凸函数的性质及其应用1

凸函数凹函数凸函数与凹函数是微积分中常见的概念，一般用于描述函数的形态。

它们的定义都是在定义域上，凸函数是函数在定义域内的任意两点之间的连线所形成的线段上的所有函数值不超过该线段端点的函数值，凹函数则是函数在定义域内的任意两点之间的连线所形成的线段上的所有函数值都不少于该线段端点的函数值。

简单来说，凸函数就是“弯弯的”向上的函数，凹函数则是“弯弯的”向下的函数。

下面我们将详细介绍凸函数和凹函数的定义以及一些例子和应用。

一、凸函数1.1 定义：若函数 f(x) 的定义域 D 是一个凸集合，并且对于 D 中的任意两点 x1, x2 以及任意实数λ ∈ [0,1]，都有：f(λx1 + (1-λ)x2) ≤ λf(x1) + (1-λ)f(x2)则函数 f(x) 称为凸函数。

其中，λx1 + (1-λ)x2 是点 x1 和 x2 之间的中点，λ表示分配参数，(1-λ)表示剩余参数。

1.2 示例：函数 f(x) = x2 + 2x + 1 在 (-∞,+∞) 上是一个凸函数。

这个二次函数开口向上，图形很像一个碗，我们可以根据凸函数定义来验证它是否是凸函数。

首先，函数的定义域为 (-∞,+∞)，包含了所有的实数，是一个凸集合；其次，在该定义域内，任取两点 x1和x2，且λ∈[0，1]，我们可以在两点间连接一条线段，然后将这条线段分割为λx1和(1-λ)x2两部分，其中λx1表示x1所占的比重，(1-λ)x2表示x2所占的比重。

因为 f(x) 是一个二次函数，所以它是圆形的，当λ=0.5 时，分割点正好在圆心上，所以分割点的函数值就等于函数的最小值，即：f(λx1 + (1-λ)x2) = f((x1+x2)/2) = (x1+x2)2/4 + 2(x1+x2)/2 + 1 = (x1+x2)2/4 + x1 + x2 + 1/2。

此时，我们将 f(x1) 和 f(x2) 带入定义式中计算：λf(x1) + (1-λ)f(x2) = λ(x1)2 + 2λx1 + λ + (1-λ)(x2)2 + 2(1-λ)x2 + 1-λ= λx1^2 + (1-λ)x2^2 + 2λx1 + 2(1-λ)x2 + λ + 1-λ= λx12 + (1-λ)x22 + 2λx1 + 2(1-λ)x2 + 1我们可以发现，当将上式中“+λ+1-λ”化简后，它们和上面的 f(x1) + f(x2) 等价，且还多了一些其他的正数。

凸函数一些命题的证明与应用
1. 凸函数的性质
（1）凸函数的定义：凸函数是指在它的定义域上，任意两点之间的连线都在函数的图像之上的函数。

（2）凸函数的性质：
（a）凸函数的图像是一个连续凸集；
（b）凸函数在其定义域上单调递增或单调递减；
（c）凸函数的导数存在且连续；
（d）凸函数的二阶导数存在且连续；
（e）凸函数的图像没有拐点。

2. 证明：凸函数的图像是连续凸集
证明：设函数f(x)在定义域D上为凸函数，若a，b∈D，则有f(a)≤f(b)。

证明：令c∈[a,b]，由凸函数的定义可得f(c)≤f(b)，从而有
f(a)≤f(c)≤f(b)，即函数f(x)在[a,b]上是单调递增的，因此f(x)的图像是连续凸集。

3. 凸函数的应用
（1）凸优化：凸优化是指求解凸函数的最优解，它是最优化理论中最重要的研究方向之一，用于解决最优化问题，如求解最小值、最大值等。

（2）凸分类：凸分类是指将样本点按照凸函数的函数值进行分类，它是机器学习中常用的分类方法之一，用于解决分类问题。

（3）凸回归：凸回归是指用凸函数来拟合样本数据，它是统计学中常用的回归方法之一，用于解决回归问题。

凹函数与凸函数的性质及应用函数的凸性和凹性是用来描述函数图像弯曲方向的重要性质。

凸函数和凹函数在形状上有明显的区别，这些区别可以通过函数的导数，特别是二阶导数来刻画。

1.2.凹函数（Concave Function）：o凹函数的图像呈现一种“向下凹”或“向上凸”的形状。

也就是说，如果我们在函数的图像上任意取两点并连接这两点形成一条线段，那么这条线段将始终位于函数图像的上方。

o从数学角度来说，如果一个函数在其定义域内的任意两点x1和x2之间，对于任意实数λ∈(0,1)，都有f(λx1+(1-λ)x2)≥λf(x1)+(1-λ)f(x2)，则称该函数为凹函数。

