凸函数的性质及其应用1

凸函数凹函数凸函数与凹函数是微积分中常见的概念，一般用于描述函数的形态。

它们的定义都是在定义域上，凸函数是函数在定义域内的任意两点之间的连线所形成的线段上的所有函数值不超过该线段端点的函数值，凹函数则是函数在定义域内的任意两点之间的连线所形成的线段上的所有函数值都不少于该线段端点的函数值。

简单来说，凸函数就是“弯弯的”向上的函数，凹函数则是“弯弯的”向下的函数。

下面我们将详细介绍凸函数和凹函数的定义以及一些例子和应用。

一、凸函数1.1 定义：若函数 f(x) 的定义域 D 是一个凸集合，并且对于 D 中的任意两点 x1, x2 以及任意实数λ ∈ [0,1]，都有：f(λx1 + (1-λ)x2) ≤ λf(x1) + (1-λ)f(x2)则函数 f(x) 称为凸函数。

其中，λx1 + (1-λ)x2 是点 x1 和 x2 之间的中点，λ表示分配参数，(1-λ)表示剩余参数。

1.2 示例：函数 f(x) = x2 + 2x + 1 在 (-∞,+∞) 上是一个凸函数。

这个二次函数开口向上，图形很像一个碗，我们可以根据凸函数定义来验证它是否是凸函数。

首先，函数的定义域为 (-∞,+∞)，包含了所有的实数，是一个凸集合；其次，在该定义域内，任取两点 x1和x2，且λ∈[0，1]，我们可以在两点间连接一条线段，然后将这条线段分割为λx1和(1-λ)x2两部分，其中λx1表示x1所占的比重，(1-λ)x2表示x2所占的比重。

因为 f(x) 是一个二次函数，所以它是圆形的，当λ=0.5 时，分割点正好在圆心上，所以分割点的函数值就等于函数的最小值，即：f(λx1 + (1-λ)x2) = f((x1+x2)/2) = (x1+x2)2/4 + 2(x1+x2)/2 + 1 = (x1+x2)2/4 + x1 + x2 + 1/2。

此时，我们将 f(x1) 和 f(x2) 带入定义式中计算：λf(x1) + (1-λ)f(x2) = λ(x1)2 + 2λx1 + λ + (1-λ)(x2)2 + 2(1-λ)x2 + 1-λ= λx1^2 + (1-λ)x2^2 + 2λx1 + 2(1-λ)x2 + λ + 1-λ= λx12 + (1-λ)x22 + 2λx1 + 2(1-λ)x2 + 1我们可以发现，当将上式中“+λ+1-λ”化简后，它们和上面的 f(x1) + f(x2) 等价，且还多了一些其他的正数。

凸函数一些命题的证明与应用
1. 凸函数的性质
（1）凸函数的定义：凸函数是指在它的定义域上，任意两点之间的连线都在函数的图像之上的函数。

（2）凸函数的性质：
（a）凸函数的图像是一个连续凸集；
（b）凸函数在其定义域上单调递增或单调递减；
（c）凸函数的导数存在且连续；
（d）凸函数的二阶导数存在且连续；
（e）凸函数的图像没有拐点。

2. 证明：凸函数的图像是连续凸集
证明：设函数f(x)在定义域D上为凸函数，若a，b∈D，则有f(a)≤f(b)。

证明：令c∈[a,b]，由凸函数的定义可得f(c)≤f(b)，从而有
f(a)≤f(c)≤f(b)，即函数f(x)在[a,b]上是单调递增的，因此f(x)的图像是连续凸集。

3. 凸函数的应用
（1）凸优化：凸优化是指求解凸函数的最优解，它是最优化理论中最重要的研究方向之一，用于解决最优化问题，如求解最小值、最大值等。

（2）凸分类：凸分类是指将样本点按照凸函数的函数值进行分类，它是机器学习中常用的分类方法之一，用于解决分类问题。

（3）凸回归：凸回归是指用凸函数来拟合样本数据，它是统计学中常用的回归方法之一，用于解决回归问题。

凹函数与凸函数的性质及应用函数的凸性和凹性是用来描述函数图像弯曲方向的重要性质。

凸函数和凹函数在形状上有明显的区别，这些区别可以通过函数的导数，特别是二阶导数来刻画。

1.2.凹函数（Concave Function）：o凹函数的图像呈现一种“向下凹”或“向上凸”的形状。

也就是说，如果我们在函数的图像上任意取两点并连接这两点形成一条线段，那么这条线段将始终位于函数图像的上方。

o从数学角度来说，如果一个函数在其定义域内的任意两点x1和x2之间，对于任意实数λ∈(0,1)，都有f(λx1+(1-λ)x2)≥λf(x1)+(1-λ)f(x2)，则称该函数为凹函数。

o凹函数的二阶导数在其定义域内始终非正，即f''(x) ≤0。

如果二阶导数在某个区间内严格小于零，则称该函数在该区间内是严格凹的。

3.4.凸函数（Convex Function）：o凸函数的图像呈现一种“向上凸”或“向下凹”的形状。

也就是说，如果我们在函数的图像上任意取两点并连接这两点形成一条线段，那么这条线段将始终位于函数图像的下方。

o从数学角度来说，如果一个函数在其定义域内的任意两点x1和x2之间，对于任意实数λ∈(0,1)，都有f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)，则称该函数为凸函数。

o凸函数的二阶导数在其定义域内始终非负，即f''(x) ≥0。

如果二阶导数在某个区间内严格大于零，则称该函数在该区间内是严格凸的。

这些性质使得我们能够通过观察函数的二阶导数来判断函数的形状，从而更好地理解函数的性质和行为。

在优化问题、经济学、概率论和统计学等多个领域，凸性和凹性的概念都非常重要，因为它们可以帮助我们分析和解决各种问题。

例如，在优化问题中，凸函数通常比凹函数更容易处理，因为凸函数的最优解通常是全局最优解，而凹函数的最优解则可能是局部最优解。

凸函数和凸的凸函数和凸集是数学中的两个重要概念，在数学和工程应用中非常常见。

本文将着重介绍这两个概念的定义、性质和应用。

一、凸函数1. 定义对于实数集合X上的函数f，如果对于任意的x1,x2∈X及实数α(0≤α≤1)，都有f(αx1+(1−α)x2)≤αf(x1)+(1−α)f(x2)则称f是X上的凸函数。

