广义高斯模型

基于广义柯西分布的最大后验准则频谱估计方法作者：宋俊才张曙来源：《现代电子技术》2010年第07期摘要:经典的频谱估计方法和现代的频谱估计方法在低信噪比及小数据量的情况下,谱估计的分辨率和方差性能不能满足实际应用需要。

因此,提出一种高分辨率、高精度DFT变换的新方法,此方法特别适用于线性频谱的估计。

该方法基于最大后验概率准则,建立广义柯西-高斯分布模型,克服了短数据情况下的DFT变换分辨率低的缺点,具有收敛快、频率分辨率高、频率精度高的优点。

计算机仿真结果证实了新方法的有效性。

关键词:最大后验概率; 离散傅里叶变换; 频谱估计; 广义柯西分布中图分类号:TN911.6 文献标识码:A文章编号:1004-373X(2010)07-0017-04New Method for Spectrum Estimation Based on Generalized Cauchy Distribution and MAPSONG Jun-cai, ZHANG Shu(College of Information and Communication Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China)Abstract: In the low SNR and small amount of data, the resolution and variance performance of spectral estimation can not meet the actual requirement by using classical or modern spectrum estimation methods. Therefore, a new high-resolution and high-precision method of DFT transform is proposed. It is suitable for estimation of linear spectra. Based on maximum a posteriori probability criterion, a generalized Cauchy-Gaussian distribution model to overcome the low resolution of DFT in the case of short data is established. The proposed method has advantages of fast convergence, high efficiency and high accuracy.The results of computer simulation show that the novel method is effective.Key words: maximum a posterior probability; discrete Fourier transform; spectrum estimation; generalized Cauchy distribution0 引言信号的频谱分析是研究信号特征的重要手段之一,该技术在雷达、通信、震动、地震信号处理及电子监测领域有着广泛的应用。

基于广义柯西分布的最大后验准则频谱估计方法作者：宋俊才张曙来源：《现代电子技术》2010年第07期摘要:经典的频谱估计方法和现代的频谱估计方法在低信噪比及小数据量的情况下,谱估计的分辨率和方差性能不能满足实际应用需要。

因此,提出一种高分辨率、高精度DFT变换的新方法,此方法特别适用于线性频谱的估计。

该方法基于最大后验概率准则,建立广义柯西-高斯分布模型,克服了短数据情况下的DFT变换分辨率低的缺点,具有收敛快、频率分辨率高、频率精度高的优点。

计算机仿真结果证实了新方法的有效性。

关键词:最大后验概率; 离散傅里叶变换; 频谱估计; 广义柯西分布中图分类号:TN911.6 文献标识码:A文章编号:1004-373X(2010)07-0017-04New Method for Spectrum Estimation Based on Generalized Cauchy Distribution and MAPSONG Jun-cai, ZHANG Shu(College of Information and Communication Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China)Abstract: In the low SNR and small amount of data, the resolution and variance performance of spectral estimation can not meet the actual requirement by using classical or modern spectrum estimation methods. Therefore, a new high-resolution and high-precision method of DFT transform is proposed. It is suitable for estimation of linear spectra. Based on maximum a posteriori probability criterion, a generalized Cauchy-Gaussian distribution model to overcome the low resolution of DFT in the case of short data is established. The proposed method has advantages of fast convergence, high efficiency and high accuracy.The results of computer simulation show that the novel method is effective.Key words: maximum a posterior probability; discrete Fourier transform; spectrum estimation; generalized Cauchy distribution0 引言信号的频谱分析是研究信号特征的重要手段之一,该技术在雷达、通信、震动、地震信号处理及电子监测领域有着广泛的应用。