o凹函数的二阶导数在其定义域内始终非正，即f''(x) ≤0。

如果二阶导数在某个区间内严格小于零，则称该函数在该区间内是严格凹的。

3.4.凸函数（Convex Function）：o凸函数的图像呈现一种“向上凸”或“向下凹”的形状。

也就是说，如果我们在函数的图像上任意取两点并连接这两点形成一条线段，那么这条线段将始终位于函数图像的下方。

o从数学角度来说，如果一个函数在其定义域内的任意两点x1和x2之间，对于任意实数λ∈(0,1)，都有f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)，则称该函数为凸函数。

o凸函数的二阶导数在其定义域内始终非负，即f''(x) ≥0。

如果二阶导数在某个区间内严格大于零，则称该函数在该区间内是严格凸的。

这些性质使得我们能够通过观察函数的二阶导数来判断函数的形状，从而更好地理解函数的性质和行为。

在优化问题、经济学、概率论和统计学等多个领域，凸性和凹性的概念都非常重要，因为它们可以帮助我们分析和解决各种问题。

例如，在优化问题中，凸函数通常比凹函数更容易处理，因为凸函数的最优解通常是全局最优解，而凹函数的最优解则可能是局部最优解。

凸函数和凸的凸函数和凸集是数学中的两个重要概念，在数学和工程应用中非常常见。

本文将着重介绍这两个概念的定义、性质和应用。

一、凸函数1. 定义对于实数集合X上的函数f，如果对于任意的x1,x2∈X及实数α(0≤α≤1)，都有f(αx1+(1−α)x2)≤αf(x1)+(1−α)f(x2)则称f是X上的凸函数。

简单来说，就是图像上任意两点连线在函数图像下方时，该函数为凸函数。

如下图：2. 性质（1）凸函数的一阶导数单调增加。

（2）如果f(x)在[a,b]内是凸函数，则∀x∈(a,b)，有f(x)≤f(a)+f'(a)(x−a)或f(x)≤f(b)+f'(b)(x−b)（即解析式可以被类比为斜率大于等于零的直线），同时也可以得出：f(a)+f(b)2≥f(a+b2)即弦比切的定理。

（3）如果f(x)在[a,b]上是二次凸函数，则额外满足：f(a+x+b−a−2x2b−a)≤f(a)+f(b)2−f'(a)(b−a)4根据其定义可知，凸函数有一个很好的性质，即对于任意一个凸函数f(x)，其局部最小值也是全局最小值。

