高考数学一轮复习第二章幂函数学案9文(含解析)

2.幂函数的图象
1
五个常用幂函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x 2 ，y＝x－1 的图 象，如图 2-9-1.
图 2-9-1
3.幂函数 y＝xα的图象 在第一象限内，直线 x＝1 的右侧，图象由下至上，指数α 由小到大；y 轴和直线 x＝1 之间，图象由上至下，指数α由小到 大.
1
4.五个常用幂函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x 2 ，y＝x－1 的性
质
幂函数 y＝x 定义域 R
值域 R 奇偶性 奇
y＝x2 R
[0，＋∞) 偶
y＝x3 R
R 奇
1
y＝ x 2 [_0_，__＋__∞__)
[0，＋∞) 非奇非偶
y＝x－1
(－∞，0)∪ (0，＋∞)
(_－__∞__，__0_)_∪_ _(0_，___＋__∞__)_
奇
单调性 定点
在(－∞，0) 单调 单调递减；
(2)若
x0
是方程12x＝x
1 3
的解，则
x0
属于区间(
)
A.23，1
B.12，23
C.13，12
D.0，13
解析：设
f(x)＝12x－x
1 3
，f(0)＝1>0，f13＝12
1 3
－13
1 3
，由幂
函数
1
y＝x 3 单调递增，得
f13＝12
1 3
－13
1 3
>0；f12＝12
1 2
－12
1 3
A.a<b<c
B.a<c<b
C.b<a<c
D.b<c<a

第9课 二次函数、幂函数(本课时对应学生用书第 页)自主学习 回归教材1.(必修1P54测试7改编)函数f (x )=x 2+2x-3，x ∈[0，2]的值域为 . 【答案】[-3，5]【解析】由f (x )=(x+1)2-4，知f (x )在[0，2]上单调递增，所以f (x )的值域是[-3，5].2.(必修1P47习题9改编)若函数y=x 2+(a+2)x+3，x ∈[a ，b ]的图象关于直线x=1对称，则b= .【答案】6【解析】由二次函数y=x 2+(a+2)x+3的图象关于直线x=1对称，可得-22a +=1，所以a=-4.而f (x )是定义在[a ，b ]上的，即a ，b 关于x=1对称，所以2a b+=1，所以b=6.3.(必修1P44习题3改编)函数f (x )=222-1[0)-2-1(-0)x x x x x x ∈∞∈∞⎧++⎨+⎩，，，，， 的单调增区间是 .【答案】R【解析】画出函数f (x )的图象可知.4.(必修1P89练习3改编)若幂函数y=f (x )的图象经过点193⎛⎫⎪⎝⎭，，则f (25)= .【答案】15【解析】设f (x )=x α，则13=9α，所以α=-12，即f(x)=1 -2x，所以f(25)=15.5.(必修1P73练习3改编)已知幂函数y=(m2-5m+7)·2-6mx在(0，+∞)上单调递增，那么实数m= .【答案】3【解析】由题意得22-571-60m mm⎧+=⎨>⎩，，解得m=3.1.二次函数的三种表示方法：(1)一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)；(2)两点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)；(3)顶点式：y=a(x-x0)2+n(a≠0).2.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴、顶点坐标、开口方向是处理二次函数问题的重要依据.3.一元二次方程根的分布问题二次函数对应的一元二次方程的实数根的分布问题是一个比较复杂的问题，给定一元二次方程f(x)=ax2+bx+c=0(a>0).(1)若f(x)=0在(m，n)(m<n)内有且只有一个实数解，则需满足f(m)·f(n)<0或f(m)=0，另一根在(m，n)内或f(n)=0，另一根在(m，n)内.(2)若f(x)=0在(m，n)(m<n)内有两个实数解，则需满足2-40()0()0-2b acf mf nbm na⎧∆=≥⎪>⎪⎪⎨>⎪⎪<<⎪⎩，，，.(3)设x 1，x 2为方程f (x )=0的两个实数根，若x 1<m<x 2，则f (m )<0；若m<x 1<n<p<x 2<q ，则需满足()0()0()0()0f m f n f p f q >⎧⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩，，，.(4)若方程f (x )=0的两个实数根中一根小于m ，另一根大于n (m<n )，则需满足()0()0f m f n <⎧⎨<⎩，. (5)若一元二次方程f (x )=0的两个实数根都大于r ，则需满足2-40-2()0b ac br a f r ⎧∆=≥⎪⎪>⎨⎪>⎪⎩，，.4.幂函数的图象与性质由幂函数y=x ，y=12x ，y=x 2，y=x -1，y=x 3的图象，可归纳出幂函数的性质如下：(1)幂函数在(0，+∞)上都有定义； (2)幂函数的图象都过点(1，1)；(3)当α>0时，幂函数的图象都过点(0，0)与(1，1)，且在(0，+∞)上单调递增； (4)当α<0时，幂函数的图象都不过点(0，0)，且在(0，+∞)上单调递减.5.五种幂函数的比较 (1)图象比较：(2)性质比较： 函数特征性质 y=xy=x 2y=x 3y=12xy=x -1定义域RRR[0，+∞){x|x ≠0}值域R [0，+∞) R [0，+∞) {y|y≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性增当x∈[0，+∞)时，单调递增；当x∈(-∞，0]时，单调递减增增当x∈(0，+∞)时，单调递减；当x∈(-∞，0)时，单调递减公共点(1，1)【要点导学】要点导学各个击破幂函数的图象与性质例1求下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性、单调性.(1)y=23 x；(2)y=3-2 x；(3)y=x-2.【思维引导】求幂函数的定义域，宜先将分数指数幂写成根式，再确定定义域；判断函数奇偶性、单调性的方法，一般用定义法.【解答】(1)要使函数y=23x有意义，只需32x x∈R，所以函数y=23x的定义域是R.又f(-x)=f(x)，所以函数y=23x是偶函数，它在(-∞，0]上是减函数，在[0，+∞)上是增函数.(2)要使函数y=3-2x 有意义，只需y=31x 有意义，即x ∈(0，+∞)，所以函数y=3-2x 的定义域是(0，+∞).由于函数y=3-2x 的定义域不关于原点对称，所以函数y=3-2x 是非奇非偶函数，它在(0，+∞)上是减函数.(3)要使函数y=x -2有意义，只需y=21x 有意义，即x ≠0，所以函数y=x -2的定义域是{x|x ≠0}.又f (-x )=f (x )，所以函数y=x -2是偶函数，它在(-∞，0)上是增函数，在(0，+∞)上是减函数.【精要点评】熟练进行分数指数幂与根式的互化，是研究幂函数性质的基础.在函数解析式中含有分数指数幂时，可以把它们的解析式化成根式，根据“偶次根号下非负”这一条件来求出对应函数的定义域；当函数解析式的幂指数为负数时，根据负指数幂的意义将其转化为分式形式，根据分式的分母不能为0这一限制条件来求出对应函数的定义域，求函数的定义域的本质是解不等式或不等式组.变式 如果幂函数f (x )=213-22p p x++(p ∈Z )是偶函数，且在(0，+∞)上是增函数，求p 的值，并写出相应的函数f (x )的解析式.【解答】因为f (x )在(0，+∞)上是增函数，所以-12p 2+p+32>0，即p 2-2p-3<0，所以-1<p<3.又因为f (x )是偶函数且p ∈Z ，所以p=1，故f (x )=x 2.【精要点评】幂函数y=x α的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)α的正负：α>0时，图象过原点和(1，1)，在第一象限的图象上升；α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降.(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凹；0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凹.求二次函数的解析式例2 已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )>-2x 的解集为(1，3).(1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的实数根，求函数f(x)的解析式；(2)若f(x)的最大值为正数，求实数a的取值范围.【思维引导】由不等式f(x)>-2x的解集为(1，3)，可先把f(x)表示出来，再利用方程f(x)+6a=0有两个相等的根，求出a，从而求出f(x)的解析式，最后把其最大值表示出来，求a 的取值范围.【解答】(1)因为f(x)+2x>0的解集为(1，3)，所以f(x)+2x=a(x-1)(x-3)，且a<0.于是f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a. ①由方程f(x)+6a=0，得ax2-(2+4a)x+9a=0. ②因为方程②有两个相等的根，所以Δ=[-(2+4a)]2-4a·9a=0，即5a2-4a-1=0，解得a=1或a=-1 5.又a<0，所以a=-1 5.将a=-15代入①得f(x)的解析式为f(x)=-15x2-65x-35.(2)由f(x)=ax2-2(1+2a)x+3a=212-aa xa+⎛⎫⎪⎝⎭-241a aa++及a<0，得f(x)的最大值为-241 a aa++.由241-0a aaa⎧++>⎪⎨⎪<⎩，，解得a<-2或-2<a<0.故当f(x)的最大值为正数时，实数a的取值范围是(-∞，-2)∪(-20).【精要点评】二次函数、一元二次不等式和一元二次方程之间具有非常密切的关系：一元二次不等式的解集的端点就是其对应的一元二次方程的根，也就是二次函数与x轴的交点.因而在解题时要充分利用它们之间的关系.变式 (2015·栟茶中学)已知二次函数f (x )=ax 2+bx+c 图象的顶点为(-1，10)，且方程ax 2+bx+c=0的两根的平方和为12，求二次函数f (x )的解析式.【解答】由题意可设f (x )=a (x+1)2+10， 即f (x )=ax 2+2ax+a+10，所以b=2a ，c=a+10. 设方程ax 2+bx+c=0的两根为x 1，x 2， 则21x +22x =12，即(x 1+x 2)2-2x 1x 2=12，所以(-2)2-2×10a a =12，解得a=-2，所以f (x )=-2x 2-4x+8.