简单来说，就是图像上任意两点连线在函数图像下方时，该函数为凸函数。

如下图：2. 性质（1）凸函数的一阶导数单调增加。

（2）如果f(x)在[a,b]内是凸函数，则∀x∈(a,b)，有f(x)≤f(a)+f'(a)(x−a)或f(x)≤f(b)+f'(b)(x−b)（即解析式可以被类比为斜率大于等于零的直线），同时也可以得出：f(a)+f(b)2≥f(a+b2)即弦比切的定理。

（3）如果f(x)在[a,b]上是二次凸函数，则额外满足：f(a+x+b−a−2x2b−a)≤f(a)+f(b)2−f'(a)(b−a)4根据其定义可知，凸函数有一个很好的性质，即对于任意一个凸函数f(x)，其局部最小值也是全局最小值。

这个性质在优化问题中非常有用。

3. 应用凸函数在优化问题中很常见，比如线性规划、非线性规划、半正定规划以及凸优化等。

此外，凸函数在机器学习中也有非常广泛的应用，比如核方法、支持向量机等。

二、凸集1. 定义凸集是指对于一个实数集合X，如果对于其中的任意两个点x1,x2∈X及实数α(0≤α≤1)，有αx1+(1−α)x2∈X则称X是凸集。

也就是说，凸集内的任意两点连线上的任意一点也在凸集内。

如下图：2. 性质（1）凸集的交仍为凸集。

（2）凸集的凸组合一定在该凸集内。

（3）凸集的闭包也是凸集。

（4）如果X是凸集，则对于x∈X，X是以x为球心的超球体内的凸集。

3. 应用凸集和凸函数在很多方面都是密切相关的，比如凸优化和半正定规划等都涉及到凸集的概念。

凸集也被广泛应用于统计学和经济学中，例如一些概率模型的凸包上界（convex hull upper bound）和有效边界（efficient set）等等。

学院数学与信息科学学院专业数学与应用数学年级2009级姓名zym论文题目凸函数的性质与应用指导教师555职称副教授成绩2011 年06月10日目录摘要 (2)关键词 (2)Abstract (2)Keywords (2)前言 (2)1 凸函数的定义 (2)2 凸函数的性质 (4)2.1f为I上凸函数的充要条件 (4)2.2 f为区间I上的可导函数的相关等价论断 (4)3凸函数的应用 (6)参考文献 (7)函数的性质与应用学生姓名: *** 学号: 20095031390 数学与信息科学学院 数学与应用数学 指导教师: *** 职称: 副教授摘 要：本文从凸函数的定义出发,总结了凸函数的性质与应用 关键词：凸函数;性质;应用The properties and application of convex functionAbstract: From the definition of convex function, summarizes the convex function of theproperties and application.Key word: the definition of convex function; properties; application前言我们已经熟悉函数()2f x x =和()f x =的图象,它们不同的特点是:曲线2y x =上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方;而曲线y 则相反,任意两点间的弧段总在这两点连线的下方.我们把具有前一种特性的曲线称为凸的,相应的函数称为凸函数;后一种曲线称为凹的,相应的函数称为凹函数.下面通过一些例子来讨论凸函数的性质及应用,利用凸函数判断不等式的大小.1 凸函数的定义定义 1 设f 为定义在区间I 上的函数,若对I 上任意两点1x ,2x 和任意实数()0,1λ∈总有()()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≤+-， ()1则称f 为I 上的凸函数.反之,如果总有()()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≥+-, ()2则称f 为I 上的凹函数.如果若()1、()2中不等式改为严格不等式,则相应的函数称为严格凸函数和严格凹函数.例1 证明:f 为I 上凸函数的充要条件是对任何1,2x x I ∈,函数()()()121f x x ϕλλλ=+-为[]0,1上的凸函数.证 (必要性) 若f 为I 上的凸函数,则[]()12,0,1,0,1t α∀∈∈t ,有()()()()12121222111t t f t t t t t x ϕαααααα+-⎡⎤⎣⎦⎡⎤=+-++-+⎣⎦()()11212122211f t x t x x t x t x αααα=+-+---⎡⎤⎣⎦()()()1121212222111f t x t x x t x x t x αααααα=+-+-+---⎡⎤⎣⎦()()()()11122122111f t x t x t x t x αα⎡⎤=+-+-+-⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()()11122122111f t x t x f t x t x αα≤+-+-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()121t t αϕαϕ=+-，因此ϕ是[]0,1上的凸函数.(充分性) 若ϕ是[]0,1上的凸函数,则 []()12,0,1,0,1t α∀∈∈t , 则有()()()()121211t t t t ϕαααϕαϕ+-≤+-⎡⎤⎣⎦对 1,2y y I ∀∈,不妨设 12y y <,取1,2x x I ∈,使 1122x y y x ≤≤≤ , 并记()()111122212211y t x t x y t x t x =+-⎧⎪⎨=+-⎪⎩ 易知[]12,0,1t ∈t . ()0,1α∀∈,则()()()()()()()()121212111f y f y t t t t αααϕαϕϕαα+-=+-≥+-()()()121122211f t t x t t t x αααα⎡⎤=+-+--+⎣⎦ ()()()()()11122122111f t x t x t x t x αα⎡⎤=+-+-+-⎣⎦()()121f y y αα=+-，即f 是I 上的凸函数.2 凸函数的性质2.1 f 为I 上凸函数的充要条件引理1 f 为I 上的凸函数的充分必要条件是:对于I 上的任意三点123x x x <<, 总有()()()()21322132f x f x f x f x x x x x --≤-- ()3 引理2 f 为I 上的凸函数的充分必要条件是:对于I 上的任意三点123x x x <<,总有()()()()()()213132213132f x f x f x f x f x f x x x x x x x ---≤≤--- ()4 2.2 f 为区间I 上的可导函数的相关等价论断定理1 设f 为区间I 上的可导函数,则下述论断互相等价: 1 f 为I 上凸函数; 2 'f 为I 上的增函数;3 对I 上的任意两点()1212,x x x x <有()()()()21121'f x f x f x x x ≥+-.