这个性质在优化问题中非常有用。

3. 应用凸函数在优化问题中很常见，比如线性规划、非线性规划、半正定规划以及凸优化等。

此外，凸函数在机器学习中也有非常广泛的应用，比如核方法、支持向量机等。

二、凸集1. 定义凸集是指对于一个实数集合X，如果对于其中的任意两个点x1,x2∈X及实数α(0≤α≤1)，有αx1+(1−α)x2∈X则称X是凸集。

也就是说，凸集内的任意两点连线上的任意一点也在凸集内。

如下图：2. 性质（1）凸集的交仍为凸集。

（2）凸集的凸组合一定在该凸集内。

（3）凸集的闭包也是凸集。

（4）如果X是凸集，则对于x∈X，X是以x为球心的超球体内的凸集。

3. 应用凸集和凸函数在很多方面都是密切相关的，比如凸优化和半正定规划等都涉及到凸集的概念。

凸集也被广泛应用于统计学和经济学中，例如一些概率模型的凸包上界（convex hull upper bound）和有效边界（efficient set）等等。

学院数学与信息科学学院专业数学与应用数学年级2009级姓名zym论文题目凸函数的性质与应用指导教师555职称副教授成绩2011 年06月10日目录摘要 (2)关键词 (2)Abstract (2)Keywords (2)前言 (2)1 凸函数的定义 (2)2 凸函数的性质 (4)2.1f为I上凸函数的充要条件 (4)2.2 f为区间I上的可导函数的相关等价论断 (4)3凸函数的应用 (6)参考文献 (7)函数的性质与应用学生姓名: *** 学号: 20095031390 数学与信息科学学院 数学与应用数学 指导教师: *** 职称: 副教授摘 要：本文从凸函数的定义出发,总结了凸函数的性质与应用 关键词：凸函数;性质;应用The properties and application of convex functionAbstract: From the definition of convex function, summarizes the convex function of theproperties and application.Key word: the definition of convex function; properties; application前言我们已经熟悉函数()2f x x =和()f x =的图象,它们不同的特点是:曲线2y x =上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方;而曲线y 则相反,任意两点间的弧段总在这两点连线的下方.我们把具有前一种特性的曲线称为凸的,相应的函数称为凸函数;后一种曲线称为凹的,相应的函数称为凹函数.下面通过一些例子来讨论凸函数的性质及应用,利用凸函数判断不等式的大小.1 凸函数的定义定义 1 设f 为定义在区间I 上的函数,若对I 上任意两点1x ,2x 和任意实数()0,1λ∈总有()()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≤+-， ()1则称f 为I 上的凸函数.反之,如果总有()()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≥+-, ()2则称f 为I 上的凹函数.如果若()1、()2中不等式改为严格不等式,则相应的函数称为严格凸函数和严格凹函数.例1 证明:f 为I 上凸函数的充要条件是对任何1,2x x I ∈,函数()()()121f x x ϕλλλ=+-为[]0,1上的凸函数.证 (必要性) 若f 为I 上的凸函数,则[]()12,0,1,0,1t α∀∈∈t ,有()()()()12121222111t t f t t t t t x ϕαααααα+-⎡⎤⎣⎦⎡⎤=+-++-+⎣⎦()()11212122211f t x t x x t x t x αααα=+-+---⎡⎤⎣⎦()()()1121212222111f t x t x x t x x t x αααααα=+-+-+---⎡⎤⎣⎦()()()()11122122111f t x t x t x t x αα⎡⎤=+-+-+-⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()()11122122111f t x t x f t x t x αα≤+-+-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()121t t αϕαϕ=+-，因此ϕ是[]0,1上的凸函数.(充分性) 若ϕ是[]0,1上的凸函数,则 []()12,0,1,0,1t α∀∈∈t , 则有()()()()121211t t t t ϕαααϕαϕ+-≤+-⎡⎤⎣⎦对 1,2y y I ∀∈,不妨设 12y y <,取1,2x x I ∈,使 1122x y y x ≤≤≤ , 并记()()111122212211y t x t x y t x t x =+-⎧⎪⎨=+-⎪⎩ 易知[]12,0,1t ∈t . ()0,1α∀∈,则()()()()()()()()121212111f y f y t t t t αααϕαϕϕαα+-=+-≥+-()()()121122211f t t x t t t x αααα⎡⎤=+-+--+⎣⎦ ()()()()()11122122111f t x t x t x t x αα⎡⎤=+-+-+-⎣⎦()()121f y y αα=+-，即f 是I 上的凸函数.2 凸函数的性质2.1 f 为I 上凸函数的充要条件引理1 f 为I 上的凸函数的充分必要条件是:对于I 上的任意三点123x x x <<, 总有()()()()21322132f x f x f x f x x x x x --≤-- ()3 引理2 f 为I 上的凸函数的充分必要条件是:对于I 上的任意三点123x x x <<,总有()()()()()()213132213132f x f x f x f x f x f x x x x x x x ---≤≤--- ()4 2.2 f 为区间I 上的可导函数的相关等价论断定理1 设f 为区间I 上的可导函数,则下述论断互相等价: 1 f 为I 上凸函数; 2 'f 为I 上的增函数;3 对I 上的任意两点()1212,x x x x <有()()()()21121'f x f x f x x x ≥+-.