二次函数的图象和性质(最值)微课3 ● 问题提出二次函数的图象与性质的重要应用是求函数的最值，那么利用二次函数的性质求函数的最大(小)值的解题模板是怎样的呢?● 典型示例例3 函数f (x )=2x 2-2ax+3在区间[-1，1]上的最小值记为g (a ). (1)求g (a )的函数表达式； (2)求g (a )的最大值. 【思维导图】【规范解答】(1)①当a<-2时，函数f (x )的对称轴x=2a<-1，则g (a )=f (-1)=2a+5；②当-2≤a ≤2时，函数f (x )的对称轴x=2a∈[-1，1]，则g (a )=f 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=3-22a ； ③当a>2时，函数f (x )的对称轴x=2a>1，则g (a )=f (1)=5-2a.综上所述，g (a )=225-23--2225-2 2.a a a a a a +<⎧⎪⎪≤≤⎨⎪>⎪⎩，，，，，(2)①当a<-2时，由(1)知g (a )<1；②当-2≤a ≤2时，由(1)知g (a )∈[1，3]；③当a>2时，由(1)知g (a )<1.综合①②③可得g (a )max =3.【精要点评】(1)利用二次函数的性质求函数的最大(小)值，一定要结合图形来分析在何处取得最值，当题目中含有参数时，要根据对称轴与区间的位置关系分类讨论；(2)利用图象求函数的最大(小)值；(3)利用函数单调性判断函数的最大(小)值：如果函数y=f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，在区间[b ，c ]上单调递减，则函数y=f (x )在x=b 处有最大值f (b )；如果函数y=f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，在区间[b ，c ]上单调递增，则函数y=f (x )在x=b 处有最小值f (b ).● 总结归纳二次函数在某区间上的最值(或值域)的求法要熟练掌握，特别是含参数的两类问题(定轴动区间、定区间动轴)的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指的是对称轴.● 题组强化1.函数y=3+2x-x 2(0≤x ≤3)的最小值为 . 【答案】0【解析】因为y=3+2x-x 2=-(x-1)2+4，所以函数在[0，1]上单调递增，在[1，3]上单调递减， 所以y=3+2x-x 2(0≤x ≤3)的最小值为y=3+2×3-32=0.2.(2014·泰州中学)已知函数f (x )=x 2+(2a-1)x-3，若函数f (x )在[-1，3]上的最大值为1，则实数a= .【答案】-13或-1【解析】函数f(x)的对称轴为直线x=-2-12a.①当-2-12a≤1，即a≥-12时，f(x)max=f(3)=1，所以6a+3=1，即a=-13，满足题意；②当-2-12a>1，即a<-12时，f(x)max=f(-1)=1，所以-2a-1=1，即a=-1，满足题意.综上，a=-13或-1.3.(2015·南京阶段测试)设函数f(x)=x2-4x-4在闭区间[t，t+1](t∈R)上的最小值为g(t).(1)求g(t)的解析式.(2)作出g(t)的大致图象，并写出g(t)的最小值.【解答】(1)f(x)=x2-4x-4=(x-2)2-8.当t>2时，f(x)在[t，t+1]上是增函数，所以g(t)=f(t)=t2-4t-4；(第3题)当t≤2≤t+1，即1≤t≤2时，g(t)=f(2)=-8；当t+1<2，即t<1时，f(x)在区间[t，t+1]上是减函数，所以g(t)=f(t+1)=t2-2t-7.综上可知，g(t)=22-2-71 -812-4-4 2. t t ttt t t⎧<⎪≤≤⎨⎪>⎩，，，，，(2)g(t)的大致图象如图所示，由图象易知g(t)的最小值为-8.4.已知13≤a≤1，若f(x)=ax2-2x+1在区间[1，3]上的最大值为M(a)，最小值为N(a)，令g(a)=M(a)-N(a).(1)求g(a)的函数表达式；(2)判断函数g(a)的单调性，并求出g(a)的最小值.【解答】(1)f(x)=ax2-2x+1=21-a xa⎛⎫⎪⎝⎭+1-1a，由题设知1≤1a≤3.当1≤1a≤2，即12≤a≤1时，M (a)=f(3)=9a-5，N(a)=f(x)min=1-1a，g(a)=9a-5-11-a⎛⎫⎪⎝⎭=9a+1a-6；当2<1a≤3，即13≤a<12时，M(a)=f(1)=a-1，N(a)=f(x)min=1-1a，g(a)=(a-1)-11-a⎛⎫⎪⎝⎭=a+1a-2.所以g(a)=111-232119-6 1.2a aaa aa⎧+≤<⎪⎪⎨⎪+≤≤⎪⎩，，，(2)当13≤a1<a2<12时，g(a2)-g(a1)=(a2-a1)1211a a⎛⎫-⎪⎝⎭<0，所以g(a)在1132⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数，最小值是g12⎛⎫⎪⎝⎭=12；当12≤a1<a2≤1时，g(a2)-g(a1)=(a2-a1)1219-a a⎛⎫⎪⎝⎭>0，所以g(a)在112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数，最小值是g12⎛⎫⎪⎝⎭=12. 三个“二次”之间的转换例4已知函数f(x)=x2，g(x)=x-1.(1)若存在x∈R使得f(x)<b·g(x)，求实数b的取值范围；(2)设F(x)=f(x)-mg(x)+1-m-m2，且|F(x)|在[0，1]上单调递增，求实数m的取值范围.【思维引导】(1)存在x ∈R ，使得f (x )<b ·g (x )⇒x 2-bx+b<0的解集不是∅⇒二次函数f (x )=x 2-bx+b 的图象与x 轴有两个交点⇒Δ>0.(2)先结合判别式的符号研究函数y=F (x )的图象，再根据翻折变换研究函数y=|F (x )|在[0，1]上的图象，利用数形结合思想讨论对称轴和零点的位置确定参数m 的取值范围.【解答】(1)存在x ∈R ，f (x )<b ·g (x )⇒存在x ∈R ，使得x 2-bx+b<0⇒(-b )2-4b>0⇒b<0或b>4.故实数b 的取值范围为(-∞，0)∪(4，+∞). (2)F (x )=x 2-mx+1-m 2，Δ=m 2-4(1-m 2)=5m 2-4.①当Δ≤0，即-≤m≤时，必须2m≤0，则-≤m ≤0. ②当Δ>0，即m<-或m>时，设方程F (x )=0的根为x 1，x 2(x 1<x 2).若2m≥1，则x 1≤0，即212(0)1-0mF m ⎧≥⎪⎨⎪=≤⎩，⇒m ≥2；若2m≤0，则x 2≤0，即202(0)1-0mF m ⎧≤⎪⎨⎪=≥⎩，⇒-1≤m<-. 综上所述，实数m 的取值范围为[-1，0]∪[2，+∞).【精要点评】二次函数与一元二次方程、一元二次不等式统称三个“二次”，它们之间有着密切的联系，而二次函数又是三个“二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体.因此，有关三个“二次”的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法.变式(2014·金陵中学)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0，c>0)的图象与x轴有两个不同的公共点，且f(c)=0，当0<x<c时，恒有f(x)>0.(1)当a=13，c=2时，求不等式f(x)<0的解集；(2)若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8，且ac=12，求a的值；(3)若f(0)=1，且f(x)≤m2-2m+1对所有的x∈[0，c]恒成立，求正实数m的最小值.【解答】当a=13，c=2时，f(x)=13x2+bx+2，因为f(x)的图象与x轴有两个不同的交点，且f(2)=0，所以f(x)=0的一个根为2，设另一个根为x1，则2x1=6，即x1=3.所以f(x)<0的解集为{x|2<x<3}.(2)因为函数f(x)的图象与x轴有两个交点，且f(c)=0，所以f(x)=0的一个根为c，设另一个根为x2，则cx2=ca，即x2=1a.又当0<x<c时，恒有f(x)>0，则1a>c，则三个交点分别为(c，0)，1a⎛⎫⎪⎝⎭，，(0，c)，以三上交点为顶点的三角形的面积S=11-2ca⎛⎫⎪⎝⎭c=8，且ac=12，解得a=18，c=4.(3)当0<x<c时，恒有f(x)>0，则1a>c，所以f(x)在[0，c]上单调递减，且在x=0处取得最大值1.要使f(x)≤m2-2m+1对所有的x∈[0，c]恒成立，必须f(x)max=1≤m2-2m+1成立，所以m2-2m+1≥1，即m2-2m≥0，解得m≥2或m≤0，又m>0，所以m的最小值为2.1.(2015·启东中学)已知函数f(x)=x，x∈[-1，8]，函数g(x)=ax+2，x∈[-1，8]，若存在x∈[-1，8]，使f(x)=g(x)成立，则实数a的取值范围是.【答案】3-4∞⎛⎤⎥⎝⎦，∪[3，+∞)【解析】分别作出函数f(x)=x，x∈[-1，8]与函数g(x)=ax+2，x∈[-1，8]的图象.当直线经过点(-1，-1)时，a=3；当直线经过点(8，8)时，a=34.结合图象有a≤34或a≥3.2.(2014·南通一中)若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(-2，0)，B(4，0)两点，且函数的最大值为9，则这个二次函数的表达式是.【答案】y=-x2+2x+8【解析】由题意设二次函数表达式为y=a(x+2)(x-4)(a<0)，对称轴为直线x=1，当x=1时，y max=-9a=9，所以a=-1，所以y=-(x+2)(x-4)=-x2+2x+8.3.(2016·苏州期中)设函数f(x)=2-40--30x xx x⎧>⎨<⎩，，，，若f(a)>f(1)，则实数a的取值范围是.【答案】(-∞，-1)∪(1，+∞)【解析】当a>0时，f(a)>f(1)⇒2a-4>-2⇒a>1；当a<0时，f(a)>f(1)⇒-a-3>-2⇒a<-1.故实数a的取值范围为(-∞，-1)∪(1，+∞).4.(2014·镇江期末)已知a∈R，函数f(x)=x2-2ax+5.(1)若不等式f(x)>0对任意的x∈(0，+∞)恒成立，求实数a的取值范围；(2)若a>1，且函数f(x)的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值.【解答】(1)因为x2-2ax+5>0对任意的x∈(0，+∞)恒成立，所以2a<x+5x对x>0恒成立.因为x>0时，x+5 x≥25，当且仅当x=5x，即x=5时取等号，所以min5xx⎛⎫+⎪⎝⎭=25，所以2a<25，即a<5.