：对于A，命题“若x2﹣3x﹣4＝0，则x＝﹣1或x＝4”，其否命题是“若x2﹣3x﹣4≠0，则x≠﹣1且x≠4”，正确；对于B，a＞0时，函数y＝x a在定义域上不一定单调递增，如y＝x2，∴充分性不成立，B错误；对于C，根据幂函数的图象与性质知，∀x∈（﹣∞，0），3x＞4x，∴它的否定是假命题，C错误；对于D，根据命题p：∀n∈N，3n＞500，它的否定是￢p：∃n0∈N，≤500，判断D错误．故选：A．4．（5分）已知样本x1，x2，…，x n的平均数为x；样本y1，y2，…，y m的平均数为y（x≠y），若样本x1，x2，…，x n，y1，y2，…，y m的平均数z＝ax+（1﹣a）y；其中0＜a＜，则n，m（n，m∈N*）的大小关系为（）A．n＝m B．n≥m C．n＜m D．n＞m【解答】解：由样本x1，x2，…，x n的平均数为x，样本y1，y2，…y m的平均数为y，样本x1，x2，…，x n，y1，y2，…y m的平均数z＝ax+（1﹣a）y，其中0＜a＜，∴＝x+y＝ax+（1﹣a）y，∴a＝，又0＜a＜时，1﹣a＞a，∴＞，∴m＞n．故选：C．5．（5分）1927年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想：对于每一个正整数．如果它是奇数，对它乘3再加1，如果它是偶救．对它除以2，这样循环，最终结果都能得到1．虽然该猜想看上去很简单，但有的教学家认为“该猜思任何程度的解决都是现化数学的一大进步”．如图是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图，则①处应填写的条件及输出的结果分别为（）A．a是偶数？；6B．a是偶数？；8C．a是奇数？；5D．a是奇数？；7【解答】解：由题意，判断框①处应填写的条件为判断a是否为奇数．模拟程序的运行，可得：当a＝10时，不满足退出循环的条件，进入循环后，由于a值不满足“a是奇数”，故a＝5，i＝2；当a＝5时，不满足退出循环的条件，进入循环后，由于a值满足“a是奇数”，故a＝16，i ＝3；当a＝16时，不满足退出循环的条件，进入循环后，由于a值不满足“a是奇数”，故a＝8，i＝4；当a＝8时，不满足退出循环的条件，进入循环后，由于a值不满足“a是奇数”，故a＝4，i＝5；当a＝4时，不满足退出循环的条件，进入循环后，由于a值不满足“a是奇数”，故a＝2，i＝6；当a＝2时，不满足退出循环的条件，进入循环后，由于a值不满足“a是奇数”，故a＝1，i＝7；满足退出循环的条件，故输出结果为：7，故选：D．6．（5分）已知函数则下列结论错误的是（）A．f（x）不是周期函数B．f（x）在上是增函数C．f（x）的值域为[﹣1，+∞）D．f（x）的图象上存在不同的两点关于原点对称【解答】解：函数的图象如右：则f（x）不为周期函数，A正确；f（x）在[﹣，+∞）递增，B正确；f（x）的最小值为﹣1，无最大值，则C正确；由于x＜0时，f（x）＝sin x，与原点对称的函数为y＝sin x（x＞0），而sin x＝x在x＞0无交点，则D不正确．故选：D．7．（5分）已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的所有棱中，最短的棱其长为（）A．2B．C．1D．【解答】解：三棱锥的直观图如图所示：P﹣ABC，过点P作PD⊥AC垂足为D，连接BD，由已知可得PD＝2，BD＝2，AC＝1，CD＝1，∴P A＝＝2，PB＝＝2，AB＝＝2，PC＝＝，BC＝＝，∴最短的棱其长为AC＝1，故选：C．8．（5分）设不等式组，表示的平面区域为M，若直线y＝kx﹣2上存在M内的点，则实数k的取值范围是（）A．[1，3]B．（﹣∞，1]∪[3，+∞）C．[2，5]D．（﹣∞，2]∪[5，+∞）【解答】解：由不等式组，作出可行域如图，如图．因为函数y＝kx﹣2的图象是过点A（0，﹣2），且斜率为k的直线l，由图知，当直线l过点B（1，3）时，k取最大值＝5，当直线l过点C（2，2）时，k取最小值＝2，故实数k的取值范围是[2，5]．故选：C．9．（5分）已知正四棱锥P﹣ABCD的各条棱长均为2，则其外接球的表面积为（）A．4πB．6πC．8πD．16π【解答】解：如图，设正四棱锥底面的中心为O，则在直角三角形ABC中，AC＝×AB＝2，∴AO＝CO＝，在直角三角形P AO中，PO＝，∴正四棱锥的各个顶点到它的底面的中心的距离都为，∴正四棱锥外接球的球心在它的底面的中心，且球半径r＝，球的表面积S＝4πr2＝8π，故选：C．10．（5分）在等差数列{a n}中，﹣1＜＜0，若它的前n项和S n有最大值，则当S n＞0时，n的最大值为（）A．11B．12C．13D．