注意 论断3 的几何意义是:曲线()y f x =上任意一点处的切线(如果存在)总是在它的任一切线的上方，这是可导凸函数的几何特征. 定理2 设f 在区间I 上二阶可导,则有f 在I 上为凸函数()0f x ''⇔≥, x I ∈ 定理3 设f 是区间I 上的可微凸函数,则有0x I ∈是f 的极小值点()00f x '⇔=.例2 证明:()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内具有一阶和二阶导数，那么若在(,)a b 内"()0f x >，则()f x 在[],a b 上的图形是凸的.证 设1x 和2x 为[],a b 内任意两点,且12x x <,记 1202x x x +=, 2001x x x x h -=-=, 则10x x h =-, 20x x h =+ 由拉格郎日中值公式得()()()0001'f x h f x f x h h θ+-=+, ()()()0002'f x f x h f x h h θ--=-,其中1201,01θθ<<<<. 两式相减,即得()()()()()00001022''f x h f x h f x f x h f x h θθ++--=+--⎡⎤⎣⎦.对()'f x 在区间[]0201,x h x h θθ-+上再次利用拉格郎日中值公式可得()()()()2010212''''f x h f x h h f h θθξθθ+--=+⎡⎤⎣⎦,其中0201x h x h θξθ-<<+, ()"0f ξ>, 故有()()()00020f x h f x h f x ++-->,即()()()0002f x h f x h f x ++->,则()()121222f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭, 所以()f x 在[],a b 上的图形是凸的.定理 4 设f 是开区间I 上的一个凸函数,若[],I αβ⊂,则f 在[],αβ上满足利普希茨()Lipschitz 条件.证: 当取定[],I αβ⊂后,由于I 是开区间,必能在I 中选取四点,,,,a b c d 满足.a b c d αβ<<<<<应用引理2，任取[],,,x x x x αβ''''''∈<，得到()()()()()()f b f a f x f x f d f c b a x x d c'''---≤≤'''---.现令()()()()max ,f b f a f d f c L b a d c ⎧⎫--⎪⎪=⎨⎬--⎪⎪⎩⎭,则有()()f x f x L x x'''-≤'''-, [],,x x αβ'''∈由于上述常数L 与[],αβ中的点,x x '''无关,因此f 在[],αβ上满足利普希茨条件:0,L ∃>使()()f x f x L x x ''''''-≤-, [],,x x αβ'''∀∈.由[],αβ在I 上的任意性，证得f 在I 的任意内闭区间上都满足利普希茨条件.注 由定理4和引理2,可得以下两个重要推论:推论1 若f 在开区间I 上为凸函数,则f 在I 中处处连续.推论2 若f 在开区间I 上为凸函数,则f 在I 中每一点处的左、右导数都存在. 定理5 (詹森(Jensen)不等式)若f 为[],a b 上凸函数，则对任意[],,0i i x a b λ∈> ()11,2,...,,1ni i i n λ===∑，有()()()1111n n n n f x x f x f x λλλλ+⋅⋅⋅+≤+⋅⋅⋅+. ()53凸函数的应用例2 证明不等式()3a b c a b c abc a b c ++≤，其中,,a b c 均为正数.证 设()ln ,0f x x x x =>.由()f x 的一阶和二阶导数()'ln 1f x x =+，()1"f x x=可见,()ln f x x x =在0x >是为严格凸函数,依詹森不等式有()()()()133a b c f f a f b f c ++⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭，从而()1ln ln ln ln 333a b c a b c a a b b c c ++++≤++， 即3a b ca b c a b c a b c ++++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，又因3a b c++≤，所以 ()3a b c a b c abc a b c ++≤.例3 设f 为开区间I 内的凸函数,证明f 在I 内任一点0x 都存在左,右导数. 证 下面只证凸函数f 在0x 存在右导数,同理可证也存在左导数. 设 120h h <<, 则对 00102x x h x h <+<+ (这里取充分小的2h ,使02x h I +∈), 由引理中的()()()()()()213132213132f x f x f x f x f x f x x x x x x x ---≤≤---, 有()()()()01002012f x h f x f x h f x h h +-+-≤. 令()()()00f x h f x F h h+-=,故由上式可见F 为增函数.任取'x I ∈且0'x x <,则对任何0h >,只要0x h I +∈,也有()()()()()0000''f x f x f x h f x F h x x h-+-≤=-.由于上式左端式一个定数,因而函数()F h 在0h >上有下界.根据定理3极限()F h 存在,即()0'f x +存在.参考文献:[1]华东师范大学数学系.数学分析[M]. 北京: 高等教育出版社, 2001. [2]毛羽辉. 数学分析选论[M]. 北京: 科学出版社, 2003. [3]李成章, 黄玉民. 数学分析[M]. 北京: 科学出版社, 1999. [4]刘斌. 一元分析学[M]. 北京: 科学出版社, 2010. [5]张筑生. 数学分析新讲[M]. 北京: 北京大学出版社, 1990.学年论文成绩评定表。