注意 论断3 的几何意义是:曲线()y f x =上任意一点处的切线(如果存在)总是在它的任一切线的上方，这是可导凸函数的几何特征. 定理2 设f 在区间I 上二阶可导,则有f 在I 上为凸函数()0f x ''⇔≥, x I ∈ 定理3 设f 是区间I 上的可微凸函数,则有0x I ∈是f 的极小值点()00f x '⇔=.例2 证明:()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内具有一阶和二阶导数，那么若在(,)a b 内"()0f x >，则()f x 在[],a b 上的图形是凸的.证 设1x 和2x 为[],a b 内任意两点,且12x x <,记 1202x x x +=, 2001x x x x h -=-=, 则10x x h =-, 20x x h =+ 由拉格郎日中值公式得()()()0001'f x h f x f x h h θ+-=+, ()()()0002'f x f x h f x h h θ--=-,其中1201,01θθ<<<<. 两式相减,即得()()()()()00001022''f x h f x h f x f x h f x h θθ++--=+--⎡⎤⎣⎦.对()'f x 在区间[]0201,x h x h θθ-+上再次利用拉格郎日中值公式可得()()()()2010212''''f x h f x h h f h θθξθθ+--=+⎡⎤⎣⎦,其中0201x h x h θξθ-<<+, ()"0f ξ>, 故有()()()00020f x h f x h f x ++-->,即()()()0002f x h f x h f x ++->,则()()121222f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭, 所以()f x 在[],a b 上的图形是凸的.定理 4 设f 是开区间I 上的一个凸函数,若[],I αβ⊂,则f 在[],αβ上满足利普希茨()Lipschitz 条件.证: 当取定[],I αβ⊂后,由于I 是开区间,必能在I 中选取四点,,,,a b c d 满足.a b c d αβ<<<<<应用引理2，任取[],,,x x x x αβ''''''∈<，得到()()()()()()f b f a f x f x f d f c b a x x d c'''---≤≤'''---.现令()()()()max ,f b f a f d f c L b a d c ⎧⎫--⎪⎪=⎨⎬--⎪⎪⎩⎭,则有()()f x f x L x x'''-≤'''-, [],,x x αβ'''∈由于上述常数L 与[],αβ中的点,x x '''无关,因此f 在[],αβ上满足利普希茨条件:0,L ∃>使()()f x f x L x x ''''''-≤-, [],,x x αβ'''∀∈.由[],αβ在I 上的任意性，证得f 在I 的任意内闭区间上都满足利普希茨条件.注 由定理4和引理2,可得以下两个重要推论:推论1 若f 在开区间I 上为凸函数,则f 在I 中处处连续.推论2 若f 在开区间I 上为凸函数,则f 在I 中每一点处的左、右导数都存在. 定理5 (詹森(Jensen)不等式)若f 为[],a b 上凸函数，则对任意[],,0i i x a b λ∈> ()11,2,...,,1ni i i n λ===∑，有()()()1111n n n n f x x f x f x λλλλ+⋅⋅⋅+≤+⋅⋅⋅+. ()53凸函数的应用例2 证明不等式()3a b c a b c abc a b c ++≤，其中,,a b c 均为正数.证 设()ln ,0f x x x x =>.由()f x 的一阶和二阶导数()'ln 1f x x =+，()1"f x x=可见,()ln f x x x =在0x >是为严格凸函数,依詹森不等式有()()()()133a b c f f a f b f c ++⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭，从而()1ln ln ln ln 333a b c a b c a a b b c c ++++≤++， 即3a b ca b c a b c a b c ++++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，又因3a b c++≤，所以 ()3a b c a b c abc a b c ++≤.例3 设f 为开区间I 内的凸函数,证明f 在I 内任一点0x 都存在左,右导数. 证 下面只证凸函数f 在0x 存在右导数,同理可证也存在左导数. 设 120h h <<, 则对 00102x x h x h <+<+ (这里取充分小的2h ,使02x h I +∈), 由引理中的()()()()()()213132213132f x f x f x f x f x f x x x x x x x ---≤≤---, 有()()()()01002012f x h f x f x h f x h h +-+-≤. 令()()()00f x h f x F h h+-=,故由上式可见F 为增函数.任取'x I ∈且0'x x <,则对任何0h >,只要0x h I +∈,也有()()()()()0000''f x f x f x h f x F h x x h-+-≤=-.由于上式左端式一个定数,因而函数()F h 在0h >上有下界.根据定理3极限()F h 存在,即()0'f x +存在.参考文献:[1]华东师范大学数学系.数学分析[M]. 北京: 高等教育出版社, 2001. [2]毛羽辉. 数学分析选论[M]. 北京: 科学出版社, 2003. [3]李成章, 黄玉民. 数学分析[M]. 北京: 科学出版社, 1999. [4]刘斌. 一元分析学[M]. 北京: 科学出版社, 2010. [5]张筑生. 数学分析新讲[M]. 北京: 北京大学出版社, 1990.学年论文成绩评定表。

凸函数的判定与应用凸函数是数学中一种常见的函数类型。

它在优化问题、经济学、工程和自然科学等领域中得到广泛应用。

本文将介绍凸函数的判定准则，以及凸函数在各个领域中的应用。

一、凸函数的定义与性质在数学中，凸函数可以通过其定义和性质来进行判定。

定义：设函数f在区间[a, b]上连续，在(a, b)内可导。

如果对于任意x1、x2∈[a, b]，以及任意0≤t≤1，都满足f(tx1+(1-t)x2)≤tf(x1)+(1-t)f(x2)，则称函数f为[a, b]上的凸函数。