14【解答】解：∵数列{a n}是等差数列，它的前n项和S n有最大值，∴公差d＜0，首项a1＞0，{a n}为递减数列，∵﹣1＜＜0，∴a6•a7＜0，a6+a7＞0，由等差数列的性质知：2a6＝a1+a11＞0，a7＜0．a6+a7＝a1+a12＞0，∵S n＝，∴S n＞0时，n的最大值为12．故选：B．11．（5分）设双曲线的右顶点为A，右焦点为F（c，0），弦PQ 的过F且垂直于x轴，过点P，Q分别作直线AP，AQ的垂线，两垂线交于点B，若B 到直线PQ的距离小于2（a+c），则该双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，）B．（，+∞）C．（0，）D．（2，）【解答】解：由题意，B在x轴上，P（c，），Q（c，﹣），∴k AQ＝，∴k BP＝﹣，直线BP的方程为y﹣＝﹣（x﹣c），令y＝0，可得x＝+c，∵B到直线PQ的距离小于2（a+c），∴﹣＜2（a+c），∴b＜a，∴c＜，∴e＜，∵e＞1，∴1，故选：A．12．（5分）已知ω＞0，a＞0，f（x）＝a sinωx+a cosωx，g（x）＝2cos（ax+），h（x）＝这3个函数在同一直角坐标系中的部分图象如图所示，则函数g（x）+h（x）的图象的一条对称轴方程可以为（）A．x＝B．x＝C．x＝﹣D．x＝﹣【解答】解：∵f（x）＝a sinωx+a cosωx＝2a sin（ωx+），g（x）＝2cos（ax+），又由函数图象可知，三函数的最大值均为2，可得：a＝1，∴f（x）＝2sin（ωx+），g（x）＝2cos（x+），由图象可知，f（x）的周期为π，∴ω＝2h（x）＝＝＝2sin（x+），那么函数g（x）+h（x）＝2cos（x+）+2sin（x+）＝sin（x+）＝2sin （x）．令x＝，（k∈Z）可得对称轴方程为x＝，当k＝﹣2时，可得x＝﹣．故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点E为BC的中点，点F为CD的中点，则的值是0．【解答】解：根据条件：，；∴．故答案为：0．14．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则∠C的大小为．【解答】解：在△ABC中，∵，∴由正弦定理可得：＝2sin C，∴由余弦定理可得：cos C＝＝＝sin C，∴sin（C﹣）＝0，可得：sin（C﹣）＝0，∵C∈（0，π），C﹣∈（﹣，），∴C﹣＝0，可得：C＝．故答案为：．15．（5分）函数y＝a x（a＞1）的图象与二次函数y＝x2的图象恰有两个不同的交点，则实数a的值是．【解答】解：当x≤0时，函数y＝a x（a＞1）的图象与二次函数y＝x2的图象有1个交点，设当x＞0时，y＝a x（a＞1）与y＝x2相切于A（x0，），则有y′＝a x lna，y′＝2x，故lna＝2，∵＝，∴x0lna＝2lnx0，∴2lnx0＝2，∴x0＝e，∴elna＝2，∴a＝，故答案为：．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆，圆，在圆O2内存在一定点M，过M的直线l被圆O1，圆O2截得的弦分别为AB，CD，且，则定点M的坐标为（0，）．【解答】解：如图，圆O1的圆心坐标为O1（0，0），半径为3，圆O2的圆心坐标为O2（0，6），半径为4，由题意可知，直线l的斜率存在，设直线方程为y＝kx+b，即kx﹣y+b＝0．则|AB|＝2，|CD|＝2，由，得，即7b2+108b﹣324＝0．解得b＝或b＝﹣18．∵M在圆O2内，∴定点（0，b）为（0，）．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知各项均不为零的数列{a n}的前n项和为S n，且对任意的n∈N*，满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足a n b n＝log4a n，数列{b n}的前n项和为T n，求证：．【解答】解：（1）当n＝1时，a1＝S1＝a1（a1﹣1），a1≠0，解得a1＝4．∵S n＝（a n﹣1），∴当n≥2时，S n﹣1＝（a n﹣1﹣1），两式相减得a n＝4a n﹣1，∴数列{a n}是首项为4，公比为4的等比数列，∴a n＝4n，当n＝1时，也成立，∴a n＝4n．（2）证明：∵数列{b n}满足a n b n＝log4a n＝n，∴b n＝，∴T n＝1×（）1+2×（）2+3×（）3+…+n×（）n，T n＝1×（）2+2×（）3+3×（）4+…+n×（）n+1，两式相减得：T n＝+（）+（）3+…+（）n﹣n×（）n+1＝＝﹣∴T n＝﹣＜．18．（12分）《赢在博物馆》是中央电视台于2018春节期间推出的全国首档大型益智类博物馆文物知识节目，中央电视台为了解该节目的收视情况，抽查北方与南方各5个城市，得到观看该节目的人数（单位：千人）如茎叶图所示，但其中一个数字被污损．