(2)因为f(x)=x2-2ax+5的图象的对称轴为x=a(a>1)，所以f(x)在[1，a]上为减函数，所以f(x)的值域为[f(a)，f(1)].又因为f(x)的值域为[1，a]，所以22()-251(1)1-25f a a af a a⎧=+=⎨=+=⎩，，解得a=2.【融会贯通】融会贯通能力提升(2014·南通调研)设a为实数，函数f(x)=x2+|x-a|+1，x∈R，求f(x)的最小值.【思维引导】【规范解答】①当x ≤a 时，函数f (x )=x 2-x+a+1=21-2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+a+34，其对称轴方程为x=12.………………………………………………………………………2分若a ≤12，则对称轴x=12在区间(-∞，a ]的右侧，f (x )在此区间上单调递减，此时f (x )的最小值为f (a )=a 2+1；……………………………………………………………4分若a>12，则对称轴x=12在区间(-∞，a ]内，此时f (x )的最小值为f 12⎛⎫ ⎪⎝⎭=34+a (7)分②当x ≥a 时，函数f (x )=x 2+x-a+1=212x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-a+34， 其对称轴方程为x=-12.………………………………………………………………………9分若a>-12，则对称轴x=-12在区间[a ，+∞)的左侧，f (x )在[a ，+∞)上单调递增，此时f (x )的最小值为f (a )=a 2+1.……………………………………………………………11分若a ≤-12，则对称轴x=-12在区间[a ，+∞)内，此时f (x )的最小值为f 1-2⎛⎫ ⎪⎝⎭=34-a.综上，当a ≤-12时，f (x )min =34-a ；当-1 2<a≤12时，f(x)min=a2+1；当a>12时，f(x)min=34+a (14)分趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第17~18页.【检测与评估】第9课二次函数、幂函数一、填空题1.若函数f(x)=(m2-m-1)2-2-3m mx是幂函数，且在x∈(0，+∞)上是减函数，则实数m的值为.2.函数y=2x2-8x+2在区间[-1，3]上的值域为.3.已知幂函数f(x)=xα的部分对应值如下表：x 112f(x) 122则不等式f(|x|)≤2的解集是.4.若二次函数f(x)=ax2+bx+1满足f(x1)=f(x2)，则f(x1+x2)= .5.若函数f(x)=4x2-mx+5在区间[-2，+∞)上是单调增函数，则f(1)的取值范围为.6.若函数f(x)=-x2+(2a-1)|x|+1的定义域被分成了四个不同的单调区间，则实数a的取值范围是.7.(2014·苏中三市、连云港二调)已知对任意的x∈R，函数f(x)满足f(-x)=f(x)，且当x≥0时，f(x)=x2-ax+1.若f(x)有4个零点，则实数a的取值范围是.8.(2015·北京海淀区)如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c为实数，a≠0)的图象过点C(t，2)，且与x轴交于A，B两点，若AC⊥BC，则实数a= .(第8题)二、解答题9.设关于x的一元二次方程ax2+x+1=0(a>0)有两个实数根x1，x2.(1)求(1+x1)(1+x2)的值；(2)求证：x1<-1且x2<-1；(3)如果1211010xx⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，试求a的最大值.10.设a为实数，函数f(x)=x|x-a|，其中x∈R.(1)判断函数f(x)的奇偶性，并加以证明；(2)写出函数f(x)的单调区间.11.(2014·盐城一中)已知函数f(x)=ax2+bx+1(a，b∈R)，x∈R.(1)若函数f(x)的最小值为f(-1)=0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；(2)在(1)的条件下，若f(x)>x+k在区间[-3，-1]上恒成立，试求k的取值范围.三、 选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果) 12.已知函数f (x )=ax 2-|x |+2a -1(a 为实常数). (1)若a =1，求函数f (x )的单调区间；(2)若a >0，设函数f (x )在区间[1，2]的最小值为g (a )，求g (a )的表达式；【检测与评估答案】第9课 二次函数、幂函数1.2 【解析】由题意知m 2-m-1=1，解得m=2或m=-1.当m=2时，m 2-2m-3=-3，f (x )=x -3符合题意；当m=-1时，m 2-2m-3=0，f (x )=x 0不合题意.综上，m=2.2.[-6，12] 【解析】y=2(x-2)2-6，当x=2时，y 取得最小值为-6；当x=-1时，y 取得最大值为12.3.{x|-4≤x ≤4} 【解析】由f 12⎛⎫ ⎪⎝⎭=⇒α=12，故f (|x|)≤2⇒|x 12|≤2⇒|x|≤4，故其解集为{x|-4≤x ≤4}.4.1 【解析】因为f (x 1)=f (x 2)且f (x )的图象关于直线x=-2b a 对称，所以x 1+x 2=-ba ，所以f (x 1+x 2)=f -b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=a ·22b a -b ·b a +1=1.5. [25，+∞) 【解析】由题意知8m≤-2，所以m ≤-16，所以f (1)=9-m ≥25.6. 12∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，【解析】f (x )=-x 2+(2a-1)|x|+1的图象是由函数f (x )=-x 2+(2a-1)x+1的图象变化得到的.第一步去除y 轴左侧的图象，保留y 轴右侧的图象，再作关于y 轴对称的图象.因为定义域被分成四个单调区间，所以f (x )=-x 2+(2a-1)x+1的对称轴在y 轴的右侧，使y 轴右侧有两个单调区间，对称后有四个单调区间，所以2-12a >0，即a>12.7.(2，+∞) 【解析】由题意得f (x )为偶函数.因为f (x )有4个零点，又f (0)=1>0，所以当x>0时，f (x )=x 2-ax+1有2个零点，所以202-40aa ⎧>⎪⎨⎪∆=>⎩，，解得a>2.8.-12 【解析】设y=a (x-x 1)(x-x 2)，由题设知a (t-x 1)(t-x 2)=2.又AC ⊥BC ，利用斜率关系得12-t x ·22-t x =-1，所以a=-12.9.(1)由题意知x 1+x 2=-1a ，x 1x 2=1a ，所以(1+x 1)(1+x 2)=1+(x 1+x 2)+x 1x 2=1-1a +1a =1.(2)令f (x )=ax 2+x+1(a>0)，由Δ=1-4a ≥0，得0<2a ≤12，所以一元二次方程f (x )的对称轴方程x=-12a ≤-2<-1.又f (-1)=a>0，所以f (x )的图象与x 轴的交点都在点(-1，0)的左侧，故x 1<-1且x 2<-1.(3)由(1)知x 1=211x +-1=-221x x +，所以12x x =-21110110x ⎡⎤∈⎢⎥+⎣⎦，，所以-211101111x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，， 所以a=121x x =-2221x x +=2211---2x ⎡⎤⎛⎫⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦+14，故当-21x =12时，a 取得最大值14.10.(1) 当a=0时，f (x )=x|x|，因为定义域为R ，关于原点对称，且f (-x )=-x|-x|=-f (x )，所以f (x )为奇函数.当a ≠0时，因为f (a )=0，f (-a )=-a|2a|，所以f (-a )≠f (a )，f (-a )≠ -f (a )，所以f (x )是非奇非偶函数.(2) 当a=0时，f (x )=220-0x x x x ⎧≥⎨<⎩，，，，f (x )的单调增区间为(-∞，+∞)；当a>0时，f (x )=22--x ax x a x ax x a ⎧≥⎨+<⎩，，，，f (x )的单调增区间为-2a ∞⎛⎫ ⎪⎝⎭，和(a ，+∞)，f (x )的单调减区间为2a a ⎛⎫⎪⎝⎭，； 当a<0时，f (x )=22--x ax x a x ax x a ⎧≥⎨+<⎩，，，，f (x )的单调增区间为(-∞，a )和2a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，f (x )的单调减区间为2a a ⎛⎫⎪⎝⎭，.11.(1)由题意知f (-1)=a-b+1=0，且-2ba =-1，所以a=1，b=2.所以f (x )=x 2+2x+1，单调减区间为(-∞，-1]，单调增区间为[-1，+∞). (2)f (x )>x+k 在区间[-3，-1]上恒成立， 即x 2+x+1>k 在[-3，-1]上恒成立.设g (x )=x 2+x+1，x ∈[-3，-1]，有k<g (x )min . 因为g (x )在[-3，-1]上单调递减， 所以g (x )min =g (-1)=1.所以k<1，即k的取值范围为(-∞，1).12.(1) 当a=1时，f(x)=x2-|x|+1=22-1010x x xx x x⎧+≥⎨++<⎩，，，=2213-0241324x xx x⎧⎛⎫+≥⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪++<⎪⎪⎝⎭⎩，，，，所以f(x)的单调增区间为11-022∞⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，f(x)的单调减区间为11--022∞⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，.(2) 由于a>0，当x∈[1，2]时，f(x)=ax2-x+2a-1=a21-2xa⎛⎫⎪⎝⎭+2a-14a-1.①当0<12a<1，即a>12时，f(x)在[1，2]上为增函数，g(a)=f(1)=3a-2；②当1≤12a≤2，即14≤a≤12时，g(a)=f12a⎛⎫⎪⎝⎭=2a-14a-1；③当12a>2，即0<a<14时，f(x)在[1，2]上为减函数，g(a)=f(2)=6a-3.综上，g(a)=16-3041112--144213-2.2a aa aaa a⎧<<⎪⎪⎪≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩，，，，，21。