性质：凸函数具有以下性质：1. 对于凸函数f(x)，若f''(x)存在且恒大于等于0，则f(x)是凸函数。

2. 若函数f(x)在[a,b]上是凸函数且在(a,b)内可导，则在(a,b)内f'(x)是递增函数。

二、凸函数与判定方法凸函数的判定方法包括一阶导数、二阶导数和Jensen不等式等。

1. 一阶导数判定法若函数f(x)在区间[a,b]上可导，且对于任意x1、x2∈(a,b)，有f'(x)在[a,b]上单调递增，则f(x)是在[a,b]上的凸函数。

2. 二阶导数判定法若函数f(x)在区间[a,b]上两次可导，且对于任意x∈(a,b)，有f''(x)≥0，则f(x)是在[a,b]上的凸函数。

3. Jensen不等式对于凸函数f(x)，若λ1、λ2、...、λn为非负实数，且满足λ1+λ2+...+λn=1，以及x1、x2、...、xn为任意n个区间[a,b]上的数，则有以下不等式成立：f(λ1x1+λ2x2+...+λnxn)≤λ1f(x1)+λ2f(x2)+...+λnf(xn)三、凸函数的应用领域凸函数广泛应用于各个领域，包括优化问题、经济学、工程和自然科学。

1. 优化问题在优化问题中，凸函数常被用来描述目标函数或约束条件。

由于凸函数具有良好的性质，如弱凹性和全局极小值，因此可以通过凸优化算法来求解各种优化问题。

02-凸函数02-凸函数⽬录⼀、基本性质和例⼦[凸函数] ⼀个函数 f:R n→R 是凸的，如果定义域 dom f 是凸集，并且对于所有 x,y∈f,θ≤1 ，我们有 f(θx+(1−θ)y)≤θf(x)+(1−θ)f(y).注：如果不能理解，从⼆维⾓度去理解⼏何解释：点 (x,f(x)) 和 (y,f(y)) 之间的线段在f对应的图像上⽅。

函数f是严格凸的，如果以上不等式在x≠y，且 0<θ<1 时也成⽴.函数f是凹的，当 −f是凸的，严格凹，当 −f是严格凸的。

仿射函数既是凸的也是凹的，反过来，既凹⼜凸的函数是仿射的。

⼀个函数是凸的当且仅当对任意x∈dom f和任意v，函数g(t)=f(x+tv) 是凸的， {t|x+tv∈dom f}.注：其实只是修改了⾃变量的表⽰，⼜由于⾃变量的集合是凸集，线性表⽰后仍然是凸集˜f:R n→R∪{∞} ,[扩展值] 将凸函数扩展到整个 R n ，通常令它在定义域之外取 ∞ 。

如果 f 是凸函数那么它的拓展为{˜f(x)=f(x)x∈domf∞x∉domf[⼀阶条件] 令函数 f 是可微的（也就是它的梯度 ∇f 在开集 domf 的每个点上都存在）。

那么 f 是凸的，当且仅当 domf 是凸的，并且对所有的 x,y∈domf 有：f(y)≥f(x)+∇f(x)T(y−x).注：其实同样可以从⼆维⾓度的考虑，⽆⾮就是 dy，也就是函数图像永远在某⼀点的切上上，同时 f(x)+∇f(x)T(y−x) 相当于 f 在 x 的⼀阶泰勒近似，如果你对泰勒展开公式熟悉，更好理解，因为泰勒展开是⽆穷阶的，只不过此处做了省略在每个点上，函数图像都⾼于在该点的切线。

解释：y的仿射函数f(x)+∇f(x)T(y−x) 是f在靠近x处的⼀阶泰勒近似。

上述不等式表达了这个⼀阶泰勒近似是函数的全局下限（globalunderestimator），反过来，如果函数的⼀阶泰勒近似总是函数的全局下限，那么这个函数是凸的。

