同济-高等数学-第三版(6.1) 第一节 微分方程的基本概念

2.求微分方程 y 4 y 3 y 0 的积分曲线方程, 使其在点(0,2)与直线x-y+2=0相切.
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四、设f(x)是二阶可微函数，且 f ( x) f ( x) f ( x) 0
证明若f(x)在某不同两点处的函数值为0， 则f(x)在该两点之间恒为零。
设x1, x2使f ( x1 ) f ( x2 ) 0
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y(n) p1( x) y(n1) pn1( x) y pn( x) y 0
(1)
y(n) p1( x) y(n1) pn1( x) y pn( x) y f ( x) (2)
定理3 设y*是非齐次线性方程(2)的特解， Y是齐次线性方程(1)的通解, 则 y=Y+y* 是非齐次线性方程(2)的通解。
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定理2：若 y1( x)与 y2( x)是方程
y p( x) yq( x) y 0 (1)的两个线性无关
的特解, 则 y C1 y1 C2 y2就是方程(1)的通解. 五、二阶常系数线性微分方程的解法
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一、填空题
综合练习
1.曲线族 y Cx2 所满足的一阶微分方程是_x_y__ 2 y
f ( x) f ( x) f ( x) 0 ( x1 x x2 )
r2 r 1 0
r1,2
1 (1 2
5)
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故f ( x) C1er1x C2er2x f ( x1) f ( x2 ) 0 C1er1x1 C2er2x1 0
C1er1x2 C2er2x2 0 C1 C2 பைடு நூலகம் 故f(x)=0
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y(n) p1( x) y(n1) pn1( x) y pn( x) y f1( x) (3) y(n) p1( x) y(n1) pn1( x) y pn( x) y f2( x) (4) 定理4 设 y1* , y2* 分别是方程(3)与(4)的特解, 则 y1* y2* 是方程 y(n) p1( x) y(n1) pn1( x) y pn( x) y f1( x) f2( x) 的特解。

将yerx代入方程ypyqy0得 (r2prq)erx0
由此可见,只要r满足代数方程r2prq0函数yerx 就是微分方程的解
方程r2prq0叫做微分方程ypyqy0的特征方程 其根称为特征根
p2—4q>0 p2—4q=0 p2—4q<0
有两个不相等的实根 r1、r2 有两个相等的实根 r1r2
有一对共轭复根 r1, 2 i
2、f(x)=eαx[Pl(x)cosβx+Pn(x)sinβx]型 特解可设为
y*xkeαx[Rm(1) (x)cosβxRm(2) (x)sinβx] 其中Rm (1) (x), Rm (2) (x)是m次多项式设Pl(x) 和 Pn(x) 较高次为m 次,根据α±iβ 不是特征方程的根或是 特征方程的根, k 分别取0 ,1.
两边积分
dy g( y)
f
(x)dx
c
得出通解
G(y) F(x) C
1 的某一原函数 f (x)的某一原函数 ( y)
二、一阶线性微分方程
一阶线性微分方程 y p(x)y q(x)
其中p(x) , q(x)是 x的己知函数.其特点是未知函数 y及 其导数 y' 都是一次的(即线性的).
这是关于变量 y 和未知函数p(y)的一阶微分方程， 设其通解p= φ(x,C1) , 即y' = φ(x,C1) ,分离变量并积分得
dy
( y,C1) x C2
第四节 二阶常系数线性微分方程
一、二阶常系数线性微分方程解的性质
形如y''+ py' + qy = 0的方程(其中p, q为常数) ，称 为二阶常系数齐次线性微分方程.
y c(x)e p(x)dx

PQ被 y轴平分,试写出该曲线所满足的微分方程.
Q点坐标是：(x , 0)
K PQ
x
y 0 (x )
y
2x
y K PQ 1
yy 2x 0
一阶微分方程 F ( x, y, y) 0, y f ( x, y); 高阶(n)微分方程 F ( x, y, y,, y(n) ) 0,
y(n) f ( x, y, y,, y(n1) ).
二、主要问题-----求方程的解
微分方程的解: 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之.
设y ( x)在区间 I 上有 n 阶导数, F( x,( x),( x),,(n)( x)) 0.
初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.
一阶:
y f (x, y)
y
x
x0
y0
二阶:
y f ( x, y, y)
y
x
x0
y0 ,
yx x0
y0
思考题 函数 y 3e2x 是微分方程y 4 y 0
的什么解?
思考题解答
y 6e2x , y 12e2x , y 4 y 12e2x 4 3e2x 0, y 3e2x 中不含任意常数,
一、微分方程的定义
微分方程: 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.
例 y xy, y 2 y 3 y e x ,
(t 2 x)dt xdx 0,
z x y, x
实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的 某些导数(或微分)之间的关系式.
微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称之.
故为微分方程的特解.
练习题
一、填空题:
1、 xy 2 y x 2 y 0是__3____阶微分方程；

;
例1.求微分方程′ + ∙ = − 的通解
解法1： ∵ = ,
Q = −
代入非齐次的通解公式得
= − ‫ ׬ ׬‬− ‫ ׬‬+
= − ‫ ׬‬− +

∙
只写一个原函数
例1. 求微分方程 ′ + 2 = 0的通解
解：这是一阶线性齐次微分方程
() = sec 2
代入通解公式得, =
通解
= −
− ‫ ׬‬2
齐次方程 ′ + =
的解 = − ‫ ׬‬
《高等数学》
第三节 一阶线性微分方程
基础课教学部
第三节 一阶线性微分方程
一、引入
二、基本概念
三、齐次方程的解法
四、经典实例
五、非齐次方程的解法
一、引入
实际问题中，事物总是不断的运动变化.
空气流动
气温变化
植物生长
？直接得出函数结构非常困难.
! 建立函数、导数、微分之间的等式（微分方程）
二.基本概念
设 = ()− ‫ ׬‬
是非齐次的通解

把C换成
C(x)！
怎么求解
呢?
常数变易法
令 = () − ‫ ׬‬
′ = ′ − ‫ ׬‬


,
则
− () − ‫ ׬‬

,
代入方程 y′ + = ()中整理
′ − ‫ ׬‬
= − ‫ ׬‬

(න ‫ ׬‬

+ )
其中为任意常数，3个积分均只写一个原函数