1．五种常见幂函数的图象与性质2．二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； (2)顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)； (3)零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 3．二次函数的图象和性质[小题体验]1．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点(9,3)，则函数的解析式为________________． 答案：f (x )＝x 12(x ≥0)2．(2019·天一中学高三测试)已知点P 1(x 1,2 019)和P 2(x 2,2 019)在二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋9的图象上，则f (x 1＋x 2)的值为________．答案：93．已知f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为[a －1,2a ]，则y ＝f (x )的值域为________． 答案：⎣⎡⎦⎤1，31271．对于函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，要认为它是二次函数，就必须满足a ≠0，当题目条件中未说明a ≠0时，就要讨论a ＝0和a ≠0两种情况．2．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．[小题纠偏]1．已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值范围是________． 答案：⎝⎛⎭⎫120，＋∞ 2．给出下列命题： ①函数y ＝2x 是幂函数；②如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点； ③当n ＜0时，幂函数y ＝x n 是定义域上的减函数；④二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[m ，n ]的最值一定是4ac －b 24a.其中正确的是________(填序号)． 答案：②考点一 幂函数的图象与性质基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．(2018·苏州高三期中调研)已知幂函数y ＝x 2m－m 2(m ∈N *)在(0，＋∞)是增函数，则实数m 的值是________．解析：由题意知2m －m 2＞0，解得0＜m ＜2，因为m ∈N *，所以m ＝1. 答案：12．(2019·常州一中检测)已知函数f (x )＝(3－m )x 2m－5是幂函数，则f ⎝⎛⎭⎫12＝________.解析：函数f (x )＝(3－m )x 2m －5是幂函数，则3－m ＝1，解得m ＝2， ∴f (x )＝x －1，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝2. 答案：23．若(a ＋1)12＜(3－2a )12，则实数a 的取值范围是________． 解析：易知函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥0，3－2a ≥0，a ＋1＜3－2a ，解得－1≤a ＜23.答案：⎣⎡⎭⎫－1，23 [谨记通法]幂函数的指数与图象特征的关系(1)幂函数的形式是y ＝x α(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式． (2)若幂函数y ＝x α(α∈R)是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断． (3)若幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α＜0. 考点二 二次函数的解析式重点保分型考点——师生共研[典例引领]已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式． 解：法一：(利用一般式) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.故所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.法二：(利用顶点式) 设f (x )＝a (x －m )2＋n .因为f (2)＝f (－1)，所以抛物线对称轴为x ＝2＋－12＝12.所以m ＝12，又根据题意函数有最大值8，所以n ＝8，所以y ＝f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －122＋8.因为f (2)＝－1，所以a ⎝⎛⎭⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4， 所以f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 法三：(利用零点式)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1. 又函数有最大值y max ＝8，即4a－2a －1－a 24a＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍去)，故所求函数解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.[由题悟法]求二次函数解析式的方法[即时应用]1．已知二次函数f (x )的图象的顶点坐标是(－2，－1)，且图象经过点(1,0)，则函数的解析式为f (x )＝________.解析：法一：设所求解析式为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由已知得⎩⎨⎧－b2a＝－2，4ac －b24a＝－1，a ＋b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝19，b ＝49，c ＝－59，所以所求解析式为f (x )＝19x 2＋49x －59.法二：设所求解析式为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由已知得⎩⎪⎨⎪⎧－b2a ＝－2，4a －2b ＋c ＝－1，a ＋b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝19，b ＝49，c ＝－59，所以所求解析式为f (x )＝19x 2＋49x －59.法三：设所求解析式为f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)． 由已知得f (x )＝a (x ＋2)2－1， 将点(1,0)代入，得a ＝19，所以f (x )＝19(x ＋2)2－1，即f (x )＝19x 2＋49x －59.答案：19x 2＋49x －592．已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，求f (x )的解析式．解：因为f (2－x )＝f (2＋x )对x ∈R 恒成立， 所以f (x )的对称轴为x ＝2.又因为f (x )的图象被x 轴截得的线段长为2， 所以f (x )＝0的两根为1和3.设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)． 又因为f (x )的图象过点(4,3)， 所以3a ＝3，a ＝1.所以所求f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)， 即f (x )＝x 2－4x ＋3.考点三 二次函数的图象与性质题点多变型考点——多角探明[锁定考向]高考对二次函数图象与性质的考查．常与一元二次方程、一元二次不等式等知识交汇． 常见的命题角度有： (1)二次函数的单调性问题； (2)二次函数的最值问题；(3)二次函数中恒成立问题．[题点全练]角度一：二次函数的单调性问题1．(2019·江安中学测试)已知函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝⎛⎭⎫12，1上为增函数，则f (2)的取值范围是________．解析：函数f (x )的图象(抛物线)开口向上，对称轴为x ＝a －12，若函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫12，1上为增函数，则a －12≤12，解得a ≤2，所以f (2)＝4－(a －1)×2＋5≥7，即f (2)≥7.答案：[7，＋∞)角度二：二次函数的最值问题2．(1)(2019·苏州测试)已知函数f (x )＝x 2＋abx ＋a ＋2b ，若f (0)＝4，则f (1)的最大值为________． (2)已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时，有最大值2，则a 的值为________．解析：(1)因为f (0)＝4，所以a ＋2b ＝4，即a ＝4－2b ，所以f (1)＝ab ＋a ＋2b ＋1＝ab ＋5＝(4－2b )b ＋5＝－2b 2＋4b ＋5＝－2(b －1)2＋7，所以当b ＝1时，f (1)的最大值为7.(2)函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，x ∈[0,1]，对称轴方程为x ＝a . 当a ＜0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ， 所以1－a ＝2，所以a ＝－1.当0≤a ≤1时，f (x )max ＝f (a )＝a 2－a ＋1， 所以a 2－a ＋1＝2，即a 2－a －1＝0， 解得a ＝1±52(舍去)．当a ＞1时，f (x )max ＝f (1)＝a ，所以a ＝2. 综上可知，a ＝－1或a ＝2. 答案：(1)7 (2)－1或2 角度三：二次函数中恒成立问题3．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋1，f (x )＞x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，则k 的取值范围为________． 解析：由题意得x 2＋x ＋1＞k 在区间[－3，－1]上恒成立． 