广义线性混合模型在预测中的应用研究广义线性混合模型（GLMM）是一种非常强大的统计方法，因其在具有分层结构的数据分析中具有很高的适应性和灵活性而备受研究者关注。

它将固定效应和随机效应结合在一起，可以应用于各种各样的数据类型，例如二项式数据、计数数据、高斯混合数据等。

多年来，GLMM已经应用于各种领域的实际问题，包括生态学、医学、心理学、经济学等。

本文将介绍GLMM的统计基础和在预测中的应用研究。

GLMM的基本要素广义线性混合模型是广义线性模型（GLM）和线性混合模型（LMM）的自然扩展。

它们可以用不同的方式来描述，但是他们有一些相同的基本要素：·响应变量：指需研究的变量，如二项式数据中观察到的成功次数或失败次数，计数数据中观察到的计数值，高斯混合数据中观察到的连续型数值等。

·固定效应（样本效应）：指影响响应变量的因素，且每个因素有一个确定的参数。

这些参数可以解释各种因素与响应变量之间的关系。

·随机效应（个体效应）：指在数据中存在的组成层次结构，通常表现为对数据的组织形式没有意义的变量。

如果每个组件（如数据中的每个观察值）都具有不同的变化性，那么这些变化将归因于随机效应。

随机效应的参数通常无法为每个组件提供具体值的解释。

相反，随机效应通常旨在捕获对数据中的变异性所做出的贡献。

为此，GLMM的数学表达式可以用广义线性模型（GLM）的形式，加上一个可扩展的随机效应（LMM），如下所示：Y_i | b_i ~ f(θ_i) , b_i ~ N(0, D)θ_i = X_i β + Z_i b_i其中，Y_i是i观察结果的反应变量，b_i是该观测值的扰动项，~ f(θ_i)是Y_i的条件分布，即反应变量的概率分布函数(pdf)，N(0, D)是扰动项b_i的高斯分布，θ_i是反应变量模型的线性预测器，并且X_i和Z_i是对应于固定因子和随机因子的设计矩阵，β是固定效应系数，如斜率或拦截值，而 b_i 是随机效应系数。

一种广义高斯分布形状参数的快速估计算法董阳武【摘要】广义高斯分布(GGD)在信号处理和图像处理等领域都有着广泛的应用.GGD形状参数的估计通常采用极大似然法和矩估计法.用极大似然法估计形状参数计算复杂、计算量大.用矩估计法的一阶和二阶绝对矩估计可减轻计算的复杂性,但反函数的解析形式很难得到,需要迭代计算,计算效率很低.文中提出了一种基于反函数曲线拟合的GGD形状参数估计方法,在[0.1,2.5]区间与其它现有方法相比具有函数形式简单(仅具有7个系数)、估计精度高、计算简便快速等优点.【期刊名称】《矿山测量》【年(卷),期】2012(000)005【总页数】4页(P45-48)【关键词】广义高斯分布;形状参数估计;极大似然法;矩估计法【作者】董阳武【作者单位】山西煤炭职业技术学院地测工程系,太原030031【正文语种】中文【中图分类】P208广义高斯分布(GGD Generalized Gaussian distribution)在信号处理和图像处理等领域都有广泛的应用，如在图像处理中，它被用于对 Discrete cosine transform(DCT)变换和小波变换系数建模。

Müller通过对GGD和Laplacian distribution(LD)比较发现前者较适合拟合 DCT交流系数［1］;DCT变换、Discrete Wavelet Transform(DWT)变换、Discrete Fourier Transform(DFT)变换的系数都可用GGD来描述［2］;Hernendez等人以GGD为模型提出DCT变换域加嵌入水印的检测方法［3］;Joshi和Fischer采用形状参数为0.5 和 0.6 的GGD 来拟合 DCT 交流系数［1］。

Mallat提出用 GGD 来拟合图像直方图［4］;Aiazzi等用形状参数为［0.4，1］范围内的GGD来拟合高频小波变换系数［1］;Chang等人也以GGD作为图像小波系数的先验模型［5］。

gmm高斯模型推导全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：GMM (Gaussian Mixture Model)高斯混合模型是一种常用的概率模型，用于对数据进行聚类和密度估计。