凸函数的性质及其应用摘要：凸函数是一重要概念，本文通过对凸函数的定义及其等价定义的介绍，重点讲述了凸函数的六种性质及其应用． 关键词：凸函数；定义；性质；应用Convex F unction’s Several Definitions and The Properties ofDerivableAbstract: Convex function is an important concept, based on convex function is defined and its equivalent definitions discussed, and an overview of convex functions six properties and its application.Key words : convex function ；properties ；the properties of derivable ；application前言凸函数是一类很重要的函数，它在数学许多领域中有着广泛的应用，现已成为许多数学分支的理论基础和有力工具．本文对凸函数基本内容作了概述，主要包括：凸函数几种不同的定义及其六种不同性质，并对凸函数的应用作了简单研究．有助于今后的数学学习．.1凸函数的定义1.1凸函数定义1 设f 为定义在区间I 上的函数，若对I 上的任意的两点12,x x 和任意实数()0,1λ∈，总有()()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≤+- （1）则称f 为I 上的凸函数．如果上述的不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数．1.2 凸函数定义2若()f x 在区间I 上有定义，()f x 称为I 上的凸函数，当且仅当：12,x x I ∀∈，有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭． （2） 上式中“≤”改为“<”便是严格凸函数的定义．1.3 凸函数定义3若()f x 在区间I 上有定义，()f x 称为I 上的凸函数，当且仅当：12,,,n x x x I ∀⋅⋅⋅∈，有()()()1212n n f x f x f x x x x f n n ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⎛⎫≤⎪⎝⎭． （3） 上式中“≤”改为“<”便是严格凸函数的定义．1.4 凸函数定义4 若()f x 在区间I 上有定义．当且仅当曲线()y f x =的切线恒保持在曲线以下，则称()f x 为凸函数．若除切点之外，曲线严格保持在曲线的下方，则称()f x 为严格凸函数．注：下面我们将证明定义2,3,4是等价的．当()f x 连续时定义1,2,3等价，当()f x 处处可导时，定义1,2,3,4都等价．2凸函数定义的等价性定理2.1 定义2与定义3等价．证 由式（1）知式（3）当2n =时成立．现证4n =时式（3）成立．事实上，1234,,,x x x x I ∀∈，由式（3），我们有341212342242x x x x x x x x f f ++⎛⎫+ ⎪+++⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭341222x x x x f f ++⎛⎫⎛⎫≤+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()12344fx fx f x f x +++≤.此即式对4n =成立．一般来说，对任意以自然数k ，重复上面方法，应用（3）式k 次，可知()()()12122222k kk kf x f x f x x x x f ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⎛⎫≤⎪⎝⎭.这说明（3）式对一切 2k n =皆成立．下证（3）式对1n k =+成立时，必对n k =也成立．记 12kx x x A k++⋅⋅⋅+=，则12k x x x kA ++⋅⋅⋅+=,所以 121k x x x AA k ++⋅⋅⋅++=+．因为（3）式对1n k =+成立，故()121k x x x A f A f k ++⋅⋅⋅++⎛⎫= ⎪+⎝⎭()()()12()1k f x f x f x f A k ++⋅⋅⋅++≤+．不等式两边同乘以1k +，减去()f A ，最后除以k ，注意12kx x x A k++⋅⋅⋅+=，我们得到()()()1212k kf x f x f x x x x f k k ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⎛⎫≤⎪⎝⎭． 此式表示（3）对n k =成立．证毕． 定理2.2 若()f x 连续，则定义1,2,3等价． 证 在定义1中令12λ=， 则由式（1）得[]122(1)2x x f f x x λλ+⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()()()121f x f x λλ≤+-()()122f x f x +=()12,,x x I ∀∈. 3判定凸函数的方法定理 3.1 设()f x 是n R 到(),-∞+∞的实值函数，则()f x 是凸函数的充分必要条件是(),f x <∂()f y β<时，不等式 ()()11f x y λλλλβ-+<-∂+⎡⎤⎣⎦，01λ<<成立．定理3.2 设()f x 是n R 到(),-∞+∞的实值函数，则()f x 是凸函数的充分必要条件是,0,ni i x R λ∀∈≥ 1,i =…,,m11,mii λ==∑，不等式()1111()()m m m m f x x f x f x λλλλ+⋯+≤+⋯+成立．定理3.3 当且仅当对任意的x 和p ，,()x p g ∂是∂的凸函数时．则()f x 是凸函数． 证 设()f x 是凸函数，则当01λ≤≤时()(){},1212(1)1x p g f x pλλλλ-∂+∂=+-∂+∂⎡⎤⎣⎦=()()()121f x p x p λλ-+∂++∂⎡⎤⎣⎦()()()121f x p x p λλ≤-+∂++∂()()(),1,21x p x p g g λλ=-∂+∂故(),x p g ∂是凸函数．反之，设对于任意的(),,,x p x p g ∂是∂的凸函数．则()()(){}1110f x y f y x y λλλλ-+=+-⋅+⋅-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦(),110y x y g λλ-=-⋅+⋅⎡⎤⎣⎦()()(),,110y x y y x y g g λλ--≤-+=()()()1f x f y λλ-+．故()f x 是凸函数．定理 3.4 设f 为区间I 上的二阶可导函数，则在I 上f 为凸函数的充要条件是()()()''0''0f x f x ≥≤，x I ∈．注：定理3.4在凸函数应用中经常使用，须牢记.4 凸函数的性质关于凸函数的定义及其可导性，在上面已经作了详细叙述，下面介绍凸函数的一些性质，归纳为以下六点.定理4.1(割线斜率性质)：函数f 在区间I 上的凸函数⇔对123,,x x x I ∀∈，123x x x <<， 总有()()()()()()213132213132f x f x f x f x f x f x x x x x x x ---≤≤---.证 必要性 记3231x x x x λ-=-，则 ()2131x x x λλ=+-． 由f 得凸性知道()()()2131f x f x x λλ=+-≤()()()131f x f x λλ+-()()3221133131x x x xf x f x x x x x --=+--， 从而有()()()()()312321213()x x f x x x f x x x f x -≤-+-， 即()()()()()()()()322212321213x x f x x x f x x x f x x x fx-+-≤-+-， 整理后即得(1)式．充分性 在I 上任取两点()1313,x x x x ≤，在[]13,x x 上任取一点 ()2131x x x λλ=+-，()0,1λ∈，即3231x xx x λ-=-．由必要性的推导逆过程，可证得()()()()()()2131311f x f x x f x f x λλλλ=+-≤+-， 故f 为I 上得凸函数．同理可证，f 为I 上的凸函数的充要条件是：对于I 上任意三点123x x x <<，有()()()()()()213132213132fx f x f x f x f x f xx x x x x x ---≤≤---.定理4.2 (导数及切线性质) 设f 为区间I 上的可导函数，则下述论断互相等价： 1.f 为I 上凸函数； 2.'f 为I 上的增函数； 3.对I 上任意的两点12,x x ，有()()()()21121'f xf x f x x x ≥=- ．（4） 证（1→2）任取I 上两点()1212,x x x x <及充分小的正数h ．由于1122x h x x x h -<<<+，根据f 的凸性及引理有()()()()()()11212221f x f x h f x f x f x h f x h x x h---+-≤≤-， 由f 是可导函数，令0h +→时可得()()()()211221''f x f x f x f x x x -≤-，所以'f 为I 上的递增函数。