（1）若将被污损的数字视为0﹣9中10个数字的随机一个，求北方观众平均人数超过南方观众平均人数的概率．（2）该节目的播出极大激发了观众学习中国历史知识的热情，现在随机统计了4位观众每周学习中国历史知识的平均时间y （单位：小时）与年龄x （单位：岁），并制作了对照表（如表所示）：由表中数据分析，x ，y 呈线性相关关系，试求线性同归方程，并预测年龄为60岁观众每周学习中国历史知识的平均时间．参考公式：．【解答】解：（1）设被污损的数字为a ，则a 的可能取值有10种情况； 令88+89+90+91+92＞83+83+87+90+a +99，解得a ＜8，北方各城市观看该节目观众平均人数超过南方各城市观看该节目观众平均人数，有8种情况， 所以北方观众平均人数超过南方观众平均人数的概率为＝；（2）由题意可知＝×（20+30+40+50）＝35， ＝×（2.5+3+4+4.5）＝3.5，x i y i ＝20×2.5+30×3+40×4+50×4.5＝525，＝202+302+402+502＝5400；所以＝＝，＝﹣＝3.5﹣×35＝，所以＝x+；当x＝60时，＝×60+＝＝5.25（小时）；预测60岁观众的学习中国历史的时间为5.25小时．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，底面ABCD为梯形，AB ∥CD，AB＝2DC＝2，且△P AD与△ABD均为正三角形，E为AD的中点，G为△P AD 的重心，AC∩BD＝F（1）求证：GF∥平面PCD；（2）求三棱锥G﹣PCD的体积．【解答】证明：（1）连接AG并延长与PD交于H，连接CH∵AB∥CD，∴△DFC∽△AFB，∴AF：FC＝AB：DC＝2：1∵G是△P AD的重心，∴AG：GH＝2：1∴GF∥HC∵HC⊂平面PCD，GF⊄平面PCD，∴GF∥平面PCD；（2）∵△P AD与△ABD均为正三角形，E为AD的中点，∴PE⊥AD，∵平面P AD⊥平面ABCD，∴PE⊥平面ABCD，∵AB＝2DC＝2，∴PE＝3，∵底面ABCD为梯形，AB∥CD，∴＝，∴＝，三棱锥G﹣PCD的体积V G﹣PCD＝＝．20．（12分）已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的准线与x轴交于点k，过点k做圆C：（x﹣5）2+y2＝9的两条切线，切点为．（1）求抛物线E的方程；（2）若直线AB是讲过定点Q（2，0）的一条直线，且与抛物线E交于A，B两点，过定点Q作AB的垂线与抛物线交于G，D两点，求四边形AGBD面积的最小值．【解答】解：（1）根据题意，抛物线的E的方程为y2＝2px（p＞0），则设MN与x轴交于点R，由圆的对称性可知，．于是，所以∠CMR＝30°，∠MCR＝60°，所以|CK|＝6，所以p＝2．故抛物线E的方程为y2＝4x．（2）设直线AB的方程为x＝my+2，设A＝（x1，y1），B＝（x2，y2），联立得y2﹣4my﹣8＝0，则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣8．∴设G＝（x3，y3），D＝（x4，y4），同理得，则四边形AGBD的面积＝令，则是关于μ的增函数，故S min＝48，当且仅当m＝±1时取得最小值48．21．（12分）已知函数f（x）＝（a∈R）．（1）若a≥0，函数f（x）的极大值为，求实数a的值；（2）若对任意的a≤0，f（x）≤blnx在x∈[2，+∞）上恒成立，求实数b的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）＝＝＝，a＝0时，f′（x）＝，∴x＝1时函数f（x）取得极大值f（1）＝≠，舍去．a＞0，f′（x）＝，＜1．∴x＝1时函数f（x）取得极大值f（1）＝＝，解得a＝1．（2）令g（a）＝e﹣x（x2+1）a+xe﹣x，a∈（﹣∞，0]，当x∈[0，+∞）时，e﹣x（x2+1）≥0，则g（a）≤blnx对∀a∈（﹣∞，0]恒成立等价于g（a）≤g（0）≤blnx，即xe﹣x≤blnx，对x∈[2，+∞）恒成立．（ⅰ）当b≤0时，∀x∈[2，+∞），blnx＜0，xe﹣x＞0，此时xe﹣x＞blnx，不合题意．（ⅱ）当b＞0时，令h（x）＝blnx﹣xe﹣x，x∈[2，+∞），则h'（x）＝﹣（e﹣x﹣xe﹣x）＝，其中xe x＞0，∀x∈[2，+∞），令p（x）＝be x+x2﹣x，x∈[2，+∞），则p（x）在区间[2，+∞）上单调递增，p（x）≥p（2）＝be2+2＞0，所以对∀x∈[2，+∞），h'（x）≥0，从而h（x）在[2，+∞）上单调递增，所以对∀x∈[2，+∞），h（x）≥h（2）＝bln2﹣≥0，解得：b≥．