它假设数据是由若干个高斯分布组成的混合分布生成的，每个高斯分布对应一个聚类，每个数据点的生成过程由各个高斯分布按一定概率加权组成。

本文将从GMM 的基本理论出发，逐步推导GMM的EM算法，以及参数的估计和模型的选择。

GMM的基本理论包括数学描述和模型假设。

假设我们有N个数据点x_1, x_2, \cdots, x_N，每个数据点有D个维度。

GMM假设这些数据由K个高斯分布组成，每个高斯分布对应一个聚类，表示为\{ \pi_k, \mu_k, \Sigma_k \}_{k=1}^{K}，其中\pi_k是第k个高斯分布的混合系数，\mu_k是第k个高斯分布的均值向量，\Sigma_k 是第k个高斯分布的协方差矩阵。

GMM模型的概率密度函数定义如下：p(x) = \sum_{k=1}^{K} \pi_k \mathcal{N}(x|\mu_k, \Sigma_k)其中\mathcal{N}(x|\mu, \Sigma)表示多维高斯分布的概率密度函数。

每个高斯分布的参数需要满足以下条件：\mu_k \in \mathbb{R}^D, \Sigma_k \in \mathbb{R}^{D\times D}, \Sigma_k \succ 0接下来我们将推导GMM的EM算法。

EM算法是一种迭代优化算法，用于估计含有隐变量的概率模型的参数。

GMM中的隐变量是数据点的类别，即数据点属于哪一个高斯分布的概率最大。

EM算法的基本思路是通过迭代优化求解下面的似然函数极大化问题：具体来说，EM算法分为两步：E步和M步。

在E步中，我们计算数据点属于各个高斯分布的后验概率，即第n个数据点属于第k个高斯分布的概率：迭代E步和M步直到模型参数收敛，即对数似然函数的收敛差值小于一个给定的阈值。

Gaussian的简介：Gaussian是做半经验计算和从头计算使用最广泛的量子化学软件，可以研究：分子能量和结构，过渡态的能量和结构化学键以及反应能量，分子轨道，偶极矩和多极矩，原子电荷和电势，振动频率，红外和拉曼光谱，NMR，极化率和超极化率，热力学性质，反应路径。

计算可以模拟在气相和溶液中的体系,模拟基态和激发态。

Gaussian 03还可以对周期边界体系进行计算。

Gaussian是研究诸如取代效应,反应机理,势能面和激发态能量的有力工具。

功能①基本算法②能量③分子特性④溶剂模型Gaussian03新增加的内容①新的量子化学方法②新的分子特性③新增加的基本算法④新增功能（1）基本算法可对任何一般的收缩gaussian函数进行单电子和双电子积分。

这些基函数可以是笛卡尔高斯函数或纯角动量函数多种基组存储于程序中，通过名称调用。

积分可储存在内存，外接存储器上，或用到时重新计算对于某些类型的计算，计算的花费可以使用快速多极方法(FMM)和稀疏矩阵技术线性化。

将原子轨(AO)积分转换成分子轨道基的计算，可用的方法有in-core（将AO积分全部存在内存里），直接（不需储存积分），半直接（储存部分积分），和传统方法（所有AO积分储存在硬盘上）。