凸函数的判定与应用凸函数是数学中一种常见的函数类型。

它在优化问题、经济学、工程和自然科学等领域中得到广泛应用。

本文将介绍凸函数的判定准则，以及凸函数在各个领域中的应用。

一、凸函数的定义与性质在数学中，凸函数可以通过其定义和性质来进行判定。

定义：设函数f在区间[a, b]上连续，在(a, b)内可导。

如果对于任意x1、x2∈[a, b]，以及任意0≤t≤1，都满足f(tx1+(1-t)x2)≤tf(x1)+(1-t)f(x2)，则称函数f为[a, b]上的凸函数。

性质：凸函数具有以下性质：1. 对于凸函数f(x)，若f''(x)存在且恒大于等于0，则f(x)是凸函数。

2. 若函数f(x)在[a,b]上是凸函数且在(a,b)内可导，则在(a,b)内f'(x)是递增函数。

二、凸函数与判定方法凸函数的判定方法包括一阶导数、二阶导数和Jensen不等式等。

1. 一阶导数判定法若函数f(x)在区间[a,b]上可导，且对于任意x1、x2∈(a,b)，有f'(x)在[a,b]上单调递增，则f(x)是在[a,b]上的凸函数。

2. 二阶导数判定法若函数f(x)在区间[a,b]上两次可导，且对于任意x∈(a,b)，有f''(x)≥0，则f(x)是在[a,b]上的凸函数。

3. Jensen不等式对于凸函数f(x)，若λ1、λ2、...、λn为非负实数，且满足λ1+λ2+...+λn=1，以及x1、x2、...、xn为任意n个区间[a,b]上的数，则有以下不等式成立：f(λ1x1+λ2x2+...+λnxn)≤λ1f(x1)+λ2f(x2)+...+λnf(xn)三、凸函数的应用领域凸函数广泛应用于各个领域，包括优化问题、经济学、工程和自然科学。

1. 优化问题在优化问题中，凸函数常被用来描述目标函数或约束条件。

由于凸函数具有良好的性质，如弱凹性和全局极小值，因此可以通过凸优化算法来求解各种优化问题。

02-凸函数02-凸函数⽬录⼀、基本性质和例⼦[凸函数] ⼀个函数 f:R n→R 是凸的，如果定义域 dom f 是凸集，并且对于所有 x,y∈f,θ≤1 ，我们有 f(θx+(1−θ)y)≤θf(x)+(1−θ)f(y).注：如果不能理解，从⼆维⾓度去理解⼏何解释：点 (x,f(x)) 和 (y,f(y)) 之间的线段在f对应的图像上⽅。

函数f是严格凸的，如果以上不等式在x≠y，且 0<θ<1 时也成⽴.函数f是凹的，当 −f是凸的，严格凹，当 −f是严格凸的。

仿射函数既是凸的也是凹的，反过来，既凹⼜凸的函数是仿射的。

⼀个函数是凸的当且仅当对任意x∈dom f和任意v，函数g(t)=f(x+tv) 是凸的， {t|x+tv∈dom f}.注：其实只是修改了⾃变量的表⽰，⼜由于⾃变量的集合是凸集，线性表⽰后仍然是凸集˜f:R n→R∪{∞} ,[扩展值] 将凸函数扩展到整个 R n ，通常令它在定义域之外取 ∞ 。

如果 f 是凸函数那么它的拓展为{˜f(x)=f(x)x∈domf∞x∉domf[⼀阶条件] 令函数 f 是可微的（也就是它的梯度 ∇f 在开集 domf 的每个点上都存在）。