设g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]， ∵g (x )在[－3，－1]上单调递减， ∴g (x )min ＝g (－1)＝1.∴k ＜1.故k 的取值范围为(－∞，1)． 答案：(－∞，1)[通法在握]1．二次函数最值问题的3种类型及解题思路(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动． (2)思路：抓“三点一轴”，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴． 2．由不等式恒成立求参数取值范围的2大思路及1个关键 (1)思路：一是分离参数；二是不分离参数．(2)关键：两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .[演练冲关]已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]． (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数．解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－5,5]，所以当x ＝1时，f (x )取得最小值1； 当x ＝－5时，f (x )取得最大值37.(2)函数f (x )＝(x ＋a )2＋2－a 2的图象的对称轴为直线x ＝－a ，因为y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数，所以－a ≤－5或－a ≥5，即a ≤－5或a ≥5.故a 的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·清河中学检测)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α＝________.解析：由幂函数的定义知k ＝1.又f ⎝⎛⎭⎫12＝22，所以⎝⎛⎭⎫12α＝22，解得α＝12，从而k ＋α＝32. 答案：322．(2019·连云港调研)若函数f (x )＝－x 2＋2(a －1)x ＋2在(－∞，4)上为增函数，则a 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝－x 2＋2(a －1)x ＋2的对称轴为x ＝a －1， f (x )＝－x 2＋2(a －1)x ＋2在(－∞，4)上为增函数， ∴对称轴x ＝a －1≥4，∴a ≥5. 答案：[5，＋∞)3．(2018·淮阴模拟)已知函数f (x )＝x 2－m是定义在区间[－3－m ，m 2－m ]上的奇函数，则f (m )，f (0)的大小关系为________．解析：因为函数f (x )是奇函数，所以－3－m ＋m 2－m ＝0，解得m ＝3或－1.当m ＝3时，函数f (x )＝x－1，定义域不是[－6,6]，不合题意；当m ＝－1时，函数f (x )＝x 3在定义域[－2,2]上单调递增，又m ＜0，所以f (m )＜f (0)．答案：f (m )＜f (0)4．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋m ，若|f (x )|在区间[0,1]上单调，则实数m 的取值范围为________． 解析：因为f (x )＝x 2＋x ＋m ，且|f (x )|在区间[0,1]上单调， 所以f (x )在[0,1]上满足f (0)·f (1)≥0， 即m (1＋1＋m )≥0，解得m ≥0或m ≤－2. 答案：(－∞，－2]∪[0，＋∞)5．若二次函数f (x )＝－x 2＋4x ＋t 图象的顶点在x 轴上，则t ＝________. 解析：由于f (x )＝－x 2＋4x ＋t ＝－(x －2)2＋t ＋4图象的顶点在x 轴上， 所以f (2)＝t ＋4＝0， 所以t ＝－4. 答案：－46．(2019·杭州测试)若函数f (x )＝x 2－2x ＋1在区间[a ，a ＋2]上的最小值为4，则实数a 的取值集合为________．解析：因为函数f (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2的图象的对称轴为直线x ＝1，f (x )在区间[a ，a ＋2]上的最小值为4，所以当a ≥1时，f (x )min ＝f (a )＝(a －1)2＝4，a ＝－1(舍去)或a ＝3；当a ＋2≤1，即a ≤－1时，f (x )min ＝f (a ＋2)＝(a ＋1)2＝4，a ＝1(舍去)或a ＝－3； 当a ＜1＜a ＋2，即－1＜a ＜1时，f (x )min ＝f (1)＝0≠4. 故a 的取值集合为{－3,3}． 答案：{－3,3}二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·海安中学检测)已知幂函数f (x )＝x α，其中α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，12，1，2，3.则使f (x )为奇函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数的α的取值集合为________．解析：若幂函数f (x )为奇函数，则α＝－1,1,3，又f (x )在区间(0，＋∞)上是单调增函数，所以α的取值集合为{1,3}．答案：{1,3}2．(2019·武汉调研)已知幂函数f (x )＝x m2－4m(m ∈Z)的图象关于y 轴对称，且在区间(0，＋∞)上为减函数，则m 的值为________．解析：∵幂函数f (x )＝x m2－4m(m ∈Z)在区间(0，＋∞)上为减函数，∴m 2－4m ＜0，解得0＜m ＜4. 又m ∈Z ，∴m ＝1或m ＝2或m ＝3.当m ＝1时，f (x )＝x －3，图象不关于y 轴对称；当m ＝2时，f (x )＝x －4，图象关于y 轴对称；当m ＝3时，f (x )＝x －3，图象不关于y 轴对称．综上，m 的值为2. 答案：23．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a ＞0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是________． 解析：不等式x 2－4x －2－a ＞0在区间(1,4)内有解等价于a ＜(x 2－4x －2)max ， 令f (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)， 所以f (x )＜f (4)＝－2，所以a ＜－2. 答案：(－∞，－2)4．(2018·泰州中学调研)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，f (x )＝x 2－2x ＋1，不等式f (x 2－3)＞f (2x )的解集为________．解析：根据题意，f (x )是定义在R 上的奇函数，则有f (0)＝0，当x ＜0时，f (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2为减函数，则当x ＞0时，f (x )也为减函数，综上可得f (x )在R 上为减函数，若f (x 2－3)＞f (2x )，则有x 2－3＜2x ，解得－1＜x ＜3，即不等式f (x 2－3)＞f (2x )的解集为(－1,3)．答案：(－1,3)5．若函数f (x )＝x α2－2α－3(常数α∈Z)为偶函数，且在(0，＋∞)上是单调递减函数，则α的值为________．解析：根据幂函数的性质，要使函数f (x )为偶函数，且在(0，＋∞)上是单调递减函数，则α2－2α－3为偶数，且α2－2α－3＜0，解不等式可得－1＜α＜3.因为α∈Z ，所以α＝0,1,2.当α＝0时，α2－2α－3＝－3，不满足条件；当α＝1时，α2－2α－3＝－4，满足条件；当α＝2时，α2－2α－3＝－3，不满足条件，所以α＝1.答案：16．若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为⎣⎡⎦⎤－254，－4，则m 的取值范围是________．解析：二次函数图象的对称轴为x ＝32，且f ⎝⎛⎭⎫32＝－254，f (3)＝f (0)＝－4，由图得m ∈⎣⎡⎦⎤32，3.答案：⎣⎡⎦⎤32，37．对于任意实数x ，函数f (x )＝(5－a )x 2－6x ＋a ＋5恒为正值，则a 的取值范围是________．解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧5－a ＞0，Δ＝36－45－a a ＋5＜0，解得－4＜a ＜4. 答案：(－4,4)8．(2019·南通一调)若函数f (x )＝ax 2＋20x ＋14(a ＞0)对任意实数t ，在闭区间[t －1，t ＋1]上总存在两实数x 1，x 2，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥8成立，则实数a 的最小值为________．解析：由题意可得，当x ∈[t －1，t ＋1]时，[f (x )max －f (x )min ]min ≥8，当[t －1，t ＋1]关于对称轴对称时，f (x )max －f (x )min 取得最小值，即f (t ＋1)－f (t )＝2at ＋a ＋20≥8，f (t －1)－f (t )＝－2at ＋a －20≥8，两式相加，得a ≥8，所以实数a 的最小值为8.答案：89．已知幂函数f (x )＝x21(m m )－＋(m ∈N *)．(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性．(2)若该函数f (x )的图象经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )＞f (a －1)的实数a 的取值范围．解：(1)因为m 2＋m ＝m (m ＋1)(m ∈N *)，而m 与m ＋1中必有一个为偶数， 所以m 2＋m 为偶数， 所以函数f (x )＝x21(m m )－＋(m ∈N *)的定义域为[0，＋∞)，并且该函数在[0，＋∞)上为增函数．(2)因为函数f (x )的图象经过点(2，2)， 所以2＝221(m m )－＋，即212＝221(m m )－＋，所以m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2.又因为m ∈N *，所以m ＝1，f (x )＝x 12. 又因为f (2－a )＞f (a －1)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a ＞a －1，解得1≤a ＜32，故函数f (x )的图象经过点(2，2)时，m ＝1.