（2）能量使用AMBER，DREIDING和UFF力场的分子力学计算。

使用CNDO, INDO, MINDO/3, MNDO, AM1，和PM3模型哈密顿量的半经验方法计算。

使用闭壳层(RHF)，自旋非限制开壳层(UHF)，自旋限制开壳层(ROHF) Hartree-Fock波函数的自洽场SCF)计算。

使用二级，三级，四级和五级Moller-Plesset微扰理论计算相关能。

MP2计算可用直接和半直接方法，有效地使用可用的内存和硬盘空间用组态相互作用(CI)计算相关能，使用全部双激发(CID)或全部单激发和双激发(CISD)。

双取代的耦合簇理论(CCD)，单双取代耦合簇理论(CCSD)，单双取代的二次组态相互作用(QCISD), 和Brueckner Doubles理论。

α稳定分布综述周涛;王嘉【摘要】介绍了a稳定分布的基本理论、理论发展动因以及它的主要应用,并着重对几种主要的参数估计方法进行了论述,介绍了几种典型的参数估计方法.【期刊名称】《电声技术》【年(卷),期】2011(035)003【总页数】4页(P57-60)【关键词】α稳定分布;参数估计;信号处理【作者】周涛;王嘉【作者单位】上海交通大学图像通信与信息处理研究所,上海,200240;上海交通大学图像通信与信息处理研究所,上海,200240【正文语种】中文【中图分类】TN911.721 引言信号处理发展至今，其中大多数理论和技术成果仍然是在随机信号服从高斯分布的假设下取得的。

这种假设在很多情况下是合理的，符合中心极限定理，可使信号处理的算法趋于简单，且便于进行解析的理论分析。

然而在实际应用中，大量的信号或噪声具有显著的尖峰脉冲特性。

研究表明，水下声呐采集的信号[1]、雷达和卫星通信中的接收噪声[2]以及许多生物医学信号[3]都显示出这种尖峰脉冲特性以及显著的拖尾特性，但是高斯分布模型并不能很好地描述这些信号和噪声的统计特性。

α稳定分布是非常重要的非高斯分布，能很好地描述这种尖峰脉冲特性以及严重的拖尾特性。

近年来，α稳定分布受到国际信号处理学术界极大的关注和广泛深入的研究，并且在水声及雷达信号处理、语音信号处理、时间延迟估计、生物医学信号处理及其他许多领域得到了广泛的关注。

2 α稳定分布的基本理论及发展动因α稳定分布的概念是由利维（Levy）于1925年在研究广义中心极限定理时提出的。

80年来，α稳定分布理论在数学界得到了广泛的重视和发展，但这个概念几乎没有引起信号处理领域的关注，其在信号处理中的应用主要受到2个因素的限制：除了高斯分布、柯西分布和皮尔森分布等少数几种情况外，α稳定分布概率函数和分布函数均没有显式表达式；所有非高斯α稳定分布均没有有限的二阶矩。

然而二阶矩或方差通常是与功率的概念密切相关的，无限的二阶矩意味着无限的功率，这就进一步限制了α稳定分布在信号处理中的应用。

gauss超几何函数的导数和广义legendre关系高斯超几何函数和广义Legendre关系是重要的数学理论，这两者之间存在着密切的关系。

本文将介绍高斯超几何函数和广义Legendre关系之间的关系，以及它们的导数。

首先，我们来介绍高斯超几何函数。

高斯超几何函数（Gaussian Hypergeometric Function）是一类特殊的函数，它的定义域为实数或实数的复数部分，它使用两个参数a和b来描述它的特性。

式中的a和b分别表示两个不同的参数，用于描述函数的特性。

高斯超几何函数的表达式为：F(a,b;z)=∫0zt^(a−1)(1−t)^(b−1)dt 其次，我们要介绍广义Legendre关系。

它描述了特定函数的特性，广义Legendre关系可以用如下表达式来表示： P_n^(a,b) (x)= (1-x)^a(1+x)^bΣ_(k=0)^n(−1)^k(^nC_k) (2k+a+b)_(2k) x^(2k)最后，我们来讨论高斯超几何函数和广义Legendre关系之间的关系。

它们之间的关系可以表示为：F(a,b;z)=(1−z)^a(1+z)^bΣ_(k=0)^n(−1)^k(^nC_k) (2k+a+b)_(2k)z^(2k)可以看出，高斯超几何函数和广义Legendre关系之间的关系是非常密切的。

其中，高斯超几何函数的导数可以用如下表达式表示：F′(a,b;z)=(1−z)^(a−1)(1+z)^(b−1)Σ_(k=0)^n(−1)^k(^nC_k)(2k+a+b)_(2k+1) z^(2k)从上面的表达式可以看出，在求高斯超几何函数的导数时，只需把a减1，b减1，即可得到结果。