那么 f 是凸的，当且仅当 domf 是凸的，并且对所有的 x,y∈domf 有：f(y)≥f(x)+∇f(x)T(y−x).注：其实同样可以从⼆维⾓度的考虑，⽆⾮就是 dy，也就是函数图像永远在某⼀点的切上上，同时 f(x)+∇f(x)T(y−x) 相当于 f 在 x 的⼀阶泰勒近似，如果你对泰勒展开公式熟悉，更好理解，因为泰勒展开是⽆穷阶的，只不过此处做了省略在每个点上，函数图像都⾼于在该点的切线。

解释：y的仿射函数f(x)+∇f(x)T(y−x) 是f在靠近x处的⼀阶泰勒近似。

上述不等式表达了这个⼀阶泰勒近似是函数的全局下限（globalunderestimator），反过来，如果函数的⼀阶泰勒近似总是函数的全局下限，那么这个函数是凸的。

凸函数的性质及其应用摘要：凸函数是一重要概念，本文通过对凸函数的定义及其等价定义的介绍，重点讲述了凸函数的六种性质及其应用． 关键词：凸函数；定义；性质；应用Convex F unction’s Several Definitions and The Properties ofDerivableAbstract: Convex function is an important concept, based on convex function is defined and its equivalent definitions discussed, and an overview of convex functions six properties and its application.Key words : convex function ；properties ；the properties of derivable ；application前言凸函数是一类很重要的函数，它在数学许多领域中有着广泛的应用，现已成为许多数学分支的理论基础和有力工具．本文对凸函数基本内容作了概述，主要包括：凸函数几种不同的定义及其六种不同性质，并对凸函数的应用作了简单研究．有助于今后的数学学习．.1凸函数的定义1.1凸函数定义1 设f 为定义在区间I 上的函数，若对I 上的任意的两点12,x x 和任意实数()0,1λ∈，总有()()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≤+- （1）则称f 为I 上的凸函数．如果上述的不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数．1.2 凸函数定义2若()f x 在区间I 上有定义，()f x 称为I 上的凸函数，当且仅当：12,x x I ∀∈，有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭． （2） 上式中“≤”改为“<”便是严格凸函数的定义．1.3 凸函数定义3若()f x 在区间I 上有定义，()f x 称为I 上的凸函数，当且仅当：12,,,n x x x I ∀⋅⋅⋅∈，有()()()1212n n f x f x f x x x x f n n ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⎛⎫≤⎪⎝⎭． （3） 上式中“≤”改为“<”便是严格凸函数的定义．1.4 凸函数定义4 若()f x 在区间I 上有定义．当且仅当曲线()y f x =的切线恒保持在曲线以下，则称()f x 为凸函数．若除切点之外，曲线严格保持在曲线的下方，则称()f x 为严格凸函数．注：下面我们将证明定义2,3,4是等价的．当()f x 连续时定义1,2,3等价，当()f x 处处可导时，定义1,2,3,4都等价．2凸函数定义的等价性定理2.1 定义2与定义3等价．证 由式（1）知式（3）当2n =时成立．现证4n =时式（3）成立．事实上，1234,,,x x x x I ∀∈，由式（3），我们有341212342242x x x x x x x x f f ++⎛⎫+ ⎪+++⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭341222x x x x f f ++⎛⎫⎛⎫≤+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()12344fx fx f x f x +++≤.此即式对4n =成立．一般来说，对任意以自然数k ，重复上面方法，应用（3）式k 次，可知()()()12122222k kk kf x f x f x x x x f ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⎛⎫≤⎪⎝⎭.这说明（3）式对一切 2k n =皆成立．下证（3）式对1n k =+成立时，必对n k =也成立．记 12kx x x A k++⋅⋅⋅+=，则12k x x x kA ++⋅⋅⋅+=,所以 121k x x x AA k ++⋅⋅⋅++=+．因为（3）式对1n k =+成立，故()121k x x x A f A f k ++⋅⋅⋅++⎛⎫= ⎪+⎝⎭()()()12()1k f x f x f x f A k ++⋅⋅⋅++≤+．