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A，B为C上两点，且OA⊥OB，设射线OA：θ＝α，其中0＜α＜．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）求|OA|•|OB|的最小值．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（φ为参数）化为直角坐标方程为：．再转化为极坐标方程为：．（2）根据题意：射线O的极坐标方程为或所以：|OA|＝，＝，所以：|OA||OB|＝ρ1ρ2＝，当且仅当sin2α＝cos2α，即时，函数的最小值为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+a|+|x﹣b|．（1）当a＝﹣2，b＝1时，求不等式f（x）＜6的解集；（2）若a＞0，b＞0，f（x）的最小值为1，求的最小值．【解答】解：（1）当a＝﹣2，b＝1时，f（x）＝|2x﹣2|+|x﹣1|＝3|x﹣1|，f（x）＜6，即|x﹣1|＜2，∴f（x）＜6的解集为{x|﹣1＜x＜3}；（2）当a＞0，b＞0时，，，当时，f（x）min＝1，即，∴a+2b＝2，∴+＝+＝2++≥2+2＝4，当且仅当a＝2b时“＝”成立．。

2017年下期高三年级第二次月考试卷理数（试题卷）注意事项：1.本卷为衡阳八中高三年级实验班第二次月考试卷，分两卷。

其中共22题，满分150分，考试时间为120分钟。

2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。

开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。

3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm 签字笔书写。

考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。

★预祝考生考试顺利★第I卷选择题（每题5分，共60分）本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。

1.已知全集N=Z，集合A={﹣1，1，2，3，4}，B={﹣2，﹣1，0，1，2}，则（∁U A）∩B=（）A．{3，4} B．{﹣2，3} C．{﹣2，4} D．{﹣2，0}2.设i为虚数单位，复数（2﹣i）z=1+i，则z的共轭复数在复平面中对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3.已知α为锐角，cos（α+）=，则sinα=（）A．B．C．D．4.已知0＜a＜1，x=log a+log a，y=log a5，z=log a﹣log a，则（）A．x＞y＞z B．z＞y＞x C．y＞x＞z D．z＞x＞y5.若函数f（x）=x2+x﹣lnx+1在其定义域的一个子区间（2k﹣1，k+2）内不是单调函数，则实数k的取值范围是（）A．（﹣，）B．[，3）C．（﹣，3）D．[，）6.成书于公元五世纪的《张邱建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中记载有很多数列问题，如“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．问日益几何．”意思是：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加（）（其中1匹=4丈，1丈=10尺，1尺=10寸）A．5寸另寸B．5寸另寸C．5寸另寸D．5寸另寸7.设点P（x，y）在不等式组表示的平面区域上，则z=的最小值为（）A．1 B．C．2 D．8.若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是（）A．2cm2B． cm3C．3cm3D．3cm39.已知对任意实数k＞1，关于x的不等式在（0，+∞）上恒成立，则a的最大整数值为（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣310.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n=（）A．2 B．3 C．4 D．511.直线l与抛物线y2=6x交于A，B两点，圆（x﹣6）2+y2=r2与直线l相切于点M，且M为线段AB的中点．若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）A．（，2）B．（，3）C．（3，）D．（3，3）12.函数y=4cosx﹣e|x|（e为自然对数的底数）的图象可能是（）A．