满足条件f (2－a )＞f (a －1)的实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫1，32. 10．(2019·启东检测)已知a ∈R ，函数f (x )＝x 2－2ax ＋5.(1)若a ＞1，且函数f (x )的定义域和值域均为[1，a ]，求实数a 的值； (2)若不等式x |f (x )－x 2|≤1对x ∈⎣⎡⎦⎤13，12恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)因为f (x )＝x 2－2ax ＋5的图象的对称轴为x ＝a (a ＞1)， 所以f (x )在[1，a ]上为减函数， 所以f (x )的值域为[f (a )，f (1)]． 又已知值域为[1，a ]，所以⎩⎪⎨⎪⎧f a ＝a 2－2a 2＋5＝1，f 1＝1－2a ＋5＝a ，解得a ＝2.(2)由x |f (x )－x 2|≤1，得－12x 2＋52x ≤a ≤12x 2＋52x .(*)令1x＝t ，t ∈[2,3]， 则(*)可化为－12t 2＋52t ≤a ≤12t 2＋52t .记g (t )＝－12t 2＋52t ＝－12⎝⎛⎭⎫t －522＋258， 则g (t )max ＝g ⎝⎛⎭⎫52＝258，所以a ≥258； 记h (t )＝12t 2＋52t ＝12⎝⎛⎭⎫t ＋522－258， 则h (t )min ＝h (2)＝7，所以a ≤7， 综上所述，258≤a ≤7.所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤258，7. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2019·金陵中学期中)设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )与g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为f (x )与g (x )的“关联区间”．若f (x )＝13x 3－x 2－x 与g (x )＝2x ＋b 的“关联区间”是[－3,0]，则b 的取值范围是________． 解析：由题意设m (x )＝f (x )－g (x )＝13x 3－x 2－3x －b ，则m ′(x )＝x 2－2x －3，由m ′(x )＝0，得m ＝－1或m ＝3.∵f (x )与g (x )在[－3,0]上是“关联函数”，∴x ＝－1是函数m (x )在[－3,0]上的极大值，同时也是最大值．要使m (x )＝f (x )－g (x )在[－3,0]上有两个不同的零点，则⎩⎪⎨⎪⎧m 00，m －1＞0，m －30，即⎩⎪⎨⎪⎧－b ≤0，53－b ＞0，－9－b ≤0，解得0≤b ＜53，故b 的取值范围是⎣⎡⎭⎫0，53.答案：⎣⎡⎭⎫0，532．(2019·泰州中学检测)已知函数f (x )＝x 2＋(x －1)·|x －a |.(1)若a ＝－1，求满足f (x )＝1的x 的取值集合；(2)若函数f (x )在R 上单调递增，求实数a 的取值范围；(3)若a ＜1且不等式f (x )≥2x －3对一切实数x ∈R 恒成立，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝－1时，有f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 2－1，x ≥－1，1，x ＜－1.当x ≥－1时，令2x 2－1＝1，解得x ＝1或x ＝－1；当x ＜－1时，f (x )＝1恒成立，∴x 的取值集合为{x |x ≤－1或x ＝1}．(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 2－a ＋1x ＋a ，x ≥a ，a ＋1x －a ，x ＜a ，若f (x )在R 上单调递增，且f (x )是连续的，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋14≤a ，a ＋1＞0，解得a ≥13， 即实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫13，＋∞.(3)设g (x )＝f (x )－(2x －3)，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 2－a ＋3x ＋a ＋3，x ≥a ，a －1x －a ＋3，x ＜a .若不等式g (x )≥0对一切实数x ∈R 恒成立，则当x＜a时，∵a＜1，∴g(x)单调递减，其值域为(a2－2a＋3，＋∞)．∵a2－2a＋3＝(a－1)2＋2＞2，∴g(x)≥0恒成立．当x≥a时，∵a＜1，∴a＜a＋34，∴g(x)min＝g⎝⎛⎭⎫a＋34＝a＋3－a＋328≥0，得－3≤a≤5.∵a＜1，∴－3≤a＜1，综上，a的取值范围是[－3,1)．。

第4讲幂函数与二次函数板块一知识梳理·自主学习[必备知识]考点幂函数的图象和性质1．五种幂函数图象的比较2．幂函数的性质比较[必会结论]1．一元二次不等式恒成立的条件(1)ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，Δ＜0.(2)ax 2＋bx ＋c ＜0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＜0.2．二次函数表达式的三种形式 (1)一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．(2)顶点式：y ＝a (x ＋h )2＋k (其中a ≠0，顶点坐标为(－h ，k ))．(3)两根式：y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(其中a ≠0，x 1，x 2是二次函数的图象与x 轴的两个交点的横坐标)．[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)幂函数的图象都经过点(1,1)和(0,0)．( )(2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )，不可能是偶函数．( )(3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b24a.( )(4)当α<0时，幂函数y ＝x α是定义域上的减函数．( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×2．[2018·济南诊断]已知幂函数f (x )＝kx α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝( )A.12 B ．1 C.32 D ．2答案 C解析 由幂函数的定义知k ＝1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，解得α＝12，从而k ＋α＝32. 3．[课本改编]设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3答案 A解析 α＝－1,1,3时幂函数为奇函数，当α＝－1时定义域不是R ，所以α＝1,3.故选A.4．[课本改编]函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时，f (x )是增函数，当x ∈(－∞，－2]时，f (x )是减函数，则f (1)的值为( )A ．－3B ．13C ．7D ．5答案 B解析 ∵m4＝－2，∴m ＝－8，∴f (1)＝13.选B.5．[课本改编]函数f (x )＝－x 2＋4x ＋1(x ∈[－1,1])的最大值等于________． 答案 4解析 因为对称轴为x ＝2∉[－1,1]，所以函数在[－1,1]上单调递增，因此当x ＝1时，函数取最大值4.6．[课本改编]已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫120，＋∞ 解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1－20a <0，解得a >120.板块二典例探究·考向突破考向幂函数的图象与性质例 1 (1)函数f(x)＝(m2－m－1)x m是幂函数，且在x∈(0，＋∞)上为增函数，则实数m的值是( )A．－1 B．2C．3 D．－1或2答案 B解析f(x)＝(m2－m－1)x m是幂函数⇒m2－m－1＝1⇒m＝－1或m＝2.又x∈(0，＋∞)上是增函数，所以m＝2.(2)[2016·全国卷Ⅲ]已知a＝243，b＝425，c＝2513，则( )A．b<a<c B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b 答案 A解析因为a＝243＝423，c＝2513＝523，函数y＝x23在(0，＋∞)上单调递增，所以423<523，即a<c，又因为函数y＝4x在R上单调递增，所以423<423，即b<a，所以b<a<c.故选A.触类旁通幂函数的图象特征(1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x ＝1，y＝1，y＝x分区域．根据α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．【变式训练1】(1)已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)x n2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为( )A．－3 B．1C．2 D．1或2答案 B解析由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1 或n＝－3，经检验只有n ＝1符合题意．故选B.(2)[2018·昆明模拟]设a＝20.3，b＝30.2，c＝70.1，则a，b，c的大小关系为( )A．a＜c＜b B．c＜a＜bC．a＜b＜c D．c＜b＜a答案 B解析 由已知得a ＝80.1，b ＝90.1，c ＝70.1，构造幂函数y ＝x 0.1，x ∈(0，＋∞)，根据幂函数的单调性，知c ＜a ＜b .考向求二次函数的解析式例 2 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．