全国版2017版高考数学一轮复习第七章立体几何7.5直线平面垂直的判定及其性质课件理

∵AA1⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,
∴BD⊥AA1,又AA1∩AD=A,AA1⊂平面A1AD,AD⊂平面A1AD,
∴BD⊥平面A1AD,又BD⊂平面A1BD,
∴平面A1BD⊥平面A1AD.
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考点1
考点2
考点3
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(2)解 连接 A1C,S 四边形 ABCD=2S△ABD=2×2AD×BD=√3,
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知识梳理
双基自测
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2
3
4
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1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.
(1)已知直线a,b,c,若a⊥b,b⊥c,则a∥c.( × )
(2)若直线l与平面α内的无数条直线都垂直,则l⊥α.( × )
(3)设m,n是两条不同的直线,α是一个平面,若m∥n,m⊥α,则n⊥α. (
思考证明线面垂直的常用方法有哪些?
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考点1
考点2
考点3
证明 (1)因为AB⊥平面PAD,PH⊂平面PAD,
所以PH⊥AB.
因为PH为△PAD中AD边上的高,所以PH⊥AD.
因为AB∩AD=A,AB⊂平面ABCD,AD⊂平面ABCD,
所以PH⊥平面ABCD.
(2)如图,取PA的中点M,连接MD,ME.
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 依题意,由l⊥β,l⊂α可以推出α⊥β;反过来,由α⊥β,l⊂α不能
推出l⊥β.因此“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件,故选A.
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知识梳理
双基自测
1
2
3

所以EF＝ 2 ，EF＝3 3，
37
27
3
在Rt△AEF中，tan∠AEF＝AEFF＝3
2
＝ 3
37，
27
即二面角A－PB－C的正切值为
7 3.
答案
1．证明面面垂直的两种方法 (1)定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二 面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题． (2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一 个平面的一条垂线，把问题转化成证明线线垂直加以解决．
解析
2．如图，S是Rt△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC，D为斜边AC 的中点．
(1)求证：SD⊥平面ABC； (2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
证明 (1)如图所示，取AB的中点E，连接SE，DE，在Rt△ABC中，D， E分别为AC，AB的中点．
∴DE∥BC，∴DE⊥AB， ∵SA＝SB，∴SE⊥AB. 又SE∩DE＝E， ∴AB⊥平面SDE.
1．已知一个正四棱柱的体对角线长为 6，且体对角线与底面所成的角 的余弦值为 33，则该四棱柱的表面积为________．
答案 10
答案
解析
如图可知，BD＝
6×
3＝ 3
2，
DD1＝
BD21－BD2 ＝
6－2 ＝2，底面边长AB＝
2×
2 2
＝1，所以所求
表面积为4AA1·AB＋2AB2＝4×2×1＋2×12＝10.
基础知识过关
1．直线与平面垂直 判定定理与性质定理
2．平面与平面垂直 判定定理与性质定理
3.直线和平面所成的角
(1)定义：一条斜线和它在平面上的 □01 射影 所成的 □02 锐角 叫做这

两种 方法
(fāngfǎ)
(1)面面垂直的定义； (2)面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)
一个(yī 在已知两个平面垂直时，一般要用性质(xìngzhì)定理进行
ɡè)转 转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，
化 然后进一步转化为线线垂直
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研透高考(ɡāo kǎo)·深化提能
[典例] (2019·郑州一测)如图，在三棱 锥 P-ABC 中，平面 PAB⊥平面 ABC，AB ＝6，BC＝2 3，AC＝2 6，D 为线段 AB 上的点，且 AD＝2DB，PD⊥AC.
(1)求证：PD⊥平面 ABC； (2)若∠PAB＝π4，求点 B 到平面 PAC 的距离．
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3．已知 PD 垂直于正方形 ABCD 所在的平面，连接 PB，PC， PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有________对． 解析：由于 PD⊥平面 ABCD，故平面 PAD ⊥平面 ABCD，平面 PDB⊥平面 ABCD， 平面 PDC⊥平面 ABCD，平面 PDA⊥ 平面 PDC，平面 PAC⊥平面 PDB， 平面 PAB⊥平面 PAD, 平面 PBC⊥平面 PDC，共 7 对． 答案：7
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[解] (1)证明：在△ ABC 中，由余弦定理可得， BC＝ AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC ＝ 4＋1－2×2×1×12＝ 3， ∴BC2＋AC2＝AB2，∴BC⊥AC， ∵平面 ADC⊥平面 ABC，平面 ADC∩平面 ABC＝AC， ∴BC⊥平面 ADC， 又 BC⊂平面 BDC，∴平面 BDC⊥平面 ADC.

开卷速查(四十四) 直线、平面垂直的判定及其性质A级基础巩固练1．[2014·浙江]设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面。

( )A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α解析：选项A、B、D中m均可能与平面α平行、垂直、斜交或在平面α内，故选C。

答案：C2．[2016·珠海模拟]在空间中，l，m，n，a，b表示直线，α表示平面，则下列命题正确的是( )A．若l∥α，m⊥l，则m⊥αB．若l⊥m，m⊥n，则m∥nC．若a⊥α，a⊥b，则b∥αD．若l⊥α，l∥a，则a⊥α解析：对于A，m与α位置关系不确定，故A错，对于B，当l与m，m与n为异面垂直时，m 与n可能异面或相交，故B错，对于C，也可能b⊂α，故C错，对于D，由线面垂直的定义可知正确。

答案：D3．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在( )A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析：由AC⊥AB，AC⊥BC1，∴AC⊥平面ABC1。

又∵AC⊂面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC。

∴C1在面ABC上的射影H必在两平面交线AB上。

答案：A4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下面命题正确的是( )A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC解析：在平面图形中CD⊥BD，折起后仍有CD⊥BD，由于平面ABD⊥平面BCD，故CD⊥平面ABD，CD⊥AB，又AB⊥AD，故AB⊥平面ADC，所以平面ABC⊥平面ADC。