凸函数的性质运算性质-凸函数 1. （相加）如果函数()fx 和函数()g x 都是凸函数并且区间为[a,b]，则()()f x g x +也是凸函数，区间为[a,b].推论：假设函数)(x f ,)(x g 都是凸函数并且区间为I ，21,k k 是非负实数,则)()(21x g k x f k +也为都是凸函数并且区间为I .2. （倍乘）如果函数()fx 是凸函数并且区间为[a,b]，()()0v mf x m =≥,则()mf x 也是凸函数并且区间为[a,b]. 3. （相乘）如果函数()fx 和函数()g x 都是凸函数并且区间为[a,b]同时为非负单调递增凸函数，且()()v f x g x =，则()()f x g x 也是凸函数并且区间为[a,b]. 4. （复合）如果函数()x ϕ总为单调递增的凸函数，()v f x =也是一个凸函数，那么函数()[]f x ϕ为凸函数. 5. （最值）设函数()fx )(x g 在区间I 为凸函数，则)}(),(max{x g x f 在区间I 也为凸函数.6. （高阶导）设函数)(x f 在),(b a 区间为非负凸函数，则)(x f n在区间),(b a 上也为凸函数.7. （反函数）设)(x f y =在区间I 为严格减少的凸函数，则反函数)(1y f x -=也为凸函数. 证明1. （相加性质）当我们需要去证明凸函数的相加性质时，知道函数)(x f ,)(x g 在区间I 为凸函数，则可以根据定义写出它有关运算的公式，函数)(x f +)(x g 的和就是两个运算公式的和，在区间I 上也是成立的.证明：若12,[,]x x a b ∀∈并且(0,1)k ∀∈，又因为函数()fx 和函数()g x 都是区间[a,b]上的凸函数，所以()()()1212[(1)]1f kx k x kf x k f x +-≤+-①()()()1212[(1)]1g kx k x kg x k g x +-≤+- ②因此，①+②得()()()()()()12121212[(1)][(1)]11f kx k x g kx k x kf x k f x kg x k g x +-++-≤+-++-由凸函数定义知 ()()fx g x +也是凸函数，区间为[a,b].推论：证：I x x ∈∀21,,)1,0(∈∀λ , 因函数)(x f ,)(x g 在区间I 为凸函数， 从而)()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+且)()1()())1((2121x g x g x x g λλλλ-+≤-+又因为21,k k 为非负实数，所以有)()(21x g k x f k +=()()2111x x f k λλ-++()()2121x x g k λλ-+≤()()()[]2111x f x f k λλ-++()()()[]2121x g x g k λλ-+因此)()(21x g k x f k +在区间I 也为凸函数. 2. （倍乘）因为函数()fx 是区间[a,b]上的凸函数，则()0,1m ∀∈和12,[,]x x a b ∀∈，存在()()()()1212[1]1f mx m x mf x m f x +-≤+- ＊＊ 式两端同时乘以()0εε≥，则得到()()()()1212[1]1f mx m x mf x m f x εεε+-≤+-由凸函数定义知 ()fx ε也是凸函数，区间为[a,b].3. （相乘）分析：利用凸函数的定义和函数在区间的单调性可以证明)()(x g x f 在区间),(b a 也为凸函数.证明：因为12,[,]x x a b ∀∈且12x x <，()0,1m ∀∈，又因为函数()fx 和函数()g x 都是区间[a,b]上的单调递增凸函数，所以()()()()1221[][]0fx f x g x g x --≤，即()()()()()()()()12211122f x g x f x g x f x g x f x g x +≤+ ＊因为函数()fx 和函数()g x 都是区间[a,b]上的凸函数，则()()()()212111f mx m x mf x m f x +-≤+-⎡⎤⎣⎦，①()()()()212111g mx m x mg x m g x +-≤+-⎡⎤⎣⎦.②从而得()()0,0f x g x ≥≥，①*②，得到()()()()()()()()()()()()222121222112111111f mx m x g mx m x m f x g x m m f x g x f x g x m f x g x +-+-≤+-++-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦由＊式知()()()()()()()2221211122111f mx m x g mx m x m f x g x m f x g x +-+-≤-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()()()()()()()()()2112112211m m f x g x f x g x m f x g x mf x g x +-+=-+⎡⎤⎣⎦由凸函数定义知 ()()v f x g x = 也是凸函数，区间为[a,b]. 注：①()fx ，()g x 非负例：假设 ()()22,f x g x kx =-=，且函数()fx 和函数()g x 都是凸函数，()0,2x ∈，所以当()()22v f x g x kx ==-时可知()()f x g x 不是一个凸函数，因为22v kx =-为负数. ②()fx ，()g x 单调递增例：假设()()22,f x x g x x =-=，且函数()fx 和函数()g x 都是凸函数，()0,2x ∈，以当()()32v f x g x x x ==-时可知()()f x g x 不是()0,2x ∈凸函数，因为()2f x x =-是单调递减的函数.4. （复合）分析：因为函数()x ϕ是单调递增的凸函数，()v f x =是凸函数，由凸函数定义得()'0v ϕ≥，()''0v ϕ≥，()'0v x ≥，因此得到()()()()()()''''''''x v v x v v x ϕϕϕ=+，即()''0v ϕ≥，所以()[]f x ϕ是凸函数.5.（最值）分析：利用凸函数的定义可以证明)}(),(max{x g x f 在区间I 也为凸函数.证明： I x x ∈∀21,,)1,0(∈∀λ, 因函数)(x f ,)(x g 在区间I 为凸函数，从而)()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+且)()1()())1((2121x g x g x x g λλλλ-+≤-+令)(x F =)}(),(max{x g x f ,则)})1((),)1((m ax {))1((212121x x g x x f x x F λλλλλλ-+-+=-+1212112212max{()(1)(),()(1)()}max{(),()}(1)max{(),()}()(1)()f x f xg x g x f x g x f x g x F x F x λλλλλλλλ≤+-+-≤+-=+-因此)}(),(max{x g x f 在区间I 也为凸函数.6.（高阶导）分析：利用不等式的性质和函数的连续可以证明)(x f n在区间),(b a 上也为凸函数.证明： ),(,21b a x x ∈∀，因函数)(x f 为非负凸函数，可知)(x f 在x 连续，且0≤)2(21x x f +≤12()()2f x f x +从而)(x f n在区间),(b a 连续， 因N n ∈∀,0,≥∀b a 有()2n a b +≤()2n na b +，因此)2(21x x f n +≤ [12()()2f x f x +]n ≤12()()2n nf x f x +可知)(x f n在区间),(b a 上也为凸函数.7.（反函数）分析:根据凸函数的一些已证性质，利用函数)(x f y =在区间I 上的单调性可以证明反函数)(1y fx -=也为凸函数.证明：因)(x f y =在区间I 上严格减少，从而存在反函数)(1y f x -=，设A=})({I x x f y y ∈=，)1,0(∈∀λ.A y y ∈∀21,, 则I x x ∈∃21,，使)(),(2211x f y x f y ==即)(),(212111y fx y fx --==则)(x f y =为凸函数，从而)()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+=)]}()1()([{211x f x f f f λλ-+-因为)(x f y =严格减少.因此，21211)1()]()1()([x x x f x f f λλλλ-+≤-+-即)()1()(])1([2111211y fy fy y f ----+≤-+λλλλ因此，由定义知)(1y f x -=在A=})({I x x f y y ∈=也为凸函数.3.2积分性质-凸函数1.设()f x 是[0,)+∞上的凸函数,则01()()xF x f t dt x=⎰为(0,)+∞上的凸函数. 2.设函数()g x 在[,]a b 上递增,则(,),c a b ∀∈函数()()xcf xg x =⎰为凸函数.积分性质-证明1.分析：利用凸函数的定义和求导的公式01()()xF x f t dt x =⎰为(0,)+∞上的凸函数.证明：()f x 为凸函数区间是[0,)+∞,因此它在区间(0,)+∞内连续,()f x 在区间[0,]x 上有界.由此知01()()x F x f t dt x =⎰有意义. 0x ∀>,令 tu x = 时101()()()xx t tF x f t dt f x d f xu du x x x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎰⎰⎰ 12(0,1),,0x x λ∀∈∀>，恒有112120[(1)]{[(1)]}F x x f x x u du λλλλ+-=+-⎰=1120[(1)]f x u x u du λλ+-⎰112[()(1)()]f x u f x u du λλ≤+-⎰ （因f 的凸性）12()(1)()F x F x λλ=+-所以F 是(0,)+∞上的凸函数.2.分析：利用函数的不等式的性质（增减性）可以证明函数()()xcf xg x =⎰为凸函数.证明： 因()g x 递增,积分有意义.且∀123x x x <<.212122121()()1()()x x f x f x g x dx g x x x x x -=≤--⎰32323232()()1()x x f x f x g x dx x x x x -≤=--⎰故()f x 为凸函数.。