解 解法一：(利用一般式) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 解法二：(利用顶点式) 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． ∵f (2)＝f (－1)，∴抛物线的对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12.∴m ＝12.又根据题意函数有最大值8，∴n ＝8.∴y ＝f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8.∵f (2)＝－1，∴a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4，∴f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.解法三：(利用两根式)由已知f (x )＋1＝0两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)(a ≠0)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值f (x )max ＝8，即4a (－2a －1)－a24a ＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍)．∴所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 触类旁通确定二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：【变式训练2】 已知二次函数f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (0)＝0，f (1)＝1，求f (x )的解析式．解 解法一：(一般式)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，a ＋b ＋c ＝1，－b 2a ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，c ＝0，∴f (x )＝－x 2＋2x .解法二：(两根式)∵对称轴方程为x ＝1， ∴f (2)＝f (0)＝0，f (x )＝0的两根分别为0,2. ∴可设其解析式为f (x )＝ax (x －2)． 又∵f (1)＝1，可得a ＝－1， ∴f (x )＝－x (x －2)＝－x 2＋2x .解法三：(顶点式)由已知，可得顶点为(1,1)， ∴可设其解析式为f (x )＝a (x －1)2＋1. 又由f (0)＝0，可得a ＝－1， ∴f (x )＝－(x －1)2＋1＝－x 2＋2x .考向二次函数的图象和性质命题角度1 二次函数的单调性例 3 已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]．(1)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数； (2)当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间．解 (1)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4.(2)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，∴f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－4,6]，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋3，x ∈(0，6]，x 2－2x ＋3，x ∈[－4，0].∴f (|x |)的单调递增区间是(0,6]， 单调递减区间是[－4,0]． 命题角度2 二次函数的最值例 4 [2016·浙江高考]已知函数f (x )＝x 2＋bx ，则“b <0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 因为f (x )＝x 2＋bx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 22－b 24，其最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2＝－b 24.因为f (f (x ))＝[f (x )]2＋b ·f (x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )＋b 22－b 24.因为f (x )min ＝－b 24，若f [f (x )]与f (x )的最小值相等，当且仅当f (x )＝－b 2≥－b 24时成立，解得b <0或b >2，所以“b <0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的充分不必要条件．故选A.命题角度3 二次函数中恒成立问题例 5 [2018·石家庄模拟]设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1＜x ＜4的一切x 值都有f (x )＞0，则实数a 的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞解析 由f (x )＞0，即ax 2－2x ＋2＞0，x ∈(1,4)，得a ＞－2x 2＋2x在(1,4)上恒成立．令g (x )＝－2x 2＋2x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122＋12，1x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1，所以g (x )max ＝g (2)＝12，所以要使f (x )＞0在(1,4)上恒成立，只要a ＞12即可．触类旁通二次函数的最值及恒成立问题(1)解决二次函数最值问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．(2)解决二次函数恒成立问题有两个解题思路：一是分离参数，思路的依据是：a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min ；二是不分离参数，对参数进行分类讨论．核心规律1.幂函数y ＝x α(α∈R )的图象的特征当α＞0时，图象过原点和点(1,1)，在第一象限图象上升； 当α＜0时，图象过点(1,1)，但不过原点，在第一象限图象下降．2.在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助二次函数图象数形结合求解，一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值的符号四个方面分析．3.在研究一元二次不等式的有关问题时，一般借助二次函数图象及性质求解． 满分策略1.幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限．如果幂函数与坐标轴有交点，则交点一定是原点．2.对于函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，若它是二次函数，则必须满足a ≠0.当题目条件中未说明a ≠0时，就要分a ＝0和a ≠0两种情况讨论．3.对于与二次函数有关的不等式恒成立问题或存在性问题，应注意进行等价转化.板块三 启智培优·破译高考数学思想系列2——分类讨论破解二次函数最值问题[2018·广州模拟]已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在0≤x ≤1时有最大值2，求实数a 的值．解题视点 函数的对称轴是x ＝a 位置不定，并且在不同位置产生的结果也不相同，所以要对对称轴的位置进行分类讨论．解 当对称轴x ＝a <0时，如图1所示，当x ＝0时，y 有最大值y max ＝f (0)＝1－a ，所以1－a ＝2，即a ＝－1，且满足a <0，∴a ＝－1.当0≤a ≤1时，如图2所示，当x ＝a 时，y 有最大值y max ＝f (a )＝－a 2＋2a 2＋1－a ＝a 2－a ＋1.∴a 2－a ＋1＝2，解得a ＝1±52.∵0≤a ≤1，∴a ＝1±52(舍去)．当a >1时，如图3所示． 当x ＝1时，y 有最大值．y max ＝f (1)＝2a －a ＝2.∴a ＝2，且满足a >1，∴a ＝2. 综上可知，a 的值为－1或2.答题启示 二次函数在区间上的最值问题，可分成三类：①对称轴固定，区间固定；②对称轴变动，区间固定；③对称轴固定，区间变动.此类问题一般利用二次函数的图象及其单调性来考虑，对于后面两类问题，通常应分对称轴在区间内、左、右三种情况讨论.跟踪训练设函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，求函数f (x )的最小值．解 f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，函数图象的对称轴为x ＝1. 当t ＋1<1，即t <0时，函数图象如图(1)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为减函数，所以最小值为f (t ＋1)＝t 2＋1；当t ≤1≤t ＋1，即0≤t ≤1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x ＝1处取得最小值，最小值为f (1)＝1；当t >1时，函数图象如图(3)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为增函数，所以最小值为f (t )＝t 2－2t ＋2.综上可知，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋1，t <0，1，0≤t ≤1，t 2－2t ＋2，t >1.板块四 模拟演练·提能增分[A 级 基础达标]1．[2018·秦皇岛模拟]若幂函数的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14，则它的单调递增区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(－∞，＋∞) D ．(－∞，0)答案 D解析 设y ＝x a ，则14＝2a ，∴a ＝－2，∴y ＝x －2其单调递增区间为(－∞，0)．故选D.2．[2018·武汉模拟]如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，那么( )A ．f (0)<f (2)<f (－2)B ．