综上所述，高斯超几何函数和广义Legendre关系之间存在着密切的关系，它们的关系可以用相应的表达式来表示。

此外，高斯超几何函数的导数也可以用相应的表达式来求得。

第ｌ５卷第２期　纺织高校基础科学学报　２　０　０２年６月　ＢＡＳＩＣ　ＳＣＩＥＮＣＥＳ　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＴＥＸＴＩＬＥ　ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＩＥＳ　Ｖｏ１．１５．ＮＯ．２　

Ｊｕｎ．，２００２　

广义二次高斯和及它的四次均值公式　姚维利　（延安大学数学与计算机科学系，陕西延安７１６０００）　

摘要：给出了广义二次高斯和的四次均值的一个精确的计算公式．　关键词：广义二次高斯和；均值；计算公式　中图分类号：Ｏ　１５６．４　文献标识码：Ａ　文章编号：１００６—８３４１（２００２）０２—０１０２—０４　

１　引言和结论　设ｇ≥３为素数，　表示模ｇ的Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ特征，则高斯和Ｇ（ｍ，　）及二次高斯和Ｇ（ｍ，ｇ）的定义为：　

Ｇ（　）一∑　）ｅ（　），　和　ａ＝ｌ　

・　Ｇ　）一　ｅ（　），　其中　ｅ（　）一ｅｘｐ（２ｎｉｙ）．这两个和式在解析数论研究中占有非常特殊的位置．因而引起了解析数论　专家们的重视和兴趣．文献［１］的作者引入了广义二次高斯和　

Ｇ　）一　）ｅ（　）．　

并给出了其四次均值的计算公式：　

Ｘ∑ｍｏｄｐ－Ｇｃ　，　，　－　＝　｛（　ｐ—－—　）　（３　ｐ　２—－—６　ｐ—－—　＋，４（ｎ／ｐ）√ｇ　’若　ｐ三￣；３１　（ｍ。ｏｄ４　）．；　

除此之外，对这一方面的内容我们则知之甚少，本文作者对文献Ｅｌ－Ｉ中的内容进行了推广和延伸，　利用特征和估计及三角和的方法给出了下面的结论：　定理ｌ设　为素数．７／，为任意与　互素之整数，　为模　的Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ特征，则有　∑Ｉ　Ｇ（ｎ，　，　）Ｉ　一（　—１）　（４ｐ　＋　一２ｐ＋１）．　（１）　Ｘｍｏｄ，２　另外，当七≥３时是否存在２ｋ次均值∑Ｉａ（ｎ，　，　）ｌ　的计算公式是一个没有解决的数论问题．　

・收稿日期：２００２—０３—２８　基金项目：陕西省教委专项基金资助项目（９９ＪＫ０９７）；陕西省自然科学基金资助项目（２０００ＳＬ０５）　作者简介：姚维利（１９７７一），女，陕西省礼泉县人，延安大学数论专业在读硕士生．　

逻辑回归和高斯判别分析的异同
1逻辑回归与高斯判别分析
逻辑回归和高斯判别分析（GDA）都属于分类任务，它们是用来解决分类问题的，但是它们之间还是有很大区别的。

1.1逻辑回归
逻辑回归是一种广义线性模型，它可以用于二元情况也可以用来处理多分类情况，而且它的分类结果实际上是一种概率值，只要决定了一定的阈值（例如大于0.5）就可以得出确定的分类结果，逻辑回归还可以用来处理神经网络中的二分类问题。

1.2高斯判别分析
高斯判别分析（GDA）是一种变量判别性分析方法，也叫变量判别分析法，它是以高斯分布的假设的近似概念为基础，用于在不同类别之间建立一个辨别函数，可以根据输入数据的分类情况来确定类别。