对数性凸函数的性质及应用王传坚(楚雄师范学院数学系2003级1班)指导老师郎开禄摘要:在本文中，得到了对数性凸函数的四个性质，并讨论了对数性凸函数的性质的应用。

关键词:凸函数;.对数性凸函数; 基本性质; 应用.The research and application on some properties oflogarithmatic convex functionWang Chuanjian(Department of Math, Chu Xiong Normal University, Chu Xiong,Yun Nan ,675000)Abstract: In this paper, the author gives some properties of logarithmatic convex function bystudying the fundamental properties, and give some application about the properties of logarithmatic.Key Words:Convex Function; Logarithmatic Convex Function; Fundamental Property; Application.导师评语：凸函数是一类重要的函数,它有许多很好的性质,并有广泛的应用.在文[1]( [1] 刘芳园，田宏根. 对数性凸函数的一些性质[J].《新疆师范大学学报》，2006,25(3):22-25.)中,刘芳园，田宏根引入对数性凸函数的概念,研究获得了对数性凸函数的若干基本性质,并讨论了对数性凸函数基本性质的一些应用.受文[1]的启发,在文[1]的基础上,王传坚同学的毕业论文<<对数性凸函数的性性质及其应用>>进一步研究了对数性凸函数性质,获得了对数性凸函数的两个性质(推论1,推论2)和四个基本结果(定理3, 定理4, 定理5, 定理6),并讨论了对数性凸函数的性质及其应用.王传坚同学的毕业论文<<对数性凸函数的性质及其应用>>选题具有理论与实际意义,通过研究所获结果具有理论与实际意义.该论文的完成需要较好的数学分析基础,主要结果的证明有一定的技巧,论文的完成有一定的难度,是一篇创新型的毕业论文.论文语言流畅,打印行文规范.该同学在撰写论文过程中,悟性好,独立性强.对数性凸函数的性质及其应用前 言凸函数是一类重要的函数,它有许多很好的性质,并有广泛的应用.在文[1]中，引入对数性凸函数的概念,获得了对数性凸函数的若干基本性质,并讨论了对数性凸函数的基本性质的一些应用,受文[1]的启发,在文[1]的基础上,在本文中,我们获得了对数性凸函数的七个基本性质，并讨论了对数性凸函数性质的应用。

凸函数和凸集凸函数和凸集是数学中的重要概念，它们在优化、经济学、几何等领域中得到广泛应用。

本文将分别介绍凸函数和凸集的定义、性质和应用。

1. 凸函数在欧氏空间中，凸函数是指函数定义域上的任意两点连线的函数值都不超过这条连线在端点处的函数值之和。

换句话说，对于函数$f(x)$而言，若对于定义域内的任意两个点$x_1$和$x_2$以及$0≤λ≤1$，都有$$f(λx_1+(1−λ)x_2)≤λf(x_1)+(1−λ)f(x_2)$$则函数$f(x)$为凸函数。

凸函数有下凸函数和上凸函数两种类型。

下凸函数在定义域内是一个向上弯曲的U形曲线；上凸函数则是一个向下弯曲的U形曲线。

凸函数具有许多重要的性质，例如：1）凸函数的导数是单调不减的。

2）凸函数的任意局部极小值也是全局最小值。

3）连续凸函数的零点是唯一的。

4）任意两个凸函数的和仍然是凸函数。

除了这些性质之外，凸函数还具有广泛的应用，例如：1）优化问题中的约束条件可以用凸函数来描述。

2）在经济学中可以用凸函数来描述效用函数。

3）机器学习算法中的损失函数往往是凸函数。

2. 凸集$$λx_1+(1−λ)x_2∈C$$则$C$是一个凸集。

常见的凸集包括单位球、正半轴、正半空间、多面体等。

凸集也具有许多重要的性质，例如：2）对于凸集的任意两个不交子集$C_1$和$C_2$，它们的距离$d(C_1,C_2)$是唯一确定的。

3）凸包是凸集的一个重要概念，指由集合内所有点组成的最小凸集，也就是包含该集合的所有凸集的交集。

2）在计算几何学中，几何对象通常是凸集。

3）医疗图像处理中，凸包可以用来分割不规则的肿瘤区域。

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凸函数是数学函数的一类特征。

凸函数就是一个定义在某个向量空间的凸子集C（区间）上的实值函数。

中文名凸函数外文名convex function类别数学性质局部最小值即全局最小值定义域实线性空间注意国内外凹凸性定义不同目录1 基本简介2 属性▪性质▪定义3 微积分4 初等运算5 举例子基本简介编辑凸函数是指一类定义在实线性空间上的函数。