f (0)<f (－2)<f (2)C ．f (2)<f (0)<f (－2)D ．f (－2)<f (0)<f (2)答案 A解析 由f (1＋x )＝f (－x )知函数f (x )图象的对称轴为x ＝12，而抛物线的开口向上，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪0－12＝12，⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－12＝32，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2－12＝52，根据到对称轴的距离远的函数值较大得f (－2)>f (2)>f (0)．故选A.3．若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．[－2,2] C ．(－2,2] D ．(－∞，－2)答案 C解析 当a －2＝0即a ＝2时，不等式为－4<0，恒成立．当a －2≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ<0，解得－2<a <2，所以a 的取值范围是－2<a ≤2.故选C.4．已知幂函数f (x )＝x α，当x >1时，恒有f (x )<x ，则α的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(－∞，1) C ．(0，＋∞) D ．(－∞，0)答案 B解析 当x >1时，恒有f (x )<x ，即当x >1时，函数f (x )＝x α的图象在y ＝x 的图象的下方，作出幂函数f (x )＝x α在第一象限的图象，由图象可知α<1时满足题意．故选B.5．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ，x ∈[m,5]的值域是[－5,4]，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1,2] C ．[－1,2] D ．[2,5)答案 C解析 二次函数f (x )＝－x 2＋4x 的图象是开口向下的抛物线，最大值为4，且在x ＝2时取得，而当x ＝5或－1时，f (x )＝－5，结合图象可知m 的取值范围是[－1,2]．6．[2018·吉林松原月考]设函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a ＞0)，已知f (m )＜0，则( ) A ．f (m ＋1)≥0B ．f (m ＋1)≤0C ．f (m ＋1)＞0D ．f (m ＋1)＜0答案 C解析 ∵f (x )的对称轴为x ＝－12，f (0)＝a ＞0，∴f (x )的大致图象如图所示．由f (m )＜0，f (－1)＝f (0)＝a >0，得－1＜m ＜0，∴m ＋1＞0，又∵x >－12时，f (x )单调递增，∴f (m ＋1)＞f (0)＞0.7．[2017·浙江高考]若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( )A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关答案 B解析 解法一：设x 1，x 2分别是函数f (x )在[0,1]上的最小值点与最大值点，则m ＝x 21＋ax 1＋b ，M ＝x 22＋ax 2＋b .∴M －m ＝x 22－x 21＋a (x 2－x 1)，显然此值与a 有关，与b 无关．故选B.解法二：由题意可知，函数f (x )的二次项系数为固定值，则二次函数图象的形状一定．随着b 的变动，相当于图象上下移动，若b 增大k 个单位，则最大值与最小值分别变为M ＋k ，m ＋k ，而(M ＋k )－(m ＋k )＝M －m ，故与b 无关．随着a 的变动，相当于图象左右移动，则M －m 的值在变化，故与a 有关．故选B.8．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2在[－5,5]上是单调函数，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，－5]∪[5，＋∞)解析 f (x )＝(x ＋a )2＋2－a 2，图象的对称轴为x ＝－a ，由题意可知－a ≥5或－a ≤－5，解得a ≤－5或a ≥5.9．[2018·合肥模拟]若函数f (x )＝ 2x 2＋2ax －a－1的定义域为R ，则a 的取值范围为________．答案 [－1,0]解析 函数f (x )的定义域为R ，所以2x 2＋2ax －a －1≥0对x ∈R 恒成立，即2x 2＋2ax －a≥20，x 2＋2ax －a ≥0恒成立，因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0.10．[2018·南昌模拟]如果函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，那么实数a ＝________.答案 1解析 因为函数f (x )＝x 2－ax －a 的图象为开口向上的抛物线，所以函数的最大值在区间的端点取得．因为f (0)＝－a ，f (2)＝4－3a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a >4－3a ，－a ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧－a ≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1.[B 级 知能提升]1．[2018·浙江模拟]已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则( )A ．a >0,4a ＋b ＝0B ．a <0,4a ＋b ＝0C ．a >0,2a ＋b ＝0D ．a <0,2a ＋b ＝0答案 A解析 由f (0)＝f (4)，得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝－b2a ＝2，所以4a ＋b ＝0，又f (0)>f (1)，所以f (x )先减后增，所以a >0.选A.2.如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3,0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2>4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a <b . 其中正确的是( ) A ．②④ B ．①④ C ．②③ D ．①③答案 B解析 因为图象与x 轴交于两点，所以b 2－4ac >0，即b 2>4ac ，①正确． 对称轴为x ＝－1，即－b2a ＝－1,2a －b ＝0，②错误．结合图象，当x ＝－1时，y >0，即a －b ＋c >0，③错误．由对称轴为x ＝－1知，b ＝2a .又函数图象开口向下，所以a <0，所以5a <2a ，即5a <b ，④正确．3．[2018·北京西城模拟]已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 12，0≤x ≤c ，x 2＋x ，－2≤x <0，其中c >0.那么f (x )的零点是________；若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2，则c 的取值范围是________．答案 －1和0 (0,4]解析 当0≤x ≤c 时，由x 12 ＝0得x ＝0.当－2≤x <0时，由x 2＋x ＝0，得x ＝－1，所以函数零点为－1和0.当0≤x ≤c 时，f (x )＝x 12，所以0≤f (x )≤c ；当－2≤x <0时，f (x )＝x 2＋x ＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋122－14，所以此时－14≤f (x )≤2.若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2，则有c ≤2，即0<c ≤4，即c 的取值范围是(0,4]．4．[2018·江苏模拟]已知f (x )＝－4x 2＋4ax －4a －a 2在[0,1]内的最大值为－5，求a 的值．解 f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22－4a ，对称轴为x ＝a2，①当a2≥1，即a ≥2时，f (x )在[0,1]上递增，∴f (x )max ＝f (1)＝－4－a 2， 令－4－a 2＝－5，得a ＝±1(舍去)．②当0<a2<1，即0<a <2时，f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝－4a ，令－4a ＝－5，得a ＝54.③当a2≤0，即a ≤0时，f (x )在[0,1]上递减，∴f (x )max ＝f (0)＝－4a －a 2，令－4a －a 2＝－5， 得a ＝－5或a ＝1(舍去)．综上所述，a ＝54或－5.5.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x .现已画出函数f (x )在y 轴左侧的图象，如图所示，请根据图象：(1)写出函数f (x )(x ∈R )的增区间；(2)写出函数f (x )(x ∈R )的解析式；(3)若函数g (x )＝f (x )－2ax ＋2(x ∈[1,2])，求函数g (x )的最小值． 解 (1)f (x )在区间(－1,0)，(1，＋∞)上单调递增．(2)设x >0，则－x <0，函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x ， 所以f (x )＝f (－x )＝(－x )2＋2×(－x )＝x 2－2x (x >0)，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x (x >0)，x 2＋2x (x ≤0).(3)g (x )＝x 2－2x －2ax ＋2，对称轴方程为x ＝a ＋1， 当a ＋1≤1，即a ≤0时，g (1)＝1－2a 为最小值；当1<a ＋1≤2，即0<a ≤1时，g (a ＋1)＝－a 2－2a ＋1为最小值； 当a ＋1>2，即a >1时，g (2)＝2－4a 为最小值． 综上可得g (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ，a ≤0，－a 2－2a ＋1，0<a ≤1，2－4a ，a >1.。