GDA的模型是可以适用于有限的概率变量的，且只能适用于以两个类别进行分类，因此它不可以用于多分类的情况下。

2.区别
从以上对逻辑回归和GDA的介绍来看，两者之间可以有如下几点区别：
1.逻辑回归可以用来处理二元情况和多分类情况，而GDA只能适用于两分类情况。

2.逻辑回归分类结果实际上是一种概率值，而GDA的结果是一个确定的分类结果。

3.逻辑回归可以用来处理神经网络中的二分类问题，但是GDA只适用于有限的概率变量的分类。

4.逻辑回归模型训练的过程中设定了阈值，用于产生分类结果，而GDA的模型则适用于在不同类别之间建立一个辨别函数，可以根据输入数据的分类情况来确定类别。

从上面可以看出，逻辑回归和GDA之间尽管是相似的，但是它们也有一定的区别，在使用时需要了解其异同，以便能够更好的选择择合模型完成任务。

高斯曲线公式
高斯曲线是一种广泛应用于描述自然现象的概率分布函数。它可以描述体积的
分布、灰度的分布，甚至是某类研究的物理和数学结果。高斯曲线公式为：

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-
\mu)^2}{2\sigma^2}}$$

其中，μ表示这一分布的均值，即参数μ；σ表示标准差，即参数σ；e为
自然对数的底数，即参数e。

数学及物理领域多次应用了高斯曲线，以及它动态变化和随机变化时形成了多
种新的曲线。例如，随机过程也可以表示为高斯曲线，这种随机过程用来模拟未来
一段时间的某种运动的走势，如金融市场的走势变化。

通过上述公式虽然可以描述某种运动的走势，但是无法反应其内在的特征。这
时，可以利用协方差函数来描述曲线的变化。协方差函数可以用来表示输入及输出
变量之间的关系，从而更准确地描述高斯曲线。

从广义角度讲，高斯曲线代表着某类研究的数学模型，可以有效地说明客观现
象，解释复杂事物的运行规律，为一定研究活动提供可靠的参考依据。

高斯曲线公式是众多概率分布函数中最受欢迎的，在许多自然界现象的建模和
推断上，都得到了广泛的应用，在提高研究效果的同时，还可以有效改善计算效率，
进一步丰富数学语言的表达能力。

高斯伪谱法gpops 理论说明1. 引言1.1 概述高斯伪谱法（Gaussian Pseudospectral, GPops）是一种在优化问题中广泛应用的数值方法，它基于高斯伪谱法的基本原理，并结合了数值最优控制的思想。

通过将连续时间目标函数离散化为多项式逼近问题，GPops可以更精确地求解优化问题，并得到全局最优解。

1.2 文章结构本文旨在详细介绍和说明高斯伪谱法（GPops）的理论原理及其在优化问题中的应用。

文章分为五个部分：引言、高斯伪谱法理论说明、GPops软件包简介、实际案例研究与应用探讨以及结论与展望。

首先，在引言部分，我们将对本文的内容进行概述，并介绍各节之间的逻辑关系。

1.3 目的本文旨在深入探讨高斯伪谱法（GPops），详细介绍该方法的基本原理及其在优化问题中的应用。

通过对GPops软件包进行简要介绍和使用方法演示，读者能够更加直观地了解和了解该工具箱。

此外，本文还提供一个实际案例研究，以评估高斯伪谱法在具体问题中的适用性，并对其局限性提出改进建议。

最后，我们将总结本文的研究成果，并展望高斯伪谱法在未来的研究和应用方向。

通过本文的阅读，读者可以更好地理解和运用高斯伪谱法解决优化问题。

2. 高斯伪谱法gpops 理论说明2.1 高斯伪谱法基本原理高斯伪谱法（Gauss pseudospectral method），简称gpops，是一种在优化问题中求解动态系统的数值方法。

该方法将动态系统的状态变量和控制变量作为整体进行离散化处理，并利用高次多项式近似来逼近真实的系统演化过程。

与传统的直接方法和间接方法相比，高斯伪谱法具有较好的数值稳定性和求解精度。

具体而言，高斯伪谱法将时间区间分段，并在每个时间段内选取一组特定的节点。

然后，通过对状态变量和控制变量在这些节点上进行插值，以多项式形式逼近它们的真实轨迹。

同时，在连续性约束、终端约束和目标函数等方面引入残差最小化准则，并转化为非线性规划问题。