[1]注意：中国大陆数学界某些机构关于函数凹凸性定义和国外的定义是相反的。

Convex Function在某些中国大陆的数学书中指凹函数。

Concave Function指凸函数。

但在中国大陆涉及经济学的很多书中，凹凸性的提法和其他国家的提法是一致的，也就是和数学教材是反的。

举个例子，同济大学高等数学教材对函数的凹凸性定义与本条目相反，本条目的凹凸性是指其上方图是凹集或凸集，而同济大学高等数学教材则是指其下方图是凹集或凸集，两者定义正好相反。

另外，也有些教材会把凸定义为上凸，凹定义为下凸。

碰到的时候应该以教材中的那些定义为准。

凸函数是一个定义在某个向量空间的凸子集C上的实值函数f，而且对于凸子集C中任意两个向量、有成立。

于是容易得出对于任意（0,1）中有理数，有如果f连续，那么可以改变成区间（0,1）中的任意实数。

若这里凸集C即某个区间I，那么就是：设f为定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点和任意的实数，总有则f称为I上的凸函数，当定义中的“≤”换成“<”也成立时，对应可称函数f为对应子集或区间上的严格凸函数。

[2]判定方法可利用定义法、已知结论法以及函数的二阶导数，对于实数集上的凸函数，一般的判别方法是求它的二阶导数，如果其二阶导数在区间上小于等于零，就称为凸函数。

如果其二阶导数在区间上恒小于0，就称为严格凸函数。

[3]属性编辑性质定义在某个开区间C内的凸函数f在C内连续，且在除可数个点之外的所有点可微。

凸函数上凸下凸凹函数凸函数、上凸函数、下凸函数和凹函数是数学中常见的函数性质。

他们在优化问题、微积分和经济学中有广泛的应用。

下面我们将分别介绍这几种函数的定义、性质和实例。

首先，我们先来定义什么是凸函数。

凸函数是指在定义域上任取两点，连接这两点的线段位于函数图像的上方或者与函数图像相切的函数。

也就是说，如果对于定义域上的任意两个点$x_1$和$x_2$以及满足$0≤λ≤1$的任意数λ，都有以下不等式成立：$$f(λx_1+(1−λ)x_2)≤λf(x_1)+(1−λ)f(x_2)$$凸函数的几何意义是，连接函数图像上任意两点的线段位于函数图像的上部或是与函数图像相切。

凸函数的典型例子有抛物线$x^2$，指数函数$e^x$，以及对数函数$−log(x)（x>0）$。

与凸函数相对的是凹函数，凹函数是指在定义域上任取两点，连接这两点的线段位于函数图像的下方或者与函数图像相切。

也就是说，对于定义域上的任意两个点$x_1$和$x_2$以及满足$0≤λ≤1$的任意数λ，都有以下不等式成立：$$f(λx_1+(1−λ)x_2)≥λf(x_1)+(1−λ)f(x_2)$$凹函数的典型例子有$−x^2$，$−e^x$，和$−log(x)（x>0）$。

在凸函数的基础上，我们可以定义上凸函数和下凸函数。

上凸函数是指每一条切线的斜率都大于等于函数的导数，或者说导数是递增函数。

下凸函数则是指每一条切线的斜率都小于等于函数的导数，或者说导数是递减函数。

对于上凸函数，我们有以下定义和性质：定义：如果函数f在定义域上的每一个点x处，函数的导数f′(x)是递增函数，则称函数f为上凸函数。

性质：对于上凸函数，任意两点的函数值连接的线段位于函数图像的上方。

典型例子：指数函数$e^x$，和$−log(x)（x>0）$。

对于下凸函数，我们有以下定义和性质：定义：如果函数f在定义域上的每一个点x处，函数的导数f′(x)是递减函数，则称函数f为下凸函数。

对数凸函数的一个性质及其应用
对数凸函数是一类非常重要的函数，它们在许多实际问题中都有着广泛的应用，其中一些重要性质也是本文重点要探讨的话题。

本文首先将介绍对数凸函数的定义及其性质，然后阐述其在真实环境中的应用，最后给出结论。

对数凸函数是由一组参数决定的函数，它们一般是以关于参数的对数函数为基础构建出来的。

对数凸函数具有如下几个重要的性质：（1）对数凸函数的梯度是一个恒定的正值；
（2）对数凸函数的最优解是关于参数的线性组合；
（3）对数凸函数可以在一维、二维或多维空间中求出最优的参数；
（4）以对数函数为基础的函数具有高度的可微性，可以在一定精度范围内计算出参数的最优值；
（5）对数凸函数对几何变换有很好的数学模型，可以用来建立多种几何变换算法。

对数凸函数具有重要的实际应用，它们可以用于描述复杂的真实环境中的系统行为。

例如，在机器学习中，对数凸函数可以用于拟合和预测输入变量和输出变量之间的关系，有助于更好地理解和分析系统的行为。

在统计学中，对数函数可以用于估计数据之间的关系，从而为研究者提供可靠的统计结论。

此外，对数函数在工程学中，也可以用于最优化工程系统，从而确定最优参数组合，使得系统性能最优。

综上所述，对数凸函数及其性质对描述复杂真实环境系统的行为
及最优化设计有着举足轻重的作用，这些性质使得它们在多种实际应用中有着重要的意义。

结论：
本文介绍了对数凸函数的定义及其性质，并阐述了其在真实环境中的应用，提出了使用对数凸函数来描述系统行为及进行工程最优化设计的重要性。

对数凸函数具有高度可微性和变换几何计算模型，使得系统性能更加有效，能够提供准确可靠的推断结论，是统计分析和最优化设计的重要工具。