B．C． D．第II卷非选择题（共90分）二.填空题（每题5分，共20分）13.二项式的展开式中常数项是．14.在△ABC中，∠C=45°，O是△ABC的外心，若=m+n(m，n∈R)，则m+n的取值范围为．15.在三棱柱ABC﹣A1B1C1中侧棱垂直于底面，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，且三棱柱ABC ﹣A1B1C1的体积为3，则三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的表面积为．16.设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以线段F1，F2为直径的圆O与双曲线的一个交点为P，与y轴交于B，D两点，且与双曲线的一条渐近线交于M，N两点，则下列命题正确的是．（写出所有正确的命题编号）①线段BD是双曲线的虚轴；②△PF1F2的面积为b2；③若∠MAN=120°，则双曲线C的离心率为；④△PF1F2的内切圆的圆心到y轴的距离为a．三.解答题（共6题，共70分）17.（本题满分12分）设函数f（x）=sinx（cosx﹣sinx）．（1）求函数f（x）在[0，π]上的单调递增区间；（2）设△ABC的三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且f（B）=0，a、b、c成公差大于零的等差数列，求的值．18.（本题满分12分）如图，边长为3的正方形ABCD所在平面与等腰直角三角形ABE所在平面互相垂直，AE⊥AB，且，．（Ⅰ）求证：MN∥平面BEC；（Ⅱ）求二面角N﹣ME﹣C的大小．19.（本题满分12分）微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）．为了调查每天微信用户使用微信的时间情况，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性微信用户各50名．其中每天玩微信时间超过6小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如表：（1）根据以上数据，能否有60%的把握认为“微信控”与“性别”有关？（2）现从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜1份，求所抽取的5人中“微信控”和“非微信控”的人数；（3）从（2）中抽选取的5人中再随机抽取3人赠送价值200元的护肤品套装，记这3人中“微信控”的人数为X ，试求X 的分布列及数学期望． 参考公式：，其中n=a+b+c+d ．20.（本题满分12分） 已知椭圆C ：=1（a ＞b ＞0），定义椭圆C 上的点M （x 0，y 0）的“伴随点”为．（1）求椭圆C 上的点M 的“伴随点”N 的轨迹方程； （2）如果椭圆C 上的点（1，）的“伴随点”为（，），对于椭圆C 上的任意点M 及它的“伴随点”N，求的取值范围；（3）当a=2，b=时，直线l交椭圆C于A，B两点，若点A，B的“伴随点”分别是P，Q，且以PQ为直径的圆经过坐标原点O，求△OAB的面积．21.（本题满分12分）已知函数f（x）=x2﹣ax（a≠0），g（x）=lnx，f（x）的图象在它与x轴异于原点的交点M处的切线为l1，g（x﹣1）的图象在它与x轴的交点N处的切线为l2，且l1与l2平行．（1）求a的值；（2）已知t∈R，求函数y=f（xg（x）+t）在x∈[1，e]上的最小值h（t）；（3）令F（x）=g（x）+g′（x），给定x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，对于两个大于1的正数α，β，存在实数m满足：α=mx1+（1﹣m）x2，β=（1﹣m）x1+mx2，并且使得不等式|F（α）﹣F（β）|＜|F（x1）﹣F（x2）|恒成立，求实数m的取值范围．选做题请考生从22、23题中任选一题作答，并将所选题号在答题卡上填涂，共10分。