不等式两边同乘以1k +，减去()f A ，最后除以k ，注意12kx x x A k++⋅⋅⋅+=，我们得到()()()1212k kf x f x f x x x x f k k ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⎛⎫≤⎪⎝⎭． 此式表示（3）对n k =成立．证毕． 定理2.2 若()f x 连续，则定义1,2,3等价． 证 在定义1中令12λ=， 则由式（1）得[]122(1)2x x f f x x λλ+⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()()()121f x f x λλ≤+-()()122f x f x +=()12,,x x I ∀∈. 3判定凸函数的方法定理 3.1 设()f x 是n R 到(),-∞+∞的实值函数，则()f x 是凸函数的充分必要条件是(),f x <∂()f y β<时，不等式 ()()11f x y λλλλβ-+<-∂+⎡⎤⎣⎦，01λ<<成立．定理3.2 设()f x 是n R 到(),-∞+∞的实值函数，则()f x 是凸函数的充分必要条件是,0,ni i x R λ∀∈≥ 1,i =…,,m11,mii λ==∑，不等式()1111()()m m m m f x x f x f x λλλλ+⋯+≤+⋯+成立．定理3.3 当且仅当对任意的x 和p ，,()x p g ∂是∂的凸函数时．则()f x 是凸函数． 证 设()f x 是凸函数，则当01λ≤≤时()(){},1212(1)1x p g f x pλλλλ-∂+∂=+-∂+∂⎡⎤⎣⎦=()()()121f x p x p λλ-+∂++∂⎡⎤⎣⎦()()()121f x p x p λλ≤-+∂++∂()()(),1,21x p x p g g λλ=-∂+∂故(),x p g ∂是凸函数．反之，设对于任意的(),,,x p x p g ∂是∂的凸函数．则()()(){}1110f x y f y x y λλλλ-+=+-⋅+⋅-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦(),110y x y g λλ-=-⋅+⋅⎡⎤⎣⎦()()(),,110y x y y x y g g λλ--≤-+=()()()1f x f y λλ-+．故()f x 是凸函数．定理 3.4 设f 为区间I 上的二阶可导函数，则在I 上f 为凸函数的充要条件是()()()''0''0f x f x ≥≤，x I ∈．注：定理3.4在凸函数应用中经常使用，须牢记.4 凸函数的性质关于凸函数的定义及其可导性，在上面已经作了详细叙述，下面介绍凸函数的一些性质，归纳为以下六点.定理4.1(割线斜率性质)：函数f 在区间I 上的凸函数⇔对123,,x x x I ∀∈，123x x x <<， 总有()()()()()()213132213132f x f x f x f x f x f x x x x x x x ---≤≤---.证 必要性 记3231x x x x λ-=-，则 ()2131x x x λλ=+-． 由f 得凸性知道()()()2131f x f x x λλ=+-≤()()()131f x f x λλ+-()()3221133131x x x xf x f x x x x x --=+--， 从而有()()()()()312321213()x x f x x x f x x x f x -≤-+-， 即()()()()()()()()322212321213x x f x x x f x x x f x x x fx-+-≤-+-， 整理后即得(1)式．充分性 在I 上任取两点()1313,x x x x ≤，在[]13,x x 上任取一点 ()2131x x x λλ=+-，()0,1λ∈，即3231x xx x λ-=-．由必要性的推导逆过程，可证得()()()()()()2131311f x f x x f x f x λλλλ=+-≤+-， 故f 为I 上得凸函数．同理可证，f 为I 上的凸函数的充要条件是：对于I 上任意三点123x x x <<，有()()()()()()213132213132fx f x f x f x f x f xx x x x x x ---≤≤---.定理4.2 (导数及切线性质) 设f 为区间I 上的可导函数，则下述论断互相等价： 1.f 为I 上凸函数； 2.'f 为I 上的增函数； 3.对I 上任意的两点12,x x ，有()()()()21121'f xf x f x x x ≥=- ．（4） 证（1→2）任取I 上两点()1212,x x x x <及充分小的正数h ．由于1122x h x x x h -<<<+，根据f 的凸性及引理有()()()()()()11212221f x f x h f x f x f x h f x h x x h---+-≤≤-， 由f 是可导函数，令0h +→时可得()()()()211221''f x f x f x f x x x -≤-，所以'f 为I 上的递增函数。