长铁一中2018届高三第二次阶段性测试数学（理）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}()(){}2,1,0,1,2,|130A B x x x =--=-+<，则A B =I （ ） A ．{}2,1,0-- B ．{}0,1 C ．{}1,0,1- D ．{}0,1,2 2.若复数321z i=+，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部是（ ） A ．-1 B ．i - C ．1 D ．i3.已知,αβ均为第一象限的角，那么αβ>是sin sin αβ>的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.若,x y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则1y x -的取值范围为（ ）A.10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. []0,2D.[]1,25. 已知双曲线x2a2－y25＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于( )A.31414 B.324 C.32 D.436、下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14，18，则输出的a ＝( ) A ．0 B ．2 C ．4 D ．147、若△ABC 中，AC ＝3，A ＝45°，C ＝75°，则BC ＝（ ）． A ．23 D ．28.设首项为1，公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )A ．S n ＝2a n －1B ．S n ＝3a n －2C ．S n ＝4－3a nD ．S n ＝3－2a n 9设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( )A ．a>c>bB ．b>c>aC ．c>b>aD ．c>a>b10.某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积（ ）A ．323 B ．643C ．16D ．32 11.抛物线28y x =的焦点为F ，设11(,)A x y ，22(,)B x y 是抛物线上的两个动点，若122343x x AB ++=，则AFB ∠的最大值为（ ） A ．3πB ．34πC ．56πD ．23π12、已知对任意x>1，f(x)=lnx+3xk+1-k 大于零恒成立，若k ∈z ，则k 的最大值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.在多项式6(12)x +的展开式中，2x 项的系数为 ． 14. 观察下列不等式1＋122<32， 1＋122＋132＜53， 1＋122＋132＋142＜74， ……照此规律，第五个．．．不等式为________． 15.若tan 3tan αβ=，其中02πβα<≤<，则αβ-的最大值为 .16、点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，AB=BC=2，2，若四面体ABCD 体积的最大值为43，则该球的表面积为 。

2018届高考理科数学二调试卷（衡水有答案和解释）
5 c 4坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系x中，曲线c1的参数方程为（φ为参数），曲线c2的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数），在以为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线lθ=α与c1，c2各有一个交点，当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α= 时，这两个交点重合．
（Ⅰ）分别说明c1，c2是什么曲线，并求a与b的值；
（Ⅱ）设当α= 时，l与c1，c2的交点分别为A1，B1，当α=﹣时，l与c1，c2的交点分别为A2，B2，求直线A1 A2、B1B2的极坐标方程．
[选修4-5不等式选讲]
23．设函数f（x）=|x﹣a|，a＜0．
（Ⅰ）证明f（x）+f（﹣）≥2；
（Ⅱ）若不等式f（x）+f（2x）＜的解集非空，求a的取值范围．
4坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系x中，曲线c1的参数方程为（φ为参数），曲线c2的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数），在以为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线lθ=α与c1，c2各有一个交点，当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α= 时，这两个交点重合．
（Ⅰ）分别说明c1，c2是什么曲线，并求a与b的值；
（Ⅱ）设当α= 时，l与c1，c2的交点分别为A1，B1，当α=﹣时，l与c1，c2的交点分别为A2，B2，求直线A1 A2、B1B2的极。